ressonancia magnetica

COMPREENDENDO A RESSONNCIA

MAGNTICA

ORIENTAO

Marisa Almeida Cavalcante

Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo Faculdade de Fsica, Matemtica e Tecnologia

Bacharelado em Fsica

So Paulo - SP

2010



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CLECIO ROBERTO VIEIRA DA SILVA

COMPREENDENDO A RESSONNCIA

MAGNTICA

Monografia apresentada ao Curso de Fsica

Mdica da Pontifcia Universidade Catlica de

So Paulo PUC-SP, como requisito obteno do ttulo de Bacharel em Fsica.

Orientador: Prof. Dr. Marisa Almeida Cavalcante



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Agradecimentos

Meu agradecimento a Instituio de Ensino a qual venho a concluir meu curso de Fsica,

Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo PUC-SP.

Agradeo a minha orientadora Marisa Cavalcante por ter me aceito neste projeto e por

ser uma excelente orientadora a qual me cobrou moderadamente conforme a minha

disponibilidade e por ter me ajudado na produo desde trabalho.

Agradeo tambm aos meus familiares e amigos conforme se segue.

A minha me por todas as coisas que fez e por todas que fez por nossa famlia e tambm

por todas as coisas que fez por mim, obrigado me.

Ao meu pai por ser um homem to inteligente e ter permitido aos seus filhos a concepo

de mundo e tambm pelo aprendizado de vida que responsvel pelo que sou hoje, obrigado

pai.

Agradeo tambm ao meu irmo Carlos por todas as palavras trocadas e pelo bom

exemplo que tem me dado diante de situaes quais a irracionalidade e a angustia

predomina, agradeo tambm pelo apoio que me deu e sempre me d quando preciso,

agradeo tambm as conversas que trocamos constantemente as quais eu sempre aprendo

coisas novas.

Ao meu irmo Claudio por ser uma pessoa que de forma indireta tem me ajudado

tambm e que tenho certeza que sempre me ajudara.

A minha irm Camila por ser minha irm a qual gosto muito e tenho um imenso carinho,

a qual uma pessoa que eu aprendi coisas importantes e boas.

Ao meu primo Antonio Erick por ser quase um irmo na minha vida, por ter tambm

caminhado comigo e me ensinado varias coisas as quais no cabem em pequenas linhas e por

defender minha razo de ser e pelo que virei a me tornar um dia.

Agradeo tambm ao meu professor Eduardo Narihisa por ter me dado fora e por me

fazer acreditar em coisas positivas nos momentos em que eu no acreditava mais e tambm

por acreditar em meus objetivos. A ele que eu considero mais que um simples amigo,

considero mais que algum que me mostrou a razo pela qual devemos ser sempre esforados



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em nossas conquistas, e devemos ter simplicidade e humildade. Ao professor Eduardo que no

momento ao qual ningum me orientou ele me deu a direo que permite a mim hoje escrever

este agradecimento.

Ao meu professor Emerson Takase, por ter me mostrado a importncia da integridade e

da verdade na vida, bem como por ter mostrado alguns conceitos e filosofias que mudaram o

meu pensamento e minha forma de viver.

Aos meus amigos Joo Cairo e Cleber, por ser parte de minha histria de vida desde o

cursinho at os dias atuais e tambm por terem participado de diversas dificuldades juntos e

ainda assim sermos amigos mesmo diante de brigas e discusses. Agradeo tambm aos dois

por me ensinarem varias coisas.

Agradeo ainda ao meu amigo Ivanilton por ter sido em quase todas as ocasies a nica

pessoa que dizia que eu era contestvel, por dizer que nem sempre eu estava certo sobre

minhas opinies, eu agradeo por tudo que contribuiu para o meu desenvolvimento intelectual

e pessoal.

Agradeo ainda a Maria do Rosrio e meu amigo Laercio, por serem pessoas de bem e na

qual tem me dado ateno nos momentos de indignao, agradeo a ambos por sempre terem

me escutado em diversas ocasies.

Agradeo aos meus colegas de classe e aos colegas que tenho feito nesta jornada, de

forma que o aprendizado trocado foi algo que contribuiu de forma satisfatria para uma

analise mais detalhada da vida e das pessoas.

A TODOS os que eu disse e que eu mencionei ou aqueles que por algum motivo tenha

me esquecido eu quero desejar meu grande AGRADECIMENTO por tudo que teve ligao

com a minha vida.

Clecio Roberto Vieira da Silva.



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FINALIDADE

O objetivo deste trabalho elaborar recursos didticos e materiais instrucionais

destinados aos profissionais da rea de sade e reas de interface de modo a propiciar a

compreenso do principio bsico de funcionamento dos aparelhos de ressonncia magntica.

Alem de preencher uma lacuna na formao destes profissionais, os recursos

desenvolvidos podero ser utilizados por estudantes do curso de Fsica Mdica e/ou Engenharia

Biomdica da PUC/SP, contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande

relevncia e que compe a grade curricular destes cursos.

RESUMO

Em trs de julho de 1977, foi realizada pelo Dr. Raymond Damadian, um mdico e

cientista, e seus colegas Dr. Larry Minkoff e Dr. Michael Goldsmith a primeira varredura de

corpo humano atravs da ressonncia magntica. Foram necessrias quase cinco horas para

produzir uma imagem. E se compararmos com os padres atuais, as imagens eram bem

primrias, mas indubitavelmente esta data mudou radicalmente o cenrio da medicina em todo

o mundo. At 1982, havia poucos aparelhos de ressonncia magntica nos EUA. Hoje, h

milhares deles. Hoje podemos gerar em segundos as mesmas imagens que levavam horas

antigamente. No entanto, a tecnologia deste exame bastante complicada e nem todos a

compreendem bem. Os profissionais da rea de sade em geral aprendem alguns procedimentos

de rotina, mas no so capazes de responder questes simples como: O que acontece com o seu

corpo enquanto voc est na mquina? O que voc pode ver com ela e por que tem de ficar to

imvel durante o exame? objetivo deste trabalho elaborar recursos didticos e material

instrucional destinado a profissionais da rea de sade e reas de interface de modo a propiciar

a compreenso do principio bsico de funcionamento dos aparelhos de ressonncia magntica.

Alm de preencher uma lacuna na formao destes profissionais, os recursos desenvolvidos

podero ser utilizados por estudantes do curso de Fsica Mdia e/ou Engenharia Biomdica da

PUC/SP, contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevncia e que

compe a grade curricular destes cursos. Este texto ficar disponvel na web em blogs criados

para disciplinas destinadas ao ensino e aprendizagem de Fsica Medica da PUC/SP de modo

que sero disponibilizados hyperlinks para que o leitor possa interagir como diferentes mdias

possibilitando uma maior compreenso dos fenmenos aqui abordados.



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PALAVRAS-CHAVES

Ressonncia Magntica Magnton de Bohr

Spin Precesso de Larmor

S

Momento Angular Stern - Gerlach



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SUMRIO

FINALIDADE ........................................................................................................................................................ 3 RESUMO ............................................................................................................................................................... 3 PALAVRAS-CHAVES ......................................................................................................................................... 4 SUMRIO .............................................................................................................................................................. 5 LISTA DE ILUSTRAES ................................................................................................................................. 6 1. INTRODUO ............................................................................................................................................ 8

1.1. UM POUCO DA HISTRIA DA RESSONNCIA MAGNTICA. ...................................................................... 9 1.2. MODELOS ATMICOS: UMA REVISO. .................................................................................................... 11

1.2.1. Teoria Atmica, Esfera de Dalton. .............................................................................................. 11 1.2.2. Modelo de Joseph John Thomson................................................................................................ 12 1.2.3. Teoria do Ncleo Atmico de Rutherford.................................................................................... 12 1.2.4. Modelo Atmico de Rutherford Bohr. ...................................................................................... 13 1.2.5. Modelo Quntico, Nuvens Eletrnicas de Heisenberg e Outros. ................................................ 16

1.3. MOMENTO DE DIPOLO MAGNTICO. ....................................................................................................... 16 1.3.1. Momento De Dipolo Magntico e Magnton De Bohr. ............................................................... 16

1.4. PRECESSO E FREQUENCIA DE LARMOR. ............................................................................................... 21 1.5. MOMENTO ANGULAR ORBITAL. ............................................................................................................ 24

2. SPIN ............................................................................................................................................................ 30 2.1. MOMENTO MAGNTICO ORBITAL DE SPIN. ............................................................................................. 30 2.2. EXPERIMENTO DE STERN - GERLACH. ................................................................................................... 30 2.3. INTERAO SPIN ORBITA ................................................................................................................... 37 2.4. ENERGIA DE INTERAO SPIN ORBITA E MOMENTO ANGULAR TOTAL. ............................................... 37 2.5. EXPERIMENTO RESSONNCIA DE SPIN ELETRNICO ............................................................................. 39

2.5.1. Introduo. .................................................................................................................................. 39 2.5.2. Campo Magntico Gerado pelas Bobinas de Helmholtz Aplicado na Amostra. ......................... 43

