progressão geométrica

5/10/2018 progress o geom trica - slidepdf.com

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1) Represente os termos a7, a2, a3 e a4, de uma P.G., em função dos a9, a5, a1 e a3

respectivamente.

Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental

que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício,

portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o

tenha compreendido por completo.

Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função

de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de

qualquer outro termo.

Para representarmos a7 em função de a9 temos:

Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de

termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o

termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será

positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.

a9 está dois termos à direita a7, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a7 = a9 . q-

2.

a5 vem três termos depois de a2, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a2 =

a5 . q-3.

a1 vem dois termos antes de a3, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a3 =

a1 . q2.

a3 está um termo à esquerda a4, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a4 =

a3 . q.

Então:

a7 = a9 . q-2

, a2 = a5 . q-3

, a3 = a1 . q2

e a4 = a3 . q

2) O produto dos 7 termos de uma P.G. é igual a 4586471424. Qual é o quartotermo?

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a4 teremos:

P.G. ( a4q-3, a4q

-2, a4q-1, a4, a4q, a4q

2, a4q3 ).

A representação do produto dos termos será então:

http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoGeometricaExercicios.aspx#anchor_ex1





















http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoGeometricaExercicios.aspx
















Perceba que na expressão acima q-3 anula q3, assim como q-2 anula q2 e q-1 anula q,

deixando a mesma apenas com a variável a4. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo

central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a3, por

exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer

pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse

um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

O quarto termo é igual a 24.

3) Dadas as sucessões P.G. ( x, y, 147 ) e P.A. ( 5x, y, 27 ), ambas crescentes,quais os valores de x e de y?

O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente

podemos igualar as duas médias assim:

A variável x pode assumir, portanto os valores 3 e 9,72.

Para x = 9,72 temos a P.A. ( 48,6, y, 27 ) que não é aceitável pois o enunciado especifica

uma P.A. crescente, então não podemos considerar o valor 9,72.

Para x = 3 temos a P.A. ( 15, y, 27 ) e a P.G. ( 3, y, 147 ) que estão dentro dos padrões

do enunciado.

Como y é um termo médio, tanto da P.A., quanto da P.G., vamos calculá-lo na P.A., pois é

mais simples:

Assim sendo:

O valor de x é 3 e o valor de y é 21.

4) O sexto termo de uma P.G. é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, qual é oterceiro termo?

Como o terceiro termo está 3 termos à esquerda do sexto termo, podemos expressar a3 em

função de a6 da seguinte forma:

Como:





















Temos:

Portanto:

O valor do terceiro termo é 100.

5) Se somarmos os 7 primeiros termos da P.G. ( 7, 21, ... ) qual será o valorobtido?

A razão da sucessão pode ser obtida da seguinte forma:

Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:

Calculando temos:

Logo:

O valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será de 7651.

6) Ao somarmos o segundo, o quinto e o sexto termo de uma P.G. obtemos 400.Ao somarmos o terceiro, o sexto e o sétimo termo, obtemos o dobro disto. Quantoobteremos se somarmos os três primeiros termos desta progressão?

A partir do enunciado montamos duas equações:

Podemos escrevê-las em função do primeiro termo para ficarmos com apenas duas variáveis,

a1 e q:



























Repare que podemos colocar q em evidência na segunda equação:

Perceba que esta providência nos permitirá encontrar o valor de q, já que o valor que está

entre parênteses é exatamente igual à primeira equação:

Substituindo q pelo seu valor na primeira equação, já com os termos colocados em função

de a1, encontraremos o valor deste termo:

Finalmente, sabendo que a1 = 8 e que q = 2, podemos calcular o valor da soma dos três

primeiro termos:

Portanto:

A soma dos três primeiros termos desta progressão é igual a 56.

7) Qual é o produto da multiplicação dos 5 primeiros termos da P.G. ( 6, 9, ... )?

A seguir obtemos a razão da sucessão:

As variáveis que dispomos para a solução do exercício são:

Aplicando a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma progressão geométrica

temos:

Enfim:

O produto dos cinco primeiros termos da referida P.G. é de 448403,34375.

