analisis estructural libro

7/30/2019 Analisis Estructural Libro

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JUANTOMSCELIGETA

&XUVRGHDQOLVLVHVWUXFWXUDO

Prlogo

ndice completo

ndice resumido

ndice de materias

Ejercicios resueltos Enunciados de problemas

EUNSA
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1

&DSWXOR,QWURGXFFLyQDODQiOLVLV

HVWUXFWXUDO

1.1 CONCEPTO DE ESTRUCTURA EN INGENIERA MECNICA

Una estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construccin formada por uno o

varios elementos enlazados entre s que estn destinados a soportar la accin de una serie de

fuerzas aplicadas sobre ellos.

Esta definicin es quizs excesivamente simplista, ya que al emplear los trminos

elementos enlazados entre s, se induce a pensar en estructuras formadas por componentes

discretos, por lo que slo puede servir como una primera definicin. La realidad es que las

estructuras con componentes discretos son muy frecuentes en la prctica por lo que su

estudio resulta del mximo inters. Adems lo habitual es que los elementos sean lineales,

del tipo pieza prismtica, conocidos como vigas o barras, y cuyo comportamiento

estructural individual es relativamente fcil de estudiar, como se hace en Resistencia de

Materiales. Con la definicin anterior seran ejemplos de estructuras una viga, un puente

metlico, una torre de conduccin de energa, la estructura de un edificio, un eje...

La definicin anterior puede generalizarse diciendo que una estructura es cualquier

dominio u extensin de un medio material slido, que est destinado a soportar alguna

accin mecnica aplicada sobre l.

Esta definicin ampla el concepto de estructura a sistemas continuos donde no se

identifican elementos estructurales discretos, como por ejemplo: la carrocera de un

automvil, la bancada de una mquina herramienta, un depsito de agua, un ala de avin,

una presa de hormign..., que no estaban incluidas en la idea inicial. De esta manera se

introduce en realidad el estudio de problemas de mecnica de slidos en medios continuos,

que requieren del empleo de mtodos sofisticados de anlisis. Por esta razn este texto se

limita al estudio de estructuras formadas por elementos discretos, de directriz habitualmenterecta y en algunos casos curva.


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2 Curso de anlisis estructural

En las definiciones anteriores se dice que actan sobre la estructura unas cargas, que

normalmente son de tipo mecnico, es decir fuerzas o pares. Tambin se considera la

posibilidad de otros efectos, como: variaciones en la temperatura del material de la

estructura, movimientos conocidos de los apoyos, errores en la longitud y forma de los

elementos, esfuerzos de pretensin durante el montaje, etc. Todos estos efectos dan lugar a

unas cargas mecnicas equivalentes, por lo que resulta fcil considerarlos.

Respecto a la forma en que la estructura debe soportar las cargas no es fcil poner un

lmite claro. Quizs lo ms general sea decir que la estructura debe tener un estado de

tensiones y deformaciones tal que no se produzca un fracaso estructural que lleve a la

destruccin de la misma, en ninguno de los estados de carga posibles. Por debajo de este

amplio lmite se imponen limitaciones ms estrictas en funcin del tipo de estructura y de su

aplicacin concreta. La limitacin que siempre se impone es la del valor mximo de las

tensiones que aparecen en el material, en cualquier punto de la estructura, a fin de evitar su

rotura. Este es el caso de edificios, naves industriales, bastidores de vehculos y maquinaria,

tuberas, etc.Adems de la limitacin en las tensiones, es tambin muy habitual imponer un lmite

a las deformaciones de la estructura, bien por motivos funcionales (p.e. bastidores de

mquinas), estticos, o de resistencia de los elementos que apoyen sobre la estructura

(tabiques de edificios de viviendas).

En estructuras sofisticadas las tensiones alcanzadas pueden ser muy grandes,

llegando a sobrepasar el lmite elstico, y permitindose incluso la existencia de alguna

grieta, cuyo tamao mximo es entonces el lmite para el buen funcionamiento estructural,

siempre bajo severas condiciones de control (esto ocurre por ejemplo en tecnologa

nuclear). En otros casos ms complejos la idoneidad de la estructura viene controlada por laausencia de inestabilidades en la misma (pandeo), o incluso porque su respuesta dinmica

sea la adecuada (por ejemplo en brazos de manipuladores, antenas, ).

El problema que trata de resolver el Anlisis Estructural es la determinacin del

estado de deformaciones y tensiones que se producen en el interior de la estructura, a

consecuencia de todas las acciones actuantes sobre ella. Como consecuencia tambin se

determinan las reacciones que aparecen en la sustentacin de la estructura.

Una vez conocidas las tensiones y deformaciones, el decidir si stas son admisibles y

si la estructura est en buen estado de funcionamiento, es objeto de otras materias

especficas como el diseo de estructuras metlicas o de hormign armado, la construccinde mquinas, etc, y a veces la propia experiencia y sentido comn del analista.

Como primeras reseas histricas sobre Anlisis Estructural se debe citar a Leonardo

da Vinci y a Galileo1, que fue el primero en estudiar el fallo de una viga en voladizo.

Posteriormente han sido muy numerosos los autores que han colaborado al desarrollo del

estudio de las estructuras. Una excelente revisin de la contribucin de todos ellos ha sido

publicada por Timoshenko en 1953. Asimismo una revisin bibliogrfica muy detallada

1 Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno due nuove science, 1638.

Traduccin al ingls: The Macmillan Company, New York, 1933.


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Introduccin al anlisis estructural 3

sobre los fundamentos tericos del Anlisis Estructural ha sido publicada por Oravas y

McLean, en 1966.

La concepcin de una estructura, por parte del ingeniero, se desglosa en tres fases:

fase de planteamiento, fase de diseo y fase de construccin. En la fase de diseo, que es la

que interesa para el anlisis estructural, se pueden distinguir a su vez las siguientes etapas:Determinacin de la forma y dimensiones generales: se eligen el tipo de estructura y la

geometra de la misma, de acuerdo con su funcionalidad y la normativa aplicable. Se

determinan asimismo los materiales principales a utilizar.

Determinacin de las cargas: se determinan las fuerzas exteriores que actan sobre la

estructura, as como todos aquellos efectos que puedan afectar a su comportamiento (errores

de forma, movimientos de los apoyos, ).

Anlisis. Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan

en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el anlisis de una

estructura es necesario proceder primero a su idealizacin, es decir a asimilarla a un modelocuyo clculo sea posible efectuar. Esta idealizacin se hace bsicamente introduciendo

algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura,

sobre la forma en que stos estn unidos entre s, y sobre la forma en que se sustenta. Una

vez idealizada la estructura se procede a su anlisis, calculando las deformaciones y

esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las tcnicas propias del Anlisis

Estructural. Para este anlisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de

las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura, determinadas en las fases

anteriores.

Salvo en casos muy simples, para el anlisis de la estructura es necesario conocer lasdimensiones transversales de los elementos que la componen, pero ocurre que estas

dimensiones estn bsicamente determinadas por los esfuerzos internos que aparecen sobre

ellos, y que en principio son desconocidos. Por esta razn el anlisis de una estructura

suele ser en general iterativo, hasta lograr unos esfuerzos internos y unas deformaciones que

sean adecuados a las dimensiones transversales de los elementos.

Para comenzar este proceso iterativo de anlisis se deben imponer unos valores para

las dimensiones transversales de los elementos, basndose en la experiencia, o en un

predimensionamiento, que normalmente se basa en hiptesis simplificativas.

Diseo de detalles. Son propios de la tecnologa usada en la construccin de la estructura:nudos de unin, aparatos de apoyo, armaduras de hormign, etc. El anlisis de estructuras

no interviene en esta fase.

1.2 DEFINICIONES GENERALES

Para que el anlisis de una estructura sea correcto es necesario que la idealizacin que de

ella se haga se acerque lo ms posible a su comportamiento real. Para efectuar esta

idealizacin existen diversos aspectos a tener en cuenta, como son:

Disposicin espacial de la estructura: puede ser en una, dos o tres dimensiones.


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Tipo de cargas actuantes: estticas o dinmicas, segn que sean constantes en el

tiempo o variables con l.

Tipo de elementos que forman la estructura: elementos discretos (piezas

prismticas), elementos continuos, o incluso estructuras mixtas.

Tipo de uniones estructurales entre los elementos: articuladas, rgidas (habitualmentellamadas empotradas), o flexibles.

Comportamiento del material: puede ser elstico, cuando al desaparecer las cargas el

material vuelve a su estado inicial o no (por ejemplo si hay plasticidad). Dentro de

los materiales elsticos el caso ms habitual es el lineal, cuando la tensin y la

deformacin unitaria son proporcionales.

Pequeas deformaciones: cuando la posicin deformada de la estructura coincide

sensiblemente con su posicin sin deformar. Esto simplifica la relacin entre las

deformaciones unitarias y los desplazamientos de un punto, que es lineal. En caso

contrario se trata de un problema de grandes deformaciones, y la relacin entredeformaciones unitarias y desplazamiento no es lineal.

