relatividade restrita -exercicios_avaliativos_1_solucionario - kleber cavalcanti serra

8/4/2019 RELATIVIDADE RESTRITA -EXERCICIOS_AVALIATIVOS_1_solucionariO - KLEBER CAVALCANTI SERRA

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Instituto de Fsica/UFAL Fsica Moderna 1 - 2011 Pgina 1

FSICA MODERNA 1 EXERCCIOS AVALIATIVOS.

A disciplina foi iniciada em 19 de maro, portanto, estamos a quase um ms do inicio dasatividades. Esta lista avaliativa, que dever ser entregue a partir desta data em quinze dias(07 de maio de 2011) dever ser individual, escrita, e entregue no polo para ser enviada nadata estabelecida. No aceitarei envio por e-mail, lista scaneada. Todo o contedonecessrio para resoluo da mesma se encontra no material j disponibilizado naplataforma (Mdulo 1 Introduo Relatividade Restrita). No dia, 29 de abril, estaremosrealizando uma avaliao online durante todo o dia a fim de que no exista problema deatraso devido problemas na conexo que caso ocorra dever ser informado imediatamente.A composio das notas da lista de exerccio (60%) e da prova online (40%) ser a nota daprimeira prova. Lembro que por fora de lei teremos uma prova presencial que ser marcadaposteriormente (provavelmente no final do perodo).

Dilatao do tempo e contrao das distncias.

1 O tempo mdio de vida prpria de um mon de 2,00s. Os mons em um feixe esto

movendo-se atravs de um laboratrio a 0,950c. (a) Qual o seu tempo mdio de vida

quando medido no referencial do laboratrio? (b) Qual a distncia percorrida por eles, na

mdia, antes de desintegrarem?

S1 Se o tempo mdio prprio do mon (medida no referencial que se movimenta com apartcula), o tempo mdio de vida no referencial do laboratrio ser dada por:

A distncia (mdia) L que mon viaja ser igual ao produto de sua velocidade pela vida

mdia medida no laboratrio.

(a) Como estamos considerando a vida mdia prpria como sendo igual a 2,00s e sua

velocidade

, podemos determinar o tempo mdia de vida no laboratrio usando a

equao (1)

(b) No referencial do laboratrio, a distncia percorrida pelo mon ser:


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2 No acelerador linear de Stanford, pequenos pacotes de eltrons e psitrons so

disparados uns contra os outros. No referencia do laboratrio cada pacote tem cerca de 1,00

cm de comprimento e 10,0m de dimetro. Na regio de coliso cada partcula possui uma

energia de 50GeV1 e os eltrons e psitrons esto se movendo em sentidos opostos. (a)

Qual o dimetro e o comprimento dos pacotes no seu prprio referencial? (b) Qual deve ser

o menor comprimento prprio do acelerador para o qual as duas extremidades do pacote, no

seu prprio referencial, esteja simultaneamente no interior do acelerador? (O comprimento

real do acelerador menor do que 100 m). (c) Qual o comprimento de um pacote de

psitrons em relao ao referencial do pacote de eltrons?

S2 - O comprimento prprio do feixe, LP, o comprimento medido em referencial no qual o

feixe est em repouso. Ele est relacionado ao comprimento medido no laboratrio (em

relao ao qual o feixe se move) atravs da expresso:

No entanto, o valor de no um dado explcito do problema. Contudo este valor est

relacionado energia da partcula atravs da relao relativstica,

De modo que podemos a partir dela calcular o valor de , sabendo-se que para um eltron(ou psitron) sua massa igual 9,11x10-31kg, temos que

Substituindo (3) em (2) podemos determinar o valor

Agora, usando a equao (1) temos que:

1 Observe que quando trabalhamos com partculas elementares, em geral a energia expressa em eV(eltron-volt) e no em J


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Como pode ser visto na seo 6 (transformaes de Lorentz) do texto intitulado Introduo

Relatividade Restrita, disponibilizado na plataforma Moodle, as coordenadas y e z que so

perpendiculares direo de propagao do feixe no se alteram. Assim, o dimetro do

feixe permanecer igual a 10,0m.

