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Plantão de dúvidas com o Rafael

• Quando?

▪4ª feiras – 18 às 19 hs

Onde?

▪IF11

2

Plantão de dúvidas com o Rafael

Próximas aulas

3

Dia Aula Tópico

05 Agosto 1 2a Introdução ao curso e motivação da disciplina

07 Agosto 2 4a Cinemática Relativística e Transformações de

Lorentz

12 Agosto 3 2a Dinâmica relativística: Força, energia cinética e

energia total

14 Agosto 4 4a Exercícios

19 Agosto 5 2a Corpo Negro e Radiação Térmica Clássica

21 Agosto 4a Radiação Térmica Quântica

26 Agosto 2a Efeito fotoelétrico

28 Agosto 4a Efeito Compton – Exercícios

02 Setembro 2a Teste 1 – Exercícios

04 Setembro 4a 1ª Prova

RADIAÇÃO DE

CORPO NEGRO I

4

Radiação térmica

•A temperaturas ordinárias, vemos um corpo pela luz que

ele reflete. Mas se a sua temperatura aumentar o

suficiente, poderemos passar a enxergar a luz radiada

por ele.

•Mesmo a temperaturas da ordem de alguns milhares de

graus Kelvin, mais de 90% da energia radiada ainda não

está na faixa do visível, estando na faixa do IV. Para

emitir no visível, o corpo tem que estar muito quente!

5

Radiação térmica

•Um corpo quente emite energia sob forma de radiação

eletromagnética.

•A intensidade da radiação emitida, bem como sua

distribuição em frequência (ou em comprimento de onda)

dependem da temperatura do corpo. Ex.: filamento de

lâmpada incandescente, carvão incandescente, o Sol são

exemplos emitindo na faixa do visível.

•O espectro da luz radiada (emitida) por um corpo sólido ou

líquido opaco é contínuo. Os detalhes do espectro emitido

é quase que independente do material de que é composto

o corpo, mas depende fortemente da sua temperatura.

6

Corpos negros

•Quando radiação incide sobre um corpo, parte é

absorvida e parte é refletida. Um corpo a uma dada

temperatura absorve ao menos parcialmente a radiação

que incide sobre ele. A qualquer temperatura, os corpos

estão continuamente emitindo e absorvendo radiação

térmica.

•Empiricamente sabe-se que existe um tipo especial de

corpo cujo espectro térmico tem um caráter universal:

são os corpos negros, que absorvem toda a radiação que

incide sobre eles. Um corpo negro é um absorvedor ideal.

7

Hipótese básica

•Se o corpo não aquece, nem esfria, ele está em

EQUILÍBRIO TÉRMICO,

significando que ele está emitindo a mesma quantidade de

energia que ele está absorvendo: E1=A1.

•Um corpo negro, além de ser o melhor absorvedor, é

também o melhor emissor de radiação térmica.

8

Radiância espectral

•Em 1898-1899, Lummer e Pringsheim fizeram medidas precisas da potência radiada em função do comprimento de onda da radiação.

•Eles mediram a radiância espectral:

RT()d

•Esta quantidade é a energia emitida por unidade de tempo, por unidade de área da superfície de um corpo negro à temperatura T, no intervalo de comprimento de onda entre e + d .

9

As medidas de Otto Lummer & Ferdinand Prinsgheim

10

Em

itância

espectr

al

RT(

)kW

/m2

m

/m

Temperaturas em K

1371 K

1087 K

836,5 K

Densid

ade d

e e

nerg

ia (

u. a)

Radiância espectral RT()d

11

RT(

) u

. a

Radiância espectral RT()d

12

O que é uma função distribuição?

•RT()d

•RT()d

•Radiância total:

13

( ) ( ) dRdRR TTT

==

00

O que notamos ?

•A radiância total cresce muito significativamente com a temperatura.

•A frequência em que a radiância espectral é máxima vai aumentando conforme a temperatura aumenta.

•De maneira equivalente, o comprimento de onda em que a radiância espectral é máxima diminui com a temperatura.

