MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA – CAMPUS ALEGRETE PIBID – Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência

PROPOSTA DIDÁTICA

1. Dados de Identificação

1.1 Nome do bolsista: Bianca Bitencourt da Silva

1.2 Público alvo: Alunos do 8º e 9º ano 1.3 Duração: 2 horas

1.4 Conteúdo desenvolvido: Área de triângulos equiláteros, geometria fractal.

2. Objetivos da proposta didática

- Identificar um triângulo equilátero e suas dimensões; - Calcular a área de um triângulo equilátero;

- Associar a geometria euclidiana e fractal ao cotidiano do aluno.

3. Desenvolvimento da proposta didática

(10 min) – Acomodação dos alunos em semicírculo e realização da chamada.

(5 min) – Será feita uma análise, questionamentos e reflexões sobre onde existe matemática

na natureza. Podemos encontrar matemática nas construções em suas formas geométricas,

nas medidas de diversas distancias diferente no dinheiro entre infinitas possibilidades a mais,

porém podemos encontrar na natureza uma geometria diferente nomeada geometria fractal,

geometria essa que resulta em figuras e imagens muito presentes em nosso dia-a-dia.

(10 min) - Após isso será feito um questionamento e reflexão da possível matemática que

possa existir nessas figuras mostradas. Dentre as respostas abaixo se espera que eles

consigam enxergar a matemática como: temperatura para a formação do floco de neve, massa do repolho, quantidade de brócolis entre outras. As perguntas têm o intuito de analisar

a criatividade do aluno e a perspectiva matemática deles.

1. Você acredita que possa existir matemática em um floco de neve? Se sim, diga como:

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2. Você acredita que possa existir matemática em um repolho? Se sim, diga como:

(20 min) – Será usado um vídeo para fazer a introdução do que é fractal e aonde podemos

encontra-los. Com recurso do projetor multimídia será mostrado figuras como: flocos de neve,

brócolis entre outros exemplos de Fractais. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=k5N-Rm2lhBU> Tempo: 9:26.

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Figura 1 – Brócolis Figura 2 – Floco de neve

Figura 3 – Babosa Figura 4 – Repolho roxo

Figura 5 – Raios Figura 6 – Neurônios

Figura 7 – Pavão Figura 8 – Folha da samambaia

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(15 min) – Ainda com o projetor multimídia será feita uma breve síntese sobre a história dos

fractais, mostrando e dialogando quem descobriu, aonde encontramos e o que são.

A geometria Euclidiana que é a geometria que conhecemos e que forma

quase tudo que vemos ao nosso redor acredita-se que nasceu no Egito nas margens do rio Nilo, quando este estava em época de enchentes e era

preciso medir o quanto tamanho das inundações. Porém foi Euclides de

Alexandria que viveu por volta de 300 a.C. que foi seu maior percursor de

seus axiomas e postulados. Mas com o tempo essa geometria não conseguia

estudar alguns fenômenos existentes na natureza e sem forma aos olhos da geometria Euclidiana, foi então que assim surgiu a geometria fractal. “Um

fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo

cada um desses pedaços uma reprodução do todo.” (SALLUM. p. 1). Um

fractal não pode ser visto porque é uma figura limite, porém, podemos ver as

etapas de sua construção possibilitando uma ideia da figura toda. Seu maior percussor foi Benoit Mandelbrot o mesmo que nomeou tal geometria.

(15 min) – Será feito uma breve reflexão sobre a geometria euclidiana, utilizando conceitos

para o estudo dos fractais, como: lados de triângulos, triângulos equiláteros, área de

triângulos etc.

Como podemos descrever um triângulo?

Resposta esperada: Uma figura geométrica com três lados.

Quantos ângulos internos tem um triângulo? Qual a soma deles? Resposta esperada: Três ângulos, 180º.

Qual a classificação dos triângulos quanto aos ângulos?

Resposta esperada: retângulo, acutângulo e obtusângulo.

Qual a classificação dos triângulos quanto aos lados?

Resposta esperada: Triângulo equilátero, isósceles e escaleno.

O que é um Triângulo Equilátero?

Resposta esperada: Triângulo onde todos os seus lados têm a mesma medida.

Qual a fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer?

Resposta esperada: 퐴 = ×

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Qual a fórmula para o cálculo da área de um triângulo equilátero?

Resposta esperada: 퐴 = √

(10 min) – Intervalo

(20 min) – Ainda com o intuito de revisar o conteúdo de triângulos e cálculo de área, será

proposto um exercício para calcular a área de um triângulo qualquer.

Um triângulo equilátero tem lado com medida 4, calcule sua área.

Resposta esperada: 퐴 = √ = √ = 4√3 = 6,928

(5 min) – Será mostrado o fractal Triângulo de Sierpinski

O Triângulo de Sierpinski foi descoberto pelo matemático Waclav Sierpinski (1882-

1969). É obtido através de um processo iterativo de divisão de um triângulo equilátero em

quatro triângulos semelhantes, visto que um destes triângulos está invertido, em relação ao

original e é retirado do triângulo original sobrando apenas os outros três. Assim, repete-se no

passo seguinte o mesmo procedimento em cada um dos três novos triângulos com a

orientação original, e assim sucessivamente. O fractal obtido é estritamente auto-semelhante,

ou seja, as partes da figura são cópias reduzidas de toda a figura.