De entre todos estos aspectos, en este texto se estudian estructuras de las siguientes

caractersticas:

- estructuras formadas por elementos discretos,

- sometidas a cargas no variables con el tiempo, es decir en rgimen esttico,

- con uniones entre los elementos rgidas, articuladas o flexibles,

- extendidas en una, dos o tres dimensiones,- formadas por un material con comportamiento elstico lineal, y

- con pequeas deformaciones.

1.3 CLASIFICACIN DE LAS ESTRUCTURAS

Efectuar una clasificacin detallada de las estructuras no es tarea fcil, pues depende de la

tecnologa y materiales usados para su construccin y del uso que se da a la estructura. Por

esta razn slo se incluyen aqu los tipos ms usuales de estructuras, atendiendo a sus

diferencias desde el punto de vista de su anlisis, pero no desde el punto de vista de su

funcionalidad.

Ya las primeras definiciones del concepto de estructura orientan a considerar dos

grandes tipos de ellas: con elementos discretos o con elementos continuos. Ambos tipos se

detallan a continuacin.

1.3.1 Estructuras con elementos discretos

En estas estructuras se identifican claramente los elementos que la forman. Estos elementos

se caracterizan por tener:

una dimensin longitudinal mucho mayor que las otras dos,


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el material agrupado alrededor de la lnea directriz del elemento, que

normalmente es recta.

Estos elementos son por lo tanto piezas prismticas y se denominan habitualmente vigas o

barras. Los puntos de unin de unos elementos con otros se llaman nudos y cada elemento

siempre tiene dos nudos extremos. Con esto la estructura se asemeja a una retcula formadapor los distintos elementos unidos en los nudos. De hecho a estas estructuras se les

denomina habitualmente reticulares.

La unin de unos elementos con otros en los nudos puede hacerse de distintas

formas, siendo las ms importantes:

unin rgida o empotramiento, que impone desplazamientos y giros comunes al

elemento y al nudo, de tal manera que entre ellos se transmiten fuerzas y

momentos,

articulacin, que permite giros distintos del elemento y del nudo, y en la que no

se transmite momento en la direccin de la articulacin,

unin flexible, en la que los giros del elemento y el nudo son diferentes, pero se

transmite un momento entre ambos elementos.

Los tipos ms importantes de estructuras reticulares son:

Cerchas o celosas. Estn formadas por elementos articulados entre s, y con cargas

actuantes nicamente en los nudos. Los elementos trabajan a esfuerzo axial, y no hay

flexin ni cortadura. Por su disposicin espacial pueden ser planas o tridimensionales.

Vigas. Estn formadas por elementos lineales unidos rgidamente entre s, y que pueden

absorber esfuerzos de flexin y cortadura, sin torsin. Tambin pueden absorberesfuerzo axial, pero ste est desacoplado de los esfuerzos de flexin y cortadura, en la

hiptesis de pequeas deformaciones.

Prticos planos. Son estructuras compuestas por elementos prismticos, unidos

rgidamente entre s, y dispuestos formando una retcula plana, con las fuerzas actuantes

situadas en su plano. Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementos

trabajan a flexin, cortadura y esfuerzo axial.

Prticos espaciales. Son similares a los anteriores, pero situados formando una retcula

espacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsin y flexin en dos planos.

Arcos. Son estructuras compuestas por una nica pieza, cuya directriz es habitualmente

una curva plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexin y de cortadura. Como caso

general existen tambin los arcos espaciales, cuya directriz es una curva no plana. En

muchas ocasiones los arcos se encuentran integrados en otras estructuras ms complejas,

del tipo prtico plano o espacial.

Emparrillados planos. Son estructuras formadas por elementos viga dispuestos

formando una retcula plana, pero con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Se

deforman perpendicularmente a su plano, y sus elementos trabajan a torsin y flexin.

La figura 1.1 muestra algunos ejemplos de los tipos anteriores.


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Viga Celosa plana

Celosa espacial Prtico plano

Prtico espacial Emparrillado

Arco

Figura 1.1

1.3.2 Estructuras con elementos continuos

En esta estructuras no se identifica a priori ninguna direccin preponderante y el material

est distribuido de manera continua en toda la estructura. El concepto de nudo estructural

tampoco puede introducirse de forma intuitiva y simple. Su anlisis es ms complejo que

para las estructuras reticulares y no se aborda en este texto. Sin embargo, a continuacin se

resumen los casos ms habituales de estructuras continuas.

Membranas planas. Consisten en un material continuo, de espesor pequeo frente a sus

dimensiones transversales, situado en un plano y con cargas contenidas en l.

Corresponde al problema de elasticidad bidimensional, y son el equivalente continuo deun prtico.


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Placas. Consisten en un medio continuo plano, de espesor pequeo frente a sus

dimensiones transversales, con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Son el

equivalente continuo de un emparrillado plano.

Slidos. Son medios continuos tridimensionales sometidos a un estado general de

tensiones y deformaciones. Cscaras. Son medios continuos curvos, con pequeo espesor. Son el equivalente a la

suma de una membrana y una placa, pero cuya superficie directriz es curva.

1.4 CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE ANLISIS

A continuacin se resumen los principales mtodos de anlisis estructural para estructuras

discretas, no pretendindose hacer una clasificacin exhaustiva, sino slo indicar los ms

importantes. Se presentan englobados en cuatro grandes bloques, en base a su naturaleza.

Soluciones analticas. Consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlan

el problema, por lo que normalmente slo se pueden aplicar a casos sencillos.

Integracin de la ecuacin de la elstica en vigas.

Teoremas de Mohr para vigas.

Mtodo de la viga conjugada para vigas.

Empleo de las ecuaciones de la esttica: slo se pueden aplicar a estructuras isostticas.

Mtodo del equilibrio de los nudos para celosas.

Mtodo de las secciones para celosas.

Mtodo de la barra sustituida para celosas.

Mtodos basados en la flexibilidad.

Principio del Trabajo Virtual Complementario y principio del potencial

complementario estacionario.

Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser.

Mtodo general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.

Mtodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas.

Frmula de los tres momentos para vigas.

Principio de Mller-Breslau para cargas mviles.

Mtodos basados en la rigidez.

Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario.

Primer teorema de Castigliano.

Mtodo de rigidez en formulacin matricial, para estructuras de cualquier tipo.

Mtodo de la distribucin de momentos, o de Cross, para prticos planos.


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1.5 CONDICIONES DE SUSTENTACIN DE LAS ESTRUCTURAS

Para que una estructura pueda considerarse como tal, debe estar en equilibrio bajo la accin

de todas las fuerzas que actan sobre ella, entre las que se incluyen tanto las acciones

exteriores conocidas, como las reacciones desconocidas en los puntos de sustentacin.

En el equilibrio de la estructura juega un papel fundamental la forma en que la

estructura se halla unida a su sustentacin, que se efecta habitualmente a travs de uno o

varios puntos de apoyo, cada uno de los cuales introduce una o varias restricciones al

movimiento de la estructura. Se denomina condicin de ligadura (o simplemente ligadura, o

tambin condicin de apoyo) a una condicin que define la deformacin en un punto y una

direccin dados de la estructura.

Como cada ligadura define la forma en que la estructura puede deformarse en el

punto y la direccin donde est aplicada, aparece una fuerza o momento desconocido en la

direccin de la ligadura, denominada fuerza o momento de reaccin. Esta fuerza de

reaccin es la fuerza que la sustentacin debe hacer para que se satisfaga la condicin deligadura.

Las ligaduras son direccionales, es decir que cada una de ellas acta en una sola

direccin del espacio. Sin embargo las condiciones de apoyo habituales de las estructuras

hacen que varias ligaduras aparezcan agrupadas, introduciendo simultneamente varias

condiciones de deformacin.

Siempre se cumple que en la direccin donde hay una ligadura aplicada se conoce el

valor de la deformacin (normalmente dicho valor es cero), y se desconoce el valor de la

reaccin que aparece. En el caso de desconocerse el valor de la deformacin se dice que no

hay ninguna ligadura aplicada, y en ese caso se conocer el valor de la fuerza exterioraplicada en esa direccin, estando la deformacin controlada por el comportamiento de la

estructura.

A continuacin se describen los tipos de apoyos ms habituales que pueden

encontrarse en las estructuras, indicando las condiciones de ligadura que introducen.

1.5.1 Estructuras planas

Apoyo deslizante o de rodillos

Impide el desplazamiento perpendicular a la lnea de apoyo, y su reaccin es una fuerzaperpendicular a dicha lnea. Se supone sin rozamiento y bidireccional, es decir que es capaz

de ejercer reaccin en los dos sentidos (a pesar de la forma sencilla que se emplea para su

representacin).

Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros,

en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo, como se

muestra en la figura 1.2.


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VVV

1 2

Figura 1.2

Apoyo articulado

No permite ningn tipo de desplazamiento, y su reaccin es una fuerza de direccin

arbitraria, que equivale a dos fuerzas segn dos ejes ortogonales.

Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros,

en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unen al nudo (figura

1.3).

VVV

1

2

H H H

Figura 1.3

Empotramiento

No permite ningn desplazamiento ni el giro. Su reaccin son dos fuerzas (H y V)

contenidas en el plano de la estructura, y un momentoMperpendicular a l (figura 1.4).

