RAFAELA ALESSANDRA DOMINGOS ALVES DE OLIVEIRA

,.'

AREA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Monografia apresentada como requisitoparcial a obten~o do titulo de Especialistaem Ensino da Matematica, Curso de P6s-Graduac;ao em Ensino da Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.Orientadora: Prof" Msc. Marelin KolbMazzarotto

CURITIBA2003

Dedico a meu esposo Paulo Roberto e aomeu filho Daniel pelo estimulo que me deram.

A paciencia e Ii dedicar:;ao daProfessora Mare/in Ko/b Mazzarotto.

iii

SUMARIO

RESUMO ....1 INTRODUC;;Ao .2 AREAS DE FIGURAS GEOMETRICAS.. . .2.1 UMA ABORDAGEM DE AREA NA 5' SERlE DO ENSINO

FUNDAMENTAL. .2.1.2 Area de um Relangulo.. . . .2.1.3 Area de um Quadrado.. . .2.1.4 Area de um Triangulo .2.2 UMA ABORDAGEM DA AREA NAS 6' E 7' SERIES .2.2.1 Medidas de Comprimenlo... . .2.2.2 Areas e Ntlmeros Racionais2.2.3 Area de um Trapezio .2.2.4 Area de um Losango ..2.2.50 Tangram.. . .2.3 FATORAc;:Ao E EQUIVALENCIA .2.4 AREAS NA 8' SERIE .2.4.1 0 Teorema de Pilagoras ...2.4.2 Uma Aplicac;:ao Pralica do Teorema de Pilagoras ..2.4.3 A Relac;:aode Pilagoras para Comparac;:ao de Areas .CONCLUSOES ..BIBLIOGRAFIA ..

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v12

234467789911131314151819

RESUMO

Esta monografia se propoe a mostrar a importancia do ensino das areas defiguras geometricas nas 5", 6', 7" e 8's series do Ensino Fundamental. Paraisso, primeiramente loi leito uma abordagem de area na Sa serie do EnsinoFundamental, onde sao mostrados 0 trabalho com as principais areas defiguras geometricas. Na 6' serie, perrnite-se trabalhar com areas de triangulos,retangulos, quadrados, paralelogramos para obter-se as areas do losango etrapezio. Na t serie, acrescenta-se 0 trabalho com 0 tangram e na 8' serie,trabalha-se tambem com 0 Teorema de Pitagoras. A conclusao, ao final,permite conhecer a importancia em se trabalhar com as areas.

v

1 INTRODUC;:il.O

Os egipcios foram urn dos primeiros pavos a fazer usa da Matematic8. Eles

sabiam calcular, S8 bern que rudemente, as areas de triangulos, trapezios,

retangulos e outros quadrilateros. Geralmente, eles utilizavam esses calculos para a

constnugaodas piramides. Isto nao parou por ai, a Matematica progrediu muito e os

matematicos desenvolveram varias f6rmulas para calcular as areas de figuras e

s61idos geometricos.

Segundo BIGODE (1994, p. 157), Tales de Mileto "foi 0 primeiro matematico

de quem se tem noticia, que tinha as atividades de comerciante de azeite, sal e

outros produtos". Este matematico fez a medi9ao da altura da Grande Piramide, a

partir da sombra de um bastao. Assim, Tales foi quem desligou a geometria do

mundo real.

Euclides de Alexandria, escreveu as elementos, considerada como a

principal obra de Matematica de todos os tempos, composta de 13 livros a maioria

sabre geometria.

No ensina da Matematica para 0 nivel fundamental, as canceitos

geometricos constituem parte importante, porque, por meio deles, 0 aluno pode

desenvolver urn tipo especial de pensamento que Ihe permite compreender,

descrever e representar, de forma organizada, 0 mundo em que ViV8.

Neste enfoque, 0 trabalho com n090e5 geometricas contribui para a

aprendizagem de numeros e medidas, pois estimula 0 aluno a observar, perceber

semelhan9as e diferen9Bs, como tambem, identificar regularidades.

Em razao disso, esta monografia procura mostrar a importancia do en sino

das areas de figuras geometricas nas sa, 68, 78 e a8s series do Ensino Fundamental.

Este trabalho se justifica por auxiliar permitir que os alunos desenvolvam suas

habilidades de perceP9ao espacial e como recurso para induzir de forma

experimental a descoberta das condic;oes para que figuras sejam congruentes ou

semelhantes.

2. AREAS DE FIGURAS GEOMETRICAS

2.1 UMA ABORDAGEM DE AREA NA sa SERlE DO ENSINO FUNDAMENTAL

A superficie pode ser compreendida como a parte visivel de um corpo. Para

medir superficies pode-se usar como unidade de medida outras superficies.

