repÚblica bolivariana de venezuelafqm126/tesis/anexos_tesis_capace.pdf · 2019-03-25 · 1&...
TRANSCRIPT
�����
��������������������������������������� ������ ��������������� ��
����������������������������� ���������!��������������"��� �#$����%�����������
%����������&��������'��#���(����)������*��������+������
�,�!��'�,'�* '%�
�-�)���.�' ���/////////////////////////////////*& //////////////��Argumenta tu respuesta a cada uno de las siguientes preguntas.
�&� El Teorema del Valor Medio para integrales plantea: Si � es una función continua en
el intervalo � ���, , entonces existe � ����� ,� tal que � ���
�
�������� )()()( 0 .
Interprete este teorema geométricamente, explique.
���������
�&� ¿Qué teorema garantiza que si )(�� es una
primitiva de )(�� en � ���, , entonces )()()( ���������
�
��� ? Explique.
�&� De acuerdo a la siguiente gráfica ¿Cuál es el valor promedio de )(�� en � �7,1 ?Justifica tu respuesta.
0&� Calcule: ����
� �
1
0
251
�����
1&� Bosqueje la gráfica de una función que exprese en cada punto del intervalo � �3,3�el área bajo la curva 12 �� �
2&� La población P, de China (en miles de millones de habitantes) la cual se puede calcular con la función � )014,1(15,1)( � . Si es el número de años desde el inicio del 2003. ¿Cuál es el valor promedio de la población China entre 2003 y 2007?
3&� Determine el área de la región limitada por 22 3)( 1)( ������ ����4&� Encuentre el volumen del sólido generado al rotar entorno al eje � la región limitada
por 22 8y �� ��� .
�&� Se inyecta cinco miligramos de colorante en una vena que llega al corazón. La concentración de colorante en la Aorta, una arteria que sale del corazón, se determina cada 2 segundos durante 22 segundos (véase la tabla). Sea c(t) la concentración en la aorta de segundos. Aplique la regla trapezoidal para estimar
�22
0
)( �
��&�La base de un sólido es la región plana del primer cuadrante limitada por
41
2� �� el eje de las � y el eje de las . Supongamos que las secciones
transversales perpendiculares al eje � son cuadradas. Calcule el volumen del sólido.
��&�Calcula la integral � �4
0
2 )5( ��� mediante sumas de por la derecha, tome h=0,5.
,�����������
,�#����� �� �� �� 0� 1� 2� 3� 4� �� ��� ����� ��� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
Segundos despuésde la inyección
Concentración(mg/litro)
0 02 04 0,66 1,48 2,710 3,712 4,114 3,816 2,918 1,520 0,922 0,5
��0��
���
%����������5��1���������������3���
�����������)����������������� ������6����!������ ��������������� ��7��)�� �8��)�������������� ������������������������������)6����� ����9�����.��������6�� ��+ �� �� ���#�� �8������)�������������)+����� ��� ��������� ��7��)+����&������������������ ����� 5� ��� ��� �8����� �� ����� :��;� ���������� �� ���� ������� 8��8����������������� �&��� %��� ���������� 8�� �������� �� ��� ������ �������+�� �� ���<���������7������ ��� �������������.���8�� ���������)��5�.��8���8����)���� ������ �%������������� �7��)+������� ������=*=&�� ��� ����� 7��)��� ���� �� ��� ����� #���� ������ ��� ��)��� .���)��� �� �>�� �� .� �9� �� �� ��� <����� �� � ����� � � ��#����� <������� ����������� ����&��
?@������A�-�)���.�' ���B////////////////////////////////////////////////�������B/////////////�*>�� ���� �������B//////////////////��
���
'����)��5����
,��7&�%����*����
��3��
MAI-203
@������:��>��� ��.�6������3B������B����)&;��
� ' �����.�-�)����
*>�� �� ������� ��>��� �� C���� =�����������
�� ����5����D����
��02442�� �� 3B������B���
3B������B���
�
�� @����#����5����$��
�240�0�0� �� 3B������B���
3B������B���
�
�� "�+�5�E��77��
�420����� � 3B������B���
3B������B���
�
0� �� #��5�C�)�����
�31�4��1� �� 3B������B���
3B������B���
�
1� @�����5�(���.�
�33������ �� 3B������B���
3B������B���
�
2� ,� �#��5�C<���
��30�3�1� �� 3B������B���
3B������B���
�
3� ,>��5�F> �G� ��03�312� �� 3B������B���
3B������B���
�
4� @������5�F��.�
����2013� �� 3B������B���
3B������B���
�
��
MAI-203 �
@������:��>��� ����3B������B����)&�E��������B�������B����)&;���
� ' �����.�-�)����
*>�� �� ������� ��>��� �� ������ =�����������
�� ,���5�C����
����3�0�� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
�� *<���5�(�����
����021�� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
�� � ����5�%�������
���2��0�� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
0� *�)��5�' G�����
�3�43�44� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
1� H<���6�5��������
��1�0224� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
2� �� ��5�������#�
����3113� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
3� "�����5����. .��
�3�0��32� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
4� �� �������5����� �.�
�3�0��2�� �� 3B������B���
�B�������B�1�
�
���
�����
���,I�% *'���=% �'� '-'�(����-�J!�%'�
� - �"�� =�(����(!*'* K-��*!%"!�'�E�(��,=�"��� INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA ��������������������������������������������������������(��%'�� *"=� '����������������������������������������������%'�� *"=� '&���"'(=�'�'@!'�
�DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
:�' L���;�,��M=(=B����3L ���N=�'��,�=@�'�'('�B�20�
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ���'-'� *=-"�- (=�� ��'%!'* K-�
�� Función primitiva. Integral indefinida.
Propiedades. Integrales inmediatas
�
�� Integraciones por sustitución. Integración por
partes
�
�� Integración por partes. Integración de
funciones racionales
,,�L���O�
0� ��#������� �� 7�������� ������� �&� ��#������� ��7�����������#���)>�������
�
1� ��#��������������������������#���)>������� ,,�L���O�2� ��#�� � �7�����&� ,�������� 7����)��� �� �� ��
���#�� ��7�����&���
3� F�������� �7������� ��� ���#�� �&� "��)��F����)��� � � � *+ �� �5� "��)�� � � �� ��� )���� �������#�� �&�,���������� �����#�� ��7�����&�
�
3� %�����#�� ���������)��������)������&�' ����������� �����#�� �
�
4� *+ �� �� � � +��� �� �#����� �)������� ��� 7������������������
,,�L���O�
�� *+ �� �� � � �� �)�� �� �� ����� �� ��� �����&��� �)������� ����&�
�
��� *+ �� �� � � +��� �� �� ���7���� �� ��� �� ���� ����� �����&�%��#������������
�
��� ' ����������� ������)$��.�)�� ���������� ���� ��#�� �� �)�����&� *����#����� �� ���#�� ��
�)������,,0L���O�
��� *���������������#����������#�� ���)������ ��0� ��#���������)>����B�-D���5�"������� �.������ ������
����)���&����������������G�)������
�1� ' ��������������#���������)>����&�� ��2� ' ������������������ �����#�� &�
PP5- 20%
�����
�3� � �Bibliografía
%�����5�N���� ��.���D���&�*+ �� �&���������� ����@��D�N� ��� �)���&����9�&������� ���D���� .� ,��.&� *+ �� �� ���� @�)��$�� '�� $����&� �������� � ,������ N� &�����������N������)>����&��>G���&����2�� ���D��� C&� ,��� 5� (� � �����#&� *+ �� �� ���� � @�)��$�� '�� $����&� �������� � ,������N� &������N������)>����&��>G���&������ �,��P�����-&�*+ �� ��(�7����� �� ��#�� &� ��!"�N'&�@����-���#���������&��>G���&�����4���
���
�1���
���� ������ ��������������� ��
������������������������������������������ ���� ������������������������ ���
%����������&��������'��#����
�Papel de trabajo:
�*� �� )��� �����#���������#�� �������.����� ���7�D����',%�B���
����� .1 �
��
� � 21 .2
���
�
����������������������������������������������������������������������������
��
����
32 1
2 .3 �
����
����
� �12 .4 �
����
�� 21
.5�
���
����
����� � )1(
1 .6 �
�
Con MapleQ�with(student);�Q�a:=Int(2*x/(x^2+1)^3,x):a; Q�changevar(x^2+1=u,a,u); Q�value(%);�Q�subs(u=x^2+1,%);��
Con MapleQ�with(student); Q�b:=Int(x/sqrt(2*x-1),x):b; Q�changevar(sqrt(2*x-1)=u,b,u);�Q�value(%); �
Con MapleQ�Int(exp(x),x)=int(exp(x),x);��
Con MapleQ�Int(1/(1+x^2),x)=int(1/(1+x^2),x);��
Con MapleQInt(1/sqrt(1-x^2),x)=int(1/sqrt(1-x^2),x);��
Con MapleQ�with(student):�Q�c:=Int(1/(sqrt(x)*(1+sqrt(x))),x):c; Q�changevar(1+sqrt(x)=u,c,u); Q�value(%); Q�subs(u=1+sqrt(x),%);�
�1���
�
����� � 21 .7 �
���
����
�� 2
)ln(1 .8 �
���������
���� �
� 2
/3
.9 ���
����
���� �� )cos( .10 � ����
����
� ���� �2 .11 �
���
� ����cos .12 �
����
Con MapleQ�Int(sqrt(1+tan(x)^2),x)=int(sqrt(1+tan(x)^2),x);��
Con MapleQ�with(student);�Q�e:=Int((1+ln(x))^2/x,x):e; Q�changevar(1+ln(x)=u,e,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=1+ln(x),%);�
Con MapleQ�with(student);�Q�f:=Int(exp(3/x)/x^2,x):f;�Q�changevar(3/x=u,f,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=3/x,%);�
Con MapleQ�with(student);�Q�g:=Int(exp(x)*cos(exp(x)),x):g;�Q�changevar(exp(x)=u,g,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=exp(x),%);�
Con MapleQ�with(student);�Q�h:=Int(x*exp(2*x),x):h;�Q�intparts(h,x);�Q�value(%);�Q�h=%;�
Con MapleQ�with(student);�Q�i:=Int(x*cos(x),x):i;�Q�intparts(i,x);�Q�value(%);�Q�i=%;�
Con MapleQ�with(student);�Q�j:=1/(x*(x-1)*(x+2)):j;�Q�convert(j,parfrac,x);�Q�map(Int,%,x);�Q�value(%);�
�1���
� �� )2)(1( .13
�����
���
���
�����
�� ��
�44
8 .14
23�
�����
���
��
� 2
3
16 .15 ���
����
�� 4
.162����
�
���
� � 35 .17������
�
����
���� 23 1 .18 �� ��������
���� �22
.19 � �����
Con MapleQ�with(student):�Q�k:=(x-8)/(x^3-4*x^2+4*x):k;�Q�convert(k,parfrac,x);�Q�map(Int,%,x);�Q�value(%);
Con MapleQ�with(student):�Q�Int(x^3/sqrt(16-x^2),x)=int(x^3/sqrt(16-x^2),x);��
Con MapleQ�with(student):�Q�Int(1/(x*sqrt(x^2-4)),x)=int(1/(x*sqrt(x^2-4)),x);��
Con MapleQ�with(student):�Q�Int(1/(5*sin(x)+3),x)=int(1/(5*sin(x)+3),x);�
Con MapleQ�with(student):�Q�l:=Int(x^3*sqrt(1-x^2),x):l;�Q�changevar(x=sin(t),l,t);�Q�subs(sqrt(1-sin(t)^2)=cos(t),%);�Q�subs(sin(t)^3=sin(t)*(1-cos(t)^2),%);�Q�expand(%);�Q�value(%);�Q�l=%;�
Con MapleQ�with(student):�Q�m:=Int(x^2*exp(2*x),x):m;�Q�m1:=intparts(m,x^2):m1;�Q�m2:=op(2,op(2,m1)):m2;�Q�m3:=intparts(m2,x):m3;�Q�value(%);�Q�m=op(1,m1)-%;��
�1���
������
� �� 253 .20
2 ����
�
������������������������������������������
Con MapleQ�with(student);�Q�f:=x->1/(3*x^2-5*x+2);�Q�completesquare(denom(f(x)));�Q�o:=Int(1/(%),x):o;�Q�changevar(x-(5/6)=u,o,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=x-(5/6),%);�Q�Int(f(x),x)=%;��
�10��
���� ������ ��������������� ��
������������������������������������������ ���� ������������������������ ���
%����������&��������'��#��&��
(����)������*��������+������,��7&�%�����������*����,>���
�������-R������%�����#�� ��7������� ������������������
Objetivo General ������������B������� �����.�5������ � ���������������7��)+��������� ���7�D����� �:������������)�� ����.�#�+7��������)��)+������.�<���)��������+ �� �;�.��������.�)��������&��
�'�������������� ���7�D����',%��
���������
'����������B��Q�D��<:������;S�Q�7BTGLQ�8��:�UGV�;S�Q� ��:7:G;5GTL�&&25.T�&&35�<��P���T�;S�Q���#<���G:7:G;5GTL�&&05�;S�Q���#<���G:7:G;5GTL�&&05�1;S�Q���#<���G:7:G;5GTL�&&05���;S�Q� 7���G:7:G;5GTL�&&05�;S�Q� 7���G:7:G;5GTL�&&05�1;S�Q� 7���G:7:G;5GTL�&&05���;S�Q�)��� ��G:7:G;5GTL�&&05�;S�Q�)��� ��G:7:G;5GTL�&&05�1;S�Q�)��� ��G:7:G;5GTL�&&05���;S���'����������B�
La finalidad de esta sesión es la comprensión del concepto de integral definida y establecer vínculos con lo que ya se conoce de la integral indefinida y los métodos de integración.�
Comprender el concepto de integral definida y sus propiedades.
�11��
�Q�������B�Q�D��<:������;S�Q�#BTGLQGV�L�WGU1S�Q� ��:#:G;5�GTL1&&15.TL�&&�15�<��P���T�;S�Q�)��� ��G:#:G;5GTL�&&050;S)��� ��):#:G;5GTL�&&050;S�Q��� 7:O;S�Q�)��� ��G:#:G;5GTL�&&05�1;S)��� ��):#:G;5GTL�&&05�1;S�Q��� 7:O;S�Q�)��� ��G:#:G;5GTL�&&0521;S)��� ��):#:G;5GTL�&&0521;S�Q��� 7:O;S���'����������B��Q�������S�Q�D��<:������;S�Q���):XPX5XPXT�&&�;�T���):XPX5�XPXT�&&�;S�Q�7�����:O;S�Q���):XPV�X5XPXT�&&�;�T���):XPV�X5�XPXT�&&�;S�Q�7�����:O;S���'���������0B��Q�������S�Q� ��:GV�5GTL�&&�;T���:GV�5GTL�&&�;S���'���������1B��Q�������B�Q�7BTGLQGV�U�S#BTGLQLGV�U�S�Q��� �:7:G;T#:G;;S�Q� ��:Y7:G;5#:G;Z5GTL0&&05�<��P���T�;S�Q� ��:7:G;5GTL�&&�;T���:7:G;5GTL�&&�;S�Q� ��:#:G;5GTL�&&�;T���:#:G;5GTL�&&�;S���������������
�12��
��� ������ ��������������� �������������������������������
������������� ���� ������������������������ ���%����������&��������'��#��&�
� -"�@�'%�����(�F - ('��
,��7&�%����*������������4�
*� �� �� �����#���������#�� ���7������B�� ��#�� � ������� ��#�� � �������
1) ��
�
1
3
���1
�2
1
�3�
�
2
9
�
2;
�
��
�
1
4
1
�� �
��
�2 �
2) ���
-2
2
e ( )� /1 2 ��
�
� ���2 e ( )-12 e
�
7) ��
�
-6
-10
1
���� 2�
�
��
( )ln 2
�
3) ���
/3 4 �
/1 2 �
( )sin � �
�
�
�1
22
�
8) ��
�
-2
2
1
����2 4�
�
�1
4�
�
4)
��
�
0
/2 3 �
1
���5 4 ( )cos � �
�
��
1
9� �
���9)
���
-5
-3
����2 4 �
��
����
6.893586100
�
1;
�
��
�
2
4
���16 �2
�2� �
�
� ���1
3� 3 �
�
10) ���
1
e
( )ln � �
�
��
1 �
� 18)
�13��
���4 ( )ln 27
4
��;
�
��
�
2
3
1
� ( )���� 1 ( )���� 2� �
� ��� ���1
2( )ln 3
1
2( )ln 2
1
6( )ln 5
T .0655070979 ��
�
�
8
27
1
���� �( )/1 3
� � ���9
2( )ln 2
3
2( )ln 3 �
�12)
���
2
3
� ( )ln ���� 1 �
�
��
�
19)
���
3
11
���2 � 3 �
�
��
98
3
��13)
���
1
4
( )���1 � � �
�
��
-116
15
�
��20)
��
�
-1
-2
1
��� ����2 2 � 2�
�
���
( )ln ���2 1
�
14)
���
0
2
�2 ( )����3 1 �
��
�40
3
�
21) ���
0
1
( )ln ����2 1 �
�
�
��� ���( )ln 2 21
2�
��
15)
���
-1
1
�2 ���4 �2 �
�
��
� ���1
23
2
3�
�
��;�
��
�
4
9
���1 ����1 �
�
�
���
� ��� ���1 8 ( )ln 2 4 ( )ln 3
��
16)
��
�
4
8
�����2 15
�
�
���
6
�
��;�
�
��
�
-8
-3
���� 2
� ( )���� 2 2� �
��
��� ���1
2( )ln 3
1
5( )ln 2
�
17)�
�
�
/-1 2
0
�3
��� ����2 � 1�
�
����
1
93 �
5
8
�
�
�0;
�
��
�
3
4
1
���25 �2� �
��
���1
5( )ln 3
1
5( )ln 2 �
�14��
�' L��������������.���,��7&�%����*�����
Aplicaciones diversas de la integral �
�&� %�� �� ������ ����� � �� ���� ������� �� �� �&���&���� � .� >���� ���� ��������G������ )��� ���� ���� ��������� �� ����)����� �� �5��&� [*�+ � ��+� ���� ��������)������ ����������� �����G�)���1���9��\�
��&� !��� )���� � )����� 2���� �������� �� ��� �������� ����� 0� )��&� ��� �
�������� �� ���� ��������� .� ��� )��� <����� ������ � � �������� �� 7��� �� � ������� )�&� �;� (������ �� 7������� ���������� ���� ��� ������� ��)����)��&��;�*� �� � ���)������G��������� ����������� �� )��>������� �������������)��&�
�
�&� � �����)������������� ������������������)���������)�����
��25,01
3000
�� 5�
��������� ���)�����$��&�%���� ������������ �:���;����������&��������������������� 8�� �������� �� �� ������ �� ��� 8���� �������� .� �� �� �� ���� ���������������T��
�
0&� %������������ ���)�����������������������B� ��
�3400
90000
�� �*� �� �����
�����)������ � �50,40 &��
1&� *� �� �� ���)���8�����������7����������6���������F������1��F���� �������
� ��
300
250100
1
2ln
10 ���
�
�2&� %������������)�����)���������������)������������������)������
����������� ������#]����� � ��� ������7��������.���<�����)������8�� �������������� ���������5�G���������� $���������9��� ���7������������+� �������� � �����)���� �� ���������5� �� ��� G����� ���
250000012000)(' 2 �� ��� ����� �� �� �� ����#]���� � � ��� � .� )(�� �� ����������� ����)� ���������9��&��
�3&� !��������� ���8��������1������� ������� ��������� ��$�����#����+�
����������������9���.�<����������������8������������)��� ������� ���� �� ��+� �� 3,02000� � ��� ����� &� ��������� 8�� � ��� �����)� ���� �� �� ���������� )���� � �� ���� ���� )��� � � ����� � �)����������)�)���5��� �� ���[��+ ��� � ��#���� 7���������������� �������� ���� ��G���$���� ����&�
�
�1���
4&� � � ������ )��#��� � �� ���� 7+������ ��+� ����� ��� 2310
1�� �� $����� ���
���$�� ����������5�������� ���� ��������������������������&�(����������7��)� �� 8�� �)���� �� �� ��� � ������ ���� � �� 7������� �� ��� ������� ������������ �� �� �������� .� �� ��� #������ 7�6��� *F� :������ � � ��� � ���;� .��� �� ���+ ��� ����������� ��� ��������������1��������������$�� ��5���� ����������7�6��������������������&�
���� (������ ������ �$����� �� ��� <����� �� �)������� � � ��)�� �� :)����� ��
<����;�7���� 2
3
1447 �� #�����&�[*�+ �7�� ���)���������)�����������
���$���\���
����!��� 7�)� ��� ��9� �� )������ ���� ������ �� ����� 8�� ���� ����� ���
120;27
500.32
27
250.21
27
250)( 2 ����� � � [*�+ � �� �� ������ �� �����
��)�������� ���)�����)���\��
����%��#���������� ��������)�������������)�����$��8�� �������� ��������
�)������ )(��� � ��� � �� ��
�����0
)( ������� ������������)�����������.� �
������� )(��� � &��������� ��#��������:���� ���;��� ��������)��������������������������
���������)����� 310
500�
���
� ��������� ����������0�&�
��&������������ � 0� ����� ������� � %� ������ � ������� ������������ ����������
� ��9�&�,���� ���������� �� 7��)� ��
�
���� �
��
��� ��
10010 �<����������� ��
����� ������������ �������������������� ���)����5� ��8��8���� ��������
��� � �� ����8���
��� 1000� ���������������� ����������������� .� ��
7��)� ������� ���)��������������� ����������� ��������������#���8�����������������)������������������<������������������&�1�&���&�������� &�%���������#��3O�������>����)�������������&�[^�>������ �������+�� ��������1��9��\�
���&�����#��� 8�� �� ������� ������)��� ������ �� ���� ������ �� �<������ ��
������������_��2�������� &�(��)��� ��� ���� �7��� ���0��9������ ���������#�� �4O���������������������)�����&�
�
�2���
�0&��������� ��#���������� ��������)������:���� ���;��������������������
���������)�����2006,050)( ��� �� �������� �������������&�
��!��!�������������<���������+ ���������������� ��������������������.������ &�
*��� � 8���� .� ��)��� �� �����6������ ����� �5� �� 7+������ ��� �������������� �������� �������&� �� ���)�� 8�� ���� ��)����� �� ��������5� �� ������ ����)����� ���)���������������������������$�������������������)����
�� � ��)��� �� ) ����� �������� �� �� �680� � ����� � � �� ���)��� �� ) ����� �������� �&� ���������� �� ���������� ������� ��� ����)�����1�) ������� ��7����� ����� �G�����&�
��2&�!�� ���� ��� ��� ������ 1�� ����� �� �� ��� �� ������ � � �$�� .� �� �#����+�
������ �� ������� �9��&� �� <�� ��������� 8�� ������ �� ��)��� � ����� ����� �� ��+� �� 3,02000� � ��� ����� &� ��������� 8�� � ��� �����)� ���� �� ������������)���� � ������ ���� )���� ������)��������� �� )�)���&� [[*�+ � ��+� � ��#���� 7������ �������� �� �� ����� � ���� ��G���$����������\�
��3&�����#�� 8�� �� �� ������ )����� � ����� � �� �� 1&1��� )� ���� .� 8�� ��
�� ������ ������ �� �� �9��� ��+� ����� ��� �� .� �� ����)����� G������ ��� 023,05,5)( � � �������� �� �� ������ ��)���� �� �� ������ �� ���
��G�)�������9��&��
�4&�!��� �����8�������� ������������)��� 5���������8�����������)��#��� ���� �������� � ������ � �� �������� 15004,0 � � �� ��� ��� � �� ���������� �� � � �������������&� ��� ���������� 7�6���������_1����������5�������� ����������������� � � �������������&�
���������
�Batería de situaciones varias de aplicaciones de la Integral Definida.