V

H

M

Figura 1.4

Empotramiento deslizante

Permite nicamente el desplazamiento en una direccin, pero impide el desplazamiento en

la direccin perpendicular y tambin el giro. Se trata por lo tanto de un caso particular delempotramiento, pero que permite el deslizamiento en una direccin determinada. Su


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reaccin es una fuerza perpendicular al eje de deslizamiento H, y un momento M

perpendicular al plano de la estructura (figura 1.5). Este tipo de apoyo no suele encontrarse

habitualmente en la realidad, pero aparece cuando se emplean simplificaciones para

considerar la simetra de una estructura.

H

M

Figura 1.5

Apoyo flexible

El apoyo flexible est constituido por un punto de la estructura que est unido a la

sustentacin mediante uno o varios muelles, como se muestra en la figura 1.6. En general

puede haber constantes de rigidez distintas en cada direccin, pudiendo ser cero en algunade ellas (direccin libre). Asimismo el apoyo elstico puede coexistir con otras condiciones

de ligadura.

X X

Y

KY

KX

KXK

Figura 1.6

Es habitual incluir el apoyo flexible en la descripcin de los tipos de apoyos, pero en

sentido estricto este apoyo no es una condicin de ligadura para la estructura, pues no es un

punto en el que se conoce el valor de la deformacin. En efecto, no se conocen ni el

desplazamiento del nudo ni la fuerza en el muelle, sino nicamente la relacin entre ellos,

que es la constante de rigidez del muelle: la fuerza en el muelle es proporcional a la

deformacin del apoyo y la reaccin de la sustentacin es igual a la fuerza en el muelle.

Esta igualdad entre la fuerza en el muelle y la reaccin de la sustentacin es la que hace que

este nudo se considere a veces como un apoyo, aunque como se ha dicho no lo es. Se trata

por lo tanto de un nudo de la estructura como cualquier otro, al que llegan una serie deelementos estructurales y adems el muelle, que debe considerarse como uno ms. En este

sentido, siempre se considerarn aqu los muelles como elementos estructurales, y se les

dar el mismo tratamiento que a los dems.

1.5.2 Estructuras tridimensionales

Rtula esfrica

Es el equivalente tridimensional de la articulacin plana. No permite ningn

desplazamiento, y s permite los tres giros. Su reaccin son tres fuerzas ortogonales (o un

vector fuerza de direccin arbitraria), como se indica en la figura 1.7.


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XY

Z

RX

RY

RZ

Figura 1.7

Apoyo deslizante sobre un plano

Se trata de un punto que puede moverse apoyado sobre todo un plano, el cual puede ser uno

de los planos coordenados, u otro cualquiera. Su reaccin es una fuerza normal al plano de

deslizamiento (figura 1.8).

No influye en los giros que pueda tener la estructura, que podrn ser uno o varios, enfuncin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo.

X

Y

Z

RZ

Figura 1.8

Apoyo deslizante sobre una recta.

En este caso el punto de apoyo est obligado a moverse sobre una recta conocida, por lo

que el nico desplazamiento posible es en la direccin de dicha recta (figura 1.9). La

reaccin son dos fuerzas perpendiculares a la recta (H, V). Al igual que en caso anterior,

esta condicin de ligadura no influye sobre los giros.

X

Y

Z

V

H

Figura 1.9


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Empotramiento deslizante prismtico

En este caso el punto de apoyo se mueve sobre una recta, pero no tiene ninguna posibilidad

de giro, como se muestra en la figura 1.10. Existe por lo tanto un slo grado de libertad, que

es el desplazamiento en la direccin de la recta. La reaccin tiene cinco componentes: dos

fuerzas perpendiculares a la recta (Vy T) y tres momentos (ML,MVyMT).

V

T

ML

MV

MT

Figura 1.10

Empotramiento deslizante cilndrico

En este caso el punto puede deslizar sobre una recta y adems puede girar respecto a ella.

Existen por lo tanto dos grados de libertad: el desplazamiento en la direccin de la recta y la

rotacin alrededor de ella (figura 1.11). La reaccin tiene cuatro componentes: dos fuerzas

perpendiculares a la recta (Vy T), y dos momentos tambin perpendiculares a ella (MV y

MT).

X

Y

Z

V

T

MV

MT

Figura 1.11

1.6 CONDICIONES DE CONSTRUCCIN

Los distintos elementos que componen una estructura reticular se pueden unir bsicamente

de dos formas:

De forma totalmente rgida, transmitindose entre los elementos unidos todas las fuerzas

y momentos posibles: tres fuerzas y tres momentos en el caso espacial, y dos fuerzas y

un momento en el caso plano. En este caso todas las deformaciones de los elementos

unidos son iguales.

Mediante uniones imperfectas, que permiten un cierto movimiento relativo entre los

elementos unidos. Estas uniones imperfectas se obtienen a base de anular la capacidad

de transmisin de alguno de los esfuerzos transmitidos entre los elementos. Al


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eliminarse esta capacidad de transmitir algn esfuerzo, aparece un movimiento relativo

entre los elementos, en la direccin del esfuerzo anulado.

Se denominan condiciones de construccin a estas condiciones de esfuerzo nulo impuestas a

las uniones entre los elementos de la estructura. Su presencia juega un papel importante en

la estabilidad de la estructura, o en su naturaleza isosttica o hiperesttica.Los tipos ms importantes de condiciones de construccin se indican en la tabla 1.1.

Tipo Esfuerzo anulado Representacin

Articulacin (o rtula) Momento flector

Deslizadera Esfuerzo cortante

Deslizadera axial Esfuerzo axial

Articulacin a torsin Momento torsor

Rtula esfrica Dos momentos flectores,

y un momento torsor

Tabla 1.1

Puede ocurrir que en un mismo punto existan varias condiciones de construccin, que se

deben ir identificando de manera independiente, y cuyos efectos se suman. As por ejemplo,

la rtula esfrica est compuesta por dos articulaciones segn dos ejes perpendiculares al

elemento y una articulacin a la torsin.

Ejemplo

En un nudo totalmente articulado de una estructura plana, al que llegan n barras, el

nmero de condiciones de construccin es n-1. La ecuacin n-sima es la ecuacinesttica de suma de momentos nulos en el nudo.

M1=0 M

2=0

M3=-M

1-M

2=0


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1.7 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN EXTERNO

Para analizar una estructura se debe establecer en primer lugar el diagrama de slido libre

de toda ella. En este diagrama se considera a toda la estructura como un slido rgido, y se

sustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantas

incgnitas como reacciones haya, en nmero r. A este conjunto se le aplica un estudio deestabilidad.

La esttica facilita q=3 ecuaciones de equilibrio en el caso plano, y q=6 ecuaciones

en el espacial. En funcin de como sea el nmero de reacciones incgnita, en relacin con

este nmero de ecuaciones de equilibrio se presentan tres casos diferentes. Suponiendo que

no hay condiciones de construccin en la estructura, es decir que las uniones en todos los

nudos son rgidas, dichos casos son:

A. El nmero de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio rq. La estructura

est estticamente indeterminada en principio, y se dice que es externamente

hiperesttica: es necesario introducir nuevas condiciones, adems de las de la esttica,

para calcular las reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condicin es

necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, stas

tengan una disposicin espacial tal que no impidan la existencia de algn tipo de

inestabilidad en alguna otra direccin.

Normalmente los casos de inestabilidad externa suelen ir acompaados de algn tipo de

hiperestaticidad externa en alguna otra direccin, de tal manera que el cmputo global de

incgnitas y ecuaciones no da una respuesta correcta.

La tabla 1.2 resume las posibles situaciones.

r < q Inestable externamente

Isosttica externamente r = q

Hiperesttica externamente r > q

Tabla 1.2

Puede concluirse que la comparacin del nmero de reacciones r con el nmero de

ecuaciones de la esttica q, brinda nada ms que un balance global del estado de la


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estructura, pero no permite determinar con precisin su situacin. Esto requiere en general

una inspeccin de la misma y un anlisis de si existen posibles situaciones de inestabilidad.

Ejemplos

Las estructuras de la figura siguiente tienen ambas r=q=3. Sin embargo la de la izquierda

es estable e isosttica, ya que las tres reacciones son independientes, mientras que la de laderecha es inestable, pues las tres reacciones se cortan en el apoyo de la izquierda.

Estable, isottica

Inestable

La estructura de la figura siguiente tiene r=4, y es externamente hiperesttica.

Hiperesttica

Las estructuras siguientes tienen ambas r=q=3, pero su situacin es muy diferente, pues la

disposicin de las reacciones produce inestabilidad de distinto tipo. Esta inestabilidad est

unida a una hiperestaticidad en otra direccin, de tal manera que el cmputo total de

reacciones hace parecer que la estructura es isosttica.

Inestable al giroHiperesttica s/X

Inestable s/XHiperesttica s/Y


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1.8 BIBLIOGRAFA

1. Argelles Alvarez, R., y Argelles Bustillo, R., Anlisis de Estructuras: Teora,

Problemas y Programas, Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Montes, Madrid,

1996.

2. Hibbeler, R. C., Structural Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1996.

3. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in

Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte I, Vol. 19, N 8, pp. 647-658,

Agosto1966.

4. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in

Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte II, Vol. 19, N 11, pp. 919-933,

Noviembre1966.

5. Timoshenko, S. P.,History of Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1953.

6. Timoshenko, S. P., y Young, D. H., Teora de las Estructuras, Ed. Urmo, Bilbao,

1974.

7. Tuma, J. J., Anlisis Estructural, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York, 1970.

8. Wang, C. K.,Intermediate Structural Analysis, McGraw-Hill, New York, 1983.


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&DSWXOR7HRUHPDVIXQGDPHQWDOHV

2.1 INTRODUCCIN

En este captulo se presentan los teoremas fundamentales en que se basa el anlisis

estructural. Su estudio se hace desde la ptica de la mecnica de slidos, considerando un

medio continuo, con lo que se obtienen expresiones muy generales, aptas para ser

empleadas tanto en el anlisis de estructuras discretas como continuas.

Se considera aplicable la hiptesis de pequeas deformaciones: la posicin

deformada del slido coincide con la posicin sin deformar, con lo que las ecuaciones de

equilibrio esttico se pueden plantear en la configuracin inicial del slido, que es conocida.

Se supone en principio un comportamiento elstico del material, pero siempre que es

posible los desarrollos se hacen con la mayor generalidad, obtenindose en ocasiones

expresiones vlidas para casos elsticos lineales o no lineales

2.1.1 Fuerzas exteriores

Sobre el slido pueden actuar las siguientes fuerzas (figura 2.1):

Fuerzas distribuidas sobre el volumen del slido qv. Tienen tres componentes y cada unade ellas es una funcin del punto sobre el que actan. Estn definidas en principio sobre

todo el volumen del slido.

Fuerzas distribuidas sobre la superficie exterior del slido qs. Tienen tres componentes,cada una de las cuales es una funcin del punto sobre el que actan, aunque slo estn

definidas en puntos situados sobre la superficie exterior del slido.

Fuerzas y momentos puntuales, aplicadas directamente en determinados puntos delslido. No son consistentes con la mecnica de los medios continuos, pero se

introducen, cuando es posible, por su gran inters prctico. Habitualmente se manejan

descompuestas en todas sus componentes escalares, y agrupadas en un nico vector P


19/632


que contiene todas las componentes escalares de todas las fuerzas y momentos, en

nmeroN.

qv

vx

vy

vz

q

qq

=

%

&

K

'K

(

)

K

*Kqs

sx

sy

sz

q

qq

=

%

&

K

'K

(

)

K

*KP =

%

&

KK

'KK

(

)

KK

*KK

P

P

PN

1

2

.. . (2.1)

qvyqvz

qvx

qsx

qsy

qszP1

P2

uy

uz

ux

1

2

Figura 2.1

2.1.2 Campo de deformaciones

En cada punto del slido existe una deformacin (figura 2.1) que se denomina

u =

%&K

'K

()K

*K

u

u

u

x

y

z

(2.2)

y cuyas tres componentes son funcin de las coordenadas del punto (x,y,z).

Se define asimismo un vector , que contienelos valores que adopta el campo de deformaciones en

los puntos de aplicacin y en la direccin de las

fuerzas puntuales aplicadas. Es decir que contienelas deformaciones del slido medidas en la direccin

de las fuerzas aplicadas, consideradas como escalares.

=%

&KK

'KK

(

)KK

*KK

1

2

.. .

N

(2.3)

2.2 TRABAJOEl trabajo efectuado por las fuerzas puntuales P, cuando su punto de aplicacin se deforma

una cantidad , tiene la expresin:

W dPT= IP

0

(2.4)

Si el slido es elstico lineal, existe una proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas a

travs de una matriz k que mide la rigidez del slido:

P k= (2.5)


20/632

Teoremas fundamentales 19

con lo que el valor del trabajo es

W dPT T T= = =I

0

k k P

1

2

1

2(2.6)

Para las fuerzas distribuidas de volumen y superficie se define el trabajo unitario, o trabajoefectuado por unidad de volumen o de superficie, segn corresponda por el tipo de fuerza,

como (figura 2.2):

W d dvT

sT

0

0 0

= +I Iq u q uu u

(2.7)

W0

qv

uFigura 2.2

En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales a travs de unas

matrices simtricas kv y ks, con lo que el trabajo unitario queda:

W d dT

vT

sT

vT

s vT

sT

0

0 0

1

2

1

2

1

2

1

2= + = + = +I Iu k u u k u u k u u k u q u q u

u u

(2.8)

El trabajo producido por las fuerzas de volumen y superficie Wd sobre todo el slido es la

integral al volumen o a la superficie correspondientes, del trabajo unitario. En rgimen

lineal, su expresin es:

W dv dsd vT

v

sT

s

= +I I121

2q u q u (2.9)

2.2.1 Trabajo complementario

El trabajo complementario efectuado por una fuerza&

F, cuando su punto de aplicacin se

mueve una magnitud

&

u es:

W u dF F

F

* = I&&

&

0

(2.10)

El trabajo complementario efectuado por las fuerzas puntuales tiene la expresin:

W dPT* = I

0P

P

(2.11)

En el caso lineal existe proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas, por lo que su valores :


21/632


WPT* =

1

2 P (2.12)

que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas WP dado por (2.6).

Para las fuerzas de volumen y distribuidas se define el trabajo complementario

unitario, o trabajo complementario efectuado sobre la unidad de volumen o de superficie,segn el tipo de fuerza (figura 2.3):

W d dT

vT

s

v s

0

0 0

* = +I Iu q u qq q

(2.13)

W0v

qv

u

*

Figura 2.3

En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales, con lo que el trabajo

complementario unitario es:

WT

vT

s0

1

2

1

2

* = +u q u q (2.14)

El trabajo complementario producido por las fuerzas de volumen y superficie en todo el

slido es la integral, a su volumen o superficie, del trabajo unitario correspondiente. Suexpresin en rgimen lineal es:

W dv dsdT

v

v

Ts

s

* = +I I121

2u q u q (2.15)

que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas Wd dado por (2.9).

2.2.2 Trabajo virtual

El trabajo virtual se define como el trabajo que efectan las fuerzas aplicadas sobre la

estructura cuando sta se somete a un pequeo desplazamiento hipottico, llamadodesplazamiento virtual, compatible con las condiciones de sustentacin de la misma.

Para aplicar este concepto a un slido deformable se vara el campo de

desplazamientos u en una magnitud u que es el desplazamiento virtual. Este es un campode desplazamientos continuo que cumple con la condicin de pequeas deformaciones y es

compatible con todas las condiciones de sustentacin existentes en el slido. Esto quiere

decir que en aquellas zonas del slido donde existen desplazamientos impuestos de valor

conocido, el desplazamiento virtual es nulo. Durante esta variacin del campo de

desplazamientos todas las fuerzas aplicadas sobre el slido se mantienen constantes.

Al aplicarse la variacin u , tambin se produce una variacin en el vector dedeformaciones en la direccin de las fuerzas puntuales. El trabajo virtual que se produce es:


22/632


W dv dsvT

v

sT

s

T= + +I Iq u q u P (2.16)

Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.4).

W

GW

P

G' Figura 2.4

2.2.3 Trabajo complementario virtual

Por analoga con el trabajo virtual, se define el trabajo complementario virtual como eltrabajo producido por las fuerzas aplicadas sobre el slido, cuando se aplica una variacin

hipottica a dichas fuerzas llamada variacin virtual, manteniendo fijos los

desplazamientos. La variacin virtual de las fuerzas debe cumplir con el equilibrio de

fuerzas, por lo que es necesario en general variar tanto las fuerzas exteriores como las

reacciones en los puntos de apoyo.

Si la variacin de las fuerzas es q q Pv s, , , el trabajo complementario virtual quese produce es:

W dv dsT vv

Ts

s

T* = + +

I Iu q u q P (2.17)

Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.5).

P

GW*W*

GP

Figura 2.5

2.3 RESUMEN DE ELASTICIDAD

2.3.1 Campo de tensiones

Para introducir el concepto de tensin, se efecta un corte arbitrario al slido en equilibrio y

en dicho corte se considera un elemento infinitesimal de superficie s, siendo&

n el vector

unitario normal a l. La resultante de las acciones que el resto del slido efecta sobre el

elemento de superficie est compuesta por una fuerza

&

f y un momento

&

m (figura 2.6).


23/632


m

fn

's

Figura 2.6

Se define el vector tensin como:

&

&

t Limf

s

n

s=

0(2.18)

El vector tensin depende de la orientacin&

n del elemento de superficie, por lo que se

aade el superndice n para indicarlo.

Con objeto de hallar una expresin ms detallada del vector tensin se considera untetraedro elemental (figura 2.7) y se estudia su equilibrio de fuerzas. Este equilibrio se

expresa en forma vectorial1 como:

A t A t A t A tn n& & & & =1

12

23

3 0 (2.19)

siendo:

An el rea de la base del tetraedro,

&

n es el vector unitario normal a la base del tetraedro,

Ai es el rea de la cara i del tetraedro,&

tn es el vector tensin sobre la base del tetraedro,

&

ti es el vector tensin en la cara i del tetraedro.