(b) No referencial do acelerador de feixe de eltrons, o comprimento do acelerador serdado pela equao (1), ou seja,

A condio imposta pelo problema que o comprimento do acelerador seja igual ao

comprimento prprio do feixe, isto ,

(c) O comprimento do pacote de psitron em relao ao comprimento do pacote de eltrons

ser dado pela equao (1):


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3 As estrelas A e B esto em repouso em relao Terra. A estrela A est a uma distncia

de 27 ano-luz da Terra e a estrela B est localizada alm (atrs) da estrela A, quando vista

da Terra. (a) Uma nave espacial est viajando da Terra em direo estrela A a uma

velocidade tal que a viagem leva 12 anos em relao aos relgios no interior da nave. A que

velocidade a viagem deve ocorrer em relao Terra? (Admita que os tempos relacionados

aos trechos acelerados sejam desprezveis quando comparados ao tempo total de viagem).

(b) Ao chegar estrela A, a nave aumenta sua velocidade e parte para a estrela B com uma

velocidade tal que o fator , duas vezes maior do que o do item (a). No trajeto da estrela A

para a estrela B so gastos cinco anos (em relao ao referencial da nave). Qual a distncia,

em anos luz, entre a estrela B e a estrela A em relao ao referencial em repouso da Terra

(referencial do laboratrio) e das duas estrelas? (c) Ao chegar estrela B, a nave parte para

a Terra com a mesma velocidade obtida no item (b). Ela gasta 10 anos (em relao ao

referencial da nave) para retorna Terra. Se voc estivesse nascido na Terra no dia em quea nave iniciou sua viagem (e voc permanecesse na Terra), qual seria sua idade no dia em

que a nave retornou Terra?

S3 - Neste problema mostramos que a teoria especial da relatividade tambm usada para

situaes macros (as distncias esto em anos-luz) e no apenas micros (partculas

elementares).

Inicialmente precisamos determinar a velocidade da espaonave. Para isto usaremos aexpresso da dilatao do tempo, ou seja,

Lembrando que Para um observador na nave espacial, a tempo de viagem ser dado por:


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Do ponto de vista de um observador na Terra, esta parte da viagem levou um tempo de:

(b) no intem anterior, o valor de igual a:

Portatanto agora devemos usar o valor de como sendo:

Como , temos que:

Onde dado por:

Sendo temos que no referencial da Terra o tempo foi de: E a distncia entre A e B no referencial da Terra ser:


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No concordo com a resposta do livro ( ) uma vez que para se chegar nesteresultado deve-se considerar que a velocidade entre A e B a mesma que entre A e a Terra quando

o enunciado afirma que a velocidade aumenta de modo que o valor de dobra.(c) Observe que o enunciado afirma que ao retornar a A, a nave espacial retorna Terra

com a mesma velocidade obtida no item (b), ou seja, 0,979c e que leva 10 anos (noreferencial da nave) para chegar Terra.

Assim, no referencial da Terra, a nave ir gastar um tempo . Assim, o tempo total para a nave voltar Terra a partir do dia que voc nasceu,sua idade seria:

Mais uma vez no concordo com a resposta do livro que no considera o tempo que a nave retorna

de B para A, fazendo com que a resposta final seja 101 anos, que exatamente o fato de no

considerar o retorno de B at A.


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Transformaes de Lorentz, Sincronizao de Relgios e Simultaneidade.

Em fsica, as transformaes de Lorentz, em homenagem ao fsico holands Hendrik

Lorentz, descrevem como, de acordo com a relatividade especial, as medidas de espao e

tempo de dois observadores se alteram em cada sistema de referncia. Elas refletem o fato

de que observadores se movendo com velocidades diferentes medem diferentes valores de

distncia, tempo e, em alguns casos, a ordenao de eventos.

