relatório - estruturas i ufu - treliças

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Curso de Graduação em Engenharia AeronáuticaLaboratório de Mecânica de Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis

RELATÓRIO DA SEGUNDA AULA PRÁTICA DA DISCIPLINA ESTRUTURAS DE AERONAVES I (FEMEC43050)

Determinações de Deslocamentos e Tensões em Treliças

Planas

Prof. Thiago Augusto Machado Guimarães, Prof. Antonio Marcos Gonçalves de Lima, Prof. Domingos Alves Rade e Profa. Núbia dos

Santos Saad

Ademar Nunes do Vale (11121EAR001)

Alexandre Felipe Medina Corrêa (11021EAR001)

Uberlândia, Janeiro de 2014.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Curso de Graduação em Engenharia AeronáuticaLaboratório de Mecânica de Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis

RELATÓRIO DA TERCEIRA AULA PRÁTICA DA DISCIPLINA ESTRUTURAS DE AERONAVES I (FEMEC43050)

Determinações de deslocamentos e tensões em treliças planas

Prof. Thiago Augusto Machado Guimarães, Prof. Antonio Marcos Gonçalves de Lima, Prof. Domingos Alves Rade e Profa. Núbia dos

Santos Saad

Relatório realizado por alunos do Curso

de Graduação em Engenharia

Aeronáutica da Universidade Federal

de Uberlândia, referente à disciplina

Estruturas de Aeronaves I.

Uberlândia, Janeiro de 2014.

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Sumário1.Introdução..............................................................................................................................4

2. Objetivos................................................................................................................................6

3. Descrição dos Equipamentos.............................................................................................7

4. Fundamentação Teórica.....................................................................................................9

3.1. Fundamentação da Análise Matricial de Estruturas..........................................................9

3.2. Análise estática de sistemas mecânicos formados por barras em solicitação axial...........9

3.3. Análise estática de Treliças Planas...................................................................................13

5. Aplicação Teórica: Sistemas de Barras...........................................................................16

6. Descrição do Experimento – Deslocamentos e Deformações em Treliças Planas. .20

7. Apresentação de Dados e Cálculos..................................................................................22

7.1. Relação Força vs. Deformação Experimental..................................................................22

7.2. Relação Força vs. Deslocamento Nodal Experimental.....................................................24

7.3. Análise Estática de Treliça Plana para o Experimento.....................................................25

7.4. Comparação de Métodos para Carga Hipotética de 100 [N]...........................................27

8. Conclusões...........................................................................................................................29

9. Referências Bibliográficas................................................................................................30

9.1. Bibliografia...................................................................................................................30

9.2. Sítios Eletrônicos.........................................................................................................30

9.3. Figuras e Imagens.......................................................................................................30

ANEXO I – Rotina Matlab® Barras.m..........................................................................................31

ANEXO II – Rotina Matlab® Trelica.m.........................................................................................33

ANEXO III - Planilha Excel..........................................................................................................36

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1.Introdução

Para um maior entendimento da reposta de uma estrutura aeronáutica sob esforços em diferentes direções, a segunda aula prática em Estruturas Aeronáuticas I visou o estudo das deformaçoes e deslocamentos nodais em treliça tridimensional sob esforço. Foram realizadas as mediçoes de deformação e deslocamentos nodais causados por esforços numa estrutura em treliça, e então verificados os cálculos teóricos em modelo numéricos para as dadas cargas, de modo a verificar a validade o modelo utilizado ao se comparar os desvios entre experimentação e aplicação teórica. O estudo do comportamento de treliças sob carga é de suma importância, visando o fato de a fuselagem e asas de uma aeronave serem uma aplicação estrutural de treliças.

Forças externas a uma treliça e as reações a tais forças são consideradas a agir somente nos nós da estrutura, e tais forças resultam apenas em esforços de compressão ou tração em no elementos de treliça, o que a torna essencial na manutenção da forma da estrutura. Tal vantagem é amplamente aplicada em aeronaves, desde a primeira aeronave, o 14 Bis de Santos Dumont, em 1906.

Figura 1.1 – (a) Cartão Postal Francês (1⁰ Voo 14Bis); (b) Planificação 14Bis – Vista Lateral.

Desde as duas Grandes Guerras, houve um grande desenvolvimento da estrutura de asas e fuselagens, passando por frames de estrutura tubular (1ᵃ Guerra Mundial), estrutura monocoque (Pré - 2ᵃ Guerra Mundial) e semi-monocoque (Pós - 2ᵃ Guerra Mundial), porém, tais estruturas sempre mantiveram algo em comum: um estrutura em treliça, de modo que apenas os materiais e a forma de montagem (tipos de elementos de treliça) foram alterados ao longo dos anos.

Figura 1.2 – (a) Estrutura em Treliça Semi-monocoque Boeing 747; (b) Estrutura de asa De HavillandDH.60 Moth.

Além disso, a teoria de deformações em treliças é aplicada em várias outros elementos estruturais, como por exemplo: Na famosa torre Eiffel, torre de linhas de transmissão de energia, tesoura em telhados, guindastes, pontes, montanhas russas e no algar onde é fabricado o gigantesco Airbus de dois andares.

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Figura 1.3 – (a) Torre de linha de transmissão de energia elétrica; (b) Estrutura de uma Montanha Russa; (c) Hangar de fabricação do Airbus A380; (d) Estrutura de Telhado em Tesoura.

O entendimento de seu comportamento é essencial para um engenheiro de estruturas, que terá como responsabilidade o dimensionalmento seguro destas estruturas e a garantia de seu funcionamento sob ótima eficiência. Para a garantia de que nem a fuselagem ou a asa de uma aeronave, nem todos os componentes estruturais citados irão falhar à deformação, é necessário realizar análises e testes para o estudo do comportamento destes sob carga e assim determinar a margem de segurança de deformação evitando o uso indevido. Para isso, o estudo de deformações em treliças é crucial em um curso de engenharia visto a gama de aplicações onde elas são empregadas.

