repÚblica bolivariana de venezuelafqm126/tesis/anexos_tesis_capace.pdf · 2019-03-25 · 1&...

169
ANEXOS

Upload: others

Post on 04-Jan-2020

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

�����

�������������������

� ��

ANEXOS ����������������������������

�����

�������

ANEXOS A ����������������������������

�����

��������������������������������������� ������ ��������������� ��

����������������������������� ���������!��������������"��� �#$����%�����������

%����������&��������'��#���(����)������*��������+������

�,�!��'�,'�* '%�

�-�)���.�' ���/////////////////////////////////*& //////////////��Argumenta tu respuesta a cada uno de las siguientes preguntas.

�&� El Teorema del Valor Medio para integrales plantea: Si � es una función continua en

el intervalo � ���, , entonces existe � ����� ,� tal que � ���

�������� )()()( 0 .

Interprete este teorema geométricamente, explique.

���������

�&� ¿Qué teorema garantiza que si )(�� es una

primitiva de )(�� en � ���, , entonces )()()( ���������

��� ? Explique.

�&� De acuerdo a la siguiente gráfica ¿Cuál es el valor promedio de )(�� en � �7,1 ?Justifica tu respuesta.

0&� Calcule: ����

� �

1

0

251

�����

1&� Bosqueje la gráfica de una función que exprese en cada punto del intervalo � �3,3�el área bajo la curva 12 �� �

2&� La población P, de China (en miles de millones de habitantes) la cual se puede calcular con la función � )014,1(15,1)( � . Si es el número de años desde el inicio del 2003. ¿Cuál es el valor promedio de la población China entre 2003 y 2007?

3&� Determine el área de la región limitada por 22 3)( 1)( ������ ����4&� Encuentre el volumen del sólido generado al rotar entorno al eje � la región limitada

por 22 8y �� ��� .

�&� Se inyecta cinco miligramos de colorante en una vena que llega al corazón. La concentración de colorante en la Aorta, una arteria que sale del corazón, se determina cada 2 segundos durante 22 segundos (véase la tabla). Sea c(t) la concentración en la aorta de segundos. Aplique la regla trapezoidal para estimar

�22

0

)( �

��&�La base de un sólido es la región plana del primer cuadrante limitada por

41

2� �� el eje de las � y el eje de las . Supongamos que las secciones

transversales perpendiculares al eje � son cuadradas. Calcule el volumen del sólido.

��&�Calcula la integral � �4

0

2 )5( ��� mediante sumas de por la derecha, tome h=0,5.

,�����������

,�#����� �� �� �� 0� 1� 2� 3� 4� �� ��� ����� ��� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

Segundos despuésde la inyección

Concentración(mg/litro)

0 02 04 0,66 1,48 2,710 3,712 4,114 3,816 2,918 1,520 0,922 0,5

�����

������

ANEXOS B ����������������������������

��0��

���

%����������5��1���������������3���

�����������)����������������� ������6����!������ ��������������� ��7��)�� �8��)�������������� ������������������������������)6����� ����9�����.��������6�� ��+ �� �� ���#�� �8������)�������������)+����� ��� ��������� ��7��)+����&������������������ ����� 5� ��� ��� �8����� �� ����� :��;� ���������� �� ���� ������� 8��8����������������� �&��� %��� ���������� 8�� �������� �� ��� ������ �������+�� �� ���<���������7������ ��� �������������.���8�� ���������)��5�.��8���8����)���� ������ �%������������� �7��)+������� ������=*=&�� ��� ����� 7��)��� ���� �� ��� ����� #���� ������ ��� ��)��� .���)��� �� �>�� �� .� �9� �� �� ��� <����� �� � ����� � � ��#����� <������� ����������� ����&��

?@������A�-�)���.�' ���B////////////////////////////////////////////////�������B/////////////�*>�� ���� �������B//////////////////��

���

'����)��5����

,��7&�%����*����

��1��

��2��

ANEXOS C

��3��

MAI-203

@������:��>��� ��.�6������3B������B����)&;��

� ' �����.�-�)����

*>�� �� ������� ��>��� �� C���� =�����������

�� ����5����D����

��02442�� �� 3B������B���

3B������B���

�� @����#����5����$��

�240�0�0� �� 3B������B���

3B������B���

�� "�+�5�E��77��

�420����� � 3B������B���

3B������B���

0� �� #��5�C�)�����

�31�4��1� �� 3B������B���

3B������B���

1� @�����5�(���.�

�33������ �� 3B������B���

3B������B���

2� ,� �#��5�C<���

��30�3�1� �� 3B������B���

3B������B���

3� ,>��5�F> �G� ��03�312� �� 3B������B���

3B������B���

4� @������5�F��.�

����2013� �� 3B������B���

3B������B���

��

MAI-203 �

@������:��>��� ����3B������B����)&�E��������B�������B����)&;���

� ' �����.�-�)����

*>�� �� ������� ��>��� �� ������ =�����������

�� ,���5�C����

����3�0�� �� 3B������B���

�B�������B�1�

�� *<���5�(�����

����021�� �� 3B������B���

�B�������B�1�

�� � ����5�%�������

���2��0�� �� 3B������B���

�B�������B�1�

0� *�)��5�' G�����

�3�43�44� �� 3B������B���

�B�������B�1�

1� H<���6�5��������

��1�0224� �� 3B������B���

�B�������B�1�

2� �� ��5�������#�

����3113� �� 3B������B���

�B�������B�1�

3� "�����5����. .��

�3�0��32� �� 3B������B���

�B�������B�1�

4� �� �������5����� �.�

�3�0��2�� �� 3B������B���

�B�������B�1�

���

��4��

�����������������

ANEXOS D ����������������������������

�����

���,I�% *'���=% �'� '-'�(����-�J!�%'�

� - �"�� =�(����(!*'* K-��*!%"!�'�E�(��,=�"��� INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA ��������������������������������������������������������(��%'�� *"=� '����������������������������������������������%'�� *"=� '&���"'(=�'�'@!'�

�DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

:�' L���;�,��M=(=B����3L ���N=�'��,�=@�'�'('�B�20�

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ���'-'� *=-"�- (=�� ��'%!'* K-�

�� Función primitiva. Integral indefinida.

Propiedades. Integrales inmediatas

�� Integraciones por sustitución. Integración por

partes

�� Integración por partes. Integración de

funciones racionales

,,�L���O�

0� ��#������� �� 7�������� ������� �&� ��#������� ��7�����������#���)>�������

1� ��#��������������������������#���)>������� ,,�L���O�2� ��#�� � �7�����&� ,�������� 7����)��� �� �� ��

���#�� ��7�����&���

3� F�������� �7������� ��� ���#�� �&� "��)��F����)��� � � � *+ �� �5� "��)�� � � �� ��� )���� �������#�� �&�,���������� �����#�� ��7�����&�

3� %�����#�� ���������)��������)������&�' ����������� �����#�� �

4� *+ �� �� � � +��� �� �#����� �)������� ��� 7������������������

,,�L���O�

�� *+ �� �� � � �� �)�� �� �� ����� �� ��� �����&��� �)������� ����&�

��� *+ �� �� � � +��� �� �� ���7���� �� ��� �� ���� ����� �����&�%��#������������

��� ' ����������� ������)$��.�)�� ���������� ���� ��#�� �� �)�����&� *����#����� �� ���#�� ��

�)������,,0L���O�

��� *���������������#����������#�� ���)������ ��0� ��#���������)>����B�-D���5�"������� �.������ ������

����)���&����������������G�)������

�1� ' ��������������#���������)>����&�� ��2� ' ������������������ �����#�� &�

PP5- 20%

�����

�3� � �Bibliografía

%�����5�N���� ��.���D���&�*+ �� �&���������� ����@��D�N� ��� �)���&����9�&������� ���D���� .� ,��.&� *+ �� �� ���� @�)��$�� '�� $����&� �������� � ,������ N� &�����������N������)>����&��>G���&����2�� ���D��� C&� ,��� 5� (� � �����#&� *+ �� �� ���� � @�)��$�� '�� $����&� �������� � ,������N� &������N������)>����&��>G���&������ �,��P�����-&�*+ �� ��(�7����� �� ��#�� &� ��!"�N'&�@����-���#���������&��>G���&�����4���

���

�����

������

�����

�����

�����

��

��0��

��1��

��2��

��3��

��4��

�����

�0���

�0���

�0���

�0���

�00��

�01��

�02��

�03��

�04��

�0���

ANEXOS E ����������������������������

�1���

���� ������ ��������������� ��

������������������������������������������ ���� ������������������������ ���

%����������&��������'��#����

�Papel de trabajo:

�*� �� )��� �����#���������#�� �������.����� ���7�D����',%�B���

����� .1 �

��

� � 21 .2

���

����������������������������������������������������������������������������

��

����

32 1

2 .3 �

����

����

� �12 .4 �

����

�� 21

.5�

���

����

����� � )1(

1 .6 �

Con MapleQ�with(student);�Q�a:=Int(2*x/(x^2+1)^3,x):a; Q�changevar(x^2+1=u,a,u); Q�value(%);�Q�subs(u=x^2+1,%);��

Con MapleQ�with(student); Q�b:=Int(x/sqrt(2*x-1),x):b; Q�changevar(sqrt(2*x-1)=u,b,u);�Q�value(%); �

Con MapleQ�Int(exp(x),x)=int(exp(x),x);��

Con MapleQ�Int(1/(1+x^2),x)=int(1/(1+x^2),x);��

Con MapleQInt(1/sqrt(1-x^2),x)=int(1/sqrt(1-x^2),x);��

Con MapleQ�with(student):�Q�c:=Int(1/(sqrt(x)*(1+sqrt(x))),x):c; Q�changevar(1+sqrt(x)=u,c,u); Q�value(%); Q�subs(u=1+sqrt(x),%);�

�1���

����� � 21 .7 �

���

����

�� 2

)ln(1 .8 �

���������

���� �

� 2

/3

.9 ���

����

���� �� )cos( .10 � ����

����

� ���� �2 .11 �

���

� ����cos .12 �

����

Con MapleQ�Int(sqrt(1+tan(x)^2),x)=int(sqrt(1+tan(x)^2),x);��

Con MapleQ�with(student);�Q�e:=Int((1+ln(x))^2/x,x):e; Q�changevar(1+ln(x)=u,e,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=1+ln(x),%);�

Con MapleQ�with(student);�Q�f:=Int(exp(3/x)/x^2,x):f;�Q�changevar(3/x=u,f,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=3/x,%);�

Con MapleQ�with(student);�Q�g:=Int(exp(x)*cos(exp(x)),x):g;�Q�changevar(exp(x)=u,g,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=exp(x),%);�

Con MapleQ�with(student);�Q�h:=Int(x*exp(2*x),x):h;�Q�intparts(h,x);�Q�value(%);�Q�h=%;�

Con MapleQ�with(student);�Q�i:=Int(x*cos(x),x):i;�Q�intparts(i,x);�Q�value(%);�Q�i=%;�

Con MapleQ�with(student);�Q�j:=1/(x*(x-1)*(x+2)):j;�Q�convert(j,parfrac,x);�Q�map(Int,%,x);�Q�value(%);�

�1���

� �� )2)(1( .13

�����

���

���

�����

�� ��

�44

8 .14

23�

�����

���

��

� 2

3

16 .15 ���

����

�� 4

.162����

���

� � 35 .17������

����

���� 23 1 .18 �� ��������

���� �22

.19 � �����

Con MapleQ�with(student):�Q�k:=(x-8)/(x^3-4*x^2+4*x):k;�Q�convert(k,parfrac,x);�Q�map(Int,%,x);�Q�value(%);

Con MapleQ�with(student):�Q�Int(x^3/sqrt(16-x^2),x)=int(x^3/sqrt(16-x^2),x);��

Con MapleQ�with(student):�Q�Int(1/(x*sqrt(x^2-4)),x)=int(1/(x*sqrt(x^2-4)),x);��

Con MapleQ�with(student):�Q�Int(1/(5*sin(x)+3),x)=int(1/(5*sin(x)+3),x);�

Con MapleQ�with(student):�Q�l:=Int(x^3*sqrt(1-x^2),x):l;�Q�changevar(x=sin(t),l,t);�Q�subs(sqrt(1-sin(t)^2)=cos(t),%);�Q�subs(sin(t)^3=sin(t)*(1-cos(t)^2),%);�Q�expand(%);�Q�value(%);�Q�l=%;�

Con MapleQ�with(student):�Q�m:=Int(x^2*exp(2*x),x):m;�Q�m1:=intparts(m,x^2):m1;�Q�m2:=op(2,op(2,m1)):m2;�Q�m3:=intparts(m2,x):m3;�Q�value(%);�Q�m=op(1,m1)-%;��

�1���

������

� �� 253 .20

2 ����

������������������������������������������

Con MapleQ�with(student);�Q�f:=x->1/(3*x^2-5*x+2);�Q�completesquare(denom(f(x)));�Q�o:=Int(1/(%),x):o;�Q�changevar(x-(5/6)=u,o,u);�Q�value(%);�Q�subs(u=x-(5/6),%);�Q�Int(f(x),x)=%;��

�10��

���� ������ ��������������� ��

������������������������������������������ ���� ������������������������ ���

%����������&��������'��#��&��

(����)������*��������+������,��7&�%�����������*����,>���

�������-R������%�����#�� ��7������� ������������������

Objetivo General ������������B������� �����.�5������ � ���������������7��)+��������� ���7�D����� �:������������)�� ����.�#�+7��������)��)+������.�<���)��������+ �� �;�.��������.�)��������&��

�'�������������� ���7�D����',%��

���������

'����������B��Q�D��<:������;S�Q�7BTGLQ�8��:�UGV�;S�Q� ��:7:G;5GTL�&&25.T�&&35�<��P���T�;S�Q���#<���G:7:G;5GTL�&&05�;S�Q���#<���G:7:G;5GTL�&&05�1;S�Q���#<���G:7:G;5GTL�&&05���;S�Q� 7���G:7:G;5GTL�&&05�;S�Q� 7���G:7:G;5GTL�&&05�1;S�Q� 7���G:7:G;5GTL�&&05���;S�Q�)��� ��G:7:G;5GTL�&&05�;S�Q�)��� ��G:7:G;5GTL�&&05�1;S�Q�)��� ��G:7:G;5GTL�&&05���;S���'����������B�

La finalidad de esta sesión es la comprensión del concepto de integral definida y establecer vínculos con lo que ya se conoce de la integral indefinida y los métodos de integración.�

Comprender el concepto de integral definida y sus propiedades.

�11��

�Q�������B�Q�D��<:������;S�Q�#BTGLQGV�L�WGU1S�Q� ��:#:G;5�GTL1&&15.TL�&&�15�<��P���T�;S�Q�)��� ��G:#:G;5GTL�&&050;S)��� ��):#:G;5GTL�&&050;S�Q��� 7:O;S�Q�)��� ��G:#:G;5GTL�&&05�1;S)��� ��):#:G;5GTL�&&05�1;S�Q��� 7:O;S�Q�)��� ��G:#:G;5GTL�&&0521;S)��� ��):#:G;5GTL�&&0521;S�Q��� 7:O;S���'����������B��Q�������S�Q�D��<:������;S�Q���):XPX5XPXT�&&�;�T���):XPX5�XPXT�&&�;S�Q�7�����:O;S�Q���):XPV�X5XPXT�&&�;�T���):XPV�X5�XPXT�&&�;S�Q�7�����:O;S���'���������0B��Q�������S�Q� ��:GV�5GTL�&&�;T���:GV�5GTL�&&�;S���'���������1B��Q�������B�Q�7BTGLQGV�U�S#BTGLQLGV�U�S�Q��� �:7:G;T#:G;;S�Q� ��:Y7:G;5#:G;Z5GTL0&&05�<��P���T�;S�Q� ��:7:G;5GTL�&&�;T���:7:G;5GTL�&&�;S�Q� ��:#:G;5GTL�&&�;T���:#:G;5GTL�&&�;S���������������

�12��

��� ������ ��������������� �������������������������������

������������� ���� ������������������������ ���%����������&��������'��#��&�

� -"�@�'%�����(�F - ('��

,��7&�%����*������������4�

*� �� �� �����#���������#�� ���7������B�� ��#�� � ������� ��#�� � �������

1) ��

1

3

���1

�2

1

�3�

2

9

2;

��

1

4

1

�� �

��

�2 �

2) ���

-2

2

e ( )� /1 2 ��

� ���2 e ( )-12 e

7) ��

-6

-10

1

���� 2�

��

( )ln 2

3) ���

/3 4 �

/1 2 �

( )sin � �

�1

22

8) ��

-2

2

1

����2 4�

�1

4�

4)

��

0

/2 3 �

1

���5 4 ( )cos � �

��

1

9� �

���9)

���

-5

-3

����2 4 �

��

����

6.893586100

1;

��

2

4

���16 �2

�2� �

� ���1

3� 3 �

10) ���

1

e

( )ln � �

��

1 �

� 18)

�13��

���4 ( )ln 27

4

��;

��

2

3

1

� ( )���� 1 ( )���� 2� �

� ��� ���1

2( )ln 3

1

2( )ln 2

1

6( )ln 5

T .0655070979 ��

8

27

1

���� �( )/1 3

� � ���9

2( )ln 2

3

2( )ln 3 �

�12)

���

2

3

� ( )ln ���� 1 �

��

19)

���

3

11

���2 � 3 �

��

98

3

��13)

���

1

4

( )���1 � � �

��

-116

15

��20)

��

-1

-2

1

��� ����2 2 � 2�

���

( )ln ���2 1

14)

���

0

2

�2 ( )����3 1 �

��

�40

3

21) ���

0

1

( )ln ����2 1 �

��� ���( )ln 2 21

2�

��

15)

���

-1

1

�2 ���4 �2 �

��

� ���1

23

2

3�

��;�

��

4

9

���1 ����1 �

���

� ��� ���1 8 ( )ln 2 4 ( )ln 3

��

16)

��

4

8

�����2 15

���

6

��;�

��

-8

-3

���� 2

� ( )���� 2 2� �

��

��� ���1

2( )ln 3

1

5( )ln 2

17)�

/-1 2

0

�3

��� ����2 � 1�

����

1

93 �

5

8

�0;

��

3

4

1

���25 �2� �

��

���1

5( )ln 3

1

5( )ln 2 �

�14��

�' L��������������.���,��7&�%����*�����

Aplicaciones diversas de la integral �

�&� %�� �� ������ ����� � �� ���� ������� �� �� �&���&���� � .� >���� ���� ��������G������ )��� ���� ���� ��������� �� ����)����� �� �5��&� [*�+ � ��+� ���� ��������)������ ����������� �����G�)���1���9��\�

��&� !��� )���� � )����� 2���� �������� �� ��� �������� ����� 0� )��&� ��� �

�������� �� ���� ��������� .� ��� )��� <����� ������ � � �������� �� 7��� �� � ������� )�&� �;� (������ �� 7������� ���������� ���� ��� ������� ��)����)��&��;�*� �� � ���)������G��������� ����������� �� )��>������� �������������)��&�

�&� � �����)������������� ������������������)���������)�����

��25,01

3000

�� 5�

��������� ���)�����$��&�%���� ������������ �:���;����������&��������������������� 8�� �������� �� �� ������ �� ��� 8���� �������� .� �� �� �� ���� ���������������T��

0&� %������������ ���)�����������������������B� ��

�3400

90000

�� �*� �� �����

�����)������ � �50,40 &��

1&� *� �� �� ���)���8�����������7����������6���������F������1��F���� �������

� ��

300

250100

1

2ln

10 ���

�2&� %������������)�����)���������������)������������������)������

����������� ������#]����� � ��� ������7��������.���<�����)������8�� �������������� ���������5�G���������� $���������9��� ���7������������+� �������� � �����)���� �� ���������5� �� ��� G����� ���

250000012000)(' 2 �� ��� ����� �� �� �� ����#]���� � � ��� � .� )(�� �� ����������� ����)� ���������9��&��

�3&� !��������� ���8��������1������� ������� ��������� ��$�����#����+�

����������������9���.�<����������������8������������)��� ������� ���� �� ��+� �� 3,02000� � ��� ����� &� ��������� 8�� � ��� �����)� ���� �� �� ���������� )���� � �� ���� ���� )��� � � ����� � �)����������)�)���5��� �� ���[��+ ��� � ��#���� 7���������������� �������� ���� ��G���$���� ����&�

�1���

4&� � � ������ )��#��� � �� ���� 7+������ ��+� ����� ��� 2310

1�� �� $����� ���

���$�� ����������5�������� ���� ��������������������������&�(����������7��)� �� 8�� �)���� �� �� ��� � ������ ���� � �� 7������� �� ��� ������� ������������ �� �� �������� .� �� ��� #������ 7�6��� *F� :������ � � ��� � ���;� .��� �� ���+ ��� ����������� ��� ��������������1��������������$�� ��5���� ����������7�6��������������������&�

���� (������ ������ �$����� �� ��� <����� �� �)������� � � ��)�� �� :)����� ��

<����;�7���� 2

3

1447 �� #�����&�[*�+ �7�� ���)���������)�����������

���$���\���

����!��� 7�)� ��� ��9� �� )������ ���� ������ �� ����� 8�� ���� ����� ���

120;27

500.32

27

250.21

27

250)( 2 ����� � � [*�+ � �� �� ������ �� �����

��)�������� ���)�����)���\��

����%��#���������� ��������)�������������)�����$��8�� �������� ��������

�)������ )(��� � ��� � �� ��

�����0

)( ������� ������������)�����������.� �

������� )(��� � &��������� ��#��������:���� ���;��� ��������)��������������������������

���������)����� 310

500�

���

� ��������� ����������0�&�

��&������������ � 0� ����� ������� � %� ������ � ������� ������������ ����������

� ��9�&�,���� ���������� �� 7��)� ��

���� �

��

��� ��

10010 �<����������� ��

����� ������������ �������������������� ���)����5� ��8��8���� ��������

��� � �� ����8���

��� 1000� ���������������� ����������������� .� ��

7��)� ������� ���)��������������� ����������� ��������������#���8�����������������)������������������<������������������&�1�&���&�������� &�%���������#��3O�������>����)�������������&�[^�>������ �������+�� ��������1��9��\�

���&�����#��� 8�� �� ������� ������)��� ������ �� ���� ������ �� �<������ ��

������������_��2�������� &�(��)��� ��� ���� �7��� ���0��9������ ���������#�� �4O���������������������)�����&�

�2���

�0&��������� ��#���������� ��������)������:���� ���;��������������������

���������)�����2006,050)( ��� �� �������� �������������&�

��!��!�������������<���������+ ���������������� ��������������������.������ &�

*��� � 8���� .� ��)��� �� �����6������ ����� �5� �� 7+������ ��� �������������� �������� �������&� �� ���)�� 8�� ���� ��)����� �� ��������5� �� ������ ����)����� ���)���������������������������$�������������������)����

�� � ��)��� �� ) ����� �������� �� �� �680� � ����� � � �� ���)��� �� ) ����� �������� �&� ���������� �� ���������� ������� ��� ����)�����1�) ������� ��7����� ����� �G�����&�

��2&�!�� ���� ��� ��� ������ 1�� ����� �� �� ��� �� ������ � � �$�� .� �� �#����+�

������ �� ������� �9��&� �� <�� ��������� 8�� ������ �� ��)��� � ����� ����� �� ��+� �� 3,02000� � ��� ����� &� ��������� 8�� � ��� �����)� ���� �� ������������)���� � ������ ���� )���� ������)��������� �� )�)���&� [[*�+ � ��+� � ��#���� 7������ �������� �� �� ����� � ���� ��G���$����������\�

��3&�����#�� 8�� �� �� ������ )����� � ����� � �� �� 1&1��� )� ���� .� 8�� ��

�� ������ ������ �� �� �9��� ��+� ����� ��� �� .� �� ����)����� G������ ��� 023,05,5)( � � �������� �� �� ������ ��)���� �� �� ������ �� ���

��G�)�������9��&��

�4&�!��� �����8�������� ������������)��� 5���������8�����������)��#��� ���� �������� � ������ � �� �������� 15004,0 � � �� ��� ��� � �� ���������� �� � � �������������&� ��� ���������� 7�6���������_1����������5�������� ����������������� � � �������������&�

���������

�Batería de situaciones varias de aplicaciones de la Integral Definida.