2.6. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM LABORATRIO PARA A MONTAGEM EXPERIMENTAL. ....................... 44 2.6.1. Multmetro. .................................................................................................................................. 44 2.6.2. Osciloscpio Digital .................................................................................................................... 45 2.6.3. adaptador De Ressonancia Eletrnica. ....................................................................................... 46 2.6.4. Bobinas de Helmholtz. ................................................................................................................. 47 2.6.5. Suporte. ....................................................................................................................................... 47 2.6.6. Unidade De Prova. ...................................................................................................................... 49 2.6.7. Bobinas de Prova. ....................................................................................................................... 50 2.6.8. Amostra Utilizada........................................................................................................................ 51

2.7. MONTAGEM DO SISTEMA EXPERIMENTAL. ........................................................................................... 52 2.8. EXPLICAO DO CIRCUITO................................................................................................................... 54

3. ESPECIFICAES DA AMOSTRA ...................................................................................................... 57 3.1. PROPRIEDADES DA AMOSTRA E A RESSONANCIA .................................................................................. 57

4. RESULTADOS OBTIDOS ....................................................................................................................... 59 4.1. DETERMINAO DA CONSTANTE GIROMAGNTICA. ............................................................................ 59

5. RESSONNCIA MAGNTICA NUCLEAR. ......................................................................................... 62 5.1. INTRODUO RESSONNCIA MAGNTICA NUCLEAR. ........................................................................ 62 5.2. MOMENTO MAGNTICO ORBITAL DE SPIN. ............................................................................................. 64 5.3. RESSONANCIA MAGNETICA NUCLEAR ................................................................................................. 65

5.3.1. Tempo de Recuperao e Relaxamento. ...................................................................................... 71 6. CONCLUSO ............................................................................................................................................ 81 7. APNDICES .............................................................................................................................................. 83

1. VOXEL. .................................................................................................................................................. 83 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................................................... 86



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LISTA DE ILUSTRAES

Figuras:

Figura 1.1 - Emisso de energia por um eltron que retorna ao seu estado inicial ................................................ 15 Figura 1.2 - Simulador para verificar a induo magntica em uma espira. .......................................................... 17 Figura 1.3 - Eltron em torno do ncleo atmico. ................................................................................................. 18 Figura 1.4 - Diagrama vetorial para o clculo da freqncia de precesso ....................................................... 22 Figura 1.5 - Representao dos vetores momento angular para os estados possveis. ........................................... 28 Figura 1.6 - Representao esquemtica do momento angular e momento de dipolo magntico associado,

indicando o movimento de precesso do orbital. ......................................................................................... 29 Figura 2.1 - Aplicao de um campo magntico no homogneo a um dipolo. .................................................... 31 Figura 2.2 - Exemplo da montagem experimental de Stern Gerlach. ................................................................. 31 Figura 2.3 - Comportamento do dipolo dentro do campo magntico .................................................................... 32 Figura 2.4 - Desvios dos dipolos magnticos na presena do campo magntico................................................... 33 Figura 2.5 - Esquema da Ampola de Stern - Gerlach. ........................................................................................... 33 Figura 2.6 - Resultados obtidos para o Ltio e o Hidrognio ................................................................................. 34 Figura 2.7 - Orientao espacial para Ls. .............................................................................................................. 35 Figura 2.8 - Tela do simulador do experimento de Stern-Gerlach em que observa-se os desvios devido a

contribuio de spin ..................................................................................................................................... 36 Figura 2.9 - Vetores momento angular L, S e J. .................................................................................................... 38 Figura 2.10 - Diagramas vetoriais. ........................................................................................................................ 39 Figura 2.11 - Ausncia e presena do campo magntico e diferentes nveis de energia........................................ 40 Figura 2.12 - Arranjo bsico para a observao de spin eletrnico sobre uma amostra. ...................................... 41 Figura 2.13 - Traos no osciloscpio durante a ressonncia de uma amostra. ...................................................... 43 Figura 2.14 - Multmetro. ...................................................................................................................................... 45 Figura 2.15 - Osciloscpio Digital......................................................................................................................... 46 Figura 2.16 - Unidade Central ou de Controle do ESR. ........................................................................................ 46 Figura 2.17 - Bobinas de Helmholtz. ..................................................................................................................... 47 Figura 2.18 - Suporte feito para fixar as distancias entre as bobinas de Helmholtz. ............................................ 48 Figura 2.19 - Suporte fixando as bobinas. ............................................................................................................. 48 Figura 2.20 - Unidade de prova usada. .................................................................................................................. 49 Figura 2.21 - Posio da unidade de prova entre as bobinas. ................................................................................ 49 Figura 2.22 - Unidade de prova entre as bobinas vista de cima............................................................................. 50 Figura 2.23 - Bobinas de Prova usadas (13-30MHz e 30-75MHz)........................................................................ 51 Figura 2.24 - Amostra usada (DPPH). .................................................................................................................. 51 Figura 2.25 - Molcula de difenil-picra-hidrazil (DPPH). ..................................................................................... 52 Figura 2.26 - Montagem do experimento. ............................................................................................................. 53 Figura 2.27 - Sistema de montado conforme a montagem experimental. .............................................................. 53 Figura 2.28 - Circuito experimental....................................................................................................................... 54 Figura 2.29 - Senoide do campo magntico nas bobinas de Helmholtz mostrado na tela de um osciloscpio, a

linha reta representa a bobina de prova desprovida de intensidade de corrente. .......................................... 55 Figura 2.30 - Estados de ressonncia da amostra vista na tela do Osciloscpio. ................................................... 56 Figura 3.1 - Reao genrica entre o radical livre DPPH e um antioxidante. ........................................................ 57 Figura 4.1 - Representao dos valores experimentais encontrados. ..................................................................... 60 Figura 4.2 - Grfico obtido com os dados experimentais, representao do coeficiente angular gs. ..................... 61 Figura 5.1 - Exemplo tridimensional da obteno da IRM atravs da RMN. ........................................................ 63 Figura 5.2 - Obteno de uma imagem do crebro atravs da RMN. .................................................................... 63 Figura 5.3 - Dipolo Magntico Nuclear Fictcio.................................................................................................... 65 Figura 5.4 - Spins na ausncia e na presena de um campo magntico. ................................................................ 66 Figura 5.5 - Alinhamento paralelo e antiparalelo dos prtons de hidrognio. ....................................................... 67 Figura 5.6 - Direita: spins alinhados paralelamente e antiparalelamente ao campo magntico externo e vetor

resultante. ..................................................................................................................................................... 68 Figura 5.7 - Coordenadas tridimensionais x, y e z................................................................................................. 68 Figura 5.8 - Vetor magnetizao M perpendicular a magnetizao M devido ao campo B longitudinal. ............. 70 Figura 5.9 - Contraste em DP. ............................................................................................................................... 71 Figura 5.10 - Amplitude do sinal induzido diminuindo com o tempo (tempo de relaxamento T2). ...................... 72



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Figura 5.11 - A medida que perdemos a componente transversal da magnetizao, retomamos a magnetizao

longitudinal devido ao campo B0. ................................................................................................................ 72 Figura 5.12 - Representao grfica do tempo de recuperao e de relaxamento ................................................. 73 Figura 5.13. Sinal ponderado em T1, onde tecidos com T1 curto examinado com um tempo de repetio (TR)

longo. ........................................................................................................................................................... 74 Figura 5.14: Imagem RM ponderada de T2 ........................................................................................................... 75 Figura 5.15- Contraste em diferentes tecidos. ....................................................................................................... 76 Figura 5.16: imagens ponderadas em T2 e T1 e DP comparativamente ................................................................ 80 Figura 5.15 - Simulador sobre RMN disponvel em http://phet.colorado.edu/sims/mri/mri_pt.jnlp ..................... 80 Figura 7.1 - Representao de um voxel a esquerda a superposio a formao da imagem . .............................. 83



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1. INTRODUO

A imagem por ressonncia magntica (IRM) hoje um mtodo de diagnstico por

imagem estabelecido na prtica clnica e em crescente desenvolvimento.

Dada a alta capacidade de diferenciar tecidos, o espectro de aplicaes se estende a

todas as partes do corpo humano e explora aspectos anatmicos e funcionais.

A fsica da ressonncia magntica nuclear (RMN), aplicada formao de imagens,

muito complexa e abrangente, uma vez que tpicos como eletromagnetismo, supercon-

dutividade e processamento de sinais devem ser abordados em conjunto para o entendimento

desse mtodo.

Este trabalho tem por objetivo explorar de forma introdutria e simplificada a

compreenso da fsica da imagem por ressonncia magntica e demonstrar os mecanismos e

aplicaes da RMN servindo como texto de apoio para o aprofundamento do assunto atravs

deste trabalho [Mazzola, 2009]

Portanto objetivo deste trabalho elaborar recursos didticos e materiais instrucionais

destinados a profissionais da rea de sade e reas de interface de modo a propiciar a

compreenso do principio bsico de funcionamento dos aparelhos de ressonncia magntica.

