relatório 01(1)

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Universidade Federal do ABC – UFABC

Campus Santo André

EN 3711 – CONTROLE DISCRETO

Prof.º Dr. Magno Enrique Mendoza Meza

AULA PRÁTICA 1:

Projeto de controladores pelo lugar das raízes no

domínio discreto para o controle de posição de um

servomecanismo

Lucas Ribeiro Lopes Cardoso

Samuel Ribeiro

Santo André

Junho de 2013

1

Sumário

Resumo 2

1 INTRODUÇÃO 3

1.1 Planta e Sistema a ser Compensado....................................................3

1.2 Tipos de Compensadores e Métodos de Projeto.................................7

1.3 Justificativa, Objetivos Gerais e Específicos.........................................9

2 DESENVOLVIMENTO 11

2.1 Determinação do Período de Amostragem e Polo Desejado.............11 2.2 Determinação da Função de Transferência Pulsada do

Servomecanismo...............................................................................13

2.3 Projeto dos Compensadores..............................................................13

2.3.1 Compensador por Avanço de Fase - Método do Lugar

Geométrico das Raízes (LGR)..............................................................13

2.3.2 Compensador PD - Proporcional Derivativo.......................................19

2.3.3 Compensador PI - Proporcional Integral.............................................21

2.3.4 Compensador PID - Proporcional Integral Derivativo.........................22

3 RESULTADOS E DISCUSSÕES 25

3.1 Compensador por Avanço de Fase - Método do Lugar

Geométrico das Raízes (LGR)...............................................................25

3.1.1 Simulação............................................................................................25

3.1.2 Implementação...................................................................................25

3.2 Compensador PD - Proporcional Derivativo........................................26

3.2.1 Simulação............................................................................................26

3.2.2 Implementação....................................................................................26

3.3 Compensador PI - Proporcional Integral..............................................27

3.3.1 Simulação.............................................................................................27

3.3.2 Implementação....................................................................................28

3.4 Compensador PID - Proporcional Integral Derivativo..........................28

3.4.1 Simulação.............................................................................................28

3.4.2 Implementação....................................................................................29

3.5 Resumo dos Resultados Obtidos..........................................................29

4 ENCERRAMENTO 32

ANEXOS...........................................................................33

Referências......................................................................51

2

Resumo

Nesta aula prática projetamos, simulamos e implementamos, 4 tipos diferentes

de compensadores em tempo discreto.

Iniciamos com o compensador por avanço de fase, cujo projeto foi baseado no

método do lugar geométrico das raízes (LGR). Seguimos com os três tipos muito

utilizados na literatura (os quais são variações ou combinações de compensadores por

avanço ou por atraso de fase): proporcional derivativo (PD), proporcional integral (PI) e

proporcional integral derivativo (PID).

Para a implementação e simulação utilizamos um servomecanismo da marca

Quanser, cujo software é integrado ao Simulink. Isso facilita muito o manuseio do

equipamento, visto que o Simulink, além de muito intuitivo, já é familiar aos alunos

devido à outras disciplinas e projetos.

Uma vez conhecida a planta do servomotor (fornecida pelo fabricante), aplicamos

técnicas peculiares de conversão para o tempo discreto, o que nos possibilitou aplicar os

métodos já bem conhecidos de projeto de compensadores.

A simulação foi seguida da efetiva implementação dos compensadores no

servomecanismo, e este relatório traz os passos tomados durante cada projeto, bem

como os resultados da simulação e implementação dos mesmo.

Por fim, comparamos os resultados obtidos e discutimos os possíveis erros e

discrepância encontradas.

3

1 INTRODUÇÃO

1.1 Planta e Sistema a ser Compensado

Para a aula prática que este relatório versa, foi utilizado o servomecanismo SRV02

[1]. Este é constituído por um motor DC encaixotado em uma estrutura de alumínio

sólido e equipado com uma caixa de engrenagens planetárias, i.e., o motor tem a sua

própria caixa de engrenagens internas que acionam engrenagens externas. A unidade

SRV02 básica vem com um sensor de potenciômetro que pode ser utilizado para medir

a posição angular da engrenagem de carga, também pode vir equipado com um encoder

para obter a medida digital da posição e um tacômetro para medir a velocidade da

engrenagem de carga.

A Figura 1 mostra a estrutura deste servomecanismo.

Figura 1 – Servomecanismo SRV02 (esquerda) e equipamentos necessários para seu

funcionamento e que compõem a montagem do experimento descrito neste relatório

O modelo matemático do SRV02 correspondente ao caso de engrenagens altas e

carga em disco é como segue,

𝐺1(𝑠) = 𝜃𝑙(𝑠)

𝑉𝑚(𝑠)=

𝐾

𝑠(𝜏𝑠 + 1)

(1)

no qual θl(t) é a saída da posição que indica a medida do ângulo do eixo da carga e Vm(t)

é a tensão de entrada no SRV02, K é o ganho total de malha aberta e τ, é a constante de

tempo de malha aberta do motor. Os valores de K e τ, dados pelo fabricante, são:

𝐾 = 1,53𝑟𝑎𝑑

𝑉. 𝑠 𝑒 𝜏 = 0,0254 𝑠

O diagrama de blocos para o sistema que estamos trabalhando pode ser

representado da maneira como é mostrado na Figura 2.

4

Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema estudado. A função de transferência do

compensador, do segurador de ordem zero e da planta, estão representadas por,

respectivamente, GC, GOH e G1

onde o bloco GC, ZOH e G1 são, respectivamente, a função de transferência do

compensador, do segurador de ordem zero e da planta - Eq. (1).

O segurador de ordem zero é necessário para fazer com que cada ponto da planta

discretizada se torne em um degrau, dando origem à função de transferência pulsada.

Sem ele, o equipamento poderia ser danificado devido às bruscas mudanças provocadas

pela função de transferência discretizada.

Por definição, o segurador de ordem zero possui função de transferência (GH)

dada por:

𝐺𝐻(𝑠) = (1 − 𝑒−𝑇𝑠)

𝑠

(2)

onde T é o período de amostragem do sinal. Mais adiante neste relatório veremos como

calculá-lo.

Para obter a função de transferência pulsada do servomecanismo, G(z), podemos

primeiramente multiplicar G1(s) por GH(s) obtendo G(s):

𝐺(𝑠) = (1 − 𝑒−𝑇𝑠)

𝑠 [

𝐾

𝑠(𝜏𝑠 + 1)]

(3)

Em seguida, utilizamos a técnica de cálculo da transformada z de funções que

envolvem o termo (1− 𝑒−𝑇𝑠)

𝑠 e então, prosseguimos com a transformada z. Assim:

𝐺(𝑧) = 𝑍[𝐺(𝑠)] = (1 − 𝑧−1). 𝑍 [𝐺1(𝑠)

𝑠] = (1 − 𝑧−1). 𝑍 [

𝐾

𝑠2(𝜏𝑠 + 1)]

5

𝑍 [𝐾

𝑠2(𝜏𝑠 + 1)] = 𝐾. {𝑇 [

𝑧

(𝑧 − 1)2] − 𝜏 [

𝑧

𝑧 − 1] + 𝜏 [

𝑧

𝑧 − 𝑒−𝑇𝜏

]}

= 𝐾 {𝑧2 [𝑇 + 𝜏 (𝑒−

𝑇𝜏 − 1)] + [𝜏 − 𝑒−

𝑇𝜏 (𝜏 + 𝑇)]

(𝑧 − 1)2 (𝑧 − 𝑒−𝑇𝜏 )

}

𝐺(𝑧) = 𝐾 {𝑧 [𝑇 + 𝜏 (𝑒−

𝑇𝜏 − 1)] + [𝜏 − 𝑒−

𝑇𝜏 (𝜏 + 𝑇)]

(𝑧 − 1) (𝑧 − 𝑒−𝑇𝜏 )

}

(4)

Analisando novamente a Figura 2, podemos determinar as expressões

matemáticas das constantes de erro estático, Kc, Kv e Ka.