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2. Objetivos

Pretende-se com a realização do segundo laboratório da disciplina de Estruturas Aeronaves I, obter conhecimentos acerca de métodos de análise matricial de estruturas desenvolvidos em sistemas formados por barras em solicitação axial em treliças planas. Almeja-se também, determinar experimentalmente os deslocamentos e as deformações em uma treliça ensaiada em laboratório.

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3. Descrição dos Equipamentos

Para a realização do experimento, são necessários equipamentos para aplicação de força na treliça e também equipamentos para aquisição de dados pertinentes para os futuros cálculos.

O objeto de análise trata-se de uma treliça tridimensional, formada por tubos de alumínio conectados através de rótulas e apoiadda através de quatro apoios fixos. Cada barra da treliça garante apenas um movimento unidirecional, em teoria, na direção axial. Além disso, a montagem garante que as forças aplicadas em cada barra coincide com sua direção axial, logo são desconsidarados momentos fletores nas mesmas.

Figura 3.1 – Treliça Tridimensional montada com antenas de alumínio.

A seguir pode-se conferir a montagem dos apoios e dos pontos de conexão das barras (rótulas de fixação), garantindo que a força aplicada seja na direção axial de cada barra.

Figura 3.2 – Engastes (a) e Rótula de Fixação (b) da estrutura da treliça na mesa de fixação.

Para aplicação da força no sistema, usa-se um suporte de massas e são aplicadas massas conhecidas e calibradas, de modo a se conhecer a força aplicada e relacioná-la com a deformação das barras da treliça.

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Figura 3.2 – Suporte de massas com aplicação de massas calibradas para gerar a força no sistema.

Para aquisição direta da deformação, são necessários três extensômetros elétricos produzidos pela Excel Sensores, modelo PA-13-062BA-120L), para medição da deformação através da conversão da informação variação de comprimento em variação de resistência elétrica. Para que se garanta a melhor leitura de tal variação, deve-se fazer boa colagem do sensor na peça a ser analisada, evitando contaminação do local, de modo que ambos peça e sensor sofram mesma deformação mecânica.

Figura 3.3 – Extensômetro Elétrico aplicado a uma das barras de interesse para medição de deformação.

Para leitura dos dados obtidos através dos extensômetros análise dos mesmos, utiliza-se o equipamento de aquisição de dados ADS-2000, produzido pela Lynx Tecnologia Eletrônica. E para leitura do deslocamento vertical de nós, faz-se uso do relógio comparador, produzido pela Mitutoyo. O mesmo é apoiado na bancada experimental através de fixadores magnéticos, o que garante que o relógio comparador estará fixo na mesa, garantindo a precisão de sua medida.

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4. Fundamentação Teórica

3.1. Fundamentação da Análise Matricial de EstruturasA Análise Matricial de Estruturas é um aglomerado de procedimentos desenvolvidos

para a resolução de problemas estruturais que, baseados a partir da teoria de vetores e matrizes, é utilizado proveitosamente em computadores digitais.

Considerando sistemas estruturais em equilíbrio, as relações de vetores e matrizes representando o comportamento estático podem ser adquiridas de duas formas principais, que são:

1) Podem-se aplicar, diretamente, as condições de equilíbrio e as relações entre forças/momentos e deslocamentos/rotações.

2) Pode-se também aplicar os conhecidos Princípios Variacionais, que fundamentam os métodos de análise estrutural baseados em energia, especialmente o Princípio da Energia Potencial Estacionária.

Adiante, o primeiro processo será utilizado para descobrir as relações vetoriais-matriciais para sistemas formados por barras sujeitas a solicitações axiais.

3.2. Análise estática de sistemas mecânicos formados por barras em solicitação axial.

Adota-se agora, um caso particular de um sistema de barras tensionadas axialmente, assim como evidenciado na figura 3.2.1, no qual cada setor possui um comprimento Li, área

de seção transversal Ai e modulo de elasticidade Ei específicos. Cada setor é delimitado pelos

seus nós, onde atuam as forças axiais f i e que devido ao carregamento se desloquem na

direção axial de uma quantidade ui.

Tem-se então a necessidade de descobrir os deslocamentos axiais ui a partir de

diferentes valores para as forças f i.

Figura 3.2.1 - representação esquemática de uma barra solicitada axialmente.

Dando sequência na análise, será agora realizado um desenvolvimento em apenas um único setor isolado dos demais, examinando a relação da força f i aplicada em cada nó de suas

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extremidades e as respectivas deformações axiais ui. Para diferenciar as forças atuantes na esquerda e na direita assim como os deslocamentos de cada lado, serão utilizados os índices E

para esquerda e D para direita. Assim, uiE e ui

D representam os deslocamentos dos nós, e f iE e

f iD representam as forças aplicadas nestes nós pelos elementos vizinhos.

Figura 3.2.2 - Elemento isolado de uma barra submetida a forças aplicadas em seus nós.

Considerando que todo o conjunto de segmentos está em equilíbrio, pode-se afirmar que um único segmento isolado assim também está dessa forma:

f iD= −f i

E (3.1)

De acordo com a lei de Hooke, pode-se afirmar que em uma barra submetida a tensões normais axiais, sua deformação será proporcional à força aplicada, logo seu alongamento também será proporcional a esta mesma força. Deste modo:

f iE=

−E i A i

Li(ui

D−u iE ) (3.2)

f iD=

E i A i

Li(ui

D−u iE ) (3.3)

Essas duas equações podem ser representadas na forma matricial:

(3.4)Onde a matriz quadrada representa a matriz de rigidez da barra no elemento isolado,

sendo possível a mesma análise para qualquer setor da barra.

Depois de feita a análise em nível elementar, se torna necessário examinar a barra como um todo, ou seja, em nível global. Para isso, devem-se verificar as condições de equilíbrio e de continuidade de deslocamento nos nós intermediários. Para tal análise, será

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primeiramente feito o estudo para dois elementos interligados e depois estendido para os quatro elementos.

Figura 3.2.3 - Associação de dois elementos finitos por um nó.