��&� *� �� �� � +��� �� �� �#���� ��)������� ��� �� #�+7���� �� �� ������

��� cos)( � 5� �6� � ��� ������� �� � ��,0 &���&� ���8�6� ��#�+7����������7�������8��G���������������� ������� ��`L

�5�a� �+�����6�� �������� 12 �� � ��

�&� *� �� ������ ��)6������G�)������8������� � +��� ��6�� �� �����5� �� �������� ��G������8����#�� ��7������&�

���

�2���

0&� *� �� �� �+��� �)��������� ��#�+7����.� �6� � ��� ������� ��`L�5�a&���� ����#�����7�#���B�

���

1&� (���� �� 7�������2

61)(�

�� �� &� *� �� �� � +��� �� �� �#���� 8�� �� �������

���� �6� � ����� ��������� 1�� �.� 3�� &��

2&� ��� � � �1

0

2)( ���� � .� � � �� ��)�� ���� 7������� �������&� ��������

� � 1,0 ,2)( ��� ��� �6����7�������������&��

3&� ���� �� y ������������� � ���, ����� )()( ���� �� �������� ������� �&�[*�)������ ���+������ ����#�����8�� ���������������������� �6� � �����

�� y \���

4&� � � ��#����� �� ���� �� ������ � � ������ ������� � � 6� � � � ���)�� �� �� ������26 �� �� ���������.����&�[*�+ ��� ��� �)��� ��� ���\�:���7�#���;�

��&� �������� �"��)��� ��� ���������������#�� ��.����G�)���)�����8�>�

����� �� �� ��#����� #�+7���� �� 7������� � ������ ��� �� ��� )���&� C����7���� ���������&�

����

���

����

�2���

��&�������������� �������#� ��������G�1��)����&���8����������������� ���������+�����4���)��.� �������6�� ����)��6���$�&�%���#����8���������������������� ����������7��)������+�� ����)�� ��������� ��7�#���&�[^�>���+�� ����)���������\�

���

���&��� 8���� ���������� ��� )���� �� ����������

���� ������ ����)��� �� �� �������&� ,���� �� �� �8���� <���� ��� ���7����� ��)����&� � � �7� � �� ������� �� )������ �� ��7�#���� .� ��+� �7������ ��� �� 7�������

1 para 1

3)(2

��� ��

�� � G������ ��

)����&�[*�+����)�������������\��

��&�*� �� �� �� ��#������ �������� ��#�+7������ )ln(cos � � ����4

y 0�

�� �� �

��

��&�' � ��������� ����9��������5� �� ��������� ��������)������� ������������� �� 07,01,16)( � ��)� ����)� ����������� ������� ��� ��9�5������ ��� ���)������9������������������������3�&����)���B�

��;� (��)��� ���������������� �������)����������3��.���30&��;� ���8�6� ��#�+7������������� �+�����������&�

��������

�0&�%���7������������������ ������ )���)+���)��������8���7����� ��b7������ ����L��<���&�'��8�� ���)����� � ���������� ���#���� �����<������� �������������� 5� ����������)�������)�������)����)������ ���<���� �������� �����#��7�������&�� ������������ ������������� 5� ���������������)����)�������)����)������ �:��)� ������)������������;��� ����+�� � �9��� ���>�� �� ���3� ��+� ����� ���G�)���)��� ��� �� 7�������

�� 03,02,76)( � &� (��)��� �� ��������� �� )����� ���� ��)������ � 8�� �������)��+����9�����3�� �����&��

���1&�(��)��� �+��� �)��������� ���������� ��� 3y 2 32 ��� �

��

�2&�%���������������� �������������������� �������+)�����"��� ��#�����#�&�(��)��� � �� �)�� � � �� ���� ��� ����� ������� ��������� � ������ ��� ���"���������+�#� ��8�� +���&�

�2���

�3&�*� �� )��� �+����� ���#����$� �)��������� ���#�+7���������T� ���%���T��%���T��&�

��4&�N� ��� � +��� �� �� �#���� $� �)������ ��� ��� #�+7����� �� ��� ��������B�

4,5

2

5

2,1

9

)2( 2

�����

� ��� �

���&�N� ��� � +��� �� �� �#���� $� �)������ ��� ��� #�+7����� �� ��� ��������B�

0,4,2,12

������� ��� �

���&��N� ��� � +��� �� �� �#���� $� �)������ ��� ��� #�+7����� �� ��� ��������B�

5,13

,122

2

�������� ���� �

���&�N� ��� ��� �)��� ��� ��������� ������#������� �#������ ������� �6��5�

���#���� �)��������� ��#�+7����������T� � 5��T��5���T��5���T�0&��

��&�N� ��� � �� �)�� � � ����� �#������� � � #����� � ������ � � 6� �5� �����7������)����������� �����+�� ���������������� �� �� ,2 �

���&�(��)����� � �� �)�� � � �� ���� �������� � � #����� �� �#���� � � 6) ��

�������5�� ������� �6��&��

�0&���������������� �� ��� �� ��#������ ��������������8����������&��

�&� 3 0 ,23

12

32 ���� ������������ �

�&� )3,3(2 0,0)( ,49 32 ���������� � �

�&� 2 1 ,8

1

4 2

4

���� ���������

� �

�1&�,���� ���)��� �� ���7���� �� ��� �#�� �� <��� �� ������ � )�������� 8�� ��)��������� ��7�#���&�����)��� �����7����)������ ���# ���� ����������&�

�������%���)��������+����)����&���� ����#�����7�#����

�20��

��2&�����.�����������)� �#��)������� �����������������8�� #��� ��������&�%������������������� �������� ��'����5������������8���� �� ��������5������)������������#�����������������#������:�>��� ����� �;&���� )( � ����������������� �����������>�������#�����&�' �8�� ���# ���������� �����

���)��� �22

0)( � �

����

�����������27. Calcula el valor aproximado con 4 cifras decimales de cada una de las siguientes

integrales. Usa los métodos Trapezoidal y de Simpson.

�;� 61

13

0 4�

�� ����

����������������;�� � ��2

0

3 81 ���� �

���

�4&�%����� ��)������ ��� �������� )(� �#����������� ���������)�������������)������8�����6����6������������<� ��� ���������)���� �� ������&�

!�� ��� ���# ��"������� �.�����)������������)��� ������������ ���

���� )( �

������������ ����)������������$���������<���������

�� �� �� �� �� 0� 1� 2� 3� 4� �� ��� <��:�;� ��� �0� �3� ��� ��� ��� �1� ��� ��� �0� �3� �� ��c<�

�#���������>����� ����.������

*������������:)#c ����;�

�� ���� ��0� �52�2� �50�4� �53���� �53���� 05���0� �54��2� �5���4� �51���� �5����� �51�

�21��

��&� !��� )���� � )����� 2���� �������� �� ��� �������� ����� 0� )��&� ��� ��������� �� ���� ��������� .� ��� )��� <����� ������ � � �������� �� 7��� � � ��������)�&��;�(������ �� 7������� �������������� ������������)����)��&��;�*� �� � � ��)���� �� G�������� � � �������� �� � � )��>�� �� ��� ���� ���������)��&����&�*� �� �� ���)���8�����������7����������6���������F������1��F���� �������

� ��

300

250100

1

2ln

10 ���

���&� !��� 7�)� ��� ��9� �� )������ ���� ������ �� ����� 8�� ���� ����� ���

120;27

500.32

27

250.21

27

250)( 2 ����� � � [*�+ � �� �� ������ �� �����

��)�������� ���)�����)���\���

�����

����������������������������

�22��

�������������

Anexo F

�23��

=����������� ��$�����L��L��4�� ���7����<��������������� �����#�� ����7����������� ��8�������6��-D���&���� ��$����<�.����������+�� ������6����:��)���;5� �����#�� ��7�����&���9��<��������&�,��� )���� ���# ��:d� ;��;�[*�)�����������������#���������������\� ,�#����� 8�� �� ���� ������ .� � � �)��� �������� 8�� ���� ��+�� �5� ���7������ ���� ��8������������;�[*�)�����)����� ��#��������������5�+�������#����� �)�����������������.��� �)������� ���������#����\��� � ��7���� ��#��� 8�� ��� � �)���� ��)�� ����� 8�� �#�� �� ��� ����+� ���)������&�� ���7����G ������)��������������������#���������������.��#�������)������ ������� �� ��� )�&� %��� � �)���� ��� ������� .� � ��7���� �� ���� 8�� �� ���������&���� ���� )�������)�����+�������#����� �)����������������e&�:N��� �����6�;�:�����.�� �+������)���������� ������;&�,�#�������)������ �� �� �+�����������+�#� �5� �� ���� ������7�����5� ��� ���+�#� �5 ��&� �G ���� 8�� �� ��� )�� ��+�������������� �����#�� ��7�����&��������8������ ����������+�������������������� �� 8�� �� �� ����������&� (7��� �� ����������&� %��� � �)���� �����&� ��9��<��������&�N���������7��������)����� �������������� ��$��� �&��G ����.��� ����8������� ��8��<��� �����#�� &�(���6���� ������������������� �)�������������������&�����7����8����)+��7+�� �<� ��� �+���������>��� ���)������&�'��#��� �� ���������� -R� �� .� ���#�� ��� ���)�� �� �� � ��� �� <�.� .� �� �� )�9���&�*�)����������� ����������������8�����������#������ ���)������&�%���� �)������)������ �� �����6��� �� � ��)������5� ���� � ��#��)�� �',%�&� �G ���� �����)������8���������� ���)�������.���)������� ���� ��&�' �)��� �9� �� 8�� <�.� ����� �� �� #�$�� �� 6�������&� � � ��7���� �� ���� ����� � ���������� �� � ��)������&� � � ��7���� �� ��� ��������� �� ����� � �)��� ������������ ������6��8���� ����&�%���� �)����������������� ������������������ ��� 5��������>�������)���$������� <� ��#��5� ����� ���� ���� �$5� ��8�� �� ������� )��<�� ��)�� ���� #��7����&� � ���7������������<���������� �)����8���������� )�������#��7�����.� ���� ���� ��������&�

�24��

,�#����� �� ��� � �)���� ����� � ��)��� �� ���+�#� ��� 8�� �� 7��)��� .� ��)�� �����)���� �� ������ )+�� � � +��� �8�����5� ��� � �)���� ������� 8�� ������� <�.����������+�#� ����������)+����������� �������&�' #������ �)����8�� #���������������� �����������8���������#��7����&�,�#����� ��� �� ���� ��� ���� ������S� ��� � �)���� ������ 8�� �� )����� 8����)����� ������+�#� ������������� ��������.� ���7���� ��� ����8����������� �f+����� �������g�(�� ��������������#�+7������� ��������&�,�#����� 8�� ������ ���� ������� �� ���� �����&� -���� �����5� ����������)+����7��)������.����� �)���������� ����������������&�:���&�*��� �����;�,������� ���������������-R��&�!�������������������6����� ���)����.�G ����8���� ���� �� ��� ����� ������ ��)�����&� '� ���� � �)��� 8�� #�� ����� .� ��� �����������6����5� ����#�� �)����� �.� ���� ������������)������������8�����������������������&����������� ���� �)��������������� ����� �����������&�!��� �)����#�������8�>���� ���� �#�+7���&�� ���7������ ���&��G ����8��� �7��� �� �#�+7����� ���)������������������)������&�*������ ��������� ����9���� ��8�������� ����)������������ ��G������&�,�#����� 8�>� ������� � ��)����� 8�� ����� � � 7��� � �� �� #�+7���&� ��� ��)���������� ����)���� ���+������ ���h&�*��� �.�8�������G�)����������)+��� �+��� �� �� �����&� ,�#����� ��� ��+� � ���� .� �� ���� 8�� �8� ��� � �)���� 8�� ��� ��<�.����� �� ���������6�������8� �����)�9����8��.�� �����������&�'� ����8���<����������������6����� ��������5�.�����#�)>�����)���:��)������;��������� $����)��&�,�#����� 8�>� �� ��7�����5� �� ���� 8�� �� ��� +��� �)������ ��� <���� ��7�������

���+�#� ��&�%���������8�������)+����������������8������� �<�.���7���������)���&����������������������������������������������������������������������������������

�6) �7���� ������������ 4,1 �� ��� �?�����A�

(���6�� �� #�+7���� .� G ���� ��)�� �� �� ��� ��� ����������� ���� ��� ������ ��5� .� ��$����)����� �������� ������+�#� ��&���

'� ������8������� ��� ���� ��������� �� 5�������>���� ��� ��� ����)���� ��� �����

�� ������+�#� ��&�,�#����������+�� ���&�%���� �)�����������8����&�������� �+����� ���#����:7��)� �;&�:?(���������A;�:� �����#����� � ����������;�

�2���

,�#��������������� ��$)�� ��� 5��� ������ �)���������8����&��

,�#����� ��8����#��7����8�� �����)�������������#��7����8��<�.������)�����7�����������+�#� ��&��G ������ ������ ������8�� #����)���&�������� ��7��)� ���� �����#�� ��7�����&�%��7��� ������������ �����8������#�� ��������������#�)>�������� �����#�� 5�G����������� �����������)6���������>��� ������ ���)������&�(7�����)������)���&��G ������ ��������� ����7���������� ���������)�������)���&�����=����������� ��$���0L��L�4�� � ��7���� ��)����� ���������� �� � �������� �� 7��)� �� #��� � �� �� ���#�� �

�7�����&�'���������)��6) ����)���������� ��� ��

1

2

2��� ���)��� �

������ ��

���

10

lim �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������:� ���7������)����� ��������1�� �)���;�"�)�������� ����#�� �������������� ������������������.��5������������������ ��&�����

:F��)���3

;5���#��G ���������)�����������.�� ��� ������ ��� .� ���������������

��� d� �� ����� �� ����&� �G ���� 8�� �� �������� �� ��� �������� ��

���

��� ��

���1

32 � !���

� �)��� �#����� ����� � ������ �� �� �� �������2

32 �

��

��� �� �

�'� ���� �� �����

������ ����� 2��� %�#����� ���� ����)���� �������)������)�������3

5������

�3

:�U�U�e&&;&�,�����)�������������� ���������5� ��������8�������<� �����:�i�

*�;� ���� <���� ������ ��#������� .� ��������S� ���� )���#�� ������+�� ������)���������� ������� ����)��������������� ��� �6�������-R��&�%���� �)������������������� ���7��������� ������6���� ���������� ���)������5������� ���� �����5� ��� G ��������� .� <��� �� ���������&� %��� � �)���� �����

�3���

� #�������������� �������� �����)��������������� ����)��������.� ���7���� ���� ��������������� ���������8�������� ������&�:�6&�*�)��������);&�%���� �)���� ������������� �� ��� .� ���7���� �#�������� .��<��$��� �����6���� ����������)�����&�� � ��7���� �#����� 8�>� ��#��7���� �� ��)�� �� ��� ��)���� ��)���� .� �� �������8���� &�E���$��������)��&�� ���7�����#��������<�.�� #���������.�����������ee&�!���� �)����������������� ��7��)� �����������6�� ���� ����)��������.� ���7����������������������� ��.��� ����� �����������&�:%���� �)�����������������<� ��� ����+ �� ��;�� ���7����G ���� ����+ �� �������������� ��������&������� ������������������� �)������ ��� ���:���>�������)��&;�'� ����8�������� ��7��)����8����)����<� ���� �����#�� �7��)� &�'� ����8���������� ������ �� <��� �� 7��)�� ��� $����5� ��� �<���� �� ��� �� �)������� �� 7��)��#�)>�����&�'�������������� ��������� ����)��7����)��� �� ��+ �� ��:� ���������� �����#�� ����7���������� �����#�� ��7�����;�.��� ����8������� ��8����<���������� ���)��������8���������������)�&�'�)+�� ���7�����<��� �������������8�������)���8��<���� ���)������������)����)���5������8����������������� ��������:.��8���������)��)+�����;&�

!������ ����)��7����)��� �� ��+ �� �&�*���� �)��)����� )���������� ��

1

2

� ��G��

.� ����� �5���������� �)��)����� �����������)�����)+������ �&�[� ���7������ �����#���������<�.�� #��������\�:����������;�?����A��#����)��� ���������8��.��������� ������������� �����#�� ����7������.���)��������������� ����������������#�� ��7�������� ��������&�%���������8�������������7������� ��',%�&�:' #������ �)������+��������$�������������� ����)�������;�%���������� ��� �����#�� ���� ����������)������',%�&�,���������� �����)������8������������� �����.���#���8������� ��� �6�������0&��#����)��� �� ������� 8�� ���� �� ��� ��� �� �� ��)�������� � 6������� -R� 15�� ������������� ������������� �����#�� ��7�����&�%�#�� �� ����� )������� �#����� �� ��� � �)���� ��� <��� <�<�� � 6������� .� ��)��8������� ��� #�+7����� �� 7� .� #&� �#����� ��+ � �� ��� 7�������� ��+� ��� ���)�&� !��

�3���

� �)��� ������ 8�� �� #�+7���� ���� : �� �#�����;&� N��� �� ����������� �� 8���������)�.� ����.���������������� �����)�����&�,�#�������+ ��� �+���)�.���.������ �)���������8�� ����#&�%�#������� ���������-R�0�.� ��#��7������ ��������&�,�������� ���6���������� ��#�$����� ������� ����)����������)����������� �-R� �5� ������� � �',%�&� %�� ��#��� 8�� �� ��� �� #�$�� ���� ����� � #�������� �������� ����G�)��� ��&�*���� ���� ���#�� � �� � �������� .� �#����� ��)�� �� ��� ��� ��&� !�� � �)���

������� 8�� ���� ��)���� �� ������ � 12 �� �� � .� � ��7���� ����#�� ��� ������ �

6��������� ��������&��G ����8��� �7��� �<�.�8����������� �������� �.��<����������������5����� ������)����� ��� $)���������#������&�

,�#�������)������� �� �����#�� � �10

2

3���

�.���� ��� ��7��)� ��������� �� �&�%���

� �)���������������������)��&���#�� �#�������� ��)�� �� ��� �� .� �����+��� �� �� 7��)�� �� ��� ��� �������#�� 5�<�������)����� �6������&�%�����8����� ���� �6��������<�������� ��',%�&�'� ���� ��)����� �� ��� ��)������ .� ��)�� � �',%�� ��)���� ����)+����)��� ��� $)���������#������&�,�����8����� ���� �6�������-R�4��� ���)������5�8�� �#������� ����+��� ��������&�,�#����� ��� .�� �� ��� ������ .� ��� ����� 8�� ��+�� �����6����&� %�#�� ������ �6��������� ���������.��#�������)����<��� ���)������������ &�!���� �)��������� .� ���7���� ������#&�*�������������� ����� �6��������� ��������&��� �����#����������� ��� $)���������#�������.� ���� �)����������� �������&�' #������������8����.� ���7�����#��������8�>&�,�#�������)������ ��7������� �#�.� ��G�.�����������&��� �����#������ ��7��)������� ��� �����#�� &��� �� �� � �)��� �����&� *�������� ��� ������ ���� �� ������������ �� � #������ �)���&���� ����G�)��� ����� ����#����������� �)������6�������.� ����������� ����� �������7��)��&�

��

�3���

=����������� ��$����L��L�4�'� ���3B1�� ���7������)����������������� ��������� ����)��� ��� ���)�����������#�� �&�'� ����8�� ���)���������������)��������������6��+��������$�&�N������������� �������� ��8���� �����#�� ��7�����&�,�#�������+ ��� ��$��� ������ �� ���#�� � ���7������.� �� ���#�� ��7�����5� ���������� � ���)�� 7����)��� �� ��+ �� �&�%���#�����8�>���$�� ����)��� ��� ���)�����������������.���)����� ������5� � ��7���� �� G ���� �� � �������&� %�#�� G ���� � "&�&�&� �������#�� �&� ,�#����� �� 8�� ������� #�+7���)��� ��� 7��)� ��

: � ���

������� ))()()( �� �.��� ����8��� ������������)��������&��

,�#����������+�� ������������&�-���������&�� ���7������� �����6) ���� ��������&�N����#����������� �6) ��.� ���� �)�������������&�%�#������� �� ��� �� �&� ,�#����� 8�>� �� �� 8�� ���� ��� �� ���� � � 7��� &� !�� � �)��������� 8�� ��� ��)��&� *�)����� �� ��� ��� .� �#������ ����� �� ��)�����&� %���� �)���� ��� �������� ��� 7��)� ��� �� �� ���#������&� ,�#����� 8�>� �� <��� ������� ���� �.� ���� �)��������������&�%�#������ �� ���� 5�#��7���� ��7��������� �

��������.������� �+��5���$���)�� ��� ���)���&�,�#����������+�� ����.������������[\��#����)��� ������ �� � �������� ��� �������� [\� E� ��� G ���5� <�������� ������ �� 8�� �#�� �� 6) �7����+&� *���� ��� 6������� �� � �������� ��������)������ �����8�������7�8�� �"��&�,�#���������� ��8����#��7���� ���)���

8����������� ����� �����#�� &�,�#�������)���� �� ��$��� �+����� ���<��������������������&�-���������&�%�#������� ���� ����������� �����#�� ��7�����&�*�������6�������.���)��������#����� �� �� ��� � �)���� ��)�� ���� ��� ������ 8�� �)����� �� 7������� .� ���#���� �)�������������&�� ���7���� ���� ������ ��������&�,�#�����8�>��� ��8����#��������� ��� �6������&�-���������&�@��7���� ��7��������� ��������&�'������<�������������� ��� ��5� ���7����<��$�������������)����� ��)������6���������������� �)��&��#����)��� ����� ����������������:��)�����;�����8��)��������� ��� ���6�������&��������� ���7����G ���5�.�� ���� �)�������������)���������<���� ���6������������ ����)�������&�

�3���

,���������� ��������6) ��:���$�����#���������� �)�������8�� ����� ������� ��������5���6�����#�$�5����������;&�,�#����� ����7�������������6) ��.� ��������&�!���� �)�������8��������� ��������� ����������&�� ���7�����#�����8���� ��8��<�����������&� '� ����8��<�.�8��<� ���������������&�F��������� ���������&�@��7���� ��7������&�:����������#�������7�����������������)������)��)+�������+�����;�!���� �)����#���������� ��������� ����8�������� �#�+7���&��G ���� 8�� �� ���� <�.� �#����� ��������� .� �#������� 8�� �)������ ��� ��� �������#�� �&�*���� �6�������05��#����� ��)������ �� ��� ����������� ����&�%����� �� ��.� �����#��� �����)����������8�� ��#��7�8�����������)��������&�@��7����.���� �� �6��������� ��������&�%�#�� ��������������� ����������������� ��� ������������������ ��� �8�� ��.������������ ��� ���� )�&�%�� ��7��)�� 8�� �� ��� 6) ��� �� ������� �� ���7���� �� ��� #�+7����� ��� ��� +������+��������)����������6���� ���6�&�,����������� ������������������5�.���8��������� �+���8��<�.����� ���������� �)������� ���� ���� �� ���� �� �&� "�)��>�� ��� �������� � ����� ��<� ��� ���#������������������.���������&��=������������ ��$����L��L�4�� � ��7���� ��)����� �������� �� � ��� �� �.�5� ����� ��� +���� ���)������� ��������������.� �)���������������������� �6� � &�

*�)����� �#�������� ����� �� � ��� �������� .� ��#��� ��� ��� ��� ��� )�� 8��������� ��������&�,�#�������)���������� ��� �6������5�� #������������8��#��7������� �����������&�� ���7������#���8����)+��<� ����� ���������������������)����:������.�����;&�,�#�������)����������� ����)������������&���� �� ����)�����������.��#�����8��>��8����#��7���� �&�,�����8�� ��<�#����� ���)�������.� �������� �����)�����&�%���� �)���� ��#��7������� ���)�������.� ���7�����#�������� ��� ��� ���� #�+7����� �� )�.��� .� ��+ �� �� ���� � ���#��)��&� ,�#����� ��)�� �����)� �� �� ���#�� � �7�����&� %�� ��� 8�� �� <�#��� ���� )��� .� ��� �� ���)������&��(7��� ��� ������ �� ����� .� �� ���� 8�� �� ����� 8�� ��+� ��� ���)�� �� �� )�.���:7�#�������)��;&�N����#�������������)��8����+� �����#�� ��7������.���� ��� �� ��)�����&� "�)���� ��� ������ ����� � 6) �&� %�#�� �� ���� 6������� ����������

�30��

8������������<� ��� �+�����������������&�,�#�����8�>��� ��8�������<������)��&� ������ �����)������������� ����� ���)������&�!��� ��� 8�� �� ��� ��� �� � ��)������� :������ �� ����;� ������� 8�� �� ��� ���� �������� $����)����� ���)������&� ������8����������� ����� ��#�+7������ ������� 7�������� �� �� ��)�������� .� � ������� ��� ��)�����&� :%��� � �)���� �������)��<����#��7����;&�%�#�� ���7����#��7������ ���������:��� $����)��;�.��9� �� ��������#�����8���� 7��)��5� +���� 8�� �� ���� �� �� �� ��� �� ������������&� ,�#����� ��)�� �� ��� �����)� ��� ��� ���#�� &� ,�#����� ��+ � �� ��� �#����� ��+� ��� ���)�� .� ��+ � ������6�&��,�#����� ��� ������ �����������#����8����)������� �� ���.���)���������+�� ���������&�%�#�� ����#����������� �)������6���������$7������ ��#�$��8�� ��7�����#��������)��&� � � ��7���� ��� �� ������� ������ �#��� �� ���� �#�������� �� ������ �)��&��

�=������������ ��$����L��L�4�'� ��� 3B1�� '�&� � � ��7���� .�� <��$�� ������� �� � �������� �� � ������ � � �)�� ���� �)������� ���������� �����5���������.�6) ��&��� ���������������������)�)��������� �)���&�*�)�������9����� ��� ����������������� ����������� �����#�� ��7������.�7��)� ��� #������#������8�� ���� �)����������������&�N���� ������������ ����� �� �� ������� �������� �� ������� 8�� <��$�� 8�� G ���������� ������)�����.������� ������� �� �����)������� ��',%�&��G ���� ��8�������� ���������� �����&�F��)� ��� #������#������� �������� ��)�&�%�#��G ���� ���#�+7������ ��������&�

%�#����#���8��������� 0��� �������� ��� �)��� ��� ������ �������������

���G�)�����&�:' #������ �)����:��;�������$����<�� ������������������;��

*��� �.�8��������� �� ��� ��� �)��� ��� ��������$B� ���

�� ����� )( 5������8��

���� �����#�� ��� �� �)��� ��� �)��� ��� �������������������� �� ��� ����)������)���&�

�31��

������� �� ���� ������ �� � �������� ����� � �+ �� �� �� �� 7������� +��� �� ����������� ��������� �&� �#����)��� ����� �� � �������� �� � ������ �� ����������������� �������� ����� �6 5��������.�6) �&�

�G ����#�+7���)��� �)>������ ������&�*� �������6) ��.��#�������+ ������ �����������#���&���� �� �6��������� ��������&�%�#������ ��)��)��7��������������������� �������dT��.� ���#���� �)��������� ���� ������ .� ���� ����&� !�� � �)��� �#����� ����� ���� ����� �� � ������ �� ������������ � � ������ �� � #�+7���&� �� � �� ����� ��� ������ .� ����#�� � ��7������� ������ �6������&�N����������������� �����8�� �+����������#���� �)���������������������)>������� � 6� d� .� G ���� �� ������� �� ���<�� ���#�� &� %�#�� �������.� ��� �>�)����� .��#�������)�������� ��� �� ���#�� � :?-���� �����A;��� �����#������8���� �������&�-���������&�:(����� ���������������;�:(�7������� ���������;&�'� ���� �)���� ������������� ��������������������� � .���� �� ���7���� ����8����� �� �&�?N�����A�'��#������6����������� ��$����#����5�<� ����� ��� �)���������� ��������� �&�: �����#��;&�%����#���8���������8��������������G�)���� ������5���)+��8�������������)����� ����� ��������������&������=������������ ��$���0L��L�4�'� ���3B11�'�&�� ���7������$����������� ��������� �)>������ ���� ��������� �B�@�����������#������������������&�%���#������� ���� �)�������<��$���������#����� �������.������ ��<���&�'�$�8�������$����G ���� ����)�����)��&�� � ��7���� �� ���� 8�� <��$�� ��� ��)��)���� ���� ��7���� .� � �)���� ���� ���������#� ��)��� .� ��) ��� ��� ���#�������� ������ �� � ��5� ������ .� )������ �����#������� � � �$�S� ��� 8�� ���� )�.� ����� ��� 8�� ������� ��) ����� ���<����)��)���&��#����)�����)����G ������� �)>������ ���� ��������� ��.� �#����� �������6) �&�,�#�������)������#��������������������� ���7�������� ��������.������ �������&� ,����#���� ���� �� G �������� #��7������� �� � �������&� %�#��������� �� ��� �� �� ��� $����)��&� ' � �#������ ��� $)���� ���� ��� ��� �� ��� ����+� �����#�� 5� ���� �)�������������&�

�32��

%�#�� �� ��� �� �5� �9����� 8�� �� )��)�� 6������� �� ��� ��$�� ���� ���������������������������&�, ����� �6) ���������5����������� ��)��)���#������������ �6� &�

,�#�������)���� �)�#����� ���� �)����8��8����$�� �� �#�������+��� ����������� &�-���������&�

!��� ��� #��7������� ��� 7�������� G ���� 8�� <�.� 8�� <���� ����������� �� ��������� �� .� ����� �� �� ����� ��� ������������&� '� ���� ��� �� ���� ��� ������� �� ���7�������� �� � ������ � � 6� &� �� ��� �� ���#���� ��� ���� ������ �� � ����� �� &�

@��� )��5�������� ���7�����#���������� ����� �������� ������#�� �5� ���� �)���� ������� ������ ��� )��� �� ��� ��������� �+������ :6) �5�,�������� �� ��� �������5� ��������� � #�������� ���� ��;� .� ��� ����� ������������� ��� ������)������ � ������� �� ��� �������� �� ��� ���#�� �� .� ������ �����&�%�#�� �#����� ��� <�.� � #���� ����� .� �� )���7����� 8�� �� �� ��G�)�� )���� <������� ��+��6����������� ���.����� ��',%������������#������ ���7����������<�6����������#���������������� &���� �� ����� 6) �� ����� � )��)�� 6������� ��� �������� �� �#���� ������� �� ��

����� � � � 1��� &� @��7���� �� 7������� .� �#����� ����� ��� �� ���� ��� ������&� -����

�����&�� ���7���� ����������� ���������.����� �)����#������������������������� ���������&�� ���7������ ���� �������.�����#�� �6������&�,���� ������ ���� ����� �� ��#��7�������� � � �����5� � ��7���� ���#��� 6�������� 8����+����� ������ ��� ��)��)����<������� ��&�Observaciones de día 20-02-08

'� ��� 3B01� '�&� � � ��7���� ��)���� �#�������� ��)�� �� ������� ��� �� ����� ����� �����5� ���� �)�����������������8������ �������������&��#����)��5� ���� ��� ������� � �)�� �� � �������5� �� ������� �� G ������� �)������� ������������������������&���� ��#�+7������7�#������������G ���� �������������������8�����������.���$���)�������� �� ��� ��7��)� ��8�����)��������� �)�&�%�#���#�������)������ �� �� �����#�� ���������.�����������&�� ���7������ �����#��������)������� ��+��<������ ��',%��.������� �����)�������� ��������&�!���� �)��� ����� ���� ����)�������5�.� �#�5� ���7������)���������� �� ���� ��������&�' �7��� ��#�������8�>� ������������7��)� �5����� �)���������

�33��

8��������� �+���� � � &�� ���7���� �������#������+��� ��8���� ��� �)���� ����+)��&��'�������������� �����#������6������&�*�)���������� �� ��.��#��������<�.�����5�����������&�!��� ��� ��� ��� � 6������� ����� �� G ����� ����� ����B� ��#����� �� ����5�G ������� ����7����������������������&�,�#�������)������ �� �� �+���������������7������.��� ������� �)��������&�� ���7������������� ��������� �����G�)�������� �����#�� ���������������&�' ����#������ ��+ �� ���� �� ��#������ �������#�������)������ �� �� �������������������������������&��� ������ �)�����������)����&�� ���7��������#�� ���)������������ ��������&�,�#������#����)�������� ����)��� ��� ���)������ ������#�� ��.������ ��������5�.� �#���������� ���� ���� �� ��#������ �����&�!������<�<��� ����+ �� ���������������5��������� �� ��#������ �����&�:�G�������������������������� ���� �)����)������� ���7����������� ��������;�*� �������6) ���� ���������.� �� ���������)����� �� �����',%�� ���#������ ��� ��)�����&� !��� ��� ���#����� � 6������� �� ������ �� ����� ���� �� ��� � �)�������� �.���� ��� ���� � ��)������&� ,����#�� ��� ������ � 6������� �� � �������5����� )�.� ���� ����������� ���� ��� � �)���5� .�� 8�� ����� ��� �������� �+ �� ��� )��� �&�,����7��� ��������#������6�����������<� ��� �� ��#������������������>�)������� 5�

���� �5�������������� ��������� ��7��)� �������������&��

=������������ ��$���3L��L�4�%��� �����<�.���+�)����)����+�����&�� ���7���� ����#�����������$������� )������ ����������� �����#�� ��7�����&�%���� �)�������#�� ���)����� ���6���������� ��#�$�&�,����)���G ������ ��������� ����������� ��������)���&�%���� �)�������������� ����� �6��������� ��� �������� ��)�������&� !��� ��� 8�� ������� �� #�+7���5� � ��7���� ���#�����8��������<�������� ��#�+7���&�� ���� )�������������� �� ��� �+����� ��

�#���� ��)������� ��� �� #�+7���� �� �� ������ ��� cos)( � 5� � 6� G� �� � ������ ��

� ��,0 &�

� ���7��������6�� ���������� ���������.��#�������+ ������ ���+����8����������������&�!��� �)�������� ���������������.��� �+����������&�%�#���#�������)��

�34��

<� ��� ��� ������ �� ����&� *�)�� ��� � �)���� ��� ������5� � ��7���� ������� �����)������ �� � �������&� '��� ��$� ��� � �)���� ��� ����� �������� �� ���#�� ��7������8�����8���&�� ���7���� ������������������.��� ������ �)��� ��<����������)��&� ,����#�� � ��7���� ���� � 6������� �� � �������� ��� ��>��� ����� $����)��&�%�#�� ���� �)�������#����� ��� ���� )��-R�35� ���7����<��� ��������������� 8�� �� ��� �� ������)��5� ��� ������� ��� 6) �� ����������� �� ��)��� ����7�������5� ����� ���� �� �� ������ �� �� ����5� �#����� ��)�� ���� �)���� +�������)������� ��� ��� 7�������� �� ��� ������ �� ����&� ������ ��� ��)������ �� �������������8�� ������ ������ ����)�������&�!������8��#��7������� #���� ������ ��������8�� ���+���������#�� �&�'�������������� ���� �)���� �#����� ��� ���� )��-R���.� ���7���� ���� ����8����+���������� �����$��� ��� ���)�����������#�� �&�*�)������� ��������5� ���7���� ����������� ��������&�*�)�����G ��������� �#�+7���� ��7������� �)�������������������5��� �������8�� � ���+�#� �� 7��)���� �� �#�� � � � +��� �� �� �#���� ��6�� �� �����&� �� ��� ��+� ������G�)�����&�,�#��������������������������� �+�����6�� �������&��!��������� ��� �6������������������� ��� �6�������-R���&�� ���7����#��7���� �+����� �������&�,����������)����� ����+�� ��������>���� ����������#��� ����#�����#����5��������������� ��>����&�,�#�������)������������ ��� �+������������ ����+�� ���������&�%���� �)������������������&�� ���7��������)����#����5����������� ���������.����7����� ���� �����#�� ��#�� +��� �� � � +��� ����&� �� ��#��� �� ��� � �)��� 8�� �� �� ���<�� ���#�� � �� ��������&� � � � �)��� ��� ��� ���� ���� � 6������� .�� 8�� ��� ���� ��6��� ����������&� � � ��7���� � �#����� � � ����� �� �� � ��� .� ����� �� 8���� ��� ��&� � ���7�������� �.� �6������&�'� ������������� �� ���#� ��� ��� � ��� )�� -R� ��&� � � ��7���� �� <��� ������������� �� 8�� ��� ��� �������� ��� 7��)� ��� ���� � �',%�5� ��� 8�� ��� ��)���� ���� ���� ����&�!���� ��� �)������ �� �6��������������������.��� ��)������� ���7���&�%�#�� ���7���� ��������� ��7��)� ��.��� ����������� ��������&�,�#����� ����)��� �� ��� � �)���� 8��>�� <�� ��� ��� � ��� )�&� ,����� ����� �� ����� $����)����� ��������5�<����������� ���� ������������&���������

�3���

��������������

Anexo G

�4���

Información en crudo tomada directamente de las grabaciones y apuntes

���������������� ����)������������ �����c��c�4�

� ���7���������� � �������������� ���&�'�������P:� *����������� ���� �� ������� �� � ��#��)�e� ���� ����� ��� �<���� �� ���#�� ��7�����5� ��������� <����� � )�)���5� ��+��)��� ������ �� ���#�� � ���7�����e� ������� �� 8�� <��$�� -D���5� �� ������� �� �� )����� �� �� �� ��� ��� ���#�� �e� .������������)����7���������<������ ��8��<������)�����:)��)+�����' )+�;&�%�����#�� �����)���&�P:� '<���� ���e� 7$6��&� (��� �� ����#]���� G���$��� ���� ��� )��� 8�� �����������������������8� ���8���������������<����)��)+�����.�8������������<����� ���# ��d� e������� �����5���)�������e����������#���������������&�['�8�>�)��7����.����+����<�� �������������\�[^�>������������\�A1: ¿������+�� �\�P:�,������������+�� �5��������)��7�������������������)��7����������7����������$5�������� �������������#�+7���5���������8�6������)������)����� ��7������5�������� �� 7������������ ��� 5������������� �� 7��������7$������������ ��)�����7�����7��)�������� $���e�������� ����)���������&�PB���������7$6��5������� ������ )��������)��������������������#���������������.5��������)�����)����� ��#��������������5�+�������#����� �)�����������������.��� �)������� ��������)�����������#����&��El profesor escribe en la pizarra:

�;����������������������������������

�P: ��������� ���������� )���8�������$����� ���# ��d� 5����������� )����� ������������������ ���������� ������#]���&�P:�� ���)���8��8��������e�.������8������������e �����#��������������5������#�����������5���)��<� ��� ����������#��&�j����� ���)����� )����������

"���8��������� ��8��<�.�����������)���������&�

�4���

������ )���8������������&�[N�.��$������8�>���������������������� )�\�,�������)����� ����������#���������������[8�>���� ���\�A2:�[%�����#�� \�P: -�5e� ���� �� 8�� <�.� �����)��� ��)�� �������e� �������5� �� ������������#�)>�������� ����������������7������������������������)����B���� �����#���� �+�#� ��8�����)���� ����������#�������������� �6�G&�P: E5&&&����������� )���� �8�����)������������ �� ��#����������������5���)������������ � �� �)�� �� ��� �� ���� �)������ ��� �#����� .� ���� ���������)��� �� ���+����B���)�����)����� �+����������#���� �)���������������5��� ��8�������7������5�8�����.����#��&&&����6) �����������������&&&������������ ��������B��

��&&&.�8�����<� ��� �+����� �� �#���� �)��������� ��5� 7$6���8������ ������������ )��.�.������8��������������)��>��[������������� �� ���+���\�[� �+�����������+�#� �� ��������� �� ��\�A2: �������� ������������&�P: [� ���������+�#� ����)��>�� ��������� �� ��\�[E� �+���� ��$��� �\�A1:�,������������ ���������&�P: �G����5�,������������ ���������&�P:�,���7$6��������5�[<�.�� #����7��)� ������<� ��� �+����������#���\�A1: -�&�A2: -�&�P: ����������)����<$������� )��.������� )����+������ �������� ��+ �� �����#�� � �� �� ���#�� � �7�����&� *�)�� ������ ����� ��8�� .�� �� <��� ��������5� ���)����� )�5� ��� �� ����� ���#����� ��� ������ ���������&���� ��#�����

N�.�������������� �����#�� ��7�����&�

�4���

��� )�5����� ������#]������ ��������� ������<������������������5���)��� ��8������������������&�Escribe en la pizarra:

Cuadratura: Es una región rectilínea cuya área es equivalente a la de una región

curvilínea.

P: �� ����� ���� ����������� �� ���)����� ��� +��� ���� $��� 8���� ��� � � +�������� $���8����8����<� ��&��������<� �� ����������� ������� ���� )�&�N����)��<������������������������5� ����)���8���������� ���� ����N��������:01��'*;� � � 8���� �������� � �$��� �5� > � ��� �� �#��5� ��� #�� �� ���)����� � #�� )�.�����������������>���&&&�El profesor dibujó en la pizarra:

&&&�)������ 8�� �� ��)�� � � +��� �� ��� ���� ������ ��� 8���� ��� � � +��� � ����+�#� �����+�#� �&�'�$����+������� $�����)�� ������������#� ����8���� ����� ����)��������+��������� $����.���������������������.������ ��8��<��� �����#�� �����6) ���� �����#�� �����)���&�Dibujó en la Pizarra:

�P: '�������8��.����<��$�������6������ �����#�� ��7�����5�7����)���� �8�� ��7��)� ���&� ��)���� � )+�� 8�� ������ ���� �4�2� .� �4225� > � �� 7�)���� ��� �� 8�� ����������)�� ����)������)����.���� ����)��������<�.&�,��������)�.���� ��������� ����)������)���5���)����������6����� ���)���������5�����5�8��������� �8������ ������ ��8��> �<���������:���7����� ��8������6���� ��������;5�> ���������������.�����.�� �+����������������5�������.��� ����������� �������������� .� �5� ����� ���>�� � ���>� �� 8�� �� ���� ��������� ��� > � �� 8�� <��� �� 8���������.� ���+�#� ��5� ����� ���+�#� ��� ��� ���+�#� ��5� ���� ��� ��� � G��)��

�4���

> rightbox(f,x=-1..4,25);

�������������������� �5������ �G��)��)���5���)������� �8�� ����������������+�#� �� �� ����� ���� �� ��� ��������� ��� �� �� ��������� .� �� � ����� �� �7��� ���)�#��� �G��)��)�.�����)����������������� ��)������ ��7������&�j ����� �.�8������������������.������ ���+�#� ��� ����)��� �+����� ��� ���+�#� �����8���� ��5� ��6�� ������� ����������5� �� 8���� ��� � � +��� �� �� �#���&� -�������������������)����5� ��)��<���� �������6��� �� �������������� 7+�� �.����� ���)��<����)�5���)������8���� ��8��<��$����)�������� ������+�#� ������� ����)������� ����� ������������������� ���)������&��Descripción de la actividad 1 utilizando el Software Maple versión 8

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������

Q�with(student): Q�f:=x->sqrt(3+x^2); Q�plot(f(x),x=-1..4,y=0..10);�Q�rightbox(f,x=-1..4,4);�

�Q�rightbox(f(x),x=-1..4,100);�

Q�leftbox(f,x=-1..4,4);�

Q�leftbox(f,x=-1..4,25);�

�40��

��������������������

Durante la práctica con el MAPLE

P: *��� � ��)����� rightbox� � ���>�� 8�� �� �� ���� �� ��������� �� �������.�����+�#� ��� ��� � ���� ���<�� �� ����S� � G��)�� ������� �� ����� ��������� �&�*��� � ��)����� leftbox� ��� ���+�#� ��� �� �������.�� ��� � G��)�� )���� ����8������.����� �middlebox����������.����������������� �������)���&����������������������� ������+�#� ���8����8�����B�05��15����&&&�P:�*�)����������� �����)�������+�#� �������� �������� �������\����6) ���� ���)��������������������&�A1: ������������������+�#� �������� �������&�P: [^�>��������������������)����1����+�#� ��\�A2:�������)���&&&\��

Q�leftbox(f(x),x=-1..4,100); �

Q�middlebox(f,x=-1..4,4); �

Q�middlebox(f,x=-1..4,25);� Q�middlebox(f(x),x=-1..4,100);��

�41��

P: ?'6�A�E���)��8��������������������.�����������+�#� ��\�A3: *�������6�����&�P: ^������ ���������)��������&�A2: ��������)+�����+�#� ������6������)6��&�P:�����������)�����8������)���� ���)��������+�#� �5� ����)��� �+�����>������������G�)���� �+������� ����#����� �)���������� �������5� �6�G������G�T�L��.�G�T�0&�P:�*��� � 7��[8�>����\�A1:�7� �������������� #����� ��������P: ���� ��)��)�������������)�.�����)��������+�#� �5�>��������6������)6����� �������&�(��#�� �7��)���������������� ��G&�P: *��� �����5�8�>����� ��������)������������<$&�A2: ��������)�.�����)��������+�#� ����������������� ��� ������� ������&�P:�[^�>��� ������\�A2: � �+����� �������&�P: %����)���� ������+�#� �������G�)��� �+����� �������5���������7��)����� ����)�������)�������<���&�P:�������������)������� �����B�Escribe en la pizarra:

�) A medida que se aumenta el número de rectángulo, la suma del área de

éstos se aproximan al área de la región limitada por la curva, el eje x entre x = -1 y x = 4.

,B�A medida que se aumenta el número de rectángulo... la suma del área de éstos

se aproxima al área de la región limitada por la curva, el eje x entre x = -1 y x = 4.

P: ^����������� ��������)��������&&&��������8�� �������� ������+�#� ������� ������������ �����8������������ ������� ��`L�50a�&&&8�>����������&�P: ^�>��������� ��)������� �����������������)���� ���)��������+�#� ��&�A2: ����������������&�P:�����������������5��������[8�>�8��������\�������� � ���������)������� �����B�

�;�A medida que se aumenta el número de rectángulos las bases de éstos tiende a

cero.