��&� *� �� �� � +��� �� �� �#���� ��)������� ��� �� #�+7���� �� �� ������
��� cos)( � 5� �6� � ��� ������� �� � ��,0 &���&� ���8�6� ��#�+7����������7�������8��G���������������� ������� ��`L
�5�a� �+�����6�� �������� 12 �� � ��
�&� *� �� ������ ��)6������G�)������8������� � +��� ��6�� �� �����5� �� �������� ��G������8����#�� ��7������&�
���
�
�2���
0&� *� �� �� �+��� �)��������� ��#�+7����.� �6� � ��� ������� ��`L�5�a&���� ����#�����7�#���B�
���
1&� (���� �� 7�������2
61)(�
�� �� &� *� �� �� � +��� �� �� �#���� 8�� �� �������
���� �6� � ����� ��������� 1�� �.� 3�� &��
2&� ��� � � �1
0
2)( ���� � .� � � �� ��)�� ���� 7������� �������&� ��������
� � 1,0 ,2)( ��� ��� �6����7�������������&��
3&� ���� �� y ������������� � ���, ����� )()( ���� �� �������� ������� �&�[*�)������ ���+������ ����#�����8�� ���������������������� �6� � �����
�� y \���
4&� � � ��#����� �� ���� �� ������ � � ������ ������� � � 6� � � � ���)�� �� �� ������26 �� �� ���������.����&�[*�+ ��� ��� �)��� ��� ���\�:���7�#���;�
��&� �������� �"��)��� ��� ���������������#�� ��.����G�)���)�����8�>�
����� �� �� ��#����� #�+7���� �� 7������� � ������ ��� �� ��� )���&� C����7���� ���������&�
����
���
����
�2���
��&�������������� �������#� ��������G�1��)����&���8����������������� ���������+�����4���)��.� �������6�� ����)��6���$�&�%���#����8���������������������� ����������7��)������+�� ����)�� ��������� ��7�#���&�[^�>���+�� ����)���������\�
���
���&��� 8���� ���������� ��� )���� �� ����������
���� ������ ����)��� �� �� �������&� ,���� �� �� �8���� <���� ��� ���7����� ��)����&� � � �7� � �� ������� �� )������ �� ��7�#���� .� ��+� �7������ ��� �� 7�������
1 para 1
3)(2
��� ��
�� � G������ ��
)����&�[*�+����)�������������\��
��&�*� �� �� �� ��#������ �������� ��#�+7������ )ln(cos � � ����4
y 0�
�� �� �
��
��&�' � ��������� ����9��������5� �� ��������� ��������)������� ������������� �� 07,01,16)( � ��)� ����)� ����������� ������� ��� ��9�5������ ��� ���)������9������������������������3�&����)���B�
��;� (��)��� ���������������� �������)����������3��.���30&��;� ���8�6� ��#�+7������������� �+�����������&�
��������
�0&�%���7������������������ ������ )���)+���)��������8���7����� ��b7������ ����L��<���&�'��8�� ���)����� � ���������� ���#���� �����<������� �������������� 5� ����������)�������)�������)����)������ ���<���� �������� �����#��7�������&�� ������������ ������������� 5� ���������������)����)�������)����)������ �:��)� ������)������������;��� ����+�� � �9��� ���>�� �� ���3� ��+� ����� ���G�)���)��� ��� �� 7�������
�� 03,02,76)( � &� (��)��� �� ��������� �� )����� ���� ��)������ � 8�� �������)��+����9�����3�� �����&��
���1&�(��)��� �+��� �)��������� ���������� ��� 3y 2 32 ��� �
��
�2&�%���������������� �������������������� �������+)�����"��� ��#�����#�&�(��)��� � �� �)�� � � �� ���� ��� ����� ������� ��������� � ������ ��� ���"���������+�#� ��8�� +���&�
�
�2���
�3&�*� �� )��� �+����� ���#����$� �)��������� ���#�+7���������T� ���%���T��%���T��&�
��4&�N� ��� � +��� �� �� �#���� $� �)������ ��� ��� #�+7����� �� ��� ��������B�
4,5
2
5
2,1
9
)2( 2
�����
� ��� �
���&�N� ��� � +��� �� �� �#���� $� �)������ ��� ��� #�+7����� �� ��� ��������B�
0,4,2,12
������� ��� �
���&��N� ��� � +��� �� �� �#���� $� �)������ ��� ��� #�+7����� �� ��� ��������B�
5,13
,122
2
�������� ���� �
���&�N� ��� ��� �)��� ��� ��������� ������#������� �#������ ������� �6��5�
���#���� �)��������� ��#�+7����������T� � 5��T��5���T��5���T�0&��
��&�N� ��� � �� �)�� � � ����� �#������� � � #����� � ������ � � 6� �5� �����7������)����������� �����+�� ���������������� �� �� ,2 �
���&�(��)����� � �� �)�� � � �� ���� �������� � � #����� �� �#���� � � 6) ��
�������5�� ������� �6��&��
�0&���������������� �� ��� �� ��#������ ��������������8����������&��
�&� 3 0 ,23
12
32 ���� ������������ �
�&� )3,3(2 0,0)( ,49 32 ���������� � �
�&� 2 1 ,8
1
4 2
4
���� ���������
� �
�1&�,���� ���)��� �� ���7���� �� ��� �#�� �� <��� �� ������ � )�������� 8�� ��)��������� ��7�#���&�����)��� �����7����)������ ���# ���� ����������&�
�������%���)��������+����)����&���� ����#�����7�#����
�20��
��2&�����.�����������)� �#��)������� �����������������8�� #��� ��������&�%������������������� �������� ��'����5������������8���� �� ��������5������)������������#�����������������#������:�>��� ����� �;&���� )( � ����������������� �����������>�������#�����&�' �8�� ���# ���������� �����
���)��� �22
0)( � �
����
�����������27. Calcula el valor aproximado con 4 cifras decimales de cada una de las siguientes
integrales. Usa los métodos Trapezoidal y de Simpson.
�;� 61
13
0 4�
�� ����
����������������;�� � ��2
0
3 81 ���� �
���
�4&�%����� ��)������ ��� �������� )(� �#����������� ���������)�������������)������8�����6����6������������<� ��� ���������)���� �� ������&�
!�� ��� ���# ��"������� �.�����)������������)��� ������������ ���
���� )( �
������������ ����)������������$���������<���������
�� �� �� �� �� 0� 1� 2� 3� 4� �� ��� <��:�;� ��� �0� �3� ��� ��� ��� �1� ��� ��� �0� �3� �� ��c<�
�
�#���������>����� ����.������
*������������:)#c ����;�
�� ���� ��0� �52�2� �50�4� �53���� �53���� 05���0� �54��2� �5���4� �51���� �5����� �51�
�21��
��&� !��� )���� � )����� 2���� �������� �� ��� �������� ����� 0� )��&� ��� ��������� �� ���� ��������� .� ��� )��� <����� ������ � � �������� �� 7��� � � ��������)�&��;�(������ �� 7������� �������������� ������������)����)��&��;�*� �� � � ��)���� �� G�������� � � �������� �� � � )��>�� �� ��� ���� ���������)��&����&�*� �� �� ���)���8�����������7����������6���������F������1��F���� �������
� ��
300
250100
1
2ln
10 ���
�
���&� !��� 7�)� ��� ��9� �� )������ ���� ������ �� ����� 8�� ���� ����� ���
120;27
500.32
27
250.21
27
250)( 2 ����� � � [*�+ � �� �� ������ �� �����
��)�������� ���)�����)���\���
�����
����������������������������
�23��
=����������� ��$�����L��L��4�� ���7����<��������������� �����#�� ����7����������� ��8�������6��-D���&���� ��$����<�.����������+�� ������6����:��)���;5� �����#�� ��7�����&���9��<��������&�,��� )���� ���# ��:d� ;��;�[*�)�����������������#���������������\� ,�#����� 8�� �� ���� ������ .� � � �)��� �������� 8�� ���� ��+�� �5� ���7������ ���� ��8������������;�[*�)�����)����� ��#��������������5�+�������#����� �)�����������������.��� �)������� ���������#����\��� � ��7���� ��#��� 8�� ��� � �)���� ��)�� ����� 8�� �#�� �� ��� ����+� ���)������&�� ���7����G ������)��������������������#���������������.��#�������)������ ������� �� ��� )�&� %��� � �)���� ��� ������� .� � ��7���� �� ���� 8�� �� ���������&���� ���� )�������)�����+�������#����� �)����������������e&�:N��� �����6�;�:�����.�� �+������)���������� ������;&�,�#�������)������ �� �� �+�����������+�#� �5� �� ���� ������7�����5� ��� ���+�#� �5 ��&� �G ���� 8�� �� ��� )�� ��+�������������� �����#�� ��7�����&��������8������ ����������+�������������������� �� 8�� �� �� ����������&� (7��� �� ����������&� %��� � �)���� �����&� ��9��<��������&�N���������7��������)����� �������������� ��$��� �&��G ����.��� ����8������� ��8��<��� �����#�� &�(���6���� ������������������� �)�������������������&�����7����8����)+��7+�� �<� ��� �+���������>��� ���)������&�'��#��� �� ���������� -R� �� .� ���#�� ��� ���)�� �� �� � ��� �� <�.� .� �� �� )�9���&�*�)����������� ����������������8�����������#������ ���)������&�%���� �)������)������ �� �����6��� �� � ��)������5� ���� � ��#��)�� �',%�&� �G ���� �����)������8���������� ���)�������.���)������� ���� ��&�' �)��� �9� �� 8�� <�.� ����� �� �� #�$�� �� 6�������&� � � ��7���� �� ���� ����� � ���������� �� � ��)������&� � � ��7���� �� ��� ��������� �� ����� � �)��� ������������ ������6��8���� ����&�%���� �)����������������� ������������������ ��� 5��������>�������)���$������� <� ��#��5� ����� ���� ���� �$5� ��8�� �� ������� )��<�� ��)�� ���� #��7����&� � ���7������������<���������� �)����8���������� )�������#��7�����.� ���� ���� ��������&�
�24��
,�#����� �� ��� � �)���� ����� � ��)��� �� ���+�#� ��� 8�� �� 7��)��� .� ��)�� �����)���� �� ������ )+�� � � +��� �8�����5� ��� � �)���� ������� 8�� ������� <�.����������+�#� ����������)+����������� �������&�' #������ �)����8�� #���������������� �����������8���������#��7����&�,�#����� ��� �� ���� ��� ���� ������S� ��� � �)���� ������ 8�� �� )����� 8����)����� ������+�#� ������������� ��������.� ���7���� ��� ����8����������� �f+����� �������g�(�� ��������������#�+7������� ��������&�,�#����� 8�� ������ ���� ������� �� ���� �����&� -���� �����5� ����������)+����7��)������.����� �)���������� ����������������&�:���&�*��� �����;�,������� ���������������-R��&�!�������������������6����� ���)����.�G ����8���� ���� �� ��� ����� ������ ��)�����&� '� ���� � �)��� 8�� #�� ����� .� ��� �����������6����5� ����#�� �)����� �.� ���� ������������)������������8�����������������������&����������� ���� �)��������������� ����� �����������&�!��� �)����#�������8�>���� ���� �#�+7���&�� ���7������ ���&��G ����8��� �7��� �� �#�+7����� ���)������������������)������&�*������ ��������� ����9���� ��8�������� ����)������������ ��G������&�,�#����� 8�>� ������� � ��)����� 8�� ����� � � 7��� � �� �� #�+7���&� ��� ��)���������� ����)���� ���+������ ���h&�*��� �.�8�������G�)����������)+��� �+��� �� �� �����&� ,�#����� ��� ��+� � ���� .� �� ���� 8�� �8� ��� � �)���� 8�� ��� ��<�.����� �� ���������6�������8� �����)�9����8��.�� �����������&�'� ����8���<����������������6����� ��������5�.�����#�)>�����)���:��)������;��������� $����)��&�,�#����� 8�>� �� ��7�����5� �� ���� 8�� �� ��� +��� �)������ ��� <���� ��7�������
���+�#� ��&�%���������8�������)+����������������8������� �<�.���7���������)���&����������������������������������������������������������������������������������
�6) �7���� ������������ 4,1 �� ��� �?�����A�
(���6�� �� #�+7���� .� G ���� ��)�� �� �� ��� ��� ����������� ���� ��� ������ ��5� .� ��$����)����� �������� ������+�#� ��&���
'� ������8������� ��� ���� ��������� �� 5�������>���� ��� ��� ����)���� ��� �����
�� ������+�#� ��&�,�#����������+�� ���&�%���� �)�����������8����&�������� �+����� ���#����:7��)� �;&�:?(���������A;�:� �����#����� � ����������;�
�2���
,�#��������������� ��$)�� ��� 5��� ������ �)���������8����&��
,�#����� ��8����#��7����8�� �����)�������������#��7����8��<�.������)�����7�����������+�#� ��&��G ������ ������ ������8�� #����)���&�������� ��7��)� ���� �����#�� ��7�����&�%��7��� ������������ �����8������#�� ��������������#�)>�������� �����#�� 5�G����������� �����������)6���������>��� ������ ���)������&�(7�����)������)���&��G ������ ��������� ����7���������� ���������)�������)���&�����=����������� ��$���0L��L�4�� � ��7���� ��)����� ���������� �� � �������� �� 7��)� �� #��� � �� �� ���#�� �
�7�����&�'���������)��6) ����)���������� ��� ��
1
2
2��� ���)��� �
�
������ ��
���
10
lim �
����������������������������������������������������������������������������������������������������������:� ���7������)����� ��������1�� �)���;�"�)�������� ����#�� �������������� ������������������.��5������������������ ��&�����
:F��)���3
;5���#��G ���������)�����������.�� ��� ������ ��� .� ���������������
��� d� �� ����� �� ����&� �G ���� 8�� �� �������� �� ��� �������� ��
���
��� ��
�
���1
32 � !���
� �)��� �#����� ����� � ������ �� �� �� �������2
32 �
��
��� �� �
�'� ���� �� �����
������ ����� 2��� %�#����� ���� ����)���� �������)������)�������3
5������
�3
:�U�U�e&&;&�,�����)�������������� ���������5� ��������8�������<� �����:�i�
*�;� ���� <���� ������ ��#������� .� ��������S� ���� )���#�� ������+�� ������)���������� ������� ����)��������������� ��� �6�������-R��&�%���� �)������������������� ���7��������� ������6���� ���������� ���)������5������� ���� �����5� ��� G ��������� .� <��� �� ���������&� %��� � �)���� �����
�3���
� #�������������� �������� �����)��������������� ����)��������.� ���7���� ���� ��������������� ���������8�������� ������&�:�6&�*�)��������);&�%���� �)���� ������������� �� ��� .� ���7���� �#�������� .��<��$��� �����6���� ����������)�����&�� � ��7���� �#����� 8�>� ��#��7���� �� ��)�� �� ��� ��)���� ��)���� .� �� �������8���� &�E���$��������)��&�� ���7�����#��������<�.�� #���������.�����������ee&�!���� �)����������������� ��7��)� �����������6�� ���� ����)��������.� ���7����������������������� ��.��� ����� �����������&�:%���� �)�����������������<� ��� ����+ �� ��;�� ���7����G ���� ����+ �� �������������� ��������&������� ������������������� �)������ ��� ���:���>�������)��&;�'� ����8�������� ��7��)����8����)����<� ���� �����#�� �7��)� &�'� ����8���������� ������ �� <��� �� 7��)�� ��� $����5� ��� �<���� �� ��� �� �)������� �� 7��)��#�)>�����&�'�������������� ��������� ����)��7����)��� �� ��+ �� ��:� ���������� �����#�� ����7���������� �����#�� ��7�����;�.��� ����8������� ��8����<���������� ���)��������8���������������)�&�'�)+�� ���7�����<��� �������������8�������)���8��<���� ���)������������)����)���5������8����������������� ��������:.��8���������)��)+�����;&�
!������ ����)��7����)��� �� ��+ �� �&�*���� �)��)����� )���������� ��
1
2
� ��G��
.� ����� �5���������� �)��)����� �����������)�����)+������ �&�[� ���7������ �����#���������<�.�� #��������\�:����������;�?����A��#����)��� ���������8��.��������� ������������� �����#�� ����7������.���)��������������� ����������������#�� ��7�������� ��������&�%���������8�������������7������� ��',%�&�:' #������ �)������+��������$�������������� ����)�������;�%���������� ��� �����#�� ���� ����������)������',%�&�,���������� �����)������8������������� �����.���#���8������� ��� �6�������0&��#����)��� �� ������� 8�� ���� �� ��� ��� �� �� ��)�������� � 6������� -R� 15�� ������������� ������������� �����#�� ��7�����&�%�#�� �� ����� )������� �#����� �� ��� � �)���� ��� <��� <�<�� � 6������� .� ��)��8������� ��� #�+7����� �� 7� .� #&� �#����� ��+ � �� ��� 7�������� ��+� ��� ���)�&� !��
�3���
� �)��� ������ 8�� �� #�+7���� ���� : �� �#�����;&� N��� �� ����������� �� 8���������)�.� ����.���������������� �����)�����&�,�#�������+ ��� �+���)�.���.������ �)���������8�� ����#&�%�#������� ���������-R�0�.� ��#��7������ ��������&�,�������� ���6���������� ��#�$����� ������� ����)����������)����������� �-R� �5� ������� � �',%�&� %�� ��#��� 8�� �� ��� �� #�$�� ���� ����� � #�������� �������� ����G�)��� ��&�*���� ���� ���#�� � �� � �������� .� �#����� ��)�� �� ��� ��� ��&� !�� � �)���
������� 8�� ���� ��)���� �� ������ � 12 �� �� � .� � ��7���� ����#�� ��� ������ �
6��������� ��������&��G ����8��� �7��� �<�.�8����������� �������� �.��<����������������5����� ������)����� ��� $)���������#������&�
,�#�������)������� �� �����#�� � �10
2
3���
�.���� ��� ��7��)� ��������� �� �&�%���
� �)���������������������)��&���#�� �#�������� ��)�� �� ��� �� .� �����+��� �� �� 7��)�� �� ��� ��� �������#�� 5�<�������)����� �6������&�%�����8����� ���� �6��������<�������� ��',%�&�'� ���� ��)����� �� ��� ��)������ .� ��)�� � �',%�� ��)���� ����)+����)��� ��� $)���������#������&�,�����8����� ���� �6�������-R�4��� ���)������5�8�� �#������� ����+��� ��������&�,�#����� ��� .�� �� ��� ������ .� ��� ����� 8�� ��+�� �����6����&� %�#�� ������ �6��������� ���������.��#�������)����<��� ���)������������ &�!���� �)��������� .� ���7���� ������#&�*�������������� ����� �6��������� ��������&��� �����#����������� ��� $)���������#�������.� ���� �)����������� �������&�' #������������8����.� ���7�����#��������8�>&�,�#�������)������ ��7������� �#�.� ��G�.�����������&��� �����#������ ��7��)������� ��� �����#�� &��� �� �� � �)��� �����&� *�������� ��� ������ ���� �� ������������ �� � #������ �)���&���� ����G�)��� ����� ����#����������� �)������6�������.� ����������� ����� �������7��)��&�
��
�3���
=����������� ��$����L��L�4�'� ���3B1�� ���7������)����������������� ��������� ����)��� ��� ���)�����������#�� �&�'� ����8�� ���)���������������)��������������6��+��������$�&�N������������� �������� ��8���� �����#�� ��7�����&�,�#�������+ ��� ��$��� ������ �� ���#�� � ���7������.� �� ���#�� ��7�����5� ���������� � ���)�� 7����)��� �� ��+ �� �&�%���#�����8�>���$�� ����)��� ��� ���)�����������������.���)����� ������5� � ��7���� �� G ���� �� � �������&� %�#�� G ���� � "&�&�&� �������#�� �&� ,�#����� �� 8�� ������� #�+7���)��� ��� 7��)� ��
: � ���
������� ))()()( �� �.��� ����8��� ������������)��������&��
,�#����������+�� ������������&�-���������&�� ���7������� �����6) ���� ��������&�N����#����������� �6) ��.� ���� �)�������������&�%�#������� �� ��� �� �&� ,�#����� 8�>� �� �� 8�� ���� ��� �� ���� � � 7��� &� !�� � �)��������� 8�� ��� ��)��&� *�)����� �� ��� ��� .� �#������ ����� �� ��)�����&� %���� �)���� ��� �������� ��� 7��)� ��� �� �� ���#������&� ,�#����� 8�>� �� <��� ������� ���� �.� ���� �)��������������&�%�#������ �� ���� 5�#��7���� ��7��������� �
��������.������� �+��5���$���)�� ��� ���)���&�,�#����������+�� ����.������������[\��#����)��� ������ �� � �������� ��� �������� [\� E� ��� G ���5� <�������� ������ �� 8�� �#�� �� 6) �7����+&� *���� ��� 6������� �� � �������� ��������)������ �����8�������7�8�� �"��&�,�#���������� ��8����#��7���� ���)���
8����������� ����� �����#�� &�,�#�������)���� �� ��$��� �+����� ���<��������������������&�-���������&�%�#������� ���� ����������� �����#�� ��7�����&�*�������6�������.���)��������#����� �� �� ��� � �)���� ��)�� ���� ��� ������ 8�� �)����� �� 7������� .� ���#���� �)�������������&�� ���7���� ���� ������ ��������&�,�#�����8�>��� ��8����#��������� ��� �6������&�-���������&�@��7���� ��7��������� ��������&�'������<�������������� ��� ��5� ���7����<��$�������������)����� ��)������6���������������� �)��&��#����)��� ����� ����������������:��)�����;�����8��)��������� ��� ���6�������&��������� ���7����G ���5�.�� ���� �)�������������)���������<���� ���6������������ ����)�������&�
�3���
,���������� ��������6) ��:���$�����#���������� �)�������8�� ����� ������� ��������5���6�����#�$�5����������;&�,�#����� ����7�������������6) ��.� ��������&�!���� �)�������8��������� ��������� ����������&�� ���7�����#�����8���� ��8��<�����������&� '� ����8��<�.�8��<� ���������������&�F��������� ���������&�@��7���� ��7������&�:����������#�������7�����������������)������)��)+�������+�����;�!���� �)����#���������� ��������� ����8�������� �#�+7���&��G ���� 8�� �� ���� <�.� �#����� ��������� .� �#������� 8�� �)������ ��� ��� �������#�� �&�*���� �6�������05��#����� ��)������ �� ��� ����������� ����&�%����� �� ��.� �����#��� �����)����������8�� ��#��7�8�����������)��������&�@��7����.���� �� �6��������� ��������&�%�#�� ��������������� ����������������� ��� ������������������ ��� �8�� ��.������������ ��� ���� )�&�%�� ��7��)�� 8�� �� ��� 6) ��� �� ������� �� ���7���� �� ��� #�+7����� ��� ��� +������+��������)����������6���� ���6�&�,����������� ������������������5�.���8��������� �+���8��<�.����� ���������� �)������� ���� ���� �� ���� �� �&� "�)��>�� ��� �������� � ����� ��<� ��� ���#������������������.���������&��=������������ ��$����L��L�4�� � ��7���� ��)����� �������� �� � ��� �� �.�5� ����� ��� +���� ���)������� ��������������.� �)���������������������� �6� � &�
*�)����� �#�������� ����� �� � ��� �������� .� ��#��� ��� ��� ��� ��� )�� 8��������� ��������&�,�#�������)���������� ��� �6������5�� #������������8��#��7������� �����������&�� ���7������#���8����)+��<� ����� ���������������������)����:������.�����;&�,�#�������)����������� ����)������������&���� �� ����)�����������.��#�����8��>��8����#��7���� �&�,�����8�� ��<�#����� ���)�������.� �������� �����)�����&�%���� �)���� ��#��7������� ���)�������.� ���7�����#�������� ��� ��� ���� #�+7����� �� )�.��� .� ��+ �� �� ���� � ���#��)��&� ,�#����� ��)�� �����)� �� �� ���#�� � �7�����&� %�� ��� 8�� �� <�#��� ���� )��� .� ��� �� ���)������&��(7��� ��� ������ �� ����� .� �� ���� 8�� �� ����� 8�� ��+� ��� ���)�� �� �� )�.���:7�#�������)��;&�N����#�������������)��8����+� �����#�� ��7������.���� ��� �� ��)�����&� "�)���� ��� ������ ����� � 6) �&� %�#�� �� ���� 6������� ����������
�30��
8������������<� ��� �+�����������������&�,�#�����8�>��� ��8�������<������)��&� ������ �����)������������� ����� ���)������&�!��� ��� 8�� �� ��� ��� �� � ��)������� :������ �� ����;� ������� 8�� �� ��� ���� �������� $����)����� ���)������&� ������8����������� ����� ��#�+7������ ������� 7�������� �� �� ��)�������� .� � ������� ��� ��)�����&� :%��� � �)���� �������)��<����#��7����;&�%�#�� ���7����#��7������ ���������:��� $����)��;�.��9� �� ��������#�����8���� 7��)��5� +���� 8�� �� ���� �� �� �� ��� �� ������������&� ,�#����� ��)�� �� ��� �����)� ��� ��� ���#�� &� ,�#����� ��+ � �� ��� �#����� ��+� ��� ���)�� .� ��+ � ������6�&��,�#����� ��� ������ �����������#����8����)������� �� ���.���)���������+�� ���������&�%�#�� ����#����������� �)������6���������$7������ ��#�$��8�� ��7�����#��������)��&� � � ��7���� ��� �� ������� ������ �#��� �� ���� �#�������� �� ������ �)��&��
�=������������ ��$����L��L�4�'� ��� 3B1�� '�&� � � ��7���� .�� <��$�� ������� �� � �������� �� � ������ � � �)�� ���� �)������� ���������� �����5���������.�6) ��&��� ���������������������)�)��������� �)���&�*�)�������9����� ��� ����������������� ����������� �����#�� ��7������.�7��)� ��� #������#������8�� ���� �)����������������&�N���� ������������ ����� �� �� ������� �������� �� ������� 8�� <��$�� 8�� G ���������� ������)�����.������� ������� �� �����)������� ��',%�&��G ���� ��8�������� ���������� �����&�F��)� ��� #������#������� �������� ��)�&�%�#��G ���� ���#�+7������ ��������&�
%�#����#���8��������� 0��� �������� ��� �)��� ��� ������ �������������
���G�)�����&�:' #������ �)����:��;�������$����<�� ������������������;��
*��� �.�8��������� �� ��� ��� �)��� ��� ��������$B� ���
�� ����� )( 5������8��
���� �����#�� ��� �� �)��� ��� �)��� ��� �������������������� �� ��� ����)������)���&�
�31��
������� �� ���� ������ �� � �������� ����� � �+ �� �� �� �� 7������� +��� �� ����������� ��������� �&� �#����)��� ����� �� � �������� �� � ������ �� ����������������� �������� ����� �6 5��������.�6) �&�
�G ����#�+7���)��� �)>������ ������&�*� �������6) ��.��#�������+ ������ �����������#���&���� �� �6��������� ��������&�%�#������ ��)��)��7��������������������� �������dT��.� ���#���� �)��������� ���� ������ .� ���� ����&� !�� � �)��� �#����� ����� ���� ����� �� � ������ �� ������������ � � ������ �� � #�+7���&� �� � �� ����� ��� ������ .� ����#�� � ��7������� ������ �6������&�N����������������� �����8�� �+����������#���� �)���������������������)>������� � 6� d� .� G ���� �� ������� �� ���<�� ���#�� &� %�#�� �������.� ��� �>�)����� .��#�������)�������� ��� �� ���#�� � :?-���� �����A;��� �����#������8���� �������&�-���������&�:(����� ���������������;�:(�7������� ���������;&�'� ���� �)���� ������������� ��������������������� � .���� �� ���7���� ����8����� �� �&�?N�����A�'��#������6����������� ��$����#����5�<� ����� ��� �)���������� ��������� �&�: �����#��;&�%����#���8���������8��������������G�)���� ������5���)+��8�������������)����� ����� ��������������&������=������������ ��$���0L��L�4�'� ���3B11�'�&�� ���7������$����������� ��������� �)>������ ���� ��������� �B�@�����������#������������������&�%���#������� ���� �)�������<��$���������#����� �������.������ ��<���&�'�$�8�������$����G ���� ����)�����)��&�� � ��7���� �� ���� 8�� <��$�� ��� ��)��)���� ���� ��7���� .� � �)���� ���� ���������#� ��)��� .� ��) ��� ��� ���#�������� ������ �� � ��5� ������ .� )������ �����#������� � � �$�S� ��� 8�� ���� )�.� ����� ��� 8�� ������� ��) ����� ���<����)��)���&��#����)�����)����G ������� �)>������ ���� ��������� ��.� �#����� �������6) �&�,�#�������)������#��������������������� ���7�������� ��������.������ �������&� ,����#���� ���� �� G �������� #��7������� �� � �������&� %�#��������� �� ��� �� �� ��� $����)��&� ' � �#������ ��� $)���� ���� ��� ��� �� ��� ����+� �����#�� 5� ���� �)�������������&�
�32��
%�#�� �� ��� �� �5� �9����� 8�� �� )��)�� 6������� �� ��� ��$�� ���� ���������������������������&�, ����� �6) ���������5����������� ��)��)���#������������ �6� &�
,�#�������)���� �)�#����� ���� �)����8��8����$�� �� �#�������+��� ����������� &�-���������&�
!��� ��� #��7������� ��� 7�������� G ���� 8�� <�.� 8�� <���� ����������� �� ��������� �� .� ����� �� �� ����� ��� ������������&� '� ���� ��� �� ���� ��� ������� �� ���7�������� �� � ������ � � 6� &� �� ��� �� ���#���� ��� ���� ������ �� � ����� �� &�
@��� )��5�������� ���7�����#���������� ����� �������� ������#�� �5� ���� �)���� ������� ������ ��� )��� �� ��� ��������� �+������ :6) �5�,�������� �� ��� �������5� ��������� � #�������� ���� ��;� .� ��� ����� ������������� ��� ������)������ � ������� �� ��� �������� �� ��� ���#�� �� .� ������ �����&�%�#�� �#����� ��� <�.� � #���� ����� .� �� )���7����� 8�� �� �� ��G�)�� )���� <������� ��+��6����������� ���.����� ��',%������������#������ ���7����������<�6����������#���������������� &���� �� ����� 6) �� ����� � )��)�� 6������� ��� �������� �� �#���� ������� �� ��
����� � � � 1��� &� @��7���� �� 7������� .� �#����� ����� ��� �� ���� ��� ������&� -����
�����&�� ���7���� ����������� ���������.����� �)����#������������������������� ���������&�� ���7������ ���� �������.�����#�� �6������&�,���� ������ ���� ����� �� ��#��7�������� � � �����5� � ��7���� ���#��� 6�������� 8����+����� ������ ��� ��)��)����<������� ��&�Observaciones de día 20-02-08
'� ��� 3B01� '�&� � � ��7���� ��)���� �#�������� ��)�� �� ������� ��� �� ����� ����� �����5� ���� �)�����������������8������ �������������&��#����)��5� ���� ��� ������� � �)�� �� � �������5� �� ������� �� G ������� �)������� ������������������������&���� ��#�+7������7�#������������G ���� �������������������8�����������.���$���)�������� �� ��� ��7��)� ��8�����)��������� �)�&�%�#���#�������)������ �� �� �����#�� ���������.�����������&�� ���7������ �����#��������)������� ��+��<������ ��',%��.������� �����)�������� ��������&�!���� �)��� ����� ���� ����)�������5�.� �#�5� ���7������)���������� �� ���� ��������&�' �7��� ��#�������8�>� ������������7��)� �5����� �)���������
�33��
8��������� �+���� � � &�� ���7���� �������#������+��� ��8���� ��� �)���� ����+)��&��'�������������� �����#������6������&�*�)���������� �� ��.��#��������<�.�����5�����������&�!��� ��� ��� ��� � 6������� ����� �� G ����� ����� ����B� ��#����� �� ����5�G ������� ����7����������������������&�,�#�������)������ �� �� �+���������������7������.��� ������� �)��������&�� ���7������������� ��������� �����G�)�������� �����#�� ���������������&�' ����#������ ��+ �� ���� �� ��#������ �������#�������)������ �� �� �������������������������������&��� ������ �)�����������)����&�� ���7��������#�� ���)������������ ��������&�,�#������#����)�������� ����)��� ��� ���)������ ������#�� ��.������ ��������5�.� �#���������� ���� ���� �� ��#������ �����&�!������<�<��� ����+ �� ���������������5��������� �� ��#������ �����&�:�G�������������������������� ���� �)����)������� ���7����������� ��������;�*� �������6) ���� ���������.� �� ���������)����� �� �����',%�� ���#������ ��� ��)�����&� !��� ��� ���#����� � 6������� �� ������ �� ����� ���� �� ��� � �)�������� �.���� ��� ���� � ��)������&� ,����#�� ��� ������ � 6������� �� � �������5����� )�.� ���� ����������� ���� ��� � �)���5� .�� 8�� ����� ��� �������� �+ �� ��� )��� �&�,����7��� ��������#������6�����������<� ��� �� ��#������������������>�)������� 5�
���� �5�������������� ��������� ��7��)� �������������&��
=������������ ��$���3L��L�4�%��� �����<�.���+�)����)����+�����&�� ���7���� ����#�����������$������� )������ ����������� �����#�� ��7�����&�%���� �)�������#�� ���)����� ���6���������� ��#�$�&�,����)���G ������ ��������� ����������� ��������)���&�%���� �)�������������� ����� �6��������� ��� �������� ��)�������&� !��� ��� 8�� ������� �� #�+7���5� � ��7���� ���#�����8��������<�������� ��#�+7���&�� ���� )�������������� �� ��� �+����� ��
�#���� ��)������� ��� �� #�+7���� �� �� ������ ��� cos)( � 5� � 6� G� �� � ������ ��
� ��,0 &�
� ���7��������6�� ���������� ���������.��#�������+ ������ ���+����8����������������&�!��� �)�������� ���������������.��� �+����������&�%�#���#�������)��
�34��
<� ��� ��� ������ �� ����&� *�)�� ��� � �)���� ��� ������5� � ��7���� ������� �����)������ �� � �������&� '��� ��$� ��� � �)���� ��� ����� �������� �� ���#�� ��7������8�����8���&�� ���7���� ������������������.��� ������ �)��� ��<����������)��&� ,����#�� � ��7���� ���� � 6������� �� � �������� ��� ��>��� ����� $����)��&�%�#�� ���� �)�������#����� ��� ���� )��-R�35� ���7����<��� ��������������� 8�� �� ��� �� ������)��5� ��� ������� ��� 6) �� ����������� �� ��)��� ����7�������5� ����� ���� �� �� ������ �� �� ����5� �#����� ��)�� ���� �)���� +�������)������� ��� ��� 7�������� �� ��� ������ �� ����&� ������ ��� ��)������ �� �������������8�� ������ ������ ����)�������&�!������8��#��7������� #���� ������ ��������8�� ���+���������#�� �&�'�������������� ���� �)���� �#����� ��� ���� )��-R���.� ���7���� ���� ����8����+���������� �����$��� ��� ���)�����������#�� �&�*�)������� ��������5� ���7���� ����������� ��������&�*�)�����G ��������� �#�+7���� ��7������� �)�������������������5��� �������8�� � ���+�#� �� 7��)���� �� �#�� � � � +��� �� �� �#���� ��6�� �� �����&� �� ��� ��+� ������G�)�����&�,�#��������������������������� �+�����6�� �������&��!��������� ��� �6������������������� ��� �6�������-R���&�� ���7����#��7���� �+����� �������&�,����������)����� ����+�� ��������>���� ����������#��� ����#�����#����5��������������� ��>����&�,�#�������)������������ ��� �+������������ ����+�� ���������&�%���� �)������������������&�� ���7��������)����#����5����������� ���������.����7����� ���� �����#�� ��#�� +��� �� � � +��� ����&� �� ��#��� �� ��� � �)��� 8�� �� �� ���<�� ���#�� � �� ��������&� � � � �)��� ��� ��� ���� ���� � 6������� .�� 8�� ��� ���� ��6��� ����������&� � � ��7���� � �#����� � � ����� �� �� � ��� .� ����� �� 8���� ��� ��&� � ���7�������� �.� �6������&�'� ������������� �� ���#� ��� ��� � ��� )�� -R� ��&� � � ��7���� �� <��� ������������� �� 8�� ��� ��� �������� ��� 7��)� ��� ���� � �',%�5� ��� 8�� ��� ��)���� ���� ���� ����&�!���� ��� �)������ �� �6��������������������.��� ��)������� ���7���&�%�#�� ���7���� ��������� ��7��)� ��.��� ����������� ��������&�,�#����� ����)��� �� ��� � �)���� 8��>�� <�� ��� ��� � ��� )�&� ,����� ����� �� ����� $����)����� ��������5�<����������� ���� ������������&���������
�4���
Información en crudo tomada directamente de las grabaciones y apuntes
���������������� ����)������������ �����c��c�4�
� ���7���������� � �������������� ���&�'�������P:� *����������� ���� �� ������� �� � ��#��)�e� ���� ����� ��� �<���� �� ���#�� ��7�����5� ��������� <����� � )�)���5� ��+��)��� ������ �� ���#�� � ���7�����e� ������� �� 8�� <��$�� -D���5� �� ������� �� �� )����� �� �� �� ��� ��� ���#�� �e� .������������)����7���������<������ ��8��<������)�����:)��)+�����' )+�;&�%�����#�� �����)���&�P:� '<���� ���e� 7$6��&� (��� �� ����#]���� G���$��� ���� ��� )��� 8�� �����������������������8� ���8���������������<����)��)+�����.�8������������<����� ���# ��d� e������� �����5���)�������e����������#���������������&�['�8�>�)��7����.����+����<�� �������������\�[^�>������������\�A1: ¿������+�� �\�P:�,������������+�� �5��������)��7�������������������)��7����������7����������$5�������� �������������#�+7���5���������8�6������)������)����� ��7������5�������� �� 7������������ ��� 5������������� �� 7��������7$������������ ��)�����7�����7��)�������� $���e�������� ����)���������&�PB���������7$6��5������� ������ )��������)��������������������#���������������.5��������)�����)����� ��#��������������5�+�������#����� �)�����������������.��� �)������� ��������)�����������#����&��El profesor escribe en la pizarra:
�;����������������������������������
�P: ��������� ���������� )���8�������$����� ���# ��d� 5����������� )����� ������������������ ���������� ������#]���&�P:�� ���)���8��8��������e�.������8������������e �����#��������������5������#�����������5���)��<� ��� ����������#��&�j����� ���)����� )����������
"���8��������� ��8��<�.�����������)���������&�
�4���
������ )���8������������&�[N�.��$������8�>���������������������� )�\�,�������)����� ����������#���������������[8�>���� ���\�A2:�[%�����#�� \�P: -�5e� ���� �� 8�� <�.� �����)��� ��)�� �������e� �������5� �� ������������#�)>�������� ����������������7������������������������)����B���� �����#���� �+�#� ��8�����)���� ����������#�������������� �6�G&�P: E5&&&����������� )���� �8�����)������������ �� ��#����������������5���)������������ � �� �)�� �� ��� �� ���� �)������ ��� �#����� .� ���� ���������)��� �� ���+����B���)�����)����� �+����������#���� �)���������������5��� ��8�������7������5�8�����.����#��&&&����6) �����������������&&&������������ ��������B��
��&&&.�8�����<� ��� �+����� �� �#���� �)��������� ��5� 7$6���8������ ������������ )��.�.������8��������������)��>��[������������� �� ���+���\�[� �+�����������+�#� �� ��������� �� ��\�A2: �������� ������������&�P: [� ���������+�#� ����)��>�� ��������� �� ��\�[E� �+���� ��$��� �\�A1:�,������������ ���������&�P: �G����5�,������������ ���������&�P:�,���7$6��������5�[<�.�� #����7��)� ������<� ��� �+����������#���\�A1: -�&�A2: -�&�P: ����������)����<$������� )��.������� )����+������ �������� ��+ �� �����#�� � �� �� ���#�� � �7�����&� *�)�� ������ ����� ��8�� .�� �� <��� ��������5� ���)����� )�5� ��� �� ����� ���#����� ��� ������ ���������&���� ��#�����
N�.�������������� �����#�� ��7�����&�
�4���
��� )�5����� ������#]������ ��������� ������<������������������5���)��� ��8������������������&�Escribe en la pizarra:
Cuadratura: Es una región rectilínea cuya área es equivalente a la de una región
curvilínea.
P: �� ����� ���� ����������� �� ���)����� ��� +��� ���� $��� 8���� ��� � � +�������� $���8����8����<� ��&��������<� �� ����������� ������� ���� )�&�N����)��<������������������������5� ����)���8���������� ���� ����N��������:01��'*;� � � 8���� �������� � �$��� �5� > � ��� �� �#��5� ��� #�� �� ���)����� � #�� )�.�����������������>���&&&�El profesor dibujó en la pizarra:
&&&�)������ 8�� �� ��)�� � � +��� �� ��� ���� ������ ��� 8���� ��� � � +��� � ����+�#� �����+�#� �&�'�$����+������� $�����)�� ������������#� ����8���� ����� ����)��������+��������� $����.���������������������.������ ��8��<��� �����#�� �����6) ���� �����#�� �����)���&�Dibujó en la Pizarra:
�P: '�������8��.����<��$�������6������ �����#�� ��7�����5�7����)���� �8�� ��7��)� ���&� ��)���� � )+�� 8�� ������ ���� �4�2� .� �4225� > � �� 7�)���� ��� �� 8�� ����������)�� ����)������)����.���� ����)��������<�.&�,��������)�.���� ��������� ����)������)���5���)����������6����� ���)���������5�����5�8��������� �8������ ������ ��8��> �<���������:���7����� ��8������6���� ��������;5�> ���������������.�����.�� �+����������������5�������.��� ����������� �������������� .� �5� ����� ���>�� � ���>� �� 8�� �� ���� ��������� ��� > � �� 8�� <��� �� 8���������.� ���+�#� ��5� ����� ���+�#� ��� ��� ���+�#� ��5� ���� ��� ��� � G��)��
�4���
> rightbox(f,x=-1..4,25);
�������������������� �5������ �G��)��)���5���)������� �8�� ����������������+�#� �� �� ����� ���� �� ��� ��������� ��� �� �� ��������� .� �� � ����� �� �7��� ���)�#��� �G��)��)�.�����)����������������� ��)������ ��7������&�j ����� �.�8������������������.������ ���+�#� ��� ����)��� �+����� ��� ���+�#� �����8���� ��5� ��6�� ������� ����������5� �� 8���� ��� � � +��� �� �� �#���&� -�������������������)����5� ��)��<���� �������6��� �� �������������� 7+�� �.����� ���)��<����)�5���)������8���� ��8��<��$����)�������� ������+�#� ������� ����)������� ����� ������������������� ���)������&��Descripción de la actividad 1 utilizando el Software Maple versión 8
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������
Q�with(student): Q�f:=x->sqrt(3+x^2); Q�plot(f(x),x=-1..4,y=0..10);�Q�rightbox(f,x=-1..4,4);�
�Q�rightbox(f(x),x=-1..4,100);�
�
Q�leftbox(f,x=-1..4,4);�
�
Q�leftbox(f,x=-1..4,25);�
�
�40��
��������������������
Durante la práctica con el MAPLE
P: *��� � ��)����� rightbox� � ���>�� 8�� �� �� ���� �� ��������� �� �������.�����+�#� ��� ��� � ���� ���<�� �� ����S� � G��)�� ������� �� ����� ��������� �&�*��� � ��)����� leftbox� ��� ���+�#� ��� �� �������.�� ��� � G��)�� )���� ����8������.����� �middlebox����������.����������������� �������)���&����������������������� ������+�#� ���8����8�����B�05��15����&&&�P:�*�)����������� �����)�������+�#� �������� �������� �������\����6) ���� ���)��������������������&�A1: ������������������+�#� �������� �������&�P: [^�>��������������������)����1����+�#� ��\�A2:�������)���&&&\��
Q�leftbox(f(x),x=-1..4,100); �
�
Q�middlebox(f,x=-1..4,4); �
�
Q�middlebox(f,x=-1..4,25);� Q�middlebox(f(x),x=-1..4,100);��
�
�41��
P: ?'6�A�E���)��8��������������������.�����������+�#� ��\�A3: *�������6�����&�P: ^������ ���������)��������&�A2: ��������)+�����+�#� ������6������)6��&�P:�����������)�����8������)���� ���)��������+�#� �5� ����)��� �+�����>������������G�)���� �+������� ����#����� �)���������� �������5� �6�G������G�T�L��.�G�T�0&�P:�*��� � 7��[8�>����\�A1:�7� �������������� #����� ��������P: ���� ��)��)�������������)�.�����)��������+�#� �5�>��������6������)6����� �������&�(��#�� �7��)���������������� ��G&�P: *��� �����5�8�>����� ��������)������������<$&�A2: ��������)�.�����)��������+�#� ����������������� ��� ������� ������&�P:�[^�>��� ������\�A2: � �+����� �������&�P: %����)���� ������+�#� �������G�)��� �+����� �������5���������7��)����� ����)�������)�������<���&�P:�������������)������� �����B�Escribe en la pizarra:
�) A medida que se aumenta el número de rectángulo, la suma del área de
éstos se aproximan al área de la región limitada por la curva, el eje x entre x = -1 y x = 4.
,B�A medida que se aumenta el número de rectángulo... la suma del área de éstos
se aproxima al área de la región limitada por la curva, el eje x entre x = -1 y x = 4.
P: ^����������� ��������)��������&&&��������8�� �������� ������+�#� ������� ������������ �����8������������ ������� ��`L�50a�&&&8�>����������&�P: ^�>��������� ��)������� �����������������)���� ���)��������+�#� ��&�A2: ����������������&�P:�����������������5��������[8�>�8��������\�������� � ���������)������� �����B�
�;�A medida que se aumenta el número de rectángulos las bases de éstos tiende a
cero.