Examinando a figura acima e baseando nas condições de equilíbrio e de compatibilidade de deslocamentos em um nó, pode-se deduzir que:

(3.5)(3.6)

(3.7) (3.8)

Utilizando a equação matricial (3.4) para os dois elementos e partindo das condições acima, obtém-se a seguinte relação matricial:

(3.9)

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A equação matricial acima é referente à apenas dois elementos interligados, contudo, para analisar o sistema de barras da figura 3.2.1, faz-se necessário fazer esse procedimento sucessivamente para a conexão dos elementosi=3 e i=4 com base nas ilustrações da figura 3.2.4.

Figura 3.2.4 - Passo a passo das análises elementares para o sistema de barras.

Deste modo, a seguinte relação matricial, envolvendo os deslocamentos e as forças aplicadas nos cinco nós, é obtida:

(3.10)Como a matriz de rigidez da equação matricial acima é singular deve-se fazer ajustes

levando em conta as restrições cinemáticas para que haja solução. Para isso, considera-se, na figura 3.2.1, que u1 ¿0 em virtude do engastamento presente. Desta forma, podemos representar o sistema da equação (3.10) seguinte maneira:

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(3.11)A partir das duas equações acima, é plausível calcular os valores dos deslocamentos

nodais e a força de reação aplicada na barra pelo engastamento. De posse dos valores dos deslocamentos, podem-se obter os valores das deformações e das tensões em cada elemento de barra a partir dos fundamentos de mecânica dos sólidos:

(3.12) (3.13)

3.3. Análise estática de Treliças PlanasSabe-se que uma treliça é um componente estrutural composto por várias barras

conectadas por rótulas perfeitas, de modo que cada barra seja tensionada apenas em seu sentido axial. Desta forma, fica evidente que o tratamento realizado para um sistema de barras solicitadas axialmente na seção anterior, pode ser utilizada para cada barra isolada de uma treliça. A diferença de maior relevância entre a análise anterior e a atual é que ao estudar treliças as barras não necessariamente apresentam a mesma direção.

Figura 3.3.1 - Esquema de uma treliça evidenciando as diferentes direções de seu conjunto de barra.

Para calcular a deformação em uma treliça causada pela aplicação de uma força, primeiro é fundamental analisar a relação força-deformação para um elemento genérico, finito e isolado, levando em conta a sua orientação. Posteriormente, generaliza-se a partir desse elemento para a treliça completa, baseando-se nas condições de equilíbrio de forças e de compatibilidade dos deslocamentos dos nós.

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Considera-se a figura 3.3.2, que mostra uma barra genérica i, orientada segundo um ângulo α i, cujas propriedades relevantes são: comprimentoL, área da seção transversal Ai e

modulo de elasticidade Ei. Para cada elemento, definimos dois sistemas de referência global X– Y , comum a todos os elementos; e um sistema de referência x-y , cuja orientação da barra, sendo x orientado em sua direção longitudinal.

Figura 3.3.2 - Barra genérica i.

É possível verificar que cada nó apresenta dois graus de liberdade, isso porque de acordo com a figura acima, cada nó apresenta duas componentes de deslocamento nas direções X e Y . Além disso, as forças são aplicadas no sentido da barra. Assim, para a barra genérica, tem-se a seguinte equação matricial:

(3.14)Mostrando em termos de coordenadas globais:

(3.15)Na forma matricial compacta:

(3.16)14

Onde:

(3.17)Introduzindo (3.14) em (3.17) e efetuando pequenos artifícios matemáticos chega-se

na seguinte forma matricial:

(3.18)Onde é a matriz de rigidez elementar da barra de treliça é dada por:

(3.19)De posse da expressão geral da matriz de rigidez para um elemento de barra

genérica, basta impor as condições de contorno para o cálculo das forças de reação, dos deslocamentos nodais, das deformações e das tensões.

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5. Aplicação Teórica: Sistemas de Barras

Considerando um sistema formado por barras conectadas entre si e engastadas em suas extremidades, é possível, sendo conhecidos seus módulos de elasticidade, área transversal, comprimento e força aplicadas, calcular os deslocamentos em cada uma das barras do sistema, e também conhecer as reações de apoio.

Figura 5.1 – Sistemas de Barras sob solicitação axial.

Ao observar o que fora apresentado na análise de sistemas mecânicos formados por barras em solicitação axial, no item 4 deste relatório, é possível notar que, para cada nó do sistema, pode se ter uma relação entre forças e deslocamentos, e também a interação entre o nó e seus adjacentes. Essa relação obedece a Lei de Hooke, de forma que:

[ K ] [U ]=[F ] (5.1)Onde temos as matrizes de rigidez, deslocamento nodais e forças nodais em nível

global, respectivamente. Para solução desse sistema de equações matriciais, deve-se, como visto anteriormente, considerar que nas extremidade, ou seja, no nó 1, o deslocamento é zero, u1=0. Desse modo, a força do nó será dada pela expressão:

f 1=−E1 A1

L1u2(5.2)

A partir dos deslocamentos calculados utilizando a condição de contorno acima e o sistema de matricial, pode-se obter os valores das deformações e das tensões em cada elemento de barra, segundo as opeçãoes definidas na tabela a seguir:

Tabela 5.1 – Operações para cálculo de Deformações e Tensões Normais em cada Elemento.

A partir dessas operações é possível escrever uma rotina computacional que, a partir do número de nós; do módulo de elasticidade; áreas; comprimento de barras; forças aplicadas nos elementos e das devidas condições de contorno, consiga calcular os deslocamentos e

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forças de apoio no sistema. E a partir desses dados utilizar as operações da tabelas 5.1 para cálculo de deformações e tensões normais.

Utilizando a rotina barras.m, desenvolvida no Laboratório de Mecânica de Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis, é possível fazer tal cálculo, conforme será aplicado nos casos a seguir.

Pode-se considerar o seguinte sistema:

Figura 5.2 – Sistema de 4 Barras, engastado nas duas extremidades.

