resoluçao torçao lista 3

Adriano Alberto

1 ENG285

Adriano Alberto

Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso, L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr.; http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom-

areas-circ.htm

TORÇÃO

� = G . � (material linear-elástico)

� = �� . ��á�

� = �� . ��á�

�máx = �.��

�máx = Tensão de cisalhamento máxima do eixo, que ocorre na superfície externa.

T = torque interno resultante que atua na seção transversal.

J = momento de inércia polar da área da seção transversal [mm4 ou pol4]

c = raio externo do eixo

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2 � =

�.��

� = Tensão de cisalhamento

= distância intermediária

J = � ��. �� = � ��. (��. ��)�� = 2� � ��. ��

ci = raio interno

ce = raio externo

J = �� . c4

J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal circular maciça, logo:

�máx = ��

�.��

J = �� . (�� - ��)

J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal tubular (eixo vazado)

dT = . dF

dF = � . dA

dA = 2� . . d

�� =

��á� => � = f( ) =

� . �!á"

=> dT = . {[� . �!á"] . (2� . . d )} =

��á� . 2� . 3 . d

T = ��.��á�

�� . ��

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3

Transmissão de potência

P = �.#$#% ; & =

#$#% ; P = T . &

[P] = [W] = [N.m/s]

[&] = [rad/s] ; [f] = [Hz]

1 Hz = '��()

* = ��+,#

*

1 rad ≅ 1 raio

& = 2� . f => P = 2� . f . T

�adm = �.��

RESOLUÇÃO DA LISTA 3ª UNIDADE

PROBLEMAS ENVOLVENDO ANÁLISE DE TENSÕES

1 a 3) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão normal e a tensão de cisalhamento que se exercem em um plano paralelo à linha a–a. Adotar o método de análise baseado nas equações de equilíbrio da parte sombreada do cubo elementar indicada.

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4 1)

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5 2)

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6 3)

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7

4 a 6) Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento. 4)

.! = /01230

4 = 6,5 MPa

R = 5(41 + 6,5)4 + (36)4 = 59,60075503 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 66,10075503 MPa

.!í> = .! - R = - 53,10075503 MPa

arctg(2?) = @A

012A,3 => $ = 18,57914839° (anti-horário)

?’ = 90º - 18,57914839° = 71,42085161° (horário)

2B = 90° - 2? => C = 26,42085161° (horário)

B’ = 90° - 14,03624347° =

5)

.! = 1@D,E24D,A

4 = 82,75 MPa

R = 5(82,75 I 27,6)4 +.!á" = .! + R = 151,7100065 MPa

.!í> = .! - R = 13,78999347

arctg(2?) = 01,0

J4,D3/4D,A => $

?’ = 90º - 18,44741165º = 71,55258835° (horário)

2B = 90° - 2? => C = 26,55258835° (horário)

63,57914839° (anti-horário)

82,75 MPa

(41,4)4 = 68,96000653 MPa = ��á�

151,7100065 MPa

13,78999347 MPa

= 18,44741165° (anti-horário)

71,55258835° (horário)

= 26,55258835° (horário)

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8

Adriano Alberto

9

B’ = 90° - 26,55258835° = 63,44741165° (anti-horário)

6)

.! = /14K20K

4 = - 40 MPa

R = 5(40 + 40)4 + (150)4 = 170 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 130 MPa

.!í> = .! - R = - 210 MPa

arctg(2?) = 13K

0K20K => $ = 30,96375653° (horário)

?’ = 90º - 30,96375653° = 59,03624347° (anti-horário)

2B = 90° - 2? => C = 14,03624347° (anti-horário)

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10

B’ = 90° - 14,03624347° = 75,96375653° (horário)

7 a 9) Determinar as tensões principais e os planos principais para o estado plano de tensões, resultante da superposição dos dois estados planos indicados.

*** 7)

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11 8)

Para o primeiro estado de tensão:

.! = MN2K

4 = OP�

R = OP�

Para o estado de tensão resultante:

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12 .! = QRNS 2RN.TUV(SW)S 2RNS /RN.TUV(SW)S

4 = 4MN4 = OP

R = XY@MN4 + MN.Z[\(4])4 I.K^4 + YMN.\_`(4])4 ^4 =

= XYMN4 + MN.Z[\(4])4 ^4 + (MN)04 .abcd(2?)e4 =

X(MN)0

4 + 4MN.MN.Z[\(4])0 + (MN)0

4 .afgb(2?)e4 + (MN)04 .abcd(2?)e4 =

X4(MN)0

4 + 4(MN)S.Z[\(4])0 = X(MN)

44 .a1 + cos(2?)e = .K. X12Z[\(4])

4

a�)*($)e� = '2klm(�$)

�

Logo:

R = OP. cos$

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13

.1 = .!+ R = .K+ .K. cos? = OP. (1 + cos$)

.4 = .!- R = .K- .K. cos? = OP. (1 - cos$)

2 . ?n = arctgo RN.Vpq(SW)SRNS 2RN.TUV(SW)Sr = arctgs \_`(4])

12Z[\(4])t = arctgs4\_`]. uv]4.( uv])S t = arctg(tg?) =>

=> $w = $�

9)

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14

Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

.! = JK24K

4 = 50 MPa

R = 5(30)4 + (40)4 = 50 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 100 MPa

.!í> = .! - R = 0 MPa

arctg(2?) = 0K@K => $ = 26,56505118° (anti-horário)

?n = 26,56505118° + 45° = 71,56505118° (anti-horário)

?′n = 90º - 71,56505118° = 18,43494882° (horário)

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15 10) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando:

a) σy = 14 MPa; b) σy = 98 MPa.

a)

Para o estado plano:

.! = 102EA,3

4 = 55,25 MPa

R = 5(55,2)4 + (55,25 I 14)4 = 68,91010448 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 124,1601045 MPa

.!í> = .! - R = - 13,66010448 MPa

Para os círculos internos:

y1 = K/1@,AAK1K00J

4 = - 6,83005224 MPa

y4 = 140,1AK1K032K

4 = 62,08005225 MPa

b)


.! = EJ2EA,3

4 = 97,25 MPa

R = 5(55,2)4 + (98 I 97.!á" = .! + R = 152,4550949

.!í> = .! - R = 42,04490513


y1 = K204,K00EK31@

4 = 21,02245256

y4 = 134,033KE0E2K

4 = 76,22754745

MPa

97,25)4 = 55,20509487 MPa = ��á�

152,4550949 MPa

42,04490513 MPa

21,02245256 MPa

76,22754745 MPa = R = ��á�

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16

Adriano Alberto

17

11) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando: a) σy = +48 MPa; b) σy = – 48 MPa; c) σy = 0.

