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1

Funções: conceitos básicos

1 d

2 e

3 d

O gráfico mostra a função no intervalo [–10, 10].

Como a função tem período 10, temos f (99) = f (9).

Além disso, como f (7,5) = –5 e f (10) = 0, e a fun-

ção é linear no intervalo [7, 5, 10], temos tam-

bém f (9) – f (7,5)9 – 7,5

= f (10) – f (7,5)10 – 7,5

. Logo, f (9) = –5 +

+ [0 – (–5)] . 1,52,5

= –5 + 3 = –2.

Completando o gráfico, temos:

f(x)

x

5

0

–5

–10 –5 5 10

E, portanto, f(99) = −2.

b) Como f(2,5) = 5 e f(5) = 0, temos f(x) = 10 − 2x no in-tervalo [2,5; 5]. Assim, f(3) = 4 e g(f(3)) = g(4) = 4² − – 4 ⋅ 4 = 0. Nesse intervalo, a composição das fun-ções fornece h(x) = (10 − 2x)² − 4(10 − 2x) = 4x² − 32x + 60.

Como f(3) = 4, temos h(3) = 0. De forma geral, h(x) = = 4x² − 32x + 60, no intervalo [2,5; 5].

5 a) (I) e (II) representam funções pares e (IV) e (V) repre-

sentam funções ímpares.

b) f : R R definida por f(x) = cos (x) é par

g : R R definida por g(x) = sen (x) é ímpar

6 a

7 b

8 b

9 b

10 a

11 c

12 a

13 c

14 a

15 e

16 Soma: 01 + 08 + 16 + 32 = 57

17 c

18 a) f(t) = 12

t + 5

peso = 8 kg

b) 10 < t ≤ 34

19 b

20 d

Revisão Total – Matemática – Gabarito

4 a)

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ução

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e 19

98.

2

Função afim

1 d

2 e

3 a) 7 anos.

b) 3.011,25 dias.

c) Sendo x o tempo, em dias, que o réu ficará preso,

x = 6P7 .

4 c

5 d

6 e

7 d

8 b

9 c

10 b

11 c

12 d

13 c

14 f

15 e

16 b

17 c



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98.

3

Função quadrática

1 c

2 c

3 d

4 e

5 a

6 e

7 b

8 a

9 Alternativas corretas: I; II; III; IV.

10 Se a fábrica demora x dias para entregar a encomen-da, terá 2.000 + 100x, que serão vendidas com um lucro por unidade de 6 − 0,2x; o lucro total será de f(x) = (2.000 + 100x)(6 − 0,2x) = −20x² + 200x + 12.000. Completando quadrados, temos: f(x) = −20(x − 5)² + 12.500. Desta expressão para f(x), concluímos que o valor má-ximo que f(x) pode assumir é 12.500 para a escolha de x = 5.Assim, temos lucro máximo de R$ 12.500,00 e soma igual a 8.

11 a) Seja x0 um ponto fixo da função dada. Então,f(x0) = x2

0 − 4x0 + 6 = x0 ⇒ x20 − 5x0 + 6 = 0.

O conjunto solução da última equação é {2,3}.Portanto, a função f possui dois pontos fixos: 2 e 3.

b) Sejam x₁ e x₂ pontos fixos distintos da função g. Então, g(x₁) = ax₁ + b = x₁ ⇒ (a − 1)x₁ + b = 0 (1), e g(x₂) = ax₂ + b = x₂ ⇒ (a − 1)x₂ + b = 0 (2).Fazendo (2) − (1) obtém-se: (a − 1)(x₂ − x₁) = 0. Como x₁ ≠ x₂, segue da última igualdade que a = 1.Substituindo o valor de a, encontrado acima, em (1) ou (2) encontra-se b = 0.

12 c

13 e

14 b

15 a

16 e

17 c

18 a) f (15) = 3(15)2 − 6 = 3 . 225 − 6 = 675 − 6 = 669

b) 3x2 − 6 = 762 ⇒ x2 = 7683

= 256 ⇒ x = −16 ou

x = 16. Como a função não está definida para valores não negativos de x, a resposta é x = 16.

c) A função no domínio de f é injetiva, pois se x₁ ≠ x₂ então f(x₁) ≠ f(x₂).