Dados os valores a seguir, pode-se utilizá-los na construção da matriz de rigidez, e então resolução do sistema matricial.

Figura 5.3 – Dados para resolução do Sistema Matricial.

Pode-se calcular a constante de rigidez por:

K= E∗AL

(5.3)

Partindo disto, os valores que serão inseridos na matriz de rigidez para o sistema dado pode ser calculada por:

[ K g ]=[ EAL

2EAL

EA4 L

2 EAL ](5.4 )

Onde sabemos que os nós 1 e 5 estão engastados, logo, pode-se calcular a partir das condições de contorno (u1=0∧u5=0),as forças de reação para este sistema como:

f 1=−E1 A1

L1u2=K1u2∧f 5=

−E5 A5

L5u4 (5.5)

Utilizando essas informações na rotina barras.m no software comercial Matlab®, obtem-se os seguintes resultados:

Tabela 5.2 – Deslocamentos e Reações de Apoio em cada Nó do Sistema I.

Nó Deslocamento [x10E-4 m]

Reações de Apoio [N]

1 0 -55002 0,1048 3000

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3 0,1286 30004 0,0905 90005 0 -9500

Como esperado, como o sistema está em equilibrio estático, logo, o somatório das forças de reações nos nós é nula. O deslocamento total, dado pela soma dos deslocamentos dos nós internos, é dado por:

δT=∑i=2

n−1

δi=3,2390E-5 [m ](5.6)

As tensões normais em cada barra pode ser calculada conforme tabela 6.4.1, de modo que é obtido como resultado os seguintes valores:

Tabela 5.3 – Cálculo das Tensões Normais em cada barra para Sistema I.

BarraCompriment

o [m]Modulo de

Elasticidade [N/m^2]

Tensão Normal [N/m^2]

1 0,2 2,10E+11 1.10E+072 0,2 4,20E+11 5.00E+063 0,4 2,10E+11 -2.00E+064 0,3 6,30E+11 -1.90E+07

Também é possível realizar tal cálculo, utilizando-se do mesmo método para cálculo dos deslocamentos e das tensões normais em um sistema em que se possui apenas o deslocamento resultante em um dos nós do sistema, conforme demostrado no diagrama a seguir:

Figure 5.4 - Sistema de 4 Barras, engastado nas duas extremidades.

A partir dessas informações e também dos dados contidos na figura 5.3, pode-se calcular a constante de rigidez e aplicar as condições de contorno, onde notamos que não há

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deslocamento no nó 1, e ocorre deslocamento de 0.02m no nó 5. Desta forma, a matriz global de deslocamentos seria dada por:

[U g ]T= [0 u2 u3 u4 0,02 ](5.7)Assim, calcula-se o deslocamento nos nós, que podem ser constatados na seguinte

tabela:

Tabela 5.4 - Cálculo do Deslocamento em cada nó do Sistema.

Nó Deslocamento [m]

1 0.00002 0.00333 0.00504 0.01835 0.0200

Também é possível calcular as reações de apoio nos nós engastados, nós 1 e 5:

Tabela 5.5 – Cálculo das Reações de Apoio nas Extremidades.

Nó Reações de Apoio [N]

1 -1.75E+065 1.75E+06

Novamente, cumprindo com o esperado para equilíbrio físico na direção axial, o somatório de forças é nulo. Então, a partir dos dados calculados para deslocamentos e também do comprimento e módulo de elasticidades de cada barra, pode-se calcular também as tensões normais resultantes em cada barra, conforme também calculado anteriormente, fazendo uso da equações pertencentes à tabela 5.1.

Tabela 5.6 – Cálculo das Tensões Normais em cada barra para Sistema II.

BarraCompriment

o [m]Modulo de

Elasticidade [N/m^2]

Tensão Normal [N/m^2]

1 0.2 2.10E+11 3.47E+092 0.2 4.20E+11 3.57E+093 0.4 2.10E+11 6.98E+094 0.3 6.30E+11 3.57E+09

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6. Descrição do Experimento – Deslocamentos e Deformações em Treliças Planas

A treliça de alumínio fora ensaiada em ambiente com temperatura controlada para garantir que as medições realizadas estejam sob mesmas condições. O experimento consiste na aplicação de massas em um suporte na parte central da treliça, de modo a aplicar diferentes níveis de força ‘P’. Para cada valor de força aplicado são medidos as deformações de três nós (1,4,7) conforme a esquematização a seguir. Também é medido o deslocamento vertical do nó 4 para cada nível de força.

Antes da execução do procedimento de laboratório, são aderidos à estrutura três extensômetros elétricos de resistência fabricados pela Excel Sensores (modelo PA-13-250BA-120L) nos nós de interesse, procedimento previamente realizado por um técnico responsável. As medidas de deformação são lidas através do analisador ADS-2000, que realiza a leitura e efetua as médias, e a medida do deslocamento do nó 4 é realizada pela leitura do número de divisões de um relógio comparador (com resolução de 10¯²mm), produzido pela Mitutoyo.

Figura 6.1 – Representação esquemática da treliça plana analisada.

Para realização do procedimento experimental, é necessário que se siga os seguintes passos, de modo a garantir a precisão das leituras realizadas:

1) Certificar que os extensômetros estão devidamente conectados ao analisador;2) Ligar o equipamendo de medição (Analisador ADS-2000);3) Fixar o relógio comparador à treliça através de bases magnéticas;4) Calibrar a medida zero do relógio comparador;5) Adicionar as massas calibradas ao suporte fixado na treliça;6) Realizar a leitura do deslocamento vertical no relógio comparador;7) Repetir os passos de 4 a 6 para as cinco diferentes massas aplicadas;8) Obter os dados fornecidos pelo analisador.Para a realização dos cálculos, são necessários dados das características dos objeto

de análise. A tabela 6.1 fornece as principais características físicas e geométricas das barras da treliça e de seus extensômetros.

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Tabela 6.1 – Características Físicas e Geométricas das Barras e Extensômetro.

