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Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford

RELATIVIDADE ESPECIAL

AULA NO 2

(paradoxos - tempo próprio - velocidade – momento)

Vamos agora continuar a ver os efeitos decorrentes da Transformação de Lorentz com relação às leis

da Física, nos diversos sistemas de referência em movimento relativo entre si.

Durante todo o desenvolvimento do assunto, iremos utilizar, quando for conveniente, o artifício de

considerar a velocidade da luz igual à unidade ( ), a fim de facilitar os cálculos, para depois retornar o

valor de “ ” à equações, através de uma análise dimensional.

Como já vimos, as equações que definem a Transformação de Lorentz – segundo a qual a velocidade

da luz permanece “invariante” em todos os sistemas de referência que se movem com velocidade relativa

uniforme entre si – são dadas por:

As coordenadas perpendiculares à direção do movimento, e , como podemos ver nas equações, não

se alteram na Transformação de Lorentz. Para podermos ver por que isto ocorre, basta imaginarmos, em

cada um dos sistema, uma régua colocada na direção perpendicular à direção do movimento relativo,

considerando que o sistema A está em repouso (em relação a nós) e que o sistema B está se movendo com

velocidade em relação ao sistema A.

Quando as réguas passam uma pela outra, queremos saber se suas extremidades coincidem ou não. Se

elas coincidem, então os comprimentos delas devem permanecer inalterados para todos os observadores nos

diversos sistemas.

O argumento que nos revela a confirmação deste fato é dado pelo seguinte raciocínio. Imaginemos um

terceiro sistema, C, movendo-se com a metade da velocidade relativa de B em relação a A. Neste caso, o

observador em C vê os sistemas A e B afastando-se em direções opostas e com a mesma magnitude de

velocidade, ou seja

.

Se considerarmos que o observador C está a meio caminho dentre A e B, ambos sitemas movendo ao

encontro de C, então ele estará vendo os sistemas A e B em condições “totalmente simétricas”, movendo-se

em direções opostas com a mesma velocidade.

Dessa forma, o observador em C irá ver as duas réguas se aproximarem com a mesma velocidade,

numa condição de completa simetria, de modo que ele obrigatoriamente verá as suas extremidades

coincidirem no instante do cruzamento entre A e B, pois, caso contrário, ele seria capaz de perceber alguma

assimetria entre A e B.

Esta é a razão pela qual a transformação das coordenadas na direção perpendicular ao movimento

apresenta a forma simples de e . Vejamos agora uma outra forma de escrever as Transformações de Lorentz, a qual nos pode dar uma

visão geométrica melhor para vermos como estas equações funcionam. Iremos usar a velocidade da luz

unitária ( ).

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

' ''

1 1

''

'

1 1

' '

' '

x Vt x Vtx x

V V

c c

Vx Vxt t

ec ct tV V

c c

y y y y

z z z z

2


2'

1

x Vtx

V

;

2'

1

t Vxt

V

Somando estas duas equações, obteremos:

2 2

1 1' '

1 11 1

1' '

1

x t V x t Vx Vt t Vxx t

V VV V

Vt x t x

V

S nós agora subtrairmos estas duas equações, teremos de forma análoga:

1' '

1

Vt x t x

V

Se, em vez de trabalharmos com as coordenadas e , utilizarmos um novo sistema de coordenadas no

espaço-tempo, dadas por “ ” e “ ”, estas duas equações irão representar a transformação

matemática para um outro sistema de referência “B”, de coordenadas “ ” e “ ”.

Graficamente, teremos:

Podemos ver então que este novo sistema de coordenadas, quando submetidos a uma transformação de

Lorentz, são simplesmente multiplicados por um fator dependente da velocidade relativa entre os sistemas,

sendo este fator um o inverso do outro para cada um dos sistemas.

Vemos que assim a figura matemática da transformação de um sistema para outro se reduz a um

“encolhimento” da coordenada pelo fator

1

1

V

V

e ao alongamento da coordenada pelo fator

1

1

V

V

, sendo cada fator o inverso do outro.