Por definição, utilizando o teorema do valor final temos que o erro de estado

estacionário é dado por:

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑘→∞

𝑒(𝑘𝑇) = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐸(𝑧)

onde, pela Figura 2,

𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑏(𝑡)

Calculamos então a expressão para E(z), chamando de G(z) o resultado da

multiplicação de Gc(s) por G1(s) e pelo segurador de ordem zero, GH(s) e fazendo:

𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶∗(𝑠) (a)

𝐶∗(𝑠) = 𝐺∗(𝑠)𝐸∗(𝑠) (b)

Substituindo (b) em (a) e manipulando, obtemos:

𝐸∗(𝑠) = 1

1 + 𝐺∗(𝑠)𝑅∗(𝑠) 𝑜𝑢 𝐸(𝑧) =

1

1 + 𝐺(𝑧)𝑅(𝑧)

Para o erro estático de posição, temos que a entrada é o degrau unitário r(t) = 1,

ou seja,

𝑅(𝑧) = 1

1 − 𝑧−1

Assim:

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐸(𝑧) = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)1

1 + 𝐺(𝑧) [

1

1 − 𝑧−1] = lim

𝑧→1

1

1 + 𝐺(𝑧)

Como, por definição:

6

𝑒𝑠𝑠 = 1

1 + 𝐾𝑝

temos,

𝐾𝑝 = lim𝑧→1

𝐺(𝑧)

(5)

onde

𝐺(𝑧) = 𝑍[𝐺𝐶(𝑠)𝐺1(𝑠)𝐺𝐻(𝑠)]

Procedendo da mesma maneira, temos para o erro estático de velocidade, onde

a entrada é uma rampa unitária r(t) = t 1(t), ou seja

𝑅(𝑧) = 𝑇𝑧−1

(1 − 𝑧−1)2


𝑇

(1 − 𝑧−1)𝐺(𝑧)

Como, por definição:

𝑒𝑠𝑠 = 1

𝐾𝑣

temos,

𝐾𝑣 = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐺(𝑧)

𝑇

(6)

Finalmente, para o erro estático de aceleração temos:

𝑅(𝑧) = 𝑇2(1 + 𝑧−1)𝑧−1

2(1 − 𝑧−1)3


𝑇2

(1 − 𝑧−1)2𝐺(𝑧)=

1

𝐾𝑎

𝐾𝑎 = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2𝐺(𝑧)

𝑇2

(7)

7

Em resumo, temos:

Tabela 1: Expressões matemáticas para as constantes de erro estático

Constante de erro estático de posição 𝐾𝑝 = lim𝑧→1

𝐺(𝑧)

Constante de erro estático de velocidade 𝐾𝑣 = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)𝐺(𝑧)

𝑇

Constante de erro estático de aceleração 𝐾𝑎 = lim𝑧→1

(1 − 𝑧−1)2𝐺(𝑧)

𝑇2

1.2 Tipos de Compensadores e Métodos de Projeto

Essencialmente, controlar um sistema consiste em acrescentar ou retirar polos

e/ou zeros de malha aberta, a fim de fazer com que o sistema apresente determinado

comportamento em malha fechada. Este comportamento é ditado pelos requisitos do

projeto, que podem ser com relação ao máximo sobre sinal, tempo de acomodação,

tempo de assentamento, erros de estados estacionários (observe pelas Eqs. (5), (6) e

(7)), entre outros.

A controlabilidade de um certo sistema é conseguida através do uso de

compensadores que podem ser de diversos tipos. Os tipos de controladores diferem

entre si quanto à suas funções de transferência, as quais podem prever o incremento de

um zero, a retirada de um polo ou o incremento de um zero e a retirada de um polo.

Cada tipo de compensador altera uma diferente característica do sistema.

Uma maneira de caracterizar os compensadores é quanto ao que ocorre com a

fase do sistema uma vez que este é inserido. Se a inserção de um compensador atrasa a

fase de um determinado sistema, este é chamado de compensador por atraso de fase.

Por outro lado, se um avanço da fase do sistema for observado, este é chamado de

compensador por avanço de fase.

Há casos especiais dos compensadores de avanço e atraso que são especialmente

interessantes. São estes, os compensadores proporcionais derivativos – um caso especial

do compensador por avanço de fase – e os compensadores proporcionais integrais – um

caso especial do compensador por atraso de fase, assim como outros tão comuns e

utilizados quanto.

Em tempo discreto, são utilizados os mesmos tipos de controladores de tempo

contínuo.

Ao realizar-se os projetos para obtê-los, porém, algumas alterações devem ser

feitas aos procedimentos tomados em tempo contínuo, a fim de que um compensador

em tempo discreto possa ser projetado.

8

Felizmente estas alterações são feitas apenas em etapas anteriores ao início do

projeto, o que faz com que os métodos para projetar compensadores em tempo

contínuo possam ser estendidos para tempo discreto sem alterações. Isso acontece

porque a equação característica das funções de transferência em tempo contínuo tem a

mesma forma que quando em tempo discreto.

Assim, em tempo contínuo e discreto, utiliza-se, principalmente os seguintes

métodos: método baseado no lugar geométrico das raízes e métodos baseados na

resposta em frequência.

Neste relatório iremos abordar o projeto de compensadores baseados apenas no

método do lugar geométrico das raízes.

A forma geral dos compensadores que são projetados neste relatório são

brevemente apresentadas a seguir:

Compensador por Avanço de Fase:

𝐺𝐶(𝑧) = 𝐾𝐶

𝑧 + 𝛼

𝑧 + 𝛽

(8)

Compensador Proporcional Derivativo – PD:


𝑧 + 𝛼

𝑧

(9)

Compensador Proporcional Integral – PI:


𝑧 + 𝛼

𝑧 − 1

(10)

Compensador Proporcional Integral Derivativo – PID:

𝐺𝐶(𝑧) = 𝐾𝐶 [𝑧 − 𝛼′

𝑧] [

𝑧 + 𝛼′′

𝑧 − 1]

(11)

Note que os valores de KC e α são diferentes em cada compensador, embora

tenham sido denotados na mesma maneira.

9

1.3 Justificativa, Objetivos Gerais e Específicos

Antes de iniciarmos o projeto dos compensadores, vejamos a necessidade da

inserção destes no sistema que estamos trabalhando.

Comecemos avaliando a estabilidade da função de transferência pulsada (dada

pela Eq. (4)), em malha fechada, através do método gráfico do lugar geométrico das

raízes (obtido pelo MATLAB). Escolhendo 𝑇 = 0,006 𝑠 (e mais adiante veremos o porquê

desta escolha), obtemos o que é mostrado na Figura 3a.

Figura 3 – (a) Gráfico do lugar geométrico das raízes para o sistema não compensado. Vemos

que o sistema é estável para o ganho da planta; (b) Resposta ao degrau unitário do sistema

não compensado

Uma vez que o lugar geométrico das raízes passa por dentro do círculo unitário,

sabemos que existem valores de ganho que multiplicam este sistema e que não o tornam

instável. Em outras palavras, para certos valores de ganho este sistema pode ser estável

ou instável. Para ganho nenhum, apenas o ganho da planta (𝐾), temos que o sistema é

estável. Desta forma, qual a necessidade de se compensar estes sistema dado que ele já

se mostra estável sem ganho ou compensação alguma?

Analisemos a resposta ao degrau unitário deste sistema, que é mostrada na

Figura 3b.

