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Receita, Custo e Lucro

1. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor

mensal resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x e o custo mensal da produção é

dado por 2C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor

resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes. 2. (G1 - ifsp 2014) Uma confecção tem um custo fixo com contas de água, luz e salário de funcionários de R$5000,00 por mês. Cada peça de roupa produzida tem um custo de R$4,00 e é vendida por R$12,00. O número de peças que devem ser produzidas e vendidas para se obter um lucro igual ao custo fixo é a) 125. b) 250. c) 650. d) 1250. e) 1275. 3. (Uece 2014) Um comerciante comprou um automóvel por R$ 18.000,00, pagou R$ 1.000,00

de imposto e, em seguida, vendeu-o com um lucro de 20% sobre o preço de venda. O lucro do comerciante foi a) R$ 3.750,00. b) R$ 4.050,00. c) R$ 4.350,00. d) R$ 4.750,00. 4. (Unicamp 2014) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve a) lucro de R$ 6,00. b) nem lucro nem prejuízo. c) prejuízo de R$ 6,00. d) lucro de R$ 6,50.


5. (Ibmecrj 2013) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de

R$ 6,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a

quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.

Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o

maior lucro ao proprietário é: a) R$ 5,00 b) R$ 5,25 c) R$ 5,50 d) R$ 5,75 e) R$ 6,00 6. (Uern 2013) Uma artesã produz diversas peças de artesanato e as vende em uma feira no centro da cidade. Para um vaso, especialmente confeccionado em madeira, o lucro obtido em

função da quantidade produzida e vendida x é representado por 2f(x) x 50x. Existe,

porém, uma determinada quantidade em que o lucro obtido é o máximo possível e quantidades superiores produzidas e vendidas não geram mais lucro; ao contrário, começam a diminuí-lo, em função dos crescentes custos de produção. Para esse vaso, a quantidade máxima recomendada para sua produção e o lucro máximo que pode ser obtido são, respectivamente, a) 24 e R$480,00. b) 25 e R$625,00. c) 25 e R$650,00. d) 35 e R$735,00. 7. (Fgv 2013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade

B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? a) R$ 220,00 b) R$ 230,00 c) R$ 240,00 d) R$ 250,00 e) R$ 260,00 8. (Enem PPL 2013) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = −x

2 + 12x − 20, onde x

representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a a) 4. b) 6. c) 9. d) 10. e) 14.


9. (Ufg 2013) Um comerciante comprou um lote de um produto A por R$ 1.000,00 e outro, de um produto B, por R$ 3.000,00 e planeja vendê-los, durante um certo período de tempo, em kits contendo um item de cada produto, descartando o que não for vendido ao final do período. Cada kit é vendido ao preço de R$ 25,00, correspondendo a R$ 10,00 do produto A e R$ 15,00 do B. Tendo em vista estas condições, o número mínimo de kits que o comerciante precisa vender, para que o lucro obtido com o produto B seja maior do que com o A, é: a) 398 b) 399 c) 400 d) 401 e) 402 10. (Fgvrj 2013) José comprou um imóvel por R$120.000,00 e o vendeu por R$140.000,00.

Algum tempo depois, recomprou o mesmo imóvel por R$170.000,00 e o revendeu por R$200.000,00. Considerando-se apenas os valores de compra e venda citados, José obteve um lucro total de a) R$200.000,00 b) R$80.000,00 c) R$50.000,00 d) R$30.000,00 e) R$20.000,00 11. (Insper 2013) Uma empresa vende x unidades de um produto em um mês a um preço de R$100,00 por unidade. Do total arrecadado, 24% são destinados ao pagamento de impostos e R$6.000,00 cobrem despesas fixas. A receita da empresa, descontando-se os impostos e os custos fixos, é dada por a) 100x 4560. b) 76x 6000. c) 100x 6000. d) 76x 4560. e) 24x 6000. 12. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Uma fábrica vende por mês 30 camisas ao preço de 25 reais

cada. O custo total de cada camisa para a fábrica é de R$10,00. O gerente da fábrica observou que, a cada redução de R$0,50 no preço unitário de cada camisa, são vendidas 5 camisas a mais. Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na venda de cada camisa é de y%. O número de divisores de y é a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 13. (Udesc 2012) Jorge foi um vendedor ambulante credenciado para trabalhar em uma praia do litoral catarinense na temporada 2011/2012, que teve início em 15 de dezembro e término em 15 de março. Como esta foi a primeira temporada em que Jorge trabalhou como vendedor ambulante, ele adquiriu 100 cadeiras de praia e 50 guarda-sóis ao custo de R$35,00 e R$80,00, respectivamente. O aluguel cobrado por Jorge para estes itens está apresentado na tabela.

