COLÉGIO ISAAC NEWTON

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

PROF. LUCIANO VIEIRA Fonte: Trabalho de Prática IV - UFMS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

Definição: é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do

segundo é igual ao produto do termo anterior com uma constante

q . O número q é chamado razão da progressão geométrica.

A P.G. também é um tipo de seqüência bastante presente

no nosso cotidiano.

Observe a situação:

“Em 2007, uma empresa produziu 200.000 peças de um produto.

A empresa fez uma previsão que a cada ano, sua produção deve

aumentar em 10% em relação ao ano anterior. Quantas peças

serão produzidas a cada ano até 2012?”.

(200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820, 322.102)

REPRESENTAÇÃO

P.G. (a1, a2, a3, ..., an)

a1 é o 1º termo da P.G.;

n é o nº de termos da P.G.;

an é o último termo da P.G. ou o

termo procurado ou o enésimo termo;

q é a razão da P.G.

O CÁLCULO DA RAZÃO

Podemos usar duas fórmulas para

encontrarmos a razão de uma P.G.

Vejamos:

...

CLASSIFICAÇÃO

P.G. FINITA: nº finito de termos

Exemplo:

(3, 6, 12, 24)

a1 = 3

a4 = an = 24

n = 4

q = 2

P.G. INFINITA: nº infinito de

termos

Exemplo:

(2, 8, 32, 128, 512, ...)

a1 = 2

q = 4

nn-1

1

aq= ,n≥3

a32

1 2

aaq= =

a a•

P.G. CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso

aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e q 1, ou a1 0 e 0 q

1.

Exemplos:

(2, 4, 8, ...); q = 2

(-4, -2, -1, -1/2, ...); q = 1/2

P.G. DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior. Para que

isso aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e 0 q 1, ou a1 0

e q 1.

Exemplos:

(8, 4, 2, 1, ½, ...); q = ½

(-1, -2, -4, -8, ...); q = 2

P.G. CONSTANTE: todos os termos da P.G. são iguais, ou seja q = 1

Exemplo:

(5, 5, 5, 5, ...); q = 1

P.G. OSCILANTE: todos os seus termos são diferentes de zero e dois

termos consecutivos quaisquer têm sinais oposto. Para que isso

aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e q 0.

Exemplo:

(3, -6, 12, -24, 48, -96, ...); q = -2

P.G. QUASE NULA: o primeiro termo é diferente de zero e todos os

demais são iguais a zero, isto é, a1 0 e q = 0.

Exemplo:

(9, 0, 0, 0, 0, ...); q = 0

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.

Voltando a situação da empresa, onde temos a

P.G. (200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820,

322.102), podemos calcular a quantidade de

peças produzidas ano a ano multiplicando a produção inicial por

potências 1,1 (110%).

Assim, se quiséssemos saber a produção no ano de 2010, teríamos:

a1 = 200.000 q = 1,1

Logo, a produção do ano de 2010 seria:

a2010 = a1 . q3 a2010 = 200.000 . (1,1)3 a2010 = 200.000 . 1,331 a2010 = 266.200

Observem que 266.200, corresponde ao 4º termo da P.G.

Assim, podemos

escrever todos os termos

da P.G. da seguinte

maneira:

a1 = a1 . q0

a2 = a1 . q1

a3 = a1 .q2

a4 = a1 . q3

a5 = a1 . q4

a6 = a1 . q5

Portanto, qualquer termo

an é igual ao produto de a1

pela potência q(n – 1), ou seja, a

fórmula do termo geral da

P.G. é expressa por:

an = a1 . q(n - 1)

onde,

an é o último termo da P.G.

ou o termo desejado ou o

enésimo termo;

a1 é o primeiro termo da

P.G;

n é o número de termos da

P.G.

q é a razão da P.G.

A fórmula do termo geral da P.G. nos permite calcular a lei

de formação de uma P.G., a razão (q), o número de termos (n),

o primeiro termo (a1) e o último termo ou o termo desejado (an).

