Progressão Geométrica

Prof. MANUEL

xq

(a1, a2, a3, a4...)xq

PG Progressão Geométricaxq

1) Razão : q = a2 = a3 = ... = K

a1 a1

Ex: (2, 4, 8, 16, ... )

Razão: q = 4 = 8 = 16 = 2

2 4 8

2) Fórmula Geral: a2 = a1.q

a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2

a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3

an= a1 . qn-1 an= ab . qn-b

Ex: (2, 4, 8, 16, ... )

Calcule a6=?

a3=8

R=2

an=ab.qn-b

a6=a3.q6-1

a6=8.25 = 8.32 = 256

a1 a2 a3 a4

x2

3) (2, 4, 8, 16, 32, ... )

PG q = 2a1 a2 a3 a4 a5

S5= a1+a2+a3+a4+a5

S5= 2+4+8+16+32 = 62

Sn= a1.(qn-1)

q-1

Soma Limitada

Ex: S5= a1.(q5-1) = 2.(25-1) = 2.(32-1)

q-1 2-1 1

S5= 2 . 31 = 62

X1/2

4) Ex: (2, 4, 8)xq=2

(4/2, 4, 4.2)

(a1, a2, a3)

(a2/q, a2, a2.q)

5) (1, ½, ¼, 1/8, ... )X1/2

0

1+1/2+1/4+1/8+ ... X1/2

S = a1

1- q

8 S = 1 = 1 = 2

1-1/2 1/2

8

Soma ilimitada

1) q=a2=a3= ... = K (razão)

a1 a2

P.A. (a1, a2, a3, ... ) P.G. (a1, a2, a3, ... )+R xq

1)R=a2-a1=a3-a2= ... = K(razão)

2) Fórmula: an=ab+(n-b).R 2) Fórmula: an=ab.qn-b

3) Soma dos termos:

Sn=(a1+an).n

2

3) Soma dos termos:

Sn=a1(qn-1)

q-1

4) (a1, a2, a3)

(x-R, x, x+R)

4) (a1, a2, a3)

(x/q, x, x.q)

5) S = a1

1-q

8

(2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) P.A. (R=2) Crescente (R>0)

(4, 2, 0, -2, -4, ... ) P.A. (R=-2) Decrescente (R<0)

NOTA!!!

(2, 4, 8, 16, 32, ... ) P.G. (q=2) Crescente.

(2, 1, ½, ¼, 1/8, ... ) P.G. (q=1/2) Decrescente

(2, -4, 8, -16, 32, ... ) P.G. (q=-2) Alternante

x1/2

x(-2)

+2

+(-2)

x2

DEMONSTRAÇÃO:Sn=a1(qn-1)

q-1

an=a1.qn-1

Sn=(a1.qn-1).q1-a1

q-1Sn=a1.qn- a1

q-1Sn=a1(qn- 1)

q-1

DIZIMA PERIÓDICA

1, 333... = P = 1 3 = 1 1 = 4 9...9 9 3 3x

+

1, 4242... = P = 1 42 = 1 14 = 47 9...9 99 33 33x

+

D. P.

Simples

3 9 3 10 10 10

= 12 3 = 12 1 = 37

D. P. Composta

1 x10 101,2333 ... = 1,2333 ... x10 = 12, 333 ...

3 10 30= 37 . 1 = 37

+

x

Nota:

1,999 ... ~ = 2

1,5999 ... ~ = 1,6

Demonstração S = a1

1-q

8

1,333 ... = 1 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... x0,1

S3= a1(0,13-1) = a1(0,001-1) q-1 q-1

S20= a1(0,120-1) = a1(0,00000000000000000001-1) q-1 q-1

8

8

q-1 q-1S = a1(0,1 –1) = a1(0-1)

S = -a1 x(-1) = a1

q-1 x(-1) 1-q

8 S = a18

1-q

EXERCÍCIOS:01. (UCS-98/1) Numa P.G. decrescente, se o primeiro termo é 24 e o sétimo é 3, a razão é:

a)V2 / 2

b)V2

c)V3

d)5/2

e)7/2

P.G. - decrescente a1=24 a7=3 q=?

an=ab.qn-b

a7=a1.q7-1

3=24.q6

1=8.q6

6+-V1/8 = q

+-V(1/2)3 = q6

+-V1/2 = q2

+-V1 . V2 = q

V2 V2

+- V2 / 2 = q

02. (UNEB-98) O número de termos da P.G (1/4, ½, 1, ... , 256) é:

a)8

b)9

c)10

d)11

e)12

(1/4, ½, 1, ... ,256)x2 x2

a1 a2 a3 an

an=ab.qn-b

an=a3.qn-3

256=1.2n-3

28=2n-3

n-3=8 n=11 11 termos

Obs: A ordem do último termo representa o nº de termos da sequência.

256 2

257 2

258 2

259 2

260 2

8 2

4 2

2 2

1

03. (UEFS-98) Um homem de 100 Kg começou uma dieta no dia 01/03. Pesando-se a cada 30 dias e registrando o seu peso em uma tabela, conforme ilustração abaixo, observou-se que, ao final de cada 30 dias, perdia 5% do peso registrado anteriormente.