Adriano Alberto

18



.! = 0J2K

4 = 24 MPa

R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa

.!á" = .! + R = 64 MPa

.4 = .! - R = - 16 MPa

Para o estado tridimensional:

.! = A0/4K

4 = 22 MPa

R = 64 - 22 = 42 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 64 MPa

O�í{ = - 20 MPa

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19



.! = /0J2K

4 = - 24 MPa

R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 16 MPa

.4 = .! - R = - 64 MPa = O�í{


y1 = /4K/A0

4 = - 42 MPa

y4 = 1A/4K

4 = - 2 MPa

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20



.! = /@42@4

4 = 0 MPa

R = 32 MPa = ��á� = O�á�

O�í{ = - 32 MPa


y1 = /4K/@4

4 = - 26 MPa

y4 = @4/4K

4 = 6 MPa

12) Determinar, para o estado de tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento.

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21


.! = DK2K

4 = 35 MPa

R = 5(120)4 + (70 I 35)4 = 125 MPa = ��á�

.!á" = .! + R = 160 MPa

.!í> = .! - R = - 90 MPa


y1 = /EK210K

4 = 25 MPa

y4 = 1AK210K

4 = 150 MPa

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22

PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO

13) Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze. Determinar: a) A máxima tensão de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento no ponto D que fica numa circunferência de 15 mm de raio desenhada na seção extrema do cilindro; c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.

T = 3 kN.m

a) ce = 30 mm = 0,03 m

J = |4 . (0,03)4 = 1,272 . 10-6 m4

�máx = @KKK.K,K@1,4D4.1K}~ = 70,755 MPa

b) � = @KKK.K,K131,4D4.1K}~ = 35,377 MPa

c) T = 4|.��á�

� � @. d � � => T’ = 4|.DK,D33.1K~

K,K@ � @. d K,K13K

= 4|.DK,D33.1K~

K,K@ . K,K13�

0 = 187,552 N.m

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23

�� . 100 =

1JD,334@KKK . 100 = 6,25 %

14) T = 2,4 kN.m

a) �máx (AB) = ?

TAB = TA = 2 400 N . m

J = |4 . (0,027)4 = 8,348 . 10-7 m4

�máx = 40KK.K,K4DJ,@0J.1K}� = 77,623 MPa

b) �máx (BC) = ?

TBC = TA + TB = (2 400 – 1 200) N . m = 1 200 N . m

J = |4 . (0,022)4 = 3,680 . 10-7 m4

�máx = 14KK.K,K44@,AJK.1K}� = 71,739 MPa

15)

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24

JCD = |4 . [(0,040)4 - (0,034)4] = 1,922 . 10-6 m4

40 . 106 = ��.K,K0K1,E44.1K}~ => TCD = 1 922 N . m

JAB = |4 . (0,028)4 = 9,655 . 10-7 m4

55 . 106 = ��.K,K4JE,A33.1K}� => TAB = 1 896,518 N . m

Tadm = TAB = 1 896,518 N . m

Ângulo de Torção

∅ = � �(�)#��(�).�

�P

Para torque e área da seção constantes:

∅ = ��

Para mudança de área e/ou torque e/ou G:

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25

∅ = ∑ ��

16) G = 80 . 109 Pa

a) T(3 m) = (- 20 -5) kN.m = - 25 kN.m = - 25 000 N.m

�máx = 43KKK.K,K3KY�S^.(K,K3K)�

= 127,324 MPa

b) T(1m a 2 m) = - 5 – 20 + 100 => T(2m) = 75 000 N.m

T(0 m a 1 m) = - 5 – 20 + 100 - 35 => T(1m) = 40 000 N.m

∅(1 m a 2m) = D3KKK.1

Y�S^.(K,KJK)�.JK.1K� = 0,01457107 rad

∅(0 m a 1m) = 0KKKK.1

Y�S^.(K,KJK)�.JK.1K� = 7,771237456 . 10-3 rad

∅Total = 0,01457107 rad + 7,771237456 . 10-3 rad = 0,022342307 rad

17) G = 75 . 109 Pa ; P = 450 N ; �adm = 30 . 106 Pa ; BC = 0,610 m ; AB = 0,380 m

Deflexão máxima de A = 0,002 m

S = ∅ . r => 0,002 = ∅ . 0,380 => ∅ = 5,263157895 . 10-3 rad

T = 0,380 . 450 = 171 N.m

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26 30 . 106 =

1D1. �S. � => c3 =

1D10D14@JJE,J => c = 0,015366854 m => d = 30,733708 mm (não

serve)

5,263157895 . 10-3 = 1D1.K,A1K

Y�S^.( )�.D3.1K� => 5,263157895 . 10-3 . c4 = 8,854107794 . 10-10

=> c = 0,020252311 m => d = 40,50462335 mm (ok)

18) G = 80 . 109 Pa ; �máx(AB) = 120 . 106 Pa ; ∅C/A = - 0,018 rad no sentido de T1

T1 = ? ; T2 = ?