Alem de preencher uma lacuna na formao destes profissionais, os recursos

desenvolvidos podero ser utilizados por estudantes do curso de Fsica Mdica e/ou

Engenharia Biomdica da PUC/SP, e tambm de outras instituies de ensino contribuindo

para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevncia e que compe a grade

curricular de diversos cursos.

importante salientar que diferentemente das monografias tradicionais, este texto

contar com hyperlinks, tendo em vista que ficar disponvel para o publico em geral em

blogs das disciplinas de Fsica Medica da PUC/SP.

Sabemos que atualmente em diversos ramos da medicina e da fsica mdica um dos

equipamentos mais usado est ligado Ressonncia Magntica Nuclear (RMN) e apesar do

grande uso e disseminao desta tecnologia poucos so os profissionais da rea da sade que

compreendem o seu principio bsico de funcionamento.

De outro lado as pessoas que utilizam atualmente a ressonncia magntica como

exames tambm desconhecem como se d a formao de imagem e qual o tipo de interao

que est ocorrendo com o seu corpo no momento da captura de imagens. Isso nos remete ao



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final do sculo XIX descoberta dos Raios X, quando a medicina comeou a utiliz-los para

diagnosticar e tratar os seus pacientes.

Naquela poca, diferentemente dos tempos atuais, pouco se sabia de fato sobre as

propriedades daquele feixe e o desconhecimento era no apenas da populao como tambm

da comunidade cientifica que buscava identificar suas propriedades.

A histria da espectroscopia da Ressonncia magntica nuclear (RMN) contribuiu de

modo significativo com o desenvolvimento de um conjunto de teorias na fsica que tiveram

aplicaes em diversas reas.

Na eletricidade, temos o desenvolvimento de leis da eletricidade que nos fazem

compreender como fenmenos eltricos se comportam em determinados sistemas fsicos. A

compreenso destas leis foi essencial para o desenvolvimento de teorias que nos tornou

possvel o entendimento de como se comporta a matria em diferentes estados.

Associado ao desenvolvimento do campo eltrico, temos tambm o surgimento das

equaes de Maxwell que tiveram grande aplicaes no estudo dos campos magnticos de

diferentes materiais, tornando possvel a compreenso do surgimento de diferentes campos

magnticos presentes na matria.

Por outro lado o desenvolvimento da mecnica quntica nos propiciou uma maior

compreenso dos tomos e de seus ncleos tais como a contribuio magntica atribuda a

eles e que sero tratados conceitualmente ao longo deste trabalho

1.1. UM POUCO DA HISTRIA DA RESSONNCIA MAGNTICA.

J no inicio do Sculo XX, por volta de 1920, Otton Stern e Walther Gerlach

planejaram um experimento para determinar se partculas tem algum momento angular

intrnseco. O experimento procurou determinar se partculas individuais tem algum momento

angular de spin quando um feixe de tomos sujeito a um campo magntico no homogneo

desviado em conformidade com a orientao dos momentos magnticos presentes em

determinados tomos.

Porm por volta de 1930 com o aperfeioamento dessa experincia foi possvel a

determinao de momentos magnticos nucleares.

Anos posteriores ao aperfeioamento deste experimento, no seguimento destas

experincias, por volta de 1939, Rabi e outros pesquisadores submeteram experincia de

Stern-Gerlach um feixe de molculas de hidrognio, primeiro a um campo magntico no-



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homogneo e verificaram que, que essas molculas apresentavam dois tipos de desvios e que

caracterizam a existncia de duas orientaes para o momento de dipolo magntico, resultado

este incompatvel com o esperado para elementos que apresentam um eltron apenas no termo

s de energia.

O resultado deste experimento seria, na verdade, a primeira prova observada da

existncia do spin e a consequente existncia de um momento de dipolo magntico intrnseco

para o eltron, fator este que justifica a existncia do fenmeno de ressonncia magntica,

como veremos adiante.

Em 1945-46 Bloch da universidade de Stanford, e Purcell e colaboradores, na

Universidade de Harvard, procurando medir momentos magnticos nucleares com uma

melhor preciso, observaram sinais de absoro da radiofrequncia por parte da gua e da

parafina esse estudo foi essencial para detectarem a presena da ressonncia magntica

nuclear em amostras liquidas e slidas.

O fenmeno de ressonncia magntica viria a interessar varias reas nos anos

posteriores principalmente na rea da Qumica e Bioqumica, pois suas aplicaes eram

importantes no estudo da espectroscopia de molculas e tomos.

Pouco tempo depois de comprovada a deteco da presena da ressonncia magntica

nuclear em amostras liquida e slidas, em 1953 era produzido e colocado no mercado o

primeiro espectrmetro RMN, permitindo uma elevada resoluo e aprecivel sensibilidade,

devido a estudos e comprovao da deteco de molculas de diferentes compostos mostrados

pela ressonncia magntica nuclear.

Desde o desenvolvimento do primeiro equipamento de RMN desenvolveram-se uma

quantidade elevada de aplicaes de seus fundamentos tericos e prticos na qumica e na

bioqumica.

Um grande salto qualitativo muito importante ocorreu em 1970 com a introduo de

tcnicas de impulsos de radiofrequncias, ou seja, do campo magntico aplicado amostra,

aliadas a tcnicas de anlise matemtica baseadas nas transformaes de Fourier, realizadas

por computador, daqui podemos ento perceber a origem de algo que na dcada atual foi um

grande desenvolvimento para os equipamentos usados e construdos atualmente.

A introduo da analise matemtica a fenmenos de ressonncia magntica nuclear viria

a permitir estudar amostras muito mais diludas e a tornar muito mais acessvel a utilizao de

diferentes ncleos como sondas magnticas em RMN, e permitiria uma enorme variedade de

novas tcnicas.



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A seguir faremos um breve resumo sobre a evoluo dos modelos atmicos at a

concepo da mecnica quntica que culminar na compreenso do spin e do momento de

dipolo magntico atmico, necessrio para a compreenso da formao de imagens nos

aparelhos de RMN.

1.2. MODELOS ATMICOS: UMA REVISO.

Para compreendermos os princpios bsicos que norteiam o fenmeno de ressonncia

magntica necessitamos ter clareza do modelo atmico e particularmente a contribuio

magntica a ele associada. Faremos neste item uma reviso geral acerca dos diferentes

modelos atmicos em uma rpida retrospectiva histrica.

1.2.1. TEORIA ATMICA, ESFERA DE DALTON.

Por volta de 1803, John Dalton publicou no seu trabalho Absoro de gases pela gua

e outros lquidos, os principais conceitos do seu modelo do seu modelo atmico.

De acordo com Dalton:

A matria formada por partculas muito pequenas designadas tomos.

tomos de um mesmo elemento possuem propriedades iguais.

tomos de elementos diferentes possuem propriedades diferentes.

Os tomos so indivisveis e indestrutveis.

Os tomos de diferentes elementos combinam-se entre si formando

compostos.

Essas so as principais caractersticas descritas por Dalton.

Em 1808, props a teoria do modelo atmico, onde de acordo com sua teoria o tomo

uma minscula esfera macia, impenetrvel, indestrutvel e indivisvel onde todos os

tomos de um mesmo elemento qumico so idnticos.

Para Dalton o tomo era um sistema contnuo. Apesar de um modelo simples, Dalton

deu um grande passo na elaborao de um modelo atmico, pois foi o que instigou na busca

por algumas respostas e proposio de futuros modelos.



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1.2.2. MODELO DE JOSEPH JOHN THOMSON.

Anos posteriores surgiria outro modelo que iria mostrar algumas caractersticas que o

tomo de Dalton no descrevia de forma aceitvel determinadas experincias desenvolvidas

depois de sua publicao.

O modelo atmico de J.J. Thomson foi uma teoria sobre a estrutura atmica,

descobridor da existncia de eltrons antes mesmo da descoberta dos prtons e nutrons.

Neste modelo, o tomo composto de eltrons embebidos numa sopa de carga positiva.

No seu estudo sobre o tomo creditava-se que os eltrons distribuam-se

uniformemente no tomo. Postulava-se que o tomo era constitudo de uma massa positiva

que concentrava praticamente toda a massa do tomo e distribudo uniformemente nesta

massa se encontravam os eltrons, tal como as ameixas em um pudim.

Seu modelo foi superado aps a experincia de Rutherford, quando foi descoberto o

ncleo do tomo, originando um novo modelo atmico conhecido como modelo atmico de

Rutherford.

1.2.3. TEORIA DO NCLEO ATMICO DE RUTHERFORD.

As bases para o desenvolvimento da fsica nuclear foram lanadas por Ernest

Rutherford ao desenvolver a sua teoria sobre a estrutura atmica em 1908. Rutherford

estudou por trs anos o comportamento dos feixes de partculas ou raios X, alm da emisso

de radioatividade pelo elemento Urnio.

Uma das inmeras experincias realizadas foi a que demonstrava o espalhamento das

partculas alfa.

Realizando experincias bombardeando lminas de ouro com partculas alfa (partculas

de carga positiva, liberadas por elementos radioativos), Rutherford fez uma importante

constatao da qual percebeu que a grande maioria das partculas que atravessava diretamente

a lmina de ouro, algumas sofriam pequenos desvios e outras em nmero muito pequeno,

sofriam grandes desvios, incluindo desvios em 180 graus

A partir das observaes, Rutherford chegou s seguintes concluses:

No tomo existem espaos vazios; a maioria das partculas o atravessava sem

sofrer nenhum desvio.