Foram aplicados valores crescentes de massa, para aplicação de valores crescentes de força. Para cada valor foram registrados os valores de deformação nos três extensômetros e o valor do deslocamento vertical lido no relógio comparador (já convertido pela resolução, onde 1 divisão corresponde a 10¯²mm).

Tabela 6.2 – Tabela de registro de deformações e deslocamentos nos nós de interesse.

Carga Aplicada (N)

Deslocamento Nodal (0.01mm)

Deformações nas Barras (E-6 m/m)

P 4 ε1 ε4 ε7

44,4822 4,90 -13,45 -10,20 27,0766,7233 8,20 -19,11 -15,02 38,4488,9644 10,10 -28,73 -19,45 40,54113,736 15,00 -32,75 -23,90 52,33138,076 21,30 -39,18 -27,82 64,82

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7. Apresentação de Dados e Cálculos

A partir dos dados obtidos através do uso do sistema ADS-2000; dos três extensômetros elétricos e do relógio comparador, pode-se realizar os cálculos desejados e confirmar a relação de força aplicada e deformação e força aplicada e deslocamento.

7.1. Relação Força vs. Deformação ExperimentalA partir da tabela 6.2, pode-se observar os valores calculados de deformação dos nós

1,4 e 7 para cada nível de força. Através desses dados pode-se traçar os gráficos que relacionam a força aplicada e a deformação da barra na treliça. Além disso, é sabido que tal relação obedece a uma função linear ( y=A+B∗x) em teoria. Desse modo, é possível calcular a regressão linear para cada relação.

A regressão linear pode ser calculada utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, de modo que o procedimento a ser seguido é apresentado abaixo:

∑i=1

n

εi=nA+(∑i=1

n

pi)B(7.1)

∑i=1

n

pi ε i=(∑i=1

n

p i)A+(∑i=1

n

p i2)B (7.2)

Considerando que não existe deformação para força nula, então pode-se inferir que o coeficiente linear é nulo:

ε (0 )=A+B∗(0 )=0→ A=0

Dessa forma, as equaçõe se reduzem, e para minimizar os erros de precisão, pode-se reduzir a equação (5.1) para:

B=∑i=1

n

εi

∑i=1

n

pi

(7.3)

Utilizando então a equação (7.3), é possível calcular o coeficiente angular, conforme pode-se observar na tabela a seguir:

Tabela 7.1.1 – Linearizações para Deformação; ε(P) = b*P.

LinearizaçõesCoef. Ang Coef. Linear Eq. De Linearizações

ε1 -0,00000029475 0 E = -0,29475E-6*Pε4 -0,00000021326 0 E = -0,21326E-6*Pε7 0,00000049383 0 E=+0,493825E-6*P

A partir dos dados aquisitados durante o experimento, registrados na tabela 6.2, e dos dados referentes à linearização das curvas, conforme tabela 7.1.1, pode-se traçar os gráficos que apresentam as relações entre força aplicada e deformação e suas respectivas regressões lineares, conforme mostrado a seguir:

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20 40 60 80 100 120 140 160

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-05

00

f(x) = − 0.277185869747172 x − 1.58738754930697R² = 0.981558558974071

Carga vs. Deformação - Barra 1

Carga vs. Deformação - Barra 1Linear (Carga vs. De-formação - Barra 1)

Carga (N)

Defo

rmaç

ão (1

0-6

m/m

)

Figura 7.1.1 – Gráfico ε1[10−6m/m] vs. P[N] e representação de reta de regressão.

20 40 60 80 100 120 140 160

-30

-25

-20

-15

-10

-05

00

f(x) = − 0.188118097001388 x − 2.27279603406533R² = 0.996596036382799



Carga (N)

Defo

rmaç

ão (1

0-6

m/m

)

Figura 7.1.2 - Gráfico ε4[10−6m/m] vs. P[N] e representação de reta de regressão.

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20 40 60 80 100 120 140 16000

10

20

30

40

50

60

70

f(x) = 0.382791109173674 x + 10.0370511524117R² = 0.968598411503526



Carga (N)

Defo

rmaç

ão (1

0-6

m/m

)

Figura 7.1.3 - Gráfico ε7[10−6m/m] vs. P[N] e representação de reta de regressão.

20 40 60 80 100 120 140 160

-60

-40

-20

00

20

40

60

80

Barra 7Barra 1Barra 4

Carga (N)

Defo

rmaç

ão (1

0-6

m/m

)

Figura 7.1.4 – Comparação de Deformações sob mesma força aplicada, nós 1,4 e 7.

7.2. Relação Força vs. Deslocamento Nodal ExperimentalA partir da tabela 6.2, pode-se observar os valores calculados de deslocamento do nó 4

para cada nível de força. Através desses dados pode-se traçar os gráficos que relacionam a força aplicada e deslocamento vertical do nó.

A regressão linear é calculada utilizando do mesmo método utilizado previamente para linearização da deformação. Também é feita a mesma hipótese para cálculo do

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coeficiente angular, considerando coeficiente linear nulo, já que não há deslocamento sob força nula.

Utilizando então a equação (7.3), é possível calcular o coeficiente angular, conforme pode-se observar na tabela a seguir:

Tabela 7.2.1 - Linearizações para Deslocamento; δ(P) = b*P.


δ4 1,3164237E-03 0 E = 0,13164237E-2*P

A partir dos dados aquisitados durante o experimento, registrados na tabela 6.2, e dos dados referentes à linearização das curvas, conforme tabela 7.2.1, pode-se traçar os gráficos que apresentam as relações entre força aplicada e deslocamento vertical do nó e suas respectivas regressões lineares, conforme mostrado a seguir:

Figura 7.2.1 - Gráfico δ4[10−2mm] vs. P[N] e representação de reta de regressão.

7.3. Análise Estática de Treliça Plana para o ExperimentoA partir das equações pertencentes aos sistemas matriciais descritos no item 4 deste

relatório, pode-se fazer uso das matrizes globais de rigidez, deloscamento e forças para resolução do sistema de equações e calcular as informações para cada nó do sistema.

