redes de tubulaÇÃo unicamp/feq/dtf/eq541 fenômenos de ... · unicamp/feq/dtf/eq541 fenômenos de...
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Unic
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Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Capítulo XII - Cálculo do Escoamento no Interior Dutos
REDES DE TUBULAÇÃO
Parte III
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/DT
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Q541 F
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enos d
e T
ransport
e I
1
REDES DE TUBULAÇÃO
SISTEMAS DE TUBOS
Constituídos de:
� Elementos: trechos de tubo (D constante)
� Componentes: válvulas, tês, cotovelos, redutores, etc.
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
**Bomba (adicionam energia); turbinas (extraem energia)
Tipos de sistemas mais simples:
� tubos em série série
� tubos em paraleloparalelo
� tubos ramificadosramificados2
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e I
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enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
�Muitos sistemas contém todos estes tipos de configurações todos estes tipos de configurações e
envolvem cálculos mais complexo.
� A maioria dos problemas de sistemas de tubo a serem
3
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e I
analisados são aqueles em que a vazão na descarga vazão na descarga dos tubos é a dos tubos é a
variável desconhecida ou perda de carga do variável desconhecida ou perda de carga do sistemasistema.
�Trataremos aqui somente da análise dos sistemas com
escoamento permanente e incompressível.escoamento permanente e incompressível.
g
v
D
Lfh DL 2
2
=
PERDAS EM SISTEMAS DE TUBOS
Perdas
� cisalhamento na parede dos elementoselementos de tubo � é distribuída ao longo do comprimento do tubo
Darcy-Weisbach
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
(1)
gDfh DL 2
=
�� componentescomponentes da tubulação � é localizada e representa descontinui -nuidades discretas na linha de energia do sistema.
g
vKhL 2
2
Σ=4
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e I
2g
v
D
Lfh
2eq
DL =ou (2)
As perdas podem ser escritas da seguinte forma:
x
L RQh =
Coeficiente de resistência (e, Re, L, D )
Expoente
Vazão de descarga
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
PERDAS EM ELEMENTOS DE TUBOS
(3)
� Combinando com Darcy-Weisbach: e
Coeficiente de resistência (e, Re, L, Dt)
52
8
Dg
LfR D
π= 2=x
5
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e I
Para análise de sistemas de tubos, é mais conveniente expressar o comportamento de
f utilizando fórmulas empíricas aproximadas. Assim, o fator de fricção pode ser
obtido analiticamente em termos do número de ReynoldsReynolds e da rugosidaderugosidade relativarelativa..
Perda de carga ao longo do comprimento L do tubo
(4)
290
17452703251
−
+
=
,
DRe
,D
e,ln,f
290
5
1745270071
−
+
=
,
Re,
D
e,ln
gD
L,R
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Correlações para fD e R
� Swamee-Jain (1976):
Combinando com R de Darcy:
(5)
mxDC
LKR 1=
810D/e01,0 −>>8105000 << Re
� valem para a faixa de
6
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� Hazen-Williams:
x = 1,85
m = 4,87
C = f(rugosidade) � coeficiente de Hazen-Williams – Tabela 1
K1 depende do sistema de unidades � SI: K1 = 10,59 e UI K1 = 4,72
(7)
(6)
Tabela 1: Valores nominais do coeficiente C de Hazen-Williams
Tipo de tubo C
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Pro
fa. K
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annous
T
7
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e I
Comparação entre as correlações para fD e R
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Dados válidos para escoamento de água (20ºC) em tubo de concreto de D=1m
Esta é a equação que descreve as curvas do Diagrama de Moody nafaixa de transição entre o regime laminar e o totalmente rugoso 8
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e T
ransport
e I
f∑
242
22
22
2
2 84
222QK
DgQ
Dg
KQ
gA
K
g
vKhL ⋅Σ⋅=⋅
⋅
Σ=⋅
Σ=Σ=
ππ
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
PERDAS EM SISTEMAS DE TUBOS
Perdas localizadas (em componentes)
Em alguns casos, é melhor expressar como comprimento equivalente:
(8)
D
fLK D
e=∑
[ ] 22
52
eDL QRQ
Dgπ
LL8fh ⋅=⋅
+=
Coeficiente de Resistência Médio
Tubo Componentes (ou acidentes)
9
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Substituindo:
(9)
(10)
SISTEMA DE TUBOS EM SÉRIE
2N2
N
N222
2
2212
1
1
BA
Q2gA
ΣKRQ
2gA
ΣKRQ
2gA
ΣKRz
γ
pz
γ
p
+++
++
+=
+−
+ LEnergiaEnergia
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e I -
Pro
fa. K
atia
Tannous
PrincípioPrincípio: : identificar todas as variáveis desconhecidas e escrever um número equivalente de equações, independentes a serem resolvidas.