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4

Função exponencial e função logarítmica

1 d

2 b

3 c

4 c

5 d

6 a

7 b

8 a) Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados da equação y = f(x), obtemos log2 y = log2 8 − log2 42x, ou simplesmente log2 y = 3 − 4x. O gráfico desejado, com a curva representada, é mostrado a seguir.

log2 (y)

–1 1 2 3

4

10

8

6

2

0

–2

–4

–6

–8

–10

x

FIG.023A-MAT-TOP-04

b) O sistema fornecido é equivalente a .

Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados das duas equações acima, obtemos

, ou seja,

. Esse sistema equivale a

, cuja solução é dada por

y = 12

e z = 12

.

Resposta: y = 12

e z = 12

.

{8

42z = 4y

8(42y 4z) = 1

log2 8 − log2 42z = log2 4y

log2 8 − log2 42y = log2 4z = log2 1{3 − 4z = 2y

3 − 4y − 2z = 0{2y + 4z = 3

4y + 2z = 3{

9 b

10 c

11 F, F, V, V, F

12 (x, y) = (11, 2)

13 a

14 a

15 d

16 O menor valor possível é n igual a 47.

17 a) 401 ºC e 202 ºC.

b) 4,3h = 4h18min.

18 a

19 c



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5

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98.

1 e

2 e

3 a

4 b

5 a

6 c

7 b

8 d

9 d

10 a) No passo 4 temos

12

+

14

+

18

+ 116

= 1516

do

quadrado original preenchido. Isso corresponde a

0,9375 do quadrado original, ou, ainda, 93,75% dele.

Sequências, progressões aritméticas e geométricas

b) Chamaremos de n o número mínimo de passos

para que 99,9% do quadrado original seja preenchi-

do. Então, após n passos, a área coberta será

12

+

14

+ … +

12n

=

12

. 1212

1 –

1 –

n ( ) = 1

–

12n .

Isso se deve ao fato de o primeiro membro da

igualdade ser uma PG de razão

12

. Como 99,9% =

= 0,999, para que 1 –

12n

≥ 0,999 devemos ter

0,001 ≥

12n

, ou ainda 2n ≥ 1.000. Basta então observar

que 29 = 512 e 210 = 1.024.

Portanto, serão necessários, no mínimo, 10 passos

para garantir que 99,9% da área do quadrado ori-

ginal seja coberta.



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6

Trigonometria no triângulo retângulo

1 a

2 d

3 c

4 a

5 d

6 e

7 c

8 b

9 c

10 b

11 Do enunciado, temos a figura abaixo:

D C

45°

I

I

x y

N

MBA

E

R

H

G

F QP

45° 45°

Onde: PF = x; QF = y; AB = BC = CD = AD = l.

No triângulo EPF:

cos 45° = xEF

⇒ √2 2

= x

6√2 ∴ x = 6 uc

No triângulo FGQ:

sen 45° = FHy

⇒ √2

2 =

6√2 y

∴ y = 12 uc

Logo, os catetos do triângulo AMN medem 18 uc. Como os triângulos AMN e BMC são semelhantes (caso AA), temos:

18 − l

18 = l

18 ⇒ l = 9 uc

Logo, a área do quadrado ABCD é:

SABCD = l2 ⇒ SABCD = 92 ∴ SABCD = 81 ua

12 b

13 d

14 c

15 b

16 Através da relação comprimento do arco = ângulo in-

terno do círculo vezes o raio, temos:

32π3

= α . 8 ⇔ α = 240º.

Portanto, um arco de 32π3

m de comprimento cor-

responde a um ângulo de 240°, para o círculo da roda- -gigante.

Temos, pelo desenho:

8 sen 30° = 4 m

8 m

2 m

30° 240°

Logo, a altura da queda será: 2 m + 8 m + 4 m = 14 m.

17 a



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98.

7

Ciclo trigonométrico – 1a volta

1 a) Note-se que CA⎯ = CB⎯. Assim, o perímetro do setor circular ACB é igual a 2 + 2 + 1 = 5 cm.

b) Tem-se:

medida de θ em

radianos = medida do arco ABmedida do segmento AC = 1

2 .

A medida de θ em graus é igual a

12

. 180ºπ = ( 90

π )º.

c) A área do setor circular ACB é dada por

θ2π

. π (2)2 = 12

2π . π . (2)2 = 1 cm2.

2 a

3 e

4 c

5 Considere o triângulo OCD, retângulo em D, na figura abaixo.

βα

C

DO

β – π

Note que, nesse triângulo, OC = 1 e o ângulo agudo CÔD = β − π. Escolhendo α = β − π, do triângulo OCD tem-se que:

sen α = sen(β − π) = CDOC

= CD1

= CD ⇒ CD = sen α

cos α = cos(β − π) = ODOC

= OD1

= OD ⇒ OD = cos α

Por outro lado, sen β = −CD e cos β = −OD. Portanto, sen β = −sen α e cos β = −cos α.