Considerando novamente tais matrizes, as equações podem ser dispostas da seguinte maneira:

[ K g ]∗[U g ]=[Fg] (7.4)

Onde o deslocamento de uma barra inclinada de um ângulo α pode ser decomposto em suas componentes, conforme demonstrado no item 4 deste relatório.

25

[ue

ud]i

=[cos (α) sin (α) 0 00 0 cos (α) sin (α)][ux

e

uye

uxd

uyd ](7.5)

A partir dessas considerações, pode-se então, utilizando-se dos dados aquisitados durante experimentação, calcular os deslocamentos dos nós de interesse e suas deformações teóricas, para então comparar estes valores com os valores obtidos durante a pratíca em laboratório.

No experimento, foram realizados os testes em um conjunto de treliça tridimensional. Para análise teórica, como a treliça analisada é simétrica, pode-se fazer uma aproximação teórica para cálculo de esforços considerando uma treliça plana. Nesse caso, pode-se considerar o esforço aplicado igualmente distribuido em ambos os lados da treliça, de forma que durante os cálculos teóricos será utilizado a metade do esforço aplicado em cada teste, tomando como base a consideração aqui feita.

Assim sendo, os dados considerados para cálculo teórico são listados a seguir:

Tabela 7.3.1 - Dados de Carga, Deslocamento e Deformações para aproximação de Treliça Plana.

Carga (N) Deslocamento Nodal (0.01mm)


Pteórica 4 experimental ε1 exp ε4 exp ε7 exp

22.2411 4,90 -13,45 -10,20 27,0733.3617 8,20 -19,11 -15,02 38,4444.4822 10,10 -28,73 -19,45 40,5456.8680 15,00 -32,75 -23,90 52,3369.0381 21,30 -39,18 -27,82 64,82

Todas as forças foram aplicadas verticalmente para baixo no nó 3, conforme mostrado na figura 6.1.

Pode-se então fazer uso da rotina trelica.m, desenvolvida no Laboratório de Mecânica de Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis, é possível fazer tal cálculo, conforme será aplicado nos casos a seguir. A partir dos dados utilizados para as cargas em treliça plana, mostrados na tabela 7.3.1, pode-se então calcular os dados teóricos para deslocamento nodal e deformação de barras.

Tabela 7.3.2 – Cálculo Teórico para Deslocamentos e Deformações.

Carga Lateral Teórica [N]

Deslocamento Nodal (4) [E-2 x mm]

Deformação (E-6 m/m)

ε1 teórico ε4 teórico ε7 teórico

22.2411081 21.89694043 -140.2458 -99.1688 198.337533.3616622 32.84438004 -210.3687 -148.7532 297.506344.4822162 43.78290306 -280.4916 -198.3375 396.675156.8680152 55.97816807 -358.5928 -235.5634 507.126969.0380678 67.96145967 -435.3333 -307.8271 615.6542

26

Os erros para cada medição são calculados utilizando a seguinte relação:

|erro|=|xexperimental−x teórico|x teórico

E então, ao se realizar tal cálculo para os dados contidos nas tabelas 7.3.1 e 7.3.2, obtem-se os erros abaixo.

Tabela 7.3.3 – Cálculo dos Erros para Dados Experimentais Obtidos.

|erro| [%]

Deslocamento Nó 4

Deformação nas Barras

ε1 ε4 ε7

77.6224 90.4097 89.7145 86.351575.0338 90.9159 89.9027 87.079376.9316 89.7573 90.1935 89.780073.2038 90.8671 89.8541 89.681168.6587 91.0000 90.9625 89.4714

7.4. Comparação de Métodos para Carga Hipotética de 100 [N]Através dos métodos e ferramentas demonstradas e utilizadas durante os itens

anteriores, é possível então fazer uma análise numérica e experimental de uma tensão aplicada no sistema de treliças baseando-se nos dados coletados e a regreção de linearização experimental, e também através do uso da rotina trelica.m, que fora utilizada anteriormente para comparação de resultados.

Conforme realizado anteriormente, pode-se notar uma relação linear entre carga aplicada e deformação. Logo, tem-se aqui as linearizações da carga total aplicada em relação a deslocamento nodal e deformação de barras.

Tabela 7.4.1 – Equações Linearizadas para Cargas Aplicadas.


ε1 -0,00000029475 0 E = -0,29475E-6*Pε4 -0,00000021326 0 E = -0,21326E-6*Pε7 0,00000049383 0 E=+0,493825E-6*Pδ4 1,3164237E-03 0 E = 0,13164237E-2*P

Para uma carga aplicada de 100N, calcula-se através das relações lineares acima as deformações nas barras 1, 4 e 7 e o deslocamento esperado do nó 4, baseados no que fora visto em experimentação em treliça tridimensional.

Tabela 7.4.2 – Deslocamento Nodal e Deformações Experimentais para Carga = 100 [N].

Carga Aplicada (N)



P 4 ε1 ε4 ε7

100.00 13.16 -29.48 -21.33 49.38

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Pode-se notar que, ao analisar os gráfico de Carga vs. Deslocamento / Deformação, o valor encontrado se torna coerente com o esperado através de análise gráfica.

Considerando agora o cálculo numérico para os deslocamentos e deformações, deve-se realizar a aproximação do sistema para treliça bidimensional, de forma a fazer uso da rotina trelica.m. Dessa maneira, considerando que o sistema é simétrico, a carga aplicada se distrinuirá igualmente para os dois lados da treliça, de forma que a carga aplicada em um único lado será de 50N. A partir dessa consideração, obtém-se os seguintes dados.

Tabela 7.4.3 - Deslocamento Nodal e Deformações Teóricos para Carga Lateral = 50 [N].

Carga Lateral Teórica (N)



P 4 ε1 ε4 ε7

50.00 49.22 -315.29 -222.94 445.88

Os erros são calculados conforme feito anteriormente, fazendo uso da equação

Tabela 7.4.4 – Erros Teóricos para carga aplicada 100 [N].

