Estudocinemticodinmicodesistemamassamolaemmeioviscoso

AntnioAuto

GabrielAdrianodeMeloVitorPimentadosReisArruda

Resumo

Esse trabalho se props a analisar comparativamente os movimentos harmnico simples e harmnico amortecido, bem como investigar a natureza matemtica da fora viscosa associada gua. Para tal, foi arranjado um sistema massamola em gua, cujo comportamento foi gravado em cmera de celular, usandosesoftwareparaprocessarovdeoobtido.Palavraschave:sistemamassamola,oscilaoamortecida,videoanlise,foraviscosa.

Abstract

The intent of this work was to analyze comparatively simple harmonic motion and damped harmonic motion, as well as investigate the mathematical nature of the viscous force associated with water. For this objective, a massspring system was arranged in water, and its behaviour was recorded with a cell phonescamera,makinguseofasoftwaretoprocesstheobtainedvideo.Keywords:massspringsystem,dampedoscilation,videoanalysis,viscousforce.1Introduo

O movimento harmnico simples a forma mais bsica de oscilao mecnica e, exatamente por isso, um clssico no ensino mdio e em cursos introdutrios de nvel superior.

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SoniaNotaitlico

SoniaNotaTracker

SoniaNotacom Tracker

Nesse tipo de movimento, uma massa fixada a uma mola de constante elstica , e m k fica sujeita acelerao da gravidade, . Na figura 1, podese ver um esquema do arranjo g descrito,associadoaumeixovertical(eixo )X

Figura1Diagramadeforasparaumsistemamassamola

O ponto de comprimento natural da mola. Assim, conforme a Lei de Hooke, a x = 0

foraelstica aplicadamassapelamolapodesercalculadapor

(1)

Noponto ,aforaresultantesobreamassanula(pontodeequilbrio),isto,x = x0

(2)

Logo,asegundaLeideNewtonparaamassapassaaser

(3)

Emque representaavariveltempo.Usandoaequao2,obtemost

(4)

2

SoniaNotaonde K ? x ? enfim definas as variveis da figura como fez no texto do relatrio

SoniaNotaonde ^x ?

SoniaNotaonde Fres ??

SoniaNotado que? que tempo?

Essa equao diferencial tem soluo conhecida para posio em funo do tempo [1],

dadapor

(5)

Naqual aamplitudedomovimentoe definidocomoA

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Porm, quando se insere o sistema em um meio viscoso, surge uma fora viscosa F visc que sempre oposta ao sentido do vetor velocidade da partcula. Existem dois modelos tericos para tal fora [2], um em que ela proporcional velocidade da massa, outro em v queproporcionala :v2

(7)

ou

(8)

Em que e so coeficientes determinados experimentalmente (dependem do objetoedofluidoemquesto).

A escolha pelo modelo a ser usado depende da geometria do objeto e da velocidade com que esse de desloca no fluido. Em geral, velocidades muito baixas com um escoamento laminarseguemomodelolinear,ealtasvelocidades,oquadrtico.[2]

Noprimeirocaso,asegundaLeideNewtonescritacomo:

(9)

Dependendo da relao entre as constantes envolvidas, a oscilao pode ser subamortecida,superamortecidaoucriticamenteamortecida[3],asaber:

3

SoniaNotae ~v ???

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SoniaNotacomo por exemplo ... (d um valor) uma aproximao...

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SoniaNotaquanto???

SoniaNotaas inequaes abaixo tambm tm que ser numeradas...

No experimento em questo, a oscilao foi subamortecida, caso no qual a soluo da

equaodiferencial9adelineadaem(10),emque umcoeficientedeajuste:A

(10)

Finalmente, no segundo caso fora viscosa proporcional ao quadrado da velocidade a segundaLeideNewtondivididaemduaspartes:

(11)

(12)

A soluo dessas equaes no analtica, isto , somente existem aproximaes numricasparaelas[4].

4

2MtodoExperimental

O aparato fsico montado requereu uma mola metlica de comprimento natural , uma esfera de raio e massa , uma proveta de plstico, cml = 6 0 , 55cmr = 1 3 1, gm = 6 4

transparente,guaeumafitamtrica.Para calcular a constante elstica da mola, usouse a Lei de Hooke: Mediuse o

comprimento natural dela e se pendurou a massa de 61,4 gramas nela, observandose a elongao sofrida pela mola. As figuras 2 e 3 ilustram, respectivamente, a mola natural (comprimento6,0cm)eestendida(comprimento24,2cm).

Figura2Molaemseucomprimentorelaxado

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SoniaNotarequisitou

Figura3Molatracionadapelaesfera

Usandoaequao2,portanto:

(13)

Equivalentemente,

(14)

Aps a medio, psse a massa a oscilar fora da gua, gravando o movimento em vdeo por uma cmera de celular. A mdia assim obtida foi processada por um software de distribuiogratuitadenominadoTracker.Afigura4mostrainstantessucessivosdafilmagem:

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Figura4Daesquerdaparaadireita,framessequenciaisdafilmagemdamovimentaodaesfera

A funo de rastreamento de objeto do Tracker possibilitou acompanhar a posio da esfera ao longo do tempo, segundo o eixo esquematizado na figura 1. Essa lista de pontos foi exportada ao Mathematica (software de computao tcnica), onde se gerou o grfico associadoaomovimento,visualizadonafigura5:

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Figura5Posioxdaesfera,emmetros(eixodasordenadas)versustempo,emsegundos(eixodas

abscissas)

Posteriormente,gravouseaesferaoscilandodentrodagua,conformeafigura6:

Figura6Instantessequenciaisdomovimentodaesferadentrodagua

Mais uma vez, do vdeo foi extrada uma tabela de pontos com o Tracker, e dessa tabela seconstruiuogrficomostradonafigura7:

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SoniaNotae o que essa figura mostra??? J disse acima mas precisa dizer de novo na legenda da figura.