A transformao de Lorentz foi originalmente o resultado da tentativa de Lorentz e outros

cientistas, como Woldemar Voigt, para explicar as propriedades observadas da luz

propagando-se no que se presumia ser o ter luminfero; Albert Einstein posteriormente

reinterpreta a transformao como sendo uma consequncia da natureza do espao e

tempo. A transformao de Lorentz subtitui a transformao de Galileu da fsica newtoniana,

que assumia um espao e tempo absoluto. De acordo com a relatividade especial, a

transformao de Galileu apenas uma boa aproximao para velocidades relativas muitomenores que a velocidade da luz.

4 Mostre que quando , as equaes de transformao de Lorentz para x, t e ureduzem-se s equaes de Galileu.

S4 - As equaes de transformao de Lorentz so dadas por:

A fim de resolver este problema deveremos usar a seguint expanso binomial:

Sendo dado por:

( )

Assim, podemos escrever a primeira equao como:


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Como:

Do mesmo modo,

mas

Finalmente, o denominador da expresso:

Tende para 1 e, Que so as transformaes de Galileu.

5 Uma nave espacial com comprimento prprio LP = 400 m passa por uma estao

transmissora com uma velocidade de 07,6c. No instante em que o nariz da nave passa pelotransmissor, dois relgios, um no transmissor e outro no nariz da nave so sincronizados

para . No momento em que a cauda da nave passa pelo transmissor um sinal enviado por ele e logo em seguida, detectado pelo receptor no nariz da nave. (a) Em que

instante o sinal foi enviado, em relao ao relgio a bordo da nave? (b) Em que instante o

sinal foi recebido pela nave, em relao ao relgio do transmissor? (c) Em que instante o

sinal foi recebido, em relao ao relgio a bordo da nave? (d) Onde estava o nariz da nave

no momento em que o sinal foi recebido, do ponto de vista do observador estacionrio nolocal do transmissor?

S5 Seja S o referencial da nave espacial e S o referencial da Terra (estao

transmissora). Consideremos o evento A a emisso do pulso de luz e como evento B a

recepo do pulso de luz no nariz da nave. Nos itens (a) e (c) podemos usar a distncia

clssica e em (b) e (d) devemos usar as transformaes de Lorentz inversas.

Tanto em S assim como em S, o pulso viaja com velocidade c. Assim,


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(c) O tempo decorrido, de acordo com o relgio na nave : O tempo que o pulso viaja no comprimento da nave ser dado por:

Substituindo os valores numricos encontramos que: (b) A transformao inversa, ou seja, determinando o tempo no referencial da Terra

(transmissor)

Onde

( )

(d) Determinando a posio do receptor vista do referencial na Terra.

[ ] O momento relativistico e energia relativstica.

Lembra daquela famosa questo de fsica 1, quando comparavamos a peso de um corpo na

Terra e na Lua, e afirmavamos que o peso muda, mas a massa uma caracterstica

intrinseca do corpo e ter o mesmo valor em qualquer lugar? Pois , isto mudou. A massa

de um corpo aumenta com a velocidade. Aquela massa que dizamos ser constante, agora

tem um nome especial, massa de repouso, que podemos denominar como m0 ou mesmo m

(mas nesse caso a massa agora relativstica e ser representada por mrel). claro que no

qualquer velocidade. O momento linear agora deve levar em considerao essa mudana

da massa com a velocidade. A coisa boa, que ainda fica valendo a lei da conservao do

momento. E tem mais outra novidade. Em muitas situaes propostas a massa no ser

expressa em kg e sim em (MeV = milhes de eltron volts). Por sua vez o momento


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ser expresso em ao invs de . E a energia? Quem foi quem nunca ouviufalar na famosa frmula , que denominada de energia de repouso eno depende da velocidade. A nossa famosa energia cintica, que sabamos ser igual a agora dever ser expressa de outra maneira, como uma energia cinticarelativstica, isto ,

E a energia relativstica total definida como:

A energia total tambm pode ser expressa em termos do momento atravs da expresso:

Evidentemente estas expresses s sero utilizadas no domnio da fsica atmica e nuclearonde as partculas se movimentam com velocidades prximas velocidade da luz. Nestes

casos, a energia ser expressa em eltrons-volt (eV) ou milhes de eltrons-volt (MeV),

lembrando que 1eV = 1,602x10-19J.