100 [N] |erro| [%]

Deslocamento Nó 4

Deformação nas Barras

ε1 ε4 ε7

73.26 90.65 90.43 111.07

Pode-se perceber pela análise de erros que os desvios experimentais e teóricos foram demasiadamente grandes, superando a margem mínima de 10% para validação dos resultados teóricos e do modelo numérico.

Algo a se observar é que, em ambos itens 7.3 e 7.4, os resultados teóricos obtidos pelo modelo numérico para deformação das barras foram em torno de 10 vezes maior que os obtidos experimentalmente, para todos os casos analisados. Isso pode ser uma indicação de erro no modelo numérico, de modo que a melhor ação pode ser uma revisão do modelo utilizado, onde algum erro pode ter sido cometido no código da rotina utilizada.

Outras considerações também foram feitas e levam à propagação de erros, como idealizações geométricas nas treliças e rótulas fixadoras e desconsideração de forças externas fora a carga aplicada.

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8. Conclusões

A prática de laboratório tem papel fundamental na formação em engenheria, visto que treliças planas e tridimensionais tem vasta aplicação, sendo estrutura funamental em pontes, edifícios, e principalmente, tem papel essencial na parte estrutural de uma aeronave.

Durante a prática foi possível observar o comportamento de treliças sob tensões, de forma que as mesmas respondem a tensões de modo a sofrer deformações apenas axialmente. Sua forma de conexão impede a aplicação de momentos torçores e fletores, travando a estrutura da aeronave ou ponte.

Foi possível aplicar a teoria para cálculo e comparação dos resultados obtidos durante experimentação, onde observou-se que os erros obtidos ao comparar-se resultados teóricos e experimentais superaram demasiadamente a margem mínima, estando os mesmos numa escala próxima a 90% de desvio. Esse desvio dá-se ao fato de que as considerações hipotéticas para o modelo teórico não consideraram forças de atrito ou de impedância na rotação das barras, considerando que as rótulas de fixação eram ideais e sem desvios de forma, considera-se também que as treliças são perfeitamente cilindricas, incluindo o seu interior, de modo a desprezar concentrações de tensões internas.

Outra fonte de erros é a aproximação feita no modelo teórico, onde considera-se apenas um lado da treliça tridimensional e faz-se sua aproximação a um modelo bidimensional, assim as forças reais aplicadas em uma treliça bidimensional não condizem exatamente com a metade da carga total aplicada na treliça tridimensional, como aproximado na rotina treliça.m. Existem também erros de medição, causados por erros de paralaxe ocasionados pelo observador na leitura dos relógios comparadores.

Outros fatores que também mostram a propagação de erros podem ser encontrados nos gráficos de Deformação e Deslocamento vs. Carga, onde existem pequenos desvios ao se aproximar as curvas com uma relação linear para essas grandezas, conforme é encontrado em teoria.

Mesmo com tamanha diferença entre valores medidos e calculados, podemos perceber que um modelo teórico que faça todas as considerações supracitadas pode se aproximar com maior precisão dos resultados obtidos experimentalmente, de modo que foi possível a confimação do comportamento próximo a linear da relação entre cargas aplicadas e deformação de treliças. O objetivo maior da prática laboratorial fora cumprido, que é o entendimento do comportamento de treliças e sua aplicação aeronáutica.

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9. Referências Bibliográficas

9.1. Bibliografia

1. Silva, D.R; Instrumentação para Ensaio de Estruturas - Medidas de Deformações e Deslocamentos - Publicação da USP - E. E. São Carlos - SP.

2. Megson, T.H.G; Aircraft Structures for Engineering Students, 4th Edition, Elsevier Aerospace Engineering Series.

3. Guimarães, T.A.M, Lima, A.M.G., Rade, D.A., Saad, N.S.; Roteiro da 2a Aula de Laboratório da disciplina de Estruturas de Aeronaves I do Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica da Universidade Federal de Uberlândia – UFU (Minas Gerais, Brasil).

9.2. Sítios Eletrônicos

1. http://www.faa.gov/regulations_policies/handbooks_manuals/aircraft/

amt_airframe_handbook/media/ama_ch01.pdfhttp://

www.ppgmne.ufpr.br/arquivos/diss/138.pdf.

2. http://www.bowersflybaby.com/tech/sec1.pdf.

9.3. Figuras e Imagens

1. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Santos-Dumont_flying_the_14_bis.jpg.2. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Boeing_747_Le_Bourget_FRA_002.jpg.3. http://en.wikipedia.org/wiki/File:DH-60_Gipsy_Moth_Wing_Structure.JPG.4. Roteiro da 2a Aula de Laboratório da disciplina de Estruturas de Aeronaves I.

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ANEXO I – Rotina Matlab® Barras.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Programa para análise estática por EF de sistemas constituídos por barras%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % ENTRADA DE DADOS % Constante de Rigidez % Valores para Cálculo de (k): E=2.1e11; % [N/m2] A=5e-4; % [m^2] L=0.2; % [m] % Cálculo da Constante de Deformação - Lei de Hooke: k=E*A/L; % Valores de K para cada Barra sob análise: k_values = [k 2*k k/4 2*k]; % valores em N/m % Condições de Contorno Iniciais % Deslocamentos: D5 = 0.02; %[m] % Forças: F=0; % [N] % Número de Barras sob análise nb_ele=length(k_values); % Número de nós nb_node = nb_ele+1; % Matriz de conectividade mat_conect=[1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ]; % Condições de contorno nos gdl impostos cond_cont=[1 0 5 D5]; % Forças Externas [N] aplicadas nos gld livres forcas_aplic= [ 2 1*F 3 1*F 4 3*F]; %---------------------------------------------------------% % CONSTRUÇÃO DAS MATRIZES ELEMENTARES E MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL K_global=zeros(nb_node); for ii=1:nb_ele K_elementar=k_values(ii)*[1 -1 ; -1 1];