É importante notar que, neste caso, a transformação “não” altera o ângulo de 450 entre os eixos das

novas coordenadas. Isto significa que a velocidade da luz permanece invariante no novo sistema de

coordenadas.

Vejamos agora o conceito de “tempo próprio”.

Newton considerava um tempo universal absoluto, sincronizado em todos os sistemas de referência.

Como já sabemos, isto não é verdadeiro segundo a teoria da relatividade.

O tempo próprio é o tempo medido em uma “mesma posição” de um sistema de referência.

450

x

t

3


t‟

x‟

Vamos ver a expressão para o tempo próprio e verificar que se trata de um invariante segundo a

Transformação de Lorentz.

Suponhamos dois eventos, sendo um deles definido pela coincidência das origens e dos tempos entre

os dois sistemas A e B, em movimento relativo entre si, onde B tem velocidade V em relação a A.

Em relação ao sistema ao sistema B, o gráfico espaço-tempo é representado por:

De um modo análogo à distância entre dois pontos

no espaço – que não depende da orientação dos eixos

coordenados e é dado pela raiz da soma dos quadrados

das componentes – façamos agora a subtração entre os

quadrados do tempo e do espaço para o evento “E” em

relação ao sistema B.

2 2

2 2

2 2' '

1 1

t Vx x Vtt x

V V

Isto significa que a quantia 2 2t x é um invariante, sendo a mesma para todos os sistemas de

referência. Este invariante, assim como todo invariante, é importante e recebe o nome de “tempo próprio”.

“TEMPO PRÓPRIO”= 2 2t x (entre a origem e o evento E: ' ' 0 , ' ' 0 't t t x x x )

Vamos ver os possíveis valores que o tempo próprio pode assumir.

Se 2 2t x , isto significa que estamos falando de pontos situados na região do espaço-tempo em que

t x :

OBS: Se estivássemos trabalhando no espaço tridimensional, a fórmula para o tempo próprio seria dada por 2 2 2 2t x y z

2 2 2 2 2 22 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2' '

1

1 1' ' ' '

1

t tVx V x x xVt V tt x

V

t V x Vt x t x t x

V

Região de tipo “tempo”

Região de tipo “espaço”

x

t

E

𝑥 𝑡

4


Ao longo do “cone de luz” o “tempo próprio” é zero ( ). Neste caso, diferente daquilo que se passa com as distâncias normais no espaço, que, quando são nulas,

significam pontos coincidentes, podemos ter dois pontos “não” coincidentes, mas cujo intervalo de tempo

próprio é zero, bastando para isso que eles estejam situados ao longo do cone de luz.

Se considerarmos um relógio situado na origem do sistema, teremos para o seu tempo próprio:

Portanto o tempo próprio é o tempo medido pelo próprio

relógio, quando este está parado no sistema de referência.

Se o relógio estiver em movimento, teremos:

Neste caso, nós podemos considerar o princípio da

relatividade, considerando que o relógio está em repouso e que

o sistema se afasta dele na direção oposta. Teremos então o

mesmo resultado para o “tempo próprio”.

Quando temos 2 2t x , o tempo próprio se torna imaginário. Trata-se de pontos situados em uma

região de tipo “espaço”.

Vamos estudar a relação entre o tempo medido pelo sistema e o tempo próprio.

Neste caso, o que desejamos saber é qual será “t” em função

de “x” e “t”.

2 2 2 2 2 2' ' 't x t x t t x , que é a famosa fórmula

da dilatação do tempo.

Segundo esta fórmula, o tempo do relógio em movimento é “menor” que o tempo do relógio no

sistema em repouso, de modo que um observador no sistema em repouso verá o relógio no sistema em

movimento com um ritmo “mais lento”.

É muito importante notar que isto “não significa” que um observador do sistema em movimento irá

ver o relógio do sistema em repouso com um ritmo acelerado! O que acontece é que, pela lei da relatividade,

o observador em movimento irá ver o relógio em repouso também

com um ritmo retardado, da mesma forma como seu relógio foi visto

pelo outro.

