aula-6 teoria da relatividade restrita ii curso de física geral f-428

Aula-6Teoria da Relatividade Restrita

II

Curso de Física Geral F-428

•Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma diferença de coordenada ; e ocorrem em dois instantes de tempo separados por , no referencialS’ teremos:

•Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente único: o espaço-tempo.

•Podemos também inverter as transformações acima:

)( tvxx )(2

xc

vtt

)( tvxx )(2

xc

vtt

As transformações de Lorentz

Prob.1:

Dois eventos ocorrem no mesmo ponto em um certo referencial inercial e são separados por um intervalo de tempo de 4 s. Qual é a separação espacial entre estes dois eventos em um referencial inercial no qual os eventos são separados por um intervalo de tempo de 6 s ?

Uma nave espacial de comprimento l0 viaja a uma velocidade constantev, relativa ao sistema S, ver figura. O nariz da nave (A’) passa peloponto A em S no instante t0 = t0’= 0 e neste instante envia um sinal de luz de A’ para B’.(a) Quando, no referencial S’ do foguete, o sinal chega à cauda B’ da

nave?(b) Em que instante tB, medido em S, o sinal chega à cauda (B’ ) da

nave?(c) Em que instante t, medido em S, a cauda da nave (B’ ) passa através

do ponto A?

Prob.2:

A relatividade das velocidades

Vimos que:

Logo:

Na transformação clássica de Galileu teríamos :

)( tvxx )(2

xc

vtt

Portanto: )( vdtdxxd )(2

dxc

vdttd

21cuvvu

td

xdu

x

xx

vutd

xdu xx

(v << c)

Podemos ainda deduzir expressões para as velocidades nos outros eixos:

A transformação estará coerente com o fato da velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e que nenhuma velocidade pode excedê-la.

As transformações podem ser invertidas, trocando-se os índices linha e v por –v. Então, se

2

2

1

)1(

cuv

u

tdyd

ux

yy

2

2

1

)1(

cuv

u

tdzd

ux

zz

c

c

uvvu

ux

xx

21cux teremos:

A relatividade das velocidades

Prob. 3: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito, também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?

v

v

L0

L0 = 350 m v = 0,82 c

xS

y

Velocidade do meteorito em relação à nave:

21c

uvvu

ux

xx

sv

Lt 19,1

m/s102,94

m3508

00

cc

c

v

v

c

vvvv

v 98,0)82,0(1

64,1

1

2)(

12

2

2

2

m/s1094,2 8v

• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do observador. Isto, porque o som propaga-se no ar, e ambos podem ter velocidades relativas a este. Já para a luz, que propaga-se no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e observador.

O efeito Doppler da luz

Se o observador O em S descreve uma onda eletromagnética pela expressão o observador O’ em S’ deverá observar e, pelo princípio da relatividade, devemos ter

)sin( tkx )sin( txk

tkx txk

)( tvxx )(2

xcv

tt Então, usando que e

podemos mostrar que:

e


Esta expressão é válida no caso do observador e a fonte estarem se afastando. Se estiverem se aproximando devemos trocar por .

Mas, como:

kkc

1kk 1e


v

k

Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação

cos1Se , “Doppler transverso”. Note que aqui o objeto em

movimento emite radiação com freqüência conhecida

2

20 1

0


• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:

Em termos dos comprimentos de onda, temos:

•Logo, sendo v > 0 temos Deslocamento da luz para o vermelho

•Se a estrela estiver se aproximando (v < 0) teremos < 0

O efeito Doppler na astronomia

Deslocamento daluz para o azul

Prob. 4: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.

v = 0,20c • Efeito Doppler da luz (se afastando):

2/1

1

1

cc

nm5518,0

2,1nm450

1

12/12/1

a)

b) Luz "verde-amarelada":

Dinâmica relativística

Na mecânica Newtoniana temos

dtpd

F

, onde o momento linear é definido por: vmp

const.0 pF

a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim como na mecânica Newtoniana.

b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite .

Procuramos um análogo relativístico desta expressão que tenha as seguintes propriedades:

Dinâmica relativística

Colisão das partículas a e b, demesma massa, no referencial S’.Por exemplo, o referencial do C.M.das partículas

)(antesavm

)(antesbvm

)(depoisbvm)(depois

avm +

+ =

const.0 pFext

x

y S’

)(antesbv

)(depoisbv

)(depoisav

)(antesav

Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:

... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao longo do eixo x ...

