Propriedades Moleculares da Matéria

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

7

0

13

0

0

0

6

0

12

00

12

2

r

R

r

R

R

U

dr

dUF

r

R

r

RUU

Obs.: os líquidos possuem“ordem de curto alcance”

Modelo Cinético-Molecular de um Gás Ideal

• Um gás é constituído de partículas ("moléculas") de volume desprezível e massa m.

• As moléculas obedecem às leis de Newton e tem movimento desordenado devido às colisões.

• As colisões são elásticas, com duração e alcance desprezíveis.

• O número de moléculas é muito grande.

Modelo de gás ideal + Leis de Newton = Teoria Cinética:

Cálculo Cinético da Pressão

V

mv

L

mv

Lt

p

A

Fp xx

xx

2

3

2

2==Δ

Δ==

Considere uma molécula com velocidade vx ao longo do eixo x, dentro de um cubo de arestas L.

Ela colidirá com a parede sombreada em x = L a cada intervalo de tempo Δt = 2L/vx .

Cada colisão transfere um momento ΔP = mvx – (-mvx ) = 2mvx .

ρp

vvRMS

32 =≡

A equação acima informa que a velocidade quadrática média de uma molécula (grandeza microscópica) pode ser obtida das medidas macroscópicas de densidade e pressão:

22

1

2

1

2

3

1vv

N

v

V

Nm

V

mvp x

N

i

xiN

i

xi ρρ ==== ∑∑==

.

A pressão total é obtida somando as contribuições de todas as partículas:

Onde foram usadas as definições de densidade ρ, média < >, e isotropia espacial em três dimensões na última igualdade

Inserindo a pressão calculada pela teoria cinética, na equação de estado do gás ideal obtemos:

Interpretação Cinética da Temperatura

TNkvNmKTNkvNmvVpV BtrB 2

3

2

1

2

1

3

2

3

1 222 ==⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛== ρ

onde ρV = Nm é a massa total de gás. Assim:

A energia cinética de translação média de uma molécula (grandeza microscópica) é proporcional à temperatura do gás (grandeza macroscópica).

Algumas velocidades moleculares à temperatura ambiente (300K).

A energia cinética detranslação correspondente é3,74 kJ/mol.

Resolver problema 16.8

Livre Caminho Médio

1 molécula se move : 4(2r)2vdt e dN = 4 r2 vdt N/V

Numero de colisões por tempodN/dt= 4 r2 v N/V…dN/dt= 21/24 r2 v N/V

Tempo livre médio tmédio= V/(21/24 r2 v N)Livre caminho médio =vt= V/(21/24 r2 N)

N moléculas de raio r e volume V

Para moléculas de ar em CNTP e r ~ 2 Å ~ 0,06m

Distribuição de velocidades(Maxwell-Boltzmann)

Tkmv

B

BevTk

mNvf 2/2

2/32

24)( −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Capacidade Calorífica

RcdKdQnRdTdK

dTncdQ

Vtrtr

V

2

3

2

3 =⇒=⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

Calor específico molar a volume constantede um gás ideal “puntual” (monoatômico)

Transformação a volume constante implica que não deve haver realização de trabalho e todo o calor deve ser convertido em energia interna do gás.

* Uma molécula “puntual” ideal só possui energia do tipo “energia cinética de translação”.

=12,47 J/(mol.K)

Moléculas diatômicas e o princípio de equipartição da energia

Molécula diatômica;3 graus de liberdade translacionais2 graus de liberdade rotacionais

Ktot=nNA(5/2kT)=5/2n(kNA)T=5/2nRTΔQ=nCv ΔT Cv=5/2R=20,79 J/(mol.K)

Mecânica Quântica:Rotações em torno do eixo de simetria e vibrações em geral não absorvem energia devido ao grande espaçamento entre os níveis de energia correspondentes.

O Princípio da eqüipartição de energia afirma que cada componente da velocidade (linear ou angular) possui, em média, uma energia cinética associada a cada molécula igual a 1/2kT

Variação do calor específico com a temperatura

Calor específico de um sólido monoatômico

Consideramos 3 graus de liberdade de vibração por átomo,cada um com energias potencial e cinética.

(Valor de Dulong e Petit)

Etot=6/2n(kNA)T=3nRTΔQ=nCv ΔT Cv=3R=24,9 J/(mol. K)