Proposta de Correcção do Teste Intermédio 9ºano 7 de Fevereiro de 2011 V1

1. 1.1 Em primeiro lugar ordenam-se os valores: 1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3.Uma vez que o número de valores é par existem dois valores centrais e a mediana é a média

aritmética desses dois valores. Sendo assim 5,12

21 =+=Mediana .

1.2 Para saber quantos são e quais são os casos possíveis podemos recorrer, por exemplo, a uma tabela de dupla entrada.

Observando a tabela onde estão registados os produtos possíveis, vemos que apenas 4 destes produtos são números pares. Sendo assim,

( )3

2

6

4"" ==parnúmerouméprodutooP .

2. 2.1 Nº total de alunos : 5+40+25+10=80

5,1480

1160

80

101625154014513 ==×+×+×+×=Média

2.2 Considerando apenas os alunos com menos de 15 anos ( 45 alunos), apenas 5 têm 13 anos.

Sendo assim a probabilidade pedida é 45

5. (C)

3. ] [2,3−=∪BA logo a opção correcta é { }23: <∧−>∈ xxRx (D)4. 4.1 Elaborando uma tabela:

O 7º termo (n=7) tem 4x7+1=29 quadrados.

4.2 974

388

4

438841389438914 =⇔=⇔=⇔−=⇔=+ n

nnnn

Outra forma de resolver é:Observando que o número de quadrados é sempre um “múltiplo de 4 mais um”, se subtrairmos 1 a 389 devemos obter um múltiplo de 4. Fazendo 974388 =÷ concluímos o pretendido.R: Há um termo com 389 quadrados, é o 97º termo. 5. O número pretendido tem que ser:- divisível por 4 ( por ser o perímetro de um quadrado cujos lados são números inteiros);- divisível por 5( por ser o perímetro de um pentágono regular cujos lados são números inteiros);- dar resto 1 quando dividido por três ( uma vez que adicionado com um é o perímetro de um triângulo equilátero cujos lados são números inteiros);-inferior a 45.

Então procuramos um múltiplo de 4 e 5, inferior a 45, que dividido por 3 dê resto 1.Múltiplos comuns a 4 e a 5 : 20,40,…20 dividido por 3 dá resto240 dividido por 3 dá resto 1R: O número pretendido é o 40.6. Uma vez que as grandezas são inversamente proporcionais,

275

150

75

755,110075 =⇔=⇔×=× a

aa .

7. tvdt

dv ×=⇔=

Sendo x o número de horas que o Jorge demora a percorrer a distância a uma velocidade de 100km/h, obtemos que a distância é dada por x100 .A uma velocidade de 80km/h o Jorge demora x+1 horas logo a distância percorrida é )1(80 +x .Como a distância percorrida é a mesma igualamos as duas expressões: )1(80100 += xx e resolvemos a equação obtida:

X 1 2 31 2 32 2 63 3 6

Ordem 1 2 3 nNº quadrados 5 9 13 4n+1

420

80

20

20802080801008080100)1(80100 =⇔=⇔=⇔=−⇔+=⇔+= x

xxxxxxxx .

Se demorou 4 horas a uma velocidade de 100km/h percorreu 400 km.

8. ( ) ( ) ⇔−+≥−⇔−+≥− xxxxxx 3442

1

2

13141

2

1

( )99182281

11

4

2

1

2

1

2)2(

−≤⇔≥−⇔+≥−⇔+≥−⇔+≥−⇔××

xxxxxxx

x

] ]9,.. −∞−=SC

9. ⇔

−=

=−

32

5

yx

xy ⇔

−=−−−

⇔

−=+−+=

⇔

−=−=−

⇔

−==−

6526)5(2

5

62

5

62

5

xxxx

xy

yx

xy

yx

xy

−==

⇔

−=+−=

⇔1

4

1

51

x

y

x

y)4,1(),( −=yx

10. ( ) 4264462 222 ++=++−=+− xxxxxxx (A)11. 11.1 xxxxxP 4218182292)9(2 =++−=+×+−=

Podíamos também dizer directamente que o perímetro é x4 uma vez que o perímetro da região sombreada é igual ao perímetro do quadrado [ACEF]( basta ver que BCBG = e DCGD =).11.2 [ ] [ ]BCGDACEF → 12 9

12

9× Logo a razão de semelhança da redução é 12

9.

12. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [ABC], 202042

2222±=⇔=⇔+= ACACAC

Como se trata de um comprimento 20=AC

O número que corresponde ao ponto E é 120201 =+− .

13. Seja ABx = . Como ABAE3

1= , 3

xAE = e sendo assim xDC

3

2= . Seja h a altura do

trapézio.

Uma vez que a área do trapézio [ABCD] é 20, podemos escrever a equação 20

23

2

=×+

hxx

.

Daqui obtemos ⇔=×+

2023

2

3

3

hxx

⇔=× 2023

5

hx ⇔=× 20

6

5h

x ⇔=6

120

6

5xh

⇔=1205xh 245

120 =⇔=⇔ xhxh .

Como a área do triângulo não sombreado é 2

3

2hx×

, ou seja 3

xh, vem que a área desse triângulo

é 83

24 = e portanto a área sombreada é 20-8=12. (B)