UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS – UFMGGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE VIBRAÇÕES

TURMA: N4 – SEGUNDA-FEIRA 20H55MIN PROFESSOR: HORÁCIO V. DUARTE

DATA DO EXPERIMENTO: 19/08/2013 APRESENTAÇÃO DO RELATÓRIO: 26/08/2013ALUNO: FELIPE COSTA DE MEIRELES MATRÍCULA: 2009018766

AULA PRÁTICA 1: DECREMENTO LOGARÍTMICO

1) INTRODUÇÃO:

Este trabalho irá abordar duas técnicas de determinação do amortecimento em sistemas mecânicos: decremento logarítmico consecutivo e alternado e o da linearização da envoltória. Serão utilizados dados extraídos da curva de resposta de amplitude e frequência natural em função do tempo. Ambas as técnicas só são efetivas para o primeiro modo e se outras frequências não estiverem presentes ou não interferirem, significativamente, nos valores de amplitude.

2) OBJETIVOS:

- Aplicar as duas técnicas, acima identificadas, utilizando de recursos computacionais de análise e cálculo, revisando o conteúdo teórico visto em sala de aula;

- Analisar os resultados práticos e determinar a melhor técnica para cada material;- Avaliar possíveis fontes de erros nos cálculos e na prática em geral.

3) REVISÃO TEÓRICA:

O Decremento Logarítmico (δ) é a medida da taxa de decréscimo da amplitude das oscilações livres, seja o amortecimento explicito ou não. Podemos com razoável precisão adotar que o amortecimento de uma estrutura tem um comportamento pelo menos no aspecto matemático, como o amortecimento viscoso, assim, adota-se um método bastante simples para se determinar o amortecimento de uma estrutura. Este método já demonstrou ser um meio conveniente para se determinar a quantidade de amortecimento de um sistema mecânico. Quanto maior amortecimento, maior a taxa de decréscimo. [1]

Equações:

ωd=2πτd

(1 ) δ=lnx1xn+1n

(2 ) ξ= δ2 π

(3)

Onde: ωd é a frequência de amortecimento do sistema;τd é o período do sistema;xn é a amplitude da curva em uma crista ou vale n;ξ é um fator de amortecimento.

O método de Linearização da Envoltória leva em consideração que a resposta no tempo para a oscilação natural amortecida para um único modo ou para a primeira frequência natural amortecida, matematicamente é relacionada a uma curva senoidal com valores máximos e mínimos. Assim, selecionando somente os pontos máximos desse sistema (envoltórios), obtém-se uma curva logarítmica na envoltória do sistema.

ln xn=ln X0+b t n (4) b=−ξ ωn (5) ωd=ωn√1−ξ2 (6)

Onde:

1

X0 é a amplitude máxima possível. 4) DESCRIÇÃO DO ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA:

Fixou-se um acelerômetro à extremidade de livre de uma pequena viga engastada em sua extremidade oposta. Este acelerômetro estava ligado a um analisador de espectro de frequência, no qual foi previamente ajustado o tipo de análise a ser feita e os parâmetros de sensibilidade do transdutor, tempo de captura de sinais e etc.

Envergou-se a extremidade livre da barra e em sequência soltou-se a mesma, que passou a vibrar com um movimento periódico e de amplitude cada vez menor. A aceleração do movimento periódico foi captada pelo analisador de espectro e os resultados armazenados para posterior analise.

5) ANÁLISE DE RESULTADOS:

Gráfico 1: Curva de resposta - Madeira

Gráfico 2: Curva de resposta - Alumínio

Período médio e frequência natural amortecida dos sistemas – Equação 1:

Período τd (s) Frequência natural amortecida ωd (rad/s)

Madeira 0,060547 103,77Alumínio 0,035156 178,72

2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Tempo (s)

Am

plit

ude

(g)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Tempo (s)

Am

plit

ude

(g)

Cálculo do fator de amortecimento pela técnica de decremento logarítmico (com picos consecutivos e picos alternados – primeiro e terceiro) – Equações 2 e 3:

Picos consecutivos Picos alternados

Decremento (δ) Fator de amortecimento (ξ)

Decremento (δ) Fator de amortecimento (ξ)

Madeira 0,129167 0,020558 0,133386 0,021229Alumínio 0,007354 0,001170 0,019110 0,003042

A única dificuldade encontrada para a utilização da técnica do decremento logarítmico é a determinação dos pontos máximos entre os picos, que é facilmente visualizada graficamente, mas pode ser de difícil implementação computacional.