14

RT(

) u

. a

Primeiras leis da radiação

•Stefan (1879) encontrou empiricamente que a potência total emitida por um corpo negro por unidade de área é:

onde R é a radiância total (ou emitância total) do CN = potência

radiada por unidade de área, é a constante de Stefan = 5,67 10-8

W/m2 K4, e T é a temperatura absoluta do corpo negro.

•Cinco anos depois, Boltzmann deduziu esta relação a partir de considerações baseadas em Termodinâmica*, e por isso a relação ficou conhecida como

Lei de Stefan-Boltzmann.

*Boltzmann fez considerações em um êmbolo, fazendo-o expandir e contrair pela ação da pressão da radiação dentro do êmbolo.

4TR =

15

Lei do deslocamento de Wien

•Em 1893, Wien mostrou que o máximo do espectro sofre

deslocamento para frequências maiores de maneira

linear:

•A lei de Wien pode ser também escrita na forma:

16

Tmax

.Km,Tmax 3108982

−=

(Note que max c/ max. Você sabe por quê?)

Medindo temperaturas de estrelas...

17

https://docs.kde.org/trunk5/en/kdeedu/kstars/ai-colorandtemp.html

As cores estão exageradas !!

Comprimento de onda (Å) →Comprimento de onda (Å) → Comprimento de onda (Å) →In

ten

sid

ade

→

Inte

nsid

ade

→

Inte

nsid

ade

→

Nosso Sol como um corpo negro

18

https://www.researchgate.net/publication/319109551_A_IMPORTANCIA_DA_

DETERMINACAO_DO_ESPECTRO_DA_RADIACAO_LOCAL_PARA_UM_CORRETO_

DIMENSIONAMENTO_DAS_TECNOLOGIAS_DE_CONVERSAO

Frequências e comprimentos de onda

19

Um modelo para um corpo negro ideal

•Uma cavidade com um pequeno orifício é um modelo de

um corpo negro ideal: toda a radiação que incide sobre o

orifício é absorvida. Por outro lado, toda a radiação que

consegue escapar do orifício, terá o espectro de um

corpo negro.

20

Teoria clássica da radiação em uma

cavidade : Rayleigh e Jeans

21

• Consideremos uma cavidade com paredes

metálicas aquecidas uniformemente até a

temperatura T.

• As paredes continuamente emitem e

absorvem radiação eletromagnética

térmica.

• Sabemos que isso acontece porque as

cargas elétricas nas paredes estão em

movimento oscilatório devido à agitação

térmica e por absorverem radiação

eletromagnética que chega nas paredes.

• Não vamos olhar para os elétrons, mas ao

contrário, olharemos para as ondas

eletromagnéticas no interior da cavidade.

O raciocínio:

•Vamos argumentar que a radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias.

•Em seguida, contaremos o número de ondas estacionárias que podem existir no interior da cavidade, tais que tenham sua frequência no intervalo entre e + d.

•Depois usaremos um resultado da teoria cinética clássica para calcular a energia total dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico.

•Por simplicidade e sem perda de generalidade, suporemos que a nossa cavidade é na forma de um

cubo de lado a.

22

Ondas estacionárias

• Em uma dimensão....

23

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )t/xsenEtkxsenEt,xE

t/xsenEtkxsenEt,xE

22

22

00

00

+=+=

−=−=

( ) ( ) ( )0, 2 2 / cos 2 E x t E sen x t =

• Para termos uma onda estacionária, é preciso

que tenhamos um nó em x=0 e também em

x = a.

• Dito de outro modo, temos que ter um número

inteiro de meios comprimentos de onda no

comprimento nx/2 = a .

a

x

Somando essas duas ondas, teremos uma onda estacionária:

24

Para ajudar a visualizar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave#/media/File:Standing_wave.gif

25

Para ajudar a visualizar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave#/media/File:Standing_waves_on_a_string.gif

26

Para ajudar a visualizar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave#/media/File:Waventerference.gif

A soma de duas ondas de mesma amplitude se propagando em

sentidos opostos resulta numa onda estacionária.