P:���)������� ������<����)��)�� ��������������)����������� ���)������&�Descripción de la actividad 2 utilizando el Software Maple versión 8

�42��

��

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Q�with(student):�Q�g:=x->x^2-3*x+5;�Q�plot(g(x),x=-5..5,y=-3..15,thickness=2);�Q�middlebox(g(x),x=-1..4,4);middlesum(g(x),x=-1..4,4);evalf(%);�

5

4

����

�����

���� 0

3 �

����

������� ����

���

����� ���

3

8

5

4�

249

8

15

4�

23.51562500

Q�middlebox(g(x),x=-1..4,25);middlesum(g(x),x=-1..4,25);evalf(%); �

�1

5

����

�����

���� 0

24 �

����

������� ����

���

����� ���

9

10

1

5�

277

10

3

5�

24.15000000

�43��

����������

Comentarios durante la ejecución de la actividad 2:

P: F$6���8���<������)����������6������� ��� ��� ����)���� Middlebox 5�������� ��� ������� ������+�#� �����<����������)��������� ���)�#��������� �������)����������� ������ �&���)����������)������)����� ��� ���� �+�����)�����8������)���� ���)��������+�#� ��&�' �7��� ��� �����������B�P: �����������5�[8�>��������<$\�������)�������8�>�������\�[^�>����������)�����8����������6�\��� ���)�����8����+����6��[8�>��\�A4:�� ���� �����P: ��� ��� 8�� ������� �� ��)����&� *������ ������ �����6����� ���� ������5������������ .� � ������ .� ������ ���+�#� �� ����� ���6�� ��� ��)����5� �� ��)������������ �� ��)�� �� ��� +���� �� ��� ���+�#� ��� .� �� �<$� 8�� �� )����� 8�� ������+�#� ��� �� ���� �6�������� )+�� �� �� �����5� �� ��)����� ��� ��)����� �����)�����5����������������)������5������G�)����������)+��� ��� ���� ��+����

�� ����#����� �)����������� �������� 532 ��� �� � ��6�G5�����G�TL��.�G�T0&��

P: ¿���+� � ���\� ��� ��)��� �� �� ��)�� � � +��� �� ��� ���+�#� ��5� �� ��)�������������� ����)��� ����������� ��������� ��� ���������������+�#� �&�P: ������ ��8������8��������)����)����������6����� ��������5���)�������9���������������G������� ��8�������� ����)���&�

Q�middlebox(g(x),x=-1..4,65);middlesum(g(x),x=-1..4,65);evalf(%);��

�1

13

����

�����

���� 0

64 �

����

������� ����

���

����� ���

25

26

1

13�

2205

26

3

13�

24.16420118

�44��

P: ��)�����)������ ����)�������������� �� ��� �����#�� &�'<������)�����)��7�������� #�)>�����)��&&&#�)>�����)��5� ��� �<���� 8��)��� ��)�� #����)���� �� 7��)�� )��)+����5� 8�� �� ���#�� � �� �#�� � �� �� ��)�� � � +��� �� ������+�#� ���������� ���)�����>��������������7�����&�P: ,��)������������������<�.�8�� ����� ���� ��8���� � ��7�����&�[^�>���#��7����8��� #�����������7�����\�A4: ¿^������������\&&&�P: ¿^������ � �)�����)��& '<���� ��8����)+����7$�� �����������)�����+���7��������)���� �� �)��������� ��#�+7����������7�������� �6�G��������������5�.������ �#���� )��� �<$� ��7������� ���+�#� ��&� ��� ����� 8�� �� �� ����� ��7����������+�#� ��&�%�������������� ��)��)+���������&�!��6) ��8����)�� ��� ������ ������������������)+����� � ��� � ������ ��`�5�a���������.�����<�.� ��7���������)���&�[!�����������\�E�.�� ����$���� ���8�������)������)+������.� ���������������������#���51&�'<������)������)+��������)��������.� �����������������.�����#���5�1��������������7������.���)����������>��������)��������� �����������.����&�Escribió en la pizarra:

P: [*�+���������������������������\�A3: ��7�����)��&�P: �������� ��� <�.� ��7������� ��)���� ���� ���� .� ���&� F$6��� 8�� ���� �� �������� ���7�����)����������������)������� ���)�������7�������)� �5�8������ ��� ��7������&� ' #�� ������� �� ���� �� �� 8�� <�.� 8�� ���� �� ������ ������)����� �����#�� �����)���&���)����<���&&&��������� ��������B�

Reseñemos en base a la experiencia anterior, lo que desarrollo Riemann

E�����6�B�������������������������������������������������������������������������������������

�4���

�P: ��)����<���� ����#����B�� �������������.��� ������������������� ��������������������� ��5� ��� �)����� 8�� ��� ���� �#�� �� ��� ��������� ��&� ,��� 6) �� ��� �����8�$���������G�5���������G�5���������G�5�&&&�G�L�5���$��������)���<�����G�5�� ���)��� �� �)��G��.�� �� ��)��G�&&�!����������������)����� ���������8����#�&�P: '<���� 7$6��� > � �)�� � ��� 8���� ���L���� �� �� ���������� ���� 8���� ���L���� .�8�������L���&�*�)�� ���� �� �� �����������B� 8�������L����)���� 8�������L���5�� �����8�������L����)����8�������L���5���$��������)��5�)������������B����

1

1

233

122

011

.

.

���

���

���������

���

���

���

���

���������

...

...

..

...

...

..

��������������������������������������

��������������������������������������������������������

P: ¿^�>���+��7�������> ��<$���8�>��7�����\&&&&�P: %�������� ������+�#� ��&��

P:� =���� ����� �� 8�� �� ����� ���� � ��� � > �

� ������� ��� �� � &� '�$� �� ����� ��� �

� ������� �� � �� �� � 7��)�� 8�� �� ��� �� ���

����)���5����6) �B���������� ���������.� ���B� ��� ���L���� �� � 8�� �� )�.��� 8��8���� ���L���� .� )���� 8�� 8���� ���L���5�������L����)�.���8��8�������L����k����.�)���� 8�� 8���� ���L���� .� ��$�

�����

P:�!��������8�� �����������&&&?�6+A�!����� ������� �������8������������������ ������������������ ���� �� ��������B�8��� ���)����� ���)��������+�#� ���[8�>�������� #������6������<$\�A2: "���������&&&�P: "�����������������5���� ��������������5��������� ���� �)�.����� ���8���� �����)�����<���������)��>���&&&l�A3:������&�P: '<���� [8�>� ��#��7���� 8�� � )�.��� �� ��� ��������� ��� ������ �� ���\� ^�� ���)��������+�#� ������������7�����&�'�$�� ������8�� �����)��������������� ��)��)��8�������8��f�g�������� ��7�����5�������S�8�� ���)��������+�#� ������������7�����&�P: '<����������������6�)��� ���������������� ���)����������)�����������8����)�����8������)���� ���)��������+�#� �5�>��������6��������)6���� �+����� �� �#���&� �������� ���� ���� ���� ��)���&� * ���� 8�� ��� ���)��� �)��������5��� �����)�����9����5��������� � $)������ ��� �����������G�)������ ��� ���������#�� ����)������������$���� ��������B�

)33112211 ���� ���!�"�� �����"�#�$$$!�"�#�!�"�#�!�"�#�!�"�#��������!����"����� �������� �

)()(

1��

����#�������������� ��

PB�' �)�.����� ������������� ��� � �)��)��� �����)��.� ��������)�����B�

Escribe en la pizarra: �� �� �

P:�j ���6��8�� � $)��5�������S�8�� �+����� ���#������ �#�� �� � $)���������� �����)�� �� � ��� G� ����� �� ���� �� �� ��)������� ���� �� �#�� � ���� <����� �� �� ���

�������� ��� ��� ���������� �� �

����

����

���%�����

���%�����

���%��������%��������%�����

1

1

3323

2212

111

.....

.....

.....

.....

.....

.....

�����

����������� ���� ���8�������L����� ��7���������L�&�E������������5����8��.����� ���#���<����)��)����)�� ���������� �� ��5�.�������

�� ���

���

��������#�������������� )()()(

1

P: ���#�� ��� �����#�� �������.�����7���8������7����� ���8���&�'<��������7� ������� �������$��� �&&&��� �� ���#�� ���)����������� �����)����� �� �����<����� �)�)���� �� ���#�� � ���7������.� �� ���#�� ��7�����&�-�������� ��8����)�����<����)�9�������� ���8�������)�9����.� ����������� ���8������� ������&&&.5���8����)������� �� ����������#�� ���)�� ��<��$����)����<������� �����������.�����5�������>����)��������<���)�����5���)�� �"��)��F����)��� �� �*+ �� ��8�������������)������� �� ��� �����#�� ����� ��8��.�����)������ ����������� ��������� ��)���&�%�� 8�� .�� 8��$�� 8�� ������ ������ �� ���� � ��� �� � ������ #�)>������ �� �����#�� � �7�����&� '�$� ������� ������ �������� �� <���� <�����>� �� �� ������������#�)>������ �� �� 8�� �� �� �������5� ������� 8�� ��� ������� #�)>������� ��#�+7��������� ���8��)+���+������7�6����� ��)��&��P: *��� � ��)������� ������ ��� <���� ���������� .� �������� � +��� �� )� ����+�#� �� .� )+�� .� ���� ��� ��)�� ��� ���+�#� ��� �� �6������ ����� ��� )+�� �� �������&�����G�������)��)�#����8��7��� ���������)��������&�P: -�������������6�)��� ����)������)�������� ����� ��������)���5������)��>���� ��� �����6��� ���� ��� G��)��� ��7������ �� �������� �� ��� ��������� ��� .������B�

�P: 8������8���������.��<�#�� ����)���������.� ����)����7���������)���5����6) ���������#���&�"�������)������ � ������8�����5�8����$��� ������ �5���������������� � ������8�����&�,������ ��<�#����� ����<�� ��<��)��������&�

�����

�)���8��G����������7�������� ����)���� ������+�#� ������ ��.� ����)���� ���+������ ������+�#� ������&�������7������������)$��)�����������������.������7������������������� ���������������������)��������7�������.� �����#�� ���������� ���� ����)�� .� ���<$�8�����)������� ��� � ������ ���� � �+ �� ������)������ �� ���#�� � ���7������.� �� ���#�� ��7�����&� '�������� �)�)������8���� #��������� ����������������8���������8�� ���������� )����� ���8��<�� �)��� � � �������B� � �� ��� ������ ���#���� .� � � � �+ �� �� �� +��� ��+��$���)�)���� ���������&�F���������������������)�����8��<����*��� ����.�8�� ��� �� �� ���� ������ �� 8�� �� �������� .� �� ���#�� � ���� �� � #���� )�������������� �������&� ,��� ��� ��������� ��� ��)���)��� � ��#��)�� ���� �� 8�����)���<�������<�.�����5���� ������� ���������������������8��������������&�Cierra: ��9�������)������� �� ������#�� ����)�� � $)����� ����)�������.����>����)��� � ���)�� 7����)��� � � � �+ �� �� .� ��� �� �� ��)��� ���� �� 8�� <)��������������6�����.����� ��)�����)���� #��������������� �����#�� ��7�����5��������)������6�� ��<������8�$����<�.&�N�����)�9���&

Reconstrucción de la segunda sesión de clase 24/01/08

P:����5��� ��� ������.�������)���������������� ��8��<������)������� �������� �����#�� ��7������[�������\�����8� �����������������6��8�����������9�&��������� �<���� ��)��� ��� 6) �� .� � �� � ���� �)����+� <���� � #������)�����������8������������������������� ��� �6) �&�P:���)���� #��8�� �����#�� �������7����������������� ������� � $)�����������)������5� � $)���������� �����)������������&���������� ��������B��

� � ���

��

��� ���

�&'

����1

)(0

)(

P: ����)���� ��������5� �� �������8���.��<���>�)������������6) �5�������7������ 5�������&&&�8�$���)��� �6) �����������#�� �8����)������� �� ���<������������ �)>���������)���&���� �����#�� �����)��������.�������8���������������� ���7����� ���8���&���������� ��������B�

��

1

2

2��� �

�����

P:� ��� ���� ���#�� � 8�� �� 7��)�� ���7������ �� )�.� 7+�� � �� �� �� ��� [� *�)�� ���� �� ��$�\�A1: ,��� ��7��)� ��� ������� &�P: ���5�[��)��8����$�\�A1: �8������ ��������������&�P:��������� ����)���8����)���8��<������ ����������5�������8�� ����)���8��<���)����.����� �����������8����<��$��� ������������#������5�������S�� ������� �������#��������� ���������.�����������.���.�<�.�������)��������.����&���)�������)������������ ����#�� ��[��+ ��� ��)���������)������������ ����#�� �\&&&�"�)��� ������������.�������� ������ ���)����������� ���8��8��)������&����!�����������������.� �������������������<������������������� ��&&&��� �������������������<������������������� ���.���$��������)��&�P:������������ ������������������ �� y � ������������ �� ����)�����������5�

� ���8������ �� ��#������������������ ��.����������������B�2

��� ��� ���������

���������� �G��)��������������5����������+�����)����)������������

�5���$������������ ����+��� ��#������3

��.��������� ��������B�

��� 3)2(1

���

�� �

P:���������7$6�����)������������������5���������� ���� ���8����������[�������\�E�����6���� ��������B��

������������������������

P:�*�)����������5� �8�������L������+�)�������5�8���� �G��)��)����� �

������ ��)+�� �3 �5�����)���������������� ��!�������� ������������� ���)�)���

���5���������8�� ���G�)�������5�������������� �� ��#������� �3 �8�������

������ ��� ������5�������� �������5� �� ��#�������+��������������5&&&������� � �����5� �� ��#����� ��+� �� ���� 8�����5� ��� �� �� � ���5� ��+� ���� ����� ���&�

�������� ����� ���� �� ��� �� � �� ��� 8�� <�� �)��� �.�5� � ��)��� ��+B�

��0��

���

32 ��� � 5� 2.

322 �

� ��� � � [,��� 8�>\&&&� ��8�� �� ��+� ��)����� �� ��#�����

������������������5� 3.3

23 �� ��� � ���8������+���)����� �� ��#���������

����.���$������B��

�� �����

���

����&' ���

10

1

2

2 )( �

�������������������������������������������

��

&' ����

332

2

10

1

2

2 �� ���

��� ���

���

P: *���� �� � �[�������\�*���� �� ����<����������7��)�B�)��������)+�����������

����� �� ������ �� � ��)�� ����� �������5����5� ���5�<����� �S��������� ������ ����)�������.�� ���8�������L���� ��� ����� ����������5� ��� �����)>������� ���� ��� ���L�� �� ���� �5� �� �� �� )����&� ������� ���)��� �� �� ����� +���� �����+�#� ��5������� ������.����� ��� ����&�P:�[,���8�>� ��)���)��������)+������������������ ���������\�P: ����5���8�� ��7�����������8������� )�����������)�������������)�#�5�> �)��)�� ������ ���������5��� ��7�������8����� ���������5����6) �� ���)�#��� �����)������ ��7�������������� �����������#�� ���������5��������� �������� ���8���� ��7��)��#��� ��� ������������������8��������)��5�������� ���)�#��)������ �� 7������� ��+� f)���� ���� )+�� ���� ����� �� ��� �5� ����� ����� � ���������g&� '�$� �� 8�� ������ ��+�� ������ �� ��� �������� ��$� .� ������ �� ��������B��

� ���

��� ���

��

� ���

&' 1

233

2 �

P: '�$�)��������)+�������������������� ��7��)��� � )����#�>�������#��� �

������S� ��7��)���� ��� �� ���)��������)+������������������.���� ������ �

��1��

����������� �7��������L��.�������������� �� ��#������� ���� ���8�������L��.������������������.��������� ��������B��

��

���

����

��

����

��

22

9124

3 ��

���

&' �

P: ' � ����� ����������8����$�B� ����������� ���)��5�)���� ���� ���������� ���)������ ��#�����)+�� �������������#����������B�*������)��������������������5�)+�������������� ����������������� ���������&�P: [���+�� ��������\�A1: �-��P: [(������+� ������\�A1: '<$�P: [������������ �\�A1: ¡'6�A�P: ����5�������7������� ���������B�� ����������� ���)��5�)���&&&�A1: ¡'6�A�P: &&& ���� ���������� ���)������ ��#�����)+�� ����������� ��#����&�P: '<�������5�8����#��7�������5�8�����)�����)������������#�� �����<������5�����7$6���8��.������������7��������)�������������B�.������������������� ��������B��

...43213

...3.3

2.33

������������

P: E�������������� ������������������)+������)+������.���$��������)��5�������� 8�� ��� �� ��)�� �� ��� �� ��)���� ��)���� ������ �&� '� 8�>� �� �#�� � ����)�� �� ��� �� ��)���� ������ �&� ����� �� �)������ ��� $����)��5� ���� 8�������� ��� ������� ���� ��������� ������� �����6����� ���� ��������� .� ��#������&�-�������� ����)������)���������� ������� ��� 5�����������)���������� 7��)� 5���� ���7�D����� �� �� ��7��)��#��� ��� ���������)�����7�������8�����������.������B��

2

)1(...4321

�������

��� �

P: ����� ����)������� ��������� ��������������)����������� ��� 5�7$6�������� ��������������������������5��������)��>�������������������������������� �

��2��

��������5� ��� �� �������� � #�� ������5� ��)��� �� ������ 7������ ��)��� ���� ����� �����������.�����8����.������B�

...43219

...4.9

3.9

2.99 2222

22

22

22

22���������

������

�^����������� �����#�� �����������)+����������������)+��������������5�.������B�

6

)12)(1(...4321 22222 ��

��������( �

P: ������ ���� G������� ���� �� ��G�)�� ���������� ���� �� 5� ���� ��� ���������� ��������������������&�� ���)�������)��� �� ����$�� ����� ��G������8����#� ����)���� ���P���)�����>�)����5���)��e�Descripción de la actividad 3: �

������������������������������������������������������������������������������������

P:�F$6���8��G�����������)��������)���������)�.���� ���� �������� �.����������)������ �&�P: [-�����<��$��������6�������������� ��G�������� ����)���� ��������)�������)���������� �\�

Q�with(student):�Q�Sum('k','k'=1..n)=sum('k','k'=1..n);�

�������( 1

( ��� ���1

2( )���� 1 2 1

2�

1

2

Q�factor(%);�

�������( 1

(1

2� ( )���� 1

Q�Sum('k^2','k'=1..n)=sum('k^2','k'=1..n);�

�������( 1

(2 ��� ��� ���1

3( )���� 1 3 1

2( )���� 1 2 1

6�

1

6

Q�factor(%);�

�������( 1

(2 1

6� ( )���� 1 ( )���2 � 1

��3��

A2B�-�&�P: ?���8����G����)��� ��)��)��G�����A�� ��� ������)�����)������ ������������� ��G�����&�j ��� �� �� ����)���� �������)������)���������� �&�F$6��� ��� .�� <�#�� �� �#�� � ���� [��+���� )���$�� �� ��)�� �� ��� ���� ��)������)���������� �\�A3:����&�P: '�$5���)����<���������.���������.���� ��7��)� �������������)+��������������.���������&�P: ��� �<���� 8����� �� ��)�� �� ��� ���� ��)���� ��)���� ������ � � ��������5��������������B������������)+�������������)+��������������.�������������&�[' #�����#����\&�P: ���5���+�� ���5��������7$6����<����.����)���� ����)��������� ���)����������8�����)���<������5�������S� ����)���� �������)���������� �����#�� �������� �� )+�� ���� ���� ���� .� �� ��)�� �� ��� �� ��)���� ��)���� ������ �� � �������������#�� ����������)+������������������)+�������������&���������� ��,������B�

!"

#$%

&���

��� ��

����

��� �

����

����

�� 6

1219

2

1124

3

2

����

���

��

&' �

�A1: [,���8�>�8���������������\��P: ����5����.����)��������������5�8����+�������������&����������� ��������B��

3

1821

1821

9279

181812

1322

3664

3

1212

3664

3

2

2

���

��

��

���

�������

!"#

$%& ��������

����

!"#

$%& ��������

����

��

��

��

��

&' ���

&'

���

���

&'

���

���

&'

��4��

P:���$� �� ���#�� ��� �#�� ��� ���5�������<��������8������ �� 7��)����)����)������ �� ���� ���#�� �&� *���� ��� 8�� �� �� ���� ���� ���#�� � ��$�� 8�� �� ����� ��������5� �� ����S� <���� ���� ��������5� �� ��� �����6�� ������ � #������� ��)��#�)>�����B� �����6�� ���� ���������5� ���L������ ��� .� �� ���� � #������&� ���<���������$��8���)�������G���������)�� ���8�������������)����)������� �)� &�P: ������ �����#�� �7��)� �����)���5� �<�<����<��� ����$�������8������������ ��� ������8������ �����#�� ����� ����������#�)>������&�P: �.�� �����)��� ������ ��� ������� #�)>������� )+�� ������� ���� �� ����������������� <�.� �)��� ������� #�)>������� 8�� ����� 8�� ��� ���� �#)����� .����������5� 8�� ��)��>�� ����� 8�� ��� ���� � 7��)� ��)�� )��)+����5� �� ������������� 8�� ��� ���� �� ���$�� �� ���6�����&� ,��� ��������� ��� �� ��)��� � <���� ��$5������������)�������� ����� ��8��.��<)��������6���5� �����#�� ����7�����&�

��������� ��������B�� ��

1

2

2��� �

�P: ¿��������#�� ����#�� ���8�>\�A:�'�8����� ��������������&�P: '�$��S�������)���8���� ��� ������)��������.����5�������� ����)���8���7�����������)�B�� �"��)��F����)��� �� �*+ �� �5���7����)��� ���8�������)����)�������� ��� ��8��.����������������)����� �����#�� ����7���������� �����#�� ��7�����&���������� ��������B�

�� ����'����������������(����)�*��� )(�� �����'����+������������� � ���, ��� )(�� �

���� ����������� )(�� ����� ���, �����)� � ���

��������� )()()( �

P: ���5� ��� ���)�� 7����)��� � � � �+ �� �� )� ���� �� ���� � ������ ���� �����#�� � ���7������ .� ��� )>������ �� ���#������B� ���#������� ��� �����������5� ������5��������������������#���)>�������������S� ������ ���8����$�)����������� ��� �)����� ��������5� � ���)�� )� �)��� ��� ����� ��� ���� � �+ �� �� �����#�� ���7������&�

�����

P: %�������������-D����.�%�����������)����������� ����)������.����������8���� �������� ���+&���������� ��������B�

�P: ���� ���+�������.���P:� �������� ���� � ����� �� ���#�� � �� �� ��� ������ �� ��� )��� ��� �� ��������� ����� ��������)���������#��� ������)���&���� ���� � ���)�� 7����)��� �� ��+ �� ��.���$���8����)����� �����G�)���� ������� ����� �����#�� ����7������������� ������ )�����+���5��� �)���.�������� ��������&&&�,���6) ��������#�� � 8�� �����)��� �� <���5� �� ���#�� � ���� )���� ���� .� ���� �� 8���� � ���������������7����� ���8���5���������� ����)����� �� ���<������������� ��8��.�����)��&�P:�['�8�>����#�� �������#�� l�A: '�8����� ��������������&�P: !�� ������� ��� 7��)� ��� �� ���#������5� 8�� ��� 8�� )��<��� ��� �� ����5�[�� ����������8���� ���\����������� ��,������B�

33

8

3

1

3

)2(

3

1

2

1

3

33

1

2

32

���

���

���

����

P: ��$���������� #�)���� ��� ��5����������������� �� ��� � $)�����������)��������� ������� ��8�������<���)��&� '<���������������)�����<����6��������������������� ���.��� ���)������5�����������)��� �����#�������������B�P: [' #�����#����\�P: ¿!����� �������� ��� �������� �� �� ���#�� � ���7�����\� ��� ��� ����������+��8������ ���)��)��&���������� ��������B�

0����

�� '���

�(����(���(� para)()()1 �

P: %����)�������8�� �����#�� �������.�����P�����7���8������7����� ���8�������#�� ���P����� �����#�� �������.�����7���8������7����� ���8���&���������� ��������B�

� � � �� (�(�

��������������� )()()()()2 �

P: %�����#�� ������.����� ����)���� ���������7���8����.�#���8������7����� ���8�������#�� ��� �����#�� ������.�����7���8����)+����)���� �����#�� �������.�����#���8���&�P: %����#��������������������)6�����)������� ����)�������� ����� �)� &���������� ��������B�

�;�*�� �� y ����'������������� �,�������� ���, ��� �� � �� � ����� � ���� ,� -�

�������-� � ���

��������� )()( �

P:� ����� ������� �&&&� �)������� ���� ������� ��)��� ���)������� +���� ���#����� �)������� ��� 7�������� .� ���B� ��� 7� .� #� ���� ���#��� �� �� � ������ ����������5���.���)��7���)���� ����)�.����8��#����������� �5�������� �����#�� ��� ����)���7���������)�.��&��������������8�� �����#�� ��7������ �����)�������������� �+����� ���#����8��������� ��#�+7������ ��7�������.� �6�8����������.��&�

P: ��� �)����� �8�� �����#�>��� ������������<�.����6) ������<��� ������ ��� 5���)����� �� ����� �6������������5� ���8�������� ��)��� �������5���������� �� ��������#�� ���7������&��������<���� ������� ��������.� ������&�

P:� ��� � 6������� ������� �� <��� �� ���#�� � 8�� <���)��� �� 6) �S� �������� �����)������.�� ����� ���)��� ���)���������&�� ���)��������&�

