Reciclando tópicos de Cálculo Numérico através de estimativas sobre

produção de lixo doméstico

Guilherme G. Loch, Alice Kozakevicius Departamento de Matemática, CCNE, UFSM,

97105-900, Santa Maria, RS

E-mail: guiloch@hotmail.com, alice.kozakevicius@gmail.com

Palavras-chave: Ensino, Cálculo Numérico, obtenção de estimativas, lixo doméstico

Resumo: A produção de lixo doméstico é considerada neste trabalho como pano de fundo para abordar tópicos relacionados à disciplina de cálculo numérico de forma mais contextualizada. Neste

trabalho, são descritas estratégias didáticas utilizadas em sala de aula ao longo de um semestre, com

o intuito de criar uma conexão entre aplicações e conteúdos da disciplina. Nesse sentido, questões

práticas envolvendo aspectos sobre a produção de lixo local são tratadas por meio de ferramentas desenvolvidas com os métodos numéricos ensinados ao longo do semestre.

1 Introdução A questão da produção de lixo nas cidades, apesar de vir recebendo atenção dos meios de

comunicação locais, como por exemplo o artigo [2], do Jornal Diário de Santa Maria, RS, ainda está longe de ser tratada de forma consciente pela população como um todo e de ter uma ampla política de

manejo, preocupada com questões relacionadas ao impacto ambiental e à contaminação de rios,

córregos e subsolo de modo geral. Esta afirmação é baseada simplesmente na observação dos aterros sanitários a céu aberto, que são, ainda hoje na maioria das cidades, o destino final dado ao lixo

produzido diariamente.

A falta de consciência e de alternativas envolvendo a problemática do lixo em nossa comunidade são os focos motivadores deste trabalho. Além disso, através da ideia de que “o fenômeno

modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas da própria

matemática” [1], apresenta-se uma proposta de metodologia de ensino para a disciplina de Cálculo

Numérico contextualizada na temática do lixo doméstico, implementada no primeiro semestre de 2009 no curso de Matemática da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), RS, cujas referências

principais seguem sendo a bibliografia indicada pelo Ministério da Educação e Cultura, [7] e [8].

2 Apresentação da Proposta e Coleta de Dados O estímulo inicial para a abordagem do tema “Lixo” dentro da disciplina foi a apresentação no

primeiro dia de aula do filme “Ilha das Flores” de Jorge Furtado [4], provocando assim uma discussão

sobre vários aspectos abordados no filme e como conectá-los com a disciplina. A partir daí, os

acadêmicos da disciplina foram organizados em grupos para pesquisar sobre a produção e o destino do lixo na cidade de Santa Maria, RS, e realizar uma coleta de dados estatísticos levantados com base na

pesagem do lixo produzido em um mês nas suas residências, conforme apresenta a Tabela 1.

Dia da

Semana

Coleta

Número

Total do

Dia

Total

Acumulado

Dia da

Semana

Coleta

Número

Total

do Dia

Total

Acumulado

Sexta-feira 01 19,341 19,341 Sexta-feira 07 18,513 153,374

Segunda-feira 02 30,242 49,583 Segunda-feira 08 26,615 179,989

Quarta-feira 03 19,720 69,303 Quarta-feira 09 18,653 198,662

Sexta-feira 04 20,041 89,344 Sexta-feira 10 20,791 219,453

Segunda-feira 05 25,139 114,483 Segunda-feira 11 23,770 243,223

Quarta-feira 06 20,378 134,861 Quarta-feira 12 17,450 260,673 Fonte: Acadêmicos da disciplina de Cálculo Numérico – 2009/1 da Universidade Federal de Santa Maria, RS.

Tabela 1: Produção de lixo em kg, período de quatro semanas: estimativa por coleta e valor acumulado.

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A coleta dos dados foi realizada durante quatro semanas e o período de coleta aconteceu entre

os meses de março e abril de 2009, sendo que a primeira coleta ocorreu em 20/03/2009. Os dados

coletados foram organizados inicialmente em tabelas individuais, depois por grupo e finalmente para a turma inteira.

No período de quatro semanas, a produção estimada foi de 260,673 kg de lixo em uma turma de

15 alunos que juntamente com seus familiares e/ou companheiros de residência contabilizam um total de 36 pessoas.

3 Tópicos de Cálculo Numérico Os dados coletados serviram como material de apoio para a compreensão dos conceitos sobre

erro de arredondamento e de truncamento, interpolação, interpolação inversa e métodos de ajuste de curvas e de solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).

Depois da coleta de dados e da discussão sobre o erro embutido nas medidas e aproximações

feitas para o lixo coletado, onde se pôde explorar as definições de erro de arredondamento e erro de truncamento, na etapa seguinte foram abordadas as questões relativas à escolha de software ou

aplicativo para visualização dos dados e diferentes maneiras de organização destes dados em tabelas.

O aplicativo gratuito GNUPLOT [9] foi escolhido por ser de livre acesso e de fácil utilização.

A noção de interpolação linear local é facilmente e naturalmente introduzida quando são traçados os gráficos dos valores das tabelas obtidas, uma vez que o próprio aplicativo GNUPLOT tem

como modo padrão de apresentação de dados discretos as opções com ou sem linhas unindo os pontos.

A partir de questionamentos com relação à outra função que poderia unir os pontos da Tabela 1, se dá a construção do polinômio interpolador de Lagrange (Figura 1(a)). Aqui, com o recurso de se traçar o

gráfico do polinômio interpolador para todos os pontos do intervalo que contém os valores associados

aos dados coletados, é permitida uma melhor compreensão e fixação do que significa ser interpolador

e do que significa produzir aproximações para os valores que não estão tabelados. Para se estimar em quanto tempo seria produzida certa quantidade de lixo, os valores acumulados foram interpolados

através do método da interpolação inversa. Para tal, foram invertidas as colunas da Tabela 1 e, dessa

vez, os dias de coleta estavam em função do lixo acumulado.