Momento linear relativístico

yantes

byyantes

ay

xantes

bxxantes

ax

vvvv

vvvv


)/(1)/(1

)/(1)/(1

22

22

cvv

vvv

cvv

vvv

cvv

vvv

cvv

vvv

x

xdepoisbx

x

xdepoisax

x

xantesbx

x

xantesax

ydepois

byydepois

ay

xdepois

bxxdepois

ax

vvvv

vvvv

)/(1

1

)/(1

1

)/(1

1

)/(1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

cvv

vv

cvv

vv

cvv

vv

cvv

vv

x

ydepoisby

x

ydepoisay

x

yantesby

x

yantesay

x

y S’

)(antesbv)(depois

bv

)(depoisav

)(antes

av

transformação de Lorentz das velocidades

não nos fornece uma expressão para o momento

linear que seja invariante pelas transformações de Lorentz.

vmp


Entretanto, pode-se mostrar que teremos uma quantidade conservada definindo:

220

01

)(cv

mmvm

onde m0 é a massa do corpo no referencial em que ele se encontra em repouso. A força é, então, dada por


Energia relativística• A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula continua sendo dada por:

dtpd

vvFdtdK

rrr

dtvdt

vmdrd

dt

vmdrdFK

0

0

0

0

0

)()(

2220 mcEEmccmK então:

vvv

xcmx

dxxcmcv

cv

cvdcmK 0

2/1220

02/12

20

022

20 1

)1()/()

/1

/(

22 /1

/

cv

cvx

Energia Total

(Supondo Epotencial = 0 )

Usando que vmp temos

Epc

vc

vmcp

2

2

2

Como 420

2422 cmcmE obtemos:

Se m0 = 0 pcE • Lembrando que a radiação eletromagnética transporta momento linear , podemos imaginá-la como composta por corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.

cUp /

Relação energia-momento linear

Energia relativística

22

24

4202

1Ec

pc

cmE

2)/(1

1

cv

• Limite clássico da energia

...

83

21

1 4

4

2

22

022

20

cv

cv

cmcv

cmE

Expandindo E para v/c << 1 temos:

...8

3

2 2

220

202

0

cvvmvm

cmE

Energia de repouso: 20cmE

2

20vm

K Energia cinética para v/c << 1 :


• A energia de um sistema isolado se mantém constante

Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia ∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:

Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares, embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.

Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua velocidade), sua massa também aumenta:

2c

Qmmm if

2cE

m


Colisões relativísticas

4321 pppp 4321 EEEE

?4 p

cE

p

3

•Efeito Compton(será estudado no Cap. 38)

)0( 1

11

mc

Ep

02 p

Prob. 5: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua energia de repouso ?

)(3 20

2 cmmcE

mas:

Prob. 6: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ; (b) de ; (c)

da razão sua energia cinética e energia de repouso.

cmvvmp 0)(

2

2

2

2

02/1

2

2

0 1

1c

v

c

vcm

c

v

vm

707,02

112

2

2

c

v

c

v a)

414,12

2/1

1

2/11

1

414,01414,1)1(

20

20

0

cm

cm

E

K

b)

c)

Prob. 7:

Uma partícula com massa de repouso de 2 MeV/c2 e energia cinética de 3 MeV colide com uma partícula estacionária com massa de repouso de 4 MeV/c2. Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas.

a) Determine o momento inicial do sistema.b) A velocidade final do sistema de duas partículas.c) A massa em repouso do sistema de duas partículas.

Relatividade Geral• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece acelerado, se visto de um referencial não-inercial.

• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia: É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante daquela num referencial uniformemente acelerado!

O elevador de Einstein

Relatividade Geral

• Princípio da equivalência de Einstein

Num recinto suficientemente pequeno (para que o campo gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme), em queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo gravitacional.

(a)

ga

g

a

• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias retilíneas, vistas de referenciais não-inerciais.

Relatividade Geral

“A massa diz ao espaço-tempo como se curvar; e o espaço-tempo diz à massa como se mover”!

• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia curvatura do espaço-tempo!

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