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No centro do tomo existe um ncleo muito pequeno e denso onde algumas

partculas alfa que colidiam com esse ncleo voltavam, sem atravessar a lmina.

O ncleo tem carga eltrica positiva; as partculas alfa que passavam perto dele

eram repelidas e sofriam desvio em sua trajetria.

De acordo com o modelo atmico de Rutherford, o tomo constitudo por um ncleo

central que concentra praticamente toda a massa do tomo, dotado de cargas eltricas

positivas (prtons), envolvidas por uma nuvem de cargas eltricas negativas (eltrons).

Esta foi a base experimental do modelo atmico chamado modelo nuclear onde

eltrons orbitavam em torno de um ncleo. De acordo com os resultados experimentais, o

raio deste ncleo deveria ser cerca de 10000 vezes menor que o raio atmico.

Portanto o modelo atmico de Rutherford ficou conhecido como modelo planetrio,

pela sua semelhana com a formao do Sistema Solar.

Este modelo foi estudado e aperfeioado depois por Niels Bohr, que acabou

demonstrando a natureza das partculas alfa como ncleos de hlio.

1.2.4. MODELO ATMICO DE RUTHERFORD BOHR.

A teoria orbital de Rutherford encontrou uma dificuldade terica resolvida por Niels

Bohr.

No momento em que temos uma carga eltrica negativa composta pelos eltrons

girando ao redor de um ncleo de carga positiva, este movimento gera uma perda de energia

devido emisso de radiao constante como considerado na teoria do eletromagnetismo.

Num dado momento, os eltrons vo se aproximar do ncleo num movimento em

espiral at que colidiro com o ncleo.

No ano de 1911, Niels Bohr publicou uma tese que demonstrava o comportamento

eletrnico dos metais. Na mesma poca, foi trabalhar com Ernest Rutherford em

Manchester, Inglaterra. L obteve os dados precisos do modelo atmico, que iriam lhe

ajudar posteriormente.

Em 1913, observando as dificuldades do modelo de Rutherford, Bohr intensificou suas

pesquisas visando uma soluo terica.



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E em 1916, Bohr retornou para Copenhague para atuar como professor de fsica,

continuando suas pesquisas sobre o modelo atmico de Rutherford.

Em 1920, nomeado diretor do Instituto de Fsica Terica, Bohr acabou desenvolvendo

um modelo atmico que unificava a teoria atmica de Rutherford e a teoria da mecnica

quntica de Max Planck.

Sua teoria consistia que ao girar em torno de um ncleo central, os eltrons deveriam

girar em rbitas especficas com nveis energticos bem definidos. Que poderia haver a

emisso ou absoro de pacotes discretos de energia chamados de quanta ao mudar de uma

rbita para a outra.

Realizando estudos nos elementos qumicos com mais de dois eltrons, concluiu que

se tratava de uma organizao bem definida em camadas. Descobriu ainda que as

propriedades qumicas dos elementos eram determinadas pela camada mais externa.

Bohr props o seguinte modelo:

No tomo, entre duas rbitas ao qual o eltron mantm seu movimento translacional,

temos as zonas proibidas de energia, pois s permitido que o eltron esteja em uma das

rbitas. Ao receber uma quantidade de energia eletromagntica, o eltron salta de uma rbita

para a outra, mas no num movimento contnuo, passando pela rea entre as rbitas (da o

nome zona proibida). Se um pacote com energia insuficiente para mandar o eltron para

rbitas superiores encontrar o eltron no seu caminho, nada ocorre.

Fornecemos abaixo alguns links para documentrios disponveis na web permitem

compreender a evoluo da Fsica no inicio do sculo XX:

http://fambpucsp.blogspot.com/2010/02/modelo-de-bohr-um-pouco-de-

historia.html

http://fisicaengdeprodpucsp.blogspot.com/2010/03/modelo-de-bohr-

documentario-da-bbc.html

Mas se esse mesmo pacote de energia tiver a energia exata para que o eltron salte para

rbitas superiores, ele certamente o far, depois, devolvendo a energia absorvida em forma de

ondas eletromagnticas ao retornar para a sua orbita inicial.

Os n na figura abaixo representam os diferentes nveis de energia para um tomo de

hidrognio. Quando o eltron retorna ao seu estado inicial ocorre a emisso de energia como

mostra, Z representa o numero atmico e e a carga do eltron.



15/86

Figura 1.1 - Emisso de energia por um eltron que retorna ao seu estado inicial

http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_atom, acesso em 01/10/2010.

Existem na web uma serie de aplicativos em que podemos interagir com os diferentes

modelos atmicos e particularmente para o modelo Bohr podemos verificar; a energia de

emisso em transies entre os nveis, a relao entre os raios das diferentes orbitas bem

como suas velocidades:

Selecionamos a seguir dois links para simuladores em que estas constataes podem

ser realizadas:

http://fambpucsp.blogspot.com/2010/02/modelo-de-bohr.html. Neste

simulador voc poder verificar a energia absorvida pelo tomo e bem como a

energia envolvida nas transies de diferentes nveis. Um espectrofotmetro

pode ser acionado para a observao da linha emitida e sua associao a

transio. Outra opo interessante neste aplicativo, a seleo dos diferentes

modelos atmicos.

http://fisicamodernaexperimental.blogspot.com/2009/07/modelo-de-bohr-

compare-as-velocidades.html Neste applet voc pode verificar

comparativamente as velocidades que o eltron apresenta em cada uma das

orbitas, a sua energia de ligao e a relao entre os diferentes raios das orbitas

circulares permitidas.



16/86

1.2.5. MODELO QUNTICO, NUVENS ELETRNICAS DE HEISENBERG E OUTROS.

Erwin Schrdinger, Louis Victor de Broglie e Werner Heisenberg, reunindo os

conhecimentos de seus predecessores e contemporneos, acabaram por desenvolver uma nova

teoria do modelo atmico, alm de postular uma nova viso, chamada de mecnica

ondulatria.

Fundamentada na hiptese proposta por Broglie onde todo corpsculo atmico pode

comportar-se como onda e como partcula, Heisenberg, em 1925, postulou o princpio da

incerteza.

A idia de rbita eletrnica acabou por ficar desconexa, sendo substituda pelo conceito

de probabilidade de se encontrar num instante qualquer um dado eltron numa determinada

regio do espao.

O tomo deixou de ser indivisvel como acreditavam filsofos gregos antigos e Dalton,

portanto, o modelo atmico passou a se constituir na verdade, de uma estrutura complexa.

Todos estes modelos foram precursores do atual modelo atmico, cujas rbitas bem

definidas dos eltrons foram substitudas por zonas de probabilidade eletrnica.

1.3. MOMENTO DE DIPOLO MAGNTICO.

Em seguida faremos um tratamento semi-clssico para compreender a contribuio

magntica atmica. Trata-se de uma simplificao que estabelece uma combinao entre leis

do eletromagnetismo clssico com as orbitas de Bohr, adotada em geral nos livros didticos e

que possibilita compreender as caractersticas magnticas atmicas.

1.3.1. MOMENTO DE DIPOLO MAGNTICO E MAGNTON DE BOHR.

A princpio podemos iniciar esse estudo da seguinte forma:

Considere um eltron girando ao redor de um ncleo atmico de um nico prton em

uma orbita circular de raio r. Uma analogia clssica desta situao seria uma espira

percorrida por uma corrente eltrica i .

O simulador representado na figura seguinte permite verificar as linhas de campo

magntico induzido por uma espira percorrida por corrente. Voc pode variar o numero de



17/86

espiras a tenso aplicada a elas e pode medir a intensidade do campo magntico para cada

ponto. O link para acessar este simulador http://labempucsp.blogspot.com/2010/10/este-

simulador-permite-verificar-leis.html

Figura 1.2 - Simulador para verificar a induo magntica em uma espira.

Como no caso em questo estamos analisando a corrente eltrica distribuda apenas em

torno de um ncleo atmico teremos que

dt

dqi

(1.3.1)

Ou seja

T

ei

(1.3.2)

Sendo T o perodo descrito pelo eltron em torno do tomo, cuja carga eltrica em

mdulo vale e, portanto sendo a velocidade dada por T

rv

2 teremos que o perodo para uma

volta completa dado por:

v

rT

2 (1.3.3)



18/86

Onde r corresponde ao raio da trajetria descrita pelo eltron .

Portanto considerando um eltron de massa m e carga e, movendo-se com velocidade de

mdulo v numa rbita circular de Bohr de raio r, como mostra a Figura 1.3, a carga que

circula em uma rbita constitui uma corrente de intensidade i como foi dito anteriormente.

Figura 1.3 - Eltron em torno do ncleo atmico.