GUELLI (1998, p. 226) define area como: "a medida de uma superficie, do

mesmo modo que comprimento e a medida de um segmento de reta". Desse modo,

quando S8 fala numa figura geometrica, a area da superficie de urn triangulo e 0 seu

interior. Uma forma de S8 observar as figuras geometricas e olharmos a nossa volta

e observar nos objetos que nos cercam. Assim: podem ser observados: as

triangulos, as quadrados, as retangulos e Qutros. Na 5a sarie inicia-se urn trabalho

com area das principais figuras geometricas planas.

De inicio pode-se fazer um trabalho do tipo:

Conta-se quantas lajotas ha num espa90 determinado. 0 numero

encontrado e a area desse espayo;

Conta-s8 quantos azulejos ha numa parede de urn banheiro;

Compara-se 0 numero de cada pe98 que ha no comprimento com 0

que ha na altura, ou na largura do espa90;

Procura-s8, S8 passivel, comparar lajota5 retangulares com azulejos

quad rados, au vice-versa, chamando-se assim a aten9ao para uma

unidade basica de medida;

Trabalho de recorte: quantas medidas-unidade cabem numa

determinada figura;

Prop6e-se problemas do tipo: est imar a area do piso da sala de

aula, do quadro negro, ..., a partir de uma medida-unidade que pode

ser urn quadrado. Nesses problemas ha envolvimento com

perfmetro.

Enfim, criar condic;oes para que as formulas das areas das figuras

geometricas basicas surjam naturalmente.

Como nem sempre e possivel estimar as areas utilizando lajotas ou azulejos,

foram criadas unidades de medidas de area que sao universals, como: 0 quil6metro

quadrado, 0 metro quadrado e 0 centimetr~ quadrado. 0 metro quadrado, por

exemplo, e a area de um quadrado com 1 m de lado. 0 quilometro quadrado e a

area de um quadrado com 1 km de lado.

2.1.1 AREA DE UM RETANGULO

Para se calcular a area da superficie formada pelo retangulo e 0 seu interior,

vamos dividir a superficie em quadrados de, per exemplo, 1m de lade, como na

figura a seguir:

2m I I 1"1 I I I m

1m

A area do retimgulo e de 12 quadrados de 1 m de lado au, de urn modo rnais

simples: a area e de 12 metros quadrados (12m'). Observa-se que 12= 2x6.

Concluimos assim que a area de um retangulo de base b e altura h e A= b.h.

2.1.2 AREA DE UM QUADRADO

o quadrado pode ser visto como um retangulo de base e altura iguais.

Chamando de I esta medida comum concluimos que a area do quadrado e A= 1.1 = I'.

2.1.3 AREA DE UM PARALELOGRANO

A area do parelelograno ABCD e a area do retimgulo ABC'D' com a mesma

base e a mesma altura.

A area do paralelogramo ABCD e a mesma area de um retangulo AB C'D'

com mesma base e mesma altura.

A b B

A':::-----~AC C' D D'

De fato, basta tirarmos a triangulo CAe' e acrescentarmos 0 triangulo OBO',

conforme a figura aeirna. Assim, a area de urn paralelogramo e igual a base x altura,

ou seja, A = b. h.

2.1.4 AREA DE UM TRIANGULO

A partir da area do para Ie log ramo obtemos a area de um triangulo. Observe

a figura:

B D------------------------------------7

//

A

b

A area do triilngulo ABC e igual a area do paralelogramo ABCD dividida por

dois_Assim, A = b.h2

E interessante e produtivo para 0 aluno verificar a area do paralelogramo e

do triangulo utilizando recortes de tal forma que ele, 0 aluno, conciua a formula da

area de cada uma destas figuras.

Por exemplo, BERTONI (1983), sugere determinar a area do triangulo pelo

metodo da dobradura_

B

A C

Area do triangulo pelo metodo de dobradura: 1) Recortar um triangulo

qualquer. 2) Marcar os pontos centrais de dois lados, tra~ar uma reta passando por

eles, dobrar nessa linha. 3) Dobrar as pontas formando um envelope.

br

1 hr-----l-..t

A B c

Com isso as alunos observam que S8 obtem sempre urn retangulo. A area

do triangulo inicial e 0 dobro da area desse retangulo. A base desse retangulo (br) ea metade da base b do triangulo, idem para a sua altura hr. Temas:

2.2 UMA ABORDAGEM DAS AREAS NAS 6& E 7' SERIES

Na 6° serie volta-S8 a trabalhar com areas de triimgulos, retElngulos,

quad rados, paralelogramos e obtem-se as areas do 105an90 e do trapezia. Na 7a

serie trabalha-se tambem com equivalencia de areas. Enquanto na sa serie as

medidas dos lados das figuras geometricas eram numeros inteiros, agora, considera-

S8 medidas com numeros racionais quaisquer. 0 Tangram e 0 Origami despertam

interesse, par exemplo, na composic;ao de varias figuras geometricas, entendimento

de unidade de medida e no trabalho de recorte.