'���������������B�

� Q�Int(x^2,x=-2..1)=int(x^2,x=-2..1);�

������

-2

1

�2 � 3

0����

������������������������������������������������������������������������������P: %�� �)���� ������ �����6�)��� ���� ����� ��)�����5� ��� ���� ���#�� �����7������5� �� ����� ����$�)��� ���� G������ ��)�� ���5� �<���� �� ������ �����)��&�P: '<����<�#�)��� �����������������&�'��������������B���������������������P:� [^�>� ���� ���� ��� #�+7����� � � 6) �\� [*�+ � ��)�� �� ���� )�.���\� [%�� <���<�<�\�[%��7��� ��#\�A4: %�����&�P: [*�+ ��� ��7��������� ��#�+7�������\�A4: %��8������ �)���&�P: ��.� ���� �� ��+�� �� 8�� ���� �#������ � ��7������ � � �>�)���� �� 8������������5�������� ��#&�'<������ �� )��� �����#�� &�P: -���>�8�>� ������ ��7� ����������� ���)������5�������������������������7��)+����&�

Q�f:=x->x^2+1;g:=x->-x^2+3;� := � ���� ����2 1

:= � ���� � ����2 3

Q�solve(f(x)=g(x));�,1 -1

Q�plot({f(x),g(x)},x=-4..4,thickness=2);�

Q�Int(f(x),x=-1..1)=int(f(x),x=-1..1);�

������

-1

1

����2 1 �8

3

Q�Int(g(x),x=-1..1)=int(g(x),x=-1..1);�

������

-1

1

� ����2 3 �16

3�

0����

A2: %��#�8���� �����&�P: ���� ���� ��#�� �������� ����)�.���������� �+�����6�����#�+7������)�.���8�� ���� ��7�������7&�A3: ¡,��7���A�P:�(�)�A3: [,���8�>�)���������\�P:�N�.�� #�����������5���)��&&&��$� �7� ������� ��&�A3: '�$���� ��<��$�������&�P:����5��#��)���������������.��������� ��������B�

0;�*��.����������� ����(������������ �� ������������������'����+�� )(�� �������

���� ������ ��� � ���, �������(�� � ��������� �,������������������ ���-������������

��� ��)� � �����

���)������ )()()( �

P: '����������7��)���.���� ������ ����)���<����#�+7���)���.����8�6���� ��������B�

�P: ��� ��)��� ���� 7������5� ��)��� �� ������ �� ���� � )�������� ��6�� ���� 8�� �� ���)6��&������7���������)������� ���)+G�)��.����5���.������ ���)$��)�������5��&���������� ��� ���� ���+�#� ��� �� ���� �� )���� �5� ��� � ��)��� �� � ����� .� .� ��#�������� ������&�� �+���� ����+�#� ����� ���������)����8�� �����#�� �.� �+���� ����+�#� ����� �����.���)�.���8�� �����#�� 5��������8�� �+������6�� ��������������.��&�'�$� �����#�� ���+������������ ����������+�#� ��&�P: ��)��� �<���� �� �� �� ��� � #����� ���#�� �� �7������5� ��.+������� �� ���)������5� ���� � �� 5� �� �� �#����� ���� �� �� #�$�&� ,��� 6) �� <�#�)��� ����)������&�'<����������� �����8�����<�.���)�5������ ����G�)����)�����

0����

��)��� ���� <���� ���� 8�� ������ �� �� �� ���#�� �� �7������� ��.����� ��� ���7�D��&�%���6������������<������ ��#�$��8�� �����#�>&�P: ^�>�)>�������)�������� ����������� �� ����������#�� 5�7$6���8����)����)��>��)��������8����� ���� ���7�D�������8��������������6)��� ���� ����������������.������> &�P: *�)���� �� �)����������#�� &���������� ��������B�

��

��

3

132 1

2�

A1: �����)������������ &�P:�[*�+ ��� ���)������������ \�A1: !��#�� ���8�������������)+�����&�P: [*�)��8���� ���7����� \�A1: (���8���&�P: ^�����������.��������� ��������B�

�� ��

3

3

132 1

2

�����

��

�P: ,��� �8�$� �� �)������� �&&&� *������ ��������� <��$�)��� ����� ���#�� �� �����)���� �� ������ 5� ���� �� )�.� ���� �5� ��� <��$�)��� )+�� ��) ������� ��������������������#���)>�������8����)��>����)������� �� ����<������)���7������&�' �7��� � ��$�)��� 8�� ��������� � ��)���5� �� ����S� �� ��� �� ������� �� �� �� ������ ����#��� &�P: '<���� ��� �� �������5� ��8�� ��)��� �� ������ ��� �� ��� ��)>����5� ���� ����)���)�����)��>�� ��� $)���������#�������.�� �7��� ��� ��)����������� $)���&�P: [*�)����)���)��� ��� $)���\�A2: �<&&&\�P: ����5�����8�����#�� ������5������#�� �������� ����������)+�������#�� ������&���������� ��������B��

/� �� ;1�� �� 2112 ���� �

P:�,����8�����#�� ����������#�� �������� ����������)+�������#�� ������&�

0�0��

��������� ��������B�

/� �� ;3�� �� 10132 ���� �

P: '�$� � $)�����7�����������.�������������&�P: ¿*�)��<��)��������� �� �� �\�A5: %�����#�� ����&�P: E���� ��� ����� ���7��)� ��&���������� ��������B�

�� ��

10

23

3

132 1

2

�����

��

P: ¿*�)��<��)���������� �� �\�A5: %�����#�� �����P: ¿E���� ��� �������� ���7��)� ��\A4: (���8���������8����P: '<���� �������� ������ �$������8���&�A7:�%�#����)������������&�P: -�&�A5:�,��7���������� ��������5����e���)�� ����&�,B�Si no se aprenden las fórmulas.����������� ��������B�

2

10

2

10

2

23� �

��

� ���� �

�A5: ������7������ ��8��.��8��$������ &�P:[E���8�>����#�� ����\�A2: ���� ������ ��8�����#�� ��5�8����8�������������)+�����&�P: -�&���������� ��������B�

2

10

2

12�

��

P: [*�)�� ���� ��\

0�1��

A2: ������������� ������� �����&�P: ¿'�$�8�>���)��\�A2: ����������������������&�P:�[^�>�)+�\�A2:��+������������<�&�P: ��.�����.������&�A3:������������������������)+������������<�&�� �,��7������������ ��������B��

25

3

200

24

200

251

8

1

200

1

2

10

2

1

2��

��������

��

�P: ��.����5��<$������ ��� �����)>������� �����#�� &���)�����<��� ������ ��� B��(����������� ���+�����B��������������������

Q�with(student);�D *��� *������� +� &� � &����� ����� ,� �������� ��������, , , , , , , , , ,[

� �����%���� ����� � �%��� �������� ���� �� ������ ������ �, , , , , , ,

�(���� �������� ������� ������ ��-���� ������� ������ , , , , , ,

���-����� �� ���� ����� �� ��� ����.���, , , , ]

Q�a:=Int(2*x/(x^2+1)^3,x=1..3):a;�

��

1

3

2�

( )����2 13�

Q�changevar(x^2+1=u,a,u);�

��

2

10

1

�3�

Q�value(%);�3

25

0�2��

P: F$6���8��� �<���� ���)������������ ����� ��� 5�>��� ����)������������� ��� $)���������#������&�P: ��)�����<�����<���� ����)�����<�5���� ��<������)������� ��� 5�� � ��������� �����)�����5�.����>�� ��<��)�����)���&�"�)��>����<��������)������������ &�%���������������)�������������6������� ���)��������� ����#�����G������B�

������������P: ��������[*�)�� ��<��$��\�A2: ����)��������6����&�A3: ,�����)������������ 5� �)��)��8��<���)������� ��� &�!���)+�� �#����)�����������8���&�P: ����.������&�A5:�8��������8���&�P: (���8��������8����.��8����+ ��� ����������������)+�� �#����)�����������8���&�A5: (���8��������8���&�� ���7������������ ��������B�

��������

�� �� 2

1

2

1

2)ln(1���������

P: ,�����)���8����)����� ��� $)������ ���#������5�����8�����#�� ������5���������)+�� �#����)��������������&�[*�+���������\�A5:�!��&�

Q�with(student):�Q�e:=Int((1+ln(x))^2/x,x=1..exp(1)):e;�

��

1

e

( )���1 ( )ln � 2

��

Q�changevar(1+ln(x)=u,e,u);�

���

1

2

�2 �

Q�value(%);�7

3

0�3��

P: [���8�>\�A5: !���)+�����&�P:� * ���� �#����)�� �� ���� �� ���� .� ���� 8���� �#�� � �� 5� �� �� �#�� � �� ���� )+�� �#����)�����������&�[*�+������ ���\�A2: (��������5� �#����)��������������&�P: [,���8�>\A2: �������7���� ��� �����8��������.���)��������)+�� � �#����)����&���������������������������������������P: F$6���8�����8����� ����$����������5� ��� � �<�����������8�� �#����)�����������������&�A2:��+��7+�� ���7���&�P: -�5���������8������ ���������)������������������<�����������������> &��� ������> ����������<��������&�A2: "��������&�P: !����� ��������� ���)+����� ���&� %�� 7������� �#��$�)���� �� �� ������� �� ��G������ � .� �������&� *������ �� ��)��� ���� 7������� ���� ��� ������&� [^�>� �������\�A1: %����������&�P:�[*�+������� �����#�� ����������������������\�A5: ���� ��������������&�P:�[,���8�>\�A5: �<<<&&&�P:�'��>�����8����������� ��� 5���� ��+ �� ���������#�� ����������� ��<�6����G�)�&��������������� ����������������� �������������.����&���������� ��������&��

1

2

3

3�� �

�P: [*�)������ ��\�A3:�(����� ���������������)���������� ��������������&�� ���7���������B�

0�4��

3

7

3

1

3

8

���

P: ��$�8�����8�������6�� ����G�)��� ��5��������8���� ���.�������6������������8�� ����� �� ������ ���.��� ���7�D��&�"����8��������� �����������.� ���7��)� ���.���)��>��6������� �����)������� ��� &�N��������9���&&&�

Reconstrucción de la tercera sesión de clase 30/01/08

P: ?�������$��A�N�.���������)������� �� ���7��������� ������������ ��������5���)��� �� ��� � �+ �� �� � � +��� �� �#����� �)������� ��� 7�������� ���������&������� ����� ��8����<���� ���)�����������5�����������8�� ���)������������)��� ��� ������� �������� �� �� ���#�� � �7�����S� ��� � ������)��� ���� �� 8��<��$�)����������� �� �)�������������5� �� ���#�� � ���7�����&�[*�+ � 7�� ��$��� ������ �����#�� ����7������.� �����#�� ��7�����\�A1: %����)�����&�P:� ?'6�A� �[E�����������#���\�( � ���)��7����)��� ����+ �� �5���� ���)�������)������ ����� �����6���������#����������7������8�����)������ ������������� �� ������#�� ���7������&�=�����)���)��������� ����)��� ��� ���)�����������#�� ��8������8������������ ��� ����������&�P:��������� ����)��� ��� ���)�������� ��+ �� ����7����� &�[^�>����\��������)�� �9� �� 8�� ��� ���� 7������� ��������� ��)�� �#�� � �� ��� ���� ���� )�������7����� �� ��� ��)����5� �� ����S� 7� �� �� �#�� � �� 7� �� �5� ������� ���� �� .� ��G��������� ������� ���� � ������������<������&����8�6���� ��������B�

0����

��

P: ���� ����)��� ��� ���)�������� ���������&�� ����)��� ��� ���)�����������#�� ������� #����)� ��5��������8��������� ��8����#��7���� �����#�� &�F$6��� ��8������������)�B��������7����������������������������� ��������5���)������)��������� 7�������������������� ������ ���� ������7���������#�� ���&�N�� ��)��������������� ��������B�

*�� � ��������������� � ���, ��������-�������� � ���,�� �����0��������� ����������������

��������� � ���

�������� )()( � �

P: [^�>���#��7���������#�� ���\�P: %��G��������)���������7���� 7�&�[^�>� ��������\�A2: ������+�#� ��&�P: ��� �����#�� ��7�����5���)�������� ������.�7���� 7���� ��� ����&����8�6���� ��������B�

0����

P: �����8���������8��G����������+�#� �5� ��8��<�� �)��5����+������� $���8����8���� ���� �+��� �)��������� ��#�+7������7���8��������8�����#�� ���.�8�����#�� ��&�[^�>���#��7���\�^����� 7��������.���:�9� ���� �����6�;����)������ ����������������7���� 7�5� ���)�#����� 7��)������ ��7�������7&�,����������7��� � 7�� �� �� ������ �� ��� ������� ��� ���+�#� �� .� >� +��� �� �� ���+�#� �� ��G����)����#�� �� �+��� �)��������� �������5� �6�8��������8�����#�� ���.�8�����#�� ��&������� ��8���������� ����)������ ���)�����������#�� �&�P: '<���� �� 7������������5��������G������)+������������ ������ ������) �� ���#�� ���&�'#�#�B�1������������ ��������2������ ����)���������������� ��������&�P:�������+�� ���&�:%��)�.��$������8����;�P: ���5���)�����<�������6) �5��������)����� ��� ������ 7�&���������� ��������B�

34�� �)� *��� � 54)( 2 ��� ���� � ���� ����� 1� � �� 0��� ��� �� �'�0��� ��� ��.� ���

� �4,1 &�

P: "�)������6) �&�[^�>�7�����������\�������� ���)��&�(��)���� �� 7������8�������7�8�� ���#�� ������ ������� ������������&�[^�>�����������\������.�� ���� �>�8�� ��7������������� ���)��5���8�� �� ���)�����)�������������.� ������������� ����)������8��7���������������&�[^�>�����������\���������� ��������B�(����������8�B��

� ����4

1

2 )()14()54( ������ �

P: ^�� �� ���#�� � ���� ���� .� ������� �� 8���� � � ��������5� )+�� ������� 8���5� )+�����������#�� ����������)�����������7���� 7�&���� ��8������ ����)��� ��� ���)���&�P: �[*�)����)�����6���� 7�\�P: ,��)����� �� �)��� �����#�� 5�������������� �������������&�' ��� �� ����������#�� ��7������[^�>�����)��\�A1: !����)��&�

0����

P: � �$� ��)�� ���� ��� �� ���� ��� ��)��&&&� ��� ��)��&� ���� ������� �� �� �)��� �����#�� �[*�+ ��� ����)�����������\�:�9� �� �����#�� ��� ��������;&�A3: 8����� ��������������&�P: [^�>�)+�\�A2: *���������8���������������������&�P: ,�7����[^�>�)+�\�A3:�*�����8���&�� ���7������������ ��������B�

)(31

452

3

23

�������

��

����

��� �

P: �������� �������������.�������5�����#�� ����������7���� 7�&���� ��)��&&&���������� ��������B�

)(22

)(34521

)(373

152

3

64

)(3523

12032

3

64

��

��

���

����

����

��� ����

��

��� ��

P: [*�)����7���� 7�\�*�������������������� ��������B�

0174

2254

2

2

���

���

��

������������

� � 1,4 a pertenece No; 212212 21 ������ �� �

P: %�#��� 7�����#�� ���)��������)+����$�������������������������G�)���)�����������)�����������.���<�&���������� ��������S�

58,2212 ����� �

0����

P: F$6���8�� ���#������� ������ ���������)�����8�������+��� ������� ������������&� � � � 7�� �� ���G�)���)��� ���� ��)�� ��������� .� ��<�� 8�� ��� ��+� �� ������� ������������&�'<����#��7�8�)���.���)��� ��8�������B����8�6���� ��������B�

�P: �������������� ��#�+7������ ��7������5����8����������� ������<�����<�������� � �� &� �G���� ��� �� ��S� )���� ���� )+�� ��$�� ��������� �� ��������� 8�� �����G�)���)����#�� ���������)�����������.���<��8����+�)+����)���������+�:�9� �� �#�+7������ ��������;����� ���� �7���)��������)+����$���������������+���+�:�9� �� �#�+7������ ��������;��� ���)�#�������� ��&�'�$� ����+�#� �����#�� � � � +��� ��6�� �� ������ ���� ���� .� ������5� ���� ���7����� ��� �)�#�� ���� ��� 5� ���)���������������)��������6���������5���$&&&���������� ��������� �����)�����B����P: ' #�����#����&�P:� '���� �� ��)����� �� ��� ��� � ��������5� ��)��� �� ��� ���� �������� 8�� �����)��� ��� ���������.�8�������)������������ ��+ �� ����+���&���������� ��������B�

�5� *�� � ��� �������� ��� � ���, � -� � � �, � �� � �� , � S� � � � ��������

�� � ���

������������� )()()( �

Q�f:=x->x^2+4*x+5;�Q�plot(f(x),x=0..5,y=0..40);�

0����

#5� �� ���

��������� )()( �

�P: '� ����� �������� �� ��)��� �� ��� ����5� ����� ����� �� �� ��)��5� ���������)����� �� �����+�������#����� �)����������7��������.������������������� ������� �� �� ���#������� .� �� �� ��� � +��� �� ����� ���� �� ��� �� ������� �� ����������$��������� �� 7������&�F$6���8�� �� 7��������� ����������� � ������ ��)+��#������5��5������)��>��������������� ������������ ����5���.��5��&�*���������8���� #���������� 8�� �� 7������� ��� ���� ������ �� ��������������&� '�$� �� ��� �����#�� ����������������)�� �����)�������������5� ��8��������5�����.� ��8������������&�P: %�� �#����� ������� ��5� ��������� ���)��� 8�� �� ���� ���#�� � �7������ � $)�������������������� ���������������.� ���7��������6�5�����������������<��)��� ��)������������� 5�)�9������)����� 6�����������������5�����8��������������5��������������� �)����.����6�� �)�.��&������������������������ ���� ��������������������5����� ���������#���)������ �����#�� &�P: ��������.����6�� ������6������������� ����)��� ��� ���)���&���������� ��������B�&��� �����1� � ��0�������� �'�0��������.��

�5� � ��2

1

3 )()12( ����� �

,5� )()22(12

2

2 ����� �����

�P: ����6����������)�� �8�������)�����<���&�P: ^�>� ��$�)��� �� ��� ������ ������ � � ��)��� 8�� ����)��� � � �� �� ��� �������#�� ��7�����&�E���� �� ���������#�� ��7������.�����#������[^�>���#��7��������)��\&&&N�� �)��� ��)��>�5� ���� 8�� ������� ��)���� � �����5� ����� ��� ���� ��������������#� �����������)������� ��#�����������������<�5�������� �+����������[^�>���#��7����������\�A2: � ���������������������������5&&&������&&&�

0�0��

P: ���� ��8����#��7������8������������+����)����������������������������� )���� �� ���� ����� ���&� ������ �<���� �#��)��� ��������� �� )��)�� ��)���������#���������� $����.�<������������� �����#�� &�P:�%�����#�� ��7�����������)������)����� ���)���8��������� �+����������#���� �)����������������.������ ����)���� ��������8����)�������&����������� ��������B�

Aplicaciones de la integral definida Cálculo del área de regiones

limitadas por curvas:

�P: -����������)���������������� ��������5� ����)���������.���)�������)������������6) ����)�������� ���������5�����������8��6) �7����)���������������������&���������� ��������B�

34�� ���)�&��� ��������( ��������� ���+����������� � 24)( ��� �� -�����4������� ��

���� ������� 2��� ��� 1�� &�P:� ���&&&� ��� ���� ������ �<���� �� ��� ��� )�5� ��� ��� �8���� ��� ����� �����������&�F$6���������������7�������.����#�+7����������������#�������6����)������� �6�8����.���� ���������� ���������8�����#�� �)��������.�8�����#�� ����&�[*�)�� ���� ���� �����\� [*�)�� ���� ���� � ������ � � ���\� ���� ������ �� ��<�������� ���������� �����&�A2:���� ������&�P: -�5���������+���� ������5� ���������8�����#�� �)��������.�8�����#�� ��������� ������ ���� � � 6� 8���5� ���� ������ �� �� � ������ �� >��&� ������� 8�������������� ��7��)��8�����#�� ��5����������� ����� �6�8����.������������� ��7��)��.��#�� ������������� ���� �6�.&�P: [^�>�����������8����)���<������)��\�,��������)�.�����7��)�����&�A3:���� ��� ���������&�P: ?'6�A� ,��� ���� 8�>� �� ��)��� �� ��� ��&� [^�>� ����#��)��� ���� ��� �� �\� %����#��������8�����.����#������7�������:���8�6���� ��������;�.���#������������8���� �#�� � �� .� 8���� �#�� � �� .� 8��)��� ���)����� � +��� �� ���� �#���� .� ��7�������.����#�� �7���8���5����������) )��� �+����� ���#�������#�� ��� �����#�� �������.�����7���8������7����� ���8���&�

0�1��

��������<�� �������8�6���� ��������B�

�P:�[���� ��� ���� ��8����)���8��<���\�[^�>���)���<���\�P: ,��)����� �� ���������)��� �� ���#�� �������������������)�����)���� ���#���&�%����$��<��������8���������7������������6�������� �����#���������)���8���� ���� ������#���)������ �����#�� �����8�� �+�������������&�-��������������)��� ��)�� �� ��)����� ���� 7������5� �� ���� � 8�� � #����� �� ������ ���)�#���� ��#�+7������8����������+�� �&�,���<�.�������8��������������� �&�%����)���8����)���<������#��7����� ��7���������������������)��������.����&�=���� ����� 8�� ��)��� <���� �� <� ��� ��� ������ �� ����� ���� ��� 6�&� ����������)�����<���������)��&����������� ��������B��/��������� ����������4���

Con el eje x Con el eje y

2;2

022

04

21

2

������

��

����

���������

4

4

04)0( 2

��

��

��

P: %�������������������� �6�8���B�8�������L���� �#�� �������.�8�������L�����#�� ���)��������.�������� �6�.���������&�P: '<����#��7�8�)��&�A3: ��� � ���&�P:��$5�����6�)����� � ���&�%���)����� ������8����[^�>��� ��� ���)��\�A1: *��&�P: [%���)�#���������\�A2: *�����&�

0�2��

P: ,��������[*�+������ \�A3: ��������&�P: -�5�����������. ���� ��7�������[^�>���\�A3: ���&�P: E�����)�������&&&�������)��>�&�P: ,��������[*�+������\�A3: *��&�P: E�����)�������&�A3: *��&�P: ,�������&�A1:�!��&&&���)���������&�P:�����������&���������<�� ���� ���7����7�����8�6������� ��������B�

��� �P: ����� 8�>� �� ���� )� ��+�� ������� �� �� ��� � +��� �� �� �#���� [����� 8�>��� ���\�A2: ���������.����&�P:� ��� ����� 8�� )� ��+�� ������� 8�� <� � � +��� �� �� �#���� .� �� �9� �� �� ��������&� *�)�� �����6�)��� ��� �� ���� ��������� �� �� 7������� ��� �� ���������� ���� � � ��#��� )���� � ���� �� �� ���#�� 5� �� ����S� � +��� ��+� �� �� ������������� �6�.&�%��7���������)���� ������������&��������5���)������������� �����#�� �8��������� �+���������#���&�P:�[*�)��8���� �����#�� \�A2:�%�����#�� ����������)����8����� ���������������7����� ���8���&�P:�,��5�[*�+ ������ ��� $)���������#����������\�

%����+ �� ������� ��#�+7���� ���<���� ���7�������6����)������� ���� �)���5�>�����)������������������������ �&��

0�3��

A2: �����)��������.����&�A3:����������.����&�P: ����������������8������������� ��8�����8�������<�� ��&�P: '�8�>����#�� �������#�� &�%����)�����5����������<)���<�<��)��<������#�� �5�>������)�.����� �&�[*�+ ��� �����#�� ����7���������������)+��8����� ���������\��A2:�*������8����)����8����� �������������&�P:���.����5���� ����)������� ��������)��������.����&�������#������.���������<����������� ��������B�

9

312

3

88

3

14

3

88

3

14

2

1

34

4)(Re

3

1

2

2

���

����

���

��� ����

��

��� ��

����

����

���

�� ��

��

��������

P: [^�>� ��#��7���� ���� ���� �������\� ^�� ������ �� ��� �#���� ����� ����������������������������� ���&�[���+�� ���\�A2: �$&�A3: �$&�P:���9����������������<������� )�����������&�!�������+���������[������ ����<���\�A1:��$&�P: '<���� ����.����������&&&�'<$�������� �(������8�� �����#�>���)��<���� ��+ �� ����+���������.����� ���)������&�(������)����� ���.�������������)�� ��<���>��)���<�<������ ��� &���������� ��������B��������

Q�f:=x->4-x^2;solve(f(x)=0);�Q�plot(f(x),x=-4..4,y=-6..6);�

0�4��

�P: N+#�� �� �� � ��)������5� �� �)������� ��8�� �� �� � ��� �� )�9���� ���������>�� �����6����� ���� ��.���� �� � ��)������� .� �� ��� �� �������� ��)��>������<����������> &�* ���� ���)���������8���� �� ������8���������)������� �������&�P:�E�� ����)������&�A6: -�&�A2: %��#�+7�������$��������&�P:������)+���������&&&��� ��������� ���)���� #������� ����.����)��� ��������&��������8���� ����������8�6���� ��8���� ��#�+7���5� ��#�+7������������ 5����������)�� ��8�����8�6�)����������G�)�����������G������������� ��#�+7���&�� ���)���������)+�������5�����)���#�������G����)��� ��#�+7���&�A6: ,����������.�������������&�P: ���8������������6�������)�������G��&�������������8�� ��� �����<�.���������5����8����� ���8�������8�������� � �����������.����������� ��������� )��� ���� � ��.�� � � ��)������� .� )�9���� ��)��� �� �� �+������ �� ��� ����<����&���������� ��������B�

34�� ��#)�*��� 67)( 2 ��� ���� �����'����+���6��������( ��������� ���+����������� ����� ('������������������4�����P: [^�>��������������7����� ��������\�A7: ^��������� ��������� ����� ��������&�P: � ������� �������#�������[^�>� ��<�����������\�A7: ^����)���8���� �� �� �&�P: [*�)�� ���� �� �)��\�A7: ��<&&\�P: �����������8�� ��#�+7������#�������� �6�8������������������� ��8�����)���� ���� �#���&� �������5� ��)��� 8�� <� ��� ��)��&� [^�>� ��)��� 8��<� �����)��\�A3: %���������������&�P: �G����)��� ���������������&���������� ��������B�

0����

,����������������� �6�G�P: ���������#�� ��������������8�������������)��������8����)+�������#�� ������&���������� ��������B�

6;1

061

067

21

2

��������

������

�P:�^�>�������������)���<������������� ���� ���� )�&�A2: %��#�+7���&�P:� * ���� ��8�� ��� ���)��� ��� �� #�+7���� ��+� ��� ���6�� � � 6� 8���5� �� ����S� ��7���������)���� �����#������&����8�6)������#�+7���5� ���� )������������8��)�9������������������#�� ��������)����������<�.5� �)������� ������������ #��8������������������<$��� ��� ���������&���)�����#��7����B��������.����8�6���� ��������B�������������P: '<���� 7$6��5� �� 7����������� ������ �� ��)���� �����#������5����.���� �� �� �����#�� � )� ���+� �#�����&� ,��� ��� �� �������� � � �� �� ��� � +��� �� �� �#���5��� ���� ������#���)����.���$��������� �+����������&�P:� '�$� �+����� �� �#������ �#�� � ��)���� � ���#�� � �������� .� ���� ��8����� ����������)��������8����)+�����&���������� ��������B�

4

456

2

77

2

7

2

7

2

0

2

2

�����

������

��

������

��

����

���

��

����/�� ��� �������

����

27-

%����+ �� ������� ��#�+7���� ���<���� ���7�������6����)������� ���� �)���5�>�����)������������������������ �&��

0����

� ����6

1

2 67)( ������ �

6

125

1

66

2

7

3

23

���

����

����� ���

A3: ,��75� �)�������� ����������� ���#�������#�����&�P:��$5�������� ���#������+�������6��� �6�8���5�������S� ��7���������)���� �����#�������� �6�.&�P: '�$� �����#�� �����������������������������&�E�����8�� ����+���� �� ������� ���)������5� ������)������� �)��)�B����7��� ��7������5�<� ��� ���������������� ���� � 6� 8���5� #��7����� .� ��� � ��)�� ���#���� �� � ������ ���� ��� ������ ������&�P:�����5������&&&�������8�� ���#�������� �� ��� �+������������� ��7���������)���� �������������.���������� �����#������&��������5� ��)���8���� �� ���������)+�����#�� ��.����� ������� �6) ��8����)�����<�����<���&���������� ��������B�

34�� ��7)�3������ �����( ��������� ���+����������� � ����� 86)( 23 ��� -�����4��

����� ��� 1�� ���� 3�� &�P: ,��)���[8�>���)���������\�*��� ����������������8�6��� ��#�+7���&�P: %���������������&���������� ��������B�/��������� ����������4�����

086 23 ��� ��� �P: F��������)���[�����\�[*�)�� ��7��������)��\���������� ��������B�

0862 ��� ��� �P: F��������)��� ������)������������� ��������B�

0����

024 ��� ��� �P:�%��������������������8�������L���� �#�� ������5�8�������L���� �#�� �������.�8�������L�����#�� ���������&�

��������� ��������B� 4;2;0 321 ��� ��� �P: N�#�)��� �� #�+7���5� ��)�� .�� <)��� <�<�� ������ 6) ��� .� ���)��� ������ ����)�5� ��)��� �� <��� �� ���� � �� &� ,���� )�.��� ������ � ��.� �� �������� �����)�����B���������� ��������B����P: ,����<������&�P: ��������������)���� ��#�+7���5��������8���������� ����5���8�������L�����#�� ��������� ����5���8�������L�����#�� ��������� �����.���8�������������#�� ���������� �����.��������� �)�������&�������� ��#�+7������ ���������� ��� ��� ��������&��

��

P: F$6���8�������������+��������:�9� ���� ��#�+7���;�.������������:�� �����9� ��� �� �� #�+7���;&� *��� � �� � ���� �) ���� � ���#�� �� � ��)����� ��� .���+��8�� ��#�+7������ ��7�����������������)+��+���&�P:���������� ����#����5� ��7����������)���� ������������� ��8����+���������.����� .� ����� 8�� ��)�� �� ���� �#������� �� 8�� ��+� ���� ���� .� ������&� N�.� ����

Q�plot(x^3-6*x^2+8*x,x=-1..6,y=-4..4);�

0����

������� 8�� �� ��)��� �)����� 8�� ���� 8�� � ������ �� �� ���#������� �5� �� �����������������5���.��5���������������.���.������ ��8����)�����<���&���������� ��������B�

�� ������3

2

232

0

23 8686)( ������������ �

P: %����)������#�� ���)���� ������������5��� ���#��������#�� �<�.�8���� ���� ����)����.��8�� ��7����������������� ����)���� ������������&���������� ��������B�

4

23

2

342

40

242

4

234

234

����

����

������

����

���� ������ �

P: ���8����>��)�����.���������� ��� �<��$�)��B��������P: ���� �����$������� ��8��<���)��&�P:� � � ��)�� ��� ����5� 8��$�� 8�� <���>��)��� ������ 6) ��� 8�� ��)��>�� �����)�������5� ��)�� � +��� �� ���� �#���� �)������ ��� ���� �� )+�� ������� .� ������������6�)��� ���� �� ������ � .� ��)�� ������ � ��������5� ��&&&� ����)��� 8���� ��)�9���&�����P: ^�>���)��������)�9���������+�����<���� ����.���������������#�+7���&�!���������� <���� ������ 8����)�� �� �)������� #��7����� ���� ��� ��)�� �� �� #�+7���5�8��+����������&�'��������)���8�� ��#�+7������+�������)��� �6�8������������6�5� ��� �� 7�#�������� .�� 8�� �� ������� ��+� �� 7��)�� ������ &� [^�>� ���� ����� ���)��� ����������� ����\�C�&&6�&&�

Q�h:=x->x^3-6*x^2+8*x;solve(h(x)=0);�Q�plot(h(x),x=-1..6,y=-4..4);�Q�int(h(x),x=0..2)-int(h(x),x=2..3);�

� ���7���������� ��8��<���� ��������������� ���)�������.������������#������������������&�

0����

P:�'<����.�� ����6�������������B�+���� �)�����������������.�<������<����<)��������6����6) ���������������5����8�����������#��������)+��������&�F$6��������#�����B����8�6���� �����������

�P: � �+����� ���#�������#�� ��� �����#�� �������.����� ��7�������8����)���� ����)�.���5� �� ����� �� #5� )���� �� 8�� ��)�� �� ���� )����� �� 7� .� �+ �� �� ������#�� &���������� ��������B�

� �� ���

������������ )()()(Re �

P: "�)��>�� ��������� ��� <)��� ������ 6) ��� �� �+ �� �� �� ���� �#���� ����������6�)��� �����#�� ���7��������� �������� �.���)�������� ���������5���� ����)��������)�9���5���������������&����.����#�����5����6) �&&&�(���6���� ��������B�

�P: F$6���8����+����������� �������� &�

0�0��

A5: [���8�>\�P: ������� ��<)��������5�)�9���� �G ����>&�P: ����������� �+��������� �#���5��8�$������ ��8�� ��)���� ����)�.��������� ������� �6�.��������� ������� �6�8���&�[*�+ ��� ��8����)���� ����)�.���\�%�� ��6�� �� �� 8�� ��+� )+�� �� �� ���<�� � � 6� .� .� �� 8�� ��)�� �� ���� )����� �������� ��8����+�)+���� ����8�����&�*�)���� ���)���������$�)��� ��8����+�����������)���� ��8����+�������6�5������6) ����)�������� ��8����+��� ����<��)���� ��8����+���� ����8�����&��������������$�B�

� ���

��������� )]()([)(Re �

P:�� �+����� ���#�������#�� ��� �����#�� �������.�����6���.�)����#���.&�P: ����� �� ��)��� �� ��� )�9���� �� ��)��� <���� .� ���>�� ��)��� �� <���� ����6�������5� .�� � ���#��� ����� 6�������� �� ����� ���� .� )� �� ���#��� �� ���� <�6�� .�������.������ ���)������&�����Reconstrucción de la Cuarta sesión de clase 31/01/08

P:� ?������ �$��A� N�.� ��)���)��� ���� ��� 6) ��� 8�� ���� 7� ������ �� �� � ����������� .� ���>�� �� ��.� �� ���#���� ����� 6�������� .� ��� )��� ���� 8�� ��������6�5���)������ ���.����� ���)������&�P: [^�>���$�)���� ���)����� ��� ������.�\�[*�)����$�)���<� ��� �+����������#����8����+���)���������������������\�[*�+ ��� ������)����\�P: F$6��5�.����#������7�������&&&����8�6���� ��������B�

�P: [*�)�����)�������+��\�A1: *��� �����#�� �������.��&�

0�1��

P: �$5������)���� �����#�� &�A2: %�����#�� ���7���8����)����#���8���&�P: ¿,���8�>���7���8����)����#���8���\�P: [���8�>\&&&���8����)���� ��8����)���� ����)�.���� �����)��� ����8����)���� ����)����&��������������)�������� ����8�6��8�� ����������6���� ��)�.��5�������S�7���8������)�� ����6�� �&���������� ��������B�

� ���������������

�� �� )()()( �

P: [��+�� ���\�A1: �$&�A2:��$&�P: ��)�����<�������6) �&���������� ��������B�

34�� �)�&��� ��������( ��������� ���+����������� � 3)( 2 �� �� ��� 1)( �� ��� &�

P:�"�)�������7��������.� ������������������������������� ���)����5� ����)���������������.�����:�7���>������� ���#����;�[^�>��\�%'�#�+7������8����)�������5���� �����8�6�)���[^�>�������\�A1: !�������&�P:��������7��������7$�&�[^�>���)���<�����������)��������+��\�A4: @��7���)�����)��&�P: =P.�#��7�����.&&&�8�>�������������)���<���&�P: ������ ��7����������������&�[*�)��<� �)��� ���������������\�A6:�����)��8������ ������)�������&�P: ?'6�A�A6: %���#�� �������&�P: -�5�������� ���#�� ��������������<� ��� ���������������������#�+7�������&&&�[*���8��>�\�A2: *��� �6�8���&�P: *��� � 6� 8���5� ��� ��� .�� 8����� <� ��� ��� ������ ����� ��� #�+7����� �� ���7�����������������������5�����8��>�� ��#��8�� �#�� �����8�������������)�������&�

0�2��

A6: *���8����)�������&�P:�,�7���5����� �������7������&���������� ��������B�/��������� ��)�

��������)� 132 ��� �� �P: [*�)����� �)�������������\�A6: ��+�8����� ������)����8���&�P: ,��������8����� ��������8������������&�A6: �8�������������)����8�����#�� ���)�������&�P: [*�)�� ����� �)��\A6: �����7����������8����)+������.�8����)�������&�� ���7������������ ���������)��������#�����.�G ���&�

012

02

13

2

2

������

���

����

��

P:�[*�+ ������ ���������������\�A6: (���.�)�������&�� ���7������������ ��������B�

1;2 21 ��� �� �

P: [^�>�<��)����<���\�A6: %��#�+7���&�P: [^��>��8����<���� ����)���#�+7���\��������.��������� ���)������&�%��#�+7������ ����)����&&&�A3: !��������&�P: ,���8�>������������&����8����� ��#��7������ �)� &�(7��+)�� �����)������������ ��������B����P: F$6����� ��#�+7����8��������� ���)�������� ���7�������8�6�� ��#�+7������ ��������B�

Q�m:=x->x^2-3;n:=x->x-1;�Q�plot({m(x),n(x)},x=-3..3,y=-5..5);�

0�3��

P:�[*�+ ���)���� ����)�.��������)��������.�������\��A2: %�����&�P: [*�+ ��� �����\�A2: �8����)�������&�P: [*�)���� �����#�� �8���7�������#���\�P: �>������8���� ��������������#����A3: ��� ����������������)��������.����&�P: ��.��������#��)�������)��������.����&�P: �������� �����#�� ������������7���������&&&�A2: ���������.����&�P:�[*�)���� ����#�����\�������&&&���+ ���)���� ����)�.�������������� ���5�7�#�������)���[*�+ ���+�������)�\�E�[*�+ �������6�\�A1:�%���������)���� ����)�.���&�P: ������������� �����)��� ������&���������� ��������B�

� ���

����2

1

2 31)(Re ��������� �

�P: [^��>��8������� ���������#�� \�P: [*�)��8���� ����#�����\�P: ���&�P: [*�)��8���\���������� ��������B�

0�4��

��

����2

1

2 2 ���� �

P: [*�+ ��� ����)����������� ���)��\�A2: �8����� �����&�A7: �����8����� �������������&�P: [^�>�)+�\�A7: !����������&�P:�"����8��6�������)+�5������8��������� ���7��)� ��������#������&���������� ��������B�

2

9

2

15

2

1263

22

1

3

16

3

8

22

1

3

142

3

8

1

22

23

23

��

�����

������

���

��� ����

��

��� ����

����

����

����� ���

P: ,������)������ ���� ���������� ��� &������P: �����<������)������������6) �5�,��)����.������������ ���)����������� ��������&����8�������������������B�������������6��� ������6������&�"�)��>���� � �� � � #����� <���� ����� �����5� �<���� � #���� �������� � ��)����� ��� .� ���������5���)�����7������7��������������� &��P: =������� )��.��������� ��������B�

Los estudiantes trabajan en el computador, algunos estudiantes no

recuerdan los comandos del Maple y eso que tienen el material de apoyo

t d d d l i i i

0����

3������ �����( ��������� ���+����������� � 23 � �� �� )1(1 �� ���� �

P: ���8�)��� ��� ������ �� ����� �� ��� ���� #�+7����&� F$6��� 8�� ���)��������6��������� �������� �.���)����������&����8�)��� ���������������&���������� ��������B��

��� 13 2 �

�P: [^�>��������������� ��� \�A3: ���������.����&�P: E� ��#�+7���� ��<������&&&�[^�>�7���������)��)�.������ ������)�����������\�A7: %����+�� �&�P: ������)������#�+7�������8�6�� ��#�+7������ ��������B��

��

P: F$6��� 8�� �� ����������� �� <��)��� � � ���5� � ��)��� �� ���� �� .� .�����)����� ������8���&����������� ��������B�

� ������� ��

����1

2

2 13)(Re �

P: %����6����+�)+���� �����<����������� ���� ������ �����&�[*�+�������������#�� ����� ��� \�A5: Nueve�)����&�

0����

P:��G����5�8������� �������� ��)��)��� �6��������������&�P: =������� )�&&&���������� ��������B�

&��� ����� ��� ( ��� ��� ��� ���+�� ��������� � ����( 86)( 23 ��� � ��

���� 4)( 2 �� &�

�P:����������������������������+�� ��[^�>���)���<���\�A3: ������� ���������������&�P: �G������������ ���������������&���������� ��������B�

Puntos de corte

����� 486 23 ���� ��

P: ��� 8����� �� �� ��� 8�� �� <��)��� �� �� ������5� ��)��>�� �� <���� ���� �� ���)������5������<����������&����������� ��������B����

��

P: N�#����������8�����>����#�)���)+��� ��������������� ���� �� )����� ��������&�P: [^�>�����������������������\�A5: *��5��������.����&�P: =P.� ���� ������� .� ���5� �<���� <�#+)�� �� ��� $����)��&� [*�)�� �������)��������� ������ ���#�� ����8����+��� ��������\�A5: F�����������&�P:�,��)�����)���8�&&&�A5: '#����&�P:�'#������>�)������)6����&&&�[*�)��8���\�

Q�restart:�Q�k:=x->x^3-6*x^2+8*x;i:=x->x^2-4*x;�Q�solve(k(x)=i(x));�Q�plot({k(x),i(x)},x=-1..6,y=-10..10);�

0����

A5:��8������ �����5�)��������8����� ����������)+���������8���&�� ���7������������ ��������B�

047 23 ��� ��� �P: [^�>���)���<���\�A5: ������7��������)��&��� ���7������������ ��������B�

0472 ��� ��� �

�P:�[*�)�������������� ��8����+�������� ���>�����\�A2:�*�)��<���)����� ������������������������)���&&&�P: [*�+ �����\�A5: ^����)�������)�������&&&�P: ���8���8�$�<�.��������5�������������8���5����������8�����������������<� �� ��&��*����#��� ��������B�

0127

0127

2

23

���

���

���

����

P: [*�+ �����\�A5: ����.��������P: ���������.�)����������&���������� ��������B�

043 ��� ��� �P: �)���8�� ����� ����8����� ��� ��G���������B����5�����.�������&�P: N�#��� ��#�+7���5����� ���)������&�P:� %�� #��7������5� �� ���� 8�� �� <�#��� ��)��� �� � ��)������� ��8�� ��� ������ �&�A4: �$&�P: ����)��� ��#�+7��������������&�E�� ����.������8�6����+������ ��������B����8�6�B�

0����

��

P: F$6���8����)���<���� ��#�+7���������������.���)+����)��� ���.�������� &�P: '<������)��<��)��������7����� �����#�� ��� ������#�� ������������� ��#�+7���&�������� ��7�������8����+�)+���������)���� ��8����+�)+�����6�&�A7: �8����� ������)��������8����� ����������)+����<��8���&�P: [���+�������)�\�A7: ����������&�P: �������� <�.� 8�� 7��)��� ���� ���#�� �� ���� ���� ����� �#���&� '� ���� �#���� ����)����� �)�������.��������� �#�+7������ ���������.�����������.��� �������������� ��������&�P: [^�>������� ���#�������\�[^������+�������)�\�[H�����\�A4: H�&�P: E�������6����+��&�[^�>��������� ��������#���\�A4: ���+��&�P: ��.�������6����+�P�5�������������� �����������5��������[*��������� �����#�� ���)����� �� ��� �+��\�A3: N�.�8��<�������&�P: [���8�>\&&&���� ��7��)����)�� ����������� ����#����&�P: [*�)��������� ������#�� �\�'.����)���������������� �����#�� ��7���������������������5�������S�8�����.����#�� �����#�� �������.��5����������� �� ��� ����)���5� ������� >���� � �#�� � �� �� ���#�� � ���� �� .� �� )+�� �� ���#�� �������.��&�

0����

P:���������� ��������B�

� � ����

������������ )()()( �

P: [*�)����$��� ������#�� ������ �� ��\�A1: ���������.����&�P: ��.����&&&���������� ��������B�

��3

0

)(Re ����� �

P:�[*�)���� ����#�����\�A5: '�P�� �����)����&�P:�[^��>����P�\�A5: �8����� �����5�)��������8����� ����������)+����<��8���&�P: ���5� .������ ���)����� �����B�8�������������)�����������8���5�)+�� ����������#�� �[*�+ ��� ����������#�� \�A3: ���������.�������&�P:�[*�)��8���\�A5: ,������)����+���.�������6��P�&�P: ����������)����P�&���������������������������� ���7����7�������������� ��������B�

� � � �������������������� �� ����������4

3

2323

0

223 864486)(Re �

P: "����� ���6���� � )����� � �������5� � 8�� �� �$� �� ���#�� � � �7�����&� ���������#�� �� ��� ���� <���� ���� � �� 5� ��� �<���� ������� <�#�)��� �� �+�����&�'<������)�������)����� �6������&�P: [*�)��8����$�� �����#�� \�A3: �8����� �����&�P: ' ���������>�)����&�[^�>�)+�\�A2:����������8����� ����������)+������8���&�P: E� ������&�P: ^����� ���)��)����>�)��������������#��������������&�

0�0��

��������� ��������B�

����������� � �������3

0

4

3

2323 127127 �

P:� *�)�� )� ������� #����� ��)�� ���� � �����6�� 8�� ��� <�� �� ����� �<���5� �������#�� �������� ����������� ���5����7$6���� ��� �� ��� ������#�� �5��� ��� ��.���)��� ����� ����������������� �����������������.�������������&��� Reconstrucción de la quinta sesión de clase 13/02/08

P: ¡�������$��A�[*�)����+�\�A1: ���&�P: -�������� ��������)��� ���� �� 8�� ��+��)��� ������ �� � ��� ������ ����� ���� ��������� �� �� ���#�� � �7�����&� ��� �� � ��� ������ �����)��� ������ ���$�� .�<������� � ��������� �� [8�>\� [��� 8�>� � ���)��� �� ���#�� � �7������ �� �� � ��������\� �� ����<���������������6���� ��� ��.� �����#�����[^�>�<���)��\�A2: *+ �� ����+��&�P: *+ �� ����+���5�)�.����5���������)��������� ����������&�N�.�8����������.�6�������)+�&���� ���� �������7��� �������������� )�����+���5���������.������� ��� ������)���)��6��� �����$��.����������������&�P:�!���������������� ���� �������������<�.�� #�����8�������������� ��<�6�� �����)������8����� �������� ��� �.� ��#�+7����.� ������ �����&���������� �����5� �������������8���������� �� ��.���� ���� ������ )��5� ��� ��������.�&������� �����&�P:�N�.���)���������� ���������� ������[����� ��8��������� ��������� �����\�A3: -�&���������� ��������B�*+������� ������+�)�3������+����,������ ��� �� ����� ���+������ ������� �������� ��������������4����� ����+���P: *�)���������� ����������� ��� ����8����������� ������������#����� � ����������������������8�����)���)���6�����������&���

'������������)�)����.�<����� �7��� �� ���)��������� ���7�������#���6����������������� ���� �������������.�>������������������� �� ��&�

0�1��

(���6���� ��������B��

P:�����8������6>�[8�>��\�A2:�!���)��$��� �&�P: %��)��������������� �5����)���8�� ��#)������ $���8��������� ��$��� �������� �)��$��� ��� �� � ��+)���&� ��� .�� ����� � ������ � � ��+)���� ��� �#���&�����#�)��� 8�� �� ���� �� �#���� ����� ��� ����������� 8�� �� <�#�� #����� �� ������� ������5�.�������)�������� ��)��$��� �������[8�>���)�������\�A3: [!���������7�����\�P: ,���� ������� ��������7������[8�>���\�A1: !����7��&�P: !����7��5������� ��8�����&&&����8�6���� ��������B�

�P: E� � �� �)�� �� ��� �7��� �� �����)��� �� ������� ������� �� �� ��� � ������ � �����&���������� ��������B�

3

3

4 �0 �� �

P:������)���������+�#� �����+�#� ��.� ������)��5���������� #������� ���)��<���6) ���8��<�.����8�6���� ��������B�

0�2��

�P: "�#��������+�#� �����+�#� �5���� ��������������� ����������9� ������ ��7�#����[8�>�����#�\&&&������������������� ���[*�+ ��� ��7��)� ������<� ��� ��� �)���������������������� ��\�P: ,����� �������� ����������������������<��<&���������� ��������B�

��03

2�� �

P: N��<��� ��� ������ ������.����� ��������� ������� �����&����#��� �������������������)�������� �����&&&����8�6���� ���������

�P: ����� �)���� �+����� ��������� ��� ����&���������� ��������B��

���������1���� ).( � �

P:� F$6��� ������ ��)�� ��������� ��)��� ���������� �� ����� �� ��� ������ � � �������#������ � ���5�����)����� ��7��)��8����#�&�P: ������)������6) ��#��� 5�����7�������<���>�����.��#�� �7���8����.���������� .� �#�� � �5� �� #�+7���� �� �� 7������� ���� �� ����� ���#���� ���� �#���� ���� ����������� ���)������� ��7������5� �����������.��&���������<�� �����8�6���� ��������B�

0�3��

���������� ��������B�

*�� ����� ��� ���+�� ��������� � )(�� � �� ��� ����� � � ��� ���

���� �� y �����������

���8�6���� ��������B�

P: "����� ��� ��������� ��� ���� �� �� )��)�� ��#��������

��

�� � ����� � �� �� �

��)�������������� ��&��������������������������6�����&�P: ��� ���#�������������������� �������.��#�� ��5�8����.��������&&&������ ����8���)����<$5������������7��)���#� ��� ��)�� ������8���� ��� �������������� ��&���� �� ��� �� ���� �� �����)��5� �� 8�� ��)��� � �� ���� ���� �� ������5� � ��)��� ���� �����������+��� �����������8����<�#�&�P: ���+�� ����<������8�$&��������5���)�������$��� ��������������� ������������ ��������� ��)��)�� ��#����5�.����� �����)��������������)��� �����#�� ��7�����&���������� ��� ��)��� ��� ������ �� 8�� �� �� 8���� ���L�� )���� ���� .� 8���� ���L�� 8��

���#����� �� �������� �� 8$�5�� (���)��� ��� ��� &� *���� �������� �� �� 8�� <)���

��������� ��� ���&�P: ,����������8��� �����8�������L�����#�� ������������L�&�

0�4��

��������� ��������B�

Denotemos por ��� el volumen de la rebanada i, así� )( ��� �0�� �

P: ���������������)���)��� ��� �)���������� ��������������*5� ����)���� ����� ��� ���� ��� �)����*����������� ��������B�

����

�0��0

1

)( �

P: ���� #����������� ��8����<���5����������+��)��������� �����#�� �����)�������� ������+�#� ��5��� ��8���<���������� ������&�� ���)���8����)������������������������ �� ��� ��� �)��7��*��� ����:�1�4L�203;&�P: ��������������� #����� ��� ���������� �����#�� ���)��� ����#����B���������� ��,������B�

Para aproximar ��� elegimos � ���� ��� ,1�� y consideramos el cilindro

Ci cuya altura es �� y cuya base es la sección transversal de Rri de S en ri.