Exemplos:

1. Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da P.G. (2,

4, ...).

an = a1 . q(n – 1) an = 2 . 2(n – 1) an = 2(n)

2. Qual o quarto termo da P.G. (2, 8, ...)?

a4 = 2 . 4(4 – 1) a4 = 2 . 43 a4 = 128

3. Quantos elementos tem a P.G. ( 3, 6, ..., 192)?

192 = 3 . 2(n – 1) 192 3 = 2(n – 1) 64 = 2(n – 1) n = 8

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G.

Três termos:

Cinco termos:

Para P.G. com número par de termos, ou seja, sem termo

central, usamos uma notação diferente em que o q da razão é em

função de outro número qualquer, ou seja, q = y2.

Dois termos:

Quatro termos:

x,x,xq ,comrazão q,seq ou x,xq,xq ,comrazão q

q

20

x x, ,x,xq,xq ou x,xq,xq ,xq ,xqqq

2 2 3 42

x,xy

y

x xx,xq,xq ,xq comrazãoqou , ,xq,xq comrazãoq seq

qq

2 3 3 2

30

PROPRIEDADES DA P.G. P1 – Média Geométrica

Uma seqüência de três termos em que o primeiro é diferente

de zero, é P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio (am)

é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a 0, temos:

(a, b, c) é P.G. b2 = a .c

Demonstração:

Vamos analisar duas hipóteses: b 0 ou b = 0

1ª hipótese: b 0

Como a 0 e b 0, temos:

b ca,b,c éP.G

a be

b cb ac

a b

2

Logo: (a, b, c,) é P.G. b2 = ac

2ª hipótese: b = 0

Como a 0 e b = 0,

temos: a,b,c éP.G. c

e

c b ac

2

0

0

Logo: (a, b, c,) é P.G. b2 = ac

P2 – Produto dos termos eqüidistantes

Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos

extremos é igual ao produto dos extremos.

Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an), temos:

a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 ...

Exemplo::(2, 4, 8, 16, ..., 32, 64, 128, 256)

. 02 256 512

. 04 128 512

. 08 64 512

. 16 32 512

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, inserir ou intercalar meios geométricos entre

dois números dados (extremos) é obter uma P.G. na qual os

números dados sejam o primeiro e o último termo. Para isso

devemos calcular a razão dessa P.G.

Exemplo:

1. Interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243.

Observemos que a1 = 01, an = 243 e n = 06 (04 meios + 02

extremos).

Então, falta calcular a razão da P.G. para que possamos inserir

os meios.

Logo,

nna

qa

q

q

q

1

1

6 1

5

243

1

243

3

P.G. 1, 3, 9, 27, 81, 243

.n 6Assim, a é igual a a

SOMA DOS SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.P.G.

A soma dos n termos de uma P.G. (an) de razão q 1 é dada pelas fórmulas:

1

1

1

n

n

qS a

q

1

1

1

n

n

qS a

q

nn

a q aS

q

1

1

Onde,

Sn = soma dos n termos da

P.G.;

a1 = 1º termo da P.G;

n = número de termos da P.G;

q = razão da P.G.

an = enésimo termo da P.G.

Exemplo:

1. Dada a P.G. (3, 6, ...),

determine a soma de seus 4

primeiros termos.

Primeiro vamos retirar os

dados que o exercício

nos fornece:

a1 = 3

n = 4

q = a2 a1 q = 2

P.G. até o 4º termo (3,

6, 12, 24)

an = a4 = 24

Agora é só aplicar a

fórmula da soma.

1

1

1nS =anq

q

42 1

2 116 1

1

4

4

4

4

S =3

S =3

S =3 15

S =45

SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA P.G.

Nas progressões geométricas em que -1 < q < 1, a soma dos n

primeiros termos tem um limite finito quando n . Neste caso,

qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja,

Sabemos que

Logo,

Isto é:

n

nlimq

0

n

n

qS a ,q

q

1

11

1

nn

limS aq

1

1 0

1

nn

alimS , q

q

1 1 1

1

Exemplo:

1. Calcule o limite da soma dos termos da P.G.

Neste caso,

Então:

Logo,

Isso significa que quanto maior for n, a soma

será mais próxima de 1.