Neste momento é que entra em questão os requerimentos do projeto aos quais

fizemos menção anteriormente. Se supormos que estamos interessados em controlar

este servomecanismo com um máximo sobre sinal (Mp) e um tempo de pico (tp) bem

baixos, é possível que alguém nos questione sobre, o que é considerado um Mp ou um

tp, pequenos. Claro porque enquanto um sobre sinal de 5% pode ser aceitável, para

outros não. E o mesmo vale para qualquer outro requerimento.

10

Voltando ao nosso sistema não compensado. Digamos que temos um Mp

desprezível e um tp de aproximadamente 4 segundos. Se estes valores estiverem dentro

das especificações de projeto, não precisamos projetar compensador algum. Contudo,

em um projeto, em geral são tantas as variáveis em que se está interessado obter valores

específicos, que dificilmente um sistema não compensado poderia atender a todas ao

mesmo tempo. Lembramos também que há sistema que só se tornam estáveis com a

inserção e compensadores.

Por estas e muitas outras razões é que os compensadores exercem papel

indispensável em qualquer sistema de controle.

No experimento que este relatório descreve, buscamos projetar diferentes tipos

de compensadores (avanço, proporcional derivativo, proporcional integral e

proporcional integral derivativo) através do método do lugar geométrico das raízes. Os

compensadores foram aplicados à planta e analisados quanto aos requisitos do projeto,

através de simulação e posteriormente através de implementação no servomecanismo

da Quanser, SRV02. Todos os compensadores serão discutidos e comparados entre si.

Os requerimentos de projeto são:

𝑀𝑝 = 5% 𝑒 𝑡𝑝 = 0,2 𝑠 𝑒 𝑒𝑠𝑠 = 0

onde o erro de estado estacionário, ess, é de posição, e não precisa ser necessariamente

nulo, mas minimizado ou seja, o menor possível.

Além destes requerimentos, temos outro que diz respeito à segurança do

equipamento que estamos utilizando. O fabricante deste equipamento determina que a

tensão de saída não ultrapasse o valor de 10V pico-à-pico. Desta forma, este passa a ser

outro requerimento de projeto ao qual devemos estar atentos.

A seguir são descritos os nossos objetivos específicos:

Projetar, simular e implementar um compensador por avanço de fase que

respeite os requerimentos no domínio do tempo;

Projetar, simular e implementar um compensador PD que controla a posição do

eixo de cargo do servomotor conforme os requerimentos no domínio do tempo;

Projetar, simular e implementar um compensador PI que controla a posição do

eixo de cargo do servomotor conforme os requerimentos no domínio do tempo;

Projetar, simular e implementar um compensador PID para rastreamento de um

sinal de referência rampa;

Simular os controladores por avanço de fase, PD, PI e PID utilizando o modelo

desenvolvido da planta e garantir que as especificações foram satisfeitas sem que

o atuador seja saturado; e

Implementar os controladores no dispositivo SRV02 da Quanser e avaliar seu

desempenho.

11

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 Determinação do Período de Amostragem e Polo Desejado

Afim de atender os requerimentos de projeto, devemos obter um coeficiente de

amortecimento, ζ, e uma frequência natural, ωd, adequadas. Fazemos isso através das

expressões

𝜁 = −𝑙𝑛𝑀𝑝

√𝜋2 + (ln 𝑀𝑝)2

(12)

𝜔𝑑 = 𝜋

𝑡𝑝

(13)

A frequência de ressonância correspondente também pode ser obtida, através

de

𝜔𝑛 = 𝜔𝑑

√1 − 𝜁2

(14)

Utilizando as Eqs. (12), (13) e (14), e os valores de requerimento de projeto que

foram apresentados na INTRODUÇÃO deste relatório, obtemos:

𝜁 = 0,6901 𝜔𝑑 = 15,7080 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔𝑛 = 21,7049 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Tratando agora da escolha da taxa de amostragem, esta deve sempre levar em

consideração o critério de Nyquist, segundo o qual, a frequência de amostragem (ω)

deve ser sempre, no mínimo, duas vezes maior que a maior frequência presente no sinal

amostrado. Obedecendo-se este critério, garante-se que não ocorra um fenômeno

conhecido por “aliasing”. Este fenômeno, provocado por amostragem indevidas de um

sinal contínuo, faz com que o sinal amostrado não possa ser reconstruído de maneira

correta.

De maneira prática, o período de amostragem (T) não é escolhido como sendo

aquele que respeita estritamente o critério de Nyquist. Por vários motivos, as taxas de

amostragem são escolhidas de acordo com regras práticas de projeto.

Em diversas referências é possível encontrar regras de projeto que permitem, a

partir de certos parâmetros, escolher qual o melhor período de amostragem para o

projeto. OGATA [2], por exemplo, apresenta uma regra de projeto que determina que a

frequência de amostragem (inverso do período de amostragem) escolhida seja sempre

de 10 à 20 vezes maior que a maior frequência presente no sinal ou no sistema com o

qual se está trabalhando. FADALI [3], por outro lado, apresenta outra proposta. Segundo

este autor, esta faixa de escolha deve se situar entre 5 à 10 vezes, apenas.

12

Este último autor ainda, apresenta outra alternativa. Segundo ele pode-se fazer

a escolha da frequência de amostragem com base na frequência natural amortecida (ωd)

do sistema em que se está interessado em obter. Esta regra de projeto determina que a

frequência de amostragem, ω, deve ser de 35 à 70 vezes maior que a frequência natural

amortecida, ωd, do sistema. Desta forma, utilizando o valor desta frequência que

apresentamos há pouco e que foi calculado com base nos requerimentos de projeto que

estamos obedecendo, obtemos a seguinte faixa de valores de taxa de amostragem:

5,71 ≤ 𝑇 ≤ 11,43, 𝑐𝑜𝑚 𝑇 𝑒𝑚 𝑚𝑠

Escolhemos, de forma arbitrária, o período de amostragem como sendo 𝑇 =

6 𝑚𝑠 (tal qual fizemos na introdução deste relatório). Utilizaremos este valor no decorrer

deste relatório, a menos que esta precise ser alterada por razões que veremos mais

adiante.

Agora, uma vez escolhido o período de amostragem, analisemos a questão do

polo desejado.

Avaliando primeiramente o plano s, temos que o polo, sd, desejado de malha

fechada, ou seja, o polo dominante que queremos que exista no sistema em malha

fechada após este ser compensado, de maneira que tenhamos o comportamento

adequado pelos requerimentos do projeto, é dado por

𝑠𝑑1,2= −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑑

E, utilizando os valores de ζ, ωn e ωd, que calculamos há pouco, obtemos:

𝑠𝑑1,2= −14,9786 ± 15,7080

Se estivéssemos lidando com um problema de projeto de compensador em

tempo contínuo, bastaria agora que aplicássemos alguma técnica apropriada como as

que já mencionamos anteriormente (lugar geométrica das raízes, por exemplo) sobre

este polo desejado, para que o problema fosse resolvido. No entanto, como estamos

lidando com projetos em tempo discreto, devemos antes nos posicionar sobre o plano

z, e obter o polo desejado equivalente, neste plano.

Esta transformação se dá de forma muito simples, através da igualdade que

relaciona o plano s e o plano z. Assim:

13

𝑧𝑑1,2= 0,9100 ± 𝑗0,0860

Finalmente, podemos seguir com as técnicas padrão aplicáveis ao plano s, sem

alteração alguma, para obtermos os compensadores desejados.