Isto pode parecer contraditório, mas o relógio em movimento

não tem a sua linha de tempo na direção horizontal.

Desse modo, estamos comparando quantidades diferentes.

𝑥 0 x

t

x

t

𝑥 0

x

t

𝑥 0

x

𝑥 𝑉𝑡 t

𝑥

𝑡

5


𝑡 𝑉𝐿

𝑡

𝑥 𝐿 𝐿 𝑂

Vamos ver agora o paradoxo dos gêmeos. Dois gêmeos nascem na origem de um sistema no tempo

0. Um deles permanece em repouso em A e o outro segue em alta velocidade por um determinado

tempo, para em seguida retornar na mesma velocidade para a origem do sistema, onde está o seu irmão.

Então eles comparam os seus respectivos tempos.

2 2 2

2 2

'

' 1

T T V T

T T V

Para sabermos a diferença, basta calcularmos o tempo

próprio ao longo das trajetórias percorridas.

Para o gêmeo no sistema estacionário, o tempo decorrido

será “ ”. Para o observador em movimento, o tempo próprio

decorrido será “ ”, que equivale a 22 1T V , cujo valor é

menor do que aquele em repouso. Mas será que isso, pelo fato de não apresentar simetria, representa um

paradoxo? Será que ambos poderiam afirmar que o outro envelheceu? Não! O gêmeo que estava em

movimento teve que experimentar acelerações para cumprir o seu trajeto, e isto “quebra” a simetria entre os

dois, de modo que não há nenhum paradoxo.

Vejamos agora a questão da contração do espaço.

É sempre importante fazer um gráfico espaço-tempo, para compreender bem os problemas da

relatividade.

Consideremos uma régua de comprimento

“ ” em repouso no sistema A. Agora queremos

saber o comprimento que um observador,

movendo-se no sistema B, com velocidade “ ”

em relação a A, irá medir para a régua.

Para medir a régua, o observador em “B”

precisa efetuar medias no “mesmo instante” no

sistema B.

2 2 2 2 2 2

2 2

' ' '

' 1 ' 1

t x x V L L

x L V L L V

Também aqui existe simetria, de modo que que cada observador vê a régua que está-se movimentando

contrair-se por um fator 21 V .

Vamos ver agora outro aparente paradoxo na relatividade, sempre fazendo um diagrama espaço-tempo,

o que ajuda a evitar certas impressões “intuitivas”, nas quais estão as causas de de muitas interpretações

erradas nestas questões.

Vamos imaginar uma garagem estacionária no sistema A e uma limusine se deslocando em direção à

entrada da garagem. Na situação de repouso no sistema A, a limusine tem um comprimento maior do que a

garagem.

A questão é: será possível a limusine, se ela

andar rápido o suficiente, contrair-se o suficiente

para caber na garagem? Este raciocínio considera

que a limusine sofrerá em relação à garagem uma

contração de Lorentz, o que tornará possível ela

caber na garagem. Mas, por outro lado, segundo o

ponto de vista do carro, sofrerá uma contração, piorando ainda mais a situação!

Vejamos primeiramente que o fato de a limusine caber na garagem ou não é dado pela condição de que

suas extremidades coincidem com as extremidades da garagem ao “mesmo tempo” (simultaneamente no

𝑥

𝑡

𝑇

𝑇

𝑥 0

T‟

𝑉𝑡

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referencial em repouso). Este é o ponto chave das interpretações na relatividade: “o conceito de

simultaneidade”!

Vamos desenhar o diagrama espaço tempo para o caso em questão.

Conforme vemos no diagrama, existe um intervalo

de tempo no referencial da garagem, no qual as

extremidades da limusine, P e Q, estarão

simultaneamente, para o referencial da garagem, dentro

da garagem, de modo que, neste referencial, a limusine

estará menor do que a garagem. No gráfico, vemos que a

frente da limusine entra na garagem no ponto R, enquanto

a traseira entra na garagem no ponto P. Vemos também

que a frente da limusine só alcança o final da garagem no

ponto Q, tudo isso no referencial da garagem!