T2 + T1 + T3 = 0

120 . 106 = �Q.K,KJ�

S.(K,KJ)� => T3 = - 96 509,72632 N.m

∅C/A = ∅B/A + ∅C/B

∅B/A = /EA3KE,D4A@4.@

Y�S^.(K,KJK)�.JK.1K� = - 0,05625 rad

-0,018 = -0,05625 + ∅C/B => ∅C/B = 0,03825 rad

0,03825 = (�S/EA3KE,D4A@4).4Y�S^.(K,K3K)�.JK.1K�

=> T2 = 111 530,4662 N.m

T2 + T1 + T3 = 0 => T1 = -111 530,4662 + 96 509,72632 = - 15 020,73988 N.m

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27

***19) Os binários, aplicados, como mostrado, ao eixo de aço (G = 80 GPa) da figura, produzem uma tensão tangencial máxima de 80 MPa e torcem o extremo livre de 0,014 rad. Determine os momentos torques T1 e T2.

G = 80 . 109 Pa ; �máx = 80 . 106 Pa ; c = 0,050 m

∅T = ∅1 + ∅2 = - 0,014 rad

L1 = 0,6 m ; L2 = 0,3 m

T1 = ? ; T2 = ?

∅ = ��

J = |4 . c4

∅1 = ��.K,A

Y�S^.(K,K3K)�.JK.1K� ; ∅2 =

�S.K,@Y�S^.(K,K3K)�.JK.1K�

7,639437268 . 10-7 . T1 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = - 0,014 (I)

�máx = �. � = �máx =

��S. Q

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28

80 . 106 =

(��2�S)�S.(K,K3K)Q => T1 + T2 = 15 707,96327 (II)

T1 = 15 707,96327 - T2

7,639437268 . 10-7 . (15 707,96327 - T2) + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014

=> 0,012 - 7,639437268 . 10-7 . T2 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014

=> T2 = 5 235,987756 N.m

=> T1 = 15 707,96327 - T2 = 10 471,97551 N.m

Obs: como os dois torques são aplicados no mesmo sentido, eles possuem o mesmo e sinal e, o somatório dos dois é igual a |15 707,96327 N.m|

Resp. da lista: 19) T1 = 10470 N.m ; T2 = 5240 N.m

20) ∅ = � �(�)#��(�).�

�P ; J =

�� . (�� - ��)

Determinando o raio menor: 4�� =

�� => rmenor =

�S4� =

�4

T(x) = T ; J(x) =?

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29

4�/�� =

4�/ �" => ce = 2r –

�+�

�/(�S)� =

�/ �" => ci = r –

�+��

J(x) =

�� . [(2r –

�+� )4 - (r –

�+��)

4] (a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4

J(x) = |4 . [(16r4 – 4 . 8r³ .

"�� - 4 . 2r .

"Q.�Q�Q + 6 . 4r² .

"S.�S�S +

"�.�� ) –

(r4 – 4r³ . "�4� - 4r .

"Q.�QJ�Q + 6r² .

"S.�S0�S +

"�.��1A�� )] =

= |4 [(16r4 – 32r4 .

"� - 8r4 .

"Q�Q + 24r4 .

"S�S + r4 .

"�� ) – (r4 – 2r4 .

"� - r

4 . 14 . "

Q�Q + r4 .

@4. "

S�S + r4 .

11A .

"�� )] =

= |.��

4 [(16 – 32 . "� - 8

. "Q�Q + 24 ."S�S +"�� ) – (1 – 2 .

"� -

14 . "Q�Q +

@4. "

S�S +

11A."

�� )]

= |.��4 [16 – 32 .

"� - 8

. "Q�Q + 24 ."S�S +"�� ) – 1 + 2 .

"� +

14 . "Q�Q - @4. "

S�S - 11A."

�� ] =

= |.��

4 [15 – 30 . "� – 7,5 .

"Q�Q + 22,5 ."S�S +

131A."

�� ] =

|.��4 [15 – x .

@K� – x3 .

D,3�Q + x2 .44,3�S +

131A.��.�0]

∅ = 4�

�.�.�4 � �"a15–x.30� –x3.

7,5�3 +x2.22,5�2 + 15

16.�4.�4e�K =>

Pela regra dos trapézios:

I = �� (y0 + y1) ; h = x1 – x0

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30 I = � �"

a15–x.30� –x3.7,5�3 +x2.22,5�2 + 15

16.�4.�4e�K

y = 1

a15–x.30� –x3.7,5�3 +x2.22,5�2 + 15

16.�4.�4e ; x0 = 0 ; x1 = L

h = L – 0 = L

y0 = 1

a15–0.30� –03.7,5�3 +02.22,5�2 + 15

16.�4.04e =

''

y1 = 1

a15–L.30� –L3.7,5�3 +L2.22,5�2 + 15

16.�4.�4e =

113/@K/D,3244,32(�¢�~)

= '£'

Logo:

I = �4 (

113 +

1A13) =

'¤��P

=> ∅ = 4�

�.�.�4 . 1D�@K =

'¤��' .�.�.+�

Cálculo da Equação Geral: ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d ¥/¦� =

¥/ �" => ce = a –

�� (, I §)

/�� =

/ �" => ci = c –

�� (� I #)

J(x) =

�� . {[a –

�� (, I §)]4 - [c –

�� (� I #)e4}

(a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4

(a - b)3 = (a – b)² . (a – b) = (a² - 2ab + b²) ( a – b) = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3

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31

J(x) = |4 . {¨0 - 4 . ̈ @ .

"� (¨ I ©) - 4 . ̈ .[

"� (¨ I ©)e@ + 6 . ̈ 4 .

. [

"� (¨ I ©)e4 + [

"� (¨ I ©)e0 - {f0 - 4 . f@ .

"� (f I ª) - 4 . f .[

"� (f I ª)e@ + 6 . f4 .

. [

"� (f I ª)e4 + [

"� (f I ª)e0}} =

|4 . {¨0 - 4 . ̈ @ .

"� (¨ I ©) - 4 . ̈ .

"Q�Q [a

3 - 3a2b + 3ab2 – b3e + 6 . ̈ 4 . "S�S [¨4 – 2ab + b²e +

"�� . [a

4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4] - { f0 - 4 . f@ . "� (f I ª) - 4 . f .

"Q�Q .