���8�6���� ��������B��

P: '�$� ��)�� �� �� ���#�� � �� ��)���5� #�)��� ��� �� 5� �8�$� ��)��>�&� F$6��� 8��

���)��������6��������� �����������������)������ �� �����)��������������������� ��������B��

Esto sugiere que cuando �� tiende a cero )( ��0 es una buena

aproximación a )( ��� �0��

P: ¿*�+����� ���8��������������\�

0����

A3: *���������&&&�P:�*������ ���)�����������������������7�����&�P: �����)���)��<������������[��8�>������ ��� ������ ���8��������������\�A2: ��*��&�P: %��8��������8��������� ��� ������ ��� ����������������5�������� ��� ������������������ ���������5�������� �������������������G�)������� ��� �����&�F$6���8���� �#�+7��������6� ��� �����������.�������)���� ������+�#� ��5�8����G��������� #����� �������5��������� ���8��������������������������8�����������)+��� ��� ���&�P: *�����������������������8�B���������� ��������B�

�������0 ������ ������ ()( �

9�� ��� ������ �� ��� ( ��� ��� ��� ,���� ��� )( ��� �� ��� ���� �� ��� :� ��� �� �� 3�������

������������2�������������������� ������ ������+�� � �������-#-7-;-!�����

����

������

���

�0� �0

11

P: �����)���8�� ����)������)������ ������� ���5����� �����#�� �������.����� 7� �� 8���� ��7����� � �� 8���5� ������� �� ����� �� ��7������ �� �� 8�� ��8���� ���� ���8��������������&���������� ��������B�

9������+�)� *�� ��� �+����*� ��� ������� �� �� �� �� �� ��� � ���, ���� ��� �4�� �� �� ������ ����

'����+��( �������������������� ����� ������ )(�� -��������)�

���

�����0 )( �

�*��������� ����� ������ � �������� �������4���0�����P: -�������� ��)��� �� �� ��� ��$� � �� �)�5� .�� 8�� � � ���#�� � �� ��)���� �� � $)�����������)�������.��8�$���)��>����)��� � $)�����������)������&�

00���

P: %�������������������������������������8���������������8�� ���)�����#����� ���� � �+ �� �� � � �� �)�� �� ��� �� ���� �� � )��)�� �� �� ���#�� � ����)����.������������� ����� �����#�� ��������������+ �� ��&�P: '<���� ��� � �� ���� ��+� �� �� ��#�� � � 6� .&� %��� �������� ��������� �� ��+���<���������� ����� �6�.&�-�� ����)����������� ��5������)��������� ��� ������� ������B���������� ��������B�

Secciones perpendiculares transversales al eje y

*��*� ��� ������� �� �� �� �� �� ��� � �� , ��� ��� �4�� �� )(� � ��� ��� '����+�� ( ��� ��� �����

�����+��� ����� ���-��������������������� ��������B������������P: #�� ��� �)���8�������6������ �������� �.���)�����������.� ��������������������� ����� �6�.&������������ ��������B�

���

��0 )(

00���

Método del disco

�P: F$6��� ����� �������5� ��)��� �� 8�� ��+� �� �� ������&� �� ���� ���� �#���� �)���������.��#�� �7���8���5� �6�8���5�����8�����#�� ��5����.�8�����#�� ����&��������)�������#����� ������� �6�8���5���)��� ��� ������ �����<�5���������� ��������� �����&�'<��������� 8��������8��.��<�#���������������������� ������� ����[^�>���.��������\�P: ��.���������G����)������������.�)�������� ��7�#���� �����������6���5������ ������� �������������������������� ���8����.� �+����� ������������S� �+���� ��$��� �&�[*�+ ��� �+���������$��� �\��A3: ,����� �������� ���������&�P: ,������������ ����������)�.����5����������)�����)�� �������$�8�� �+����� ��������,����� �������� ����������.� ���������.��#�� �7���8���&���������� ��������B�*�,����0�������+�������� ������+������������������������P: *�����������������)��������������)��.���� �����6&�(���6���� ��������B�

�������������������������������������P: ���)���8�� ���������������� �����<��<�.������� �+����� ������:�9� �� ��������;&�'�$� �+����� ���������#�� ���,������������ ���������&�*�)�� ��� �)�����#�� �+�+����� ��������� ��� ����5�������� ��� �)����,������������ �������������<��<5������ ��7��)� ��� ��� �)������������5� ����)���� ����� �)����������� ��������5��� ��� �)������ ���&��������S�8������<� ��� ��� �)����� �

��0������0

2

).(

��

00���

)>������������e� ��� �)�����������#�� ��� �����#�� ������.�����,����� �������� ���������5����.����6�)���8�� ���������7���8���5��������8����+B���������� ��������B�

� ����

����0 2)(� �

P: * ���5�������� ��7�#������+���� ��� �6�.5���������� ��)��)�����#�� �������>�)������� �������� �.&���)�����<�������6) ��.�������)����.��������� ���)������&���������� ��������B�34�� �)�&��� ��������������������+�������� ��� ���� ����+������( ������� ��� �

���� �������������� ���� � (,��� � 82 � ������ ����� 2�� 5���� ������4�����P: �����<$���)��������� )���� ���� ���)������ ����� �)>������ ������&�[^�>���)���<������)��\�A4: %��#�+7���&�P: ,����8�>���)���8��<���� ��#�+7���&�A2: ,���������)���� ��� ���&�A4: ,���������� ��� �)�&�P: ?'6�A�*�)���� ��� ���5����������8�>&�A4: ( ��� �)�&�P: ['�8��>����)����������\���)��8����)�������� ��������� ����������8��<)����������[8�>\�A1: �����������������8�����������+�#� �&�P: �$5����8�� �� �)����A4: !���7������&�P: ,��� ����.����[8�>��\��9� ����� ��7�#�������������� ��������;��P: ��)�� 8�� ��)��� ��� �� ���� �� ��� ������ .� �� �� �)��� ��� �� �)�5� ���������������� ���#����8�� �����#���&���� ���� )����<�� ����8�� �+�����+��� ���)�����������.� ���7��������8�� �� �)����5���� ����)���8����)������������)��������#���5����� ��#��7���)��&�P:�*�)����)���.�� ���������� �#�� �����<��8�������� ����)�������������)��8�����#�� ���.�� �����������������<�&���������� ��������B�

00���

88

22 �� �)� �

P: �� �����<������)��>�� ��<��)������� ��� &�������)�������5���)�������� ��� ���5�����.��#�� �����[��+������ �8���\�A4: *��&�P: ,����.��#�� ����e����������S�,����.��#�� ����e�[*�+������ \�A1: *�����e���)���&�P: ,�������e�������������P: ,�����������[*�+������ \�A1: (��&�P: ����������)��� ��#�+7��������$B����8�6���� ��������B�

��

P: � ���� )������8�� �+����� �)��������[����\�A3: ��� ���)����������&�P: �������� ��� ��� �� ���� ��.���� �� ��S� ��� ����� ��� �#���� ������� � � 6� 8����[^�>� ����#�\� -�������� ��)��� � �� � ��<�� �� ��� �������� )+�� ������ ������#��7����� ����� ���������� ������������������#��)��������)������&�P: ��� ����)��� �� �#���� ��������8�>���.��� ���&��������8�� �������#�+7������������������� ������������5��������.�����)����������5���)��B�(���6���� ��������B�

000��

��P: � � �� ���� �� ��$5� ��� ����� ���5� �� ��� 8���� ���� 8�� .�� <�#�� ���� ���������������� ���.�����������������5� ��������� ������� ��������������� ��7�������.��#�� �7���8���5�������S� ��������������.��#�� ��� ����$���������������<��8���&�� ������� ���������+���������� ���8���&�'�$���� ������� �)>������������e���������� ��������B�

cúbicas Unidades16

024

0

2 4

8

8

22

2

2

0

2

0

2

2

0

2

��

���

���

���

��0

�P: F$6��� ����� 6) �� ��� �5� ���� �� )��)�� 7������5� ��� �������� ������� �� �������8�����#�� ����5� ���#���� �)���������.�� �����������#�� �����<��8����.�8�����#�� ��������� �������� �������8�����#�� ����&���������� ��������B�

001��

9������������ '����+�� � -� �������� ���� ��� ����� 2�� ��� ���+�� ��������� �

2y 82 �� �� ��(���6���� ��������B���������������P: ��)���������������#���5����8����+��<$5������������� �������8�����#�� �����[��)��8���� ��� ���\�[*�)���� ���)�#����\�A3: !����7��&�P:������������)������������[*�)�� ����\�:�9� �� ���#������ ��������;&&&��)������������ ������7����� ��)������&�A3: ?'6�A�'�$&�P:������ ������������)��������)��������8�6��� �����6�&�(���6���� ��������B�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

002��

P: ^�������5�)+����)���&&&��&&&����.��<�#���������������������� ������ 8�������5����6) ���8�$�:�9� �� �����������6������� ��7�#���;���#����������&�A3: ?'6�A�E���&&&�P: (�#�&�A3: E������8���������$&�P: [,���8�>\�A3: !��������8��������������$�:*��� ��)����<��� �#������������������������� ;������.&�P: -�5� 7$6��� �8�$� ���� ������� �� 8�>� �� ��� �����S� 8���� �#�� � �� ���&� !��� �������� ��� �6�8���&�A3: '�$&�P: F$6����<$� ��)��� ������5� ��������� ��� ����� ��� ����������+���������8�����������&&&�A2: E&�P: � ������� ��������<���������)������>�)������ �6�8���������� �6�.&�� ������� ��� [*�)�� �� � �����\� ���� ������ :�9� �� �� � ����6�� �� �� ������;� [*�)���� �� �)���������������\�A6: ��� �6�8���&�P: �G����5���#��8��8����������������:�9� ���� �����6�;&�'���������������8����������������� ���������������5��������[*�)����$�� ������\�P: ���������������������.�������8����[*�)��8���� ������\�A4: (��&�P: (��� )���� 8�>5� .�� ���)��� 8�� ��� �� ����� �� ���������� � [^�>� � ��)��� 8�������\�A5: ���������� �� $�����6�&�A3: E��#�� &&&�P: = ���>)������� �� 7��������<���5�������������������)����� �� �>�)�������8�>�6&�A4: � �6�8���&�P: ���7���������8���5�������������� ���)�����8������8���&���������� ��������B�

�� �� 2 ��

P: [^��>����8���\��#��� ��7�������8���� �� $�����6�&�

003��

A3: E�����������������<�&�P: ����8����8�� �������������)����.�� �����������������<�&���������� ��������B�

82

2� �� �

�P: F$6���8���8�$����)������ ������������������������ �������� ����� �6�8�� ���6�8������#�� ��&&&���������� ��������B�

��

�� )( �

P: '�$� ��� �)���������������������#�� ��� �����#�� �����)�����������.�������5���8�����)��������6��������� �6�.&�*�)���� �)>������������5� �+����� ��������,���[���8��>��)� �� ���)�����,�\�A3: (���)����.�� �����������������<�&�P: ��������8����$�S�,���������)����.�� �����������������<��� ��������������5���.&��������� ���7����7�������������� ��������B�

�0 ��

���

����

���

4

4

2

82� �

P: *�)�� � �� �)�� #������ ��� �� ��������� �� �� �#���� �� ���� �� ������� �� �)��)��#��������������)����������5��������������������B���������� ��������B�

���

����

���

���

����

���

4

0

2

4

0

2

822

82

�P: ����� )� ��) �7���� �� �� ������� �� �� ���#�� � [*�)�� �� ��� �� �� ��\� [^�>�����<���\�

004��

P: [^�>��� ������\���:������#��������������;�P: [^�>��� �������\�:������#��������;�A1: ����)���� ��.����8���&�P: -�5������6�)������� �������� �.&�[^�>�<��)��\�[N�.�� #������ ���7��)� ���8��������� �����������)��\�' #�������+�<���&�A2: (�6���.&�P: -�&�A6: ��) �7���)��&�P: [*�)�\�A4: �������� �� ���������&�A3: *�) �������������&�P: -�5��������� �� ����7������� ���������&���������� ��������B�

�� �

��

����

����

4

0

42

64242� �

P: [,���8�>������$���\�A3: %��)� �� ����������&�P: ��������������8��������� ������ ��<����������)��.�)��<���������������� �� ��� �����#�� ������������) �&�P: [^�>���<�����<$\�-�������)+����)�&�A2: %��7��)� ������ ����������� ���)��&&&�P: ���5� ��������� ����� �B� � � ��������� � � ��)��� )���� � ��� � �������� � ���)������ ��#�����)+�� ����������� ��#����&�A3: C�&&&6�&�P: F$6�����)�����>�����$��������� �����&�[*�+ ��� ����)��������������#�� \�A5: *������8���&�P: (���,������������.5����)��������6���������.�[^�>�)+�\�A5: �����.��� ��������������&�P: E� �����8����.��� ��������������\�A5: �$&&��&�P: E� �� ��)�&�A3: *����&�P: E��� �������������8�>5�)� �� �8��&�

00���

A3: �������������������&�� �,��7������������ ��������B�

5

256

0320

1024

6

64162

0

4

320642

53

!"

#$%

& ����

��� ���

���

����

����

P: ,����)�9��������������������#�����+ ��� ��� �)���������� ��������� �&�[����� ��8���������� ��������� �\�(���6���� ��������B�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������[*�+ �������� �)�\�����������������������������������������������������������������������������P:��������������)�9����8����)�������� �)>������ ���� �&�?N�����)�9���A����������������������������������������Reconstrucción de la quinta sexta de clase 14/02/08

P: ��� �� � ��� �� �.�� �����)��� ������ �� �)��� �� �� ����� �� ��� �����5� ��G ���� �� 8�� �� ��� �� ���� �� ��� ������ .� � )>����� � � ������ ���� � �+ �� �� ���� �)������� ���������� �����&�N�.5���)�������� �)>������� ������� ���� ���� �&��G�����������)>��������)�� ��� ���������� $��������8����� ����)�������5�8������������ ��� ������������� $�������5���)�������6) ��������� �&�P:��������8���)�����8�� $��)�������)��������� �)>������ ���� �&&&�E�� ���$� �� ������ 8�� ��������� ��)�� �� � �� �)�� �� ��� ��� �� �� ����� �&� [%��<������\�A1: -�&�A2: -�&�P: E�� �� ���$�5� ������� � �� �)�� �� ���� ����� �5� �� 7��)�� )�.� ��) � ��������� ����������������������7������������� 5�����7����������<���5������$��������������&�(���6���� ��������B���

01���

��P:� ,���� �� �� ��� ��� �� �)�5� ��������)��� � ������ 8�� ���#���� � ������ )�.��5�������� ��� �� �)�� �� ,�� ��� ��� ���� � � ��������� ��� <��<� .� � ����)��� ����������$��8����,������������� �������������<��<&���������� ��������B�

���

����02

21

22

21

��

��

�� �

P: '�$�8����$�� ��� �)��� ���� ����,����� ����7���������������� ���������5� �������)�.��5�)������������ �������������<��<&������� ��� �)��� ���� ��������� �5��� ��8�� ���$�8����������&�'<������)����������)��� ���)������������� ��������� �����&�'8�$��� ������������������8�)��8�� ������6��������8�� #����&&&��������#����� � ����8�������#������������� �6�8���&�^���������������#���&&&&�� �����6���� ���#����B������������P: ����8���)����������)��������� ������������� �&�[�$\�=�[-�\��������������������)��������)��6) �B���������� ��������B�34�� �)�3������ �����������������+�������� ������ �� ���� ������4������� ���+��

��������� � 32 �� �� y �

P: ¿*�)���������� ���������������\&&&��#�� ����� �������7�������&&&�� ������������������ �������7����������7��)��G $�������� �������� �������� &&&�

01���

A3: (�����&�� ���7������������ ��������&�����������������������������������������������������������������������������/��������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������P: '�$� �#�� ����� 8���� � � ����� �#�� � �� ��$�� ��������� �� 8���&� '� ��� ��� ���� 8��8������ ������)����8�����#�� ������5�8������) �����8�����#�� �������.�8�����#�� ����&����#�+7���&����8�6���� ��������B�

�P:� %� �����$5� ���� �������� ��� ��)������ � � �� � 8�� �)���� ��)��>�� <���� ��#�+7���&�� �+���8����)������������������9� ���� ����������� �����6�&�F$6����� �� #�+7���� �� 8���� � � ����5� 8�� ��+� ��������� ��� �� ������ ��6�� .� �� ���� 8����������� ����$�������������8���&�F$6��� ���#����8���������5��������)�������#)���� �� ��� �#���� .� �9� �� � �#)���� )������� �� �� 7�#���5� ��� �� ����� ���#)���5� ��� ������ � ��� �� 8�� ���#���&� %�� ��)�� �� ������ ��� �� �)��� �������� ������ �����)������� ��� �)��� ��� ���&�����8�6���� ��������B�

3

2

��

�)�3

2

��

�)�

@�+7���������� &�Qplot({sqrt(x),x^3},x=0..2, y=0..2);��

01���

P: F$6��� 8�� �� ����� �� 8�� ��+� �� ��� �� ���� ���� ���� ������&� � � ������ 8�� ������� �6�8����<����� �� $������5�8����+����������.��#�� �����$�������������8����.5� �8��������� �6�8����<����� �� $�����6��.�8����+���������.��#�� ���8���� � � ����&� �������� ��� ������� ���� �� ���� ��$�� ��������� �� 8���� .� ��� ����8���� � � ����&� [^�>� ���� � )>����� � � ��� �\&&&� ����� � +��� ��� �� ��� �#�� � �� �����#�� ���������.�������,�������$�������������8����� ���������5�)����8����� ������� ��������������5���8���&���������� ��������B�

����0 � !"

#$%

& ��1

0

232� �

P: *�)��,��������������������7������ �����#�� �.���)��B���������� ��������B��

0

1

72

72

1

0

6

���

����

���

�� ���

����

��

14

5

7

1

2

1

���

��� �� �

01���

P: ����� ��� �)��� ��� ��������� �����&�P: !�� �#����� 6) �� 8�� ��)��� �� <���� �� ������ ��� )��)�� �#���� ��� �<������������ �6�.&�P: [*�)������������8����$�� ��� ���5������������)��)���#������������ �6�.\�[*�)����$�\�A1: ��$��<�������� &�P: �������5��<��������8����$��������� ����������6�&����8�6���� ��������&�

�P: ^����$����$���)�� ����������������������5�������������� $8������� �&�'<�������.��<�#�����������8�$� :�9� ������� ��������� �� 7�#���������.������6�� ���� �;������������� ��������� �.������� ���� �6�.&�*�)����)����� �����6�������������� �6�.� �������� ������� ����+����>�)�������.5�� ���.&�%������������)��>����+�����>�)�������.5���8�� ��������������)�����8���&&&�'�$� �������)�.��5����������+���$�����������.�.� �)������+�.�� ���������&���������� ��������B�

22

31 �� �� y ��=���)��>�� 2

23

1

1 �� �� y �

�P: �����������)� �)�������������#�� �8����+� �����#�� ���������.�������,������������� ���������5����������8������ ����������&�A3: [,��8�>�8������7���\�P: '���5���.��� �����������)����.�� ���������� ������ ��������������5���.&��������<�� ���5� ���7���������$���� ��������B�

�0 � !!

"

#

$$

%

&���

����

��

1

0

222

31

� �

010��

�P: [*�)��8����$��������#�� ����>���� ����� ���������\�A2: E��� ������������&�P: E� ������&�A2: E��� ���������� ���7������������ ��������B�

��

5

20

5

1

5

3

0

1

55

3

0

1

5

3

5

53

5

535

1

0

432

�!"

#$%

& ����

��� ��

���

����

���

����

����

��

���

����

��� �

�P: '<$���)��>����)��� ��� �)�������� ���&�P: ���5����)��)���#���&&&��� �� ��)��6) ��8����)�����<���������8����������)������������6����� �����#�������8�� ����.������#����������8�����.�8���������.��������� ���)������&���������� ��������B���������� ���+�� � ��: ����� �� (����������� �������<���P: [*�)��8����$����� ������)������������ �������8�����#�� ���)�������\�[*�)�\����8�6���� ��������B�

011��

�P:�^����$��� #����$�.����<�#���������� ���� ����$�����:�9� ���� ��������;&�P: ����������.����������&�[*�+ ���$�� ����������\�A4: ��������&�P: F$6��5� ��������� �6�����������5� �������8�����#�� ����&�(��� �������� ������[*�+����)��� ����������\�P: (�)��������������<�.������������.��������� �� $�����6��������.��� ����������5�������� �������������)+��.��� ����������&�A3: E&&&�[���8�>\�P: "��������)�������������� ������������������.��������� �� $�����6����+���������.��� ����� �����5��<�������� �����&&&� �#�� &&&�����)��������������<�.������������.��������� �� $���������+���������8�����#�� �.�� ���������&���������� ��������B�

22

31

1

1

1

��

�� �

P: '�$�8�� ��� �)����#�������� �����#�� ���������.�������,����� �����������8��������)+��.��� ����������� ������ ����������)��������)+��.�� ����������� ��������������5���.&���������� ��������B�

�0 � !!