P:���)������� ������<����)��)�� ��������������)����������� ���)������&�Descripción de la actividad 2 utilizando el Software Maple versión 8
�42��
��
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Q�with(student):�Q�g:=x->x^2-3*x+5;�Q�plot(g(x),x=-5..5,y=-3..15,thickness=2);�Q�middlebox(g(x),x=-1..4,4);middlesum(g(x),x=-1..4,4);evalf(%);�
5
4
�
����
�
�����
���� 0
3 �
����
�
������� ����
���
����� ���
3
8
5
4�
249
8
15
4�
23.51562500
Q�middlebox(g(x),x=-1..4,25);middlesum(g(x),x=-1..4,25);evalf(%); �
�1
5
�
����
�
�����
���� 0
24 �
����
�
������� ����
���
����� ���
9
10
1
5�
277
10
3
5�
24.15000000
�43��
����������
Comentarios durante la ejecución de la actividad 2:
P: F$6���8���<������)����������6������� ��� ��� ����)���� Middlebox 5�������� ��� ������� ������+�#� �����<����������)��������� ���)�#��������� �������)����������� ������ �&���)����������)������)����� ��� ���� �+�����)�����8������)���� ���)��������+�#� ��&�' �7��� ��� �����������B�P: �����������5�[8�>��������<$\�������)�������8�>�������\�[^�>����������)�����8����������6�\��� ���)�����8����+����6��[8�>��\�A4:�� ���� �����P: ��� ��� 8�� ������� �� ��)����&� *������ ������ �����6����� ���� ������5������������ .� � ������ .� ������ ���+�#� �� ����� ���6�� ��� ��)����5� �� ��)������������ �� ��)�� �� ��� +���� �� ��� ���+�#� ��� .� �� �<$� 8�� �� )����� 8�� ������+�#� ��� �� ���� �6�������� )+�� �� �� �����5� �� ��)����� ��� ��)����� �����)�����5����������������)������5������G�)����������)+��� ��� ���� ��+����
�� ����#����� �)����������� �������� 532 ��� �� � ��6�G5�����G�TL��.�G�T0&��
P: ¿���+� � ���\� ��� ��)��� �� �� ��)�� � � +��� �� ��� ���+�#� ��5� �� ��)�������������� ����)��� ����������� ��������� ��� ���������������+�#� �&�P: ������ ��8������8��������)����)����������6����� ��������5���)�������9���������������G������� ��8�������� ����)���&�
Q�middlebox(g(x),x=-1..4,65);middlesum(g(x),x=-1..4,65);evalf(%);��
�1
13
�
����
�
�����
���� 0
64 �
����
�
������� ����
���
����� ���
25
26
1
13�
2205
26
3
13�
24.16420118
�
�44��
P: ��)�����)������ ����)�������������� �� ��� �����#�� &�'<������)�����)��7�������� #�)>�����)��&&&#�)>�����)��5� ��� �<���� 8��)��� ��)�� #����)���� �� 7��)�� )��)+����5� 8�� �� ���#�� � �� �#�� � �� �� ��)�� � � +��� �� ������+�#� ���������� ���)�����>��������������7�����&�P: ,��)������������������<�.�8�� ����� ���� ��8���� � ��7�����&�[^�>���#��7����8��� #�����������7�����\�A4: ¿^������������\&&&�P: ¿^������ � �)�����)��& '<���� ��8����)+����7$�� �����������)�����+���7��������)���� �� �)��������� ��#�+7����������7�������� �6�G��������������5�.������ �#���� )��� �<$� ��7������� ���+�#� ��&� ��� ����� 8�� �� �� ����� ��7����������+�#� ��&�%�������������� ��)��)+���������&�!��6) ��8����)�� ��� ������ ������������������)+����� � ��� � ������ ��`�5�a���������.�����<�.� ��7���������)���&�[!�����������\�E�.�� ����$���� ���8�������)������)+������.� ���������������������#���51&�'<������)������)+��������)��������.� �����������������.�����#���5�1��������������7������.���)����������>��������)��������� �����������.����&�Escribió en la pizarra:
P: [*�+���������������������������\�A3: ��7�����)��&�P: �������� ��� <�.� ��7������� ��)���� ���� ���� .� ���&� F$6��� 8�� ���� �� �������� ���7�����)����������������)������� ���)�������7�������)� �5�8������ ��� ��7������&� ' #�� ������� �� ���� �� �� 8�� <�.� 8�� ���� �� ������ ������)����� �����#�� �����)���&���)����<���&&&��������� ��������B�
Reseñemos en base a la experiencia anterior, lo que desarrollo Riemann
E�����6�B�������������������������������������������������������������������������������������
�4���
�P: ��)����<���� ����#����B�� �������������.��� ������������������� ��������������������� ��5� ��� �)����� 8�� ��� ���� �#�� �� ��� ��������� ��&� ,��� 6) �� ��� �����8�$���������G�5���������G�5���������G�5�&&&�G�L�5���$��������)���<�����G�5�� ���)��� �� �)��G��.�� �� ��)��G�&&�!����������������)����� ���������8����#�&�P: '<���� 7$6��� > � �)�� � ��� 8���� ���L���� �� �� ���������� ���� 8���� ���L���� .�8�������L���&�*�)�� ���� �� �� �����������B� 8�������L����)���� 8�������L���5�� �����8�������L����)����8�������L���5���$��������)��5�)������������B����
1
1
233
122
011
.
.
�
�
���
���
���������
���
���
���
���
���������
...
...
..
...
...
..
��������������������������������������
��������������������������������������������������������
P: ¿^�>���+��7�������> ��<$���8�>��7�����\&&&&�P: %�������� ������+�#� ��&��
P:� =���� ����� �� 8�� �� ����� ���� � ��� � > �
� ������� ��� �� � &� '�$� �� ����� ��� �
� ������� �� � �� �� � 7��)�� 8�� �� ��� �� ���
����)���5����6) �B���������� ���������.� ���B� ��� ���L���� �� � 8�� �� )�.��� 8��8���� ���L���� .� )���� 8�� 8���� ���L���5�������L����)�.���8��8�������L����k����.�)���� 8�� 8���� ���L���� .� ��$�
�����
�
P:�!��������8�� �����������&&&?�6+A�!����� ������� �������8������������������ ������������������ ���� �� ��������B�8��� ���)����� ���)��������+�#� ���[8�>�������� #������6������<$\�A2: "���������&&&�P: "�����������������5���� ��������������5��������� ���� �)�.����� ���8���� �����)�����<���������)��>���&&&l�A3:������&�P: '<���� [8�>� ��#��7���� 8�� � )�.��� �� ��� ��������� ��� ������ �� ���\� ^�� ���)��������+�#� ������������7�����&�'�$�� ������8�� �����)��������������� ��)��)��8�������8��f�g�������� ��7�����5�������S�8�� ���)��������+�#� ������������7�����&�P: '<����������������6�)��� ���������������� ���)����������)�����������8����)�����8������)���� ���)��������+�#� �5�>��������6��������)6���� �+����� �� �#���&� �������� ���� ���� ���� ��)���&� * ���� 8�� ��� ���)��� �)��������5��� �����)�����9����5��������� � $)������ ��� �����������G�)������ ��� ���������#�� ����)������������$���� ��������B�
)33112211 ���� ���!�"�� �����"�#�$$$!�"�#�!�"�#�!�"�#�!�"�#��������!����"����� �������� �
)()(
1��
����#�������������� ��
PB�' �)�.����� ������������� ��� � �)��)��� �����)��.� ��������)�����B�
Escribe en la pizarra: �� �� �
P:�j ���6��8�� � $)��5�������S�8�� �+����� ���#������ �#�� �� � $)���������� �����)�� �� � ��� G� ����� �� ���� �� �� ��)������� ���� �� �#�� � ���� <����� �� �� ���
�������� ��� ��� ���������� �� �
����
����
�
���%�����
���%�����
���%��������%��������%�����
�
�
1
1
3323
2212
111
.....
.....
.....
.....
.....
.....
�����
����������� ���� ���8�������L����� ��7���������L�&�E������������5����8��.����� ���#���<����)��)����)�� ���������� �� ��5�.�������
�� ���
���
��������#�������������� )()()(
1
�
P: ���#�� ��� �����#�� �������.�����7���8������7����� ���8���&�'<��������7� ������� �������$��� �&&&��� �� ���#�� ���)����������� �����)����� �� �����<����� �)�)���� �� ���#�� � ���7������.� �� ���#�� ��7�����&�-�������� ��8����)�����<����)�9�������� ���8�������)�9����.� ����������� ���8������� ������&&&.5���8����)������� �� ����������#�� ���)�� ��<��$����)����<������� �����������.�����5�������>����)��������<���)�����5���)�� �"��)��F����)��� �� �*+ �� ��8�������������)������� �� ��� �����#�� ����� ��8��.�����)������ ����������� ��������� ��)���&�%�� 8�� .�� 8��$�� 8�� ������ ������ �� ���� � ��� �� � ������ #�)>������ �� �����#�� � �7�����&� '�$� ������� ������ �������� �� <���� <�����>� �� �� ������������#�)>������ �� �� 8�� �� �� �������5� ������� 8�� ��� ������� #�)>������� ��#�+7��������� ���8��)+���+������7�6����� ��)��&��P: *��� � ��)������� ������ ��� <���� ���������� .� �������� � +��� �� )� ����+�#� �� .� )+�� .� ���� ��� ��)�� ��� ���+�#� ��� �� �6������ ����� ��� )+�� �� �������&�����G�������)��)�#����8��7��� ���������)��������&�P: -�������������6�)��� ����)������)�������� ����� ��������)���5������)��>���� ��� �����6��� ���� ��� G��)��� ��7������ �� �������� �� ��� ��������� ��� .������B�
�P: 8������8���������.��<�#�� ����)���������.� ����)����7���������)���5����6) ���������#���&�"�������)������ � ������8�����5�8����$��� ������ �5���������������� � ������8�����&�,������ ��<�#����� ����<�� ��<��)��������&�
�����
�)���8��G����������7�������� ����)���� ������+�#� ������ ��.� ����)���� ���+������ ������+�#� ������&�������7������������)$��)�����������������.������7������������������� ���������������������)��������7�������.� �����#�� ���������� ���� ����)�� .� ���<$�8�����)������� ��� � ������ ���� � �+ �� ������)������ �� ���#�� � ���7������.� �� ���#�� ��7�����&� '�������� �)�)������8���� #��������� ����������������8���������8�� ���������� )����� ���8��<�� �)��� � � �������B� � �� ��� ������ ���#���� .� � � � �+ �� �� �� +��� ��+��$���)�)���� ���������&�F���������������������)�����8��<����*��� ����.�8�� ��� �� �� ���� ������ �� 8�� �� �������� .� �� ���#�� � ���� �� � #���� )�������������� �������&� ,��� ��� ��������� ��� ��)���)��� � ��#��)�� ���� �� 8�����)���<�������<�.�����5���� ������� ���������������������8��������������&�Cierra: ��9�������)������� �� ������#�� ����)�� � $)����� ����)�������.����>����)��� � ���)�� 7����)��� � � � �+ �� �� .� ��� �� �� ��)��� ���� �� 8�� <)��������������6�����.����� ��)�����)���� #��������������� �����#�� ��7�����5��������)������6�� ��<������8�$����<�.&�N�����)�9���&
Reconstrucción de la segunda sesión de clase 24/01/08
P:����5��� ��� ������.�������)���������������� ��8��<������)������� �������� �����#�� ��7������[�������\�����8� �����������������6��8�����������9�&��������� �<���� ��)��� ��� 6) �� .� � �� � ���� �)����+� <���� � #������)�����������8������������������������� ��� �6) �&�P:���)���� #��8�� �����#�� �������7����������������� ������� � $)�����������)������5� � $)���������� �����)������������&���������� ��������B��
� � ���
��
�
��� ���
�&'
����1
)(0
)(
�
P: ����)���� ��������5� �� �������8���.��<���>�)������������6) �5�������7������ 5�������&&&�8�$���)��� �6) �����������#�� �8����)������� �� ���<������������ �)>���������)���&���� �����#�� �����)��������.�������8���������������� ���7����� ���8���&���������� ��������B�
��
1
2
2��� �
�����
P:� ��� ���� ���#�� � 8�� �� 7��)�� ���7������ �� )�.� 7+�� � �� �� �� ��� [� *�)�� ���� �� ��$�\�A1: ,��� ��7��)� ��� ������� &�P: ���5�[��)��8����$�\�A1: �8������ ��������������&�P:��������� ����)���8����)���8��<������ ����������5�������8�� ����)���8��<���)����.����� �����������8����<��$��� ������������#������5�������S�� ������� �������#��������� ���������.�����������.���.�<�.�������)��������.����&���)�������)������������ ����#�� ��[��+ ��� ��)���������)������������ ����#�� �\&&&�"�)��� ������������.�������� ������ ���)����������� ���8��8��)������&����!�����������������.� �������������������<������������������� ��&&&��� �������������������<������������������� ���.���$��������)��&�P:������������ ������������������ �� y � ������������ �� ����)�����������5�
� ���8������ �� ��#������������������ ��.����������������B�2
��� ��� ���������
���������� �G��)��������������5����������+�����)����)������������
�5���$������������ ����+��� ��#������3
��.��������� ��������B�
��� 3)2(1
���
�� �
P:���������7$6�����)������������������5���������� ���� ���8����������[�������\�E�����6���� ��������B��
������������������������
P:�*�)����������5� �8�������L������+�)�������5�8���� �G��)��)����� �
������ ��)+�� �3 �5�����)���������������� ��!�������� ������������� ���)�)���
���5���������8�� ���G�)�������5�������������� �� ��#������� �3 �8�������
������ ��� ������5�������� �������5� �� ��#�������+��������������5&&&������� � �����5� �� ��#����� ��+� �� ���� 8�����5� ��� �� �� � ���5� ��+� ���� ����� ���&�
�������� ����� ���� �� ��� �� � �� ��� 8�� <�� �)��� �.�5� � ��)��� ��+B�
��0��
���
32 ��� � 5� 2.
322 �
� ��� � � [,��� 8�>\&&&� ��8�� �� ��+� ��)����� �� ��#�����
������������������5� 3.3
23 �� ��� � ���8������+���)����� �� ��#���������
����.���$������B��
�� �����
���
����&' ���
10
1
2
2 )( �
�������������������������������������������
��
&' ����
�
332
2
10
1
2
2 �� ���
��� ���
���
�
�
P: *���� �� � �[�������\�*���� �� ����<����������7��)�B�)��������)+�����������
����� �� ������ �� � ��)�� ����� �������5����5� ���5�<����� �S��������� ������ ����)�������.�� ���8�������L���� ��� ����� ����������5� ��� �����)>������� ���� ��� ���L�� �� ���� �5� �� �� �� )����&� ������� ���)��� �� �� ����� +���� �����+�#� ��5������� ������.����� ��� ����&�P:�[,���8�>� ��)���)��������)+������������������ ���������\�P: ����5���8�� ��7�����������8������� )�����������)�������������)�#�5�> �)��)�� ������ ���������5��� ��7�������8����� ���������5����6) �� ���)�#��� �����)������ ��7�������������� �����������#�� ���������5��������� �������� ���8���� ��7��)��#��� ��� ������������������8��������)��5�������� ���)�#��)������ �� 7������� ��+� f)���� ���� )+�� ���� ����� �� ��� �5� ����� ����� � ���������g&� '�$� �� 8�� ������ ��+�� ������ �� ��� �������� ��$� .� ������ �� ��������B��
� ���
��� ���
��
�
� ���
&' 1
233
2 �
P: '�$�)��������)+�������������������� ��7��)��� � )����#�>�������#��� �
������S� ��7��)���� ��� �� ���)��������)+������������������.���� ������ �
��1��
����������� �7��������L��.�������������� �� ��#������� ���� ���8�������L��.������������������.��������� ��������B��
��
���
����
��
����
��
22
9124
3 ��
���
&' �
�
P: ' � ����� ����������8����$�B� ����������� ���)��5�)���� ���� ���������� ���)������ ��#�����)+�� �������������#����������B�*������)��������������������5�)+�������������� ����������������� ���������&�P: [���+�� ��������\�A1: �-��P: [(������+� ������\�A1: '<$�P: [������������ �\�A1: ¡'6�A�P: ����5�������7������� ���������B�� ����������� ���)��5�)���&&&�A1: ¡'6�A�P: &&& ���� ���������� ���)������ ��#�����)+�� ����������� ��#����&�P: '<�������5�8����#��7�������5�8�����)�����)������������#�� �����<������5�����7$6���8��.������������7��������)�������������B�.������������������� ��������B��
...43213
...3.3
2.33
������������
�
P: E�������������� ������������������)+������)+������.���$��������)��5�������� 8�� ��� �� ��)�� �� ��� �� ��)���� ��)���� ������ �&� '� 8�>� �� �#�� � ����)�� �� ��� �� ��)���� ������ �&� ����� �� �)������ ��� $����)��5� ���� 8�������� ��� ������� ���� ��������� ������� �����6����� ���� ��������� .� ��#������&�-�������� ����)������)���������� ������� ��� 5�����������)���������� 7��)� 5���� ���7�D����� �� �� ��7��)��#��� ��� ���������)�����7�������8�����������.������B��
2
)1(...4321
�������
��� �
P: ����� ����)������� ��������� ��������������)����������� ��� 5�7$6�������� ��������������������������5��������)��>�������������������������������� �
��2��
��������5� ��� �� �������� � #�� ������5� ��)��� �� ������ 7������ ��)��� ���� ����� �����������.�����8����.������B�
�
...43219
...4.9
3.9
2.99 2222
22
22
22
22���������
������
�^����������� �����#�� �����������)+����������������)+��������������5�.������B�
6
)12)(1(...4321 22222 ��
��������( �
P: ������ ���� G������� ���� �� ��G�)�� ���������� ���� �� 5� ���� ��� ���������� ��������������������&�� ���)�������)��� �� ����$�� ����� ��G������8����#� ����)���� ���P���)�����>�)����5���)��e�Descripción de la actividad 3: �
������������������������������������������������������������������������������������
P:�F$6���8��G�����������)��������)���������)�.���� ���� �������� �.����������)������ �&�P: [-�����<��$��������6�������������� ��G�������� ����)���� ��������)�������)���������� �\�
Q�with(student):�Q�Sum('k','k'=1..n)=sum('k','k'=1..n);�
�������( 1
�
( ��� ���1
2( )���� 1 2 1
2�
1
2
Q�factor(%);�
�������( 1
�
(1
2� ( )���� 1
Q�Sum('k^2','k'=1..n)=sum('k^2','k'=1..n);�
�������( 1
�
(2 ��� ��� ���1
3( )���� 1 3 1
2( )���� 1 2 1
6�
1
6
Q�factor(%);�
�������( 1
�
(2 1
6� ( )���� 1 ( )���2 � 1
��3��
A2B�-�&�P: ?���8����G����)��� ��)��)��G�����A�� ��� ������)�����)������ ������������� ��G�����&�j ��� �� �� ����)���� �������)������)���������� �&�F$6��� ��� .�� <�#�� �� �#�� � ���� [��+���� )���$�� �� ��)�� �� ��� ���� ��)������)���������� �\�A3:����&�P: '�$5���)����<���������.���������.���� ��7��)� �������������)+��������������.���������&�P: ��� �<���� 8����� �� ��)�� �� ��� ���� ��)���� ��)���� ������ � � ��������5��������������B������������)+�������������)+��������������.�������������&�[' #�����#����\&�P: ���5���+�� ���5��������7$6����<����.����)���� ����)��������� ���)����������8�����)���<������5�������S� ����)���� �������)���������� �����#�� �������� �� )+�� ���� ���� ���� .� �� ��)�� �� ��� �� ��)���� ��)���� ������ �� � �������������#�� ����������)+������������������)+�������������&���������� ��,������B�
!"