2.2.1 Medidas de eomprimento

Na 6° e 78 series sao estudadas as medidas de comprimento, com mais

aprofundamento, pois j8 se eonheee 0 conjunto de numeros raeionais. As medidas

de comprimento tiveram origem no secu[a XVIII, ende foi criada uma unidade-padrao

internaeional para medir eomprimentos: a metro. 0 Brasil passau a uS8-la

aficialmente em 1862.

o metro (m) tern as seguintes multiplas: deeametro (dam), que correspande

a uma dezena de metros; heet6metro (hm) que eorresponde a uma eentena de

metros e 0 quil6metro (km) que corresponde a mil metros.

Os submultiplas do metro sao: deeimetro (dm) que earrespande a uma

deeima parte do metro; 0 eentimetro (em), igual a uma centesima parte do metro e 0

milimetro (mm), igual a uma milesima parte do metro.

o m' earresponde a superfieie de urn quadrado de 1m de lado; 0 em' e a

superficie de urn quadrado de 1em de lado; 0 Km2 e a superficie de urn quadrado de

1 km de lada. Ao se ealeular quantos quadrados com 1m de lade eabem num

quadrado de 1Km de lado, ehega-se ao seguinte resultado:

1Km' = 1 Km 1 Km = 1DOOm 1DOOm= 1 000 DOOm'.Assim, em um

quadrado de 1 Km' cabem 1 000 000 de quadradas de 1m', isto e, 1 Km' = 1 000

DOOm'.

2.2.2 Areas e Numeros Racionais

Com as numeros racionais surgem medidas nao inteiras, au seja, medidas

decimais. Neste caso, como trabalhar com a ideia de quadrado-unidade?

Consideremos 0 retangulo de base b=3,2em, altura h=2,6em, e um quadrada

de 1em como medida-unidade. Cada quadrado e entao subdividida em 10x10

quadrados menores. 0 aluno percebera que a area continua sendo "base x altura",

conforme figura abaixo:

2.2.3 Area de um trapezio

A area de urn trapezia pode ser assim identificada: €I a soma da area de dais

triangulos.

b

B

CD ®A=

lLJJ2

B.h + b. h2

ill..±.£L!l2

ill..±.£L!lIsto posto, tem-se: A = 2

2.2.4 Area de urn losango

Se d representa a diagonal menor e D a diagonal maior, a area do losango ABeD ea soma da area de dais triangulos:

B

A = ~(d ..Q. )+~(d ..Q.) = d.D2 2 2 2 2

D

2.2.50 Tangram

o Tangram e originario da China e supoe-se que a parte inicial do nome do

joge tan, esteja relacionada a dinastia Tang, que governou a China, par urn longo

periodo. A parte final do nome, gram, vern do laUm e significa ordenar, dispor.

(BIGODE,1994).

A figura a seguir mostra 0 quadrado formado pelas sete pe9as do Tangram.

Ao se tomar 0 triangulo grande como unidade, a medida da superficie do quadrado

sera 4, ou seja, 4 triangulos grandes cobrem 0 quadrado. Tomanda-s8 0 triangulo

pequeno como unidade, ve-se que cabem 16 triangulos pequenos no quadrado

maior. Assirn, cabem 8 triangulos medias no quadrado maior.

10

Por sua vez, 0 triangulo grande mede 4 triangulos pequenos e 2 triangulos

medias conforme apresentado a seguir.

o triangulo grande mede 2 triangulos medics

11

o tangran e utilizado com sucesso na verificac;ao de equivalencia de areas.

b

o aluno pode verificar que as pe9as do tangran, colocado sobre 0 quadrado

maior cobrem as dais quadrados menores. Oesta forma, ele comprova

geometricamente 0 teorema de Pitagoras: 82 = b2+C2 .

2.3 Fatora98o e Equivalencia

Os casas de fatora~o podem ser interpretados geometricamente em termos

de quadrados e retangulos. Veja-se 0 caso da diferen9a de quadrados:

.'X-\-Yl)(+y -

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Neste caso, a figura em forma de L, e obtida extraindo-se 0 quadrado de

lade y do quadrado de lade x. Sua area e, portanto, x2 -I. Neste contexto, x e y

representam numeros reais positivQs, com x > y. A altera.yao praticada na figura em

forma de L, conserva sua area e transforma-se num retangulo de lados x + ye x - y.

Assim, x2 -1= (x + y)(x - y).