2.2 Determinação da Função de Transferência Pulsada do

Servomecanismo

Apenas fazendo a substituição dos valores de K e τ, anteriormente apresentados,

e do valor de T, escolhido, na Eq. (4), podemos obter a função de transferência pulsada

do sistema que estamos trabalhando. Assim:

𝐺(𝑧) = 1,003. 10−3 (𝑧 + 0,9253)

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0,7896)

(15)

2.3 Projeto dos Compensadores

A seguir, apresentamos o projeto dos compensadores que foram utilizados nesta

prática. Descrevemos cada passo para a obtenção dos polos, zeros e ganhos dos

compensadores. Além disso, apresentamos o algoritmo desenvolvido para facilitar este

procedimento de projeto. Em uma seção posterior apresentaremos as simulações e

implementações.

2.3.1 Compensador por Avanço de Fase - Método do Lugar Geométrico das

Raízes (LGR)

No projeto de compensadores por avanço de fase, baseado na metodologia do

lugar geométrico das raízes, iniciamos localizando os polos e zeros do sistema de malha

aberta, juntamente com o polo desejado (de malha fechada) que se encontra acima do

eixo real, todos no mesmo plano z, da maneira como mostra a Figura 4a.

Se traçarmos uma reta que liga cada polo e zero do sistema de malha aberta até

o polo desejado, e aceitarmos que a medida de um ângulo positiva é feita em sentido

anti-horário, partindo-se do eixo real, podemos obter a contribuição angular (θ1, φ1 e

φ2) de cada polo e zero do sistema de malha aberta.

14

Temos que para um polo, zk, se tornar polo dominante de um sistema em malha

fechada, precisamos que duas condições sejam satisfeitas:

Figura 4 – (a) Localização dos polos e zeros de malha aberta juntamente com o polo desejado

(malha fechada), no plano z. Na figura é mostrada a contribuição angular de cada polo e zero

de malha aberta; (b) Localização do polo e zero do compensador, juntamente com as

contribuições angulares necessárias para o cálculo da localização exata do polo

𝐾𝐶 = 1

|𝐺′𝐶(𝑧𝑘)𝐺(𝑧𝑘)|

(16)

𝑎𝑛𝑔(𝐺′𝐶(𝑧𝑘)𝐺(𝑧𝑘)) = ± 180°

(17)

15

onde 𝐺′𝐶(𝑧𝑘) é a função de transferência do compensador por avanço de fase, dada

pela Eq. (8), sem o ganho e aplicada ao polo desejado, zk, e 𝐺(𝑧𝑘) é a função de

transferência pulsada do servomecanismo, aplicada ao polo desejado, zk. No caso

presente, o polo desejado é zd.

Como o ganho KC pode assumir qualquer valor, de 0 à ∞, temos que sempre

existira um valor de KC que satisfaça a Eq. (16). Assim, para que zd esteja sobre o LGR

basta que a Eq. (17) seja satisfeita.

Assim, fazemos:

𝜃1 − 𝜑1 − 𝜑2 = 2,62° − 171,84° = −169,16°

onde os ângulos foram calculados por regras simples de trigonometria.

Portanto, temos que, para que a condição da Eq. (17) seja satisfeita é necessário

que o polo e o zero adicionados pelo compensador contribuam com um ângulo δ:

𝛿 = 169,16° − 180° = −10,84°

Como zero do compensador, escolhemos um tal que elimine o polo que está

situado mais próximo da unidade, mas que seja ao mesmo tempo diferente desta. Assim,

pela Eq. (15), vemos que α, da Eq. (8) deve ser igual à, de forma que o polo em 𝑧 =

0,7896 seja eliminado.

Feito isso, resta-nos determinar a localização do polo (o valor de β da Eq. (8)).

Para isso, determinemos a contribuição angular do zero que foi adicionado tal qual

ilustra a Figura 4b. Com isso, simples cálculos trigonométricos e de álgebra mostram que,

o ângulo (𝜑) de contribuição do polo que vamos adicionar, deve ser de:

𝜑 = 180° − (𝛿 + 180° − 𝜑2) = 𝜑2 − 𝛿 = 265,8°

Com isso:

tan 𝜑 = 𝐼𝑚𝑔{𝑧𝑑}

𝑧𝛽 + 𝑅𝑒{𝑧𝑑} ⇒ 𝑧𝛽 = 0,8280 ⇒ 𝛽 = −0,8280

Note que 𝑧𝛽 < 𝑧𝛼. Isso é necessário para que o compensador possa ser chamado

de avanço de fase. Quando acontece o contrário, temos um compensador por atraso de

fase.

Portanto, até o momento temos o controlador da seguinte maneira:


(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 0,8280) 𝑜𝑢 𝐺′𝐶(𝑧) =

(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 0,8280)

Para determinar o valor do ganho do compensador, basta que apliquemos a

condição de módulo apresentada na Eq. (16). Desta forma:

𝐾𝐶 = |1,003. 10−3(𝑧𝑑 + 0,9253)|

|(𝑧𝑑 − 1)(𝑧𝑑 − 0,8280)|= 8,0257

16

Finalmente, temos a estrutura do compensador por avanço de fase, projetado

com base no método do LGR:

𝐺𝐶(𝑧) = 8,0257(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 0,8280)

(18)

Plotando o LGR do sistema compensado de malha fechada, devemos ter em

ganho K=0, o polo dominante como sendo aquele que determinamos como desejado,

zd, como mostra a Figura 5.

Figura 5 – Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado. T = 6ms

ALGORITMO

O que foi apresentado até aqui para o projeto do compensador, é apenas uma

primeira etapa. Isto porque, ao ser simulado ou mesmo implementado, este

17

compensador pode não fazer com que o sistema satisfaça as condições determinadas

pelos requerimentos de projeto. Isso se deve, principalmente, às escolhas arbitrárias que

estão associadas à esta metodologia (escolha do período de amostragem, ou zero do

compensador). Assim, muitas vezes, depois de simulado, verifica-se que o compensador

precisa ser modificado, e todo o procedimento descrito acima precisa ser repetido.

Para facilitar este processo, visto que ele pode se repetir mais de uma vez, um

algoritmo computacional pode ser desenvolvido para que isso seja feito de forma rápida

e prática. A seguir, mostramos o código que desenvolvemos no software MATLAB®, para

o compensador por avanço de fase.

%TÍTULO: Função que projeta um compensador por avanço de fase através

do %método do LGR %DATA: 15/06/2013 %OBSERVAÇÕES: - num -> numerador da planta % - den -> denominador da planta % - tp -> tempo de pico requerido % - Mp -> máximo sobre-sinal requerido function Proj_comp(num,den,tp,Mp,t_f)

close all clc; format long;

% Cálculo do intervalo de T para atender aos requisitos xi = -log(Mp/100)/(sqrt(1+((log(Mp/100))^2))); wd = pi/tp; wn = wd/sqrt(1-xi^2);

maxT = 2000*pi/(35*wd); minT = 2000*pi/(70*wd);

maxT = num2str(maxT,4); minT = num2str(minT,4);

S1 = ' <= T <= '; S2 = ' , T em ms.';

% Pede ao usuário que escolha um período de amostragem disp('Intervalo para o período de amostragem, T: ') fprintf('\n') disp([minT S1 maxT S2]) fprintf('\n') T = input('Escolha um valor para T (ms): ')/1000; fprintf('\n')

% Cálculo do ponto de operação no plano z sd = -xi*wn + wd*i; zd = exp(T*sd);

% FT da Planta disp('Função de Transferência em s da planta') G1 = tf(num,den)

18

% Segurador de Ordem Zero % Gh(s)=(1-e^{-Ts})/s

% FT pulsada da planta disp('Função de Transferência Pulsada em z da planta') G1 = c2d(G1,T)

% Polos e zeros de G1 [num_G1,den_G1]=tfdata(G1,'v'); zeros = roots(num_G1); polos = roots(den_G1);

