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Áreas de Figuras Planas

1. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro

3R, conforme ilustra a imagem.

A área do setor equivale a:

a) 2R

b) 2R

4

c) 2R

2

d) 23R

2

2. (Espcex (Aman) 2014) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km

2, a área total que está protegida

por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.

a) 23

2π

b) 23

4π

c) 385

8π

d) 195

4π

e) 529

4π


3. (Uece 2014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de

suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m

2, é

a) 80. b) 90. c) 108. d) 1182. 4. (Uea 2014) Admita que a área desmatada em Altamira, mostrada na fotografia, tenha a forma e as dimensões indicadas na figura.

Usando a aproximação 3 1,7, pode-se afirmar que a área desmatada, em quilômetros

quadrados, é, aproximadamente, a) 10,8. b) 13,2. c) 12,3. d) 11,3. e) 15,4. 5. (Upe 2014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um

círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono.

Considere: 3π e 3 1,7

Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a) 2,0 cm

2

b) 3,0 cm2

c) 7,2 cm2

d) 8,0 cm2

e) 10,2 cm2


6. (G1 - ifce 2014) O plantio da grama de um campo de futebol retangular foi dividido entre três

empresas. A primeira empresa ficou responsável por 4

7 da área total, a segunda empresa ficou

responsável por 3

10 da área total e a última empresa pelos 2900 m restantes. Sabendo--se

que o comprimento do campo mede 100 m, sua largura é

a) 66 m. b) 68 m. c) 70 m. d) 72 m. e) 74 m. 7. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m

2

b) 1.800 m2

c) 2.000 m2

d) 2.200 m2

e) 2.400 m2

8. (G1 - cftrj 2014) Se ABC é um triângulo tal que AB = 3cm e BC = 4cm, podemos afirmar que

a sua área, em cm2, é um número:

a) no máximo igual a 9 b) no máximo igual a 8 c) no máximo igual a 7 d) no máximo igual a 6 9. (G1 - utfpr 2014) A área do círculo, em cm

2, cuja circunferência mede 10 cm,π é:

a) 10 .π b) 36 .π c) 64 .π d) 50 .π e) 25 .π


10. (Ufg 2014) Na figura a seguir, as circunferências 1 2 3C , C , C e 4C , de centros 1 2 3O , O , O e

4O , respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à

circunferência C de centro O e raio R.

Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os

centros 1 2 3O , O , O e 4O .

11. (Fgv 2014) Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC 5 e ABC 30 , pode-

se afirmar que a área do triângulo ABC é:

a) 3,025 3

b) 3,125 3

c) 3,225 3

d) 3,325 3

e) 3,425 3

12. (G1 - cftmg 2014) Um jardim geométrico foi construído, usando a área dividida em regiões,

conforme a figura seguinte.

Sabe-se que:

- AOB representa o setor circular de raio 2 m com centro no ponto O.

- CDEF é um quadrado de área 21m .

- a área da região II é igual a 23m .

3 2

π

- a região IV é reservada para o plantio de flores. A área, em m

2, reservada para o plantio de flores é

a) .3

π b) .

2

π c)

2.

3

π d)

3.

2

π


13. (Ifsc 2014) Ao fazer uma figura, através da técnica de Kirigami (arte tradicional japonesa

de recorte com papel, criando representações de determinados seres ou objetos), uma pessoa precisou recortar uma folha A4 no formato da figura a seguir (um triângulo retângulo e três quadrados formados a partir dos lados do triângulo). Sabe-se que a soma das áreas dos três quadrados é 18 cm

2.

Em relação aos dados acima, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 01) A área do quadrado 2 é 8 cm

2.

02) Com as informações dadas, podemos determinar os valores dos lados dos quadrados 1 e 3.

04) A soma das áreas dos quadrados 1 e 3 é 9 cm2.

08) O lado do quadrado 2 vale 3 cm. 16) Os lados dos três quadrados apresentados estão relacionados pelo teorema de Pitágoras. 14. (Ufrgs 2014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro

nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado 2.

A área da região sombreada é

a) 4 8 8 2.π

b) 4 8 4 2.π

c) 4 4 8 2.π

d) 4 4 4 2.π

e) 4 2 8 2.π


15. (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O,

como apresentado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo AOB.

b) Calcule a área da região hachurada.

c) Calcule a área do triângulo ABC.

16. (G1 - ifce 2014) Um terreno retangular mede 270 m

2 de área, cujo comprimento está para

sua largura, assim como 6 está para 5. A sua largura e o seu comprimento são, respectivamente, a) 18 m e 16 m b) 19 m e 17 m c) 18 m e 15 m d) 17 m e 14 m e) 20 m e 18 m 17. (G1 - ifsp 2014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e

possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura.

Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a a) 148. b) 152. c) 156. d) 160. e) 164.

18. (Ucs 2014) As medidas dos lados de um terreno A, de 250 m , em forma de retângulo,

são dadas, em metros, por 3x 2 e x 1.

Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relação entre as

medidas dos lados, porém com 2250 m de área, em quanto deve ser aumentado, em metros, o

valor do parâmetro x ?

a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 14


19. (Pucrs 2014) A área ocupada pela arena do Grêmio, no bairro Humaitá, em Porto Alegre, é

de 200 000m2, e o gramado do campo de futebol propriamente dito tem dimensões de 105m

por 68m. A área de terreno que excede à do campo é, aproximadamente, de _________ m2.

a) 7000 b) 70000 c) 130000 d) 193000 e) 207000 20. (Fgv 2014) Em certa região do litoral paulista, o preço do metro quadrado de terreno é R$

400,00. O Sr. Joaquim possui um terreno retangular com 78 metros de perímetro, sendo que a diferença entre a medida do lado maior e a do menor é 22 metros. O valor do terreno do Sr. Joaquim é: a) R$ 102 600,00 b) R$ 103 700,00 c) R$ 104 800,00 d) R$ 105 900,00 e) R$ 107 000,00 21. (G1 - cftmg 2014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 25m

2. Sabendo-se

que o metro linear da grade custa R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de a) 420,25. b) 450,00. c) 500,00. d) 506,75. 22. (Fgv 2014) A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de outro semicírculo de diâmetro 2R e centro O.

a) Calcule o perímetro da parte sombreada. b) Calcule a área da parte sombreada.


23. (G1 - cftmg 2014) A figura 1 é uma representação plana da “Rosa dos Ventos”, composta

pela justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2.

Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm

2, é igual a

a) 12. b) 18. c) 22. d) 24. 24. (Acafe 2014) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 8cm, então, a área da parte hachurada, em cm

2, é igual a:

a) 4 2 .π

b) 8 4 .π

c) 8 2 .π

d) 4 4 .π


25. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e

AB BC CD DE EA são arcos de circunferência cujo raio mede a.

Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a

a) 25a 3

2 3 2

π

b) 2 35a

3 2

π

c) 2a

4 5 34

π

d) 2a 4 5 3π

26. (Ufrgs 2013) Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo.

Se a medida do lado do quadrado é 2, então a área do triângulo ABC mede

a) 3 2 2.

b) 6 4 2.

c) 12 4 2.

d) 3 2 2 .π

e) 6 4 2 .π


27. (G1 - cftmg 2013) Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm está dividido em quatro partes

de bases paralelas e com a mesma altura, como representado na figura abaixo.

A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja área, em cm

2, é

a) 3

.16

b) 5 3

.32

c) 7 3

.64

d) 9 3

.128

28. (G1 - cftrj 2013) Em uma parede retangular de 12m de comprimento, coloca-se um portão quadrado, deixando-se 3m à esquerda e 6m à direita. A área da parede ao redor do portão é 39m

2 (figura abaixo). Qual é a altura da parede?

a) 3m b) 3,9m c) 4m d) 5m


29. (G1 - utfpr 2013) Seja α a circunferência que passa pelo ponto B com centro no ponto C e

β a circunferência que passa pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada.

A medida do segmento AB é igual à medida do segmento BC e o comprimento da

circunferência α mede 12 cm.π Então a área do anel delimitado pelas circunferências α e β

(região escura) é, em cm2, igual a:

a) 108 .π b) 144 .π c) 72 .π d) 36 .π e) 24 .π 30. (Ibmecrj 2013) O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a

a) 1

.2

b) 1

.3

c) 3

.5

d) 5

.7

e) 5

.8


31. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles

ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S φ e T ,φ podemos

afirmar que a razão S T ,φ φ quando 2φ π radianos, é

a) 2.π

b) 2 .π c) .π d) 4.π

32. (Ufg 2013) O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como

ilustra a figura a seguir.

Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, determine a área da região varrida por essa palheta.

Dado: 3,14π

33. (Uepb 2013) Sabendo que a área do triângulo acutângulo indicado na figura é 2100 3 cm ,

o ângulo β é:

a) 6

π b)

4

π c)

3

π d)

8

π e)

5

π


34. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse

mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na

qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no

segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF 15, AG 12, AB 6,

CD 3 e DF 5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

a) 100 km

2

b) 108 km2

c) 210 km2

d) 240 km2

e) 444 km2

35. (Cefet MG 2013) Na figura seguinte, representou-se um quarto de circunferência de centro

O e raio igual a 2 .