N21BA2gA2gA2gAγγ
∑∑==
+=
+=
+−
+
N
1i
2
2i
i
N
1i
2i2
i
i
BA
Q2gA
ΣKRQ
2gA
ΣKRz
γ
pz
γ
p
QQQQQ Ni ====== LL21
RRii calculado eq. (6) ou eq. (4)+calculado eq. (6) ou eq. (4)+MoodyMoody
Massa:Massa:Q = todos os tubos!!
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10Diferença de carga ou
nível piezométrico
(11)
(12)
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Pro
fa. K
atia T
annous
EXEMPLOEXEMPLO
Para o sistema abaixo, encontre a potência requerida para bombear 100 l/s de
líquido (d=0,85 e ν=10-5m2/s). A bomba é operada numa eficiência de 75% e
dados adicionais são dados na Tabela abaixo.
2
11
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K2=1 Ke=0,25
SISTEMA DE TUBOS EM PARALELO
ΣKpp
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Pro
fa. K
atia T
annous
EnergiaEnergia: :
Massa:Massa:
2ii
2i2
i
i
BA
QRQ2gA
ΣKRz
γ
pz
γ
p=
+=
+−
+
N,,i K1=∑=
=N
i
iQQ1
12
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(13)
AA vazãovazão dede entradaentrada éé conhecida,conhecida, masmas aa distribuiçãodistribuição dasdas vazõesvazões ee pressãopressão
piezométricapiezométrica sãosão desconhecidasdesconhecidas !!
(14)
Resolução do sistema de equações
Inserindo a variável W (nível piezométrico):
As vazões podem ser escritas (eq. 13):
( ) ( )BA
zpzpW +−+= γγ
i
iR
WQ =
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Pro
fa. K
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annous
(15)
(16)
Substituindo na Eq. Continuidade:
Evidenciando a variável desconhecida:
∑∑==
==N
ii
N
i i RW
R
WQ
11
1
2
1
1
=
∑=
N
iiR
QW
13
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e T
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e I
(17)
(18)
(W (W é igual para todos os tubos)é igual para todos os tubos)
Resolução: Método iterativo
1. Para uma primeira estimativa, assumir que o escoamento em todas a linhas está
na regiãoregião totalmentetotalmente rugosa,rugosa, necessitando somente o conhecimento da
rugosidade relativa para determinação do fatorfator dede fricçãofricção ff em cada tubo.
2. Com o valor de fi , calcular e determinar:
WQ =
2
1
1
=
∑=
N
iiR
QW
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Pro
fa. K
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annous
iR
3. Calcular Qi para cada tubo:
4. Atualizar os valores de fi de cada tubo utilizando os valores de Qi obtidos no
passo anterior e a Equação 5 de Swamee-Jain.
5. Repetir os passos 2 e 4 até que as variáveis desconhecidas W e Qi não variem
de acordo com a tolerância desejada.
i
iR
WQ =
1 =iiR
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e I -
Pro
fa. K
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EXEMPLOEXEMPLO
Encontre a distribuição da vazão e a queda na linha piezométrica para o arranjo
em paralelo de três tubos conforme a Figura abaixo. A vazão é Q = 0,02 m3/s e ν
= 10-6 m2/s.
3
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SISTEMA DE TUBOS RAMIFICADOS
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Pro
fa. K
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annous
oA rede ramificada é constituída de 3 3
elementos conectadoselementos conectados por uma única junção.
o Em contraste com o sistema em paralelo,
não existem loops fechados não existem loops fechados neste sistema.
oAnálise é arbitrária, mas com coerência a
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p/F
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/DT
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e T
ransport
e I
oAnálise é arbitrária, mas com coerência a
direção do escoamento em cada elemento de
tubo.
oA eq. eq. eenergia nergia para cada elemento pode ser
escrita usando o conceito de comprimento conceito de comprimento
equivalenteequivalente para contabilizar as perdas perdas
localizadas.localizadas.