% Determinação do ângulo a ser compensado soma_theta = 0; for k=1:max(size(zeros)), theta = atan(imag(zd)/(real(zd)-zeros(k)))*180/pi; if zeros(k) < real(zd), soma_theta = soma_theta + theta; else soma_theta = soma_theta + 180 + theta; end end soma_phi = 0; for k=1:max(size(polos)), phi = atan(imag(zd)/(real(zd)-polos(k)))*180/pi; if polos(k) < real(zd), soma_phi = soma_phi + phi; else soma_phi = soma_phi + 180 + phi; end end delta = -(soma_theta - soma_phi + 180);

% Compensador por avanço de fase: % Gc(z) = Kc (z+alpha)/(z+beta)

% Determinação do alpha do compensador alpha = -1000; for j=1:max(size(polos)), if 1-polos(j) < 1-alpha && 1-polos(j) ~= 0, alpha = -polos(j); end end

% Determinação do beta do compensador theta = atan(imag(zd)/(real(zd)-(-alpha)))*180/pi; if (-alpha) > real(zd), theta = 180 + theta; end phi_beta = theta - delta; z_beta = real(zd) - (imag(zd)/tan(phi_beta*pi/180)); beta = -z_beta;

% Determinação do ganho Kc do compensador Gc = tf([1 alpha],[1 beta]); G1_m = tf(num_G1,den_G1); G = G1_m*Gc; Kc = 1/abs(evalfr(G,zd));

19

fprintf('\n') disp('Função de Transferência do compensador') Gc = Kc*Gc

2.3.2 Compensador PD - Proporcional Derivativo

A construção do compensador proporcional derivativo é mais simples, e segue

apenas dois passos simples.

Primeiramente escolhemos o zero do compensador, seguindo o mesmo critério

que foi adotado para a escolha do zero do compensador por avanço de fase, o mais

próximo da unidade, mas diferente desta. Isto define o valor do 𝛼 da Eq. (9). Portanto,

como definimos o zero do compensador PD como (𝑧 + 𝛼), temos que 𝛼 = −0,7896.

O valor de KC, pode ser definido tal qual o foi no compensador por avanço de

fase, fazendo-se uso da Eq. (16), assim:

𝐾𝐶 = |𝑧𝑑(𝑧𝑑 − 1)|

|1,003. 10−3(𝑧𝑑 + 0,9253)|= 61,7447

Desta forma, ficamos com o compensador na seguinte forma:

𝐺𝐶(𝑧) = 61,7447(𝑧 − 0,7896)

𝑧

(19)

ALGORITMO

Para o compensador PD o algoritmo de projeto ficou da seguinte forma:

%TÍTULO: Função que projeta um compensador PD %DATA: 15/06/2013 %OBSERVAÇÕES: - num -> numerador da planta % - den -> denominador da planta % - tp -> tempo de pico requerido % - Mp -> máximo sobre-sinal requerido function Proj_comp_PD(num,den,tp,Mp)




20


S1 = ' <= T <= '; S2 = ' , T em ms.';

% Pede ao usuário que escolha um período de amostragem disp('Intervalo para o período de amostragem, T: ') fprintf('\n') disp([minT S1 maxT S2]) fprintf('\n') T = input('Escolha um valor para T (ms): ')/1000; fprintf('\n')







% Determinação do ganho Kc do compensador Gc = tf([1 alpha],[1 0]); G1_m = tf(num_G1,den_G1); G = G1_m*Gc; Kc = 1/abs(evalfr(G,zd));


21

2.3.3 Compensador PI - Proporcional Integral

A construção do compensador proporcional integral é semelhante ao que foi

feito para o proporcional derivativo, com a diferença de que a forma deste compensador

é diferente, apresentando um polo na unidade ao invés da origem.

Para 𝛼 escolhemos novamente 𝛼 = −0,7896, pela mesma razão que nos outros

compensadores.

O valor de KC, pode ser definido tal qual o foi nos compensadores anteriores,

fazendo-se uso da Eq. (16), assim:

𝐾𝐶 = |(𝑧𝑑 − 1)2|

|1,003. 10−3(𝑧𝑑 + 0,9253)|= 8,4102

Desta forma, ficamos com o compensador na seguinte forma:

𝐺𝐶(𝑧) = 8,4102(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 1)

(20)

ALGORITMO

Para o compensador PI o algoritmo de projeto ficou da seguinte forma:

%TÍTULO: Função que projeta um compensador PI %DATA: 15/06/2013 %OBSERVAÇÕES: - num -> numerador da planta % - den -> denominador da planta % - tp -> tempo de pico requerido % - Mp -> máximo sobre-sinal requerido function Proj_comp_PI(num,den,tp,Mp)





S1 = ' <= T <= '; S2 = ' , T em ms.';

% Pede ao usuário que escolha um período de amostragem

22

disp('Intervalo para o período de amostragem, T: ') fprintf('\n') disp([minT S1 maxT S2]) fprintf('\n') T = input('Escolha um valor para T (ms): ')/1000; fprintf('\n')







% Determinação do ganho Kc do compensador Gc = tf([1 alpha],[1 -1]); G1_m = tf(num_G1,den_G1); G = G1_m*Gc; Kc = 1/abs(evalfr(G,zd));


2.3.4 Compensador PID - Proporcional Integral Derivativo

A forma do compensador PID é dada pela Eq. (11). Uma vez que já projetamos os

compensadores PD e PI, temos de forma direta o valor dos parâmetros (zeros) α’ e α’’.

Por inspeção direta, vemos que α’ é equivalente ao α do compensador PD, já calculado,

ou seja, 𝛼′ = −0,7896. Além disso, como sabemos, α’ = α’’.

Finalmente resta-nos efetuar o cálculo do ganho do compensador. Aplicando

novamente o critério de módulos dado pelo Eq. (16), temos:

23

𝐾𝐶 = |𝑧𝑑(𝑧𝑑 − 1)2|

|1,003. 10−3(𝑧𝑑 + 0,9253)(𝑧𝑑 − 0,7896)|= 51,9522

Finalmente, ficamos com a seguinte forma do controlador:

𝐺𝐶(𝑧) = 51,9522 [𝑧 − 0,7896

𝑧] [

𝑧 − 0,7896

𝑧 + 1]

(21)

ALGORITMO

Para o compensador PID o algoritmo de projeto ficou da forma como se segue.

Note que este algoritmo funciona uma vez que tanto o compensador PD como o PI já

tenham sido projetados. Assim:

%TÍTULO: Função que projeta um compensador PID %DATA: 15/06/2013 %OBSERVAÇÕES: - num -> numerador da planta % - den -> denominador da planta % - alpha_PD -> zero do comp. PD % - alpha_PI -> zero do comp. PI % - tp -> tempo de pico requerido % - Mp -> máximo sobre-sinal requerido function Proj_comp_PID(num,den,alpha_PD,alpha_PI,tp,Mp)





S1 = ' <= T <= '; S2 = ' , T em ms.';

% Pede ao usuário que escolha um período de amostragem disp('Intervalo para o período de amostragem, T: ') fprintf('\n') disp([minT S1 maxT S2]) fprintf('\n') T = input('Escolha um valor para T (ms): ')/1000;

24

fprintf('\n')





% Determinação do ganho Kc do compensador Gc = tf(conv([1 -alpha_PD],[1 -alpha_PI]),[1 -1 0]); [num_G1,den_G1]=tfdata(G1,'v'); G1_m = tf(num_G1,den_G1); G = G1_m*Gc; Kc = 1/abs(evalfr(G,zd));


25

3 RESULTADOS E DISCUSSÕES

A seguir, nesta seção, apresentaremos os resultados das simulações para os

compensadores projetados na seção anterior. Alguns sofrerão modificações, em função

do que é observado na simulação. Os compensadores modificados são então

implementados, e o resultado desta implementação também pode ser visto nesta seção.