Cálculo do fator de amortecimento pelo método da linearização da equação da envoltória:

Madeira Alumínion xn t (s) ln (xn) xn t (s) ln (xn)1 3,249298 0,016602 1,178439 1,625349 0,011719 0,4857232 2,855571 0,077148 1,049272 1,613440 0,046875 0,4783693 2,488466 0,136719 0,911666 1,564399 0,080078 0,4475024 2,218742 0,198242 0,796940 1,504149 0,148438 0,4082275 1,979844 0,258789 0,683018 1,473323 0,183594 0,387520

Lineariação das amplitudes máximas pelo tempo – Equação 4:

Madeira: ln (xn) = -2,0529x + 1,2061Alumínio: ln (xn) = -0,6001x + 0,4980

Manipulando as equações 5 e 6, obetmos os seguintes resultados:

ξ2= b2

ωd+b2 ωn=

ωd

√1−ξ2

ξ ωn (rad/s)Madeira 0,1976 105,86Alumínio 0,0448 178,90

Tanto para a madeira, quanto para o alumínio, houve uma diferença de menos de 2% entre os resultados calculados entre os dois métodos, sendo que a maior dispersão foi encontrada na barra de madeira. Este resultado pode ser relacionado à heterogeneidade da madeira, que em sua composição apresenta, em grande parte, bolsas de ar, além de naturalmente não ser um material completamente puro. Para este caso, a frequência natural foi, pouco diferente da frequência amortecida, o que não foi observado para a barra de alumínio.

A determinação da frequência natural através da frequência de amortecimento será tanto melhor (mais precisa) quanto mais homogêneo for o material.

As possíveis fontes de erro para a análise, tanto podem vir da parte experimental em si quanto da matemática. Quanto à experimentação, esta envolve uma correta fixação do acelerômetro à barra a ser analisada, o ato de colocar esta barra em movimento, que por ser feito livremente, diferentes aferições podem levar a diferentes resultados, sendo então mais correto, repetir o experimento amostrando o máximo de curvas possível.

No campo matemático, ambos os métodos apresentam pontos passíveis de incrementar erros ao resultado final: o método de decremento logarítmico por se utilizar de dois pontos somente (tanto no método de pontos consecutivos ou quanto no de pontos alternados), utiliza somente parte da curva amostral, não sendo portanto, representativo para todo o movimento oscilatório do sistema. Já o método de linearização da envoltória, por vezes

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pode apresentar uma curva de linearização que não contemple todos os pontos amostrais selecionados. Este último método, por utilizar mais de dois pontos em sua base de cálculo, pode ser considerado mais preciso que o primeiro.

Mesmo que a obtenção das curvas tenha se passado no domínio da aceleração, podemos trabalhar matematicamente em função do deslocamento, pois o deslocamento provém da derivada segunda da aceleração em função do tempo, existe portanto, uma relação direta entre as duas grandezas. Como ambas foram analisadas em função do tempo, não há prejuízo de utilização da grandeza deslocamento.

A partir da análise do processo matemático envolvendo os dois métodos, percebe-se que a linearização da envoltória extraída dos pontos máximos de oscilação do sistema se adapta melhor ao experimento, visto que este método pode utilizar todos os pontos extraídos da curva amplitude versus tempo, transcrevendo de forma mais fiel a realidade aos resultados obtidos.

5) CONCLUSÃO:

Ao final do experimento e confecção do relatório, percebe-se que os objetivos propostos foram alcançados satisfatoriamente: aplicou-se as duas técnicas de interpretação matemática aos dados coletados em atividade prática no laboratório. Os resultados de decremento, fator de amortecimento e consequentemente frequência natural foram obtidos através do software Scilab e Excel. Boa parte do conteúdo visto em sala de aula foi revisto e utilizado durante a confecção deste relatório.

Os resultados práticos foram interpretados e conclui-se que, entre os métodos, a linearização da envoltória transparece mais fidelidade ao experimento, embora a técnica de decremento logarítmico também tenha se mostrado bem precisa.

Quanto às diferenças entre os dois materiais, alumínio e madeira, acredita-se que a determinação da frequência natural através da frequência de amortecimento seja mais eficiente para materiais homogêneos, visto a maior diferença entre os resultados para a barra de madeira.

6) BIBLIOGRAFIA:

[1] MESQUITA FILHO, Júlio de – UNESP – Laboratório de dinâmica das máquinas e vibrações mecânicas;RAO, Singiresu. “Vibrações Mecânicas”. 4ª Ed. Editora Prentice Hall. 2009DUARTE, Horácio. “Notas de Aula – Nota 1 – 2ª Prática de Vibrações – Determinação do Fator de

Amortecimento – Técnica da Linearização da Envoltória”. UFMG. Revisado 2013.

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