Escoamento por gravidade
Escoamento acionado por bomba
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e I -
Pro
fa. K
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211 QRz
pz
p
BA
=
+−
+
γγ
2QRzp
zp
=
+−
+Energia:
OsOs níveisníveis dede energiaenergia piezométricapiezométrica nosnos pontospontos A,A, C,C, ee DD sãosão conhecidos,conhecidos,
masmas nono pontoponto BB ouou junçãojunção estaesta energiaenergia éé desconhecidadesconhecida ;;
AA direçãodireção ee distribuiçãodistribuição dasdas vazõesvazões tambémtambém sãosão desconhecidasdesconhecidas..
(19)
17
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/DT
F/E
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enos d
e T
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e I
233 QRz
pz
p
CB
=
+−
+
γγ
222 QRz
pz
p
DB
=
+−
+
γγ
0321 =−− QQQ
Assume-se uma direção arbitrária
4 equações: 3 BE e 1 BM4 equações: 3 BE e 1 BM4 4 incógnitas: incógnitas: 3 Q e W3 Q e WBB
Massa:na junção B
(20)
(21)
(22)
Resolução: Método iterativo
1. Assumir uma vazão Q1 no elemento 1 com ou sem uma bomba e determinar o nível
piezométrico na junção B resolvendo o BE (eq. 19) em A-B;
2. Calcular as vazões Qi nas ramificações usando o BE (eqs. 20 e 21) em B-C e B-D;
3. Substituir os valores de Qi no BM (eq. 22) para checar o balanço da continuidade.
4. Geralmente, o BM na junção não será zero e, por isso, uma nova estimativa de Q1
deve ser feita tal que ∆Q = Q - Q -Q < ξ (tolerância). Os passos 2 e 3 são
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p/F
EQ
/DT
F/E
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e T
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e I -
Pro
fa. K
atia T
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deve ser feita tal que ∆Q = Q1 - Q2 -Q3 < ξ (tolerância). Os passos 2 e 3 são
repetidos até que se obtenha as vazões dentro do limite de tolerância desejado.
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p/F
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e I
Unic
am
p/F
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Determine as vazões Qi e o nível piezométrico (carga piezométrica) Hna junção. Assuma fatores de fricção constantes.
4
AC
D
19
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ransport
e I
A
B
C
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e I -
Pro
fa. K
atia T
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EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Para o sistema abaixo, determine as vazões a distribuição de vazão, Qi ,
de água e o nível piezométrico H na junção B. A potência fornecida ao
fluido é constante e igual a γQHB=20kW. Assuma os fatores de fricção
constantes.
20
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A B
C
D
Tabela 5: Dados do sistema de tubos
ANÁLISE DE REDES DE TUBOS
� Rede de tubos com sete tubos, dois reservatórios e uma bomba (Figura abaixo).
� Assume-se que o nívelnível piezométricopiezométrico emem AA ee FF sãosão conhecidosconhecidos; estes pontos são
chamados dede nósnós dede nívelnível fixofixo.
� Vazões de saída estão presentes nos nós C e D. Os nós C e D, juntamente com os
nós B e E, são chamados nósnós internosinternos ouou junçõesjunções.
� As direçõesdireções dosdos escoamentoescoamento nãonão sãosão conhecidasconhecidas inicialmente, mas assume-se
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p/F
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Q541 F
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
� As direçõesdireções dosdos escoamentoescoamento nãonão sãosão conhecidasconhecidas inicialmente, mas assume-se
arbitrariamente uma direção.