2.3.1 0 produto notavel (a + b) 2 e igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas

vezes 0 produto do primeiro termo pelo segundo, mais 0 quadrado do segundo

terma, au seja,

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

que pode ser representado geometricamente

1d ~+1 ob 1+1 1+0

ob '"

(a + b)2 a2 + 2ab + b2

2.3.2 A igualdade (a_b)2= a2_2ab+b2 pode ser representada em termos de area:

a

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2.4 AS AREAS NA 8' SERlE

Na aaserie, 0 aluno ja conhece 0 teorema de Pitagoras e sabe trabalhar com

area de quadrado.

2.4.I 0 Teorema de Pitagoras

Dado um lriangulo retangulo de hipotenusa (a) e catetos b e b tem-se a

relagao a2 = b2 + c2

Nao se sabe ao certo quem loi 0 autor da demonstra9ao deste teorema, mas

muitos 0 atribuem a Pitagoras. Seu conteudo ja era conhecido muitos seculos antes

p~r babil6nios, egipcios e chineses.

BIGODE (1994) apresenta a prova atribuida a Pitagoras, partindo p~r um

triangulo de catetos a, b e hipotenusa c.

~C

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Observe dois quadrados de lados "a + b" e divida-os como es1a indicado na figura.

(I) (II)

Na figura I 0 quadrado de lados "a + b" foi decomposto em um quadrado de

lados a, um quadrado de lados b e 4 triangulos iguais de lados a, b e c. Na figura II,

o quadrado de lados "a + b" foi decomposto em 4 triangulos iguais de lados a, b e c

e um quadrado central de lados c. Removendo-se os 4 triangulos na figura I restarao

as dois quadrados de lad os a e b, respectivamente. Removendo as 4 triangulos na

figura II restara 0 quadrado de lados c.

Pode-se concluir assim, que a2 + b2 = c2 .

2.4.2 Uma Aplica\'iio Pratica do Teorema de Pitagoras

Aplica9ao pratica do Teorema de Pitagoras: no desenho abaixo, 0 pe da

escada de 15m de comprimento apoiada numa parede esta distante 9 m da parede.

Qual a distancia entre 0 topo da escada e 0 chiio.

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2 m (altura do caminhao)

o comprimento da escada esta representado pela medida da hipotenusa do

triangulo retangulo. A distenda ate a parede esta representada pela medida de urn

cateto e a distancia do topo da escada ao nivel do teto do caminhao pelo cateto de

medida h.

Assim:

9'. h' = 15' --> 81 + h' = 225 --> h' 225 - 81 = 144

Dai:

H = "144 --> h = 12 m

Assim, a distancia do topo da escada ao chao Ii 12 + 2 = 14 m.

2.4.3 A relagiio de Pitagoras como comparagiio de areas

A partir da relavao a2 = b2 + e2, como a2, b2 e c2 representam as areas de

quadrados de lados a, bee, obtem-se a figura:

c

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b

a

Portanto, 0 Teorema de Pitagoras pode ser assim en uncia do: WA area de urn

quadrado cujo lado Eo a hipotenusa de urn triangulo retangulo Eo igual a soma das

areas dos quadrados que tern como lad os cada urn dos catetos".

Eo interessante apresentar urn exemplo do tipo:

Se a = 5cm, b = 4cm e c = 3cm

Vale: 5' = 4' + 3'

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Observamos que 0 numere de quadrados-unidade no quadrado de lado a eigual a soma dos numeres dos nossos quadrados-unidade nos quadrados de lados b

e C, ou seja: 25 quadrados-unidade = 16 quadrados-unidade + 9 quadrados-unidade.

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CONCLUSOES

Os canceitos geometricos sao importantes nesta fase do ens ina fundamental

e as alunos sentem-se interessados, pois isto as estimula a perceber as

semelhan9as e diferen98s do mundo.

o trabalho com as transforma9iies geometricas permite 0 desenvolvimento

de habilidades de percep<;iio espacial. Assim, os estudos de espa90 e forma devem

ser explorados a partir de objetos do mundo fisico, de obras de arte, pinturas,

desenhos, esculturas e artesanatos, facilitando ao atuno a compreensao das

conex6es entre a Matematica e Qutras areas do conhecimento.

Par tim, pode-se dizer que a Matematica nesta etapa do ensina fundamental,

pode possibilitar ao aluno a resolu9iio de muitos problemas, especial mente aqueles

relacionados a sua viseD de mundo, que sempre S8 amplia.

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BIBLIOGRAFIA

BERTONI, Nilza Eigenheer. RPM nO2, Geometria + Laboratorio + M.e. Escher,1983.

BIGODE, Antonio Jose Lopes. Matematica atual. Sao Paulo: Atual, 1994.

GUELLI, Oscar. Matematica: uma aventura do pensamento. Sao Paulo: Atica, 1998.