12

3

n

tn

-t1

-t2

-t3Figura 2.7

Pero se cumple que:

A A n ii n

i= = 1 3, (2.20)

1 En los desarrollos siguientes se emplean indistintamente las denominaciones X,Y,Z o 1,2,3 para los

ejes coordenados.


24/632


luego el equilibrio queda:

& & & &

t n t n t n t n = + +1

12

23

3(2.21)

Pero a su vez cada vector tensin se puede expresar2 en funcin de los tres vectores de la

base&

ui

en la forma:

&&

t u i ji

ij j= = , ,1 3 (2.22)

siendo ij las componentes del vector tensin en la cara i segn los tres ejes. Sustituyendoen la ecuacin de equilibrio se obtiene:

&& & &

t u n u n u nn

j j j j j j= + + 1 1 2 2 3 3 (2.23)

&&

t n un ij i j= (2.24)

Esta es la denominada frmula de Cauchy, que proporciona el valor del vector tensin en

una direccin cualquiera dada por el vector ni . Esta frmula introduce el tensor detensionesij e indica que multiplicando este tensor por el vector unitario de una direccin

&

n se obtiene el vector de tensiones en dicha direccin. As pues el tensor de tensiones

caracteriza la totalidad del estado de tensiones del material en el punto considerado y es

independiente de la direccin en que se mida.

La representacin de la frmula de Cauchy en notacin de subndices y matricial es:

t njn

ij i= t nn T= (2.25)

donde es la matriz que representa al tensor ij . El vector tensin se equilibra en el interior del slido con el vector tensin en la cara

opuesta de la seccin de corte, que es igual y de sentido contrario.

En la superficie exterior del slido (figura 2.8) el vector tensin se equilibra con lasfuerzas exteriores aplicadas sobre ella:

&&

q tsn= (2.26)

Por lo tanto se cumple que:

& &

q n us ij i j= q nsT= (2.27)

que es la expresin de la ecuacin de equilibrio en la superficie.

nqstn

Figura 2.8

2 Con notacin de subndices, se emplea el criterio de la suma en los ndices mudos.


25/632


2.3.2 Deformaciones unitarias

Al aceptarse la hiptesis de pequeas deformaciones, las deformaciones unitarias se

representan mediante el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias, cuya definicin, en

funcin de las deformaciones, es:

ij

i

j

j

i

u

x

u

x= +

1

2(2.28)

Se observa que es un tensor simtrico, por lo que slo seis de sus componentes son

distintas.

Este tensor se emplea bien como tensor, tal y como se ha definido, o bien como un

vector , que agrupa slo las seis componentes distintas. Cuando se usa como vector, paralas tres componentes de cortadura (aquellas en que ij) se emplean las deformacionesingenieriles , que son el doble de las exactas.

ii

i

i

u

xi j= =

ij

i

j

j

iij

u

x

u

xi j= + = 2 (2.29)

=

%

&

KKK

'

KKK

(

)

KKK

*

KKK

11

22

33

12

23

31

(2.30)

El empleo de esta representacin simplifica algunos desarrollos posteriores, permitiendo

pasar con sencillez de la notacin tensorial a la vectorial.

2.3.3 Ecuaciones de equilibrio

Para obtener las ecuaciones de equilibrio del slido se asla un subdominio arbitrario del

mismo, de volumen Vy superficie Sy se le aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y

de momentos.

Equilibrio de fuerzas

Las tres ecuaciones de equilibrio del dominio se pueden expresar como

q dv t ds iviV

in

S

I I+ = =0 1 3, (2.31)Las fuerzas en la superficie de dominio se pueden sustituir por su valor en funcin del

tensor de tensiones mediante la frmula de Cauchy, quedando:

q dv n ds iviV

ji j

S

I I+ = = 0 1 3, (2.32)


26/632


Aplicando el teorema de la divergencia, la segunda integral se puede transformar en una

integral de volumen:

q dvx

dv iviV

ji

jV

I I+ = = 0 1 3, (2.33)

qx

dv iviji

jV

+

= =I 0 1 3, (2.34)

pero como el dominio Ves arbitrario el integrando debe ser nulo, con lo que se obtiene:

ji

jvi

xq i+ = =0 1 3, (2.35)

que son las ecuaciones de equilibrio del slido, expresadas usando el tensor de tensiones

como incgnita.

Equilibrio de momentos

Aplicando el equilibrio de momentos al dominio arbitrario, y tras un desarrollo que se

omite, se obtiene:

ij jiT= = (2.36)

Es decir que el tensor de tensiones es simtrico.

2.3.4 Ecuacin constitutiva

La ecuacin constitutiva del material representa su comportamiento mecnico y establece

una relacin entre los tensores de tensiones y de deformaciones unitarias:

ij ijkl klD= (2.37)

donde Dijkl es un tensor que define las propiedades del material. Es de orden 4 y por lo

tanto requiere 81 coeficientes para su definicin; pero al ser los tensores y simtricos, elD tambin lo es, por lo que slo requiere 36 trminos distintos. Por consideraciones

termodinmicas relativas a la naturaleza reversible del proceso de carga y descarga del

material se puede reducir el nmero de parmetros requeridos hasta 21. Finalmente para

materiales orttropos (materiales con dos direcciones preponderantes) el nmero deparmetros es de slo 9; y si el material es istropo (materiales con propiedades iguales en

todas las direcciones) se demuestra que slo son necesarios dos parmetros diferentes para

definir el tensor D. Estos parmetros son habitualmente el mdulo de elasticidad E y el

mdulo de Poisson .

En particular se consideran aqu los materiales elsticos, en los cuales se cumple que

el proceso de carga y descarga del material se lleva a cabo siempre por la misma curva; y

sea cual sea la historia de cargas, el material siempre se encuentra en un punto de dicha

curva caracterstica (figura 2.9).


27/632


V

H Figura 2.9

La expresin de la ecuacin constitutiva para un material istropo elstico, puesta en

notacin matricial es:

= D (2.38)

xx

yy

zz

xy

yz

zx

xx

yy

zz

xy

yz

zx

E

%

&

KKK

'

KKK

(

)

KKK

*

KKK

=

!

"

$

#############

%

&

KKK

'

KKK

(

+

( )

( )( )

( )

( )

( )

1

1 1 2

11 1

0 0 0

11

10 0 0

1 11 0 0 0

0 0 01 2

2 10 0

0 0 0 01 2

2 10

0 0 0 0 01 2

2 1

)

KKK

*

KKK

(2.39)

La matriz simtrica D se denomina matriz elstica. Si el material es lineal, los coeficientes

de D son constantes, y en caso contrario pueden ser funcin de la propias deformacin o

tensin en el material.

2.4 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACIN

Se define la densidad de energa de deformacin, o energa de deformacin unitaria, como

la integral:

U dij ij ij

ij

0

0

( )

= I (2.40)con la condicin de que sea slo funcin del estado final de deformacin unitaria, es decir

que la integral sea independiente del camino (figura 2.10).

V

HU0

Figura 2.10

Para ello debe cumplirse que el integrando sea una diferencial perfecta, es decir que existauna magnitud U0 tal que se cumpla:


28/632


dU dij ij0 = (2.41)

Esto implica que las tensiones deben poderse obtener como

ij

ij

U= 0 (2.42)

El anlisis riguroso de la existencia de la densidad de energa requiere complejos

razonamientos termodinmicos, y de ellos se deduce que la funcin U0 definida antes existe

si el proceso de carga y descarga es reversible. Esta condicin se cumple siempre si el

material tiene un comportamiento elstico, lineal o no, por lo que para todos los materiales

elsticos puede considerarse la existencia de la U0 .

El significado fsico de la densidad de energa puede obtenerse efectuando el

desarrollo que se indica a continuacin, que no se incluye aqu en detalle, y puede

consultarse en Shames y Dym (1985). Se considera un elemento diferencial de volumen y se

aplican sobre sus caras las fuerzas originadas por las tensiones, a continuacin se calcula eltrabajo efectuado por dichas fuerzas al producirse las deformaciones en las caras del

elemento. El valor del trabajo que se obtiene, dividido por el volumen el elemento, resulta

ser igual al valor de la U0 en ese punto.

Por lo tanto puede decirse que la densidad de energa U0 representa el trabajo

efectuado en una unidad de volumen por las tensiones, al producirse la deformacin elstica

del slido. De hecho tambin se suele denominar a la densidad de energa como trabajo

interno unitario.

Dado que el trabajo producido por las tensiones es igual a la energa que se acumula

en el slido, ocurre que la densidad de energa U0 es la energa elstica acumulada en elslido por unidad de volumen.

La densidad de energa puede expresarse en notacin de vectores como:

U dT

0 = I 0

(2.43)

en este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles, que son el doble de las reales. De esta forma la expresin de U0 es la misma si se calculaa partir de la frmula en notacin de tensores (2.40) o de vectores (2.43). Este es uno de los

aspectos que justifican el empleo de la distorsiones de cortadura ingenieriles.