6 Um prton (energia de repouso de 938MeV) tem uma energia total de 2200MeV. (a)

Qual sua velocidade nessa condio? (b) Qual o valor do seu momento?

S6 Dados do problema: (a) Assim, usando a equao da energia total relativstica, temos que:

(b) O momento relativstico dado por:


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Ou

Lembrando que 1GeV = 1x109eV

Outra maneira de se determinar o momento relativstico de uma partcula ser usando aseguinte relao:

7 Uma partcula com momento de 6MeV/c apresenta uma energia total de 8MeV. (a)

Determine a massa da partcula. (b) Qual a energia da partcula em relao ao referencial

em que seu momento igual a 4MeV/c? (c) Qual a velocidade relativa entre os dois

referenciais?

S7 Dados do problema: . Usando a equao: (a) Temos que:

(b) Uma vez que a energia de repouso no depende do referencial, temos que: ( )

(c) Seja a velocidade da partcula no item (a) e a velocidade da partcula no item (b); a velocidade do referencial S em relao ao observador (referencial S)


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Determinando os valores das velocidades da partcula:

( ) ( )

Substituindo estes valores na equao (1) obtemos que:

8 Se a energia cintica de uma partcula igual a duas vezes sua energia de repouso,

qual o erro percentual cometido ao utilizar-se a expresso para o seu momento?O erro percentual dado por:

Onde e o momento relativstico.S8Podemos determinar p a partir da equao


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Uma vez que podemos escrever que:

E, portanto, o erro ser expresso como:

Desde que:

E podemos representar o erro como:

Precisamos determinar o valor de considerando a condio dada pelo problema de que a

energia cintica da partcula igual ao dobro da energia de repouso, e como: E o erro percentual ser de:

9 Uma partcula K0 tem massa de repouso de . Ela decai para uma partcula

e uma partcula

, cada uma com massa de

. Aps o decaimento de uma

partcula K0

, um dos pons fica em repouso no referencial do laboratrio. Determine asenergias cinticas do outro pon e da partcula K0 antes do decaimento.

S9 - Inicialmente consideremos o processo decaimento no referencial do centro de massa e

posteriormente o transformamos para o referencial do laboratrio no qual um dos pons est

em repouso.

Pela conservao da energia no referencial do centro de massa temos que:


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Uma vez que um dos pons est em repouso no referencial do laboratrio a energia cintica

da partcula K0 igual a: A energia inicial no referencial do laboratrio :

A energia do pon no referencial do laboratrio ser: 10 Dois prtons se aproximam frontalmente um do outro com uma velocidade de 0,5c em

relao ao referencial S. (a) Calcule a energia total dos dois prtons no referencial S. (b)

Calcule a energia cintica total dos dois prtons no referencial S, que est se movendo com

velocidade de 0,5c em relao a S de modo que que um dos prtons fique em repouso.

A massa de repouso do prton igual a .S10 A energia total dos dois prtons na parte (a) a soma de suas energias cinticas e

dada por: Onde dado por:

O item (b) difere do (a) uma vez que necessitamos determinar a velocidade do prton em

movimento relativamente ao referencial S.

(a) A energia cintica total igual a: (b) A energia cintica do prton em movimento no referencial S dada por:

Onde:


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E a velocidade do prton no referencial S dada por:

Ento,

ser igual a:

E a energia cintica total no referencial S ser:

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