21
Unic
am
p/F
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/DT
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enos d
e T
ransport
e I
BalançoBalanço dede EnergiaEnergia parapara cadacada tubotubo ((77 equações)equações)
BalançoBalanço dede massamassa emem cadacada nónó internointerno ((44 equações)equações))
A → B ( ) 2111 QRQHHH BombaBA =+−
B → D 222 QRHH DB =−
C → D 233QRHH DC =−
B → C 244 QRHH CB =−
C → E 255QRHH EC =−
E → D 266 QRHH DE =−
F → E 277 QRHH EF =−
Unic
am
p/F
EQ
/DT
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e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
BalançoBalanço dede massamassa emem cadacada nónó internointerno ((44 equações)equações))
CurvaCurva dada BombaBomba ((11 equaçãoequação)) -- aproximaçãoaproximação
B 0421 =−− QQQ
D DQQQQ =++ 632
C CQQQQ =−− 534
E 0765 =+− QQQ
( ) 2121101 QaQaaQH Bomba ++= 22
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
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enos d
e T
ransport
e I
(23)
Unic
am
p/F
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/DT
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e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
� As variáveis desconhecidas são: Q1,...,Q7, HB, HC, HD, HE e Hbomba .
� 1212 variáveisvariáveis desconhecidasdesconhecidas para um sistema de 1212 equaçõesequações para
serem resolvidas simultaneamente.
�Uma vez que as equaçõesequações de energia e a equação das bombas sãosão
23
Unic
am
p/F
EQ
/DT
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e T
ransport
e I
nãonão-- lineareslineares, é necessário recorrer a algum tipo de soluçãosolução porpor
interaçãointeração sucessivasucessiva.
�As 12 eqs. podem ser reduzidas em número combinando as eqs. de
energia ao longo de caminhos específicos no circuito de tubo.
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Dois caminhos fechados, ou loops internos,
podem ser identificados. O escoamento é
considerado positivo no sentido horário em
cada loop. Os balançosbalanços dede energiaenergia escritosescritos
0536 =+− WWW
0423 =+− WWW
2iii QRW =
Designemos a variável Wi como sendo a
queda do nível piezométrico em um elemento
de tubo i:
(24)
(25)
(26)
24
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
parapara cadacada loop,loop, II ee IIII são:
6
32
54
Para se levar em conta as vazões nos tubos 1 e 7, um caminho pode ser
definido ao longo dos nós A, B, D, E e F. Com a adição do termo da
potência da bomba, o balanço de energia de A até F é:
7621 WWWWHHH FBombaA −−+=−+
Unic
am
p/F
EQ
/DT
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Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
(27)
62
1
7
25
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Substituindo a equação da bomba e a equação do fator de fricção nas
relações de energia das Equações 25, 26 e 27, obtém-se o seguinte
conjunto de equações reduzidas:
0266
255
233 =++− QRQRQR
0244
233
222 =++− QRQRQR
Unic
am
p/F
EQ
/DT
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Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
0443322 =++− QRQRQR
( ) 0277
266
222
212110
211 =−+++−+++− FA HHQRQRQRQaQaaQR
26
Unic
am
p/F
EQ
/DT
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Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Somadas às equaçõesequações dada continuidadecontinuidade, tem-se um sistema dede 77 incógnitasincógnitas
(Q1, ..., Q7) ee setesete equaçõesequações para resolver.
EQUAÇÕES GENERALIZADAS PARA REDES DE TUBOS
1. Equação da Continuidade no j-ésimo nó interno:
� o índice j se refere aos tubos conectados ao nó e Qe representa uma vazão externa
� Convenção do sinal algébrico: positivo para um escoamento entrando no nó e negativo para um escoamento saindo do nó
( ) 0=−±Σ ejj QQ
Pro
fa. K
atia T
annous
2. Balanço de energia ao longo de um loop interno:
� o índice i se refere ao tubos que pertencem ao loop
� Existirá um relação para cada um dos loops
� Convenção do sinal algébrico: positivo é usado se o escoamento no elemento de tubo está no sentido horário; do contrário, é negativo.
( ) [ ] 0Wii =±Σ
27
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
3. Balanço de energia ao longo de um caminho único ou pseudoloop
conectando dois nós fixos:
• onde ∆H é a diferença de magnitude do nível piezométrico dos
( ) ( )[ ] 0=∆+−±Σ HHWiBombaii
28
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
dois nós fixos no caminho ordenado no sentido horário através
de um tubo imaginário no pseudoloop.
• Convenção do sinal algébrico: positivo é usado se o escoamento
no elemento de tubo está no sentido horário; do contrário, é
negativo.