Comprobacin: Si la energa se calcula empleando el tensor ij , su valor es:

U d d d d d

ij

0 11 11 22 22 33 33 12 12 21 21

0

= + + + + +I

.. .1 6

Si se emplea el vector se obtiene:

U d d d d

ij

0 11 11 22 22 33 33 12 12

0

= + + + +

I

.. .1 6


29/632


Los tres trminos debidos a la tensin axial (i=j) son iguales en ambos casos. Para cada

tensin cortante hay dos sumandos en el primer caso y slo uno en el segundo caso, pero se

comprueba fcilmente que ambos son iguales, precisamente por ser la ij=2ij.

ij ij ji ji ij ij ji ij ijd d d d d i j

ij ij ij

+ = + = I I I3 8 3 80 0 0Caso de material lineal

Si el material es elstico lineal (figura 2.11), la relacin entre tensin y deformacin es una

matriz D constante y la integral que define la densidad de energa puede efectuarse con

sencillez:

U d dT T T T T T

0

1

2

1

2= = = =I I

0

0

D D (2.44)

V

H

U0

Figura 2.11

Variacin de la densidad de energa

Resulta de inters determinar la variacin que sufre la densidad de energa cuando se aplicauna variacin virtual a los desplazamientos u , manteniendo constante el valor de lastensiones, es decir en condiciones similares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual.

Al variar los desplazamientos se origina una variacin virtual de las deformaciones

unitarias ij , y ello da lugar a una variacin de la densidad de energa (figura 2.12) cuyovalor es:

U d dij ij ij ij ij ij

ij

ij ij

ij

ij ij

0 = = =

+ +

I I (2.45)

V

H

U0

GU0

Figura 2.12


30/632


2.5 ENERGA DE DEFORMACIN

La energa de deformacin es la energa elstica total que se acumula en el slido. Se

obtiene por integracin de la densidad de energa a todo el volumen:

U U dv

v

= I 0 U d dvij ijvij

=

II

0

(2.46)

Caso de material lineal

Para un material lineal la densidad de energa tiene una expresin sencilla, por lo que la

energa total acumulada es:

U dv dvT

v

T

v

= =I I121

2 D (2.47)

Ejemplo. Energa acumulada en una pieza sometida a una distribucin uniforme de

tensiones provocada por una fuerza axial N, sobre un rea A.

=N

A

= =

E

N

EA

U dvN

EA

N

AAdx

N

EAdx

T= = =I I I121

2

1

2

2

Frmula de Clapeyron

En el caso de un slido elstico lineal, la energa elstica acumulada Ues igual al trabajo

efectuado por las fuerzas exteriores aplicadas, de acuerdo con la frmula deducida por

Clapeyron en 1833. Para el caso de fuerzas puntuales dicha frmula se puede poner como:

U WP

Pi i T= = =

2

1

2P (2.48)

Variacin de la energa de deformacin

Si la densidad de energa U0 sufre una variacin, la energa total acumulada Usufre tambin

una variacin, cuyo valor es:

U U dv dv

v

ij ij

v

= =I I0 (2.49)

2.6 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIA

De manera anloga a la densidad de energa de deformacin se define la densidad de

energa de deformacin complementaria o energa de deformacin unitaria complementaria

como la integral:


31/632


U dij ij ij

ij

0

0

*( )

= I (2.50)con la condicin de que sea slo funcin del estado final de tensin, es decir que la integral

sea independiente del camino (figura 2.13).Para ello debe cumplirse que el

integrando sea una diferencial perfecta, es

decir que exista una magnitud U0*

tal que se

cumpla

dU dij ij0* = (2.51)

V

H

U0*

Figura 2.13

Esto implica que las deformaciones unitarias deben poderse obtener como

ij

ij

U= 0

*

(2.52)

El anlisis de la existencia de la densidad de energa complementaria es similar al de la

densidad de energa, y al igual que para sta se demuestra que la densidad de energa

complementaria existe si el material tiene un comportamiento elstico. En realidad la

densidad de energa complementaria representa el trabajo complementario efectuado por las

tensiones al producirse la deformacin elstica, en una unidad de volumen.

La densidad de energa complementaria puede expresarse tambin en notacin devectores como:

U dT

0* = I

0

(2.53)

En este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles, con el fin de que la expresin (2.53) d el mismo valor que la (2.50).


Si el material es elstico lineal (figura 2.14), la relacin entre tensin y deformacin es unamatriz D constante, y la integral que define la densidad de energa complementaria puede

efectuarse con sencillez, obtenindose:

U d dT T T T T

0

1

2

* = = =I I 0

0

D D = = =

1

2

1

2

10 T T UD (2.54)

Es decir que la densidad de energa en un material lineal tiene el mismo valor que la

densidad de energa complementaria.


32/632


V

H

U0

U0

*

Figura 2.14

Variacin de la densidad de energa complementaria

Para los desarrollos posteriores, resulta de inters determinar la variacin que sufre la

densidad de energa complementaria cuando se aplica una variacin virtual a las fuerzas

exteriores, manteniendo constante el valor de las deformaciones, es decir en condiciones

similares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual complementario.

La variacin de las fuerzas produce una variacin

virtual de las tensiones , y ello da lugar a una variacin

de la densidad de energa complementaria (figura 2.15)

cuyo valor es:

U d dij ij ij ij ij ij

ij ij

0

0 0

* = = =I I (2.55)

V

H

U0 GU0

GV

Figura 2.15

2.7 ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIA

La energa de deformacin complementaria es la integral de la densidad de energacomplementaria a todo el volumen del slido:

U U dv

v

* *= I 0 U d dvij ijv

ij

* =

II

0

(2.56)


Para un material lineal la densidad de energa complementaria tiene una expresin sencilla,

por lo que la energa complementaria total acumulada es:

U dv dv U T

v

T

v

* = = =I I1

2

1

2

1 D (2.57)

y tiene el mismo valor que la energa elstica.

2.8 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Se considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtual producido

en l al aplicar una variacin virtual a las deformaciones u . En notacin de subndices este

trabajo virtual es:


33/632


W q u dv q u dsvi iv

si i

s

= +I I (2.58)En esta expresin no se ha introducido el trmino correspondiente a las fuerzas puntuales.

Las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se pueden poner en funcin del

tensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy.

W q u dv n u dsvi iv

ij j i

s

= +I I (2.59)La integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen aplicando el

teorema de la divergencia:

W q u dv

u

xdvvi i

v

ij i

jv

= +I I 3 8 (2.60)

W q

xu dv

u

xdvvi

ij

ji

v

iji

jv

= +

+I I (2.61)Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula pues su integrando son las

ecuaciones de equilibrio del slido.

Para desarrollar la segunda integral, se considera la descomposicin del tensor

gradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica:

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

i

j

i

j

j

i

i

j

j

iij ij= +

+

= +

1

2

1

2(2.62)

Donde se han identificado el tensor de deformaciones unitarias infinitesimales ij y eltensor de rotacin (antisimtrico) ij . Esta misma relacin es aplicable a la variacin de ui ,dado que los operadores variacin y derivada son intercambiables.

u

x

i

jij ij= + (2.63)

Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene.

W dv dvij ij ijv

ij ij ij ij

v

= + = +I I3 8 3 8(2.64)

Pero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico

ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene:

W dvij ijv

= I (2.65)Sustituyendo el trabajo virtual por su valor se obtiene:

q u dv q u ds dvvi iv

si i

s

ij ij

v I I I+ =

(2.66)


34/632


que es la expresin del principio de los trabajos virtuales aplicado a un slido elstico. El

trmino de la izquierda es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, mientras que el de la

derecha representa el trabajo virtual interno, esto es, el trabajo virtual que hacen las fuerzas

originadas por las tensiones cuando el campo de deformaciones unitarias sufre una

variacin virtual, a tensin constante.

La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio,

y mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambin

suficiente (ver Shames y Dym, 1985).

Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que un

slido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las

deformaciones (compatibles con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sea

igual al trabajo virtual interno de las tensiones.

Tal y como se ha obtenido, este principio es vlido para cualquier tipo de material,

elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a pequeasdeformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sin deformar.

Tambin es aplicable a problemas con grandes deformaciones si el dominio donde se aplica

el equilibrio es la situacin deformada.

Caso de material elstico

Si el material es elstico, existe la energa de deformacin U, y puede comprobarse que el

trmino de la derecha del Principio del Trabajo Virtual, coincide con la variacin de dicha

energa (ecuacin (2.45)). Por lo tanto se puede poner:

W U dv U

v

= =

I0

(2.67)

Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que haya

equilibrio, en una estructura elstica, es que para cualquier desplazamiento virtual

(compatible con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sea igual a la

variacin de la energa elstica (figura 2.16).

q

uW

GW

V

HU0

VGHGU0

Gu GH

Figura 2.16

2.9 PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIAL

Se considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elstica. Se define

elpotencial de las fuerzas exterioresVcomo una funcin del campo de deformaciones y delas cargas:


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V q u dv q u dsvi iv

si i

s

I I (2.68)Si se aplica una variacin virtual a las deformaciones, el potencial de la fuerzas sufre una

variacin de valor:

V q u dv q u ds W vi iv

si i

s

= = I I (2.69)que coincide con el valor del trabajo virtual cambiado de signo. Aplicando el principio de

los trabajos virtuales se puede poner que, para cualquier desplazamiento virtual:

V W U= = (2.70)

( )U V+ = 0 (2.71)

La cantidad =U+V, es la energa potencial total del slido:

= + = I IU V U q u dv q u dsvi iv

si i

s

(2.72)

La ecuacin (2.71) indica que el potencial total es estacionario para cualquierdesplazamiento virtual. Queda as demostrado que la condicin necesaria para que la

estructura est en equilibrio es que el potencial total sea estacionario. Por un proceso similar

puede demostrarse que la condicin de potencial estacionario es una condicin suficiente

para el equilibrio.

Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencial como: la

condicin necesaria y suficiente para que un slido est en equilibrio es que el potencialtotal sea estacionario para cualquier variacin virtual de las deformaciones. Es decir que,en el equilibrio, los campos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definen un

valor extremo del potencial total.

Se puede demostrar tambin que el potencial total tiene un valor mnimo en laposicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquier posicin vecina

admisible (ver Oden, 1980). Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.

2.10 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL COMPLEMENTARIO

Se considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtual

complementario producido al aplicar una variacin virtual a las fuerzas exteriores. En

notacin de subndices el trabajo virtual se expresa como:

W u q dv u q dsi viv

i si

s

* = +I I (2.73)La variacin de las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se puede poner

en funcin del tensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy.

W u q dv u n dsi viv

i ij j

s

* = +I I(2.74)


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Aplicando el teorema de la divergencia la integral de superficie puede transformarse en una

integral de volumen:

W u q dv

u

xdvi vi

v

i ij

j

v

* = +I I 3 8 (2.75)

W u q

xdv

u

xdvi vi

ij

jv

i

jij

v

* = +

+I I (2.76)

Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula, pues su integrando es la

variacin de las ecuaciones de equilibrio.

Para desarrollar la segunda integral se considera la descomposicin del tensor

gradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica, dada por (2.62).

Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene:

W dv dvij ij ijv

ij ij ij ij

v

* = + = +I I3 8 3 8 (2.77)Pero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico

ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene:

W dvij ijv

* = I (2.78)

u q dv u q ds dvi viv

i si

s

ij ij

v

I I I+ = (2.79)

que es la expresin del principio del trabajo virtual complementario. El trmino de la

izquierda es el trabajo virtual complementario de las fuerzas exteriores, mientras que el de

la derecha representa el trabajo virtual complementario interno, esto es, el trabajo virtual

complementario que hacen las deformaciones unitarias, cuando el campo de tensiones

originadas por las fuerzas exteriores sufre una variacin virtual, a deformacin constante.

La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio,

pero mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambin

suficiente.

Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que un

slido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzas

exteriores (que satisfaga el equilibrio)el trabajo virtual de complementario producido por

las deformaciones sea igual al trabajo virtual complementario interno de las tensiones.

Tal y como se ha obtenido este principio es vlido para cualquier tipo de material,

elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a las

pequeas deformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sin

deformar.


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Caso de material elstico

Si el material es elstico, existe la energa de deformacin complementaria U*, y puede

comprobarse que el trmino de la derecha del Principio del Trabajo Virtual

Complementario (2.79) coincide con la variacin de dicha energa (ecuacin (2.55)). Por lo

tanto se puede escribir:

W U dv U

v

* * *= =I 0 (2.80)y puede enunciarse como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est en

equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzas(que cumpla el equilibrio)

el trabajo virtual complementario producido sea igual a la variacin de la energa

complementaria elstica. La figura 2.17 muestra las distintas magnitudes involucradas.

q

u

W

GW V

H

U0

HGVGU0Gq GV

*

*

**

Figura 2.17

2.11 PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIAL COMPLEMENTARIA

Se considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elstica

complementaria. Se define elpotencial complementario de las fuerzas exterioresV* como

una funcin del campo de deformaciones y de las cargas:

V q u dv q u dsvi iv

si i

s

* I I (2.81)Si se aplica una variacin virtual a las fuerzas exteriores, el potencial complementario de las

fuerzas sufre una variacin de valor:

V q u dv q u ds W vi iv

si i

s

* *= = I I(2.82)

que coincide con el valor del trabajo virtual complementario cambiado de signo. Aplicando

el principio del trabajo virtual complementario se puede poner que, para cualquier variacin

virtual de las fuerzas:

V W U* * *= =

( )* *U V+ = 0 (2.83)

La cantidad *=U*+V* se llama energa potencial complementaria total del cuerpo:


38/632


* * * *= + = I IU V U q u dv q u dsvi iv

si i

s

(2.84)

La ecuacin (2.83) indica que * es estacionario, para cualquier variacin virtual de lasfuerzas. Queda as demostrado que el potencial total complementario es estacionario si la

estructura est en equilibrio, es decir que se trata de una condicin necesaria. Por unproceso similar puede demostrarse que la condicin de potencial complementario

estacionario es una condicin suficiente para el equilibrio.

Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencial

complementaria como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est en

equilibrio es que el potencial total complementario * sea estacionario, es decir que loscampos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definan un valor del potencial

total complementario que adopte un valor extremo.

Se puede demostrar tambin que el potencial complementario total * tiene un valor

mnimo en la posicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquierposicin vecina admisible. Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.

2.12 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO

Se considera un slido elstico en equilibrio, sometido a un sistema de Ncargas puntuales

exteriores Pi , que pueden ser indistintamente fuerzas o momentos. En cada punto de

aplicacin de una carga se identifica la deformacin i en la direccin de la carga, que esun desplazamiento si se trata de una fuerza o un giro si se trata de un momento (figura

2.18).

P1 P2

P3

P4

'1

'2

'3

'4

Figura 2.18

Supongamos que es posible expresar la energa elstica almacenada en el slido en funcin

de las deformaciones U i( ) . El potencial total puede entonces ponerse como:

= + =

=

U V U Pi i i ii N

( ) ( )

,

1

(2.85)

Al estar el slido en equilibrio, este potencial es estacionario, con lo que:

= =

=

0 01

ii

i

i N,

(2.86)


39/632


UP

ii i i

i N

=

=

1

0

,

(2.87)

U

P

i

i i

i N

=

=10

,

(2.88)

Pero al ser la variacin de los desplazamientos arbitraria, debe ser cero cada uno de los

trminos del sumatorio, es decir:

PU

i Nii

= =

1, (2.89)

Esta es la expresin del conocido primer teorema de Castigliano (1879), que es de gran

utilidad para el anlisis de estructuras, y que de hecho es la base del denominado mtodo de

rigidez. Es aplicable a sistemas elsticos, con la condicin de que pueda expresarse la

energa elstica en funcin de las deformaciones. En estructuras reticulares formadas porvigas, con las suposiciones habituales para su anlisis, siempre es posible expresar dicha

energa en funcin de una serie de parmetros de deformacin (desplazamientos y giros de

los extremos de las vigas), por lo que este teorema es de gran inters.

2.13 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Se considera nuevamente un slido elstico en equilibrio (figura 2.18), sometido a un

sistema de cargas puntuales exteriores Pi , y sean i las deformaciones en la direccin de

las cargas.Se supone ahora que es posible expresar la energa elstica complementaria

almacenada en el slido en funcin de las fuerzas U Pi*( ). El potencial complementario total

puede entonces ponerse como:

* * * *

,

( ) ( )= + =

=

U P V U P Pi i i ii N

1

(2.90)

Al estar el cuerpo en equilibrio, este potencial complementario es estacionario, con lo que:

*

*

,= =

=0 01P P Pi

ii

i N(2.91)

U

PP P

ii i i

i N

*

,

=

=

1

0 (2.92)

U

PP

ii i

i N

*

,

=

=

1

0 (2.93)

Pero al ser la variacin de las fuerzas arbitraria, debe ser cero cada uno de los trminos del

sumatorio, es decir:
http://capitulo%208.pdf/http://capitulo%208.pdf/http://capitulo%208.pdf/http://capitulo%208.pdf/http://capitulo%208.pdf/


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ii

U

Pi N= =

*

,1 (2.94)

Si el slido es lineal la energa y la energa complementaria coinciden, con lo que queda:

ii

UP

i N= =1, (2.95)

Esta es la expresin del conocido segundo teorema de Castigliano (1879), de enorme

utilidad para el anlisis de estructuras y en particular para el clculo de deformaciones. De

hecho este teorema es la base del denominado mtodo de flexibilidad para anlisis

estructural. Es aplicable a sistema elsticos, con la condicin de que pueda expresarse la

energa elstica complementaria en funcin de las fuerzas generalizadas, lo cual es siempre

posible en estructuras reticulares con las suposiciones que habitualmente se hacen para su

estudio.

2.14 TEOREMA DE BETTI-RAYLEIGH O DEL TRABAJO RECPROCO

Sea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos:

Sistema A, compuesto por una sola fuerza PA , que produce una deformacin AA

en su punto de aplicacin A y BA

en otro punto B (figura 2.19).

Sistema B, compuesto por una sola fuerza PB, que produce una deformacin BB

en su punto de aplicacin B y AB

en el otro punto A (figura 2.19).