. [c3 – 3c2d + 3cd2 – d3e + 6 . f4 . "S�S [f4 – 2cd + d²e +

"�� . [c

4 – 4c³d – 4cd³ + 6c²d² + d4] }}

=> J(x) = |4 . {¨0 - x [

0¥�/0¥Q¦� ] - x³ [

0¥�/14¥Q¦214¥S¦S/0¥¦Q�Q ] + x² [

A¥�/14¥Q¦2A¥S¦S�S ] +

+ x4[¥�/0¥Q¦/0¥¦Q2A¥S¦S2¦�

�� ] - {f0 - x [0 �/0 Q�

� ] - x³ [0 �/14 Q�214 S�S/0 �Q

�Q ] +

+ x² [A �/14 Q�2A S�S

�S ] + x4[ �/0 Q�/0 �Q2A S�S2��

�� ]}}

∅ = �� "

J(x)�K

Pela regra dos trapézios:

I = �� (y0 + y1) ; h = x1 – x0

I = � �"J(x)

�K

y = 1J(x) ; x0 = 0 ; x1 = L

h = L – 0 = L

y0 = '

��(¬�Ik�)

Adriano Alberto

32

y1 = 1S(®�/0¥�20¥Q¦/0¥�214¥Q¦/14¥S¦S20¥¦Q2A¥�/14¥Q¦2A¥S¦S2¥�/0¥Q¦/0¥¦Q2A¥S¦S2¦�/Z�20 �/0 Q�20 �/14 Q�214 S�S/0 �Q/A �214 Q�/A S�S/ �20 Q�20 �Q/A S�S/��)

=> y1 = '

��(¯�I��)

I = �4 (

1π2(a4Ic4) +

1π2(b4Id4) ) =

�� (

'(¬�Ik�) +

'(¯�I��) )

=> ∅ =

��.| (

1(®�/Z�) +

1(³�/´�) )

ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d

∅ = ��

�.� ('

(kµ�)�/(k¶�)� + '

(kµ')�/(k¶')� ) [Equação Geral]

Fazendo ce2 = a = 2r ; ce1 = b = r ; ci2 = c = r ; ci1 = d =

�4

∅ = ��

�.| (1

(1A·�/·�) + 1

(·�/¸��~) ) =

��.| (

113·� +

1�¢¸��~

) = ��

�.| (1

13·� + 1A

13�� ) =

= ��

�.| ( 1D

13��) = '¤��

' .�.�.+� (confere com o resultado anterior)

Fazendo c= d = 0 e a = b = ce2 = ce1 = ce:

∅ = ��

�.| (1

(®�/K) + 1

(®�/K) ) = ��

�.| . 4®� =

��Y�S^.( �)�.�

=

= ��

Y��^.��.� [cilindro maciço]

Fazendo c= d = ci2 = ci1 = ci e a = b = ce2 = ce1 = ce:

Adriano Alberto

33

∅ = ��

�.| (1

(®�/Z�) + 1

(®�/Z�) ) = ��

�.| . 4

(®�/Z�) = ��

Y�S^.a( �S)�–( �S)�e.�

= ��

Y��^.(��–��).� [cilindro vazado]

Resposta da lista: �¹��

� .�.�.+� Obs: Os cálculos efetuados para a determinação da equação geral estão corretos. Logo, a diferença da resposta da lista se deve ao fato dela estar errada ou não interpretei corretamente o desenho para poder atribuir os valores corretos de a, b, c, d em relação a r.

21) ∅ = � �(")�"�.�

�K =

4|.�. � . � º(�)ª��

K

T(x) = ?

�→

T(x) = (L – x ) . q

=> ∅ = 4

|.�. � . � a¼L– x½. qeª��K =

4¿|.�. � . � ¼L– x½ª��

K

=> ∅ = 4¿

|.�. � . (Lx - "S4 ) �

�K => ∅ = 4¿

|.�. � . (�4 - �S4 ) => ∅ =

4¿|.�. � .

�S4 => ∅ =

À.��.�.��

22)

Adriano Alberto

34

∅ = � �(")�"�.�

�K =

4|.�. � . � º(�)ª��

K

T(x) = ?

�→

¿� =

¿(")" => q(x) =

¿."�

T(x) = (L - x) a¿2¿(")e

4 = (L - x) a¿2Á.�Â e

4 = a¿(�/")2Á(Â}�).�Â e

4 =

ÁÂ(Â}�)ÃÁ�(Â}�)Â4

=

ÁÂS}ÁÂ�ÃÁÂ�}Á�SÂ4 =

ÁÂS}Á�SÂ4 =

À(��/��)��

∅ = 4

|.�. � . � Ä(�2I�2)2� ª��K =

¿�|.�. � . � (�4 I �4)ª��

K

=> ∅ = ¿

�|.�. � . (L².x - "Q@ ) �

�K => ∅ = ¿

�|.�. � . (L².L - �Q@ ) => ∅ =

¿�|.�. � . (

4�Q@ )

=> ∅ = �À��

��.�.��

Obs: Na lista a resposta é ∅ = À��

��.�.�� . Acredito que minha resposta está correta.

___ _____ ______

Adriano Alberto

35

Cálculo para o caso de uma distribuição invertida, com zero na região engastada e q na outra extremidade:

∅ = � �(")�"�.�

�K =

4|.�. � . � º(�)ª��

K

T(x) = ?

�→ T(x) =

(�/").¿(")4

¿� =

¿(")�/" => q(x) =

¿(�/")�

=> T(x) = (�/").Á(Â}�)

Â4 => T(x) = ¿(�S/4�"2"S)

4�

∅ = 4

|.�. � . � Ä(�2I2��+�2)2� ª��K => ∅ =

¿�|.�. � . � (�4 I 2�� +�4)ª��

K

=> ∅ = ¿

�|.�. � . (L².x – Lx² + "Q@ ) �

�K => ∅ = ¿

�|.�. � . (L².L – L.L² + �Q@ ) =>

=> ∅ = ¿

�|.�. � . �Q@ => ∅ =

À��.�.�� (resposta igual a da lista)

PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO – TENSÕES EM PLANOS INCLINADOS

Adriano Alberto

36

23) Determine o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a tensão normal de 70 MPa T ou a tensão tangencial de 75 MPa.