Figura 9 – Triângulo de Sierpinsk

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(10 min) – Após mostrar o fractal a ser trabalhado, junto com os alunos vamos analisar afim

de obter respostas como:

Em relação ao primeiro triângulo, quanto vale a parte preta do segundo?

Resposta esperada: 3/4

Em relação ao primeiro triângulo, quanto que vale a parte branca do

segundo?

Resposta esperada: ¼

(15 min) – Será apresentado o cálculo da área de cada triângulo que será formado em suas

respectivas fases desse fractal bem como a área total do fractal, a partir do cálculo de área de

um triângulo equilátero.

O Triangulo de Sierpinsk é dividido em níveis, em que:

No nível 0 a área total do fractal é a própria área do triângulo e o número de

triângulos é igual a 3 =1 triângulo.

No nível 1 temos que a área de cada triângulo que compõem o fractal sendo

¼ da área do triângulo original, e a área total desse fractal sendo 3/4 da área

do triângulo original obtendo o número de triângulos da seguinte forma 3¹=3

triângulos. No nível 2 vamos obter (1/4)² da área original para saber a área de cada

triângulo e (3/4)² da área do triângulo original para saber a área do fractal

inteiro, para o número de triângulos nesse nível temos 3²=9 triângulos.

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(20 min) – Aplicação de atividades.

A partir das conclusões a respeito do fractal Triângulo de Sierpinsk (tabela), responda as

questões seguintes:

Calcule a área total do fractal Triângulo de Sierpinsk no nível 4 originado a

partir de um triângulo com área de 8cm.

Resposta esperada: 퐴 = × 8 → 퐴 ≡ × 8 → 퐴 ≡ ≡ 2,53 푐푚

Um fractal se originou a partir de um triângulo equilátero com lado de 4 cm,

calcule a área de cada triângulo que compõe um fractal Triângulo de

Sierpinsk no nível 2 e calcule a área total desse fractal.

Resposta esperada: 퐴 = √ = √ = 4√3 = 6,928푐푚

A= × 6,92 → 퐴 = × 6,92 → 퐴 = , = 0,43푐푚

퐴 = 34 × 6,92 → 퐴 =

916 × 6,92 → 퐴 =

62,2816 = 3,89푐푚

Calcule a área de um total de um fractal triângulo de Sierpinsk no nível 3

originado por um triângulo com 76cm.

Resposta esperada: 퐴 = 푥 76 → 퐴 = 푥76 → 퐴 = = 32,0625푐푚

Qual a área de cada triângulo que forma um fractal triângulo de Sierpinsk no

nível 6, sendo que o triângulo que originou esse fractal tinha 2cm.

Resposta esperada: 퐴 = 푥2 → 퐴 = 푥2 → 퐴 = = 0,00048828푐푚2

(20 min) – Utilizando folha A4, tesoura e régua serão confeccionadas com os alunos fractais,

para contato mais lúdico onde o aluno possa interagir com a progressão de um fractal com a

figura. Como mostra a figura e o exemplo abaixo. -Dobrar uma folha A4 ao meio

-Dividir a parte que foi dobrada em quatro partes e a parte lateral em duas partes.

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-Com uma tesoura, na parte inferior eu foi divida em quatro partes, cortar as divisões

do meio até a marca que foi cortada na lateral, e dobrar até a outra extremidade da

folha.

- Fazer esses passo até não conseguir mais dobrar.

-Por fim, desdobrar toda a folha e dobrar os retângulos para fora.

Figura 10 – Fractal a ser construído.

(15 min) – Por meio de um questionário será feito perguntas em relação a aula ministrada.

Também será questionado onde e como, na opinião do aluno, possa existir fractais e

matemática na natureza.

Questionário: 1. Em sua opinião existe matemática no seu cotidiano? Cite exemplos.

2. A partir da aula de hoje, você acredita que existem mais fractais na natureza?

Cite exemplos.

3. Qual sua opinião sobre a aula de hoje?

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4. Referências Bibliográficas

BEMFICA, Andrios. Fractais: Progressão e série geométrica, uma metodologia de ensino. Disponível em: < http://facos.edu.br/publicacoes/revistas/modelos/agosto_2011/pdf/fractais _progressao_e_serie_geometrica.pdf> Acesso em: 08 jun. 2015.

ÁVILA, Geraldo. Euclides, Geometria e Fundamentos. Rio de Janeiro: SBM, 2001

GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Livraria da Física. 2008.

OLIVEIRA, H.; SEGURADO, M. I.; PONTE, J. P. Explorar, investigar e discutir na aula de matemática. In A. Roque & M. J. Lagarto (Eds.), Actas do ProfMat 98 (pp. 207-213). Lisboa: APM, 1996

SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. Revista do Professor de Matemática. Nº 57, 2ºquadrimestre de 2005.