#$%
&���
��� ��
����
��� �
����
����
�� 6
1219
2
1124
3
2
����
���
��
&' �
�
�A1: [,���8�>�8���������������\��P: ����5����.����)��������������5�8����+�������������&����������� ��������B��
3
1821
1821
9279
181812
1322
3664
3
1212
3664
3
2
2
���
��
��
���
�������
!"#
$%& ��������
����
!"#
$%& ��������
����
��
��
��
��
�
�
�
�
&' ���
&'
���
���
&'
���
���
&'
�
�
��4��
P:���$� �� ���#�� ��� �#�� ��� ���5�������<��������8������ �� 7��)����)����)������ �� ���� ���#�� �&� *���� ��� 8�� �� �� ���� ���� ���#�� � ��$�� 8�� �� ����� ��������5� �� ����S� <���� ���� ��������5� �� ��� �����6�� ������ � #������� ��)��#�)>�����B� �����6�� ���� ���������5� ���L������ ��� .� �� ���� � #������&� ���<���������$��8���)�������G���������)�� ���8�������������)����)������� �)� &�P: ������ �����#�� �7��)� �����)���5� �<�<����<��� ����$�������8������������ ��� ������8������ �����#�� ����� ����������#�)>������&�P: �.�� �����)��� ������ ��� ������� #�)>������� )+�� ������� ���� �� ����������������� <�.� �)��� ������� #�)>������� 8�� ����� 8�� ��� ���� �#)����� .����������5� 8�� ��)��>�� ����� 8�� ��� ���� � 7��)� ��)�� )��)+����5� �� ������������� 8�� ��� ���� �� ���$�� �� ���6�����&� ,��� ��������� ��� �� ��)��� � <���� ��$5������������)�������� ����� ��8��.��<)��������6���5� �����#�� ����7�����&�
��������� ��������B�� ��
1
2
2��� �
�P: ¿��������#�� ����#�� ���8�>\�A:�'�8����� ��������������&�P: '�$��S�������)���8���� ��� ������)��������.����5�������� ����)���8���7�����������)�B�� �"��)��F����)��� �� �*+ �� �5���7����)��� ���8�������)����)�������� ��� ��8��.����������������)����� �����#�� ����7���������� �����#�� ��7�����&���������� ��������B�
�� ����'����������������(����)�*��� )(�� �����'����+������������� � ���, ��� )(�� �
���� ����������� )(�� ����� ���, �����)� � ���
��������� )()()( �
P: ���5� ��� ���)�� 7����)��� � � � �+ �� �� )� ���� �� ���� � ������ ���� �����#�� � ���7������ .� ��� )>������ �� ���#������B� ���#������� ��� �����������5� ������5��������������������#���)>�������������S� ������ ���8����$�)����������� ��� �)����� ��������5� � ���)�� )� �)��� ��� ����� ��� ���� � �+ �� �� �����#�� ���7������&�
�����
P: %�������������-D����.�%�����������)����������� ����)������.����������8���� �������� ���+&���������� ��������B�
�P: ���� ���+�������.���P:� �������� ���� � ����� �� ���#�� � �� �� ��� ������ �� ��� )��� ��� �� ��������� ����� ��������)���������#��� ������)���&���� ���� � ���)�� 7����)��� �� ��+ �� ��.���$���8����)����� �����G�)���� ������� ����� �����#�� ����7������������� ������ )�����+���5��� �)���.�������� ��������&&&�,���6) ��������#�� � 8�� �����)��� �� <���5� �� ���#�� � ���� )���� ���� .� ���� �� 8���� � ���������������7����� ���8���5���������� ����)����� �� ���<������������� ��8��.�����)��&�P:�['�8�>����#�� �������#�� l�A: '�8����� ��������������&�P: !�� ������� ��� 7��)� ��� �� ���#������5� 8�� ��� 8�� )��<��� ��� �� ����5�[�� ����������8���� ���\����������� ��,������B�
33
8
3
1
3
)2(
3
1
2
1
3
33
1
2
32
���
���
���
�
����
�
P: ��$���������� #�)���� ��� ��5����������������� �� ��� � $)�����������)��������� ������� ��8�������<���)��&� '<���������������)�����<����6��������������������� ���.��� ���)������5�����������)��� �����#�������������B�P: [' #�����#����\�P: ¿!����� �������� ��� �������� �� �� ���#�� � ���7�����\� ��� ��� ����������+��8������ ���)��)��&���������� ��������B�
0����
�� '���
�
�
�(����(���(� para)()()1 �
P: %����)�������8�� �����#�� �������.�����P�����7���8������7����� ���8�������#�� ���P����� �����#�� �������.�����7���8������7����� ���8���&���������� ��������B�
� � � �� (�(�
�
�
�
�
��������������� )()()()()2 �
P: %�����#�� ������.����� ����)���� ���������7���8����.�#���8������7����� ���8�������#�� ��� �����#�� ������.�����7���8����)+����)���� �����#�� �������.�����#���8���&�P: %����#��������������������)6�����)������� ����)�������� ����� �)� &���������� ��������B�
�;�*�� �� y ����'������������� �,�������� ���, ��� �� � �� � ����� � ���� ,� -�
�������-� � ���
�
�
��������� )()( �
P:� ����� ������� �&&&� �)������� ���� ������� ��)��� ���)������� +���� ���#����� �)������� ��� 7�������� .� ���B� ��� 7� .� #� ���� ���#��� �� �� � ������ ����������5���.���)��7���)���� ����)�.����8��#����������� �5�������� �����#�� ��� ����)���7���������)�.��&��������������8�� �����#�� ��7������ �����)�������������� �+����� ���#����8��������� ��#�+7������ ��7�������.� �6�8����������.��&�
P: ��� �)����� �8�� �����#�>��� ������������<�.����6) ������<��� ������ ��� 5���)����� �� ����� �6������������5� ���8�������� ��)��� �������5���������� �� ��������#�� ���7������&��������<���� ������� ��������.� ������&�
P:� ��� � 6������� ������� �� <��� �� ���#�� � 8�� <���)��� �� 6) �S� �������� �����)������.�� ����� ���)��� ���)���������&�� ���)��������&�
'���������������B�
� Q�Int(x^2,x=-2..1)=int(x^2,x=-2..1);�
������
-2
1
�2 � 3
0����
������������������������������������������������������������������������������P: %�� �)���� ������ �����6�)��� ���� ����� ��)�����5� ��� ���� ���#�� �����7������5� �� ����� ����$�)��� ���� G������ ��)�� ���5� �<���� �� ������ �����)��&�P: '<����<�#�)��� �����������������&�'��������������B���������������������P:� [^�>� ���� ���� ��� #�+7����� � � 6) �\� [*�+ � ��)�� �� ���� )�.���\� [%�� <���<�<�\�[%��7��� ��#\�A4: %�����&�P: [*�+ ��� ��7��������� ��#�+7�������\�A4: %��8������ �)���&�P: ��.� ���� �� ��+�� �� 8�� ���� �#������ � ��7������ � � �>�)���� �� 8������������5�������� ��#&�'<������ �� )��� �����#�� &�P: -���>�8�>� ������ ��7� ����������� ���)������5�������������������������7��)+����&�
Q�f:=x->x^2+1;g:=x->-x^2+3;� := � ���� ����2 1
:= � ���� � ����2 3
Q�solve(f(x)=g(x));�,1 -1
Q�plot({f(x),g(x)},x=-4..4,thickness=2);�
Q�Int(f(x),x=-1..1)=int(f(x),x=-1..1);�
������
-1
1
����2 1 �8
3
Q�Int(g(x),x=-1..1)=int(g(x),x=-1..1);�
������
-1
1
� ����2 3 �16
3�
0����
A2: %��#�8���� �����&�P: ���� ���� ��#�� �������� ����)�.���������� �+�����6�����#�+7������)�.���8�� ���� ��7�������7&�A3: ¡,��7���A�P:�(�)�A3: [,���8�>�)���������\�P:�N�.�� #�����������5���)��&&&��$� �7� ������� ��&�A3: '�$���� ��<��$�������&�P:����5��#��)���������������.��������� ��������B�
0;�*��.����������� ����(������������ �� ������������������'����+�� )(�� �������
���� ������ ��� � ���, �������(�� � ��������� �,������������������ ���-������������
��� ��)� � �����
���)������ )()()( �
P: '����������7��)���.���� ������ ����)���<����#�+7���)���.����8�6���� ��������B�
�P: ��� ��)��� ���� 7������5� ��)��� �� ������ �� ���� � )�������� ��6�� ���� 8�� �� ���)6��&������7���������)������� ���)+G�)��.����5���.������ ���)$��)�������5��&���������� ��� ���� ���+�#� ��� �� ���� �� )���� �5� ��� � ��)��� �� � ����� .� .� ��#�������� ������&�� �+���� ����+�#� ����� ���������)����8�� �����#�� �.� �+���� ����+�#� ����� �����.���)�.���8�� �����#�� 5��������8�� �+������6�� ��������������.��&�'�$� �����#�� ���+������������ ����������+�#� ��&�P: ��)��� �<���� �� �� �� ��� � #����� ���#�� �� �7������5� ��.+������� �� ���)������5� ���� � �� 5� �� �� �#����� ���� �� �� #�$�&� ,��� 6) �� <�#�)��� ����)������&�'<����������� �����8�����<�.���)�5������ ����G�)����)�����
0����
��)��� ���� <���� ���� 8�� ������ �� �� �� ���#�� �� �7������� ��.����� ��� ���7�D��&�%���6������������<������ ��#�$��8�� �����#�>&�P: ^�>�)>�������)�������� ����������� �� ����������#�� 5�7$6���8����)����)��>��)��������8����� ���� ���7�D�������8��������������6)��� ���� ����������������.������> &�P: *�)���� �� �)����������#�� &���������� ��������B�
��
�
��
�
3
132 1
2�
A1: �����)������������ &�P:�[*�+ ��� ���)������������ \�A1: !��#�� ���8�������������)+�����&�P: [*�)��8���� ���7����� \�A1: (���8���&�P: ^�����������.��������� ��������B�
�� ��
3
3
132 1
2
�����
�
��
�P: ,��� �8�$� �� �)������� �&&&� *������ ��������� <��$�)��� ����� ���#�� �� �����)���� �� ������ 5� ���� �� )�.� ���� �5� ��� <��$�)��� )+�� ��) ������� ��������������������#���)>�������8����)��>����)������� �� ����<������)���7������&�' �7��� � ��$�)��� 8�� ��������� � ��)���5� �� ����S� �� ��� �� ������� �� �� �� ������ ����#��� &�P: '<���� ��� �� �������5� ��8�� ��)��� �� ������ ��� �� ��� ��)>����5� ���� ����)���)�����)��>�� ��� $)���������#�������.�� �7��� ��� ��)����������� $)���&�P: [*�)����)���)��� ��� $)���\�A2: �<&&&\�P: ����5�����8�����#�� ������5������#�� �������� ����������)+�������#�� ������&���������� ��������B��
/� �� ;1�� �� 2112 ���� �
P:�,����8�����#�� ����������#�� �������� ����������)+�������#�� ������&�
0�0��
��������� ��������B�
/� �� ;3�� �� 10132 ���� �
P: '�$� � $)�����7�����������.�������������&�P: ¿*�)��<��)��������� �� �� �\�A5: %�����#�� ����&�P: E���� ��� ����� ���7��)� ��&���������� ��������B�
�� ��
10
23
3
132 1
2
�����
�
��
P: ¿*�)��<��)���������� �� �\�A5: %�����#�� �����P: ¿E���� ��� �������� ���7��)� ��\A4: (���8���������8����P: '<���� �������� ������ �$������8���&�A7:�%�#����)������������&�P: -�&�A5:�,��7���������� ��������5����e���)�� ����&�,B�Si no se aprenden las fórmulas.����������� ��������B�
2
10
2
10
2
23� �
��
� ���� �
�A5: ������7������ ��8��.��8��$������ &�P:[E���8�>����#�� ����\�A2: ���� ������ ��8�����#�� ��5�8����8�������������)+�����&�P: -�&���������� ��������B�
2
10
2
12�
��
P: [*�)�� ���� ��\
0�1��
A2: ������������� ������� �����&�P: ¿'�$�8�>���)��\�A2: ����������������������&�P:�[^�>�)+�\�A2:��+������������<�&�P: ��.�����.������&�A3:������������������������)+������������<�&�� �,��7������������ ��������B��
25
3
200
24
200
251
8
1
200
1
2
10
2
1
2��
��������
��
�P: ��.����5��<$������ ��� �����)>������� �����#�� &���)�����<��� ������ ��� B��(����������� ���+�����B��������������������
Q�with(student);�D *��� *������� +� &� � &����� ����� ,� �������� ��������, , , , , , , , , ,[
� �����%���� ����� � �%��� �������� ���� �� ������ ������ �, , , , , , ,
�(���� �������� ������� ������ ��-���� ������� ������ , , , , , ,
���-����� �� ���� ����� �� ��� ����.���, , , , ]
Q�a:=Int(2*x/(x^2+1)^3,x=1..3):a;�
��
�
1
3
2�
( )����2 13�
Q�changevar(x^2+1=u,a,u);�
��
�
2
10
1
�3�
Q�value(%);�3
25
�
0�2��
P: F$6���8��� �<���� ���)������������ ����� ��� 5�>��� ����)������������� ��� $)���������#������&�P: ��)�����<�����<���� ����)�����<�5���� ��<������)������� ��� 5�� � ��������� �����)�����5�.����>�� ��<��)�����)���&�"�)��>����<��������)������������ &�%���������������)�������������6������� ���)��������� ����#�����G������B�
������������P: ��������[*�)�� ��<��$��\�A2: ����)��������6����&�A3: ,�����)������������ 5� �)��)��8��<���)������� ��� &�!���)+�� �#����)�����������8���&�P: ����.������&�A5:�8��������8���&�P: (���8��������8����.��8����+ ��� ����������������)+�� �#����)�����������8���&�A5: (���8��������8���&�� ���7������������ ��������B�
��������
�� �� 2
1
2
1
2)ln(1���������
P: ,�����)���8����)����� ��� $)������ ���#������5�����8�����#�� ������5���������)+�� �#����)��������������&�[*�+���������\�A5:�!��&�
Q�with(student):�Q�e:=Int((1+ln(x))^2/x,x=1..exp(1)):e;�
��
�
1
e
( )���1 ( )ln � 2
��
Q�changevar(1+ln(x)=u,e,u);�
���
1
2
�2 �
Q�value(%);�7
3
0�3��
P: [���8�>\�A5: !���)+�����&�P:� * ���� �#����)�� �� ���� �� ���� .� ���� 8���� �#�� � �� 5� �� �� �#�� � �� ���� )+�� �#����)�����������&�[*�+������ ���\�A2: (��������5� �#����)��������������&�P: [,���8�>\A2: �������7���� ��� �����8��������.���)��������)+�� � �#����)����&���������������������������������������P: F$6���8�����8����� ����$����������5� ��� � �<�����������8�� �#����)�����������������&�A2:��+��7+�� ���7���&�P: -�5���������8������ ���������)������������������<�����������������> &��� ������> ����������<��������&�A2: "��������&�P: !����� ��������� ���)+����� ���&� %�� 7������� �#��$�)���� �� �� ������� �� ��G������ � .� �������&� *������ �� ��)��� ���� 7������� ���� ��� ������&� [^�>� �������\�A1: %����������&�P:�[*�+������� �����#�� ����������������������\�A5: ���� ��������������&�P:�[,���8�>\�A5: �<<<&&&�P:�'��>�����8����������� ��� 5���� ��+ �� ���������#�� ����������� ��<�6����G�)�&��������������� ����������������� �������������.����&���������� ��������&��
1
2
3
3�� �
�P: [*�)������ ��\�A3:�(����� ���������������)���������� ��������������&�� ���7���������B�
0�4��
3
7
3
1
3
8
�
���
P: ��$�8�����8�������6�� ����G�)��� ��5��������8���� ���.�������6������������8�� ����� �� ������ ���.��� ���7�D��&�"����8��������� �����������.� ���7��)� ���.���)��>��6������� �����)������� ��� &�N��������9���&&&�
Reconstrucción de la tercera sesión de clase 30/01/08
P: ?�������$��A�N�.���������)������� �� ���7��������� ������������ ��������5���)��� �� ��� � �+ �� �� � � +��� �� �#����� �)������� ��� 7�������� ���������&������� ����� ��8����<���� ���)�����������5�����������8�� ���)������������)��� ��� ������� �������� �� �� ���#�� � �7�����S� ��� � ������)��� ���� �� 8��<��$�)����������� �� �)�������������5� �� ���#�� � ���7�����&�[*�+ � 7�� ��$��� ������ �����#�� ����7������.� �����#�� ��7�����\�A1: %����)�����&�P:� ?'6�A� �[E�����������#���\�( � ���)��7����)��� ����+ �� �5���� ���)�������)������ ����� �����6���������#����������7������8�����)������ ������������� �� ������#�� ���7������&�=�����)���)��������� ����)��� ��� ���)�����������#�� ��8������8������������ ��� ����������&�P:��������� ����)��� ��� ���)�������� ��+ �� ����7����� &�[^�>����\��������)�� �9� �� 8�� ��� ���� 7������� ��������� ��)�� �#�� � �� ��� ���� ���� )�������7����� �� ��� ��)����5� �� ����S� 7� �� �� �#�� � �� 7� �� �5� ������� ���� �� .� ��G��������� ������� ���� � ������������<������&����8�6���� ��������B�
0����
��
P: ���� ����)��� ��� ���)�������� ���������&�� ����)��� ��� ���)�����������#�� ������� #����)� ��5��������8��������� ��8����#��7���� �����#�� &�F$6��� ��8������������)�B��������7����������������������������� ��������5���)������)��������� 7�������������������� ������ ���� ������7���������#�� ���&�N�� ��)��������������� ��������B�
*�� � ��������������� � ���, ��������-�������� � ���,�� �����0��������� ����������������
��������� � ���
�������� )()( � �
P: [^�>���#��7���������#�� ���\�P: %��G��������)���������7���� 7�&�[^�>� ��������\�A2: ������+�#� ��&�P: ��� �����#�� ��7�����5���)�������� ������.�7���� 7���� ��� ����&����8�6���� ��������B�
�
0����
P: �����8���������8��G����������+�#� �5� ��8��<�� �)��5����+������� $���8����8���� ���� �+��� �)��������� ��#�+7������7���8��������8�����#�� ���.�8�����#�� ��&�[^�>���#��7���\�^����� 7��������.���:�9� ���� �����6�;����)������ ����������������7���� 7�5� ���)�#����� 7��)������ ��7�������7&�,����������7��� � 7�� �� �� ������ �� ��� ������� ��� ���+�#� �� .� >� +��� �� �� ���+�#� �� ��G����)����#�� �� �+��� �)��������� �������5� �6�8��������8�����#�� ���.�8�����#�� ��&������� ��8���������� ����)������ ���)�����������#�� �&�P: '<���� �� 7������������5��������G������)+������������ ������ ������) �� ���#�� ���&�'#�#�B�1������������ ��������2������ ����)���������������� ��������&�P:�������+�� ���&�:%��)�.��$������8����;�P: ���5���)�����<�������6) �5��������)����� ��� ������ 7�&���������� ��������B�
34�� �)� *��� � 54)( 2 ��� ���� � ���� ����� 1� � �� 0��� ��� �� �'�0��� ��� ��.� ���
� �4,1 &�
P: "�)������6) �&�[^�>�7�����������\�������� ���)��&�(��)���� �� 7������8�������7�8�� ���#�� ������ ������� ������������&�[^�>�����������\������.�� ���� �>�8�� ��7������������� ���)��5���8�� �� ���)�����)�������������.� ������������� ����)������8��7���������������&�[^�>�����������\���������� ��������B�(����������8�B��
� ����4
1
2 )()14()54( ������ �
P: ^�� �� ���#�� � ���� ���� .� ������� �� 8���� � � ��������5� )+�� ������� 8���5� )+�����������#�� ����������)�����������7���� 7�&���� ��8������ ����)��� ��� ���)���&�P: �[*�)����)�����6���� 7�\�P: ,��)����� �� �)��� �����#�� 5�������������� �������������&�' ��� �� ����������#�� ��7������[^�>�����)��\�A1: !����)��&�
0����
P: � �$� ��)�� ���� ��� �� ���� ��� ��)��&&&� ��� ��)��&� ���� ������� �� �� �)��� �����#�� �[*�+ ��� ����)�����������\�:�9� �� �����#�� ��� ��������;&�A3: 8����� ��������������&�P: [^�>�)+�\�A2: *���������8���������������������&�P: ,�7����[^�>�)+�\�A3:�*�����8���&�� ���7������������ ��������B�
)(31
452
3
23
�������
��
����
��� �
P: �������� �������������.�������5�����#�� ����������7���� 7�&���� ��)��&&&���������� ��������B�
)(22
)(34521
)(373
152
3
64
)(3523
12032
3
64
��
�
�
��
�
�
���
����
����
��� ����
��
��� ��
�
P: [*�)����7���� 7�\�*�������������������� ��������B�
0174
2254
2
2
���
���
��
������������
� � 1,4 a pertenece No; 212212 21 ������ �� �
P: %�#��� 7�����#�� ���)��������)+����$�������������������������G�)���)�����������)�����������.���<�&���������� ��������S�
58,2212 ����� �
0����
P: F$6���8�� ���#������� ������ ���������)�����8�������+��� ������� ������������&� � � � 7�� �� ���G�)���)��� ���� ��)�� ��������� .� ��<�� 8�� ��� ��+� �� ������� ������������&�'<����#��7�8�)���.���)��� ��8�������B����8�6���� ��������B�
�P: �������������� ��#�+7������ ��7������5����8����������� ������<�����<�������� � �� &� �G���� ��� �� ��S� )���� ���� )+�� ��$�� ��������� �� ��������� 8�� �����G�)���)����#�� ���������)�����������.���<��8����+�)+����)���������+�:�9� �� �#�+7������ ��������;����� ���� �7���)��������)+����$���������������+���+�:�9� �� �#�+7������ ��������;��� ���)�#�������� ��&�'�$� ����+�#� �����#�� � � � +��� ��6�� �� ������ ���� ���� .� ������5� ���� ���7����� ��� �)�#�� ���� ��� 5� ���)���������������)��������6���������5���$&&&���������� ��������� �����)�����B����P: ' #�����#����&�P:� '���� �� ��)����� �� ��� ��� � ��������5� ��)��� �� ��� ���� �������� 8�� �����)��� ��� ���������.�8�������)������������ ��+ �� ����+���&���������� ��������B�
�5� *�� � ��� �������� ��� � ���, � -� � � �, � �� � �� , � S� � � � ��������
�� � ���
�
�
������������� )()()( �
Q�f:=x->x^2+4*x+5;�Q�plot(f(x),x=0..5,y=0..40);�
0����
#5� �� ���
�
�
��������� )()( �
�P: '� ����� �������� �� ��)��� �� ��� ����5� ����� ����� �� �� ��)��5� ���������)����� �� �����+�������#����� �)����������7��������.������������������� ������� �� �� ���#������� .� �� �� ��� � +��� �� ����� ���� �� ��� �� ������� �� ����������$��������� �� 7������&�F$6���8�� �� 7��������� ����������� � ������ ��)+��#������5��5������)��>��������������� ������������ ����5���.��5��&�*���������8���� #���������� 8�� �� 7������� ��� ���� ������ �� ��������������&� '�$� �� ��� �����#�� ����������������)�� �����)�������������5� ��8��������5�����.� ��8������������&�P: %�� �#����� ������� ��5� ��������� ���)��� 8�� �� ���� ���#�� � �7������ � $)�������������������� ���������������.� ���7��������6�5�����������������<��)��� ��)������������� 5�)�9������)����� 6�����������������5�����8��������������5��������������� �)����.����6�� �)�.��&������������������������ ���� ��������������������5����� ���������#���)������ �����#�� &�P: ��������.����6�� ������6������������� ����)��� ��� ���)���&���������� ��������B�&��� �����1� � ��0�������� �'�0��������.��
�5� � ��2
1
3 )()12( ����� �
,5� )()22(12
2
2 ����� �����
�
�P: ����6����������)�� �8�������)�����<���&�P: ^�>� ��$�)��� �� ��� ������ ������ � � ��)��� 8�� ����)��� � � �� �� ��� �������#�� ��7�����&�E���� �� ���������#�� ��7������.�����#������[^�>���#��7��������)��\&&&N�� �)��� ��)��>�5� ���� 8�� ������� ��)���� � �����5� ����� ��� ���� ��������������#� �����������)������� ��#�����������������<�5�������� �+����������[^�>���#��7����������\�A2: � ���������������������������5&&&������&&&�
0�0��
P: ���� ��8����#��7������8������������+����)����������������������������� )���� �� ���� ����� ���&� ������ �<���� �#��)��� ��������� �� )��)�� ��)���������#���������� $����.�<������������� �����#�� &�P:�%�����#�� ��7�����������)������)����� ���)���8��������� �+����������#���� �)����������������.������ ����)���� ��������8����)�������&����������� ��������B�
Aplicaciones de la integral definida Cálculo del área de regiones
limitadas por curvas:
�P: -����������)���������������� ��������5� ����)���������.���)�������)������������6) ����)�������� ���������5�����������8��6) �7����)���������������������&���������� ��������B�
34�� ���)�&��� ��������( ��������� ���+����������� � 24)( ��� �� -�����4������� ��
���� ������� 2��� ��� 1�� &�P:� ���&&&� ��� ���� ������ �<���� �� ��� ��� )�5� ��� ��� �8���� ��� ����� �����������&�F$6���������������7�������.����#�+7����������������#�������6����)������� �6�8����.���� ���������� ���������8�����#�� �)��������.�8�����#�� ����&�[*�)�� ���� ���� �����\� [*�)�� ���� ���� � ������ � � ���\� ���� ������ �� ��<�������� ���������� �����&�A2:���� ������&�P: -�5���������+���� ������5� ���������8�����#�� �)��������.�8�����#�� ��������� ������ ���� � � 6� 8���5� ���� ������ �� �� � ������ �� >��&� ������� 8�������������� ��7��)��8�����#�� ��5����������� ����� �6�8����.������������� ��7��)��.��#�� ������������� ���� �6�.&�P: [^�>�����������8����)���<������)��\�,��������)�.�����7��)�����&�A3:���� ��� ���������&�P: ?'6�A� ,��� ���� 8�>� �� ��)��� �� ��� ��&� [^�>� ����#��)��� ���� ��� �� �\� %����#��������8�����.����#������7�������:���8�6���� ��������;�.���#������������8���� �#�� � �� .� 8���� �#�� � �� .� 8��)��� ���)����� � +��� �� ���� �#���� .� ��7�������.����#�� �7���8���5����������) )��� �+����� ���#�������#�� ��� �����#�� �������.�����7���8������7����� ���8���&�
0�1��
��������<�� �������8�6���� ��������B�
�P:�[���� ��� ���� ��8����)���8��<���\�[^�>���)���<���\�P: ,��)����� �� ���������)��� �� ���#�� �������������������)�����)���� ���#���&�%����$��<��������8���������7������������6�������� �����#���������)���8���� ���� ������#���)������ �����#�� �����8�� �+�������������&�-��������������)��� ��)�� �� ��)����� ���� 7������5� �� ���� � 8�� � #����� �� ������ ���)�#���� ��#�+7������8����������+�� �&�,���<�.�������8��������������� �&�%����)���8����)���<������#��7����� ��7���������������������)��������.����&�=���� ����� 8�� ��)��� <���� �� <� ��� ��� ������ �� ����� ���� ��� 6�&� ����������)�����<���������)��&����������� ��������B��/��������� ����������4���
Con el eje x Con el eje y
2;2
022
04
21
2
������
��
����
���������
4
4
04)0( 2
��
��
��
P: %�������������������� �6�8���B�8�������L���� �#�� �������.�8�������L�����#�� ���)��������.�������� �6�.���������&�P: '<����#��7�8�)��&�A3: ��� � ���&�P:��$5�����6�)����� � ���&�%���)����� ������8����[^�>��� ��� ���)��\�A1: *��&�P: [%���)�#���������\�A2: *�����&�
0�2��
P: ,��������[*�+������ \�A3: ��������&�P: -�5�����������. ���� ��7�������[^�>���\�A3: ���&�P: E�����)�������&&&�������)��>�&�P: ,��������[*�+������\�A3: *��&�P: E�����)�������&�A3: *��&�P: ,�������&�A1:�!��&&&���)���������&�P:�����������&���������<�� ���� ���7����7�����8�6������� ��������B�
��� �P: ����� 8�>� �� ���� )� ��+�� ������� �� �� ��� � +��� �� �� �#���� [����� 8�>��� ���\�A2: ���������.����&�P:� ��� ����� 8�� )� ��+�� ������� 8�� <� � � +��� �� �� �#���� .� �� �9� �� �� ��������&� *�)�� �����6�)��� ��� �� ���� ��������� �� �� 7������� ��� �� ���������� ���� � � ��#��� )���� � ���� �� �� ���#�� 5� �� ����S� � +��� ��+� �� �� ������������� �6�.&�%��7���������)���� ������������&��������5���)������������� �����#�� �8��������� �+���������#���&�P:�[*�)��8���� �����#�� \�A2:�%�����#�� ����������)����8����� ���������������7����� ���8���&�P:�,��5�[*�+ ������ ��� $)���������#����������\�
%����+ �� ������� ��#�+7���� ���<���� ���7�������6����)������� ���� �)���5�>�����)������������������������ �&��
0�3��
A2: �����)��������.����&�A3:����������.����&�P: ����������������8������������� ��8�����8�������<�� ��&�P: '�8�>����#�� �������#�� &�%����)�����5����������<)���<�<��)��<������#�� �5�>������)�.����� �&�[*�+ ��� �����#�� ����7���������������)+��8����� ���������\��A2:�*������8����)����8����� �������������&�P:���.����5���� ����)������� ��������)��������.����&�������#������.���������<����������� ��������B�
9
312
3
88
3
14
3
88
3
14
2
1
34
4)(Re
3
1
2
2
���
����
���
��� ����
��
��� ��
����
����
���
�� ��
��
��������
�
P: [^�>� ��#��7���� ���� ���� �������\� ^�� ������ �� ��� �#���� ����� ����������������������������� ���&�[���+�� ���\�A2: �$&�A3: �$&�P:���9����������������<������� )�����������&�!�������+���������[������ ����<���\�A1:��$&�P: '<���� ����.����������&&&�'<$�������� �(������8�� �����#�>���)��<���� ��+ �� ����+���������.����� ���)������&�(������)����� ���.�������������)�� ��<���>��)���<�<������ ��� &���������� ��������B��������
Q�f:=x->4-x^2;solve(f(x)=0);�Q�plot(f(x),x=-4..4,y=-6..6);�
0�4��
�P: N+#�� �� �� � ��)������5� �� �)������� ��8�� �� �� � ��� �� )�9���� ���������>�� �����6����� ���� ��.���� �� � ��)������� .� �� ��� �� �������� ��)��>������<����������> &�* ���� ���)���������8���� �� ������8���������)������� �������&�P:�E�� ����)������&�A6: -�&�A2: %��#�+7�������$��������&�P:������)+���������&&&��� ��������� ���)���� #������� ����.����)��� ��������&��������8���� ����������8�6���� ��8���� ��#�+7���5� ��#�+7������������ 5����������)�� ��8�����8�6�)����������G�)�����������G������������� ��#�+7���&�� ���)���������)+�������5�����)���#�������G����)��� ��#�+7���&�A6: ,����������.�������������&�P: ���8������������6�������)�������G��&�������������8�� ��� �����<�.���������5����8����� ���8�������8�������� � �����������.����������� ��������� )��� ���� � ��.�� � � ��)������� .� )�9���� ��)��� �� �� �+������ �� ��� ����<����&���������� ��������B�
34�� ��#)�*��� 67)( 2 ��� ���� �����'����+���6��������( ��������� ���+����������� ����� ('������������������4�����P: [^�>��������������7����� ��������\�A7: ^��������� ��������� ����� ��������&�P: � ������� �������#�������[^�>� ��<�����������\�A7: ^����)���8���� �� �� �&�P: [*�)�� ���� �� �)��\�A7: ��<&&\�P: �����������8�� ��#�+7������#�������� �6�8������������������� ��8�����)���� ���� �#���&� �������5� ��)��� 8�� <� ��� ��)��&� [^�>� ��)��� 8��<� �����)��\�A3: %���������������&�P: �G����)��� ���������������&���������� ��������B�
0����
,����������������� �6�G�P: ���������#�� ��������������8�������������)��������8����)+�������#�� ������&���������� ��������B�
6;1
061
067
21
2
��������
������
�
�P:�^�>�������������)���<������������� ���� ���� )�&�A2: %��#�+7���&�P:� * ���� ��8�� ��� ���)��� ��� �� #�+7���� ��+� ��� ���6�� � � 6� 8���5� �� ����S� ��7���������)���� �����#������&����8�6)������#�+7���5� ���� )������������8��)�9������������������#�� ��������)����������<�.5� �)������� ������������ #��8������������������<$��� ��� ���������&���)�����#��7����B��������.����8�6���� ��������B�������������P: '<���� 7$6��5� �� 7����������� ������ �� ��)���� �����#������5����.���� �� �� �����#�� � )� ���+� �#�����&� ,��� ��� �� �������� � � �� �� ��� � +��� �� �� �#���5��� ���� ������#���)����.���$��������� �+����������&�P:� '�$� �+����� �� �#������ �#�� � ��)���� � ���#�� � �������� .� ���� ��8����� ����������)��������8����)+�����&���������� ��������B�
4
456
2
77
2
7
2
7
2
0
2
2
�����
������
��
������
��
����
���
��
�
����/�� ��� �������
����
27-
%����+ �� ������� ��#�+7���� ���<���� ���7�������6����)������� ���� �)���5�>�����)������������������������ �&��
0����
� ����6
1
2 67)( ������ �
6
125
1
66
2
7
3
23
�
���
����
����� ���
�
A3: ,��75� �)�������� ����������� ���#�������#�����&�P:��$5�������� ���#������+�������6��� �6�8���5�������S� ��7���������)���� �����#�������� �6�.&�P: '�$� �����#�� �����������������������������&�E�����8�� ����+���� �� ������� ���)������5� ������)������� �)��)�B����7��� ��7������5�<� ��� ���������������� ���� � 6� 8���5� #��7����� .� ��� � ��)�� ���#���� �� � ������ ���� ��� ������ ������&�P:�����5������&&&�������8�� ���#�������� �� ��� �+������������� ��7���������)���� �������������.���������� �����#������&��������5� ��)���8���� �� ���������)+�����#�� ��.����� ������� �6) ��8����)�����<�����<���&���������� ��������B�
34�� ��7)�3������ �����( ��������� ���+����������� � ����� 86)( 23 ��� -�����4��
����� ��� 1�� ���� 3�� &�P: ,��)���[8�>���)���������\�*��� ����������������8�6��� ��#�+7���&�P: %���������������&���������� ��������B�/��������� ����������4�����
086 23 ��� ��� �P: F��������)���[�����\�[*�)�� ��7��������)��\���������� ��������B�
0862 ��� ��� �P: F��������)��� ������)������������� ��������B�
0����
024 ��� ��� �P:�%��������������������8�������L���� �#�� ������5�8�������L���� �#�� �������.�8�������L�����#�� ���������&�
��������� ��������B� 4;2;0 321 ��� ��� �P: N�#�)��� �� #�+7���5� ��)�� .�� <)��� <�<�� ������ 6) ��� .� ���)��� ������ ����)�5� ��)��� �� <��� �� ���� � �� &� ,���� )�.��� ������ � ��.� �� �������� �����)�����B���������� ��������B����P: ,����<������&�P: ��������������)���� ��#�+7���5��������8���������� ����5���8�������L�����#�� ��������� ����5���8�������L�����#�� ��������� �����.���8�������������#�� ���������� �����.��������� �)�������&�������� ��#�+7������ ���������� ��� ��� ��������&��
��
P: F$6���8�������������+��������:�9� ���� ��#�+7���;�.������������:�� �����9� ��� �� �� #�+7���;&� *��� � �� � ���� �) ���� � ���#�� �� � ��)����� ��� .���+��8�� ��#�+7������ ��7�����������������)+��+���&�P:���������� ����#����5� ��7����������)���� ������������� ��8����+���������.����� .� ����� 8�� ��)�� �� ���� �#������� �� 8�� ��+� ���� ���� .� ������&� N�.� ����
Q�plot(x^3-6*x^2+8*x,x=-1..6,y=-4..4);�
0����
������� 8�� �� ��)��� �)����� 8�� ���� 8�� � ������ �� �� ���#������� �5� �� �����������������5���.��5���������������.���.������ ��8����)�����<���&���������� ��������B�
�� ������3
2
232
0
23 8686)( ������������ �
P: %����)������#�� ���)���� ������������5��� ���#��������#�� �<�.�8���� ���� ����)����.��8�� ��7����������������� ����)���� ������������&���������� ��������B�
4
23
2
342
40
242
4
234
234
����
����
������
�
����
���� ������ �
P: ���8����>��)�����.���������� ��� �<��$�)��B��������P: ���� �����$������� ��8��<���)��&�P:� � � ��)�� ��� ����5� 8��$�� 8�� <���>��)��� ������ 6) ��� 8�� ��)��>�� �����)�������5� ��)�� � +��� �� ���� �#���� �)������ ��� ���� �� )+�� ������� .� ������������6�)��� ���� �� ������ � .� ��)�� ������ � ��������5� ��&&&� ����)��� 8���� ��)�9���&�����P: ^�>���)��������)�9���������+�����<���� ����.���������������#�+7���&�!���������� <���� ������ 8����)�� �� �)������� #��7����� ���� ��� ��)�� �� �� #�+7���5�8��+����������&�'��������)���8�� ��#�+7������+�������)��� �6�8������������6�5� ��� �� 7�#�������� .�� 8�� �� ������� ��+� �� 7��)�� ������ &� [^�>� ���� ����� ���)��� ����������� ����\�C�&&6�&&�
Q�h:=x->x^3-6*x^2+8*x;solve(h(x)=0);�Q�plot(h(x),x=-1..6,y=-4..4);�Q�int(h(x),x=0..2)-int(h(x),x=2..3);�
� ���7���������� ��8��<���� ��������������� ���)�������.������������#������������������&�
0����
P:�'<����.�� ����6�������������B�+���� �)�����������������.�<������<����<)��������6����6) ���������������5����8�����������#��������)+��������&�F$6��������#�����B����8�6���� �����������
�P: � �+����� ���#�������#�� ��� �����#�� �������.����� ��7�������8����)���� ����)�.���5� �� ����� �� #5� )���� �� 8�� ��)�� �� ���� )����� �� 7� .� �+ �� �� ������#�� &���������� ��������B�
� �� ���
������������ )()()(Re �
P: "�)��>�� ��������� ��� <)��� ������ 6) ��� �� �+ �� �� �� ���� �#���� ����������6�)��� �����#�� ���7��������� �������� �.���)�������� ���������5���� ����)��������)�9���5���������������&����.����#�����5����6) �&&&�(���6���� ��������B�
�P: F$6���8����+����������� �������� &�
0�0��
A5: [���8�>\�P: ������� ��<)��������5�)�9���� �G ����>&�P: ����������� �+��������� �#���5��8�$������ ��8�� ��)���� ����)�.��������� ������� �6�.��������� ������� �6�8���&�[*�+ ��� ��8����)���� ����)�.���\�%�� ��6�� �� �� 8�� ��+� )+�� �� �� ���<�� � � 6� .� .� �� 8�� ��)�� �� ���� )����� �������� ��8����+�)+���� ����8�����&�*�)���� ���)���������$�)��� ��8����+�����������)���� ��8����+�������6�5������6) ����)�������� ��8����+��� ����<��)���� ��8����+���� ����8�����&��������������$�B�
� ���
��������� )]()([)(Re �
P:�� �+����� ���#�������#�� ��� �����#�� �������.�����6���.�)����#���.&�P: ����� �� ��)��� �� ��� )�9���� �� ��)��� <���� .� ���>�� ��)��� �� <���� ����6�������5� .�� � ���#��� ����� 6�������� �� ����� ���� .� )� �� ���#��� �� ���� <�6�� .�������.������ ���)������&�����Reconstrucción de la Cuarta sesión de clase 31/01/08
P:� ?������ �$��A� N�.� ��)���)��� ���� ��� 6) ��� 8�� ���� 7� ������ �� �� � ����������� .� ���>�� �� ��.� �� ���#���� ����� 6�������� .� ��� )��� ���� 8�� ��������6�5���)������ ���.����� ���)������&�P: [^�>���$�)���� ���)����� ��� ������.�\�[*�)����$�)���<� ��� �+����������#����8����+���)���������������������\�[*�+ ��� ������)����\�P: F$6��5�.����#������7�������&&&����8�6���� ��������B�
�P: [*�)�����)�������+��\�A1: *��� �����#�� �������.��&�
0�1��
P: �$5������)���� �����#�� &�A2: %�����#�� ���7���8����)����#���8���&�P: ¿,���8�>���7���8����)����#���8���\�P: [���8�>\&&&���8����)���� ��8����)���� ����)�.���� �����)��� ����8����)���� ����)����&��������������)�������� ����8�6��8�� ����������6���� ��)�.��5�������S�7���8������)�� ����6�� �&���������� ��������B�
� ���������������
�� �� )()()( �
P: [��+�� ���\�A1: �$&�A2:��$&�P: ��)�����<�������6) �&���������� ��������B�
34�� �)�&��� ��������( ��������� ���+����������� � 3)( 2 �� �� ��� 1)( �� ��� &�
P:�"�)�������7��������.� ������������������������������� ���)����5� ����)���������������.�����:�7���>������� ���#����;�[^�>��\�%'�#�+7������8����)�������5���� �����8�6�)���[^�>�������\�A1: !�������&�P:��������7��������7$�&�[^�>���)���<�����������)��������+��\�A4: @��7���)�����)��&�P: =P.�#��7�����.&&&�8�>�������������)���<���&�P: ������ ��7����������������&�[*�)��<� �)��� ���������������\�A6:�����)��8������ ������)�������&�P: ?'6�A�A6: %���#�� �������&�P: -�5�������� ���#�� ��������������<� ��� ���������������������#�+7�������&&&�[*���8��>�\�A2: *��� �6�8���&�P: *��� � 6� 8���5� ��� ��� .�� 8����� <� ��� ��� ������ ����� ��� #�+7����� �� ���7�����������������������5�����8��>�� ��#��8�� �#�� �����8�������������)�������&�
0�2��
A6: *���8����)�������&�P:�,�7���5����� �������7������&���������� ��������B�/��������� ��)�
��������)� 132 ��� �� �P: [*�)����� �)�������������\�A6: ��+�8����� ������)����8���&�P: ,��������8����� ��������8������������&�A6: �8�������������)����8�����#�� ���)�������&�P: [*�)�� ����� �)��\A6: �����7����������8����)+������.�8����)�������&�� ���7������������ ���������)��������#�����.�G ���&�
012
02
13
2
2
������
���
����
��
�
P:�[*�+ ������ ���������������\�A6: (���.�)�������&�� ���7������������ ��������B�
1;2 21 ��� �� �
P: [^�>�<��)����<���\�A6: %��#�+7���&�P: [^��>��8����<���� ����)���#�+7���\��������.��������� ���)������&�%��#�+7������ ����)����&&&�A3: !��������&�P: ,���8�>������������&����8����� ��#��7������ �)� &�(7��+)�� �����)������������ ��������B����P: F$6����� ��#�+7����8��������� ���)�������� ���7�������8�6�� ��#�+7������ ��������B�
Q�m:=x->x^2-3;n:=x->x-1;�Q�plot({m(x),n(x)},x=-3..3,y=-5..5);�
0�3��
�
P:�[*�+ ���)���� ����)�.��������)��������.�������\��A2: %�����&�P: [*�+ ��� �����\�A2: �8����)�������&�P: [*�)���� �����#�� �8���7�������#���\�P: �>������8���� ��������������#����A3: ��� ����������������)��������.����&�P: ��.��������#��)�������)��������.����&�P: �������� �����#�� ������������7���������&&&�A2: ���������.����&�P:�[*�)���� ����#�����\�������&&&���+ ���)���� ����)�.�������������� ���5�7�#�������)���[*�+ ���+�������)�\�E�[*�+ �������6�\�A1:�%���������)���� ����)�.���&�P: ������������� �����)��� ������&���������� ��������B�
� ���
����2
1
2 31)(Re ��������� �
�P: [^��>��8������� ���������#�� \�P: [*�)��8���� ����#�����\�P: ���&�P: [*�)��8���\���������� ��������B�
0�4��
��
����2
1
2 2 ���� �
P: [*�+ ��� ����)����������� ���)��\�A2: �8����� �����&�A7: �����8����� �������������&�P: [^�>�)+�\�A7: !����������&�P:�"����8��6�������)+�5������8��������� ���7��)� ��������#������&���������� ��������B�
2
9
2
15
2
1263
22
1
3
16
3
8
22
1
3
142
3
8
1
22
23
23
�
��
�����
������
���
��� ����
��
��� ����
����
����
����� ���
�
P: ,������)������ ���� ���������� ��� &������P: �����<������)������������6) �5�,��)����.������������ ���)����������� ��������&����8�������������������B�������������6��� ������6������&�"�)��>���� � �� � � #����� <���� ����� �����5� �<���� � #���� �������� � ��)����� ��� .� ���������5���)�����7������7��������������� &��P: =������� )��.��������� ��������B�
Los estudiantes trabajan en el computador, algunos estudiantes no
recuerdan los comandos del Maple y eso que tienen el material de apoyo
t d d d l i i i
0����
3������ �����( ��������� ���+����������� � 23 � �� �� )1(1 �� ���� �
P: ���8�)��� ��� ������ �� ����� �� ��� ���� #�+7����&� F$6��� 8�� ���)��������6��������� �������� �.���)����������&����8�)��� ���������������&���������� ��������B��
��� 13 2 �
�P: [^�>��������������� ��� \�A3: ���������.����&�P: E� ��#�+7���� ��<������&&&�[^�>�7���������)��)�.������ ������)�����������\�A7: %����+�� �&�P: ������)������#�+7�������8�6�� ��#�+7������ ��������B��
��
P: F$6��� 8�� �� ����������� �� <��)��� � � ���5� � ��)��� �� ���� �� .� .�����)����� ������8���&����������� ��������B�
� ������� ��
����1
2
2 13)(Re �
P: %����6����+�)+���� �����<����������� ���� ������ �����&�[*�+�������������#�� ����� ��� \�A5: Nueve�)����&�
0����
P:��G����5�8������� �������� ��)��)��� �6��������������&�P: =������� )�&&&���������� ��������B�
&��� ����� ��� ( ��� ��� ��� ���+�� ��������� � ����( 86)( 23 ��� � ��
���� 4)( 2 �� &�
�P:����������������������������+�� ��[^�>���)���<���\�A3: ������� ���������������&�P: �G������������ ���������������&���������� ��������B�
Puntos de corte
����� 486 23 ���� ��
P: ��� 8����� �� �� ��� 8�� �� <��)��� �� �� ������5� ��)��>�� �� <���� ���� �� ���)������5������<����������&����������� ��������B����
��
P: N�#����������8�����>����#�)���)+��� ��������������� ���� �� )����� ��������&�P: [^�>�����������������������\�A5: *��5��������.����&�P: =P.� ���� ������� .� ���5� �<���� <�#+)�� �� ��� $����)��&� [*�)�� �������)��������� ������ ���#�� ����8����+��� ��������\�A5: F�����������&�P:�,��)�����)���8�&&&�A5: '#����&�P:�'#������>�)������)6����&&&�[*�)��8���\�
Q�restart:�Q�k:=x->x^3-6*x^2+8*x;i:=x->x^2-4*x;�Q�solve(k(x)=i(x));�Q�plot({k(x),i(x)},x=-1..6,y=-10..10);�
0����
A5:��8������ �����5�)��������8����� ����������)+���������8���&�� ���7������������ ��������B�
047 23 ��� ��� �P: [^�>���)���<���\�A5: ������7��������)��&��� ���7������������ ��������B�
0472 ��� ��� �
�P:�[*�)�������������� ��8����+�������� ���>�����\�A2:�*�)��<���)����� ������������������������)���&&&�P: [*�+ �����\�A5: ^����)�������)�������&&&�P: ���8���8�$�<�.��������5�������������8���5����������8�����������������<� �� ��&��*����#��� ��������B�
0127
0127
2
23
���
���
���
����
P: [*�+ �����\�A5: ����.��������P: ���������.�)����������&���������� ��������B�
043 ��� ��� �P: �)���8�� ����� ����8����� ��� ��G���������B����5�����.�������&�P: N�#��� ��#�+7���5����� ���)������&�P:� %�� #��7������5� �� ���� 8�� �� <�#��� ��)��� �� � ��)������� ��8�� ��� ������ �&�A4: �$&�P: ����)��� ��#�+7��������������&�E�� ����.������8�6����+������ ��������B����8�6�B�
0����
��
P: F$6���8����)���<���� ��#�+7���������������.���)+����)��� ���.�������� &�P: '<������)��<��)��������7����� �����#�� ��� ������#�� ������������� ��#�+7���&�������� ��7�������8����+�)+���������)���� ��8����+�)+�����6�&�A7: �8����� ������)��������8����� ����������)+����<��8���&�P: [���+�������)�\�A7: ����������&�P: �������� <�.� 8�� 7��)��� ���� ���#�� �� ���� ���� ����� �#���&� '� ���� �#���� ����)����� �)�������.��������� �#�+7������ ���������.�����������.��� �������������� ��������&�P: [^�>������� ���#�������\�[^������+�������)�\�[H�����\�A4: H�&�P: E�������6����+��&�[^�>��������� ��������#���\�A4: ���+��&�P: ��.�������6����+�P�5�������������� �����������5��������[*��������� �����#�� ���)����� �� ��� �+��\�A3: N�.�8��<�������&�P: [���8�>\&&&���� ��7��)����)�� ����������� ����#����&�P: [*�)��������� ������#�� �\�'.����)���������������� �����#�� ��7���������������������5�������S�8�����.����#�� �����#�� �������.��5����������� �� ��� ����)���5� ������� >���� � �#�� � �� �� ���#�� � ���� �� .� �� )+�� �� ���#�� �������.��&�
0����
P:���������� ��������B�
� � ����
�
�
�
������������ )()()( �
P: [*�)����$��� ������#�� ������ �� ��\�A1: ���������.����&�P: ��.����&&&���������� ��������B�
��3
0
)(Re ����� �
P:�[*�)���� ����#�����\�A5: '�P�� �����)����&�P:�[^��>����P�\�A5: �8����� �����5�)��������8����� ����������)+����<��8���&�P: ���5� .������ ���)����� �����B�8�������������)�����������8���5�)+�� ����������#�� �[*�+ ��� ����������#�� \�A3: ���������.�������&�P:�[*�)��8���\�A5: ,������)����+���.�������6��P�&�P: ����������)����P�&���������������������������� ���7����7�������������� ��������B�
� � � �������������������� �� ����������4
3
2323
0
223 864486)(Re �
P: "����� ���6���� � )����� � �������5� � 8�� �� �$� �� ���#�� � � �7�����&� ���������#�� �� ��� ���� <���� ���� � �� 5� ��� �<���� ������� <�#�)��� �� �+�����&�'<������)�������)����� �6������&�P: [*�)��8����$�� �����#�� \�A3: �8����� �����&�P: ' ���������>�)����&�[^�>�)+�\�A2:����������8����� ����������)+������8���&�P: E� ������&�P: ^����� ���)��)����>�)��������������#��������������&�
0�0��
��������� ��������B�
����������� � �������3
0
4
3
2323 127127 �
P:� *�)�� )� ������� #����� ��)�� ���� � �����6�� 8�� ��� <�� �� ����� �<���5� �������#�� �������� ����������� ���5����7$6���� ��� �� ��� ������#�� �5��� ��� ��.���)��� ����� ����������������� �����������������.�������������&��� Reconstrucción de la quinta sesión de clase 13/02/08
P: ¡�������$��A�[*�)����+�\�A1: ���&�P: -�������� ��������)��� ���� �� 8�� ��+��)��� ������ �� � ��� ������ ����� ���� ��������� �� �� ���#�� � �7�����&� ��� �� � ��� ������ �����)��� ������ ���$�� .�<������� � ��������� �� [8�>\� [��� 8�>� � ���)��� �� ���#�� � �7������ �� �� � ��������\� �� ����<���������������6���� ��� ��.� �����#�����[^�>�<���)��\�A2: *+ �� ����+��&�P: *+ �� ����+���5�)�.����5���������)��������� ����������&�N�.�8����������.�6�������)+�&���� ���� �������7��� �������������� )�����+���5���������.������� ��� ������)���)��6��� �����$��.����������������&�P:�!���������������� ���� �������������<�.�� #�����8�������������� ��<�6�� �����)������8����� �������� ��� �.� ��#�+7����.� ������ �����&���������� �����5� �������������8���������� �� ��.���� ���� ������ )��5� ��� ��������.�&������� �����&�P:�N�.���)���������� ���������� ������[����� ��8��������� ��������� �����\�A3: -�&���������� ��������B�*+������� ������+�)�3������+����,������ ��� �� ����� ���+������ ������� �������� ��������������4����� ����+���P: *�)���������� ����������� ��� ����8����������� ������������#����� � ����������������������8�����)���)���6�����������&���
'������������)�)����.�<����� �7��� �� ���)��������� ���7�������#���6����������������� ���� �������������.�>������������������� �� ��&�
0�1��
(���6���� ��������B��
P:�����8������6>�[8�>��\�A2:�!���)��$��� �&�P: %��)��������������� �5����)���8�� ��#)������ $���8��������� ��$��� �������� �)��$��� ��� �� � ��+)���&� ��� .�� ����� � ������ � � ��+)���� ��� �#���&�����#�)��� 8�� �� ���� �� �#���� ����� ��� ����������� 8�� �� <�#�� #����� �� ������� ������5�.�������)�������� ��)��$��� �������[8�>���)�������\�A3: [!���������7�����\�P: ,���� ������� ��������7������[8�>���\�A1: !����7��&�P: !����7��5������� ��8�����&&&����8�6���� ��������B�
�P: E� � �� �)�� �� ��� �7��� �� �����)��� �� ������� ������� �� �� ��� � ������ � �����&���������� ��������B�
3
3
4 �0 �� �
P:������)���������+�#� �����+�#� ��.� ������)��5���������� #������� ���)��<���6) ���8��<�.����8�6���� ��������B�
0�2��
�P: "�#��������+�#� �����+�#� �5���� ��������������� ����������9� ������ ��7�#����[8�>�����#�\&&&������������������� ���[*�+ ��� ��7��)� ������<� ��� ��� �)���������������������� ��\�P: ,����� �������� ����������������������<��<&���������� ��������B�
��03
2�� �
P: N��<��� ��� ������ ������.����� ��������� ������� �����&����#��� �������������������)�������� �����&&&����8�6���� ���������
�P: ����� �)���� �+����� ��������� ��� ����&���������� ��������B��
���������1���� ).( � �
P:� F$6��� ������ ��)�� ��������� ��)��� ���������� �� ����� �� ��� ������ � � �������#������ � ���5�����)����� ��7��)��8����#�&�P: ������)������6) ��#��� 5�����7�������<���>�����.��#�� �7���8����.���������� .� �#�� � �5� �� #�+7���� �� �� 7������� ���� �� ����� ���#���� ���� �#���� ���� ����������� ���)������� ��7������5� �����������.��&���������<�� �����8�6���� ��������B�
0�3��
���������� ��������B�
*�� ����� ��� ���+�� ��������� � )(�� � �� ��� ����� � � ��� ���
���� �� y �����������
���8�6���� ��������B�
�
P: "����� ��� ��������� ��� ���� �� �� )��)�� ��#��������
��
�� � ����� � �� �� �
��)�������������� ��&��������������������������6�����&�P: ��� ���#�������������������� �������.��#�� ��5�8����.��������&&&������ ����8���)����<$5������������7��)���#� ��� ��)�� ������8���� ��� �������������� ��&���� �� ��� �� ���� �� �����)��5� �� 8�� ��)��� � �� ���� ���� �� ������5� � ��)��� ���� �����������+��� �����������8����<�#�&�P: ���+�� ����<������8�$&��������5���)�������$��� ��������������� ������������ ��������� ��)��)�� ��#����5�.����� �����)��������������)��� �����#�� ��7�����&���������� ��� ��)��� ��� ������ �� 8�� �� �� 8���� ���L�� )���� ���� .� 8���� ���L�� 8��
���#����� �� �������� �� 8$�5�� (���)��� ��� ��� &� *���� �������� �� �� 8�� <)���
��������� ��� ���&�P: ,����������8��� �����8�������L�����#�� ������������L�&�
0�4��
��������� ��������B�
Denotemos por ��� el volumen de la rebanada i, así� )( ��� �0�� �
P: ���������������)���)��� ��� �)���������� ��������������*5� ����)���� ����� ��� ���� ��� �)����*����������� ��������B�
����
�
�0��0
1
)( �
P: ���� #����������� ��8����<���5����������+��)��������� �����#�� �����)�������� ������+�#� ��5��� ��8���<���������� ������&�� ���)���8����)������������������������ �� ��� ��� �)��7��*��� ����:�1�4L�203;&�P: ��������������� #����� ��� ���������� �����#�� ���)��� ����#����B���������� ��,������B�
Para aproximar ��� elegimos � ���� ��� ,1�� y consideramos el cilindro
Ci cuya altura es �� y cuya base es la sección transversal de Rri de S en ri.