A figura mostra o eltron em torno do ncleo atmico, o movimento de rotao faz surgir o

que alguns fsicos chamam de dipolo magntico fictcio

Teremos que a corrente

r

ev

T

ei

2 (1.3.4)

Na teoria eletromagntica elementar mostra-se que uma corrente eltrica pode produzir

um campo magntico equivalente a grandes distncias da rbita ao qual essa corrente se

desloca, portanto, surge um dipolo magntico localizado em seu centro e orientado

perpendicularmente a seu plano como mostra a Figura 1.3.

Para uma corrente i numa orbita de rea A o modulo do momento de dipolo magntico

orbital l do dipolo equivalente dado por



19/86

iAl (1.3.5)

A direo do momento de dipolo magntico perpendicular ao plano da orbita, no

sentido indicado pela Figura 1.3.

A figura tambm mostra os dois polos fictcios de um dipolo que produziria um campo

magntico idntico ao real mesmo longe da orbita.

A grandeza l especifica a intensidade do dipolo magntico e igual ao produto da

intensidade dos polos pela distncia que os separa. Assim teremos:

22

2 evrrr

eviAl

(1.3.6)

Sendo rv teremos

2

2

1rel (1.3.7)

O momento angular orbital para um tomo de hidrognio dado por:

2rmvrmL ee (1.3.8)

Onde em a massa do eltron que gira em torno do ncleo.

Tirando o valor de em 2rmL e e substituindo em 2

2

1rel , obtemos o

momento magntico em termos do momento angular:

Lm

e

e

l2

(1.3.9)

Podemos observar ento que a razo e

l

m

e

L 2

uma combinao das constantes

universais, da massa do eltron me e a carga do eltron e.



20/86

Escrevendo na forma vetorial, temos:

Lm

e

el

2 (1.3.10)

Com isso vemos que a unidade do momento magntico dos tomos tirada da antiga

teoria de Bohr e corresponde ao momento angular de um eltron na primeira rbita de Bohr,

do tomo de hidrognio ao qual no diz que;

nL (1.3.11)

Sendo n=1, teremos:

2

hL (1.3.12)

Este eltron ento produz um momento magntico, o Magnton de Bohr, que definido

em termos das constantes caractersticas do eltron:

223 /10927,02

mampxm

e

e

B

(1.3.13)

B

em

e

2

(1.3.14)

Normalmente os momentos magnticos dos eltrons so dados em unidades de B .

Assim teremos,

Lg Bl

l

(1.3.15)

como uma equao vetorial que no s especifica o mdulo de l

como tambm sua

orientao em ralao L

.



21/86

Devemos notar aqui que a razo entre o modulo l do momento de dipolo magntico

orbital e o mdulo L do momento angular orbital do eltron uma combinao de constantes

universais

A grandeza B , chamada de magnton de Bohr, constitui uma unidade natural de

medida do momento de dipolo magntico atmico. A grandeza lg denominada fator g

orbital e introduzida na equao anterior de forma redundante como adotada por uma

grande quantidade de livros e experincias, sua importncia ser mostrada posteriormente.

Aplicando-se um campo magntico B externo ao tomo o dipolo magntico ficar

sujeito a um torque que tender a alinhar o dipolo com o campo e que associado ao torque h

uma energia potencial de orientao

Bl

(1.3.16)

sendo assim

BE lmagntica

(1.3.17)

Como o campo magntico B

pode possuir angulaes diferentes quando o campo B

aplicado conveniente escrever conforme a definio

cosBEmagntica (1.3.18)

1.4. PRECESSO E FREQUENCIA DE LARMOR.

Como havamos comentado anteriormente. Quando o momento magntico orbital B

se encontra num campo magntico uniforme B

, o momento magntico B

fica sujeito a um

torque que tende a alinhar paralelamente o momento magntico B

com o campo magntico

B

e que tem como objetivo ficar numa configurao de mnima energia como mostra a

equao cosBEmagntica .



22/86

Sabendo isso podemos definir a precesso e a frequncia de Larmor que ser importante

em nosso estudo.

Da definio de torque temos que:

dt

Ld

(1.4.1)

Acontece que no caso do eltron que gira em rbita em torno do ncleo, o momento

magntico proporcional ao momento angular, e o torque vai produzir uma variao do

momento angular, que perpendicular a ele, ou seja, o momento angular tem a mesma

direo que Ld

, fazendo ento com que o eltron se comporte mecanicamente como um

giroscpio atmico, e sofra precesso em torno da direo do campo.

Teremos de acordo com a Figura 1.4 que a frequncia angular de precesso do eltron

em rbita, denominada frequncia de Larmor, dado por dt

d .

Figura 1.4 - Diagrama vetorial para o clculo da freqncia de precesso



23/86

Sendo

Lsen

dLdt

(1.4.2)

Logo

Lsen

dt

dL

(1.4.3)

Lsen

(1.4.4)

Lsen

Bsenl

(1.4.5)

Mas

BllBll

g

LL

g

(1.4.6)

Ento

BlgB

(1.4.7)

A equao escrita anteriormente foi obtida atravs de um tratamento clssico.

Porm se fizermos um tratamento quntico chegaremos aos mesmos resultados, isto ,

os valores esperados das componentes perpendiculares ao campo magntico de um momento

de dipolo magntico quntico variam de forma cclica no tempo.

B

(1.4.8)

Onde

Blg (1.4.9)

A varivel chama-se razo giromagntico escrevendo na forma vetorial.



24/86

Alm do valor de a varivel indica que o sentido da precesso o sentido de B

.

Este fenmeno conhecido como precesso de Larmor e a frequncia de Larmor na qual

a frequncia de independente do ngulo .

1.5. MOMENTO ANGULAR ORBITAL.

muito importante que seja compreendido tambm o conceito de momento angular

como foi apresentado em algumas formula anteriores em que )1( llL

Sendo

)1( llL (1.5.1)

O momento angular de uma partcula, em relao origem de um dado sistema de

coordenadas, a grandeza vetorial L

definida pela equao

prL

(1.5.2)

Na qual r

o vetor posio da partcula e p

o vetor momento linear da partcula,

calculando as componentes do vetor em coordenadas retangulares, vemos que as trs

componentes retangulares de L

so

yzx zpypL

(1.5.3)

zxy xpzpL

(1.5.4)

xyz ypxpL (1.5.5)

onde x, y e z so as componentes de r

e zyx ppp e , so as componentes de p

.

A fim de estudar as grandezas dinmicas do momento angular em mecnica quntica,

construmos os operadores associados.

yz

izyiLx

(1.5.6)



25/86

zx

ixziLy

(1.5.7)

xy

iyxiLz

(1.5.8)

Como temos que utilizar de coordenadas esfricas, essas expresses ficam

coscotsin giLx

(1.5.9)

sincotcos giLy

(1.5.10)

iLz (1.5.11)

Como o quadrado do mdulo do vetor momento angular L

definido como

2222

zyx LLLL (1.5.12)

O operador associado em coordenadas esfricas :

(1.5.13)

sin

sin

1

sin

12

2

2

22 L



26/86

O primeiro passo na deduo das equaes do momento angular consiste em usar os

operadores para calcular os valores esperados da componente L

e o quadrado de seu mdulo,

para um eltron no estado quntico ml de um tomo de um eltron apenas.

Segundo a extenso tridimensional em mecnica quntica, o valor esperado de L

em

coordenadas esfricas e analisadas quanticamente por um operado quntico dado por

2

0

2

00

sin ddrdrLL (1.5.14)

Sabemos que em mecnica quntica representa o conjugado de reduzindo a

expresso em um termo geral encontramos que ddrdrda sin2 em uma representao

mais simplificada e

2

000

o que corresponde ao intervalo total em coordenadas esfricas

de uma partcula que se movimenta em torno de um ncleo.

Disso obtemos que

daLL )(

(1.5.15)

ento

daLL )(

(1.5.16)

sendo

lmL (1.5.17)

teremos

damL l )(

(1.5.18)

forma mais simplificada

lmL



27/86

como foi aplicado anteriormente.

Com isso teremos ento que

daLL )( 22

(1.5.19)

logo

22 )1( llL

(1.5.20)

Essas relaes nos mostram que qualquer medida do momento angular de um eltron no

estado atmico dar lm sempre lmL e )1( llL .

O fato de lnlm

1, no descrever um estado com componentes x e y do momento angular

orbital definidas do ponto de vista da mecnica clssica, misterioso. Segundo a lei de

conservao do momento angular em mecnica clssica, o vetor momento angular orbital de

um eltron que se move sob a influncia de um potencial rV esfericamente simtrico de um

tomo de um eltron, num espao livre, estar totalmente fixo, em direo e mdulo, e todas

as componentes do vetor tero valores definidos.

O fato desse resultado no ser vlido na mecnica quntica uma consequncia de um

princpio de incerteza que impe no ser possvel conhecer com preciso total,

simultaneamente, duas componentes do momento angular. Como a componente z do

momento angular orbital tem o valor preciso m , a relao de incerteza exige que os valores

das componentes x e y sejam indefinidos.