PA

AB

A

B

AA

Sistema A

PB

A B

A

B

B B

Sistema B

Figura 2.19

Si se aplican ambos sistemas sobre el slido, en primer lugar el sistema A y a continuacin

el B, el trabajo que producen es:

W P P PA B

A AA

B BB

A AB, = + +

1

2

1

2 (2.96)

El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PA durante su aplicacin,

el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PB durante su aplicacin y el

ltimo corresponde al trabajo efectuado por PA durante la aplicacin de PB.

Se considera ahora la situacin inversa: se aplica en primer lugar el sistema B y a

continuacin el A. El trabajo que se produce es:
http://capitulo%205.pdf/http://capitulo%205.pdf/


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W P P PB A B BB

A AA

B BA, = + +

1

2

1

2 (2.97)

El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PB durante su aplicacin,

el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PA durante su aplicacin y el

ltimo corresponde al trabajo efectuado por PB durante la aplicacin de PA .Como el trabajo total es el mismo en ambos casos, igualndolos se obtiene:

P PA AB

B BA = (2.98)

Esta es la expresin del teorema del trabajo recproco, enunciado por E. Betti (1872) y Lord

Rayleigh (1874). Se puede enunciar como: el trabajo producido por un sistema de fuerzas

A actuando sobre las deformaciones producidas por otro sistema B es igual al trabajo

producido por el sistema de fuerzas B actuando sobre las deformaciones producidas por el

sistema A.

Este teorema es aplicable a slidos elsticos y lineales, donde es aplicable elprincipo de superposicin. Es vlido para cualquier tipo de fuerza o momento, considerando

en cada caso la deformacin correspondiente en la direccin de la fuerza o momento. En el

caso general, si actan fuerzas de volumen y de superficie, la expresin del teorema de los

trabajos recprocos es:

q u q u q u q uvA B

v

sA B

s

vB A

v

sB A

s

T T T T

dv ds dv dsI I I I + = + (2.99)

2.15 TEOREMA DE MAXWELL O DE LAS DEFORMACIONES RECPROCASSea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos (figura 2.20):

Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1, que produce una

deformacin AA

en su punto de aplicacin A y BA

en otro punto B.

Sistema B, compuesto por una sola fuerza unitaria PB = 1, que produce una

deformacin BB

en su punto de aplicacin B y AB

en el otro punto A.

PA=1

AB

A

B

AA

Sistema A

PB=1

A BA

B

BB

Sistema B

Figura 2.20

Aplicando el teorema del trabajo recproco de Betti-Rayleigh se cumple que el trabajocruzado entre los dos sistemas es el mismo:


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P PA AB

B BA = (2.100)

Al ser las dos fuerzas unitarias, se obtiene que:

AB

BA= (2.101)

Esta es la expresin del teorema de las deformaciones recprocas. Puede enunciarsediciendo que la deformacin inducida en un punto A por una fuerza unitaria aplicada en

otro punto B es igual a la deformacin inducida en B por una fuerza unitaria aplicada en

A.

Este teorema fue obtenido por Maxwell (1864) para el caso de celosas y en realidad

es un caso particular el teorema del trabajo recproco. Aunque aqu se ha deducido para

fuerzas, puede aplicarse a cualquier tipo de esfuerzo (fuerza o momento) y de deformacin

(desplazamiento o giro), utilizando siempre fuerzas o momentos de valor unidad y midiendo

la deformacin correspondiente en la direccin del esfuerzo.

Generalizacin

En algunos casos resulta interesante poder relacionar las deformaciones que se producen en

estructuras que estn cargadas con varias fuerzas unitarias. Sea de nuevo un slido elstico

lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos:

- Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1 situada en el punto A.

- Sistema B, compuesto porN fuerzas unitarias PBi = 1 situadas en los puntos Bi.

El sistema A (figura 2.21) produceunas deformaciones:

AA

en el punto A

BiA en el punto Bi

PA=1

A BNA

BN

A A

BiB1

BiA

B1A

Figura 2.21

El sistema B, formado por N fuerzas unitarias PBi = 1 situadas en Bi, produce unas

deformaciones: AB en el punto A y Bi

B en el punto Bi.

Este sistema se puede descomponer en suma deNsistemas Bi, cada uno cargado con una

sola fuerza PBi = 1 (figura 2.22). Por lo tanto se puede poner que:

AB

ABi

i N

==

1,

(2.102)


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PBi=1

ABN

ABN

Bi

B1

Bi

B1

PB1=1

PBN=1

B

B

B

B

PBi=1

A BN

A

BN

Bi

B1

Bi

B1

BiBi

Bi

Bi

=

Caso B Caso Bi

Figura 2.22

Aplicando el teorema de reciprocidad de Maxwell entre los casos A y Bi, se cumple que:

ABi

BiA= (2.103)

y sustituyendo en la expresin (2.102) resulta:

AB

BiA

i N

==

1,

(2.104)

Esta es una expresin generalizada del teorema de Maxwell, para el caso de que haya varias

cargas unitarias en uno de los sistemas, como se muestra en la figura 2.23.

PA=1

BNA

BN

A

BiB1

BiA

B1A

PBi=1

A

A

BN

BiB1

PB1=1

PBN=1

B

Figura 2.23

2.16 TEOREMA DE CROTTI - ENGESSER

La expresin de este teorema ha sido obtenida durante la deduccin del segundo teorema de

Castigliano (ecuacin (2.94)), del cual es una generalizacin:

ii

U

Pi N= =

*

,1 (2.105)

Este teorema fue propuesto en esta forma, y de manera casi simultnea e independiente, por

F. Crotti en 1888 y F. Engesser en 1889. Se trata por lo tanto de una generalizacin del

segundo teorema enunciado por Castigliano, y resulta muy prctico para calcular

deformaciones en una estructura en la que se conoce su energa complementaria.


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2.17 TEOREMA DE ENGESSER

Sea una estructura reticular formada por piezas prismticas, con material elstico y

sometida a un sistema de cargas general, incluyendo cargas puntuales, de superficie y de

volumen.

Se considera un esfuerzo interno cualquiera (esfuerzo axial, momento flector o

esfuerzo cortante), que se denomina genricamente X, y se aplica la siguiente variacin

virtual al sistema de fuerzas:

Todas las fuerzas exteriores y todas las reacciones se mantienen constantes.

El esfuerzo interior X se vara en una magnitud X. Al ser un esfuerzo interior,siempre estar formado por una pareja de fuerzas (o momentos) iguales y de sentido

contrario y su variacin tambin estar compuesta por dos fuerzas (o momentos)

iguales y de sentido contrario (figura 2.24).

NN

Q

Q

MMGN GN

GQGQGM GM

'

'

'

Figura 2.24

Se puede comprobar que la variacin virtual de las fuerzas cumple con la condicin de

equilibrio. Sea la componente de la deformacin en la direccin de la fuerza interior. Eltrabajo virtual complementario producido por la variacin de fuerzas aplicada resulta ser

nulo:

W X X* ( )= + = 0 (2.106)

Aplicando el principio del trabajo virtual complementario:

W U* *= =0 (2.107)

Pero la variacin de la energa complementaria siempre se puede poner como:

UU

X X*

*

= = 0 (2.108)

y como esto debe satisfacerse para cualquier variacin X, se debe cumplir que

U

X

*

= 0 (2.109)

Esta expresin es conocida como segundo teorema de Engesser (para evitar confusiones con

el teorema de Crotti - Engesser), y vale para cualquier fuerza interior Xen una estructura

reticular. Resulta muy til, como se ver ms adelante, para formular las ecuaciones de

compatibilidad de deformaciones en el mtodo de flexibilidad.
http://capitulo%205.pdf/http://capitulo%205.pdf/http://capitulo%205.pdf/


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2.18 TEOREMA DE MNABRA

Si la estructura es lineal, y no hay efectos trmicos, la energa y la energa complementaria

son iguales, con lo que el segundo teorema de Engesser queda:

U

X = 0 (2.110)

Esta expresin constituye el llamado teorema de Mnabra (1858), quien lo enunci para el

caso particular de las estructuras de celosa hiperestticas.

2.19 ESTRUCTURAS SOMETIDAS A CARGAS TRMICAS

La existencia de variaciones en la temperatura de un slido deformable afecta a su

comportamiento estructural, modificando las tensiones y deformaciones que aparecen en l.

En ese apartado se revisan las principales magnitudes ya presentadas y se estudia lainfluencia que tiene sobre ellas la existencia de cargas trmicas.

En primer lugar, hay que decir que la expresin del tensor de tensiones y la frmula

de Cauchy no se ven afectadas por la presencia de temperaturas, pues su obtencin est

basada solamente en criterios de equilibrio de un elemento diferencial.

2.19.1 Deformaciones unitarias

El campo de deformaciones unitarias tiene dos componentes:

= +0 m (2.111) son las deformaciones unitarias totales existentes en el slido. Su expresin

corresponde al tensor infinitesimal de deformaciones ya definido en la ecuacin (2.28).

0 son las deformaciones unitarias iniciales producidas por la presencia de lastemperaturas. Corresponden a las deformaciones unitarias que aparecen en el slido

cuand

analisis estructural libro

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