Unic
am
p/F
EQ
/DT
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Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Se FF éé oo númeronúmero dede nósnós fixosfixos no sistema, existirá (F-1) equações para
caminhos distintos. Seja PP o número de elementos de tubo numa rede, JJ
o número de nós internos e LL o número de loops internos.
1−++= FLJP
29
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
1−++= FLJP
No exemplo inicial, temos J = 4, L = 2 e F = 2, tal que P = 4 + 2 + 2 – 1 =7
LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ENERGIA
A equação abaixo é uma relação geral do balanço de energia e pode seraplicada a qualquer caminho ou loop interno de uma rede de tubos.
( ) ( )[ ] 0=∆+−±Σ HHWiBombaii
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Se é aplicada a um loop fechado, ∆∆∆∆H é zero e, se nenhuma bomba existe no
caminho ou loop, Hbomba é igual a zero. No desenvolvimento da
linearização, esta equação será usada para representar qualquer loop ou
caminho na rede de tubos. Inicialmente, define-se a função f (Q) contendo
os termos não lineares W(Q) e HBomba(Q):
( ) ( ) ( ) ( )QHQRQHQWQ Bomba
x
Bomba −=−=φ 30
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Retendo somente os primeiros dois termos do lado direito da equação e abrindo a variável φ(Q):
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous( ) ( ) ( )
( )L+
−+−+=
2
20
2
2
00
00
dQ
dQQ
dQ
dQQ
φφφφ
Esta equação pode ser expandida em série de Taylor assumindo a seguinte
forma, na qual Q0 é uma estimativa de Q.
Note que esta aproximação para a função φφφφ(Q) é linear em relação a Q.
Introduzindo-se um parâmetro G:
( ) ( )( )
( )01
000
0
QQdQ
QdHQRxQHQRQ
Q
Bombax
Bomba
x −
−+−≅ −φ
( )
0
10
Q
Bombax
dQ
QdHQRxG −= −
31
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Finalmente, a equação φ(Q) é substituída na equação da energia de um loop
Substituindo a equação de energia de um loop generalizado:
na qual W0 = W(Q0) e HBomba 0 = HBomba (Q0).
( ) ( ) ( ) ( )GQQHWGQQQHQRQ BombaBomba
x
000000 −+−=−+−=φ
Un
ica
mp
/FE
Q/D
TF
/EQ
54
1 F
en
ôm
en
os d
e T
ran
sp
ort
e I -
Pro
fa. K
atia
Ta
nn
ou
s
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 0000 =∆+⋅−Σ+−±Σ HGQQHW iiiiBombaii
( ) ( )[ ] 0=∆+−±Σ HHWiBombaii
Finalmente, a equação φ(Q) é substituída na equação da energia de um loop
generalizado
resultando uma equação da energia linearizada:
Un
ica
mp
/FE
Q/D
TF
/EQ
54
1 F
en
ôm
en
os d
e T
ran
sp
ort
e I
32
O segundo termo da equação não contém o sinal de mais ou menos uma
vez que Gi é uma função monotônica crescente da correção da vazão.
Considerando Q nas relações acima pode-se assumir valores negativos
ou positivos, e são freqüentemente substituídos por e
respectivamente, em algoritmos.
x0Q
1x0Q − 1x
00 QQ−1x
0Q−
Un
ica
mp
/FE
Q/D
TF
/EQ
54
1 F
en
ôm
en
os d
e T
ran
sp
ort
e I -
Pro
fa. K
atia
Ta
nn
ou
s
respectivamente, em algoritmos.
A equação linearizada da energia forma a base do método de Hardy
Cross e outros métodos de resolução de sistemas lineares.
Un
ica
mp
/FE
Q/D
TF
/EQ
54
1 F
en
ôm
en
os d
e T
ran
sp
ort
e I
33
MÉTODO DE HARDY CROSS
Seja (Q0)i a estimativa das vazões de uma iteração prévia e seja Qi as novas
estimativas das vazões. Em cada loop, é definido o ajuste dos escoamentos ∆∆∆∆Qj daseguinte forma:
( )( )iij QQQ 0−Σ=∆
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
onde o índice j se refere ao loop analisado e
o índice i, aos elementos de tubo que
pertencem ao loop.