31

mat_ident=eye(nb_node); mat_transf=[mat_ident(mat_conect(ii,1),:); mat_ident(mat_conect(ii,2),:)]; K_global=K_global+mat_transf'*K_elementar*mat_transf;end % IMPOSIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PELO MÉTODO DO PARTICIONAMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ % identificação dos gdl livres e gdl impostos gdl_livres=forcas_aplic(:,1); gdl_impostos = cond_cont(:,1); % construção das submatrizes de rigidez K_ll=K_global(gdl_livres,gdl_livres); K_li=K_global(gdl_livres,gdl_impostos); K_ii=K_global(gdl_impostos,gdl_impostos); % construção dos vetores de forças nos gdl livres e de deslocamentos nos gdl impostos f_liv=forcas_aplic(:,2); d_imp=cond_cont(:,2);% CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS NOS GDL LIVRES E FORÇAS DE REAÇÃO NOS GDL IMPOSTOS d_liv=inv(K_ll)*(f_liv-K_li*d_imp) f_imp=K_li'*d_liv+K_ii*d_imp

32

ANEXO II – Rotina Matlab® Trelica.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Programa para análise estática de treliças planas%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Profs. Domingos Alves Rade e Antonio Marcos Gonçalves de Lima %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Di = 7.475e-3;De = 9.480e-3; A = ((pi/4)*De^2 - (pi/4)*Di^2);E = 4.2e9; % ENTRADA DE DADOS % propriedades físicas e geométricas das barras % [ordem A(m^2) E(N/m^2) L(m) alfa(grau)] propriedades = [ 1 A E 0.643 45; 2 A E 0.455 0; 3 A E 0.455 90; 4 A E 0.455 180; 5 A E 0.643 45; 6 A E 0.455 0; 7 A E 0.455 90; 8 A E 0.455 180; 9 A E 0.643 135; 10 A E 0.455 0; 11 A E 0.455 90; 12 A E 0.643 135; 13 A E 0.455 0]; % número total de graus de liberdade n_node=8; nb_gdl = 2*n_node; % matriz de conectividade - graus de liberdade ordenados segundo:

% 1: nó 1, direção x % 2: nó 1, direção y % 3: nó 2, direção x % 4: nó 2, direção y % 5: nó 3, direção x % 6: nó 3, direção y

mat_conect=[ 1 2 15 16; 1 2 3 4; 3 4 15 16; 13 14 15 16; 3 4 13 14;

33

3 4 5 6; 5 6 13 14; 11 12 13 14; 7 8 13 14; 5 6 7 8; 7 8 11 12; 9 10 11 12; 7 8 9 10]; % condições de contorno nos gdl impostos % apoio fixo - apoio fixo: cond_cont=[1 0 2 0 9 0 10 0]; % forças externas aplicadas nos gld livres forcas_aplic= [ 3 0; 4 0; 5 0;

6 50; %44.4822/2;66.7233/2;88.9644;113.736;138.076;

7 0; 8 0; 11 0; 12 0; 13 0; 14 0; 15 0; 16 0]; % valores em Newtons [nb_ele,dummy]=size(propriedades);% nb_ele=nb_ele; % CONSTRUÇÃO DAS MATRIZES ELEMENTARES E MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL K_global=zeros(nb_gdl); for ii=1:nb_ele coef=propriedades(ii,2)*propriedades(ii,3)/propriedades(ii,4); alfa=propriedades(ii,5)*pi/180; K_elementar=coef*[1 -1 ; -1 1]; mat_transf=[cos(alfa) sin(alfa) 0 0 0 0 cos(alfa) sin(alfa)]; K_elementar=mat_transf'*K_elementar*mat_transf; mat_ident=eye(nb_gdl); mat_transf1=[mat_ident(mat_conect(ii,1),:); mat_ident(mat_conect(ii,2),:); ...

34

mat_ident(mat_conect(ii,3),:); mat_ident(mat_conect(ii,4),:)]; K_global=K_global+mat_transf1'*K_elementar*mat_transf1;end % IMPOSIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PELO MÉTODO DO PARTICIONAMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ %identificacao dos gdl livres e gdl impostos gdl_livres=forcas_aplic(:,1); gdl_impostos = cond_cont(:,1); % construção das submatrizes de rigidez K_ll=K_global(gdl_livres,gdl_livres); K_li=K_global(gdl_livres,gdl_impostos); K_ii=K_global(gdl_impostos,gdl_impostos); % construção dos vetores de forças nos gdl livres e de deslocamentos nos gdl impostos f_liv=forcas_aplic(:,2); d_imp=cond_cont(:,2); % CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS NOS GDL LIVRES E FORÇAS DE REAÇÃO NOS GDL IMPOSTOS disp('Deslocamentos nos gdl livres (em milímetros)'); d_liv=inv(K_ll)*(f_liv-K_li*d_imp)*1000; disp('Reacoes de apoio (em N) '); f_imp=(K_li'*d_liv/1000+K_ii*d_imp) des_global=zeros(nb_gdl,1); des_global(cond_cont(:,1))=cond_cont(:,2); des_global(forcas_aplic(:,1))=d_liv/1000; % CÁLCULO DAS TENSÕES NAS BARRASfor ii=1:nb_ele alfa=propriedades(ii,5)*pi/180; mat_transf=[cos(alfa) sin(alfa) 0 0 0 0 cos(alfa) sin(alfa)]; des_local=mat_transf*des_global(mat_conect(ii,:)); sigma(ii)=propriedades(ii,3)/propriedades(ii,4)*(des_local(2)-des_local(1)); def(ii)=(des_local(2)-des_local(1))/propriedades(ii,4); forc(ii)=sigma(ii)*propriedades(ii,2);end disp ('Deslocamentos (mm)') des_global*1000 disp('Tensões nas barras (em MN/m^2) '); sigma/1e6 disp('Deformações nas barras (microdeformações) '); def/1e-6 disp('Forças nas barras (N) '); forc

35

ANEXO III - Planilha Excel

37

relatório - estruturas i ufu - treliças

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