���8�6���� ��������B��
�
P: '�$� ��)�� �� �� ���#�� � �� ��)���5� #�)��� ��� �� 5� �8�$� ��)��>�&� F$6��� 8��
���)��������6��������� �����������������)������ �� �����)��������������������� ��������B��
Esto sugiere que cuando �� tiende a cero )( ��0 es una buena
aproximación a )( ��� �0��
P: ¿*�+����� ���8��������������\�
0����
A3: *���������&&&�P:�*������ ���)�����������������������7�����&�P: �����)���)��<������������[��8�>������ ��� ������ ���8��������������\�A2: ��*��&�P: %��8��������8��������� ��� ������ ��� ����������������5�������� ��� ������������������ ���������5�������� �������������������G�)������� ��� �����&�F$6���8���� �#�+7��������6� ��� �����������.�������)���� ������+�#� ��5�8����G��������� #����� �������5��������� ���8��������������������������8�����������)+��� ��� ���&�P: *�����������������������8�B���������� ��������B�
�������0 ������ ������ ()( �
9�� ��� ������ �� ��� ( ��� ��� ��� ,���� ��� )( ��� �� ��� ���� �� ��� :� ��� �� �� 3�������
������������2�������������������� ������ ������+�� � �������-#-7-;-!�����
����
������
���
�
�0� �0
11
�
P: �����)���8�� ����)������)������ ������� ���5����� �����#�� �������.����� 7� �� 8���� ��7����� � �� 8���5� ������� �� ����� �� ��7������ �� �� 8�� ��8���� ���� ���8��������������&���������� ��������B�
9������+�)� *�� ��� �+����*� ��� ������� �� �� �� �� �� ��� � ���, ���� ��� �4�� �� �� ������ ����
'����+��( �������������������� ����� ������ )(�� -��������)�
���
�����0 )( �
�*��������� ����� ������ � �������� �������4���0�����P: -�������� ��)��� �� �� ��� ��$� � �� �)�5� .�� 8�� � � ���#�� � �� ��)���� �� � $)�����������)�������.��8�$���)��>����)��� � $)�����������)������&�
00���
P: %�������������������������������������8���������������8�� ���)�����#����� ���� � �+ �� �� � � �� �)�� �� ��� �� ���� �� � )��)�� �� �� ���#�� � ����)����.������������� ����� �����#�� ��������������+ �� ��&�P: '<���� ��� � �� ���� ��+� �� �� ��#�� � � 6� .&� %��� �������� ��������� �� ��+���<���������� ����� �6�.&�-�� ����)����������� ��5������)��������� ��� ������� ������B���������� ��������B�
Secciones perpendiculares transversales al eje y
*��*� ��� ������� �� �� �� �� �� ��� � �� , ��� ��� �4�� �� )(� � ��� ��� '����+�� ( ��� ��� �����
�����+��� ����� ���-��������������������� ��������B������������P: #�� ��� �)���8�������6������ �������� �.���)�����������.� ��������������������� ����� �6�.&������������ ��������B�
���
��0 )(
00���
Método del disco
�P: F$6��� ����� �������5� ��)��� �� 8�� ��+� �� �� ������&� �� ���� ���� �#���� �)���������.��#�� �7���8���5� �6�8���5�����8�����#�� ��5����.�8�����#�� ����&��������)�������#����� ������� �6�8���5���)��� ��� ������ �����<�5���������� ��������� �����&�'<��������� 8��������8��.��<�#���������������������� ������� ����[^�>���.��������\�P: ��.���������G����)������������.�)�������� ��7�#���� �����������6���5������ ������� �������������������������� ���8����.� �+����� ������������S� �+���� ��$��� �&�[*�+ ��� �+���������$��� �\��A3: ,����� �������� ���������&�P: ,������������ ����������)�.����5����������)�����)�� �������$�8�� �+����� ��������,����� �������� ����������.� ���������.��#�� �7���8���&���������� ��������B�*�,����0�������+�������� ������+������������������������P: *�����������������)��������������)��.���� �����6&�(���6���� ��������B�
�������������������������������������P: ���)���8�� ���������������� �����<��<�.������� �+����� ������:�9� �� ��������;&�'�$� �+����� ���������#�� ���,������������ ���������&�*�)�� ��� �)�����#�� �+�+����� ��������� ��� ����5�������� ��� �)����,������������ �������������<��<5������ ��7��)� ��� ��� �)������������5� ����)���� ����� �)����������� ��������5��� ��� �)������ ���&��������S�8������<� ��� ��� �)����� �
��0������0
2
).(
��
�
00���
)>������������e� ��� �)�����������#�� ��� �����#�� ������.�����,����� �������� ���������5����.����6�)���8�� ���������7���8���5��������8����+B���������� ��������B�
� ����
�
����0 2)(� �
P: * ���5�������� ��7�#������+���� ��� �6�.5���������� ��)��)�����#�� �������>�)������� �������� �.&���)�����<�������6) ��.�������)����.��������� ���)������&���������� ��������B�34�� �)�&��� ��������������������+�������� ��� ���� ����+������( ������� ��� �
���� �������������� ���� � (,��� � 82 � ������ ����� 2�� 5���� ������4�����P: �����<$���)��������� )���� ���� ���)������ ����� �)>������ ������&�[^�>���)���<������)��\�A4: %��#�+7���&�P: ,����8�>���)���8��<���� ��#�+7���&�A2: ,���������)���� ��� ���&�A4: ,���������� ��� �)�&�P: ?'6�A�*�)���� ��� ���5����������8�>&�A4: ( ��� �)�&�P: ['�8��>����)����������\���)��8����)�������� ��������� ����������8��<)����������[8�>\�A1: �����������������8�����������+�#� �&�P: �$5����8�� �� �)����A4: !���7������&�P: ,��� ����.����[8�>��\��9� ����� ��7�#�������������� ��������;��P: ��)�� 8�� ��)��� ��� �� ���� �� ��� ������ .� �� �� �)��� ��� �� �)�5� ���������������� ���#����8�� �����#���&���� ���� )����<�� ����8�� �+�����+��� ���)�����������.� ���7��������8�� �� �)����5���� ����)���8����)������������)��������#���5����� ��#��7���)��&�P:�*�)����)���.�� ���������� �#�� �����<��8�������� ����)�������������)��8�����#�� ���.�� �����������������<�&���������� ��������B�
00���
88
22 �� �)� �
P: �� �����<������)��>�� ��<��)������� ��� &�������)�������5���)�������� ��� ���5�����.��#�� �����[��+������ �8���\�A4: *��&�P: ,����.��#�� ����e����������S�,����.��#�� ����e�[*�+������ \�A1: *�����e���)���&�P: ,�������e�������������P: ,�����������[*�+������ \�A1: (��&�P: ����������)��� ��#�+7��������$B����8�6���� ��������B�
��
P: � ���� )������8�� �+����� �)��������[����\�A3: ��� ���)����������&�P: �������� ��� ��� �� ���� ��.���� �� ��S� ��� ����� ��� �#���� ������� � � 6� 8����[^�>� ����#�\� -�������� ��)��� � �� � ��<�� �� ��� �������� )+�� ������ ������#��7����� ����� ���������� ������������������#��)��������)������&�P: ��� ����)��� �� �#���� ��������8�>���.��� ���&��������8�� �������#�+7������������������� ������������5��������.�����)����������5���)��B�(���6���� ��������B�
000��
��P: � � �� ���� �� ��$5� ��� ����� ���5� �� ��� 8���� ���� 8�� .�� <�#�� ���� ���������������� ���.�����������������5� ��������� ������� ��������������� ��7�������.��#�� �7���8���5�������S� ��������������.��#�� ��� ����$���������������<��8���&�� ������� ���������+���������� ���8���&�'�$���� ������� �)>������������e���������� ��������B�
cúbicas Unidades16
024
0
2 4
8
8
22
2
2
0
2
0
2
2
0
2
��
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
�
���
���
��0
�
�P: F$6��� ����� 6) �� ��� �5� ���� �� )��)�� 7������5� ��� �������� ������� �� �������8�����#�� ����5� ���#���� �)���������.�� �����������#�� �����<��8����.�8�����#�� ��������� �������� �������8�����#�� ����&���������� ��������B�
001��
9������������ '����+�� � -� �������� ���� ��� ����� 2�� ��� ���+�� ��������� �
2y 82 �� �� ��(���6���� ��������B���������������P: ��)���������������#���5����8����+��<$5������������� �������8�����#�� �����[��)��8���� ��� ���\�[*�)���� ���)�#����\�A3: !����7��&�P:������������)������������[*�)�� ����\�:�9� �� ���#������ ��������;&&&��)������������ ������7����� ��)������&�A3: ?'6�A�'�$&�P:������ ������������)��������)��������8�6��� �����6�&�(���6���� ��������B�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
002��
P: ^�������5�)+����)���&&&��&&&����.��<�#���������������������� ������ 8�������5����6) ���8�$�:�9� �� �����������6������� ��7�#���;���#����������&�A3: ?'6�A�E���&&&�P: (�#�&�A3: E������8���������$&�P: [,���8�>\�A3: !��������8��������������$�:*��� ��)����<��� �#������������������������� ;������.&�P: -�5� 7$6��� �8�$� ���� ������� �� 8�>� �� ��� �����S� 8���� �#�� � �� ���&� !��� �������� ��� �6�8���&�A3: '�$&�P: F$6����<$� ��)��� ������5� ��������� ��� ����� ��� ����������+���������8�����������&&&�A2: E&�P: � ������� ��������<���������)������>�)������ �6�8���������� �6�.&�� ������� ��� [*�)�� �� � �����\� ���� ������ :�9� �� �� � ����6�� �� �� ������;� [*�)���� �� �)���������������\�A6: ��� �6�8���&�P: �G����5���#��8��8����������������:�9� ���� �����6�;&�'���������������8����������������� ���������������5��������[*�)����$�� ������\�P: ���������������������.�������8����[*�)��8���� ������\�A4: (��&�P: (��� )���� 8�>5� .�� ���)��� 8�� ��� �� ����� �� ���������� � [^�>� � ��)��� 8�������\�A5: ���������� �� $�����6�&�A3: E��#�� &&&�P: = ���>)������� �� 7��������<���5�������������������)����� �� �>�)�������8�>�6&�A4: � �6�8���&�P: ���7���������8���5�������������� ���)�����8������8���&���������� ��������B�
�� �� 2 ��
P: [^��>����8���\��#��� ��7�������8���� �� $�����6�&�
003��
A3: E�����������������<�&�P: ����8����8�� �������������)����.�� �����������������<�&���������� ��������B�
82
2� �� �
�P: F$6���8���8�$����)������ ������������������������ �������� ����� �6�8�� ���6�8������#�� ��&&&���������� ��������B�
��
�� )( �
P: '�$� ��� �)���������������������#�� ��� �����#�� �����)�����������.�������5���8�����)��������6��������� �6�.&�*�)���� �)>������������5� �+����� ��������,���[���8��>��)� �� ���)�����,�\�A3: (���)����.�� �����������������<�&�P: ��������8����$�S�,���������)����.�� �����������������<��� ��������������5���.&��������� ���7����7�������������� ��������B�
�0 ��
���
����
���
4
4
2
82� �
P: *�)�� � �� �)�� #������ ��� �� ��������� �� �� �#���� �� ���� �� ������� �� �)��)��#��������������)����������5��������������������B���������� ��������B�
�
�
�
�
���
����
���
���
����
���
4
0
2
4
0
2
822
82
�
�
�
�P: ����� )� ��) �7���� �� �� ������� �� �� ���#�� � [*�)�� �� ��� �� �� ��\� [^�>�����<���\�
004��
P: [^�>��� ������\���:������#��������������;�P: [^�>��� �������\�:������#��������;�A1: ����)���� ��.����8���&�P: -�5������6�)������� �������� �.&�[^�>�<��)��\�[N�.�� #������ ���7��)� ���8��������� �����������)��\�' #�������+�<���&�A2: (�6���.&�P: -�&�A6: ��) �7���)��&�P: [*�)�\�A4: �������� �� ���������&�A3: *�) �������������&�P: -�5��������� �� ����7������� ���������&���������� ��������B�
�� �
��
����
����
4
0
42
64242� �
P: [,���8�>������$���\�A3: %��)� �� ����������&�P: ��������������8��������� ������ ��<����������)��.�)��<���������������� �� ��� �����#�� ������������) �&�P: [^�>���<�����<$\�-�������)+����)�&�A2: %��7��)� ������ ����������� ���)��&&&�P: ���5� ��������� ����� �B� � � ��������� � � ��)��� )���� � ��� � �������� � ���)������ ��#�����)+�� ����������� ��#����&�A3: C�&&&6�&�P: F$6�����)�����>�����$��������� �����&�[*�+ ��� ����)��������������#�� \�A5: *������8���&�P: (���,������������.5����)��������6���������.�[^�>�)+�\�A5: �����.��� ��������������&�P: E� �����8����.��� ��������������\�A5: �$&&��&�P: E� �� ��)�&�A3: *����&�P: E��� �������������8�>5�)� �� �8��&�
00���
A3: �������������������&�� �,��7������������ ��������B�
�
�
�
5
256
0320
1024
6
64162
0
4
320642
53
�
!"
#$%
& ����
��� ���
���
����
����
�
P: ,����)�9��������������������#�����+ ��� ��� �)���������� ��������� �&�[����� ��8���������� ��������� �\�(���6���� ��������B�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������[*�+ �������� �)�\�����������������������������������������������������������������������������P:��������������)�9����8����)�������� �)>������ ���� �&�?N�����)�9���A����������������������������������������Reconstrucción de la quinta sexta de clase 14/02/08
P: ��� �� � ��� �� �.�� �����)��� ������ �� �)��� �� �� ����� �� ��� �����5� ��G ���� �� 8�� �� ��� �� ���� �� ��� ������ .� � )>����� � � ������ ���� � �+ �� �� ���� �)������� ���������� �����&�N�.5���)�������� �)>������� ������� ���� ���� �&��G�����������)>��������)�� ��� ���������� $��������8����� ����)�������5�8������������ ��� ������������� $�������5���)�������6) ��������� �&�P:��������8���)�����8�� $��)�������)��������� �)>������ ���� �&&&�E�� ���$� �� ������ 8�� ��������� ��)�� �� � �� �)�� �� ��� ��� �� �� ����� �&� [%��<������\�A1: -�&�A2: -�&�P: E�� �� ���$�5� ������� � �� �)�� �� ���� ����� �5� �� 7��)�� )�.� ��) � ��������� ����������������������7������������� 5�����7����������<���5������$��������������&�(���6���� ��������B���
01���
��P:� ,���� �� �� ��� ��� �� �)�5� ��������)��� � ������ 8�� ���#���� � ������ )�.��5�������� ��� �� �)�� �� ,�� ��� ��� ���� � � ��������� ��� <��<� .� � ����)��� ����������$��8����,������������� �������������<��<&���������� ��������B�
���
����02
21
22
21
��
��
�
�� �
P: '�$�8����$�� ��� �)��� ���� ����,����� ����7���������������� ���������5� �������)�.��5�)������������ �������������<��<&������� ��� �)��� ���� ��������� �5��� ��8�� ���$�8����������&�'<������)����������)��� ���)������������� ��������� �����&�'8�$��� ������������������8�)��8�� ������6��������8�� #����&&&��������#����� � ����8�������#������������� �6�8���&�^���������������#���&&&&�� �����6���� ���#����B������������P: ����8���)����������)��������� ������������� �&�[�$\�=�[-�\��������������������)��������)��6) �B���������� ��������B�34�� �)�3������ �����������������+�������� ������ �� ���� ������4������� ���+��
��������� � 32 �� �� y �
P: ¿*�)���������� ���������������\&&&��#�� ����� �������7�������&&&�� ������������������ �������7����������7��)��G $�������� �������� �������� &&&�
01���
A3: (�����&�� ���7������������ ��������&�����������������������������������������������������������������������������/��������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������P: '�$� �#�� ����� 8���� � � ����� �#�� � �� ��$�� ��������� �� 8���&� '� ��� ��� ���� 8��8������ ������)����8�����#�� ������5�8������) �����8�����#�� �������.�8�����#�� ����&����#�+7���&����8�6���� ��������B�
�P:� %� �����$5� ���� �������� ��� ��)������ � � �� � 8�� �)���� ��)��>�� <���� ��#�+7���&�� �+���8����)������������������9� ���� ����������� �����6�&�F$6����� �� #�+7���� �� 8���� � � ����5� 8�� ��+� ��������� ��� �� ������ ��6�� .� �� ���� 8����������� ����$�������������8���&�F$6��� ���#����8���������5��������)�������#)���� �� ��� �#���� .� �9� �� � �#)���� )������� �� �� 7�#���5� ��� �� ����� ���#)���5� ��� ������ � ��� �� 8�� ���#���&� %�� ��)�� �� ������ ��� �� �)��� �������� ������ �����)������� ��� �)��� ��� ���&�����8�6���� ��������B�
3
2
�
��
�
�)�3
2
�
��
�
�)�
@�+7���������� &�Qplot({sqrt(x),x^3},x=0..2, y=0..2);��
01���
�
P: F$6��� 8�� �� ����� �� 8�� ��+� �� ��� �� ���� ���� ���� ������&� � � ������ 8�� ������� �6�8����<����� �� $������5�8����+����������.��#�� �����$�������������8����.5� �8��������� �6�8����<����� �� $�����6��.�8����+���������.��#�� ���8���� � � ����&� �������� ��� ������� ���� �� ���� ��$�� ��������� �� 8���� .� ��� ����8���� � � ����&� [^�>� ���� � )>����� � � ��� �\&&&� ����� � +��� ��� �� ��� �#�� � �� �����#�� ���������.�������,�������$�������������8����� ���������5�)����8����� ������� ��������������5���8���&���������� ��������B�
����0 � !"
#$%
& ��1
0
232� �
P: *�)��,��������������������7������ �����#�� �.���)��B���������� ��������B��
0
1
72
72
1
0
6
���
����
���
�� ���
����
�
��
�
�
14
5
7
1
2
1
�
���
��� �� �
01���
P: ����� ��� �)��� ��� ��������� �����&�P: !�� �#����� 6) �� 8�� ��)��� �� <���� �� ������ ��� )��)�� �#���� ��� �<������������ �6�.&�P: [*�)������������8����$�� ��� ���5������������)��)���#������������ �6�.\�[*�)����$�\�A1: ��$��<�������� &�P: �������5��<��������8����$��������� ����������6�&����8�6���� ��������&�
�P: ^����$����$���)�� ����������������������5�������������� $8������� �&�'<�������.��<�#�����������8�$� :�9� ������� ��������� �� 7�#���������.������6�� ���� �;������������� ��������� �.������� ���� �6�.&�*�)����)����� �����6�������������� �6�.� �������� ������� ����+����>�)�������.5�� ���.&�%������������)��>����+�����>�)�������.5���8�� ��������������)�����8���&&&�'�$� �������)�.��5����������+���$�����������.�.� �)������+�.�� ���������&���������� ��������B�
22
31 �� �� y ��=���)��>�� 2
23
1
1 �� �� y �
�P: �����������)� �)�������������#�� �8����+� �����#�� ���������.�������,������������� ���������5����������8������ ����������&�A3: [,��8�>�8������7���\�P: '���5���.��� �����������)����.�� ���������� ������ ��������������5���.&��������<�� ���5� ���7���������$���� ��������B�
�0 � !!
"
#
$$
%
&���
�
����
��
1
0
222
31
� �
010��
�P: [*�)��8����$��������#�� ����>���� ����� ���������\�A2: E��� ������������&�P: E� ������&�A2: E��� ���������� ���7������������ ��������B�
��
�
�
�
5
20
5
1
5
3
0
1
55
3
0
1
5
3
5
53
5
535
1
0
432
�!"
#$%
& ����
��� ��
���
����
���
����
�
�
����
�
�
��
���
����
��� �
�
�
�P: '<$���)��>����)��� ��� �)�������� ���&�P: ���5����)��)���#���&&&��� �� ��)��6) ��8����)�����<���������8����������)������������6����� �����#�������8�� ����.������#����������8�����.�8���������.��������� ���)������&���������� ��������B���������� ���+�� � ��: ����� �� (����������� �������<���P: [*�)��8����$����� ������)������������ �������8�����#�� ���)�������\�[*�)�\����8�6���� ��������B�
011��
�P:�^����$��� #����$�.����<�#���������� ���� ����$�����:�9� ���� ��������;&�P: ����������.����������&�[*�+ ���$�� ����������\�A4: ��������&�P: F$6��5� ��������� �6�����������5� �������8�����#�� ����&�(��� �������� ������[*�+����)��� ����������\�P: (�)��������������<�.������������.��������� �� $�����6��������.��� ����������5�������� �������������)+��.��� ����������&�A3: E&&&�[���8�>\�P: "��������)�������������� ������������������.��������� �� $�����6����+���������.��� ����� �����5��<�������� �����&&&� �#�� &&&�����)��������������<�.������������.��������� �� $���������+���������8�����#�� �.�� ���������&���������� ��������B�
22
31
1
1
1
�
�
��
�� �
P: '�$�8�� ��� �)����#�������� �����#�� ���������.�������,����� �����������8��������)+��.��� ����������� ������ ����������)��������)+��.�� ����������� ��������������5���.&���������� ��������B�
�0 � !!