, , ,

1 1 1 1

2 4 8 16

a 11

2

q1

2

nn

alimS

q

1

1 12 2 11 11 12 2

nnlimS

1

n 1 1 1 1 1

2 4 8 16 2

PRODUTO DOS TERMOS DA P.G. O produto Pn dos n termos de uma P.G. pode ser obtido por

duas maneiras:

Primeira maneira:

Exemplo:

1. Determine o produto dos 04 primeiros termos da P.G. (3, 6, ...).

Pela primeira maneira

n nn

nP a q

1

21 nn nP a a 1

.

P

P

P

P

4 4 14 2

4

64

4

4

3 2

81 2

81 64

5184

• Segunda Maneira:

• Pela segunda maneira

44

44

24

4

3 24

72

72

5184

P

P

P

P

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA P.G.

0 1 2 3 4

n

an

a0

a1

a2

a3

a4

an = a0 . qn

COMO DIFERENCIAR P.A DE P.G Não existe outra maneira senão calculando a razão da

seqüência apresentada.

Exemplo:

1. Dada a seqüência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), verifique se é P.A. ou

P.G.

Resolução: de cara vemos que não se trata de P.A., pois:

2 – 1 = 1;

4 – 2 = 2;

8 – 4 = 4.

Verifiquemos se é P.G.

2 1 = 2;

4 2 = 2;

8 4 = 2.

Portanto, temos que a seqüência dada é uma P.G.

COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE P.A. E P.G.

“A produção de alimentos

cresce em progressão

aritmética

enquanto a população cresce

em progressão geométrica”.

Conclusão: Fome Mundial

Thomas Malthus

BIBLIOGRAFIA Dante, Luiz Roberto. Matemática Contextos e Aplicações Volume Único. São

Paulo. Ática. 2009.

Paiva, Manoel. Matemática Volume Único. São Paulo. Moderna. 2003.

Silva, Claudio Xavier da; Filho, Benigno Barreto. Matemática Aula por Aula. São

Paulo. FTD. 2005;

Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. São

Paulo. Atual. 2004;

Souza, Maria Helena de. Spinelli, Walter. Matemática. São Paulo: Ática, 1999.

http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/

Artigo_Valeria.pdf - Consultado em 06/10/2009 às 11:46;

http://www.somatematica.com.br/emedio2.php. Consultado em 06/10/2009;

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/progressao.htm. Consultado

em 06/10/2009;

http://images.google.com.br/;

JOGANDO COM A P.A. Objetivos: estruturar seqüências lógicas, na forma de uma Progressão

Aritmética, onde exista:

- uma razão (r)

- um 1º termo (a1)

- o número de termos (n)

- o último termo da seqüência (an).

O número de termos será fixo em todos os jogos, pois equivale ao

número de cartas, seis.

Diante disso, para a confecção do jogo será utilizado: tesoura; régua;

lápis; pincel atômico ou caneta; papel cartão ou cartolina da cor

desejada.

O número de participantes do jogo pode variar entre 3 a 5, a critério

do professor e da disponibilidade da sala.

Seguiremos os seguintes passos para a confecção do material a ser

utilizado durante o jogo:

Primeiro passo: Riscamos no papel cartão ou cartolina retângulos 6

cm x 8 cm, que serão as cartas.

Segundo passo: Enumeramos as cartas de 1 a 30, duas vezes,

totalizando 60 cartas.

Terceiro passo: Recortamos os retângulos.

Quarto passo: Depois de pronto, embaralhamos e iniciamos o jogo.

O desenvolvimento do jogo “Jogando com a P. A.” acontece da

seguinte forma:

Um dos jogadores distribui seis cartas a cada participante, uma a

uma.

De acordo com as cartas em mãos, cada jogador raciocina de

maneira lógica, e define qual será a razão de sua seqüência. Essa

razão deve variar de dois a cinco, impreterivelmente. Essa razão

pode ser modificada de acordo com a estratégia do jogador e o

andamento do jogo. A razão escolhida deve ser mantida sobre sigilo.

O jogador à direita de quem distribuiu as cartas, pega uma carta e

descarta outra que não é compatível à sua seqüência.