Devido ao tamanho das imagens que são apresentadas nesta seção, todas serão

reunidas em uma seção de ANEXOS, presente no final deste relatório.

Para entradas de onda quadradas, utilizou-se amplitude de 𝜋 36⁄ radianos,

frequência de 0,4Hz e tempo de simulação de 10 segundos. Para entradas de onda

triangular, alterou-se a amplitude para 𝜋 8⁄ radianos, mantendo-se a frequência e o

tempo de simulação.

3.1 Compensador por Avanço de Fase - Método do Lugar Geométrico

das Raízes

3.1.1 Simulações

Iniciamos simulando o compensador por avanço de fase da maneira como ele foi

projetado e está apresentado na Eq. (18). O resultado desta simulação pode ser visto na

Figura A1, para a entrada de onda quadrada e na Figura A2, para a entrada de onda

triangular. Ambas nos ANEXOS.

Calculando o tempo de pico (tp), máximo sobre sinal (Mp) e erro de estado

estacionário de posição (ess) do resultado da simulação, obtemos 𝑡𝑝 = 0,20𝑠, 𝑒𝑠𝑠 =

9,13 10−7 ≈ 0 𝑒 𝑀𝑝 = 16,66%. Vemos que apenas o erro de estado estacionário está

dentro do requerimento.

Pelos gráficos inferiores das mesmas figuras, A1 e A2, vemos que a tensão não

excedeu 10V pico-à-pico, limite estabelecido pelo fabricante do servomecanismo. Desta

forma, não há razões para que este compensador seja melhorado neste sentido.

Como é sabido, esta é a segunda versão deste relatório. Na primeira, um erro de

cálculo para obter o valor de ζ, prejudicou todos os projetos subsequentes. No entanto,

como o projeto destes compensadores é algo quase sempre baseado no método da

“tentativa e erro”, por assim dizer, não é espantoso que, mesmo baseado em um valor

de ζ diferente do que o que realmente queríamos, os resultados obtidos anteriormente

foram melhores do que os obtidos agora.

Desta maneira, vamos aproveitar os resultados do relatório anterior na

implementação.

O compensador projetado anteriormente possuía a forma:

26

𝐺𝐶(𝑧) = 34,77(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 0,5364)

e as características do sistema compensado por este compensador, eram: 𝑡𝑝 = 0,07𝑠,

𝑒𝑠𝑠 = 6,2 10−8 ≈ 0 𝑒 𝑀𝑝 = 4,8%. Vemos que todas as características estão dento dos

requerimentos.

As Figuras A3 e A4, mostram o resultado da simulação do compensador projetado

na versão anterior deste relatório.

3.1.2 Implementação

As Figuras A5 e A6, mostram o resultado da implementação do compensador por

avanço de fase, para a entrada quadrada e triangular, respectivamente.

As características obtidas foram: 𝑡𝑝 = 0,11𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 3,2 10−3 𝑒 𝑀𝑝 = 5,5%.

A tensão se comportou de maneira idêntica à simulação, atingindo um máximo

de aproximadamente 6V (onda quadrada), ou seja, não saturou.

A resposta à rampa obtida pela implementação, foi extremamente semelhante à

simulação, apresentando aproximadamente o mesmo erro de estado estacionário.

Já o erro de estado estacionário de posição, para a entrada em degrau, foi bem

maior do que o que obtínhamos pela simulação. Cerca de 5 ordens de grandeza.

3.2 Compensador PD - Proporcional Derivativo

3.2.1 Simulações

Iniciamos simulando o compensador proporcional derivativo da maneira como

ele foi projetado e está apresentado na Eq. (19). O resultado desta simulação pode ser

visto na Figura A7, para a entrada de onda quadrada e na Figura A8, para a entrada de

onda triangular. Ambas nos ANEXOS.

Calculando o tempo de pico (tp), máximo sobre sinal (Mp) e erro de estado

estacionário de posição (ess) do resultado da simulação, obtemos 𝑡𝑝 ≅ 0,4𝑠, 𝑒𝑠𝑠 =

4,6 10−7 ≈ 0 𝑒 𝑀𝑝 = 0%. Note que o tempo de pico está fora do que é requerido pelo

projeto.

Podemos ver pelos gráficos inferiores das Figuras A7 e A8, que a tensão excede

10V pico-à-pico. Aproximando-se a imagem, pode-se ver que tal saturação ocorre, no

entanto, apenas durante uma unidade de tempo referente ao um período de

amostragem.

27

Novamente, aproveitemos o compensador apresentado na versão anterior deste

relatório, para a implementação. O compensador que será implementado é dado por:

𝐺𝐶(𝑧) = 116,11(𝑧 − 0,7896)

𝑧

O sistema compensado por este compensador, apresenta as seguintes

características: 𝑡𝑝 = 0,23𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 7,9 10−7 𝑒 𝑀𝑝 = 0%. Vemos que todas as

características estão muito próximas do que é requerido pelo projeto e são melhores do

que as que foram obtidas no sistema compensado pelo compensador projetado nesta

versão do relatório. Muito embora o máximo sobre sinal se mostre melhor do que o

requerido, o tempo de pico ultrapassa o limite requerido. Esta ultrapassagem no

entanto, é muito pequena. Fazendo-se alguns testes utilizando-se o algoritmo

implementado para o projeto deste compensador, rapidamente percebemos que este

deve ser o melhor resultado que poderíamos encontrar. Isto porque, variando-se o

período de amostragem de maneira a reduzir o tempo de pico, aumentamos

significativamente o máximo sobre sinal, tornando-o muito maior do que o limite

requerido. Como o tempo de pico obtido não é muito maior do que o que foi requerido,

entendemos que esta é o melhor projeto.

As Figuras A9 e A10, mostram o resultado da simulação do compensador PD projetado

na versão anterior deste relatório.


As Figuras A11 e A12, mostram o resultado da implementação do compensador

PD, para a entrada quadrada e triangular, respectivamente.

As características obtidas foram: 𝑡𝑝 = 0,23𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 2,9 10−3 𝑒 𝑀𝑝 = 0%. Note

que quanto ao tempo de pico, obtivemos melhores resultado na implementação do que

na simulação, uma vez que esta última se mostrou mais lenta. A diferença foi tal, que

levou o tempo de pico deste compensador para dentro dos requerimentos de projeto, o

que não estava acontecendo quando tínhamos apenas os dados da simulação.

A tensão se comportou de maneira idêntica à simulação, saturando por apenas

uma período de amostragem.



Assim como no último compensador, o erro de estado estacionário de posição

obtido pela implementação, foi bem maior do que aquele que esperávamos com base

na simulação.

28

3.3 Compensador PI - Proporcional Integral

3.3.1 Simulações

Iniciamos simulando o compensador proporcional integral da maneira como ele

foi projetado e está apresentado na Eq. (20). O resultado desta simulação pode ser visto

na Figura A13, para a entrada de onda quadrada e na Figura A14, para a entrada de onda

triangular. Ambas nos ANEXOS.

Assim como fizemos para os compensadores anteriores, aproveitemos o que foi

feito na versão anterior deste relatório, cientes de que os resultados obtidos através

deste foram bastante satisfatórios.

Assim, vamos prosseguir simulando o compensador dado por:

𝐺𝐶(𝑧) = 39,9369(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 1)

cujos resultados da simulação podem ser vistos nas Figuras A15 e A16.

Como é claramente notável pelas Figuras A15 e A16, este sistema se mostra

instável.

Ao verificar isso, modificamos o período de amostragem, testando inúmeras

possibilidades para este, dentro do intervalo permitido. No entanto, não obtivemos

sucesso, ora o sistema permanecia instável, ora, estabilizava mas apresentava

características muito diferentes daquelas estabelecidas nos requerimentos de projeto.