6 e

7 a

8 b

9 c

10 c

11 b

12 a

13 c

14 c

15 b

16 d

17 a



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88

Funções trigonométricas

1 c

2 a

3 b

4 b

5 d

6 d

7 e

8 a

9 d

10 b

11 a

12 b

13 a) f(x) = 4,5 + sen(2πx)

1o dia: x = 0 ⇒ f(x) = 4,50

2o dia: x = 14

⇒ f(x) = 5,5

3o dia: x = 12

⇒ f(x) = 4,5

4o dia: x = 34

⇒ f(x) = 3,5

5o dia: x = 1 ⇒ f(x) = 4,5

1 x

y

5,5

4,5

3,5

14

12

34

b) Dia do preço mais alto: 3a feira, 02/04

Dia do preço mais baixo: 5a feira, 04/04

c) Preço mais alto: R$ 5,50

Preço mais baixo: R$ 3,50



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9

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1 a

2 a) Usar o teorema de Pitágoras nos triângulos retân-gulos ABE e ABC para obter os valores AE = 5 cm e AC = 4√–2 cm. Assim o perímetro será:

AE + CE + AC = 5 + 1 + 4√–2 = (6 + 4√–2) cm.

b) Usar a lei do cosseno no triângulo de vértices A, C e E para obter o cosseno de α:

(1)2 = (5)2 + (4√–2)2 – 2 . (5) . (4√–2) . cos α ⇒

⇒ cos α = 5640√–2

= 7√–210

Usar a lei dos senos no triângulo de vértices A, C e

E para obter o seno de α (observando que o ângu-

lo AĈE = 45°), assim:

sen αCE

= sen 45°AE

⇒ sen α1

= √–2/25

⇒ sen α = √–210

3 b

4 e

5 a

6 b

7 a

8 d

9 d

10 a

Trigonometria: complementos e estudo de triângulos quaisquer

11 Da equação dada segue que sen2 x = 1 – cos x e que

1 – cos2 x = 1 – cos x.

Esta última igualdade é equivalente a cos x (cos x –– 1) = 0. cos x = 0 e sen x = 1 têm juntas as soluções x = π

2 +

+ 2kπ, enquanto cos x = 1 e sen x = 0 têm soluções x = 2kπ. Portanto, a equação tem duas soluções em cada in-

tervalo [ 2kπ , (2k + 2) π ), e a equação dada tem 80 soluções no intervalo [ 0,80π ).

12 b

13 d

14 Os quatro triângulos vermelhos são triângulos retângu-los e congruentes. A soma de suas áreas é dada por 2xy, com x = a cos θ e y = a sen θ.

x

θx

y

ya

Como o lado do quadrado mede L, segue da figura que

a cos θ + a + a sen θ = L.

Assim, a = L1 + sen θ + cos θ

. Portanto,

2xy = 2L2 cos θ sen θ(1 + sen θ + cos θ)2

= L2 sen 2θ(1 + sen θ + cos θ)2

15 b

16 e



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10

Determinantes e sistemas lineares

1 d

2 b

3 a

4 x = 20 kg e y = 60 kg.

5 Um deles dá 5 voltas e o outro, 4 voltas.

6 c

7 e

8 Resolvendo o sistema, obtêm-se a0 = 27, a1 = − 4 e a2 = –5.

9 a

10 {(11, 2)}

11 c

12 a

13 a) det P = 16ab + 5ab − 3b2 − 3a2

det P = −3 . (a2 − 7ab + b2)

b) Q = 2 . P ⇒ det Q = det (2 . P)Como a matriz P tem ordem 3, temos:det Q = 23 . det PSubstituindo:det Q = 8 . (− 3) . (a2 − 7ab + b2)det Q = −24 . (a2 − 7ab + b2)E, sendo assim, det Q é divisível por 24 quaisquer que sejam os inteiros a e b.

14 d

15 d

16 b

17 c

18 b

19 • Se k2 + k − 6 ≠ 0, ou seja, k ≠ 2 e k ≠ −3, o sistema é pos-sível e determinado.