Verifica-se que 0 yx LL . Assim, a orientao do vetor momento angular orbital

de um eltron, que se move num potencial esfericamente simtrico, pode ser imaginada como

variando sempre de forma a que suas componentes x e y flutuem em torno de um valor mdio

nulo, enquanto sua componente z e seu mdulo permanecem fixos. Esse resultado pode ser

chamado de lei de conservao do momento angular orbital da mecnica quntica.

1 Uma abordagem mais completa os estados qunticos no so apenas definidos por ml, mas sim por n, l e ml



28/86

Muitas das propriedades do momento angular orbital em mecnica quntica podem ser

representadas por esse modelo vetorial que nos facilita a compreenso como mostra a Figura

1.5.

Figura 1.5 - Representao dos vetores momento angular para os estados possveis.

A Figura 1.5 apresenta os diferentes estados possveis para modelo vetorial do momento

angular para l=2 e descreve os vetores momento angular para cada um dos cinco estados

correspondentes aos cinco valores possveis de m, para l=2. Se cada um dos estados xL e yL

flutuam em torno de seu valor mdio nulo, os vetores descrevem os estados de precesso em

superfcies cnicas em torno do eixo z, satisfazendo a lei da conservao do momento angular

da mecnica quntica.

O nmero quntico ml determina a orientao espacial do vetor momento angular orbital

do tomo de um eltron. Portanto ele determina a orientao espacial do prprio tomo. Como

o potencial Colombiano esfericamente simtrico implica que no existe nenhuma direo

privilegiada no espao no qual est situado o tomo, podemos entender porque a teoria prev

que a energia total no depende de ml, que determina sua orientao. E assim podemos

entender por que as funes prprias so degeneradas em relao ao nmero quntico ml. A

energia do tomo simplesmente no depende de sua orientao no espao vazio.

Portanto podemos concluir que as componentes do momento angular na direo z so

dadas por:

lmL , onde lml ...3,2,1,0



29/86

e

)1( llL

(1.5.21)

Essa interpretao fsica pode ser vista conforme a Erro! Fonte de referncia no

encontrada..

A Figura 1.6 no mostra a Quantizao direcional onde somente a projeo dos vetores

Figura 1.6 - Representao esquemtica do momento angular e momento de dipolo magntico associado,

indicando o movimento de precesso do orbital.

L

e l

sobre uma escolha de z pode ser observado. Na figura podemos verificar que a

direo z a direo de B

.

Desta forma enfatizamos que o momento angular orbital est associado ao nmero

quntico magntico a qual pode ter 2l+1 valores diferente.

A componente z do momento magntico l , quantizada de forma que

Lg Bl

z

(1.5.22)

l

Blz m

g

(1.5.23)

lBlz mg (1.5.24)



30/86

2. SPIN

Para uma descrio completa da contribuio magntica do tomo, resta-nos estudar a

contribuio do Spin. No ser possvel um tratamento totalmente quntico porque exigiria

um conhecimento mais aprofundado da teoria eletromagntica e deixaria este trabalho um

tanto quanto complexo, assim sendo utilizaremos uma combinao da teoria eletromagntica

clssica e a mecnica quntica, uma simplificao normalmente adotada no tratamento

didtico sobre este tema.

2.1. MOMENTO MAGNTICO ORBITAL DE SPIN.

As experincias que medem o momento angular orbital L

do eltron atmico no o

fazem diretamente, mas sim atravs da grandeza a ele relacionada, que o momento de dipolo

magntico orbital l

, que interage com o campo magntico aplicado ao tomo. Ao considerar

os resultados das medidas dos momentos de dipolo magntico atmicos, descobriremos um

fato muito importante: os eltrons tm um momento angular intrnseco chamado spin, e um

momento de dipolo magntico de spin a ele associado. De forma resumida, veremos neste

captulo o momento magntico l

associado ao momento angular orbital L

, o spin S

do

eltron, que est associado h um momento magntico s

, e a experincia de Stern e Gerlach.

2.2. EXPERIMENTO DE STERN - GERLACH.

Vamos considerar um campo magntico no homogneo conforme a figura abaixo: Se

lanarmos um dipolo magntico em um campo magntico no homogneo observaremos um

desvio decorrente da tendncia que este dipolo apresenta para tentar se alinhar com o

campo magntico presente como mostra a Figura 2.1.

Observando a figura abaixo:



31/86

Figura 2.1 - Aplicao de um campo magntico no homogneo a um dipolo.

Figura 2.2 - Exemplo da montagem experimental de Stern Gerlach.

Os dipolos esto sendo lanados a partir do forno com uma componente de velocidade v

em direo a tela.

Se efetuarmos um zoom na regio de deformao das linhas de campo, teremos esquematicamente que:



32/86

Figura 2.3 - Comportamento do dipolo dentro do campo magntico

Considerando que estes dipolos apresentam uma orientao definida em relao ao

campo externo, isso acarretar em um movimento de precesso.

Um movimento de precesso como foi dito anteriormente (Precesso e frequencia de

larmor.) consiste numa forma de movimento que ocorre quando se aplica a um corpo em

rotao, de tal modo que tende a mudar a direo do seu eixo de rotao. Isto acontece porque

a resultante da velocidade angular de rotao e o aumento da velocidade angular produzido

pelo momento, uma velocidade angular em torno de uma nova direo. Geralmente, esta faz

variar o eixo do momento aplicado e tem como resultado manter a rotao em torno do eixo

inicial. No entanto nestes dipolos ao mesmo tempo surge uma fora de translao desviando-

os conforme suas orientaes:



33/86

Figura 2.4 - Desvios dos dipolos magnticos na presena do campo magntico.

Teremos duas situaes diferentes com orientaes up e down (cima e para baixo).

Aqueles que tem o seu momento de dipolo com alinhamento para cima segundo o eixo

de aplicao do campo sero desviados para baixo e aqueles que apresentarem orientao

oposta ao anterior desviaro para cima.

Este experimento foi realizado com diferentes tomos e mostraremos aqui os resultados

obtidos com tomos de Ltio e Hidrognio. Ambos com um eltron no termo s de energia e

com 0l . Portanto no existindo uma orientao definida para os orbitais s, ou seja, 0lm .

Esperava-se obter, portanto, uma mancha se definio especfica na tela, j que 0lm2

Figura 2.5 - Esquema da Ampola de Stern - Gerlach.

2 Aqui caberia uma pergunta que facilita a compreenso desta ausncia de orientao. Para l= 0 o orbital assume

a forma geomtrica de uma esfera. possvel orientarmos uma esfera no espao?



34/86

Os resultados obtidos no experimento de Stern-Gerlach podem ser vistos na Figura 2.6,

indicando os dois traos para tomos de Ltio e Hidrognio, apesar de apresentar um valor

nulo para o momento angular e numero quntico magntico igual a zero.

Resultados obtidos:

Figura 2.6 - Resultados obtidos para o Ltio e o Hidrognio

Observe que existem duas faixas para cada um destes tomos e isto bem mais ntido

para o Ltio. Mas se 0l para estes tomos como podemos justificar estes dois desvios?

A explicao que, deveria existir alguma outra contribuio magntica para o tomo.

Esta contribuio magntica aquela oferecida pelo momento angular de rotao do eltron

ao redor de seu prprio eixo que foi chamado de spin.

No orbital s podemos ter dois eltrons, s que cada um deles pode girar em torno de seu

prprio eixo em sentidos opostos.

Teremos um momento angular de spin dado por:

)1( ssLs

(2.2.1)



35/86

S o nmero quntico do momento angular de spin e s pode assumir o valor 1/2.

Assim o nico valor possvel para LS ser:

(2.2.2)

J para a orientao espacial poderemos ter com relao ao eixo z as orientaes que

correspondem aos vetores:

Ss mL (2.2.3)

2

1SzL

(2.2.4)

Quando 2/1Sm temos Spin-up, para 2/1Sm teremos Spin-down.

Figura 2.7 - Orientao espacial para Ls.

Do mesmo modo que o momento angular orbital o momento angular de spin est

relacionado com o momento magntico de spin pela relao?

sBs

s Lg

(2.2.5)

Onde gs representa a razo giromagntica do spin ou fato g de spin



36/86

zsBs

zsL

g

(2.2.6)

s

Bs

zsm

g

(2.2.7)

sBszs mg (2.2.8)

Os resultados obtidos atravs do experimento de Stern Gerlach nos fornecem?

1ss mg (2.2.9)

Como 2/1Sm teremos?

2sg (2.2.10)

Experimentos mais precisos nos mostram que 6220023193043,2sg3, referncia no

site do NIST (National Institute of Standards and Technology)

Para complementar os estudos propomos o simulador do experimento de Stern-Gerlach

disponvel no link: http://phet.colorado.edu/sims/stern-gerlach/stern-gerlach_en.html

Figura 2.8 - Tela do simulador do experimento de Stern-Gerlach em que observa-se os desvios devido a

contribuio de spin

3 Referncia obtida em http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem|search_for=atomnuc! :NIST (National

Institute of Standards and Technology).