01/03 100 Kg

01/04 95 Kg

01/05 P3 Kg

01/06 P4 Kg

01/07 P5 Kg

01/08 P6 Kg

... ...

a)100(0,05)4

b)100(0,05)5

c)100(0,50)4

d)100(0,95)4

e)100(0,95)5

(100, 95, ...)X0,95

P6=?

Nota 5%= 5/100= 0,05

1-0,05 0,95

a6=a1.q6-1

a6=100.0,955

04. (UCS-98/2) Em uma P.G. decrescente, o décimo-primeiro termo é 1 e o centésimo-primeiro termo é 1/512. O milésimo-primeiro termo dessa progressão é:

100

a)1/ V2

b)1/ V2

c)1/ 2999

d)1/ 2100

e)1/ 299

10

an=ab.qn-b

a101=a11.q101-11

1/ 512=1.q90

V 1/ 512 = q90

10

V(1/2)9 = q90

a1001=a11.q1001-11

a1001=1.q990

a1001=1.( V1/2)99010

a1001= (1/2)99

a1001= 1/ 299

q=-1/3ou

05. (UCS-99) O produto de três termos de uma Progressão Geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à soma 10 com os outros dois termos, então a razão desta progressão é:

a)6

b)5

c)4

d)3

e)2

a1.a2.a3=216 a3=10+a1+a2 q=?

(a1, a2, a3)

a2/q a2 a2.q

a2/q .a2. a2.q=216

a23=216 a2=V216

3

a2=V23.33 = 63

(a1, a2, a3)

6/q 6 6.q

a3=10+a1+a2

6q=10+6/q+6

6q/1=16/1+6/q

6q2=16q+6q

6q2-16q-6=0 /2

3q2-8q-3=0

=64-4.3(-3)

=100

-b+-V2a

q=8+-106

q=3

a2/q.a2.a2.q=125

06. (BAIANA-99) A soma dos três termos de um PG crescente é 31 e o produto deles é 125. A razão desta progressão é:

a)5

b)7/2

c)5/2

d)2

e)5/4

a1+a2+a3=31

a1.a2.a3=125

(a1, a2, a3)

a2/q a2 a2.q

a23=125 a2=5

5/q+5/1+5q/1=31/1

5+5q+5q2=31qq

5q2+5q-31q+5=0

5q2-26q+5=0

=(-26)-4(5).(5) =576

x=-26+-2410

x=5oux=0,2

07. (UFBA-adaptada) Cetro tipo de bactéria se reproduz, dividindo-se em duas, de meia em meia hora. Se isto se sucede simultaneamente a três bactérias, em 6 horas haverá x bactérias. Calcule x/128.

3, 6, 12, 24x2

0 1h 2h 3h 4h 5h 6h a13

a13=a1.q13-1

a13=3.212=x

27128 x = 3.212 = 3.212-7

128 x = 3.25 = 3.32 = 96

08. (FABAC-98) Os números positivos x, (x-1)/2, 4/x formam, nesta ordem, uma P.G. Se x é o primeiro termo de uma P.A. de razão igual a 4, então o 5º termo da P.A. é igual a:

a)5

b)10

c)16

d)21

e)25

(x, (x-1)/2, 4/x, ... ) PG

a2/a1=a3/a2

(x-1)/2 = 4/xx (x-1)/2

((x-1)/2).((x-1)/2)=x.4/x

(x-1)2/4=4 (x-1)2=16

x-1=+-4x=5

x=-3

Se os nº são positivos x=5

PG (5, (5-1)/2, 4/5, ... )

(5, 2, 4/5, ... )X2/5

PA (5, a, 13, ... )+4

a5=a1+(5-1)R

a5=5+4.4

a5=5+16 = 21

09. (UESB-98) O sétimo termo de uma PG, de razão 2, é igual a 1. A soma dos sete primeiros termos dessa progressão é igual a:

a)1/63

b)6/17

c)116/17

d)136/13

e)127/64

a7=1 q=2Sn=a1(qn-1)

an=ab.qn-bS7=a1(q7-1)

q-1

S7=1/64 (27-1)2-1

S7=1/64 (128-1)1

S7=127/64

a7=a1.q7-1

1=a1.26

1/64=a1

10. (FEBA-98) A solução da equação x+x/2+x/4+...=18 é:

a)múltiplo de 2

b)divisor de 3

c)um nº primo

d)múltiplo de 3

e)divisor de 6

1-qS = a18

(x, x/2, x/4, ... ) PG

1-1/218= x

1/218= x

18.1/2=x x=9

11. (UCS-85) Quantos são os nº naturais que satisfazem a inequação: x-2 + x-2 + x-2 + ... < 3? 2 4 8

a)infinitos

b)1

c)2

d)3

e)5

x-2 + x-2 + x-2 + ... < 32 4 8

S = a1 = (x-2)/2 < 31-q 1-1/2

8

1/2(x-2)/2 < 3 x-2 . 2 < 3

2 1

x-2 < 3 x < 50 1 2 3 4

05 nºs

X1/2

P = 9 . 3V3 . V3 ...4

12. Seja P = 9 . 3V3 . V3 ... Quando o número de fatores tende ao infinito, o valor limite desse produto é:

P = 32 . 31. 31/2 . 31/4 ...

P = 32+1+1/2+1/4... = 34

P = 3.3.3.3 = 81

1-q2+1+1/2+1/4+ ... = S = a18

1-1/2S = 2 8

1/2S = 2 8

1S = 2.2 = 48

X1/2