Item Aluguel (R$)

Cadeira 5,00

Guarda-sol 10,00

Cadeira & Guarda-sol 13,00


Suponha que, durante toda a temporada, Jorge tenha alugado em média 80% de suas cadeiras e 80% de seus guarda-sóis por dia. Sabendo que o número de cadeiras, cadeiras & guarda-sóis e guarda-sóis alugados por dia, nesta ordem, forma uma progressão aritmética, o lucro líquido obtido por Jorge na temporada 2011/2012 com a locação dos itens apresentados na tabela, sem considerar despesas adicionais, foi: a) R$ 68.080,00 b) R$ 60.580,00 c) R$ 59.840,00 d) R$ 67.340,00 e) R$ 59.100,00 14. (Ufrn 2012) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de

R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a

quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.

Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o

maior lucro ao proprietário é a) R$ 2,50.

b) R$ 2,00.

c) R$ 2,75.

d) R$ 2,25.

15. (Ulbra 2012) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um

matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n

2, onde C representa o custo, em reais,

para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? a) – 625. b) 125. c) 1245. d) 625. e) 315.

16. (G1 - cftmg 2012) Se a função 1

L(x) 10.(x 2). x10

representa o lucro de uma

indústria em que x é a quantidade de unidades vendida, então o lucro será a) mínimo para x 3. b) positivo para x 2.

c) máximo para 1

x .10

d) positivo para 1

x 2.10

17. (Fgv 2012) Uma loja vende semanalmente x relógios quando seu preço por unidade p, em

reais, é expresso por p 600 10x. A receita semanal de vendas desse produto é R$5.000,00

para dois valores de p. A soma desses valores é: a) R$ 400,00 b) R$ 450,00 c) R$ 500,00 d) R$ 550,00 e) R$ 600,00


18. (G1 - ifsc 2012) A receita obtida pela venda de um determinado produto é representada

pela função R(x) = – x2 + 100x, onde x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida

função é apresentado abaixo.

É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comercializadas para atingir a receita máxima e o valor máximo da receita são, respectivamente, a) 50 e 2.000. b) 25 e 2.000. c) 100 e 2.100. d) 100 e 2.500. e) 50 e 2.500. 19. (Fgv 2012) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo

mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e

vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês?

a) 1740 b) 1750 c) 1760 d) 1770 e) 1780


20. (Epcar (Afa) 2011) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico

abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas.

Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender a) no mínimo 2 bolsas. b) pelo menos 1 bolsa. c) exatamente 3 bolsas. d) no mínimo 4 bolsas. 21. (Fgv 2011) Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como matéria-prima, por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00. Em 2009, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 terá de ser x% maior que a de 2009. O valor mais próximo de x é: a) 120 b) 100 c) 80 d) 60 e) 40 22. (Enem 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função,

simbolizada por CT , enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da

quantidade q também é uma função, simbolizada por FT . O lucro total (LT) obtido pela venda

da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) FT(q) CT(q) . Considerando-se

as funções FT(q) 5q e CT(q) 2q 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima

de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 23. (Uel 2011) Um comerciante pagou R$ 600,00 por 150 caixas de um produto. Em qual

intervalo de valores deverá ser escolhido o valor V, de venda de cada caixa, para que o

comerciante tenha um lucro entre R$ 150,00 e R$ 300,00 ?

a) R$ 3,00 V R$ 4,50

b) R$ 4,00 V R$ 5,00

c) R$ 4,00 V R$ 4,50

d) R$ 5,00 V R$ 6,00

e) R$ 6,00 V R$ 7,00


24. (Enem cancelado 2009) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com

custos fixos de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos produzidos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é

a) b)

c) d)

e) 25. (Enem cancelado 2009) A empresa SWK produz um determinado produto x, cujo custo de fabricação é dado pela equação de uma reta crescente, com inclinação dois e de variável x. Se não tivermos nenhum produto produzido, a despesa fixa é de R$ 7,00 e a função venda de cada unidade x é dada por

−2x2 + 229,76x − 441,84.

Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez algumas demissões. Com isso, caiu em 12% o custo da produção de cada unidade produzida. Nessas condições, a função lucro da empresa pode ser expressa como a) L(x) = −2x

2 + 228x − 448,00

b) L(x) = −2x2 + 227,76x − 448,84

c) L(x) = −2x2 + 228x − 441,84

d) L(x) = −2x2 + 229,76x − 441,84

e) L(x) = −2x2 + 227,76x − 448,96


Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) – C(x) = – 2x

2 + 28x + 40

O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: Vb 28

x 72 a 2 ( 2)

Resposta da questão 2:

[D] Considerando que x é o número de peças produzidas. Custo: C(x) = 5000 + 4x Lucro: L = 12x Logo, L(x) – C(x) = 5000 12x – 4x – 5000 = 5000 8x = 10000 x = 1250. Resposta da questão 3: [D] V: preço da venda L: Lucro C: Custo

V C L

V (18000 1000) 0,2V

0,8V 19000 ( 4)

0,2V 4750

L R$4750,00


[A]

Seja a

b

o quociente da divisão de a por b, com a, b e a

.b

Nos dois primeiros meses, o investidor comprou 200 200

22 28 509 7

ações, ao custo

total de 22 9 28 7 198 196 R$ 394,00. Portanto, vendendo essas ações ao preço

unitário de R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de 8 50 394 R$ 6,00.

Observação: Note que é indiferente o fato do investidor comprar ou não ações no terceiro

mês.



[D]

Seja x o número de reduções de R$ 0,10 no preço de venda do sanduíche.

A receita obtida com a venda dos sanduíches é dada pela função R : , definida por

2

R(x) (6 0,1 x) (200 20 x)

2x 100x 1200.

Além disso, o custo total para produzir os sanduíches é dado pela função C : , definida

por

C(x) 4,5 (200 20x)

90x 900.

Por conseguinte, a função que dá o lucro total é L : , definida por

2

2

L(x) R(x) C(x)

2x 100x 1200 (90x 900)

2x 10x 300.

O valor de x que proporciona o lucro máximo é igual a 10

2,5.2 ( 2)

Portanto, o resultado pedido é 6 0,1 2,5 6 0,25 R$ 5,75.

Resposta da questão 6: [B]

Reescrevendo a lei de f sob a forma canônica, obtemos

2

2

2

f(x) x 50x

[(x 25) 625]

625 (x 25) .

Portanto, para x 25 o lucro atinge valor máximo igual a R$ 625,00.

Resposta da questão 7: [D]

Seja x o número de aumentos de R$ 10,00 no preço da passagem.

A receita de cada voo é dada pelo produto entre o preço da passagem e o número de passageiros, ou seja,

R(x) (200 10x) (120 4x)

40 (x 20) (x 30).

Logo, o número de aumentos que proporciona a receita máxima é


v20 30

x 52

e, portanto, o resultado pedido é 200 10 5 R$ 250,00.

Resposta da questão 8: [B] Determinando o valor do x do vértice, temos:

V12

x 62 ( 1)


[D] Segundo os dados do problema, temos: Lucro com o produto A: 10x – 1000 Lucro com o produto B: 15x – 3000 Portanto,

15x 3000 10x 1000

5x 2000

x 400

Logo, o número mínimo de kits será 401. Resposta da questão 10:

[C]

O lucro de José na primeira operação foi de 140000 120000 R$ 20.000,00, enquanto que

na segunda foi de 200000 170000 R$ 30.000,00. Portanto, José obteve um lucro total de

20000 30000 R$ 50.000,00.

Resposta da questão 11: [B] A receita bruta é dada por 100x. Logo, após o pagamento dos impostos restarão

100x (1 0,24) 76x reais e, portanto, com o pagamento dos custos fixos será obtida a receita

líquida de 76x 6000 reais. Resposta da questão 12:

Questão anulada no gabarito oficial. A receita será dada por: R(x) = (30 + 5x) (25 – 0,5x), em que x é número de reduções de 50 centavos. Para vender 150 camisas, x deverá ser igual a 24 e o preço de cada camisa será 13,00 (25 – 0,5 24). Portanto, o lucro obtido por cada camisa será:


13 10y% 30%

10

Logo, y = 30 que possui 16 divisores (positivos e negativos). Ficando claro que a questão considerou apenas os divisores positivos, portanto a resposta certa é 8, informação que não apareceu no enunciado do exercício. Resposta da questão 13: [B]

Jorge alugou, diariamente, 0,8 100 80 cadeiras e 0,8 50 40 guarda-sóis. Logo, sabendo

que os números de cadeiras, cadeiras & guarda-sóis e guarda-sóis alugados por dia, nessa

ordem, formam uma progressão aritmética, obtemos (c, 80 c, g), com

80 c 40 g g c 40.