Com isso, optamos por modificar a localização do zero do compensador.

Sabíamos que quanto mais próximos da unidade (sem atingi-la, porém) tendíamos a

estabilizar o sistema. Testamos então diversos valores para o zero do compensador,

fazendo diferentes combinações com os valores de período de amostragem. Finalmente,

encontramos o que nos pareceu ser o melhor resultado, e que está apresentado nas

Figuras A17 e A18, nos ANEXOS. Calculando o tempo de pico (tp), máximo sobre sinal

(Mp) e erro de estado estacionário de posição (ess) do resultado desta simulação,

obtemos 𝑡𝑝 ≅ 0,09𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 4,8 10−6 ≈ 0 𝑒 𝑀𝑝 ≅ 13,1%. Note que apenas o máximo

sobre sinal obtido está bem acima do requerido, mais do que o dobro deste último.

Mesmo assim, foi o melhor que pudemos obter.

Com respeito à amplitude de tensão de saída, vemos pelos gráficos das Figuras

A17 e A18, que o limite não foi ultrapassado em nenhum dos casos.

Para chegar à este resultado utilizamos período de amostragem 𝑇 = 1𝑚𝑠. Este

valor está fora da faixa de valores que determinamos anteriormente neste relatório. Isto

não constitui problema algum uma vez que este ainda respeita o critério de Nyquist (a

29

maior frequência do sistema é 𝑤𝑚𝑎𝑥 = 1 𝜏⁄ = 1 0,0254⁄ ≅ 40 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ → 𝑤𝑚𝑎𝑥 <

1 0,01⁄ = 100 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ).

Além disso, modificamos o zero do compensador para 𝛼 = 0,999999. Como

dissemos este valor está muito próximo da unidade, mas não sobre ela.

Desta forma, ficamos com o compensador da seguinte forma:

𝐺𝐶(𝑧) = 14,0669(𝑧 − 0,999999)

(𝑧 − 1)



PI, para a entrada quadrada e triangular, respectivamente.

As características obtidas foram: 𝑡𝑝 = 0,12𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 6,3 10−3 𝑒 𝑀𝑝 = 9,0%.

Note que quanto ao máximo sobre sinal, obtivemos melhores resultado na

implementação do que na simulação. A diferença não foi suficiente para levar o máximo

sobre sinal deste compensador para dentro dos requerimentos de projeto, mas já

melhorou bastante se comparada à simulação.

A tensão se comportou de maneira idêntica à simulação, portanto não houve

saturação.



Assim como nos últimos compensadores, o erro de estado estacionário de

posição obtido pela implementação, foi bem maior do que aquele que esperávamos com

base na simulação.

3.4 Compensador PID - Proporcional Integral Derivativo

3.4.1 Simulações

As Figuras A21 e A22, mostram o resultado para a simulação do sistema

compensado pelo compensador que foi projetado nesta versão do relatório.

Como podemos ver, o resultado obtido é muito ruim pois oscila muito e possui

um enorme sobre sinal. As características do sistema são: 𝑡𝑝 = 0,11𝑠, 𝑒𝑠𝑠 =

𝑛ã𝑜 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑎𝑟 𝑒 𝑀𝑝 = 144,7%

De fato, não faz sentido utilizarmos este compensador projetado nesta versão do

relatório, visto que o compensador PI, utilizado neste, é instável, como vimos.

Assim, vãos simular o compensador proporcional integral derivativo da maneira

como ele foi projetado na versão anterior deste relatório, dado por:

30

𝐺𝐶(𝑧) = 116,55 [𝑧 − 0,7896

𝑧] [

𝑧 − 0,999999

𝑧 − 1]

O resultado desta simulação pode ser visto na Figura A23, para a entrada de

onda quadrada e na Figura A24, para a entrada de onda triangular. Ambas nos ANEXOS.

O resultado obtido, com relação aos requerimentos de projeto, foi satisfatório.

Obtivemos: 𝑡𝑝 ≅ 0,28𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 1,4 10−6 ≈ 0 𝑒 𝑀𝑝 ≅ 0%. Embora o tempo de pico

tenha excedido o limite estabelecido pelos requerimentos de projeto, alguns testes

foram capazes de mostrar que este é um dos melhores resultados que podemos obter.

Variando-se o período de amostragem, melhorava-se pouco o tempo de pico e piorava-

se muito o sobre sinal.

A tensão de saída ultrapassou o limite estabelecido, mas novamente podemos

argumentar que isto ocorreu por um intervalo de tempo menor que o tempo de uma

unidade de período de amostragem, não representando assim, riscos ao equipamento.



PID, para a entrada quadrada e triangular, respectivamente.

As características obtidas foram: 𝑡𝑝 = 0,15𝑠, 𝑒𝑠𝑠 = 4,4 10−3 𝑒 𝑀𝑝 = 0%. Note

que, novamente, quanto ao tempo de pico, obtivemos melhores resultado na

implementação do que na simulação. Novamente, à semelhança do que ocorreu com o

compensador PD, apenas após implementado o sistema apresentou o tempo de pico

compatível com o que foi requisitado nos requerimentos de projeto.

A tensão se comportou de maneira idêntica à simulação, portanto a saturação

ocorreu apenas para um período de amostragem.



Assim como em todos os outros compensadores, o erro de estado estacionário

de posição obtido pela implementação, foi bem maior do que aquele que esperávamos

com base na simulação.

3.5 Resumo dos resultados obtidos

Avaliando primeiramente a amplitude da tensão de saída, podemos dizer que

invariavelmente, obtivemos respostas melhores quando a entrada do sistema é uma

onda triangular. Este resultado é esperado visto que a onda quadrada possui

descontinuidades, ou melhor, mudanças mais bruscas de amplitude que na onda

31

triangular. Estas alterações bruscas elevam muito o esforço do sistema, requisitando

mais do mesmo, e por isso, por vezes, saturando a tensão de saída.

Com relação ao erro de estado estacionário obtido pela simulação, todos os

compensadores apresentaram respostas bastante parecidas, sempre aproximando-se

muito de zero (ordem de 10−6, ou menos). Não é possível julgar, apenas com base nos

resultados, qual seria o melhor compensador a fim de minimizar o erro de estado

estacionário de posição.

Já na implementação, o erro de estado estacionário de posição, aumentou muito.

Embora tenham permanecido muito parecidos quando comparados entre si, quando

comparados com o que foi obtido na simulação, todos os erros apresentaram

crescimentos de aproximadamente 1000 vezes.

Sobre o máximo sobre sinal, podemos dizer que o compensador PD apresenta

um melhor desempenho que o PI, ao passo que com relação ao tempo de pico, o

compensador PI apresentou melhores resultados. Esta é uma característica dos próprios

compensadores e por isso não constitui um resultado inesperado. Espera-se que um

compensador PD melhore, ou melhor, diminua o máximo sobre sinal, com o ônus de

piorar o tempo de pico, isto porque este compensador diminui a velocidade do sistema.

O compensador PI é utilizado para aplicações cujos objetivos são o inverso.

Quando simulamos estes compensadores notamos que estas características

foram preservadas. Notou-se ainda outro pontos importante. Alguns destes pontos

fracos que levantamos a respeito de cada compensador, foram melhorados pela

implementação. O tempo de pico do compensador PD, obtido pela implementação, foi

idêntico ao que obtivemos pela simulação. No entanto, o máximo sobre sinal do

compensador PI, foi menor no resultado implementado que no simulado.