Se k2 + k − 6 = 0, ou seja, k = 2 ou k = –3, tem-se duas possibilidades:• Para k = 2, o sistema é possível e indeterminado, uma vez que a última linha de B será toda igual a 0.• Para k = −3 o sistema será impossível, uma vez que a última linha de B corresponde à equação 0 = 5.


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11

1 c

2 e

3 e

4 e

5 e

6 c

7 c

8 d

9 c

Análise combinatória

10 a

11 a

12 e

13 e

14 a

15 a

16 b

17 c

18 c



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12

1 c

2 a) 56%.

b) 6%.

3 b

4 518

5 b

6 c

7 Soma: 01 + 02 + 04 = 7

8 38%.

Probabilidade

9 14

10 e

11 c

12 33,3%.

13 b

14 a

15 b

16 c

17 4,73%.



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13

Poliedros

1 d

2 b

3 c

4 d

5 b

6 c

7 a

8 b

9 a

10 c

11 c

12 b

13 d

14 b

15 b

16 c

17 c

18 a

19 b

20 d



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98.

14

1 d

2 d

3 e

4 a

5 b

6 a

7 e

8 a

9 d

10 b

11 b

12 b

13 a

14 b

15 e

16 e

17 a

18 c

19 a

Corpos redondos



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98.

15

Geometria analítica – distâncias

1 b

2 a

3 d

4 b

5 b

6 e

7 b

8 a

9 d

10 d

11 c

12 b

13 b

14 a

15 a

16 e

17 a

18 d



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98.

16

1 b

2 a

3 e

4 a

5 b

6 b

7 c

8 a

9 a

10 c

11 d

12 e

13 b

14 d

15 d

16 a

17 c

18 c

19 e

Geometria analítica – circunferência e cônicas



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17

Números complexos

1 e

2 c

3 c

4 c

5 c

6 d

7 b

8 e

9 d

10 e

11 O valor de | √–3 z1z2

+ z–2 | é 1.

12 Soma: 8

13 c

14 θ = 8π9

15 e



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98.

18

Polinômios

1 c

2 e

3 a

4 b

5 e

6 c

7 a

8 d

9 d

10 d

11 d

12 a) A resposta é 0.

b) A resposta é ± i.

13 F, V, V, F, V

14 c

15 c

16 b



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e L

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19 d

e fe

vere

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e 19

98.

19

Revisão Total – Portal – Matemática – Gabarito

Razões, proporções e porcentagens

1 c

2 e

3 d

4 a

5 a

6 105

7 Um deles dará 4 voltas e o outro, 5 voltas.

8 d

9 b

10 e

11 d

12 R$ 36,00; R$ 27,00; R$ 18,00.

13 d

14 a

15 R$ 12.000,00 e R$ 18.000,00.

16 e

17 c

18 a

19 Soma: 01 + 02 + 04 = 7

20 b

21 c

22 7,5% ao ano.

Matematica_gabarito_portal.indd 19 8/29/11 9:32 AM

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt. 1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

20


Conjuntos e números

1 a

2 c

3 c

4 d

5 b

6 d

7 b

8 e

9 d

10 b

11 b

12 b

13 a

14 b


Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt. 1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

21


Matrizes

1 c

2 A arrecadação total foi de R$ 119.380,00.

3 d

4 d

5 a

6 a) 11 caixas.

b) R$ 44,00.

7 e

8

9 c

10 b

11 c

12 c


Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt. 1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

22


Estatística

1 d

2 b

3 Soma: 01 + 02 + 16 = 19

4 Soma: 08 + 16 + 32 = 56

5 e

6 Soma: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31

7 d

8 c

9 a

10 d

11 a

12 b

13 b

14 c

15 a) 14.800 acidentes

b) 2.880 acidentes

16 c

17 a) Aproximadamente 22,7%.

b)


Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt. 1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

23


Geometria plana

1 d

2 e

3 c

4 d

5 c

6 b

7 b

8 e

9 c

10 a

11 d

12 a

13 I, V

14 c

15 b

16 d


Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt. 1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

24


Introdução à geometria espacial

1 c

2 a) V

b) F

c) V

d) V

e) F

3 a) V

b) F

c) F

d) V

e) V

4 a) V

b) F

c) V

d) V

e) F

f) V

5 a) V

b) F

c) F

d) V

e) F

f) V

6 d

7 a

8 b

9 a) V

b) V

c) V

d) F

e) V

10 d

11 d

12 a) F

b) V

c) V

d) V

e) F

13 d

14 d


revisão total – matemática – gabarito funções: conceitos ... · reprodução proibida. art....

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