37/86

2.3. INTERAO SPIN ORBITA

Embora a idia de spin seja sutil, muitos dos efeitos por ele produzidos no so nada

sutis. Talvez o fato mais importante seja a duplicao do nmero de eltrons que o Princpio

de excluso de Pauli4 permite, para preencher os estados qunticos de um tomo de muitos

eltrons. Veremos mais adiante que o estado fundamental dos tomos ficaria muito alterado se

os eltrons no tivessem o spin. Isto traria grandes consequncias sobre as propriedades

peridicas dos tomos, e, portanto em toda a qumica e na fsica do estado slido.

Estudaremos adiante os efeitos do spin, sobre o campo magntico interno do tomo e sobre

momento angular total.

2.4. ENERGIA DE INTERAO SPIN ORBITA E MOMENTO

ANGULAR TOTAL.

A interao entre o momento magntico de spin e o campo magntico interno de um

tomo de um eltron. Como o campo magntico interno consequncia do momento angular

orbital do eltron, chamaremos a essa interao de interao spin-rbita. Trata-se de uma

interao relativamente fraca que responsvel, em parte, pela estrutura fina dos estados

excitados dos tomos de um eltron.

A interao spin-rbita tambm ocorre nos tomos com mais de um eltron, mas nesses

tomos ela razoavelmente forte, uma vez que o campo magntico interno muito forte.

Alm disso, um efeito totalmente anlogo interao spin-rbita ocorre no ncleo. A

interao spin-rbita nuclear to forte que ela governa as propriedades peridicas do ncleo.

Fica fcil imaginar que a existncia de um momento angular de spin ao eltron deve

alterar o momento angular total do sistema. Haver um acoplamento L-S entre estes

momentos angulares fornecendo um momento angular total resultante.

O vetor resultante sLLJ

deve ser calculado para cada L considerando 2/1Sm

e 2/1Sm .

4 O princpio de excluso de Pauli constitui um postulado da mecnica quntica, formulado em 1925 pelo fsico suo. Segundo este

princpio cada estado quntico de um eltron num sistema fsico, isto , cada estado permitido pela teoria quntica e caracterizado por

nmeros qunticos para a energia (o momento - propriedade de um ncleo - e o spin - parte do momento angular de uma partcula) pode ser

ocupado, no mximo, por um eltron.



38/86

)1( llL

(ver equao 1.5.21)

)1( ssLs

(ver equao 2.2.1)

Teremos o numero quntico total dado por:

Sj 1 e Sj 1 (2.4.1)

Portanto o vetor momento angular total ser dado por:

)1( jjJ

(2.4.2)

Figura 2.9 - Vetores momento angular L, S e J.



39/86

Exemplo de somas vetoriais como mostra a figura abaixo.

2.5. EXPERIMENTO RESSONNCIA DE SPIN ELETRNICO

2.5.1. INTRODUO.

Normalmente, molculas de compostos dos elementos representativos tm um estado

fundamental no qual todos os eltrons esto emparelhados.

Ou seja, em cada orbital podemos ter no mximo dois eltrons com spin oposto, um

com +1/2 e outro com -1/2 (principio da excluso de Pauli como foi dito anteriormente em

nota neste trabalho).

Eltrons emparelhados quer dizer que esto aos pares nos orbitais.

Compostos com todos os eltrons tendo spin emparelhados no apresentam, em seus

espectros eletrnicos, efeitos magnticos resultantes de dipolos magnticos de SPIN que

sejam significativos.

Na presena de um campo magntico, a existncia de um dipolo magntico do spin

produz uma energia potencial de interao dada pela equao;

BmgE sBs (2.5.1)

Figura 2.10 - Diagramas vetoriais.



40/86

Quando um nico eltron est envolvido (como no caso de radicais livres

representativos), o vetor do spin total simplesmente 1/2, e a energia potencial de interao

pode ser reescrita em termos do nmero quntico com Sm igual a +1/2 ou -1/2.

A figura em seguida nos mostra o esquema representativo da diferena de energia entre

dois nveis.

Figura 2.11 - Ausncia e presena do campo magntico e diferentes nveis de energia.

Na ausncia de um campo magntico B=0, um eltron desemparelhado de um radical

livre tem a mesma energia, no importa qual a direo do seu spin. Porm, na presena de um

campo magntico B0, as duas direes do spin tem energias diferentes, e a radiao

eletromagntica pode provocar uma transio entre os dois nveis de energia.

Usando a equao BE sz agora para um elemento representativo contendo apenas

um eltron, onde SBssz mg .

Assim teremos :

BmgE SBs (ver equao 2.5.1)

Na qual gs representa a razo giromagntica para um eltron ou fator de spin.

Se uma amostra que tenha um eltron desemparelhado for introduzida em um campo

magntico, ela poder absoro radiao com o comprimento de onda adequado de tal modo

que far o eltron transitar entre os dois estados de energia possveis para ms= +1/2 ou

ms= -1/2.



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Quando a diferena de energia induzida pela interao magntica entre os dois estados

igual energia de um fton, pode ocorrer a absoro de um fton e dizemos que se estabelece

um estado de ressonncia.

O arranjo bsico que permitir estudar esta ressonncia mostrado na Figura 2.12.

Figura 2.12 - Arranjo bsico para a observao de spin eletrnico sobre uma amostra.

Uma amostra de teste colocada em um campo magntico uniforme. A amostra

colocada no interior de uma bobina conectada a um gerador de radiofrequncia que

possibilitar fixarmos a frequncia da radiao ressonante. O campo magntico de menor

intensidade induzido pela bobina perpendicular ao campo magntico uniforme entre os dois

polos ao qual indica o seu sentido B

.

Considere, por um momento, um nico eltron dentro da amostra de teste. O eltron tem

um momento de dipolo magntico s como foi descrito anteriormente e que est relacionado

com o seu momento angular intrnseco, ou spin L

s, dado por:

sBs

s Lg

(ver equao 2.2.5)

sg = constante caracterstica para o eltron, o fator g de spin.



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As componentes de s

e sL

na direo z respectivamente para sBsl mgZ ;

ssz mL .

O magnton de Bohr como foi dito anteriormente 223 /10927,02

mampxm

eB

.

O momento de dipolo magntico deste eltron interage com o campo magntico

uniforme fazendo com que o nvel de energia do estado fundamental seja desdobrado em duas

componentes, dispostas simetricamente de um lado e de outro do nvel de energia do estado

fundamental na ausncia de campo.

Este desdobramento reflete os dois valores possveis para a energia potencial

orientacional como foi explicado anteriormente e dado por:

BgBmgBE BsSlBslZ 2

1

(2.5.2)

A ressonncia ocorre quando a frequncia do gerador de radiofrequncia sintonizada

para um valor frequncia , tal que a energia dos ftons irradiados, h igual diferena

entre os dois estados de energia possveis para o eltron, ou seja, hE .

Eltrons no estado mais baixo de energia podem absorver um fton e pular para o

estado de energia mais alta como sabemos da mecnica quntica.

Esta absoro de energia afeta a permeabilidade da amostra de teste, a qual afeta a

indutncia da bobina e, portanto, as oscilaes do gerador de radiofrequncia tem como

resultado uma mudana na corrente fluindo atravs do gerador, a qual pode ser observada.

A condio para ressonncia que a energia dos ftons emitidos pelo gerador seja igual

diferena de energia entre os dois estados do spin da amostra de teste, ou seja:

Bghf Bs (2.5.3)

Para um eltron com somente dois estados de energia, em um campo magntico de

mdulo B, seria necessrio ajustar o valor da radiofrequncia com preciso considervel para

ser possvel observar a ressonncia. Na prtica, esta dificuldade resolvida variando-se o



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mdulo do campo magntico em torno de um valor constante. Em nossa montagem, isto

feito suprindo-se uma pequena corrente AC, superposta a uma corrente DC maior, a um par

de bobinas de Helmholtz. O resultado um campo magntico que varia senoidalmente em

torno de um valor constante.

Se a frequncia do gerador tal que a equao 3 seja satisfeita em algum ponto entre os

valores mnimo e mximo do campo magntico com variao senoidal, ento, ressonncia

ocorrer duas vezes durante cada ciclo do campo. A ressonncia normalmente observada

com um osciloscpio de dois canais. Os traos no osciloscpio, durante a ressonncia, so

mostrados na Figura 2.13.

Figura 2.13 - Traos no osciloscpio durante a ressonncia de uma amostra.

O trao superior uma medida da corrente atravs das bobinas de Helmholtz, a qual

proporcional ao campo magntico. O trao inferior mostra o sinal de tenso atravs do

gerador de radiofrequncia, a qual diminui de maneira pronunciada cada vez que o campo

magntico passa atravs do ponto de ressonncia.

2.5.2. CAMPO MAGNTICO GERADO PELAS BOBINAS DE HELMHOLTZ

APLICADO NA AMOSTRA.

Com a aplicao do campo B das bobinas de Helmholtz, retiramos a degenerescncia do

spin e criamos dos estados de energia: momento de dipolo de spin paralelo a B e antiparalelo.

O sinal de radiofrequncia gerado pela bobina menor pode fornecer uma radiao de

energia igual energia necessria para levar o eltron de um estado de menor energia para um



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estado de maior energia. O que corresponde a dizer que orientamos os pequenos dipolos numa

direo preferencial.