No gráfico, podemos ver claramente que, no

intervalo de tempo , o comprimento L‟, segundo o qual

a garagem vê a limusine, fica todo contido na garagem.

Mas, ao mesmo tempo, vemos que para o

observador na limusine, quando a sua traseira está no

início da garagem, a sua frente já está fora da garagem,

como nos mostra o ponto S, que, para o observador na

limusine, está situado na linha de “mesmo tempo”, ou

seja, na linha que define a simultaneidade para o observador na limusine!

Vemos, então, que não há paradoxo algum, sendo tudo apenas uma questão de entender o conceito de

simultaneidade. Este é o ponto comum para todos os paradoxos aparentes da relatividade.

Vamos ver agora como, segundo a relatividade, funcionam as leis da física, em relação, por exemplo, à

força e ao momento de Newton. Para isso, voltaremos à Transformação de Lorentz, para desenvolver um

pouco de matemática.

Na relatividade, temos quatro dimensões: as três espaciais e o tempo. Uma notação compacta e

conveniente para lidar com quatro dimensões é a seguinte:

0 1 2 3, , , , , ,t x y z x x x x x onde , , , ou 0,1,2,3t x y z

Esta representação também pode ser feita como “ x ”.

Convenciona-se chamar cada uma das representações como:

x CONTRAVARIANTE

x COVARIANTE

Na forma covariante, x , estamos agora representando o objeto:

0 1 2 3, , , , , ,t x y z x x x x x

Portanto, quando o índice “ ” passa para baixo, as componentes espaciais trocam de sinal.

Podemos escrever então que:

0 1 2 3

0 1 2 3, , , , , ,x x x x x x x x x

OBS: A mudança de sinal nas coordenadas está associada à “metrica” da transformação de Lorentz, que é

dada por 2 2 2 2 2ds dt dx dy dz .

Esta notação é bastante concisa e eficiente na relatividade.

Vamos considerar a seguinte expressão:

0 1 2 3

0 1 2 3

2 2 2 2

x x x x x x x x tt x x y y z z

x x t x y z

𝑡

t t‟

x‟

x

P

R

L‟ G

L‟

Q S

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Esta última equação representa a “DISTÂNCIA PRÓPRIA” no espaço-tempo, constituindo um

“INVARIANTE” segundo a transformação de Lorentz (Neste caso, a distância é entre um determinado

ponto no espaço-tempo e a origem do sistema).

Este tipo de expressão, x x , aparece com tanta frequência na Teoria da Relatividade, que Einstein

criou uma regra para facilitar a escrita. Segundo esta regra, sempre que tivermos dois índices repetidos, um

“superior” e outro “inferior”, então a expressão deve ser somada neste índice, que deve variar de 0 até 3.

Assim, segundo a “Convenção de Soma de Einstein” temos:

x x x x

(Distância ou Tempo Próprio)

Como já vimos, a Transformação de Lorentz combina o espaço e tempo juntos, como por exemplo um

observador se move ao longo do eixo e temos as coordenadas e misturadas na transformação para e

. O princípio da relatividade é um princípio de simetria, segundo o qual as equações da Física devem ser

simétricas, não mudando quando se faz uma Transformação de Lorentz.

Uma das outras simetrias conhecidas é aquela que se refere à rotação de um sistema no espaço.

De fato, se nós combinarmos a Transformação de Lorentz com a transformação de rotação,obeteremos

uma gama muito maior de transformações, que formam basicamente todo o conjunto de transformações da

Física Relativística.

Se supusermos apenas duas dimensões espaciais, teremos graficamente:

Como sabemos, para um observador movendo-se na

direção , a Transformação de Lorentz é dada por:

2'

1

x Vtx

V

;

2'

1

t Vxt

V

;

Se quisermos saber a transformação para um

observador movendo-se na direção de , basta trocarmos

e teremos:

2'

1

y Vty

V

;

2'

1

t Vxt

V

;

Mas isto corresponde a uma rotação de 90o, de modo que o eixo coincide agora com o eixo

anterior. Sendo assim, vemos que para uma direção qualquer na qual o observador se mova, devemos

primeiramente determinar o “novo” eixo ‟, decorrente da “rotação”, para em seguida aplicar a

Transformação de Lorentz neste eixo. Com estas duas transformações, podemos representar qualquer

sistema em movimento relativo.