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Figura7Posioxdaesferanagua,emmetros(eixodasordenadas)versustempo,emsegundos

(eixodasabscissas)

Visto que houve, de fato, oscilaes, percebese que elas foram subamortecidas, pois, nos outros dois casos, no h periodicidade de movimento (isto , no ocorre a oscilao observada).

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SoniaNotae o que essa figura mostra??? J disse acima mas precisa dizer de novo na legenda da figura.

3Anlisedosresultados

De posse das constantes relevantes ao movimento fora da gua, pdese calcular o perodoterico daoscilaosimples:T

(15)

Esse valor concordante com o obtido pela videoanlise, de 0,9 segundos dentro dos erros experimentais. Por outro lado, o perodo da oscilao amortecida ( ) derivado da T visc equao10,casoelasejamodeladalinearmente:

(16)

Com o Tracker, determinouse que esse perodo tambm de 0,9 segundos constataoquenoeranecessria,isto,poderseiater ,comoaequao16atesta.T visc T

Notvel que se pode deduzir a inadequao do modelo linear para o experimento em questo: Pela natureza matemtica da equao 10, a cada perodo que passasse, a altura de mximo deveria decrescer em proporo constante. Em outras palavras, se o segundo mximo fosse um tero do primeiro, ento o terceiro seria um tero do segundo, e assim por diante. Esse comportamento no observado na figura 7, na qual se v que os primeiros mximos (t 15) se reduzem em menos de10%acadaperodo.

Dessa forma, procurouse a melhor maneira de concordar os dados experimentais e as previses tericas. Com esse intuito, usouse o comando Manipulate do Mathematica, o qual permitiu traar o grfico do experimento, o obtido com o modelo linear e o oriundo do modelo quadrtico (esse ltimo calculado numericamente pelo software). Alm disso, tal comando possibilitou variar dinamicamente os coeficientes usados nas frmulas tericas, facilitando a procura da equao que melhor reproduzisse o experimento, com resultados sintetizados na figura8:

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Figura8Grficocomparativodoplotexperimental,domodelolinearedoquadrticoparaaoscilao

harmnicaamortecida,naabscissaotempoemsegundosenasordenadas,aposioemmetros.

Como esperado, a melhor adequao curva ocorreu para a construo terica que

considerava a fora viscosa como proporcional ao quadrado da velocidade da massa oscilante, corroborandoocontidonaliteraturaacercadoassunto.

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SoniaNotaobtido pelos dados experimentais

4Concluses

Com um aparato experimental relativamente simples, pdese investigar com clareza propriedades cinemticas do movimento oscilatrio massamola: constatouse a condio de subamortecimento e, a partir dela, delinearamse diferenas entre a ausncia e a presena de foras viscosas. Da mesma forma, foi possvel evidenciar a discrepncia entre os modelos linearequadrticoparataisforas.

No que tange simplicidade da obteno de dados, fazse uma ressalva ao uso do software no gratuito Mathematica: O programa foi usado para gerar grficos de visualizao limpa, os quais, todavia, eram tambm disponibilizados pelo Tracker (freeware), isto , no foinecessidadeabsolutausaroprimeiroemdetrimentodosegundo.

Sugerese, para estudos futuros, trabalhar a influncia do dimetro da proveta na lei matemtica da fora viscosa (sabese, por exemplo, que tal fora pode ser intensa a ponto de impedir qualquer oscilao no caso da igualdade entre os dimetros da proveta e da esfera), bem como usar objetos com geometria diferente porm mesma massa a fim de investigar o papeldessageometrianaforaviscosa.Agradecimentos

Os autores agradecem aos professores do Departamento de Fsica pelas ideias iniciais do experimento, pelo auxlio na montagem de um aparato simples e pela disponibilizao do laboratrio mesmo fora dos dias previstos. Tambm agradecem ao Departamento de Qumica pela proveta usada no experimento, o nico recipiente encontrado cuja altura e dimetro fossemsuficientementegrandes.

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Referncias[1] R. Nave. Simple Harmonic Motion. Disponvel em: . Acesso em 23 de setembro de 2015, 07:46.[2] Batchelor, G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN0521663962[3] Meirovitch, Leonard. Fundamentals of Vibrations. McGRAWHILL Higher Education.ISBN0072881801.[4] Ray, Shouryya Frhlich, Jochen. An analytic solution to the equations of the motion of a point mass with quadratic resistance and generalizations. Institut fr Strmungsmechanik, TechnischeUniversittDresden,GeorgeBhrStrae3c,D01062Dresden,Germany.

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