Quantos modos de vibração?

•Nas paredes o campo elétrico (como se fosse a amplitude de

oscilação de uma onda em uma corda) tem que ser nulo:

•Portanto as ondas terão nós em x = 0 e x = a.

•Qual é a condição para que haja um nó em x = a?

•Esta condição determina um conjunto

•de valores de comprimentos de onda

•permitidos no interior da cavidade 1D (ou na corda).

•Equivalentemente, como =c/,

27

( ).....,,na/n xx 3212 ==

( )....,,,na/cn xx 43212 ==

Quantos modos com frequência entre e + d?

28

( ) dc

adN

2=

( 2) (porque são 2 polarizações)( ) d

c

adN

4=

Se quisermos saber quantos modos de oscilação temos até a frequência basta

contar os possíveis nx até (2a/c) . E quantos modos há com frequência menor do

que + d ? Contamos os nx até (2a/c) ( + d ) . Ao final, basta subtrair os dois

números anteriores para obter o número de modos entre e + d :

Em duas dimensões: p.ex., num quadrado de lado a

29

1

22=+ coscos

Após as múltiplas reflexões,

as ondas têm que se

sobrepor de modo a dar uma

onda resultante estacionária:

as reflexões precisam resultar

num percurso fechado sobre

si mesmo.

Também queremos ter ondas

estacionárias dentro do

quadrado, de maneira que

nos pontos nas quatro

laterais a amplitude da

oscilação seja nula..

•Consideremos radiação de comprimento de onda e

frequência = c/ se propagando na direção definida

pelos dois ângulos e .

•Pelos nós fixos da onda estacionária passemos uma

família de planos que sejam perpendiculares à direção de

propagação (já que estamos considerando ondas planas).

•A distância entre esses planos nodais é simplesmente /2.

30

x

y

y/2

x/2

cos/

cos/

y

x

=

=

/2

Condição de contorno em 2D:

•As distâncias entre os nós sobre cada direção serão:

•Só para saber: o campo elétrico pode ser escrito como

31

cos/

cos/

y

x

=

=

( ) ( )

( ) ( )tsena

ynsen

a

xnsenEt,y,xE

tseny

senx

senEt,y,xE

yxz

yxz

=

=

0

0

22

yy

xx

na

na

=

=

2

2

Modos de vibração em 2D: exemplos

32

Nenhuma vibração

eixo x

eixo y

33

Para ajudar a visualizar:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_dim_standing_wave.gif

Condições de contorno nas laterais:

•Substituindo, encontramos a condição para termos uma

onda estacionária:

com nx = 1, 2, 3, .... ; ny = 1, 2, 3, ....

•Se quadrarmos e somarmos as duas expressões e ainda

lembrarmos que e são ângulos complementares,

teremos:

34

yx ncosa

ncosa

=

=

2 ;

2

( )22

222

22 222

=

=+

=+

c

aacoscos

ann yx

Isso é a equação de uma circunferência!

Contando número de modos...

• Cada ponto (nx , ny) corresponde a um modo de oscilação.

• Portanto, basta contar o número de pontos....

35

nx

ny

2a/c

2a/c(+d)

Área do anel completo = 2 r dr=2 (2 a /c)2 v dv

Área que nos interessa = ¼ área do anel completo

Número de modos entre v e v + d = 4 (a /c)2 v dv (lembre das 2 polarizações)

Analogamente, em três dimensões:

•As ondas eletromagnéticas estacionárias no interior da cavidade e em equilíbrio térmico no ambiente não podemseguir uma direção qualquer. Suponha que a onda tenhadireção dada pelos seus cossenos diretores cos, cos , cos .

•A onda dentro da cavidade cúbica será estacionária se todas as suas três componentes forem também ondas estacionárias.

•A onda tem que satisfazer a condição de ter amplitude zero em x=0, x=a, y=0, y=a, z=0 e z=a.