"

#

$$

%

&����

����

���

1

0

222

31

11� �

P: [^�>�<��$��������� �� ���������#�� \�A6: �������� ��� ������������&�

012��

P: ?'6�A�*��������� ���)���)+�� ���� ��������&&&������������ ��������B���

0

1

3

5

3

42

3

2

5

22

2121

35

34

35

1

0

32

31

24

1

0

4232

31

����

����

�����

����

�� �����

!"#

$%& ������

��

30

37

30

452012

2

3

3

2

5

2

05

3

2

3

3

2

5

1

���

��� ��

�!"#

$%& ���

!"

#$%

&��

��

��� �����

P: � ��� �)�����������.�����������������,�����������������&&&����&&&7$6��� ��8����)�����<�����<���&&&��

�����

Reconstrucción de la quinta séptima sesión de clase 20/02/08 �P: ?������ �$��A� ��)��� �� ���������� ���� �� 8�� ��+��)��� ������ �� � ��� �����B��� �)������� ����&�%����� �����8����)�����8�>��������&&&�A1:�%���7��&�

��� � ����� � � ��)�� ��� ���������� ��������� �����6����� ��� 6�������� .���� )��� 8�� � ���#��� � ��7���&� %��� ���������� �� ��.��� ���� ���)������� .� � ��7���� ������ ��� ������ �� ��� ���������� �� ��� �����5�)��<�������������� ��������� �����)������� ���7�D����� &�

013��

P: ,���[8�>��������� ��������\�A2: �� ���������� �����&�P: ¿*�)��������$������� ��������� �����\�A3: ' ������&�P: N�.���)���������� �)������� �����8�����������������+�������������5��� ����� � ����� ���� ��B� ��� ��������5� ��� ���+�#� �� �� ��� 8���� ����� 7�#���� �� +�����������&���������� ��������B�34�� �)� ��� ���������� '��� �� ����� �� ���� � (����� ��� ,���� ���� ���� �������� ���

' ���0���������� �� � �� �� �������������� ���� � ��,0 ��������4�� � -����,�������������� ������ ����,�������������+�� � ����� ��������4�� � � ���,�=�� ������&��� ��������������������� �>� ����

�P: �������� )�������)�.� � �������������8������7�#�����8����)��������������)��<�������&�F$6���������������)���������+)������������������.����� ����������������� �������� �6�8�������������.�<��<&�� �6�8������ �6��� ����+)��&�'�$� ��� ������� ����+)�����<��<&����<��)�������������������� ������ 8����������)��������������������&�* ����8����������������)������������ ��������� �� ��7���� ��)������ �� ���� .� � ���� ��+� )+�� 8�9�� ��� �������G�)�)��������&�P: [���+�� ���\�'<�������������������)�����������>�)�������8���5���&&&���+ ��� �+������������������������� ���8��.��������������)������ �����������8�� ��� �)�������������� �����#�� ���������.�<��<���'���8��������5���8���&���������� ��������B�

���

����00

)( �

014��

P: '���8������ �+����� ��������&� '<����8��� ��������)������� ���������� +��&&&� ����� �� ��)��� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��������&� *�)�� �� ������+)������������������������ �����������������)�����������)�9����)�����8��������)�����������<��<������)���.�������)�����<��<������&��������5����� ���� ����#�������������&�P: F$6������������8�$�� �6�8���5� �� �)�)���<��<�:�9� ���� ��������;�.� �

���� � � ��������� �� � 5� ������� .�� ���� ���� ��� � 8�� �� ����� <��<� ��

��#����� � � ���� �� ��������� �� 7������� �� �� �������� 8�� ����� �� ���� �� <��<��������#�� ��� ������������ ������������ ���� � 5�������S�

��������� ��������B�

����

��

��

�)� �

P: �������S� � ����� ����������)+��#����5��5�����<��<� ��� ���������������� �6�8�����������+��������5����#�� �� ��������� � ����� ����������)+��8�9�5��5� ���� �� ����� 8���� ����� ������ � � 6� 8���5� ��� [��+ � �� � +��� �� ����������\� :�9� �� � )+�� 8�9�;5� ��� � ���� �� �� [*�+ � �� � +��� �� ����������\�A4: �<&&& � ����� ���������&�P:�E����������������)���)���8�� � ��������������������#�� ����������<��<����8����[*�+ ������+��\�A4: �<&&&�P:�� �+��������������������� �����������#�� ������ ���������������<��<�� �������������8����� ���������&���������� ��������B�

22

22 �

��� � �

P: �$5��������.����)����� �� ��� ��� �)�5� ��� �)�����������#�� ��� �����#�� ���������.�<��<������ ��������������<��<�� �������������8����� ��������������5���8���&���������� ��������B�

�����0

�2

0

�� �

01���

P:�*� �� )���������#�� B�A4:�E� ��������������.�<��<&�P:�'<&&&���� ��������$5���������� ��������B�

��

�P: [*�)���� �� �)���������#�� \���� ��<����������� ��� ��[*�)�� ��<��$��\&&&���������� ��������B��

P:������� ��8���� � �����#�� 5���� ��8��)���<����)���� ���)��>�&�A3: ������7���&�P:������� �����#�� ����7�����5����8�����<� ��� ���7�������������8�����#�� ������������������#������.�<��<&�P: �������#�� ���8�>����#�� &&&�A5: '�8������ ��������������&�� ���7������������ ��������B�

03

3

2

2 ����

���

����

�� �

P:�������� �������������.�<��<5���� ���� ��)�����<��<������������ ���������������<��<�� �������������<��<�� ���������������.���� ���� ��)�������������������� ���������������<��<�� ������������������ ��������������&���������� ��������B�

3

0

3

3

2

23

2

2

���

��

�� �

P: ��� �������� �����#�� ����������#�� ����������������� �������������<��<&���������� ��������B�

��2

3

1� �

�����0�

2

02

2

��

Q�int((b^2/h^2)*x^2,x);�

02���

P: ����� ��� ��������� �)�5���)������+�� ��� ����� ��<��<�.��&�[^�>�������������������� ����\�-����������� #�&&&�A4:�,���� ��7��)� ��� �+�����������+�#� �&�P: ��� ��7��)� ��� ��� �)����������+)��&&&������������������� �+����� ��������� ��� ����&���������� ��������B�

������0 )(3

1� �

P: ��� ��� �)��������� ����8������������ �����5���)�����<��������5��� ��������.�<�#�� �����6���� ��������B�P: !�� ������������ ���� �� 7��)�� �� ��� �� ���� ��.�� ���� �� ��� ������ ����� ��� ������+)���� '5� �� .� �� ��#����� ���� �&� ���)��� � �� �)�� �� ��� �� ���� ��� ��������������������� ������� �����'5����������������&�(���6���� ��������B�

��������P: %�� 7�#���� �� )+�� �� )���� ��$5� ��+� �� �������5� �8���� �)�#�������5� �������������� ������������� ��5������� ���)����� ������+���$B�(���6���� ��������B�

�P: (� ��������+���)���������5� ����������8������� 8��������8����<�#���������������+������������&�'<������)���������� ���� )��8�� ������������� ���

02���

�� ��+)���� ���� �&� ��)��� �� <���� � #�� ������� �� �� 8�� <���)��� �� � ��� )���������&�����#�)���8������� ��������������8�$���+�'�.��8�$���+��&�(���6���� ��������B�

�P: ����� �)��� ����#�������������B� � ����� ����������)+��#�������������.���+����������� �������5� �)+��8�9������ ������.���+����������� ������8�� �)�)���8���&�'�$��������8�������#�� ���������������&���������� ��������B��

����

��

22

�)� �

P: %�#�� � +��� � � ��������� �� �� � � ��������5� �� ����� �� � � ��������� �#�� � ���������8����� ���������&���������� ��������B�

22 4�� � �P: �$�����5�[*�+ ��� ������\&&&*�)������ ��������������������5� ����������8����+������ ���+)���5������5���� ����)��������5�.� �8����+���8���5���� ���>� �� �)���&�'<���� #�)�����8����� 8��������� �6�8���� � ����� �����������������������������8���&�P: ��)������� ��� ��� �)�5����������#�� ��� �����#�� ���������.������&�[,���8�>\&&&���8�������)�������� ���+)����8��)��������&�[(�8��>�\&&&� �+����� �����S��������8������������������7����� ���8���&���������� ��������B�

���

���02

0

24 �

02���

P: *� �� )���������#�� 5���8�>����������#�� &�A3: %�#����)�&�P: ?^�� �#����)���<���A�A3: -�&&&-�&�A3: *������8������ ��������������&�P: *������8������ ��������������&���������� ��������B�

� �33

33

3

3

328

3

4

0)2(3

4

0

2

3

4

��

��

��

��

P: ����� ��� ���� ��� �)�&�������<����)��<���� ��������5� ���)����8��������)�����<����������� ��������&&&�P: =���������8����)���������<������ ��#�����������&���������� ��������B�

Longitud de arco P: ��� ������ 8����� )���� �� ��#����� �� ���� ������7�����&� [*�)�� ��<���\&&&�������&�A1:�,����������&�P: (���,����������&&&����,����������&�-����������)��>����)�����)���� ��#�������������������5�� ������� �����#�� ��7�����&����������� ��������B�

��� ��������������� ('�����������'����+��������� ������ '� �������������� � ���, &����

�������������������� ��,��������������������������� �����?��0�����@�������� ('�������

� &�

P: �������� 7$6��5� ��� ����� ����� ���� �8� ��� 7�������� ���������5� ��� ���)������� �� 8�� ��� �������� ��� ��������&� [,��� 8�>\&&&����� ��+���� ������������ ��������� ���������� �8� ��� ������ �� 8�� >���� ��� G���5� ��� �8������ ������)��������&&&� � <�<�� �� 8�� ��� �� �������� �� ��������� ��� G����� ���������&�

02���

� ���7������������ ��������B�

Para aproximar la longitud s del arco suave C Procedemos así:

"�4� ���:� +���������0���9���� ���� ('����������� '����+����������'��������� � ���, &�*��

������ �� ����������+�� ��� � ���, � ��� ��,���� ����� ���� ����� ��� ��������� ��������

�� &��

��

P:�F$6����<$���)��� ��#�+7���5�<��)��� ���������������� ������� ���5��� ����� ��7��� ����� ������ �� �� �����5� ��� ��� �� ��� ��)��� �� ����� ���� ���� $��� ����&&&�����#�)��� 8�� *� �� ��� ����� ����&� ,��)��� ������)��� �� ������� ���� 7��)� ������ )���� ��� ��#����� ��#������ �� 8�� <���� ��)���5� <��)��� ���� ��������� � ������� ���5��&�"����� ������������ ����� ��)��)�� ��#����&�'<$���)��� ��#�+7���5������ ����� �� ��)��� �� �)��� � ���L�� )���� ���� .� �� ��� � ���L�&� '� ����� ������8�������L��)��������.������8�������L�&�,����L��)���������� ���)�#����8�������L��)��������)������ ��7�������.��#�� �7���8����.�����L���� ���)�#����8�������L��)������7&��������L�&&&���������� ���������

*���/����� ����������� ('���� )(, �� ��� ��, ������ ��� �� ����������� �<��=����

���� �� ���

P: F$6���8��<�.����������� ����)��������� �������������.� ����)��������� ��� �#��� &�%��������������)�������G�)�� ��� ��� �#��� �� ��� �������&�'8�$�������)���� �����#�� �����)����)�������)�.������ ���)�������������� ���)+�����G�)������+� �������� ��� �#��� �� �������� �������&��������8��C �� �������� �������&���������� ��������B�

020��

A���� � � �� ������� ?���� ��� ��� 9@� ��� ��� ���+�� ��� ��� ��������)�

�� ���������� 143322110 ,...,,, � ��������� ������+�����*����9���)��

P:�,��)���������������)�� ����)������5����� �����G�)������� �������&&&��� ����)��������������#�� �����<��������� �������L��)�������5�����L�&&&���������� ��������B�

��

���

��� ��,

11 �������:�;�

P: !����� ����� ��)�� �� �� �� �� �� ��#����� ���� ���� ������ � � ���&� [*�)�������7������ ��������������������������� � ���\�[-���������\�A1: �8��������)����8�������&&&�<&&&�P: =�)6�����$&&&���������� ��������B�

2212

122121 )()(,),( ����������� ����� �

P: ����� 7��)� �� �� �� 8�� ���� ��� �� �)����� ���G�)��5� ��8�� �� � �#��� � ��+�7��)��������#)������������� ��#����&�'�$� �� ��#������ ��#)�����$�����&&&���������� ��������B�������������������������� �����)�

� 212

11 )( ��� ����� ������ �������� �

P: !������������� ����)��� ��� ���)������ ���������&&&�[,�����������8�$\�A2: ��&���������� ��������� ����)��� ��� ���)���&�P: � ����)��� ��� ���)��������8�����7�������������� ������� ��8�������L���5�8�������L���&���������G����� 7���� �8��7���8�������L����)����8�������L������ �#�� � �� 7� ��)�� �� � 7�� ��� 8���� ���L���� )���� 8���� ���L���&� ����� �����)��&&&���������� ��������B��

� ������� ��� �� ���� ���� ��� � .���� �� ��� '����+�� � � ��� � ��� �� ,1� � ��������� ���

�������������� �� ������������ ��������0��� 11 )(')( �� ��� ����� �������� �

���-�

021��

� �

Donde(2)

12

1

2

1

1

21

21

21

1

11

)('1

)()(1

)()(

)(')(

��

���

��

������

����

����

���

��

�����

���

����

����

��

��

������

�����

�����

��������

����������

��������

P: "�)���������������5��������.����������������)��B���������� ��������B�*�����������8#5����8�5����������0��)��

� � ��

����, ��� �

�1

2)('1 �

3������������������$������� � �����'����+�� � �2)('1 ���� ���� � ���, ���9�� '� ����

���������������������������������� ������������� ��������������������� �� ����*-�������

0��� ��3��,���������������'���������������*������ ��������9����)�

� � ���������,

�� �� �

��

�������

22 1)('1 �

3������������0������� �����������=����� � ���� ('������� )(�� � � � �� � � �����

� �� , ������(������������ �������� � ����,������������,������+������ �� , ����,�����)�

� � �������,

� �� ��

����

�����

22 1)('1 �

P: ��)�����<���� ���#�����6) ������ ����� �������)����.��������� ��� &���������� ��������B�&��� ���� � ��� �������� ��� � �� ��� ��� �������� � (,��� ����<�2,���� 8���0��� �� ���

������������� � (,��5� 23� � ���� �5,0 �

P: ����8�>��� ����)���8����)���8��<���&&&�A4: @��7����&�

022��

P: =P.�#��7�8�)��5��� ��� ����5��7����� ��7���������������� ���������

Q�f:=x->x^(3/2); P: ,����#��7�����������)��� ���)����� ���P:�<�#����������8����� ��)��� ��#�+7���&������������������5�8����)�����)����.��8��)����������� ��#����&�P: ,������ �� ��� �� ��#�������������&�P: '<���� ��)��� �� �� �� ��� ��� ��#����5� ���� �� �� ���� �� ���#�� � ���� �� .� �� ��7��)� �&������������[*�+������ ��\�[*�+������ ��\�A3:�*��&�P: ¿E��\�A5:�*����&�P: �������� �� ��������� 8��)��� <� ��� �� ��#����� �� �� ����&&&� ��)��� 8���������B������#�� ��� �����#�� ���������.��������� ����$�����������������)+�5� ��7�������8����)��5�[*�+ ��� ��7������\�P:� ����� �� �� �������� �� �� 7������� .� �#�� � �� 8���� �� �� ���� )���� [*�+ � �� ���������\�A1: "���)���&�P: [*�+ ��� ���������\���� ��<��)������� ��� 5������������� ���� ���)�������77�:��;5������)�.����� ��[*�+ ��� ���������\�P: �>��[*�+ ��� ���������\�A4: "���)������8���&&&�P:�%��8���� �������8�>&�A3: '����)���&�P: =P.5���$���)��� �����#�� ���������.��������� ����$�����������������)����.� ��)�� 8�� �� ���� )���� �� 8���� �� �� ��� )���5� ����� � � ��������&&&� [*�)��8���� �����#�� \���������� ��������B�

�����, � � ���

����

�����

5

0

5

0

2

21

2

2

31'1 �

A5: ��)� �� �������)����������&&&�P: E���)��8���&&&���������� ��������B�

023��

� ��5

04

91 ���, �

P:�*�)��<��)��� �����#�� 5� ������<�������� ��� &����)�.����� �&&&���������)������������ &�[*�+ ��� ���)���\�A2: ��<������#�� �������)+����������������8���&&&�.��5������&&&�A1: -���������������5����&�� ���7������������ ��������B�

2

39

4 23

21 ���� �� �

P: ��� ��)��&���������� ��������B�

27

3351

4

49

27

8

14

451

27

8

0.4

915.

4

91

27

8

3

33

33

�!!

"

#

$$

%

&��

��

����

!!

"

#

$$

%

&��

��

��� ��

!!

"

#

$$

%

&���

��� ���

��

��� ��

�P: ����� ����� �� ��#��������������*��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

,����)����<������ ������������������ ����������������� ����6����� �����������������������������������&���� ����������������� �������� ����������������������������� ����������� �����#�� ��7�����&�

Reconstrucción de una parte de la novena y última sesión de clase 27/02/08

�������� ������� �������������6) ���8��8���������#���������.�8���)����+���������������� ���������������)�)���&�

024��

P: E��<)��������������������8�� ��7��� �����8������ ����9������ ��+ �� �����#�� ��� ������������>��������� ������� ������ )����������������������&���� � )����� � 8�� �� ���#�>5� ��)��� ���� ����$�� �� 6�������� .� ��� )��� 8��������� ��� ����� ������� �� ���#�� ��7�����&�%���� ������� 7��� �8����)��������� ��� �� ��� �� ���� �� 6�������� .� ��� )��5� �� <��)��� �� ��� ����������� .�������� ����� ���)������&�P: [^�>�6������������ )��8�������� ��\�A1: � ���)��&�P: %>�� ����)���� �6����������B�*� �� �� �+����� ���#������)���������� ��#�+7������ ��������

��� cos)( � 5� � � ��� ������� ��� ��,0 �

P: [^�>������<������)��\�A1: %��#�+7���&�P: N�#��� ��#�+7����A2: !���������+��� ��������������� �6�.�.��������)���� �����#������&�P: [�������\�A3: N�.� 8�� <���� ���� ���#�� �� ���� ���� ���� .� �� )���� .� �� ����� ���� ��� ��#���)����� ����������)����.��&�� ���7�������8�6���� ��������B�

�P: [*�)���� �����#�� ��� ������#�� �\�A4: ���������.���)��������������8����)����������)����.�����)��>������������8���&�P: ����.��������� ��������B�

02���

� ���2

02

coscos

� �

�������� �

P: *� �� ���������#�� �&�[*�+ ��� �����#�� �� ������\�A1: ���&�A2:���������&�P: -�������&���������� ��������&�

� �� �

2

1001

2)()0(

2

20

2

�����

����

��

���

���

������������

���������

�P: ���8��)��<���.�� ��<��$���<�<������ ��� &���)�������� ����������� )��[*�+ �8�����<���\�A2: � ����&�P: � ������������#������������ >�� ��.���� ���5� ��)��>������������������ ��� � ���� 7�������� ���� ���� �������$������5� ��� #��7����� .� ��8��� �������� ������&�

%�� �#����� ���� ���B� *���� �� y ��� '�������� ��������� ��� � ���, � ���

)()( ���� �� ��� ������ ���� ����� B9+����� ���� ( ������� ���� �������0���������

����� ������ �� ��������4�� � ���� ������,C�A3: [��� #� �� 8���� �� 8���� � � ��������5� ������� 7� �� 8���� �� )���� 8������������\�P: �G��������8�����7$� ������� ��� �.� ���#��7����&�� ����������<��� ����#�����.�)��<�����������)��>�� ��<���B����

03���

���������������

P: (���������� ��8��<�������[*�)������ ���+���\�A3:� #�� �&�A2: #�� �&�P: � � �� ��� ��)>����� � � +��� �� ��� ���� �#����� �� � )��)�� .� ��� ����+� ������� 8���������7�����������������������$������&�P: ^�����8��<�#�)����<���� ����&�?%>�� �A�A5: ������������� �������#� �������G1��)����&���8����������������� ���������+�����4���)��.� �������6�� ����)�����6���$�&�%���#����8���������������������� ������ ���� 7��)�� �� ��+�� �� ��)�� �� ������� �� 7�#���&� [^�>� ��+�� �� ��)���������\�P: [*�)�� ����)������ ��\�A2: ,��� �)>���������)���&�P:�-�� �����#�� � ����)�������� ������ ������� �"��)��F����)��� ���*+ �� �&�(���6���� ��������� ��7�#����8��������� ��#�$�B�

Q�g:=x->x^2;f:=x->-x^2;� := � ���� �2

:= � ���� ��2

Q�plot({f(x),g(x)},x=0..10);�

Q

03���

P: ,��� ������,���������������.�������������������� ��>������� ����+�� �&����)��� 8�� ���� ��+�� �� �� ��� �������� ��)�� �5� 8���� � � ��������5� )+�� �5�8����)+����.� ��>���������������������>�)������ �����7������&���������� ��������B�

���� ��� 2 �*���= �������)� )( ,0 �P: ¿� ��>�������8�>����#�� \�A7: '5���.��&�A2: ��.��&�P: [*�+ ��� ��>����\���������� ��������B�

500)50,0( �*�) �0 �

P: ¿�������� �� ��+�� �� �\&&&������� 8�� ��)��� 8�� ���)����� �� ��+�� �&�[^�>� ��+�� �� ��)��� ������� ���� �� ����� ��� �� ������ ��)�� ���� ���\�*����)�����.���[*�)������8����$�� ���������\�A2: E��#�� ��5������8�������������)+�&&&���&�A1: E��#�� ��5������8�������������)+����������&�P: ���&���������� ��������B�

502 �� �� �

P: ������ ����+�� �5����7� ���������� ��� ������&�[*�)������)���)����\�[^�>����������������)��\�A3: � �+���8������<��������P: [*�)����������� ��������������<� ����\�A4: %�����#�� ���������.���������&�P:�����)��������6�������7�������� �6�G�A3: %�� ���#�� � ���� ���� .� ���� �� �� ��� 8���� ��������� )+�� ��������� �� �#�� � ����<�������&�P: [,���8�>\�A3: %�����#�� �������� �+����� ���#����8��.�����)���8������<�������&�P: ��.����5���������� �� �)��� �����#�� �.���6�)����&���������� ��������B�

03���

��

��10

10

2 80050 ���� �

P: [*�)�� ����6�)��\�A5: '�8����� ����������� ���5�)+�����������8���� �#�� �����<�������&�'��������� ���7����'1��������� ��������B�

80010

1050

3

3

��

� ��� �

P: %���� ��)��&��A5:�*��������.��������� ��������B�

10

3

6002000

2400300002000

8003

30002000

80010003

2000

8005003

1000500

3

1000

��

����

��

��

����

��� ����

��

��� �

��

��

P: ����8���������8�� ����+�� ��8����)�����������&&&�A5: E��#�� ���)��������������������8�������������)+����������&�� ���7������������ ��������B�

5010

3 2 ��� � �

���

� � ��7���� ���6����)��� ���� ��� ���������� �� ���� ������ �� � ��5���� ������)��<���������6���������������� �����)����� ����)����������$�� �� �6�������� .� ,��� )��5� 8������� �� ��� #���������� ���� ���������������� ���������������&�

03���

������������

Anexos H

030��

031��

�������

��

032��

033��

�����

034��

03���

04���

���

04���

04���

�����

04���

����

040��

ANEXO I

041��

042��

043��