Contudo, quando implementamos o compensador por avanço de fase,

observamos exatamente o contrário. Tanto o tempo de pico como o máximo sobre sinal

obtidos pelo resultado da implementação foram piores (maiores) que os obtidos pela

simulação. O máximo sobre sinal chegou a ultrapassar o limite estabelecido pelos

requerimentos de projeto. Durante a simulação, este mesmo compensador havia se

mostrado o melhor em atender os dois objetivos simultaneamente. Sem alterações

alguma do projeto inicial, ele foi capaz de atender muito bem à todos os requerimentos.

O compensador PID, é vantajoso diante dos compensadores PD e PI, justamente

por ser uma combinação destes. No entanto, o seu ônus é aumentar o esforço do

sistema. Por este motivo, os limites de tensão foram ultrapassados ao compensarmos o

sistema via compensador PID. Durante a implementação deste compensador, houve

uma melhora do tempo de pico enquanto o máximo sobre sinal permaneceu igual ao

obtido pela simulação.

Por fim, como vimos acima, os resultados apresentados pela simulação foram

relativamente semelhantes aos que obtivemos na implementação. Isto mostra que o

sistema que estamos trabalhando é bem desenvolvido, de maneira que podemos

32

depositar boa confiança nos resultados de simulação, no momento da implementação

efetiva.

A seguir, a Tabela 2, reúne os principais resultados obtidos.

Tabela 2: Principais resultados obtidos através das simulações e implementações

Função de transferência pulsada, G(z)

Projetado Simulado Implementado

Tipo

AVANÇO

8,02(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 0,8280)

𝑒𝑠𝑠 ≅ 0

𝑀𝑝 ≅ 16,7%

𝑡𝑝 ≅ 0,2 s

34,77(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 0,5364)

𝑒𝑠𝑠 ≅ 0

𝑀𝑝 ≅ 4,8%

𝑡𝑝 ≅ 0,07s

Igual o simulado

𝑒𝑠𝑠 = 0,0032 𝑀𝑝 = 5,5%

𝑡𝑝 = 0,11𝑠

PD

61,74(𝑧 − 0,7896)

𝑧

𝑒𝑠𝑠 ≅ 0

𝑀𝑝 ≅ 0%

𝑡𝑝 ≅ 0,4 s

116,11(𝑧 − 0,7896)

𝑧

𝑒𝑠𝑠 ≅ 0

𝑀𝑝 ≅ 0%

𝑡𝑝 ≅ 0,23𝑠

Igual o simulado

𝑒𝑠𝑠 = 0,0029 𝑀𝑝 = 0%

𝑡𝑝 = 0,23𝑠

PI

8,41(𝑧 − 0,7896)

(𝑧 − 1)

𝐼𝑁𝑆𝑇Á𝑉𝐸𝐿

14,07(𝑧 − 0,999999)

(𝑧 − 1)

𝑒𝑠𝑠 ≅ 0

𝑀𝑝 ≅ 13,1%

𝑡𝑝 ≅ 0,09𝑠

Igual o simulado

𝑒𝑠𝑠 = 0,0063 𝑀𝑝 = 9,0%

𝑡𝑝 = 0,12𝑠

PID

51,95 [𝑧 − 0,7896

𝑧] [

𝑧 − 0,7896

𝑧 − 1]

𝑒𝑠𝑠 ≅ não acomoda

𝑀𝑝 ≅ 144,7%

𝑡𝑝 ≅ 0,11 s

116,55 [𝑧 − 0,7896

𝑧] [

𝑧 − 0,999999

𝑧 − 1]

𝑒𝑠𝑠 ≅ 0

𝑀𝑝 ≅ 0%

𝑡𝑝 = 0,28𝑠

Igual o simulado

𝑒𝑠𝑠 = 0,0044 𝑀𝑝 = 0%

𝑡𝑝 = 0,15𝑠

33

4 ENCERRAMENTO

Todos os objetivos propostos para esta prática experimental foram atingidos.

Obtivemos todos os resultados esperados e as discrepâncias observadas foram por

vezes entendidas e corrigidas e por vezes simplesmente explicadas.

Fizemos uso de diversas ferramentas aprendidas em sala de aula, desde

relacionadas ao tratamento do tempo discreto (transformada z, entre outras) até

relacionadas ao método de projeto propriamente dito.

Além disso, pudemos experimentar as dificuldades e desafios próprios da

experimentação prática, colocando à prova a capacidade de compreender os resultados

obtidos, interpretar os possíveis problemas e soluciona-los quando possível.

34

ANEXOS

Figura A1 – (gráfico superior) Posição versus tempo para o sistema compensado pelo

compensador por avanço de fase, e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre

referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus tempo para o mesmo sistema e a

mesma entrada

35


compensador por avanço de fase, e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre


mesma entrada

36


compensador por avanço de fase da versão anterior deste relatório, e para uma entrada de

onda quadrada. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus

tempo para o mesmo sistema e a mesma entrada

37


compensador por avanço de fase da versão anterior deste relatório, e para uma entrada de

onda triangular. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus


38

Figura A5 – (gráfico superior) Implementação de posição versus tempo para o sistema

compensado pelo compensador por avanço de fase e para uma entrada de onda quadrada.

Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus tempo para o

mesmo sistema e a mesma entrada

39


compensado pelo compensador por avanço de fase e para uma entrada de onda triangular.

Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus tempo para o

mesmo sistema e a mesma entrada

40


compensador PD, e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre referência e valor

obtido. (gráfico inferior) Tensão versus tempo para o mesmo sistema e a mesma entrada

41


compensador PD, e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre referência e valor


42


compensador PD projetado na versão anterior deste relatório e para uma entrada de onda

quadrada. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus tempo

para o mesmo sistema e a mesma entrada

43


controlador PD projetado na versão anterior deste relatório e para uma entrada de onda

triangular. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus tempo

para o mesmo sistema e a mesma entrada

44


compensado pelo compensador PD e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre


mesma entrada

45


compensado pelo compensador PD e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre


mesma entrada

46


compensador PI, e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre referência e valor


47


compensador PI, e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre referência e valor


48

Figura A15 – (gráfico superior) Posição versus tempo para o sistema compensado pela primeira

versão do controlador PI (projetado em uma versão anterior deste relatório) e para uma

entrada de onda quadrada. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior)

Tensão versus tempo para o mesmo sistema e a mesma entrada

49

Figura A16 – (gráfico superior) Posição versus tempo para o sistema compensado pela primeira


entrada de onda triangular. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior)


50

Figura A17 – (gráfico superior) Posição versus tempo para o sistema compensado pela segunda


entrada de onda quadrada. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior)


51

Figura A18 – (gráfico superior) Posição versus tempo para o sistema compensado pela segunda


entrada de onda triangular. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior)


52


compensado pelo controlador PI e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre


mesma entrada

53


compensado pelo controlador PI e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre


mesma entrada

54


compensador PID, e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre referência e valor


55


compensador PID, e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre referência e valor


56


controlador PID (projetado em uma versão anterior deste relatório) e para uma entrada de

onda quadrada. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus


57


controlador PID (projetado em uma versão anterior deste relatório) e para uma entrada de

onda triangular. Comparação entre referência e valor obtido. (gráfico inferior) Tensão versus


58


compensado pelo controlador PID e para uma entrada de onda quadrada. Comparação entre


mesma entrada

59


compensado pelo controlador PID e para uma entrada de onda triangular. Comparação entre


mesma entrada

60

Referências

[1] Quanser, Rotary Experiment 02: Position Control, Quanser Innovate Educate,

SRV02 Position Control, using QuaRC, 2012.

[2] K. Ogata, Discrete-Time Control Systems, Prentiece Hall, New Jersey, 1995.

[3] M. S. Fadali, A. Visioli, Digital Control Engineering: Analysis and Design, Academic

Press, USA, 2009.

relatório 01(1)

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