Vamos estudar então como se realiza a transformação de rotação, que não tem nada a ver com a

relatividade de Einstein.

Para os eixos e , uma rotação de um ângulo

resulta na seguinte transformação:

cos sen

sen cos

x x y

y x y

Segundo esta transformação, a distância entre dois

pontos quaisquer não se altera. Portanto devemos obter

como consequência: 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

cos 2cos sen

sen sen 2cos sen cos

x y x y

y x xy y

x y

t

x

y 𝑥

𝑦

𝑥 𝑦

𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

8


2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

cos sen sen cosx y x y

x y x y

Vamos expressar a transformação de rotação através de matrizes:

cos sen

sen cos

x x

y y

Esta expressão também pode ser expressa da seguinte forma:

1 1 2 21 2 1 2

1,2,3

cos ; sen ; sen ; cos

i i jjx M x i

M M M M

Vemos, então, que estas transformações têm sempre uma matriz associada a elas.

Vejamos agora qual a matriz associada à transformação de Lorentz.

2

2

2 22

2

2

2 2

'

1

1'0 0

' 1 1' ' 0 1 0 0

1 ' 10 0

1 1'

'

x Vtx

V x y z tc Vx

Vxyt V V

ct zV

t Vc

V Vy y

z z

Disto resulta que:

2 2

2 2

1'0 0

' 1 1

' 0 1 0 0

' 10 0

1 1

x y z t

Vx x

y yV V

z z

t V t

V V

Em notação simbólica, isto pode ser representado por:

'

'

'

'

x x

y yL

z z

t t

Da mesma forma, teremos para uma rotação:

'

'

'

'

x x

y yR

z z

t t

9


Assim, se quisermos fazer uma Transformação de Lorentz ao longo de um eixo qualquer,

primeiramente fazemos uma rotação para alinhar o eixo do sistema com aquela direção e, depois,

aplicamos a Transformação de Lorentz.

Com isso, obtemos uma matriz que é o resultado do produto de outra duas matrizes:

'

'

'

'

x x

y yL R

z z

t t

Se as leis da Física forem invariantes segundo qualquer transformação de rotação e segundo a

transformação de rotação e segundo a Transformação de Lorentz na direção de um determinado eixo, então

elas serão invariáveis segundo a Transformação de Lorenta em todas as direções.

Vamos ver agora a utilização da multiplicação de matrizes para o caso de composição de velocidades.

Este é o caso de um sistema C que se move com uma velocidade em relação a um sistema B, enquanto o

sistema B se move com uma velocidade em relação a um sistema A. Queremos saber, neste caso, qual a

Transformação de Lorentz do sistema C para o sistema A, em função das velocidades e .

Vamos nos restringir apenas ao tempo e à coordenada para este problema.

Para a transformação de B em relação a A temos:

2

' 11

' 11

x V x

y V yV

Para a transformação do sistema C em relação ao sistema B, temos:

2

'' 1 '1

'' 1 '1

x V x

y V yU

Disto resulta então:

2 2

'' 1 11

'' 1 11 1

x V V x

y V V yV U

2 2

'' 11

'' 11 1

x UV V U x

y U V UV yV U

Surge aqui a questão sobre a possibilidade de se expressar esta transformação na mesma forma da

Transformação de Lorentz, ou seja, na forma:

2

'' 11

'' 11

x W x

y W yW

Para verificarmos que isto acontece de fato, vamos pegar os dois termos da primeira linha da matriz

obtida pela composição e igualá-los aos dois termos da primeira linha da matriz desejada (os outros dois

termos diferem apenas pelo sinal e, por isso, não acrescentam nenhuma informação nova).