8) O sétimo termo de uma P.G. é igual a 1458 e o nono é igual a 13122. Oprimeiro é igual a quanto?

Do enunciado temos:





















Sabemos que o termo a8 é média geométrica dos termos a7 e a9 conforme abaixo:

Podemos calcular a razão da progressão, pois sabemos que podemos obtê-la como a seguir:

Sabendo que a razão q = 3, podemos encontrar a1 que se localiza 6 termos à esquerda de

a7. Então temos:

Logo:

O primeiro termo desta P.G. é igual a 2.

9) Qual é a soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)?

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:

Os dados que dispomos são:

Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:

Agora já dispomos de todos os dados necessários ao cálculo da soma dos termos:

Assim sendo:

A soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683) é igual a 29520.

10) Qual é o valor de x na P.G.(x - 40, x, x + 200)?





















Como x é média geométrica entre x - 40 e x + 200 temos:

Portanto:

O valor de x na progressão geométrica é 50.

Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II sereferem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser

consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos

exercícios a seguir.

Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas

estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios

interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica

têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são

estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão

aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro

termo das progressões é:

a) 10b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como

condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma

PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2

=> 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2












http://www.blogviche.com.br/2006/06/15/progressoes-parte-i/



http://www.blogviche.com.br/2006/06/17/progressoes-parte-ii/



http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/papg.htm








Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em

(4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2

=> 4 + 8q – 4 = 4q2

=> 4q2

– 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na

equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2

=> g3 = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; – 5n; 1 – 4n) uma

progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [ – 2, – 1]

b) [ – 1, 0]

c) [0, 1]

d) [1, 2]e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos

satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).



Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …)

obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n

dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58

b) 59c) 60

d) 61

e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro

termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1

e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo

geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da

sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;

se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

an = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam,

simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) ac = b2

b) a + c = 2

c) a + c = b2



d) a = b = c

e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG derazão q é:

(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é

verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue

que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9;

0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1

b) 3,9

c) 3,99

d) 3,999

e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09;

0,009; …) de razão q = 10-1

= 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão

aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0

b) 1,0c) 1,5



d) -1,5

e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos,

uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão

inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48

b) -96

c) 48

d) 96

e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24

precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral

temos que:

a4 = a1.q4-1

=> -24 = 3q3

=> q3

= -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula

do termo geral:

a6 = a1q6-1

=> a6 = 3(-2)5

= -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário

17 do artigo sobre Potenciação.



Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6,

determine n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da

fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2 /4; x

3/8; …) é igual a 1/10.

Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita

converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja

satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de

convergência:

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.



Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática

para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3.

Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o

outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a – 6 e c = a – 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a2

= b2

+ c2

=> a2

= (a – 6)2

+ (a – 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2

= a2 – 12a + 36 + a

2 – 6a + 9 = 2a

2 – 18a + 45

=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz

claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

Questões:

01. Determine a P. G. (an) em que a1 = 3 e an + 1 = 2 . an.

02. Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...).

03. Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.

04. (PUC) Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o primeiro termo énegativo, a P. G. é chamada:

a) decrescente



b) crescentec) constanted) alternantee) singular

05. Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, ...) tem-se a1 + a6 = 1025 e a3. a4 = 1024. Determine a razão da progressão geométrica.

06. O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a:

a) 10b) 11c) 12d) 14

e) 15

07. As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão emprogressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será:

a) 256b) 64c) 16d) 243e) 729

08. Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressãogeométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161.

09. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A somados oito primeiros termos é:

a) -1700

b) -850c) 850d) 1700e) 750

10. O lado de um triângulo eqüilátero mede 3m. Unindo-se os pontos médiosde seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontosmédios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero e, assimsucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulosconstruídos.



Resolução:

01. (an) = (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...)

02. a4 = -24 e a7 = 192

03. (2, 6, 18, 54, 162, 486, ...)

04. A

05. 4

06. C

07. A

08. K=13

09. B

10. P1 + P2 + P3 + ... = 8m

progressão geométrica

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