.¥�!= 70 MPa ; �¥�!= 75 MPa

Dint = 25 mm ; Dext = 50 mm


Adriano Alberto

37 �máx =

�� =

�.��Y��^.(��–��)

�máx = �. �

Y�S^.( ��– ��) => T =

�Åá�.Y�S^.( ��– ��) � =

DK.1K~.Y�S^.Æ(K,K43)�–(K,K143)�ÇK,K43 =>

=> Tmáx = 1 610,679827 N.m

*** 24) Para o eixo mostrado, determine: a) As tensões correntes no ponto A (na superfície da haste) sobre o plano B-B (o qual é normal à superfície da peça no ponto A e faz um ângulo de 40º com o eixo da mesma). Mostre essas tensões sobre um esboço ampliado da área elementar representando o ponto A; b) As máximas tensões normais ocorrentes no ponto A. Mostre essas tensões sobre um esboço representando a área elementar em torno de A.

b) �máx =

�� =

�.�Y��^.��

= �

Y��^.��

�máx = 0|.1KQ

K,3|.(K,K3)Q =>�máx = 64 . 'P£ Pa

a)

Adriano Alberto

38

Adriano Alberto

39

.1 = 64 . cos(10°) = 63,02769619 MPa �1 = 64 . sen(10°) = - 11,11348337 MPa

Obs: Na resposta da lista, os sinais estão invertidos. Acredito que minha resposta está certa. ***25) Um cilindro maciço de aço (G = 80 GPa) com 1 m de comprimento é solicitado, torcendo de 0,03 rad. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa, determine: a) O diâmetro permissível máximo para a peça; b) A tensão normal sobre um plano a-a, o qual é normal à superfície da peça no ponto A e tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial máxima na peça é de 60 MPa.

a)

60. 10A = �

K,3|.( )Q => T = £P. 'P£ . 0,5 . �.(�)� (I)

0,03 = AK.1K~.K,3.|.( )Q.1K,3.|.( )�.JK.1K� => c = 0,025 m => D = 0,050 m = 50 mm

Tmáx = 30. 10A . �.(0,025)@ = 468,75 . � N.m

b)

Adriano Alberto

40 tg? =

@0 => $C = 36,86989765°

�$C = 73,73979529°

2?P = 90° - 73,73979529° = 16,26020471°

�1 = 60 . sen(16,26020471°) = - 16,8 MPa .1 = 60 . cos(16,26020471°) = 57,6 MPa (compressão) Obs: Na lista consta Tração

PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO COMBINADA COM CARGA AXI AL

26)

Adriano Alberto

41

27)

Adriano Alberto

42

Adriano Alberto

43

Adriano Alberto

44

28)

Adriano Alberto

45

29)

Adriano Alberto

46

30) T – Taço – TAl = 0 ; ∅A = ∅Aço = ∅Al

��È.4,30K

Y�S^.a(K,K@J)�/(K,K4J3)�e.4D,3.1K� =

��ç�.4,30KY�S^.(K,K4J3)�.DA.1K�

TAl . ((0,0285)0.76) = TAço . (a(0,038)0 I (0,0285)0e.27,5) => TAl = 0,7818 . TAço

55 . 106 = ��á�(�ç�).K,K4J3�

S.(K,K4J3)� => Tmáx(aço) = 1 999,9408 N.m

41 . 106 = ��á�(�È).K,K@J�

S.a(K,K@J)�/(K,K4J3)�e => Tmáx(al) = 2 415,7534 N.m

Logo: Taço = 1 999,9408 N.m ;

TAl = 0,7818 . 1 999,9408 = 1 563,5537 N.m

T = Taço + TAl = 3 563,4945 N.m

∅A = ∅Aço = ∅Al = 1EEE,E0KJ.4,30K

Y�S^.(K,K4J3)�.DA.1K� = 0,0645 rad = 3,696°

31) TC = 75 N.m ; G = 80 . 109 Pa

a) �máx(CD) = ?

b) ∅CD = ?

∅CD . 0,040 = ∅A . 0,060 => ∅CD = 1,5 . ∅A (I)

F = ��

K,KAK => T(engrenagem menor) = 0,040 . ��

K,KAK

Adriano Alberto

47

Obs: o torque de 75 N.m é distribuído para os dois eixos. Porém, faz-se o somatório dos torques apenas para o eixo CD. Acredito que não se possam somar diretamente torques de dois eixos diferentes. A parcela do torque que é transferida para a engrenagem maior, causa uma reação na engrenagem menor, porém não significa que a reação seja com um torque igual, devido às engrenagens serem de diâmetros diferentes. Como a força exercida é igual para as duas engrenagens, essa reação é igual a F . R(Eng. menor) (não o raio da engrenagem maior). A soma dessa reação com a parcela do torque que foi distribuída para o eixo CD (TCD) é igual ao torque de 75 N.m.

TCD = 75 – 0,040 . F = 75 – 0,040 . ��

K,KAK = 75 – 0,6667 . TA (II)

∅CD = (75–0,6667.ºÊ).0,200Y�S^.(K,KKA)�.JK.1K�

=> ∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (¤ I P, £££¤.��) (III)

∅A = TA.0,200

Y�S^.(K,KKD3)�.JK.1K� => ∅A = 5,03008252 . 10-4 . TA (IV)

∅CD = 1,5 . ∅A => ∅CD = 7,545123228 . 10-4 . TA (V)

Igualando III e V:

1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667.ºÍ) = 7,545123228 . 10-4 . TA

TA = 1,627604166 . (75) - 1,085123697 . TA => TA = 58,54343922 N.m

TCD = 75 - 0,6667.ºÍ => TCD = 75 – 39,03091093 = 35,96908907 N.m

�máx(CD) = @3,EAEKJEKD.K,KKA

Y�S^.(K,KKA)� = 106,0121912 MPa

∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667.58,54343922)= 0,044171746 rad = 2,5309°

32) G = 80 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; T = 12 000 N.m ; L1 = 1,5 m ; L2 = 2 m

Adriano Alberto

48

�máx = ? ; ∅ = ?