Se a medida do arco AB é 30°, então, a área do triângulo ACD, em unidades de área, é

a) 3

2.

b) 3

4.

c) 2 .

d) 3 .

e) 6 . 36. (Mackenzie 2013) Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com

elas constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede a) 5 m b) 7 m c) 9 m d) 11 m e) 13 m


37. (Ufrgs 2013) Observe a figura abaixo.

No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é

a) 3 .4

π

b) 4 .2

π

c) 3 .π d) 4 .π

e) 3 .2

π

38. (Espm 2013) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo ABCD e um quadrante de

círculo de centro A, tangente ao lado CD em F.

Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é igual a: a) 48 cm

2

b) 72 cm2

c) 56 cm2

d) 64 cm2

e) 80 cm2

39. (Uemg 2013) Para a construção de uma caixa sem tampa, foi utilizado um pedaço retangular de papelão com dimensões de 35 cm de comprimento por 20 cm de largura. De cada um dos quatro cantos desse retângulo, foram retirados quadrados idênticos, de lados iguais a 5 cm de comprimento. Em seguida, as abas resultantes foram dobradas e coladas. Para revestir apenas a parte externa da caixa construída, foram necessários a) 600 cm

2 de revestimento.

b) 615 cm2 de revestimento.

c) 625 cm2 de revestimento.

d) 610 cm2 de revestimento.


40. (Ufsj 2013) A seguinte figura é composta por polígonos regulares, cada um deles tendo

todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.

A medida do lado de cada um desses polígonos é igual a b unidades de comprimento. Com

relação a essa figura, é INCORRETO afirmar que

a) a área total ocupada pelo hexágono é 233 b

2 unidades de área.

b) a área total da figura é 212 6 3 b unidades de área.

c) a área total ocupada pelos triângulos é 233 b

2 unidades de área.

d) a área total ocupada pelos quadrados é 212b unidades de área.


Gabarito: Resposta da questão 1: [C] A área do setor é dada por

2R AB R R R.

2 2 2

Resposta da questão 2:

[D]

Admitindo x, y e z os raios das circunferências de centros A,B e C , respectivamente, temos:

x y 9

y z 8

x z 6

Resolvendo o sistema, temos:

x 3 2, y 11 2 e z 5 2.

Calculando, agora, a soma das áreas de todos os círculos, temos:

2 2 227 11 5 195

A km .2 2 2 4

ππ π π



[C]

Considerando h a medida da altura do trapézio e A a medida de sua área, temos:

2 2 2

2

h 12 15 h 9m.

(15 9) 9A 108m

2


[C]

ysen30 y 2,5

5

x 5 2cos30 x 4,25

5 3

Portanto, a área pedida será:

2

4

4 4

A (1

,25

,5 x)

2,5

xy

A (1,5 4,25)

A 23 10,625 12,375km


[C] O resultado pedido é dado por

22 23 2 3

1 6 1,7 3 7,2cm .2

π



[C] Seja a largura do campo. Tem-se que

4 3 61 91 1 .

7 10 70 70

Portanto,

9100 900 70 m.

70


[A] Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos

25 325 tg30 m.

3

Desse modo, a área da piscina é dada por

22

2

3 3 9 25 33 3

2 2 3

18753

2

1.623,8 m

e, portanto, 21.600 m é o valor que mais se aproxima da área da piscina.


[D] Vamos considerar a a medida do ângulo formado por AB e BC.

Temos então a área do triângulo pedida

αsen432

1A

Que será máxima quando sen a for máximo, ou seja, sen a 1, portanto a área máxima do

triângulo será:

2máx cm6143

2

1A



[E]

2 r 10 cm,π π

Logo, r = 5 cm.

Portanto, sua área será dada por: 2 2A 5 25 cm .π π


Considere a figura, em que AB é um diâmetro da circunferência de centro O e raio R.

Como o triângulo 1 2OO O é retângulo isósceles, segue-se que 2 4OO OO r 2. Logo,

2 2 4 4AB AO O O O B 2R 2r 2r 2

Rr

2 1

r ( 2 1) R.

Portanto, como 1 2 3 4O O O O é quadrado, temos

2

1 2 3 4

2

2

O O O O (2r)

4 [( 2 1) R]

4(3 2 2) R .



[B] Tem-se que

AB 5 3cosABC AB u.c.

