RESPOSTAS - PROVA ESTATÍSTICA – AGENTE PF – 2018

Determinado órgão governamental estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar a ser condenado por algum

crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, seja igual a 0,25. Essa estimativa foi obtida com base em

um levantamento por amostragem aleatória simples de 1.875 processos judiciais, aplicando-se o método da máxima

verossimilhança a partir da distribuição de Bernoulli. Sabendo que P(Z < 2) = 0,975, em que Z representa a distribuição

normal padrão, julgue os itens que se seguem, em relação a essa situação hipotética.

41 Em um grupo formado aleatoriamente por 4 ex-condenados libertos no mesmo dia, estima-se que a probabilidade de que

apenas um deles volte a ser condenado por algum crime no prazo de 5 anos, contados a partir do dia em que eles foram

libertados, seja superior a 0,4.

Neste caso falamos de sucesso x fracasso, então resolveremos por distribuição Binomial!

𝑷(𝑺𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒔𝒐) = 𝑪𝒏,𝒔 . 𝒑𝑺 . 𝒒𝑭

Assim, temos que:

n = 4

S = 1

F = 3

p = 0,25

q = 0,75

Substituindo na equação, temos:

𝑷 = 𝑪𝟒,𝟏 . (𝟎, 𝟐𝟓)𝟏 . (𝟎, 𝟕𝟓)𝟑

𝑷 =𝟒!

𝟑!. 𝟏! . (𝟎, 𝟐𝟓)𝟏 . (𝟎, 𝟕𝟓)𝟑

𝑷 = 𝟒 . 𝟎, 𝟐𝟓 . 𝟎, 𝟒𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓

𝑷 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓

Item Correto

42 O erro padrão da estimativa da probabilidade p foi igual a 0,01.

O erro padrão é determinado pela seguinte fórmula:

𝑬𝒓𝒓𝒐 = [𝒑. (𝟏 − 𝒑)

𝒏]𝟏/𝟐

𝑬𝒓𝒓𝒐 = [𝟏/𝟒. (𝟏 − 𝟏/𝟒)

𝟏𝟖𝟕𝟓]𝟏/𝟐

𝑬𝒓𝒓𝒐 = 𝟎, 𝟎𝟏

Item Correto

43 A estimativa intervalar 0,25 ± 0,05 representa o intervalo de 95% de confiança do parâmetro populacional p.

A estimativa pode ser determinada pelo seguinte cálculo:

𝒑. 𝒁. 𝑬𝒓𝒓𝒐

Como o único valor que temos é: P(Z < 2) = 0,975, ou seja, 97,5%, substituindo, teremos:

𝟎, 𝟐𝟓. 𝟐. 𝟎, 𝟎𝟏

𝟎, 𝟐𝟓. 𝟐. 𝟎, 𝟎𝟏

𝟎, 𝟎𝟎𝟓

Item Errado

44 Se X seguir uma distribuição binomial com parâmetros n = 1.000 e probabilidade de sucesso p, a estimativa de máxima

verossimilhança da média de X será superior a 300.

A média de uma variável de Distribuição Binomial é dada por:

𝑴é𝒅𝒊𝒂 = 𝒏. 𝒑

𝑴é𝒅𝒊𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟎, 𝟐𝟓

𝑴é𝒅𝒊𝒂 = 𝟐𝟓𝟎

Item Errado

Um pesquisador estudou a relação entre a taxa de criminalidade (Y) e a taxa de desocupação da população economicamente

ativa (X) em determinada região do país. Esse pesquisador aplicou um modelo de regressão linear simples na forma Y = bX

+ a + ε, em que b representa o coeficiente angular, a é o intercepto do modelo e ε denota o erro aleatório com média zero e

variância σ2. A tabela a seguir representa a análise de variância (ANOVA) proporcionada por esse modelo.

A respeito dessa situação hipotética, julgue os próximos itens, sabendo que b > 0 e que o desvio padrão amostral da variável

X é igual a 2.

45 A correlação linear de Pearson entre a variável resposta Y e a variável regressora X é igual a 0,75.

Através da tabela ANOVA, podemos encontrar o coeficiente de correlação linear (r), pela seguinte relação:

𝒓𝟐 =𝑺𝑸𝑴

𝑺𝑸𝑻

𝒓𝟐 =𝟐𝟐𝟓

𝟒𝟎𝟎

𝒓 = √𝟐𝟐𝟓

𝟒𝟎𝟎

𝒓 =𝟏𝟓

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟕𝟓

Item Correto

46 A estimativa da variância σ2 é superior a 0,5.

A estimativa da variância é calculada por:

𝑬𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝝈𝟐 =𝑺𝑸𝑻

𝒏 − 𝟏=

𝑺𝑸𝑻

𝑮𝒓𝒂𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝑳𝒊𝒃𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆=

𝟒𝟎𝟎

𝟗𝟎𝟎= 𝟎, 𝟒𝟒

Item Errado

47 A estimativa do coeficiente angular b, pelo método de mínimos quadrados ordinários, é igual a 0,25.

Sabemos que o desvio padrão é igual a 2, assim:

𝑺 = √∑(𝑿𝒊 − 𝑿)

𝟐

𝒏 − 𝟏

Ou ainda

𝟐 = (∑(𝑿𝒊 − 𝑿)

𝟐

𝒏 − 𝟏)𝟏/𝟐

𝟒 =∑(𝑿𝒊 − 𝑿)

𝟐

𝒏 − 𝟏

(𝒏 − 𝟏). 𝟒 = ∑(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐

A tabela nos mostra que n-1 (graus de liberdade) = 900, assim:

∑(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐

= 𝟗𝟎𝟎. 𝟒 = 𝟑. 𝟔𝟎𝟎

Para o cálculo de b, temos que:

𝒃𝟐 =𝑺𝑸𝑴

∑(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐 =𝟐𝟐𝟓

𝟑𝟔𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓

Logo:

𝒃 = √𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓

Item Correto

O valor diário (em R$ mil) apreendido de contrabando em determinada região do país é uma variável aleatória W que segue

distribuição normal com média igual a R$ 10 mil e desvio padrão igual a R$ 4 mil. Nessa situação hipotética,

48 se W1 e W2 forem duas cópias independentes e identicamente distribuídas como W, então a soma W1 + W2 seguirá

distribuição normal com média igual a R$ 20 mil e desvio padrão igual a R$ 8 mil.

Pelas propriedades de média e desvio padrão, temos:

Se somarmos ou subtrairmos todas as observações x com um determinado valor fixo a, toda a média terá

resultado igual ao anterior à operação mais ou menos a.

𝑴é𝒅𝒊𝒂 (𝑿 + 𝒂) = �̅� + 𝒂

Assim: W1 + W2 → μ = 20.000

Ao somar ou diminuir qualquer valor fixo das observações do seu respectivo Desvio Padrão (σ), o resultado ficará

inalterado.

𝝈(𝑿 + 𝒂) = 𝝈(𝑿)

Assim: W1 + W2 → σ = 4.000

Item Errado

49 P(W > R$ 10 mil) = 0,5.

Como a média é igual a 10 mil e a probabilidade afirma que maior que 10 mil = 50%, temos uma distribuição normal,

já que segue distribuição simétrica!

Item Correto

50 a razão segue distribuição normal padrão.

A distribuição normal padrão segue a seguinte fórmula:

𝒁 =𝑿 − 𝝁

𝝈

Assim, substituindo os valores, temos:

𝒁 =𝑾 − 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎

𝟒. 𝟎𝟎𝟎

Ou (em mil):

𝒁 =𝑾 − 𝟏𝟎

𝟒

Item Errado