Esta orientao preferencial para os dipolos presentes na amostra acaba perturbando

ou interferindo no sinal de tenso fornecido pela bobina de radiofrequncia.

Esta perturbao pode ser evidenciada atravs da observao do sinal em um

osciloscpio e est indicada na Figura 2.13. O sinal indica uma reduo na induo magntica

observada nos terminais da bobina.

2.6. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM LABORATRIO PARA A

MONTAGEM EXPERIMENTAL.

Abordaremos aqui neste item a descrio da montagem experimental de nossa para que

seja compreendido cada passo adotado.

Para a montagem experimental foi necessrio a utilizao de equipamentos, como

Multmetros, Osciloscpio, amostra e etc.

Iremos aqui introduzir esses equipamentos mostrando cada um separadamente.

2.6.1. MULTMETRO.

O multmetro utilizado em laboratrio foi o multmetro da empresa Minipa ET-2700 da

qual possui as seguintes caractersticas conforme o manual da empresa fabricante:

Corrente DC

Faixa de 200A, 2mA, 20mA, 200mA, 20A.

Preciso: (2,0% Leit.+10Dig.) para a faixa de 20A.

(0,5% Leit.+5Dig.) para outras faixas.

Resoluo de 10nA a 1mA.



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Figura 2.14 - Multmetro.

2.6.2. OSCILOSCPIO DIGITAL

O osciloscpio digital utilizado neste experimento teve por principal objetivo verificar a

superposio de ondas da ressonncia entre o as ondas geradas pela bobina de Helmholtz e a

respostas da substancia usada no experimento.

O osciloscpio usado foi o da Empresa Tektronix TDS 210.



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Figura 2.15 - Osciloscpio Digital.

2.6.3. ADAPTADOR DE RESSONANCIA ELETRNICA.

Unidade Central para Ressonncia Eletrnica.

Figura 2.16 - Unidade Central ou de Controle do ESR.

Este equipamento fornece o sinal para as bobinas de Helmholtz, suas componentes DC e

AC e efetua o ajuste de fase entre estes sinais e permite a observao atravs de um

osciloscpio duplo feixe.



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2.6.4. BOBINAS DE HELMHOLTZ.

As bobinas de Helmholtz utilizada neste experimento foram conectadas a uma corrente

alternada AC e uma componente DC de forma que o campo magntico gerador por estas

bobinas pudesse agir sobre a substancia de prova. Cada bobina continha 320 espiras. Atravs

da unidade central pode-se ajustar a amplitude do sinal AC e a componente DC que propiciar

o valor do campo magntico para desdobramento dos nveis de energia da amostra utilizada.

Figura 2.17 - Bobinas de Helmholtz.

2.6.5. SUPORTE.

Tambm foi utilizado um pequeno suporte para manter a distancia entre as bobinas,

fixando-as para que fosse possvel uma melhor distribuio uniforme do campo magntico

entre elas. O valor desta distancia corresponde numericamente ao valor do raio das espiras de

modo a obter um campo uniforme nesta regio.



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muito importante o alinhamento adequado destas espiras e sua conexo em serie para

garantir uma boa uniformidade deste campo.

Figura 2.18 - Suporte feito para fixar as distancias entre as bobinas de Helmholtz.

Figura 2.19 - Suporte fixando as bobinas.



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2.6.6. UNIDADE DE PROVA.

A unidade de prova foi utilizada estabelecer a frequncia do sinal que ser aplicado s

bobinas de prova e a intensidade de corrente para estas bobinas.

Figura 2.20 - Unidade de prova usada.

Figura 2.21 - Posio da unidade de prova entre as bobinas.



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Figura 2.22 - Unidade de prova entre as bobinas vista de cima.

2.6.7. BOBINAS DE PROVA.

Neste experimento utilizamos duas bobinas de prova. Cada bobina apresenta uma faixa

de frequncia de operao que so bobina 1 de 13 30 MHz e bobina 2 de 30 75 MHz.

A amostra foi inserida dentro destas bobinas de provas para gerarmos o sinal de

radiofrequncia que possibilitar a transio entre os estados de energia criados pela aplicao

do campo magntico das bobinas de Helmholtz. Quando a ressonncia estabelecida altera-se

a indutncia destas bobinas e um sinal observado. As duas bobinas so vistas abaixo na

figura que se segue.



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Figura 2.23 - Bobinas de Prova usadas (13-30MHz e 30-75MHz).

2.6.8. AMOSTRA UTILIZADA.

A amostra utilizada foi o Difenil-Picril-Hidrazil (DPPH), especificaes sobre esta

amostra ser abordada adiante.

A amostra utilizada estava presa sobre um pequeno tudo de vidro.

Figura 2.24 - Amostra usada (DPPH).

Para entendermos melhor como se d o processo de ressonancia, vamos verificar algumas

de suas propriedades.

Um pequeno nmero de molculas orgnicas so denominadas de radicais livres por

conterem um nico eltron desemparelhado, eletrons desemparelhados so pela regra do



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octeto, tomos que quando apresentam um numero de eltrons inferiores quantidade de

eltrons que devem possuir em seus respectivos nveis de energia ou camadas.

A molcula aa-Di-phenyl-b-picryl-hydrazyl (DPPH) foi a substancia usada em nossa

experiencia. Todos os seus eltrons, com exceo de apenas um, encontram-se emparelhados,

de forma que, h apenas o movimento orbital e o de spin de um eltron presente por molcula.

O movimento de spin deste nico eltron desemparelhado d a esta molcula um fator g que

muito prximo ao de um eltron livre (g = 2,0038 no lugar de 2,00232) fator este objeto de

estudo neste experimento[6].

A figura 2.25 mostra a molcula difenil-picra-hidrazil, ou DPPH, e o um radical com um

eltron desemparelhado em um dos tomos de nitrognio na ponte. Os eltrons

desemparelhados na amostra DPPH no tem momento angular orbital. Desta forma a

ressonncia de spin pode ser estudada isoladamente. De forma que o momento angular orbital

igual a zero e somente um eltron desemparelhado o que torna a analise experimental com

base nesta substancia bastante simples.

Figura 2.25 - Molcula de difenil-picra-hidrazil (DPPH).

2.7. MONTAGEM DO SISTEMA EXPERIMENTAL.

O equipamento que dispomos em laboratrio foi montado conforme mostra abaixo a

sequencia de figuras.

Os equipamentos devem ser montados como mostrado na Figura 2.26.



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Figura 2.26 - Montagem do experimento.

Figura 2.27 - Sistema de montado conforme a montagem experimental.



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Podemos iniciar nossa montagem experimental da seguinte forma:

1 - Conectamos as bobinas de Helmholtz em srie (Figura 2.26).

2 - Posicionamos as bobinas de Helmholtz tal que elas sejam paralelas e apontando na

mesma direo. A separao entre as bobinas deve ser aproximadamente igual a seus raios.

Este arranjo produz um campo magntico altamente uniforme na posio central entre as duas

bobinas.

3 - Conectamos as fontes, ampermetro, osciloscpio e os demais componentes do

circuito mostrados na Figura 2.28.

Figura 2.28 - Circuito experimental.

2.8. EXPLICAO DO CIRCUITO.

As bobinas de Helmholtz necessitam de uma pequena corrente AC superposta a uma

corrente DC maior. Estas corrente so fornecidas pelas fontes AC e DC conectadas em

paralelo.

O capacitor de 1000 F isola a fonte AC da fonte DC para prevenir distores.



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Por causa da indutncia das bobinas de Helmholtz, a corrente nas bobinas est fora de

fase com o sinal de voltagem que observado no osciloscpio. Para corrigir isto, um resistor

varivel e um capacitor de 0,1 F so usados para mudar a fase do sinal de voltagem que

mostrado no osciloscpio.

Isso permite que o experimentador ajuste a fase entre os traos do osciloscpio, tal que a

corrente AC nas bobinas de Helmholtz e os pulsos de ressonncia apaream simtricos, como

eles so na realidade.

4 - Ligamos as fontes de voltagem. Ajustamos o valor DC de maneira a produzir uma

corrente de aproximadamente 1Ampre nas bobinas de Helmholtz. Ajustando o valor AC para

aproximadamente 2V. Com os controles do osciloscpio ajustados para esses valores, o canal

1 do osciloscpio mostrar a corrente nas bobinas de Helmholtz, exceto por uma mudana de

fase causada pela indutncia das bobinas. O trao uma senide simples.

Esses traos podem ser visto na Figura 2.29 como mostra na tela do osciloscpio (a

figura mostra apenas os sinais senoidais das bobinas de Helmholtz).

Figura 2.29 - Senoide do campo magntico nas bobinas de Helmholtz mostrado na tela de um osciloscpio, a

linha reta representa a bobina de prova desprovida de intensidade de corrente.



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5 - Conectamos a Unidade de Prova ao Adaptador para Ressonncia Eletrnica e

conectando o Adaptador a uma fonte de voltagem, medidor de freqncia (um osciloscpio

ser usado) e ao osciloscpio, como indicado na Figura 2.28.

6 - Inserimos a amostra de teste na

ressonancia magnetica

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