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

1 1 1

UV

V U W

U V W

V U W

Substituindo o valor de 21 1 W , dado pela primeira equação, na segunda:

2 2 2 2

1

1 1 1 1

W UVU V

V U V U

Daí obtemos: 1

U VW

UV

Para recolocarmos a constante “c” da velocidade da luz na equação, utilizamos a análise dimensional,

de modo que, para tornar o termo adimensional (para ser somado com “1”), devemos dividi-lo por :

10


21

U VW

UV c

(Note-se que, se e forem iguais , então )

Vejamos agora o conceito de velocidade na Teoria da Relatividade. Porém, antes de entrar no assunto,

vamos falar sobre “quadrivetores” ou “4-vetor”.

É evidente que um ponto no espaço-tempo pode ser imaginado como um vetor de quatro dimensões ou

“4-vetor”, com , sendo suas quatro componentes. Vamos representar estas quatro componentes por:

“ ”.

Um 4-vetor se transforma segundo a Transformação de Lorentz, de modo análogo à transformação das

coordenadas .

0 1 2 3

0 1 2 30 1 2 3

, , ,

, , , , , ,

v v v v v

v v v v v v v v v

O conceito de comprimento no tempo-espaço quadridimensional, associado ao conceito de “tempo

próprio” ou “distância própria”, é dado pelo produto escalar. Desse modo, o quadrado da magnitude de um

determinado 4-vetor (a distância, segundo a Transformação de Lorentz entre a sua extremidade e a origem

do sistema), será dada por: 2v v v

Podemos também pensar no produto escalar entre dois 4-vetores, de modo análogo ao caso em três

dimensões:

w v w v

Estas quantidades são invariantes segundo a Transformação de Lorentz, como já vimos.

Vejamos então o conceito de velocidade.

Na Mecânica newtoniana, a velocidade tem três componentes, porém, na teoria da relatividade, tudo

que tem três componentes tem também uma quarta componente, dada pelo “tempo”! E a velocidade é então

um 4-vetor na relatividade.

De acordo com o conceito tradicional, as componentes da velocidade são:

; ;x y z

dx dy dzv v v

dt dt dt

Neste caso, qual seria a quarta componente? Certamente não seria dt dt , pois assim teríamos um

valor fixo “1”!

Vemos que essa não é uma definição válida para a velocidade relativística, pois não se adequa à

Transformação de Lorentz.

Vejamos então qual o conceito de velocidade de uma partícula segundo a teoria da relatividade.

Vamos começar por um particular sistema de coordenadas, e , no qual pode assumir os valores de

e de conjuntamente, permitindo assim representar tudo em um diagrama bidimensional:

Quando uma partícula se move ao longo da

“Linha do Universo”, do ponto P para o ponto Q,

ela passa por pontos de variadas coordenadas

. Podemos, no entanto, considerá-la

deslocando-se no plano, de modo que, em um

determinado ponto da trajetória, ela irá percorrer a

distância, onde , ou seja,

quatro deslocamentos.

Normalmente, nós dividiríamos este

deslocamento pelo intervalo de „tempo

decorrido no sistema de referência. Porém, ao invés

de usar este intervalo, vamos usar o intervalo de

“tempo próprio” ( ) da partícula.

t

𝑥𝜇

P

Q

𝑑𝑥𝜇

𝑑𝑡

11


Devemos notar que o intervalo de “tempo próprio” da partícula é um invariante e, portanto, não

depende do sistema de referência. Portanto, se dividirmos por , obteremos um 4-vetor que se

transforma da mesma maneira que se transforma, pois ou transformam-se segundo Lorentz e é

um invariante. Assim teremos para a velocidade relativística a expressão: dx

ud

Vamos ver a relação da velocidade relativística com a velocidade clássica. Precisamos saber primeiro

qual é a expressão para a derivada ⁄ .

Já sabemos que 2 2 2 2 2d dt dx dy dz .

