A população de um país é hoje igual a Pₒ e cresce 2% a.a. Qual será a população desse país daqui a n anos?

A população de um país é hoje igual a Pₒ e cresce 2% a.a. Qual será a população desse país daqui a n anos?

Solução: Se a população cresce 2% a.a., em cada ano a população é 102% da população do ano anterior. Portanto, a cada ano que passa, a população sofre uma multiplicação por 102% = 1,02. Depois de n a população será Pₒ . 1,02ⁿ.

A torcida de certo clube é hoje igual a Tₒ e decresce 5% a.a. Qual será a torcida desse clube daqui a n anos?

A torcida de certo clube é hoje igual a Tₒ e decresce 5% a.a. Qual será a torcida desse clube daqui a n anos?

Solução: Se a torcida decresce 5% a.a., em cada ano a torcida é 95% da torcida do ano anterior. Portanto, a cada ano que passa, a torcida sofre uma multiplicação por 95% = 0,95. Depois de n anos, a torcida será Tₒ . 0,95ⁿ.

Progressões Geométricas

Progressões Geométricas são sequências nas quais a taxa de crescimento q de cada termo para o seguinte é sempre a mesma.

Observe o comportamento da função f(x)=2 7 no domínio dos números naturais:

Na primeira coluna (Domínio): P.A.={1,2,3,4,...}, com r = 1 e a1 = 1.E na segunda coluna (Imagem): P.G.={2,4,8,16,...}, com q = 2 e a1 = 2 (Obs: a1 = f(1)).

Progressão Geométrica é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do primeiro, é obtido pela multiplicação do anterior por uma razão (q) fixa.

Progressão Geométrica é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do primeiro, é obtido pela multiplicação do anterior por uma razão (q) fixa.

Encontre o próximo termo em cada P.G.:

1){2,6,18,__}

2){1/4,1/2,__}

3){1,5,10,__}

4) {-5,10,-20,__}

1) {2,6,18,__}

2) {1/4,1/2,__}

1) {2,6,18,__}

2) {1/4,1/2,__}

1) {2,6,18,__}

2) {1/4,1/2,__}

3) {1,5,10,__}

4) {-5,10,-20,__}

3) {1,5,10,__}

4) {-5,10,-20,__}

3) {1,5,10,__}

4) {-5,10,-20,__}

É interessante para nós termos uma fórmula para o Termo Geral an .

É interessante para nós termos uma fórmula para o Termo Geral an .

Demonstração da fórmula do Termo Geral:

É interessante para nós termos uma fórmula para o Termo Geral an .

Demonstração da fórmula do Termo Geral:

É interessante para nós termos uma fórmula para o Termo Geral an .

Demonstração da fórmula do Termo Geral:

É interessante para nós termos uma fórmula para o Termo Geral an .

Demonstração da fórmula do Termo Geral:

Fórmula do Termo “Mais Geral”:

Observe:

Resolver os exemplos:

1) Na P.G. com o primeiro termo igual a 2 e razão 3, qual o quinto termo?

2) Na P.G. com o terceiro termo igual a 12 e o quarto termo igual a 24, quais são o primeiro e o sétimo termos?

3) Na P.G. com o quinto termo igual a 16 e o primeiro igual a 1, qual a razão?

1) Na P.G. com o primeiro termo igual a 2 e razão 3, qual o quinto termo?

1) Na P.G. com o primeiro termo igual a 2 e razão 3, qual o quinto termo?

2) Na P.G. com o terceiro termo igual a 12 e o quarto termo igual a 24, quais são o primeiro e o sétimo termos?

2) Na P.G. com o terceiro termo igual a 12 e o quarto termo igual a 24, quais são o primeiro e o sétimo termos?

3) Na P.G. com o quinto termo igual a 16 e o primeiro igual a 1, qual a razão?

3) Na P.G. com o quinto termo igual a 16 e o primeiro igual a 1, qual a razão?

Classificação das Progressões Geométricas:

1) Crescente: q > 1 e termos positivos. Ex.: {2,4,8,16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos negativos. Ex.: {-100,-50,-25,-25/2,...} .

Classificação das Progressões Geométricas:

1) Crescente: q > 1 e termos positivos. Ex.: {2,4,8,16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos negativos. Ex.: {-100,-50,-25,-25/2,...} .2) Decrescente: q > 1 e termos negativos. Ex.: {-2,-4,-8,-16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos positivos. Ex.: {100,50,25,25/2,...}.

Classificação das Progressões Geométricas:

1) Crescente: q > 1 e termos positivos. Ex.: {2,4,8,16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos negativos. Ex.: {-100,-50,-25,-25/2,...} .2) Decrescente: q > 1 e termos negativos. Ex.: {-2,-4,-8,-16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos positivos. Ex.: {100,50,25,25/2,...}. 3) Oscilante: q < 0. Ex.: {2,-6,18,-54,...}.

Classificação das Progressões Geométricas:

1) Crescente: q > 1 e termos positivos. Ex.: {2,4,8,16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos negativos. Ex.: {-100,-50,-25,-25/2,...} .2) Decrescente: q > 1 e termos negativos. Ex.: {-2,-4,-8,-16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos positivos. Ex.: {100,50,25,25/2,...}. 3) Oscilante: q < 0. Ex.: {2,-6,18,-54,...}.4) Constante: q = 1. Ex.: {7,7,7,7,...}.

Classificação das Progressões Geométricas:

1) Crescente: q > 1 e termos positivos. Ex.: {2,4,8,16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos negativos. Ex.: {-100,-50,-25,-25/2,...} .2) Decrescente: q > 1 e termos negativos. Ex.: {-2,-4,-8,-16,...}. Ou 0 < q < 1 e termos positivos. Ex.: {100,50,25,25/2,...}. 3) Oscilante: q < 0. Ex.: {2,-6,18,-54,...}.4) Constante: q = 1. Ex.: {7,7,7,7,...}.

Obs.: Não define-se a P.G. nula, com q = 0 (Ora, não existe 0/0).

Para casa:

-Fazer os exercícios 1 até 12 (pg. 31/32) e , quem quiser, como desafio o exercício 13.

Bons estudos e até a próxima aula!