As cartas descartadas só podem ser adquiridas pelo jogador à

direita do descartante.

Esse movimento continua até o final do jogo, em sentido anti-

horário.

O jogador que errar a seqüência ou os termos da P.A. sai do jogo

e os outros participantes continuam.

Caso as cartas acabem sem nenhum dos participantes ter

completado sua seqüência, todas as cartas que foram descartadas

serão embaralhadas e adquiridas novamente até uma seqüência

ser completada.

Será considerado vencedor do jogo, quem completar primeiro sua

seqüência, com a razão escolhida, e falar aos outros participantes

qual é a razão, e os termos, a1, an e n.

LISTA DE EXERCÍCIOS1. Dada a P.A. (-19, -15, -11, ...), calcule o seu enésimo termo.

2. Encontre o valor de x para que a seqüência (2x, x + 1, 3x) seja

um P.A.. Escreva a P.A. e dê o valor da razão.

3. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Quantos

termos tem a P.A.?

4. Qual a soma dos termos da P.A. (-16, ___, -12, ___, ..., 84)?

5. Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em P.A..

Determine o termo am dessa seqüência.

6. Qual é o vigésimo termo da P.A. (2, 8, ...)?

7. Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual a

razão da P.A. obtida?

8. Três números estão em P.A; o produto deles é 66 e a soma é 18.

Calcule os três números, e escreva as P.A..

9. No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de

uma montadora esta em P.A. crescente. Em janeiro, a produção

foi de 18.000 carros, e em junho, de 78.000 carros. Qual foi a

produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril

e maio?

10. O jardim de uma praça pública possui 60 roseiras plantadas ao

lado de um caminho reto e separadas a uma distancia de um

metro uma da outra. Para regá-las, o jardineiro enche um

regador em uma torneira que também esta ao lado do caminho

e a 15 metros antes da primeira roseira. A cada viagem, ele

rega três roseiras. Começando e terminando na torneira, qual a

distancia total que ele terá de caminhar até regar todas as

roseiras?

11. Três números estão em P.G.; o produto deles é 729 e a soma 39.

Quais são esses números? Escreva as P.G.?

12. Numa P.G. (2, 1, ...), qual o seu enésimo termo?

13. Numa P.G. crescente, o primeiro termo é 3 e o quinto termo é

30.000. Qual a razão da P.G.?

14. Qual o oitavo termo de uma P.G. na qual ?

15. Quantos meios geométricos existe entre 1/16 e 64 com razão 4?

16. Determine x de modo que (5, 2x + 4, 6x + 2) seja uma P.G.

17. Obtenha o 11º termo da P.G. (1/27, 1/9, 1/3, ...) e a soma dos 11

primeiros termos.

18. Na P.G. (a1, a2, a3, ...) de razão q = 2, sabe-se que a soma dos 08

primeiros termos é 765. Determine o valor de a1.

19. Qual a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...)?

20. No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma

indústria cresceu em P.G.. Em janeiro, a produção foi de 1.500

unidades e em junho foi de 48.000 unidades. Qual foi a produção

dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio?

21. Dê o produto dos n termos da P.G. (1, -3, 9, -27).

a 1 2 e q= 2

22. Calcule a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de 3.

23. Calcule x e y, para que a sucessão (2, x, 2x +6, y) seja uma P.G.

crescente.

24. Sabe-se que (x, 3x – 1, 8x – 4) é uma P.G.. Calcule x e a razão.

25. A sucessão (1, a, b) é uma P.A., e a sucessão (1, a, b + 1) é uma

P.G.. Calcule a e b.

26. São dados três números inteiros em P.G. cuja soma é 26.

Determine esses números sabendo que o primeiro, o dobro do

segundo e o triplo do terceiro formam uma P.A..

27. Na P.G. (2, 4, 8, ...), qual é a posição do termo 1024?

28. Complete a P.G. (9/4, ___, ___, ___, ___, 8/27).

29. Determine a soma de todos os naturais múltiplos de 4 que

possuem 02 algarismos.

30. Verifique se a sucessão é uma progressão, classifique-a e dê a

razão.

2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2, 16