∅ = �� ; �máx =

� �

T2 + T1 = 12 000 N.m => T1 = 12 000 – T2

∅2 - ∅1 = 0 => �S.4

K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� - ��.1,3

K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� = 0

=>2 . T2 = 1,5 . T1 => 2 . T2 = 1,5 .( 12 000 – T2) => 2 . T2 = 18 000 – 1,5 . T2

=> T2 = 5 142,857 N.m

T1 = 6 857,143 N.m

∅ = ∅2 = ∅1 = �S.4

K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� => ∅ = 0,0320 rad

�máx(2) = �S. � =

3104,J3D.K,K0KK,3.|.(K,K0K)� = 51 156 944,570 Pa

�máx(1) = ��. � =

AJ3D,[email protected],K0KK,3.|.(K,K0K)� = 68 209 262,750 Pa = �máx

33) G = 80 . 109 Pa ; ci = 0,025 m ; ce = 0,050 m ; T = 13 000 � N.m ; L1 = 2 m ; L2 = 3 m

�máx = ?

∅ = �� ; �máx =

� �

Adriano Alberto

49

T2 + T1 = 13 000 �N.m => T1 = 13 000 � – T2

∅2 - ∅1 = 0 => �S.@

K,3.|.a(K,K3K)�/(K,K43)�e.JK.1K� - ��.4

K,3.|.(K,K3K)�.JK.1K� = 0

=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . T1

=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . (13 000 � – T2)

=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 0,104 - 2,546479089 . 10-6 . T2 => T2 = 15 707,96327 N.m

=> T1 = 13 000 � – 15 707,96327 => T1 = 25 132,74123 N.m

∅ = ∅2 = ∅1 = ��.4

K,3.|.(K,K3K)�.JK.1K� => ∅ = 2,546479089 . 10-6 rad

�máx(2) = �S.K,K3K

� = 13DKD,[email protected],K3K

K,3.|.a(K,K3K)�/(K,K43)�e = 85 333 333,34 Pa

�máx(1) = ��. � =

431@4,[email protected],K3KK,3.|.(K,K3K)� = 128 000 000 Pa = �máx

34) GBronze = 40 . 109 Pa ; ci = 0,050 m ; ce = 0,075 m ; GAço = 80 . 109 Pa ; c = 0,025 m ;

L = 2 m ;

T = 67 000 � . 0,3 = 20 100 � N.m

∅ = ?

∅ = �� ; �máx =

� �

Adriano Alberto

50

TBronze + TAço = 20 100 �N.m => TBronze = 20 100 � – TAço

∅AB = ∅Bronze = ∅Aço

=> ��Ï�.4

K,3.|.a(K,KD3)�/(K,K3K)�e.0K.1K� = ��ç�.4

K,3.|.(K,K43)�.JK.1K�

=> 1,253651244 . 10-6 . TBronze = 40,74366543 . 10-6 . TAço

=> 1,253651244 . 10-6 . (20 100 � – TAço) = 40,74366543 . 10-6 . TAço

=> 0,079163076 - 1,253651244 . 10-6 . TAço = 40,74366543 . 10-6 . TAço

=> TAço = 1 884,95607 N.m

=> TBronze = 20 100 � – 1 884,95607 = 61 261,05627 N.m

∅AB = ∅Bronze = ∅Aço

=> ∅AB = 1JJ0,E3AKD.4

K,3.|.(K,K43)�.JK.1K� = 0,076800019 rad

35) GAço = 80 . 109 Pa ; GBronze = 40 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; LAço = 1,5 m ;

LBronze = 2,5 m ; �adm(Aço) = 130 . 106 Pa ; �adm(Bronze) = 40 . 106 Pa

∅ = �� ; �máx =

� �

TAço + TBronze = T => TAço = T – TBronze (I)

∅Bronze - ∅Aço = 0 => ��Ï�.4,3

K,3.|.(K,K0K)�.0K.1K� - ��ç�.1,3

K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� = 0

Adriano Alberto

51

=> 5 . TBronze = 1,5 . TAço => 5 . TBronze = 1,5 .( T – TBronze) => 5 . TBronze = 1,5 . T – 1,5 . TBronze

=> 6,5 . TBronze = 1,5 . T => T = £, ', . TBronze (II)

TAço = T – TBronze => TAço = A,31,3 . TBronze - TBronze => TAço =

'P� . TBronze (III)

�adm(Bronze) = ��Ï�.

� => 40 . 106 = ��Ï�.K,K0KK,3.|.(K,K0K)� => TBronze = 4 021,238597 N.m

�adm(Aço) = ��ç�.

� => 130 . 106 = ��ç�.K,K0K

K,3.|.(K,K0K)� => TAço = 13 069,02544 N.m (IV)

Verificando (IV) em (III):

TAço = 1K@ . 4 021,238597 = 13 404,12866 N.m > 13 069,02544 N.m

Logo, TAço = 13 069,02544 N.m

Então:

13 069,02544 = 1K@ . TBronze => TBronze = 3 920,707632 N.m

T = 13 069,02544 N.m + 3 920,707632 N.m => T = 16 989,73307 N.m

Adriano Alberto

52

36) A máxima tensão ocorre quando o acoplamento se dá ao mesmo tempo da aplicação de T0. Se a retirada de T0 for no mesmo instante do acoplamento, a tensão em BC será zero. Se o segmento AB girou antes do acoplamento, é necessário saber o ângulo de giro.