Assim, da progressão aritmética (c, 80 c, g), vem

2 (80 c) c g 160 2c c c 40

c 50

e, portanto,

g 50 40 10.

Daí, como o custo de Jorge foi de 100 35 50 80 R$ 7.500,00 e a receita obtida durante os

92 dias foi de (50 5 30 13 10 10) 92 R$ 68.080,00, segue que o lucro líquido foi de

68080 7500 R$ 60.580,00.


[C]

Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então serão vendidos (200 20x) sanduíches ao

preço de (3 0,1x) reais.

Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por:

L(x) (3 0,1x)(200 20x) 1,5(200 20x)

2(x 10)(x 15).

Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz o maior lucro para o proprietário é:

10 15x 2,5

2

e, portanto, o resultado pedido é 3 0,1 2,5 R$ 2,75.


[B]

O número de unidades a serem produzidas para se obter o custo mínimo é 250

125.2 1



[D]

Estudando o sinal da função acima, temos:

Lucro positivo para 1

x 2.10

Resposta da questão 17: [E] A receita R(x) da loja será dada por: R(x) = x.(600 – 10x) R(x) = 600x – 10x

2

Fazendo R(x) = 5000, temos: 5000 = 600x – 10x

2

10x2 – 600x + 5000 = 0 x = 10 ou x = 50

Temos, então, dois valores para p, p = 600 – 10.10 = 500 ou p = 600 – 10.50 = 100. Então, 500 + 100 = 600. Resposta da questão 18: [E] A quantidade comercializada para se ter a receita máxima é o x do vértice e a receita máxima corresponde ao y do vértice.

V

2

100bx 50.

2 a 2 ( 1)

100y 2500.

4a 4 ( 1)

Δ



[B]

Custo: 15000 5000

C x x 5000 10x 50001000

Receita: 15000 0

R x x 15x1000

Lucro:

L x R x – C x

L x 15x – 10x 5000

L x 5x – 5000

L 1350 5. 1350 – 5000

L 1350 1750

Resposta da questão 20: [B] c(x) = 10 + 8x e f(x) = 20x. Fazendo f(x) > c(x), temos: 20x > 10 + 8x 12x > 10 x > 10/12 Logo, deverá ser vendida pelo menos uma bolsa. Resposta da questão 21:

[E] O custo para produzir n camisas é dado por:

C(n) 40n 96000.

Se o preço de venda unitário é R$ 80,00, então a receita obtida com a venda de n camisas é:

R(n) 80n.

Para um lucro de R$ 60.000,00, temos:

L(n) R(n) C(n)

60000 80n (40n 96000) 40n 96000 60000 n 39000,

ou seja, deverão ser vendidas 39.000 camisas para que a empresa lucre R$ 60.000,00.

Agora devemos calcular quantas camisas a empresa deverá vender para lucrar R$120.000,00.

L(n') 120000 40n' 96000 120000 n' 54000.

Desse modo, para dobrar o lucro a empresa deverá vender em 2010

54000 39000100% 38,46%

39000

a mais do que vendeu em 2009 e, portanto, o valor mais próximo de x é 40.



[D]

5q 2q 12

5q 3q 12

3q 12

q 4

Portanto, a quantidade mínima deverá ser 4 unidades. Resposta da questão 23: [D] Valor de cada caixa = 600 : 150 = 4,00 Lucro mínimo por caixa = 150 : 150 = 1,00 Lucro máximo por caixa = 300 : 150 = 2,00

Logo, 4 1 V 4 2 5 V 6 Resposta da questão 24: [B] Seja L(x) a função que representa o lucro. L(x) = V(x) – C(x) L(x) = 0,7x – (1 + 0,1x) L(x) = 0,6x – 1, construindo o gráfico temos:


[A] C(x) = 2x + 7 V(x) −2x

2 + 229,76x − 441,84.

L(x) = −2x2 + 229,76x − 441,84. – 0,88(2x + 7)

L(x) = −2x2 + 228x − 448,00

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