O ajuste é aplicado independentemente em todos os tubos num dado loop oucaminho do sistema. Portanto, a equação da energia linearizada pode ser escritapara cada loop na seguinte forma:
( ) ( ) ( )[ ] 000 =∆+Σ⋅∆+−±Σ HGQHW ijiBombaii
34
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Resolvendo a equação para ∆Q , temos:( ) ( ) ( )[ ]
i
iBombaii
jG
HHWQ
Σ
∆−−±Σ−=∆
00
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A solução iterativa de Hardy Cross é descrita nos seguintes passos:
1. Assume-se uma estimativa inicial para a distribuição das vazões que satisfaça a continuidade em cada k-ésimo nó interno:
2. Para cada j-ésimo loop ou caminho , calcula-se:
( ) 0=−±Σ ekk QQ
( ) ( ) ( )[ ]iBombaii HHW
Q∆−−±Σ−
=∆00
O termo Σ∆Qj é usado paraa correção das vazões poiscada elemento de tubopertence a mais de um loopou caminho. Portanto, acorreção será a soma dacorreções obtida em todosos loops aos quais o
35
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
3. A vazão é atualizada em cada i-ésimo elemento de tubo da rede :
4. Os passos 2 e 3 são repetidos com os valores atualizados das vazões até que a precisão desejada seja alcançada. Um possível critério é:
i
ij
GQ
Σ=∆
( ) ∑∆+= jii QQQ 0
( )ε≤
Σ
−Σ
i
ii
Q
QQ 0
os loops aos quais oelemento de tubo pertence.
EXEMPLO DO MÉTODO DE HARDY CROSS
Para o sistema de tubos mostrado na figura abaixo, determinar adistribuição de vazão e o nível piezométrico nas junções usando o métodode Hardy Cross.
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
OBS.: As unidades estão em SI
36
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
( ) ( )
1234
1234
GGGG
zzWWWWQ BA
I+++
−−±±±±−=∆
Resolução: existem 5 junções (J = 5), oito tubos (P = 8) e dois nós fixos (F = 2).
Portanto o número de loops fechados é L = 8 - 5 - 2 + 1 = 2, somado a mais um
pseudoloop. AA equaçãoequação dede ∆∆QQ éé aplicadaaplicada aosaos loopsloops I,I, IIII ee IIIIII::
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
IQ1
Q2 Q3
Q4
Q7
Q5
Q8Q6III
II
( )
853
853
GGG
WWWQ III
++
±±±−=∆
( )
6782
6782
GGGG
WWWWQ II
+++
±±±±−=∆
37
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
O problema é resolvido utilizando uma planilha eletrônica. A seguir, estão
apresentados os cálculos da primeira iteração. Na planilha, o sinal correto é
atribuído a cada W automaticamente usando a relação: 1−=±
xQQRW
IQ1 Q2 Q3
Q4
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Loop I
Ri Qi Ri Qi |Q|i 2 Ri |Q|i Qi novo
∆H 20
Tubo 4 100 -0,02 -0,04 4 -0,022 SWi = 0,55
Tubo 3 200 -0,06 -0,72 24 -0,064 SGi = 222
Tubo 2 500 -0,13 -8,45 130 -0,137 DQi = -0,0025
Tubo 1 100 -0,32 -10,24 64 -0,32238
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Loop II
Ri Qi Ri Qi |Q|i 2 Ri |Q|i Qi novo
Q2
Q7
Q8Q6 II
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Ri Qi Ri Qi |Q|i 2 Ri |Q|i Qi novo
Tubo 2 500 0,13 8,45 130 0,137 ΣWi = -1,55
Tubo 8 300 0,07 1,47 42 0,074 ΣGi = 318
Tubo 7 400 -0,04 -0,64 32 -0,035 ∆Qi = 0,0049
Tubo 6 300 -0,19 -10,83 114 -0,185
39
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Loop III
Q5
Q8 III
Q3
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Loop III
Ri Qi Ri Qi |Q|i 2 Ri |Q|i Qi novo
Tubo 3 200 0,06 0,72 24 0,064 SWi = -0,11
Tubo 5 400 0,04 0,64 32 0,041 SGi = 98
Tubo 8 300 -0,07 -1,47 42 -0,074 DQi = 0,0011
40
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Valores finais das vazões em litros/segundo:
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
41
Unic
am
p/F
EQ
/DT
F/E
Q541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I