Projeto de Iniciação Cientifica:Projeto de Iniciação Cientifica:

•Simulação e Modelagem de sistemas Dinâmicos Simulação e Modelagem de sistemas Dinâmicos

Prof. : Coordenador do Projeto:Prof. : Coordenador do Projeto:

•Prof. Dr. Sérgio Luiz Garavelli Prof. Dr. Sérgio Luiz Garavelli

Prof. Orientador do Projeto:Prof. Orientador do Projeto:

•Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito

Aluno Pesquisador e Apresentador:Aluno Pesquisador e Apresentador:

• Rodrigo Alves DiasRodrigo Alves Dias

Motivação:Motivação:

•Estudo de Propriedades Magnéticas.Estudo de Propriedades Magnéticas.

•Visando Aplicações em diversas áreas Visando Aplicações em diversas áreas cientificas como exemplo :cientificas como exemplo :

•Medicina.Medicina.

•Industria Computacional na Produção de Chips.Industria Computacional na Produção de Chips.

•Exemplos de Propriedades:Exemplos de Propriedades:•O Ferromagnetismo

•Ant-Ferromagnetismo

•Diamagnetismo

•Paramagnetismo

Introdução ao Modelo de Ising:Introdução ao Modelo de Ising:

•Corrente Elétrica no Fio Corrente Elétrica no Fio Gera um Campo Gera um Campo Magnético em sua volta.Magnético em sua volta.

•Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada átomo(Spin) .átomo(Spin) .

N

S

N

S

Átomo Imã

•Muitos Átomos ou Moléculas na rede Muitos Átomos ou Moléculas na rede

Muitos Spins que vão interagir.Muitos Spins que vão interagir.

Spins gerados Aleatoriamente.Spins gerados Aleatoriamente.

•Materiais Ferromagnéticos:Materiais Ferromagnéticos:

•Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos). Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos).

Spins Orientados. Spins Orientados.

• Magnetização Média aproximadamente zero.Magnetização Média aproximadamente zero.

Spins Desorientados. Spins Desorientados.

•Altas Temperaturas (Acima da Crítica)Altas Temperaturas (Acima da Crítica) Alta Agitação. Alta Agitação.

•Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).

•Explicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticasExplicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticas

•Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica.Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica.

•Materiais Anti -Ferromagnéticos:Materiais Anti -Ferromagnéticos:

•Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados (Spins Anti-Paralelos). (Spins Anti-Paralelos).

Spins Orientados. Spins Orientados.

•Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).

•A energia de interação entre os Spins é dada por:A energia de interação entre os Spins é dada por:

•Explicação Modelo de Ising :Explicação Modelo de Ising :

N

ii

N

jiji sHssJsE

,

)(

•J = Constante de acoplamento entre os Spins:J = Constante de acoplamento entre os Spins:

•J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente)J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente)

•J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente)J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente)

•SSii = Spin interagente. Pode ser +1 Spin Up (Para Cima) ou = Spin interagente. Pode ser +1 Spin Up (Para Cima) ou

-1 Spin Down (Para Baixo) -1 Spin Down (Para Baixo) S Sjj = Spin Vizinho interagente. = Spin Vizinho interagente.

•<i,j>=Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos.<i,j>=Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos.

•H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0.H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0.

Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um resultado o mais próximo possível de uma observável. resultado o mais próximo possível de uma observável.

•Implementação Numérica (Método de Metropolis):Implementação Numérica (Método de Metropolis):

i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao acaso e seu spin é invertido. acaso e seu spin é invertido.

ii) A energia do sistema ii) A energia do sistema EEf f , associada a esta nova configuração, é então calculada., associada a esta nova configuração, é então calculada.

iii) Calcula-se a variação da energia do sistema iii) Calcula-se a variação da energia do sistema E=EE=Eff-E-Enn, onde , onde EEnn é a energia do sistema no é a energia do sistema no

nn-ésimo passo. -ésimo passo. (a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita. (a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita. (b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade (b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade

P = exp(-(P = exp(-(E)/T)E)/T). . E= +2JE= +2J S Sii S Sjj

iv) A configuração do sistema no passo iv) A configuração do sistema no passo n + 1n + 1 corresponderá àquela obtida com a mudança corresponderá àquela obtida com a mudança do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo n + 1n + 1 será a mesma será a mesma que o sistema possuía no passo que o sistema possuía no passo nn..

•Exemplo Calculo da energia:Exemplo Calculo da energia:

EEnn = -J = -J S Sii S Sjj

SSii= +1= +1

EEnn = -1( = -1( S Sii S Sj j )= -1 (-1-1-1-1) = +4)= -1 (-1-1-1-1) = +4

J = 1.J = 1.

EEn+1n+1 = -1( = -1( (-S (-Si i ) S) Sj j )= -1 (+1+1+1+1) = -4)= -1 (+1+1+1+1) = -4

SSii= -1= -1

SSii= -1= -1SSii= -1= -1

E = EE = En+1n+1 - E - Enn= -4 -(+4) = -8= -4 -(+4) = -8

Aceito essa nova configuração.Aceito essa nova configuração.

Se Se EE > 0 Aceito a nova configuração > 0 Aceito a nova configuração se:se:

exp(-exp(-E / TE / T) < P(E) < 1/2.) < P(E) < 1/2.

•Condições de Contorno:Condições de Contorno:

•Usamos condições de contorno periódicas:(Toroidais)Usamos condições de contorno periódicas:(Toroidais)

•Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas:Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas:

•Magnetização Média:Magnetização Média:

N

iii S

NSMM

1

1)(

•Energia Média:Energia Média:

•Susceptibilidade Magnética:Susceptibilidade Magnética:

•Capacidade Térmica:Capacidade Térmica:

221)()( ii SMSM

TX

)()(,

N

jijissJ

NSEU

1

22

2

1)()( SESE

TC

•Explicação Modelo de Ising Diluído:Explicação Modelo de Ising Diluído:

•Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e descritas anteriormente são as mesmas.descritas anteriormente são as mesmas.

•Rede amorfa Rede amorfa É uma rede com sítios não magnético. É uma rede com sítios não magnético.

•Há desordem nos estados dos Spin. Mas não há desordem nas localizações dos Há desordem nos estados dos Spin. Mas não há desordem nas localizações dos Spin.Spin.

•Sistema denominado Sistema denominado ResfriadoResfriado, ou (“Quenched”)., ou (“Quenched”).

•Está relacionada com a densidade da rede.Está relacionada com a densidade da rede.

•Resultados do Ising Puro:Resultados do Ising Puro:•Temperatura Crítica Teórica Temperatura Crítica Teórica T Tcc

TeoTeo=2.2692 J/K=2.2692 J/KBB

•Temperatura Crítica Mod. Ising Temperatura Crítica Mod. Ising T TccIsingIsing= 2.2715 J/K= 2.2715 J/KBB..

•Expoente Crítico Magnétização:Expoente Crítico Magnétização:

•M M ( T - T ( T - Tc c ) ) -Bc-Bc B BccIsingIsing = 0.1088 = 0.1088 •BBcc

teoricoteorico = 1/8 = 0.125 = 1/8 = 0.125

•Resultados do Ising Diluído:Resultados do Ising Diluído:

•Densidade Crítica Téorico Densidade Crítica Téorico ccTéoTéo = 0.59 = 0.59 cc

IsingIsing = 0.5 = 0.5 0.6 0.6