"
#
$$
%
&����
�
����
���
1
0
222
31
11� �
P: [^�>�<��$��������� �� ���������#�� \�A6: �������� ��� ������������&�
012��
P: ?'6�A�*��������� ���)���)+�� ���� ��������&&&������������ ��������B���
0
1
3
5
3
42
3
2
5
22
2121
35
34
35
1
0
32
31
24
1
0
4232
31
����
�
�
����
�
�
�����
����
�� �����
!"#
$%& ������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
30
37
30
452012
2
3
3
2
5
2
05
3
2
3
3
2
5
1
�
���
��� ��
�!"#
$%& ���
!"
#$%
&��
��
��� �����
�
P: � ��� �)�����������.�����������������,�����������������&&&����&&&7$6��� ��8����)�����<�����<���&&&��
�����
Reconstrucción de la quinta séptima sesión de clase 20/02/08 �P: ?������ �$��A� ��)��� �� ���������� ���� �� 8�� ��+��)��� ������ �� � ��� �����B��� �)������� ����&�%����� �����8����)�����8�>��������&&&�A1:�%���7��&�
��� � ����� � � ��)�� ��� ���������� ��������� �����6����� ��� 6�������� .���� )��� 8�� � ���#��� � ��7���&� %��� ���������� �� ��.��� ���� ���)������� .� � ��7���� ������ ��� ������ �� ��� ���������� �� ��� �����5�)��<�������������� ��������� �����)������� ���7�D����� &�
013��
P: ,���[8�>��������� ��������\�A2: �� ���������� �����&�P: ¿*�)��������$������� ��������� �����\�A3: ' ������&�P: N�.���)���������� �)������� �����8�����������������+�������������5��� ����� � ����� ���� ��B� ��� ��������5� ��� ���+�#� �� �� ��� 8���� ����� 7�#���� �� +�����������&���������� ��������B�34�� �)� ��� ���������� '��� �� ����� �� ���� � (����� ��� ,���� ���� ���� �������� ���
' ���0���������� �� � �� �� �������������� ���� � ��,0 ��������4�� � -����,�������������� ������ ����,�������������+�� � ����� ��������4�� � � ���,�=�� ������&��� ��������������������� �>� ����
�P: �������� )�������)�.� � �������������8������7�#�����8����)��������������)��<�������&�F$6���������������)���������+)������������������.����� ����������������� �������� �6�8�������������.�<��<&�� �6�8������ �6��� ����+)��&�'�$� ��� ������� ����+)�����<��<&����<��)�������������������� ������ 8����������)��������������������&�* ����8����������������)������������ ��������� �� ��7���� ��)������ �� ���� .� � ���� ��+� )+�� 8�9�� ��� �������G�)�)��������&�P: [���+�� ���\�'<�������������������)�����������>�)�������8���5���&&&���+ ��� �+������������������������� ���8��.��������������)������ �����������8�� ��� �)�������������� �����#�� ���������.�<��<���'���8��������5���8���&���������� ��������B�
���
����00
)( �
014��
P: '���8������ �+����� ��������&� '<����8��� ��������)������� ���������� +��&&&� ����� �� ��)��� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��������&� *�)�� �� ������+)������������������������ �����������������)�����������)�9����)�����8��������)�����������<��<������)���.�������)�����<��<������&��������5����� ���� ����#�������������&�P: F$6������������8�$�� �6�8���5� �� �)�)���<��<�:�9� ���� ��������;�.� �
���� � � ��������� �� � 5� ������� .�� ���� ���� ��� � 8�� �� ����� <��<� ��
��#����� � � ���� �� ��������� �� 7������� �� �� �������� 8�� ����� �� ���� �� <��<��������#�� ��� ������������ ������������ ���� � 5�������S�
��������� ��������B�
����
��
��
�)� �
P: �������S� � ����� ����������)+��#����5��5�����<��<� ��� ���������������� �6�8�����������+��������5����#�� �� ��������� � ����� ����������)+��8�9�5��5� ���� �� ����� 8���� ����� ������ � � 6� 8���5� ��� [��+ � �� � +��� �� ����������\� :�9� �� � )+�� 8�9�;5� ��� � ���� �� �� [*�+ � �� � +��� �� ����������\�A4: �<&&& � ����� ���������&�P:�E����������������)���)���8�� � ��������������������#�� ����������<��<����8����[*�+ ������+��\�A4: �<&&&�P:�� �+��������������������� �����������#�� ������ ���������������<��<�� �������������8����� ���������&���������� ��������B�
22
22 �
��� � �
P: �$5��������.����)����� �� ��� ��� �)�5� ��� �)�����������#�� ��� �����#�� ���������.�<��<������ ��������������<��<�� �������������8����� ��������������5���8���&���������� ��������B�
�����0
�2
0
�� �
01���
P:�*� �� )���������#�� B�A4:�E� ��������������.�<��<&�P:�'<&&&���� ��������$5���������� ��������B�
��
�P: [*�)���� �� �)���������#�� \���� ��<����������� ��� ��[*�)�� ��<��$��\&&&���������� ��������B��
P:������� ��8���� � �����#�� 5���� ��8��)���<����)���� ���)��>�&�A3: ������7���&�P:������� �����#�� ����7�����5����8�����<� ��� ���7�������������8�����#�� ������������������#������.�<��<&�P: �������#�� ���8�>����#�� &&&�A5: '�8������ ��������������&�� ���7������������ ��������B�
03
3
2
2 ����
���
����
�� �
P:�������� �������������.�<��<5���� ���� ��)�����<��<������������ ���������������<��<�� �������������<��<�� ���������������.���� ���� ��)�������������������� ���������������<��<�� ������������������ ��������������&���������� ��������B�
3
0
3
3
2
23
2
2
���
��
�� �
P: ��� �������� �����#�� ����������#�� ����������������� �������������<��<&���������� ��������B�
��2
3
1� �
�����0�
2
02
2
��
Q�int((b^2/h^2)*x^2,x);�
02���
P: ����� ��� ��������� �)�5���)������+�� ��� ����� ��<��<�.��&�[^�>�������������������� ����\�-����������� #�&&&�A4:�,���� ��7��)� ��� �+�����������+�#� �&�P: ��� ��7��)� ��� ��� �)����������+)��&&&������������������� �+����� ��������� ��� ����&���������� ��������B�
������0 )(3
1� �
P: ��� ��� �)��������� ����8������������ �����5���)�����<��������5��� ��������.�<�#�� �����6���� ��������B�P: !�� ������������ ���� �� 7��)�� �� ��� �� ���� ��.�� ���� �� ��� ������ ����� ��� ������+)���� '5� �� .� �� ��#����� ���� �&� ���)��� � �� �)�� �� ��� �� ���� ��� ��������������������� ������� �����'5����������������&�(���6���� ��������B�
��������P: %�� 7�#���� �� )+�� �� )���� ��$5� ��+� �� �������5� �8���� �)�#�������5� �������������� ������������� ��5������� ���)����� ������+���$B�(���6���� ��������B�
�P: (� ��������+���)���������5� ����������8������� 8��������8����<�#���������������+������������&�'<������)���������� ���� )��8�� ������������� ���
02���
�� ��+)���� ���� �&� ��)��� �� <���� � #�� ������� �� �� 8�� <���)��� �� � ��� )���������&�����#�)���8������� ��������������8�$���+�'�.��8�$���+��&�(���6���� ��������B�
�P: ����� �)��� ����#�������������B� � ����� ����������)+��#�������������.���+����������� �������5� �)+��8�9������ ������.���+����������� ������8�� �)�)���8���&�'�$��������8�������#�� ���������������&���������� ��������B��
����
��
22
�)� �
P: %�#�� � +��� � � ��������� �� �� � � ��������5� �� ����� �� � � ��������� �#�� � ���������8����� ���������&���������� ��������B�
22 4�� � �P: �$�����5�[*�+ ��� ������\&&&*�)������ ��������������������5� ����������8����+������ ���+)���5������5���� ����)��������5�.� �8����+���8���5���� ���>� �� �)���&�'<���� #�)�����8����� 8��������� �6�8���� � ����� �����������������������������8���&�P: ��)������� ��� ��� �)�5����������#�� ��� �����#�� ���������.������&�[,���8�>\&&&���8�������)�������� ���+)����8��)��������&�[(�8��>�\&&&� �+����� �����S��������8������������������7����� ���8���&���������� ��������B�
���
���02
0
24 �
02���
P: *� �� )���������#�� 5���8�>����������#�� &�A3: %�#����)�&�P: ?^�� �#����)���<���A�A3: -�&&&-�&�A3: *������8������ ��������������&�P: *������8������ ��������������&���������� ��������B�
� �33
33
3
3
328
3
4
0)2(3
4
0
2
3
4
��
�
��
��
��
�
�
P: ����� ��� ���� ��� �)�&�������<����)��<���� ��������5� ���)����8��������)�����<����������� ��������&&&�P: =���������8����)���������<������ ��#�����������&���������� ��������B�
Longitud de arco P: ��� ������ 8����� )���� �� ��#����� �� ���� ������7�����&� [*�)�� ��<���\&&&�������&�A1:�,����������&�P: (���,����������&&&����,����������&�-����������)��>����)�����)���� ��#�������������������5�� ������� �����#�� ��7�����&����������� ��������B�
��� ��������������� ('�����������'����+��������� ������ '� �������������� � ���, &����
�������������������� ��,��������������������������� �����?��0�����@�������� ('�������
� &�
P: �������� 7$6��5� ��� ����� ����� ���� �8� ��� 7�������� ���������5� ��� ���)������� �� 8�� ��� �������� ��� ��������&� [,��� 8�>\&&&����� ��+���� ������������ ��������� ���������� �8� ��� ������ �� 8�� >���� ��� G���5� ��� �8������ ������)��������&&&� � <�<�� �� 8�� ��� �� �������� �� ��������� ��� G����� ���������&�
02���
� ���7������������ ��������B�
Para aproximar la longitud s del arco suave C Procedemos así:
"�4� ���:� +���������0���9���� ���� ('����������� '����+����������'��������� � ���, &�*��
������ �� ����������+�� ��� � ���, � ��� ��,���� ����� ���� ����� ��� ��������� ��������
�� &��
��
P:�F$6����<$���)��� ��#�+7���5�<��)��� ���������������� ������� ���5��� ����� ��7��� ����� ������ �� �� �����5� ��� ��� �� ��� ��)��� �� ����� ���� ���� $��� ����&&&�����#�)��� 8�� *� �� ��� ����� ����&� ,��)��� ������)��� �� ������� ���� 7��)� ������ )���� ��� ��#����� ��#������ �� 8�� <���� ��)���5� <��)��� ���� ��������� � ������� ���5��&�"����� ������������ ����� ��)��)�� ��#����&�'<$���)��� ��#�+7���5������ ����� �� ��)��� �� �)��� � ���L�� )���� ���� .� �� ��� � ���L�&� '� ����� ������8�������L��)��������.������8�������L�&�,����L��)���������� ���)�#����8�������L��)��������)������ ��7�������.��#�� �7���8����.�����L���� ���)�#����8�������L��)������7&��������L�&&&���������� ���������
*���/����� ����������� ('���� )(, �� ��� ��, ������ ��� �� ����������� �<��=����
���� �� ���
P: F$6���8��<�.����������� ����)��������� �������������.� ����)��������� ��� �#��� &�%��������������)�������G�)�� ��� ��� �#��� �� ��� �������&�'8�$�������)���� �����#�� �����)����)�������)�.������ ���)�������������� ���)+�����G�)������+� �������� ��� �#��� �� �������� �������&��������8��C �� �������� �������&���������� ��������B�
020��
A���� � � �� ������� ?���� ��� ��� 9@� ��� ��� ���+�� ��� ��� ��������)�
�� ���������� 143322110 ,...,,, � ��������� ������+�����*����9���)��
P:�,��)���������������)�� ����)������5����� �����G�)������� �������&&&��� ����)��������������#�� �����<��������� �������L��)�������5�����L�&&&���������� ��������B�
��
���
��� ��,
11 �������:�;�
P: !����� ����� ��)�� �� �� �� �� �� ��#����� ���� ���� ������ � � ���&� [*�)�������7������ ��������������������������� � ���\�[-���������\�A1: �8��������)����8�������&&&�<&&&�P: =�)6�����$&&&���������� ��������B�
2212
122121 )()(,),( ����������� ����� �
P: ����� 7��)� �� �� �� 8�� ���� ��� �� �)����� ���G�)��5� ��8�� �� � �#��� � ��+�7��)��������#)������������� ��#����&�'�$� �� ��#������ ��#)�����$�����&&&���������� ��������B�������������������������� �����)�
� 212
11 )( ��� ����� ������ �������� �
P: !������������� ����)��� ��� ���)������ ���������&&&�[,�����������8�$\�A2: ��&���������� ��������� ����)��� ��� ���)���&�P: � ����)��� ��� ���)��������8�����7�������������� ������� ��8�������L���5�8�������L���&���������G����� 7���� �8��7���8�������L����)����8�������L������ �#�� � �� 7� ��)�� �� � 7�� ��� 8���� ���L���� )���� 8���� ���L���&� ����� �����)��&&&���������� ��������B��
� ������� ��� �� ���� ���� ��� � .���� �� ��� '����+�� � � ��� � ��� �� ,1� � ��������� ���
�������������� �� ������������ ��������0��� 11 )(')( �� ��� ����� �������� �
���-�
021��
� �
Donde(2)
12
1
2
1
1
21
21
21
1
11
)('1
)()(1
)()(
)(')(
�
��
�
�
���
��
������
����
����
���
��
�
�����
���
����
����
��
��
������
�����
�����
��������
����������
��������
�
P: "�)���������������5��������.����������������)��B���������� ��������B�*�����������8#5����8�5����������0��)��
� � ��
����, ��� �
�1
2)('1 �
3������������������$������� � �����'����+�� � �2)('1 ���� ���� � ���, ���9�� '� ����
���������������������������������� ������������� ��������������������� �� ����*-�������
0��� ��3��,���������������'���������������*������ ��������9����)�
� � ���������,
�
�
�
�� �� �
��
�������
22 1)('1 �
3������������0������� �����������=����� � ���� ('������� )(�� � � � �� � � �����
� �� , ������(������������ �������� � ����,������������,������+������ �� , ����,�����)�
� � �������,
�
�
� �� ��
�
����
�����
22 1)('1 �
P: ��)�����<���� ���#�����6) ������ ����� �������)����.��������� ��� &���������� ��������B�&��� ���� � ��� �������� ��� � �� ��� ��� �������� � (,��� ����<�2,���� 8���0��� �� ���
������������� � (,��5� 23� � ���� �5,0 �
P: ����8�>��� ����)���8����)���8��<���&&&�A4: @��7����&�
022��
P: =P.�#��7�8�)��5��� ��� ����5��7����� ��7���������������� ���������
Q�f:=x->x^(3/2); P: ,����#��7�����������)��� ���)����� ���P:�<�#����������8����� ��)��� ��#�+7���&������������������5�8����)�����)����.��8��)����������� ��#����&�P: ,������ �� ��� �� ��#�������������&�P: '<���� ��)��� �� �� �� ��� ��� ��#����5� ���� �� �� ���� �� ���#�� � ���� �� .� �� ��7��)� �&������������[*�+������ ��\�[*�+������ ��\�A3:�*��&�P: ¿E��\�A5:�*����&�P: �������� �� ��������� 8��)��� <� ��� �� ��#����� �� �� ����&&&� ��)��� 8���������B������#�� ��� �����#�� ���������.��������� ����$�����������������)+�5� ��7�������8����)��5�[*�+ ��� ��7������\�P:� ����� �� �� �������� �� �� 7������� .� �#�� � �� 8���� �� �� ���� )���� [*�+ � �� ���������\�A1: "���)���&�P: [*�+ ��� ���������\���� ��<��)������� ��� 5������������� ���� ���)�������77�:��;5������)�.����� ��[*�+ ��� ���������\�P: �>��[*�+ ��� ���������\�A4: "���)������8���&&&�P:�%��8���� �������8�>&�A3: '����)���&�P: =P.5���$���)��� �����#�� ���������.��������� ����$�����������������)����.� ��)�� 8�� �� ���� )���� �� 8���� �� �� ��� )���5� ����� � � ��������&&&� [*�)��8���� �����#�� \���������� ��������B�
�����, � � ���
����
�����
5
0
5
0
2
21
2
2
31'1 �
A5: ��)� �� �������)����������&&&�P: E���)��8���&&&���������� ��������B�
023��
� ��5
04
91 ���, �
P:�*�)��<��)��� �����#�� 5� ������<�������� ��� &����)�.����� �&&&���������)������������ &�[*�+ ��� ���)���\�A2: ��<������#�� �������)+����������������8���&&&�.��5������&&&�A1: -���������������5����&�� ���7������������ ��������B�
2
39
4 23
21 ���� �� �
P: ��� ��)��&���������� ��������B�
27
3351
4
49
27
8
14
451
27
8
0.4
915.
4
91
27
8
3
33
33
�!!
"
#
$$
%
&��
��
����
!!
"
#
$$
%
&��
��
��� ��
!!
"
#
$$
%
&���
��� ���
��
��� ��
�
�P: ����� ����� �� ��#��������������*��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
,����)����<������ ������������������ ����������������� ����6����� �����������������������������������&���� ����������������� �������� ����������������������������� ����������� �����#�� ��7�����&�
�
Reconstrucción de una parte de la novena y última sesión de clase 27/02/08
�������� ������� �������������6) ���8��8���������#���������.�8���)����+���������������� ���������������)�)���&�
024��
P: E��<)��������������������8�� ��7��� �����8������ ����9������ ��+ �� �����#�� ��� ������������>��������� ������� ������ )����������������������&���� � )����� � 8�� �� ���#�>5� ��)��� ���� ����$�� �� 6�������� .� ��� )��� 8��������� ��� ����� ������� �� ���#�� ��7�����&�%���� ������� 7��� �8����)��������� ��� �� ��� �� ���� �� 6�������� .� ��� )��5� �� <��)��� �� ��� ����������� .�������� ����� ���)������&�P: [^�>�6������������ )��8�������� ��\�A1: � ���)��&�P: %>�� ����)���� �6����������B�*� �� �� �+����� ���#������)���������� ��#�+7������ ��������
��� cos)( � 5� � � ��� ������� ��� ��,0 �
P: [^�>������<������)��\�A1: %��#�+7���&�P: N�#��� ��#�+7����A2: !���������+��� ��������������� �6�.�.��������)���� �����#������&�P: [�������\�A3: N�.� 8�� <���� ���� ���#�� �� ���� ���� ���� .� �� )���� .� �� ����� ���� ��� ��#���)����� ����������)����.��&�� ���7�������8�6���� ��������B�
�P: [*�)���� �����#�� ��� ������#�� �\�A4: ���������.���)��������������8����)����������)����.�����)��>������������8���&�P: ����.��������� ��������B�
02���
� ���2
02
coscos
� �
�������� �
P: *� �� ���������#�� �&�[*�+ ��� �����#�� �� ������\�A1: ���&�A2:���������&�P: -�������&���������� ��������&�
� �� �
2
1001
2)()0(
2
20
2
�����
����
��
���
���
������������
���������
�
�P: ���8��)��<���.�� ��<��$���<�<������ ��� &���)�������� ����������� )��[*�+ �8�����<���\�A2: � ����&�P: � ������������#������������ >�� ��.���� ���5� ��)��>������������������ ��� � ���� 7�������� ���� ���� �������$������5� ��� #��7����� .� ��8��� �������� ������&�
%�� �#����� ���� ���B� *���� �� y ��� '�������� ��������� ��� � ���, � ���
)()( ���� �� ��� ������ ���� ����� B9+����� ���� ( ������� ���� �������0���������
����� ������ �� ��������4�� � ���� ������,C�A3: [��� #� �� 8���� �� 8���� � � ��������5� ������� 7� �� 8���� �� )���� 8������������\�P: �G��������8�����7$� ������� ��� �.� ���#��7����&�� ����������<��� ����#�����.�)��<�����������)��>�� ��<���B����
03���
���������������
P: (���������� ��8��<�������[*�)������ ���+���\�A3:� #�� �&�A2: #�� �&�P: � � �� ��� ��)>����� � � +��� �� ��� ���� �#����� �� � )��)�� .� ��� ����+� ������� 8���������7�����������������������$������&�P: ^�����8��<�#�)����<���� ����&�?%>�� �A�A5: ������������� �������#� �������G1��)����&���8����������������� ���������+�����4���)��.� �������6�� ����)�����6���$�&�%���#����8���������������������� ������ ���� 7��)�� �� ��+�� �� ��)�� �� ������� �� 7�#���&� [^�>� ��+�� �� ��)���������\�P: [*�)�� ����)������ ��\�A2: ,��� �)>���������)���&�P:�-�� �����#�� � ����)�������� ������ ������� �"��)��F����)��� ���*+ �� �&�(���6���� ��������� ��7�#����8��������� ��#�$�B�
�
Q�g:=x->x^2;f:=x->-x^2;� := � ���� �2
:= � ���� ��2
Q�plot({f(x),g(x)},x=0..10);�
Q
03���
P: ,��� ������,���������������.�������������������� ��>������� ����+�� �&����)��� 8�� ���� ��+�� �� �� ��� �������� ��)�� �5� 8���� � � ��������5� )+�� �5�8����)+����.� ��>���������������������>�)������ �����7������&���������� ��������B�
���� ��� 2 �*���= �������)� )( ,0 �P: ¿� ��>�������8�>����#�� \�A7: '5���.��&�A2: ��.��&�P: [*�+ ��� ��>����\���������� ��������B�
500)50,0( �*�) �0 �
P: ¿�������� �� ��+�� �� �\&&&������� 8�� ��)��� 8�� ���)����� �� ��+�� �&�[^�>� ��+�� �� ��)��� ������� ���� �� ����� ��� �� ������ ��)�� ���� ���\�*����)�����.���[*�)������8����$�� ���������\�A2: E��#�� ��5������8�������������)+�&&&���&�A1: E��#�� ��5������8�������������)+����������&�P: ���&���������� ��������B�
502 �� �� �
P: ������ ����+�� �5����7� ���������� ��� ������&�[*�)������)���)����\�[^�>����������������)��\�A3: � �+���8������<��������P: [*�)����������� ��������������<� ����\�A4: %�����#�� ���������.���������&�P:�����)��������6�������7�������� �6�G�A3: %�� ���#�� � ���� ���� .� ���� �� �� ��� 8���� ��������� )+�� ��������� �� �#�� � ����<�������&�P: [,���8�>\�A3: %�����#�� �������� �+����� ���#����8��.�����)���8������<�������&�P: ��.����5���������� �� �)��� �����#�� �.���6�)����&���������� ��������B�
03���
��
��10
10
2 80050 ���� �
P: [*�)�� ����6�)��\�A5: '�8����� ����������� ���5�)+�����������8���� �#�� �����<�������&�'��������� ���7����'1��������� ��������B�
80010
1050
3
3
��
� ��� �
�
P: %���� ��)��&��A5:�*��������.��������� ��������B�
10
3
6002000
2400300002000
8003
30002000
80010003
2000
8005003
1000500
3
1000
��
����
��
��
����
��� ����
��
��� �
�
��
�
�
��
�
P: ����8���������8�� ����+�� ��8����)�����������&&&�A5: E��#�� ���)��������������������8�������������)+����������&�� ���7������������ ��������B�
5010
3 2 ��� � �
�
�
���
� � ��7���� ���6����)��� ���� ��� ���������� �� ���� ������ �� � ��5���� ������)��<���������6���������������� �����)����� ����)����������$�� �� �6�������� .� ,��� )��5� 8������� �� ��� #���������� ���� ���������������� ���������������&