Dividindo esta expressão por u , obtemos então: 2

2 2 2

21 x y z

dv v v

dt

, ou seja:

22

2 2

11

1

d dv

dtdt v

Daí podemos obter as seguintes relações:

1

2

2

2

3

2

1

1

1

xx

yy

zz

dx dx dt vu u

d dt d v

dy dy dt vu u

d dt d v

dz dz dt vu u

d dt d v

A quarta componente é dada por: dt d . Portanto 0 21 1 tu v u

Temos assim as quatro componentes do 4-vetor velocidade relativístico “ ”, que se transforma

segundo as equações de Lorentz.

Outra forma de interpretar a velocidade relativística é fazendo uma analogia com a determinação do

“vetor unitário tangente” a uma trajetória no espaço Euclidiano. Vejamos como é isso.

Vemos que o comprimento da trajetória “ ” faz o

mesmo papel do “tempo próprio” “ ”. Temos assim uma

analogia entre a tangente unitária no espaço Euclidiano e a

velocidade relativística “tangente” no espaço-tempo

quadridimensional.

Logicamente podemos derivar a velocidade em

relação ao tempo próprio para obtermos a aceleração

própria. Através da aceleração própria, podemos entender

como as equações de Newton devem ser modificadas

segundo a teoria da relatividade.

Vamos ilustrar o conceito de “momento”. Trata-se de um conceito importante em mecânica, o qual

tem seu significado ampliado na relatividade.

Na física clássica, o momento é um vetor. Na física relativística, o momento é uma “parte” de um

quadrivetor. Segundo Newton, ⃗ ⃗, onde ⃗ e ⃗ são vetores e a massa é apenas um número.

A propósito, na física moderna não se fala que a massa muda com a velocidade. A massa é considerada

apenas como uma característica da partícula, chamada de “massa de repouso”. Deve-se pensar, portanto, que

a massa é uma característica associada à partícula em si, e não à sua velocidade. Assim, quando consultamos

uma tabela para saber qual a massa de um elétron, encontramos simplesmente a sua massa, e não alguma

função da velocidade do elétron.

𝑑𝑠

y

z

𝑑𝑟𝑟

x

12


O análogo do momento clássico é encontrado através da multiplicação da “massa” pela “velocidade

relativística. Assim temos: (4 componentes!).

Uma vez que o momento é conservado, isto nos permite prever o comportamento de partículas que

interagem entre si ou sofrem alguma interferência. É importante notar que a conservação é relativa às

“quatro” componentes do momento, e não a apenas três:

2; para

1

xx x x xmv

p mu v c p mvv

, ocorrendo de modo análogo para as outras componentes

espaciais, e .

Vejamos agora a componente , relativa ao tempo. Trata-se de “ENERGIA”, que também é

conservada, sendo a quarta componente do momento:

0

21

t mp p

v

Na verdade, a quarta componente é proporcional à energia, sendo o fator de proporção dado por “ ”.

Portanto: 2

2

21

t mcc p

v

(energia conservada)

Vejamos como a energia está relacionada com a energia clássica. Para isso, faremos uma aproximação

para a expressão da energia relativística, aplicando o Teorema do Binômio de Newton, segundo o qual, para

um “ ” pequeno, temos: . Com isso obtemos:

12 2

2 2 2 2 2222

1 11 1

2 21

mc vmc v mc mc mv

cv

Vemos que a quarta componente do momento relativístico, ou seja, a energia relativística, fica

reduzida ao acréscimo de um termo à energia cinética clássica de uma partícula em velocidades normais.

Este termo é “ ”. Uma vez que se trata de uma constante, a parte significativa da energia, neste caso, está

na energia cinética, conforme a mecânica clássica.

Quando o momento sofre uma transformação de Lorentz, as suas componentes de momento e de

energia são misturadas, da mesma forma como acontece com as coordenadas de espaço e tempo. Assim,

pode ocorrer que um sistema veja apenas energia, enquanto outro sistema vê energia e momento, mas em

todos os sistemas o momento é conservado. Portanto, em um sistema isolado, todas as quatro componentes

do momento relativístico, são conservadas antes e depois de uma colisão.

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