2BC

Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é

1(ABC) AB BC senABC

2

1 5 3 15

2 2 2

3,125 3 u.a.


[C]

Sabendo que 2(CDEF) 1m , é imediato que CF 1m. Logo, do triângulo OCF, vem

CF 1senCOF senCOF

2OF

COF 30 .

Daí, tem-se que AOF 90 30 60 . Portanto, sendo AOF 2 COF, encontramos

2

22 2 2(AOF) m .

3 4 3

π π

Resposta da questão 13: 04 + 08 + 16 = 28.

A área do quadrado 1 será dada por 21A b , onde b é a medida do lado desse quadrado.

A área do quadrado 2 será dada por 22A a , onde a é a medida do lado desse quadrado.

A área do quadrado 3 será dada por 23A c , onde c é a medida do lado desse quadrado.

Podemos, então, escrever o seguinte sistema:

2 2 2

2 2 2

a b c

a b c 18

Resolvendo o sistema, temos 22a 9, ou seja, a = 3.

[01] Falsa. A área do quadrado 2 é 9. [02] Falsa. O sistema possui duas equações e três incógnitas. [04] Verdadeira. Pois, b

2 + c

2 = a

2 = 9.

[08] Verdadeira. Pois, a = 3. [16] Verdadeira. Pois formam um triângulo retângulo.



[A]

Cálculo da área do octógono regular:

2 2 2x x 2 x 2

Portanto, a área 1A do octógono regular será dada por:

22

1

22

1

xA 2 2x 4

2

2A 2 2 2 4 8 2 8

2

Cálculo da área 2A dos oito semicírculos:

2

21

A 8 42

ππ

Logo, a área da figura será dada por:

1 2A A A A 8 2 8 4π (Alternativa [A]).


a) Sendo ABCΔ equilátero, os vértices A, B e C dividem a circunferência em três arcos

congruentes de medida igual a 360

120 .3

b) Sabendo que o lado de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio r, é dado por

r 3, segue-se que AB 1 3 3 u.c. Portanto, a área pedida é igual a

2

21 ( 3) 3 11 (4 3 3) u.a.

3 4 12π π

c) De [B], vem

2( 3) 3 3 3

(ABC) u.a.4 4



[C]

Considerando os lados do triângulo 6x e 5x, temos a seguinte equação:

2

2

5x 6x 270

30 x 270

x 9

x 3

Portanto, os lados do retângulo medem 6 3 18m e 5 3 15m. Resposta da questão 17: [C] Dimensões da praça: 15 + 2 + 2 = 19m 20 + 2 + 2 = 24m

Portanto, sua área total será 219 24 456 m .

Área da parte interna será 215 20 300 m .

Logo, a área da calçada será 2456 300 156 m .

Resposta da questão 18: [B]

Sendo 250 m a área do terreno retangular de dimensões 3x 2 e x 1, segue que

2(3x 2)(x 1) 50 3x x 52 0

x 4 m.

Se 0x x é o valor de x tal que 0 0(3x 2)(x 1) 250, temos

2

0 0 03x x 252 0 x 9.

Portanto, o parâmetro x deve ser aumentado em 9 4 5 metros. Resposta da questão 19: [D]

2200000 105 68 192860m



[B]

Sejam a e b as dimensões do terreno, com a b. Logo,

2 (a b) 78 a b 39

a b 22 a b 22

61a m

2.

17b m

2

Daí, segue que o valor do terreno do Sr. Joaquim é

61 17400 R$ 103.700,00.

2 2


[C] Lado do quadrado: 5m Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m

Valor pedido: 20 (23,25 1,75) 20 25 R$500,00

Resposta da questão 22: a) Considere a figura.

Como AO BO AB R, tem-se que o triângulo ABO é equilátero. Logo, o perímetro da

parte sombreada é dado por

1 1 RACB ADB 2 R 2

6 2 2

5 Ru.c.

6

π π

π

b) A área da parte sombreada é igual a

2 2 22 2

2

1 R 1 R 3 R 3 1R R

2 2 6 4 4 24

R3 u.a.

4 6

π π π

π



[D] A área pedida é dada por

21 2 2 1 2 114 4 6 24cm .

2 2 2 2


[C] Seja r o raio do círculo. Tem-se que

2 r 8 2 r 4 2cm.

Portanto, a área hachurada, em 2cm , é dada por

2 2 21 1(4 2) (4 2) 8 16 8 16

2 4

8 ( 2).

π π π π

π

Resposta da questão 25: [A] Importante observar que a figura não mostra o círculo circunscrito ao pentágono regular, mas, sim, cinco segmentos circulares, como o da figura abaixo.

Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor circular, encontra-se a área do segmento circular. Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área pedida.

2 2 2

Ta 60 a 3 5 a 3

A 5.360 4 2 3 2

π π


[A] É fácil ver que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro dos círculos. Logo, se r é a medida

do raio dos círculos, então 2r 2 2 r 2. Daí, segue que AB AC 2 2 e, portanto,

2

AB AC(ABC)

2

(2 2)

2

3 2.



[C]

A(ABCD) = A(BAC) – A(BDE)

221 3 3 3 3 9 3 7 3

A ABCD4 4 4 4 64 64


[C] h = altura da parede. L = medida do lado do portão (L = 12 – 6 – 3 = 3m) A = área total (parede ao redor do portão + portão). A1 = área da parede ao redor do portão. A2 = área do portão; Considerando os dados acima, escrevemos: A = A1 + A2 12.h = 39 + 3

2

12h = 48 h= 4m Portanto, a altura da parede é de 4m. Resposta da questão 29: [A]

CB AB x

2 x 12

x 6

π π

Logo a área será

2 2A .(12 6 ) 108π π



[A]

A área do quadrado ABCD é igual a 212 144 u.a.

A figura escura é constituída por 16 losangos de diagonais 3 2 e 2. Logo, sua área é dada

por

3 2 216 48 u.a.

2

Portanto, o resultado é

48 1.

144 48 2

Resposta da questão 31: [A]

Sejam 2 90 ,φ π R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.

22 2 2 2

22 2

22 2

x x 2R x 2.R

1R

S( ) R R21T( ) x 2Rx x2

ππ

φ π π

φ


2 2

2135 (50 (50 40) )A 900 900 3,14 2826cm

360

ππ



[C] A área do triângulo é tal que

1 316 25 sen 100 3 sen .

2 2β β

Portanto, como o triângulo é acutângulo, segue que rad.3

πβ


[E] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE.

Sabendo que AF 15cm, AG 12cm e AB EG 6cm, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 2 2

2 2

EF GF EG EF 3 6

EF 3 5

EF 3 5 cm.

Logo, dado que DF 5 5 cm, obtemos ED 5 5 3 5 2 5 cm.

Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos

DH DE DH 2 5

6EG EF 3 5

DH 4cm.

Desse modo, a área pedida, em 2cm , é dada por

(15 12) (12 3)(ABEF) (BCDE) 6 4

2 2

81 30

111.

Por conseguinte, se x é a área real da APP, então

21010 10

2

111 10 1x 111 10 4 10

x 200000

x 444km .



[A]

A medida do arco BD é 60°. E o ângulo DAC mede 30°, pois é ângulo inscrito do arco BD.

A medida do segmento AD será dada por 2 22AD 2 2 AD 2

A área A do triângulo ABC é igual a metade da área de uma triângulo equilátero de lado 2 (ver figura).

Logo,

22 334A

2 2 .


[B] Perímetro do triângulo: P = 3x, onde x é a medida do lado. Perímetro do hexágono: 63 – 3x, onde (21 –x)/2 é a medida do lado; Considerando que a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, temos a seguinte equação:

22 2 2 2 221 x 3 3

6 6 x 441 42x x 4x 3x 42x 441 0 x 14x 147 02 4 4

Resolvendo a equação, temos x = – 21 (não convém) ou x = 7.



[E] Considere a figura.

Traçando EG AD e FH AB, dividimos o quadrado ABCD em quatro quadrados de lado

21.

2 Assim, a área da região sombreada corresponde à diferença entre o triplo da área do

quadrado PFCG, e a área do semicírculo de raio 1, ou seja,

2

2 13 1 3 .

2 2

π π

Resposta da questão 38: [C]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de C sobre AD.

Como CD é tangente ao quadrante no ponto F, segue que o triângulo AFD é retângulo em F.

Além disso, CH AB 8cm e ADF HDC implicam em CD AD 10cm (os triângulos AFD

e CHD são congruentes). Daí, é imediato que DH 6cm e, portanto, BC 4cm.

A área do trapézio ABCD é igual a

2

AD BC 10 4AB 8

2 2

56cm .



[A]

2 2A 35 20 4 5 600 cm . Resposta da questão 40: [B]

Soma das áreas dos quadrados: 212b .

Soma das áreas dos triângulos: 2 2b 3 3b 3

6 .4 2

Área do hexágono: 2 2b 3 3b 3

6 .4 2

Área total da figura: 2 212b 3b 3.

Portanto, a afirmação incorreta é a da alternativa [B].

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