GBC = 80 . 109 Pa ; GAB = 40 . 109 Pa ; cAB = 0,050 m ; cBC = 0,025 m ; LAB = 2,0 m ;

LAD = 1,2 m ; LDB = 0,8 m ; LBC = 1,0 m ; T0 = 15 000 N.m

∅ = �� ; �máx =

� �

TDC = TDB = TBC

T0 = TAD + TDC = 15 000 N.m (I)

∅BC + ∅DB - ∅AD = 0 => ��.1,K

K,3.|.(K,K43)�.JK.1K� + ��.K,J

K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� –

��.1,4K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� = 0

=> ��.1,K.J

K,3.|.(K,K43)�.JK.1K�.J + ��.K,J

K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� –

��.1,4K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� = 0

=> 8 . TBC + 0,8 . TDB – 1,2 . TDA = 0 => 8 . TBC + 0,8 . TDB = 1,2 . TAD

=> 8 . TDC + 0,8 . TDC = 1,2 . TAD => 8,8 . TDC = 1,2 . TAD (II)

Substituindo II em I:

Adriano Alberto

53

8,8 . TDC = 1,2 . (15 000 – TDC) => 8,8 . TDC + 1,2 . TDC = 18 000

=> TDC = TDB = TBC = 1 800 N.m

TAD = 13 200 N.m

�máx(AD) = ��.

� => �máx(AD) =

[email protected],K3KK,3.|.(K,K3K)� => �máx(AD) = 67 227 047,96 Pa

�máx(DB) = ��.

� => �máx(DB) =

1JKK.K,K3KK,3.|.(K,K3K)� => �máx(DB) = 9 167 324,722 Pa

�máx(BC) = ��.

� => �máx(BC) =

1JKK.K,K43K,3.|.(K,K43)� => �máx(BC) = 73 338 597,78 Pa

37)

a) �máx = ?

TAB = 18 000 . � N.m - 8 000 . � N.m = 10 000 . � N.m

TBC = - 8 000 . � N.m

b) ∅D = ?

∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC

∅AB = ��.4,K

K,3.|.(K,KJK)�.JK.1K�

∅BC = ∅BC(Bronze) = ∅BC(Aço) = ��(��Ï�).1,3

K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� = ��(�ç�).1,3

K,3.|.a(K,KJK)�/(K,K3K)�e.JK.1K�

Adriano Alberto

54

=> ��(��Ï�).1,3.11,1KD4

K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K�.11,1KD4 = ��(�ç�).1,3

K,3.|.a(K,KJK)�/(K,K3K)�e.JK.1K�

=> 16,6608 . �ÐÑ(Ð+){Ò�) = 1,5 . �ÐÑ(�ç)) (I)

TBC = - 8 000 . � N.m = ºÓÔ(Ó�u>ÕÖ) + ºÓÔ(Íçu) => �ÐÑ(Ð+){Ò�) = - 8 000 . � - �ÐÑ(�ç)) (II)

Substituíndo II em I:

16,6608 . [ - 8 000 . � - ºÓÔ(Íçu)] = 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => - 418 731,5751 – 16,6608 . ºÓÔ(Íçu) =

= 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => �ÐÑ(�ç)) = - 23 056,89039 N.m

�ÐÑ(Ð+){Ò�) = - 2 075,850835 N.m

∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC = 1KKKK.|.4,K

K,3.|.(K,KJK)�.JK.1K� - 4KD3,[email protected],3

K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� =

= 0,012207031 - 0,007929166116 = 0,004277864884 rad

a)

�máx[BC(Bronze)] = ��(��Ï�).

� = 4KD3,[email protected],K3KK,3.|.(K,K3K)� => �máx[BC(Bronze)] = 10 572 221,49 Pa

�máx[BC(Aço)] = ��(�ç�).

� = 4@K3A,[email protected],KJKK,3.|.a(K,KJK)�–(K,K3K)�e => �máx[BC(Aço)] = 33 831 108,76 Pa

�máx(AB) = ��.

� => �máx(AB) =

1KKKK.|.K,KJKK,3.|.(K,KJK)� => �máx(AB) = 39 062 500,00 Pa (resp)

Eixos Sólidos Não Circulares

Tabela

�máx = �

�'.,§� ;

a × b

Obs: para a/b × 5 => c1 = c

Tubos de Parede

�méd = �

�%.��

; ∅ = ��

��.,§�.�

= c2

Tubos de Paredes Finas com Seções Transversais Fechadas

Adriano Alberto

55

com Seções Transversais Fechadas

Adriano Alberto

56 ∅ =

�� .�.% . ∮#*

�A . tA = �B . tB (fluxo de cisalhamento)

q = �méd . t

Para seção circular (t constante):

�méd = �

��%.+��

∅ = ��

0(|��S )S.�Ù . 2� . rm = ��

��.+�� .�%

Para seção quadrada (t constante):

�méd = �

�%.,��

∅ = ��

0¥�� .�Ù . 4 . am = ��

,�� .�%

Para seção de triângulo equilátero (t constante):

�méd = �

%.,�� .*�{£P

∅ = ��

¥�� .K.D3.�Ù . 3 . am = ��

,�� .�%

Adriano Alberto

57

38)

a) �máx = 0,J1�¥Q => 35 . 106 =

0,J1�(K,K3)Q => T = 909,563 N.m

∅ = D,1K��¥�.� => ∅ =

D,1K.EKE,[email protected],@43(K,K3)�.0K.1K� = 8,3953 . 10-3 rad = 0,481°

b) a = 0,070 m ; b = 0,035 m ; a/b = 2

Obs: utilizar tabela acima

�máx = �

�.¥¦S => 35 . 106 =

�K,40A.K,KDK.(K,K@3)S => T = 738,3075 N.m

∅ = ��

S.¥¦Q.� => ∅ = D@J,@KD3.K,@43

K,44E.K,KDK.(K,K@3)Q.0K.1K� = 0,500°

39) a = 0,019 m ; b = 0,0095 m ; a/b = 2 ; �máx = 100 . 106 Pa ; G = 79,3 . 109 Pa ;

∅máx = 15° = 0,2618 rad ; c1 = 0,246 ; c2 = 0,229

�máx = �

�.¥¦S => 100 . 106 =

�K,40A.K,K1E.(K,KKE3)S => T = 42,18285 N.m

∅ = ��

S.¥¦Q.� => 0,2618 = 04,1J4J3.��í�

K,44E.K,K1E.(K,KKE3)Q.DE,@.1K� => Lmín = 1,8360 m

Adriano Alberto

58

40) a = 0,030 m ; b = 0,020 m ; a/b = 1,5 ; G = 80 . 109 Pa ;

L = 0,750 m ; ∅máx = 2° = 0,0349 rad ; c1 = 0,231 ; c2 = 0,1958

�máx = ?