•Se a amplitude da onda não fosse nula nas paredes metálicasda cavidade, haveria corrente, logo haveria dissipação de energia, e portanto não seria uma situação de equilíbriotérmico como estamos supondo.

36

Para uma cavidade cúbica...• Estendemos o procedimento em 2D para 3D e obtemos:

• Agora obtivemos uma equação de uma esfera de raio (2a/c)!

• Queremos contar o número de modos dessas ondas que têm a frequência entre e + d:

• Vamos para um espaço de pontos nx, ny e nz:

• Cada ponto (nx , ny , nz ) neste espaço corresponde a uma onda estacionária (um modo de oscilação). Um volume unitário neste espaço corresponde a uma onda estacionária!

• Logo, para contar números de modos, basta calcular volumes!

37

( )22

2222

222 222

=

=++

=++

c

aacoscoscos

annn zyx

Contando os modos...

•Precisamos agora contar

o número de pontos na

casca esférica.

•Basta encontrar o

volume da casca esférica

entre os raios que

correspondem às

frequências e + d

•O volume é 4 r2dr /8.

38

Logo...

39

( ) dvc

adN 2

32

2

= ( 2)

(Por causa da

polarização

transversal da onda

eletromagnética)

( ) dvc

adN 2

32

=

E o resultado final é:

Energia média de cada onda...

•Pelo Teorema da Equipartição da Energia...

40

kTE =

A distribuição da densidade de energia

dentro da cavidade....

41

( ) ( )2

3

3

8. /T

kTd kT N d a d

c

= =

Já conhecemos portanto, se

quisermos a densidade de energia no interior da cavidade,

multiplicamos N()d pela energia média que a Termodinâmica

prediz para cada modo de vibração, que é kT, e dividimos pelo

volume, ou seja, por a3:

( )3

28 ,a

N d dc

=

Resulta a catástrofe do ultravioleta:

42

Teoria clássica de Rayleigh e Jeans

Resultados experimentais

Relação entre () e RT()

43

( ) ( )4

T

cR =

onde

() d é a densidade de energia no interior da cavidade entre e + d,

RT() d é a radiância que sai da cavidade entre e + d, e c é a

velocidade da luz no vácuo.

Na próxima aula,

• Veremos como, em 1900,

Planck contornou a

“catástrofe do ultravioleta”.

• O que causou a “catástrofe”?

44

Max Planck

Prêmio Nobel 1918

Na próxima aula,

• Veremos como, em 1900,

Planck contornou a

“catástrofe do ultravioleta”.

• O que causou a “catástrofe”?

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Max Planck

Prêmio Nobel 1918

Para finalizar, uma aplicação:

•Estime do número de ondas estacionárias no interior de

uma cavidade cúbica de lado 10 cm, com frequência no

intervalo entre 1014 Hz e 1,011014 Hz. Note que este

número independe da temperatura.

•Dado: constante de Boltzmann k = 1,38 ×10−23 joule/K.

•Por curiosidade e para efeito de comparação tão

somente, estime o número de ondas estacionárias no

mesmo intervalo de frequência para os casos de uma

“caixa” também de lado 10 cm em 1D e em 2D.

46

IMPORTANTE E DIDÁTICO!!

Adendo:

47

Adendo 2: Medindo a temperatura através

da radiação de corpo negro:

•Vimos que todos os objetos a uma temperatura absoluta acima de zero emitem radiação de corpo negro cujo espectro apresenta uma radiância espectral máxima numa frequência proporcional à sua temperatura.

•Esta propriedade é a base para o funcionamento de um pirômetro ou termômetro de infravermelho e para a termografia. Ela permite a vantagem de uma medida de temperatura remota por não requerer contato ou mesmo proximidade com o objeto a ser medido, como ocorre com termômetros usuais. A altas temperaturas, a radiação de corpo negro entra na faixa do visível e é descrita em uma escala de cor. Como exemplo, temos um corpo incandescente ou uma aproximação para a temperatura na superfície de uma estrela.

48