(a) (b)

Figura 1: (a) Interpolação linear local e polinômio interpolador de Lagrange do lixo estimado nos dias de

coleta; (b) Método dos Mínimos Quadrados Não Linear através de uma função trigonométrica

h2(x) = a + b(cos(cx+d)) para o lixo estimado em cada dia de coleta.

Observando-se o comportamento do polinômio interpolador nas vizinhanças dos valores das

fronteiras, fica evidente que ele não é um bom candidato a polinômio extrapolador. Então, a questão

de se construir uma função que melhor se ajuste à tendência apresentada pelo diagrama de dispersão torna-se extremamente natural e pertinente. Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados encontrou-

se uma função linear que se ajusta ao lixo acumulado no período de coleta e através do Método dos

Mínimos Quadrados Não Linear encontrou-se uma função trigonométrica que se ajusta ao lixo

produzido em cada dia de coleta (Figura 1(b)). Através da utilização de ferramentas tecnológicas tão em destaque atualmente, foi utilizado o

programa computacional Google Earth [6] para a visualização da Central de Tratamento de Resíduos

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da Caturrita, aterro no qual o lixo produzido na região de Santa Maria é depositado diariamente. Além

disso, foi construído com recursos do próprio aplicativo um polígono circunscrito à área da imagem

que corresponde ao lixo coletado em um dia (área ainda não aterrada). A partir disso, foi obtida uma aproximação do volume ocupado por este lixo. Este volume tem cerca de 401,87 m³.

A partir das estimativas obtidas anteriormente e com base nas informações a respeito da

densidade média do lixo [5] e da quantidade de seres microvetores de doenças (bactérias) encontrada no lixo [3], como forma de ilustrar a relevância da questão abordada sobre o tratamento do lixo, foi

construído um problema de valor inicial (PVI) associado a uma EDO supondo que a taxa de

proliferação por hora destes microrganismos seja proporcional ao número presente a cada instante e

que assume o valor 0,11. Para constatar a quantidade existente de bactérias no fim da primeira hora, utilizou-se o Método de Euler para resolução de EDO e verificou-se que a solução aproximou-se da

solução exata do PVI. No entanto, o resultado em termos práticos é alarmante, uma vez que a escala

de produção desses agentes de contaminação é gigantesca.

4 Conclusão Neste trabalho, vários tópicos de cálculo numérico são explorados através de um contexto

bastante relevante para a comunidade: a produção de lixo doméstico. Na verdade, o que se propõe é a

utilização desta disciplina como fórum de discussão e conscientização dos alunos participantes do projeto (e consequentemente seus familiares) sobre a produção exagerada de lixo em suas residências,

seus riscos e consequências para a comunidade em geral.

Foi constatado que a associação dos métodos numéricos e do aplicativo GNUPLOT com o tema transversal „lixo‟ suscitou investigações, cálculos, formulações de exemplos, conscientização

ambiental, questionamentos e discussões sobre o lixo urbano de Santa Maria.

Neste trabalho, a etapa inicial de coleta das informações sobre o lixo domiciliar teve um papel

importante no desenvolvimento dos exemplos, pois as perguntas formuladas e exploradas ao longo de todo o semestre tiveram um caráter de tomada de informações, coleta de dados, tomada de consciência

das estimativas produzidas e verificação de sua coerência com dados realistas. No entanto, além de

estimativas sobre a produção do lixo doméstico, outros aspectos podem e devem ser incorporados a este trabalho, permitindo uma visão ainda mais ampla e realista da temática do lixo.

Nossa grande expectativa é de que a partir dos exemplos formulados para cada conteúdo da

disciplina, nos quais informações significativas são abordadas como pano de fundo, possa-se estimular a tomada de consciência, além de se passar para a exploração de uma segunda e fundamental etapa, a

de busca de alternativas para o tratamento do lixo em nossas comunidades.

Referências [1] R. C. Bassanezi, “Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia”, 3. ed, São Paulo, Contexto, 2006.

[2] T. P. Dutra, O lixo é seu. O problema é nosso, em Diário de Santa Maria, Santa Maria, 11 e 12 abr.

2009, Caderno MIX, p. 3 - 5. [3] J. A. Ferreira, Lixo domiciliar e hospitalar: semelhanças e diferenças, em CONGRESSO

BRASILEIRO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL, 20., 1999, Rio de Janeiro, RJ.

Anais... Rio de Janeiro, ABES, 1999.

[4] J. Furtado, Ilha das Flores, Porto Alegre, Casa de Cinema de Porto Alegre, 1989. Disponível em: <http://www.portacurtas.com.br/Filme.asp?Cod=647#>. Acesso em: 29 jun. 2009.

[5] L. P. Gomes, D. C. da Conceição e A. Fleck, Avaliação dos recalques em sistemas piloto de

aterramento de resíduos sólidos urbanos, em CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL, 19., 1997, Foz do Iguaçu, PR. Anais... Rio de Janeiro, ABES, 1997.

[6] GOOGLE EARTH 5.2.1.1588, Programa Computacional.

[7] A. F. Humes et al, “Noções de cálculo numérico”, São Paulo, McGraw-Hill, 1984. [8] M. A. G. Ruggiero e V. L. R. Lopes, “Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais”, 2.

ed, São Paulo, Makron Books, 1996.

[9] T. Williams et al, GNUPLOT, versão 4.2, Programa matemático de linha de comando.

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