�máx = �

�.¥¦S =

�K,[email protected],K@K.(K,K4K)S => T = 2,772 . 10-6 . �máx

∅ = ��

S.¥¦Q.� => 0,0349 = �.K,D3K

K,1E3J.K,K@K.(K,K4K)Q.JK.1K� => T = 174,9356 N.m

�máx = 1D0,E@3A

4,DD4.1K}~ = 63,1081 MPa (La respuesta soy yo!!!)

41) T = 300 N.m ; �adm = 60 . 106 Pa

d = ?

a) 60 . 106 = @KK�

S. Q => c = 0,014710 m = 14,710 mm

d = 2 . c = 29,42 mm

b) a = d ; b = d ; a/b = 1 ; �adm = 60 . 106 Pa ; c1 = 0,208

�máx = �

�.¥¦S => 60 . 106 =

@KKK,4KJ.�Q => d = 28,860 mm

Adriano Alberto

59

c) a = 2d ; b = d ; a/b = 2 ; �adm = 60 . 106 Pa ; c1 = 0,246

�máx = �

�.¥¦S => 60 . 106 =

@KKK,40A.4�Q => d = 21,660 mm

42) T = 90 N.m ; r1 = 0,027 m ; r2 = 0,030 m ; a = 0,0025 m ; b = 0,0035 m

rm = (30 + 27)/2 = 28,5 mm = 0,0285 m

�méd = �

4Ù.Í� => �a(méd) = EK

4.K,KK43.|.K,K4J3S = 7,054 MPa

�b(méd) = EK

4.K,KK@3.|.K,K4J3S = 5,039 MPa

*** 43) T = 90 N.m ; r1 = 0,038 m ; r2 = 0,040 m ; a = 0,004 m ; b = 0,002 m

Adriano Alberto

60

A total = (�� + Asegmento

Obs: na questão r ≠ l

Asegmento = Asetor - Atriângulo

2� ------ � . r2

? ------- Asetor

=> Asetor = $.+�� (? em radianos)

Atriângulo = ?

Diagonal do quadrado = l√2 = base do triângulo

Dividindo o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos para calcular a altura h:

Adriano Alberto

61

r2 = (Ü√44 )2 + h2 => h2 = r2 - ÜS4 => h = X�4 I ÜS4

Atriângulo = XÜS4 . (�4 I ÜS4) = X(�.+�

� I (��

Cálculo de ?:

No mesmo trângulo retângulo, obtemos:

Fazendo ]4 = B

�vÖ>EK =

È√SSvÖ>Ý => senB = Ü√44� => B = arcsen(

Ü√44� )

=> $ = 2 . arcsen( (√��+ )

Então,

Asetor = r2 . arcsen( (√��+ )

Vamos agora calcular a área do segmento:

Asegmento = Asetor - Atriângulo

Adriano Alberto

62 => Asegmento = r2 . arcsen( (√��+ ) - X(�.+�

� I (��

Cálculo da área total:

Atotal = ÜS4 + Asegmento =>

A total = (�� + r2 . arcsen(

(√��+ ) - X(�.+�

� I (��

Obs: O arcsen tem que ser calculado em radianos

Cálculo da área média:

Am = (�� + +�� . arcsen(

(�.√��+� ) - X(�� .+��

� I (��

rm = (40 + 38)/2 = 39 mm = 0,039 m

lm = 55 – 2 – 1 = 52 mm = 0,052 m

Logo,

Am = 1,352 . 10-3 + (1,521 . 10-3) . (1,230959417) – 4,780041841 . 10-4 =>

Am = 2,746285089 . 10-3 m²

Adriano Alberto

63

�méd = �

4Ù.Í� => �a(méd) = EK

4.K,KK0.4,D0A4J3KJE.1K}Q = 4,096 MPa

�b(méd) = EK

4.K,KK4.4,D0A4J3KJE.1K}Q = 8,193 MPa

Testando a validade da equação fazendo l = r:

A total = �S4 + r2 . arcsen(

�√44� ) - X�S.�S

4 I ��0

= �S4 + r2 .

|0 - X��

0 = 4�S2|.�S

0 - �S4 = 2�2+�.�2I2�2

0 = �.+�

� (ok)

44) t = 0,0015 m ; �adm = 2,5 . 106 Pa

�méd = �

4Ù.Í�

am = 0,050 – 0,0015 = 0,0485 m ; bm = 0,020 – 0,0015 = 0,0185 m

Am = am . bm + (am – bm) . bm = bm . (2am – bm)

Am = 0,0185 . 0,0785 = 1,45225 . 10-3 m²

2,5 . 106 = ��á�

4.K,KK13.1,03443.1K}Q => Tmáx = 10,891875 N.m

Adriano Alberto

64 45) t = 0,0032 m ; T = 339 N.m ; �adm = 3,45 . 106 Pa

d = ?

3,45 . 106 = @@E

4.K,KK@4.Í� => Am = 0,01535326 m²

Am = (d – 0,0032) . (3 . 0,051 – 0,0032) + 0,0635 . (0,051 – 0,0032) = 0,01535326

=> (d – 0,0032) . 0,1498 + 0,0635 . 0,0478 = 0,01535326

=> 0,1498 . d - 4,7936 . 10-4 + 3,0353 . 10-3 = 0,01535326 => d = 0,085429372 m =>

d = 85,429 mm

Concentração de Tensão

Torção Inelástica

Tensão Residual

resoluçao torçao lista 3

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