PROGRAMAÇÃO LINEARDisciplina: Otimização Econômica

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PLANO DE AULA

TEMA: Programação Linear;

ASSUNTOS: Conceituação; Aplicações; Exemplo de aplicação; vantagens em se utilizar PL; Modelagem Matemática de um problema de PL; Terminologia em PL; exemplo do modelo gráfico;

Exercícios de Fixação;

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PROGRAMAÇÃO LINEAR

PL: Técnica de planejamento que se originou na década de 1940;

Tópico da ciência Pesquisa Operacional;Conceito:

PL é uma técnica de otimização

Ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo

ou o custo mínimo em situações em que temos

diversas opções de escolhas sujeitas a algum tipo de

restrição ou regulamentação

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APLICAÇÕES DA PL

Alimentação: que alimentos as pessoas (animais) devem utilizar de modo que o custo seja mínimo e que obtenham nutrientes nas quantidades adequadas?

Rotas de transporte: qual o roteiro de veículos de carga que utiliza o menor tempo e menor custo total?

Manufatura: qual deve ser a composição de produtos a serem fabricados para obter o lucro máximo, respeitando as limitações produtivas da firma e/ou exigências do comprador;

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EXEMPLO de APLICAÇÃO DA PL

Fábrica de rádios com duas linhas de produção:

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•Standard (ST)• Luxo (LX)

Informações para rádios

ST

Linha de produção

comporta no máximo 24 funcionários

Cada rádio consome 1 homem/dia

para ser produzido

Cada rádio fornece um lucro de R$

30,00

EXEMPLO de APLICAÇÃO DA PL

Fábrica de rádios com duas linhas de produção:

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•Standard (ST)• Luxo (LX)

Informações para rádios

LX

Linha de produção

comporta no máximo 32 funcionários

Cada rádio consome 2 homem/dia

para ser produzido

Cada rádio fornece um lucro de R$

40,00

EXEMPLO de APLICAÇÃO DA PL

Outras informações importantes:

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A fábrica possui um total de 40

funcionários que podem ser alocados

nas 2 linhas de produção

OBJETIVO do dono da fábrica:

MAXIMIZAR o

lucro diário

As 2 linhas podem receber um máximo de

56 pessoas mas a fábrica só possui

40

A produção do rádio ST exige

menor quantidade de pessoal do que

a LX

A lucratividade do modelo LX é maior do que a

do ST

VANTAGENS DO USO DA PL

Qual é a magnitude do benefício de encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo dentro das empresas?

Pesquisas mostram que empresas que utilizam esta ferramenta reduzem seus custos entre 1 & 5% - alguns casos em até 15%;

2 indústrias que utilizam intensamente PL: siderurgia e petróleo;

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Faturamento: US$ 1 bilhão por ano;Custo de produção: US$ 300 milhões por ano;

Economia de custos via PL: 3% US$ 9 milhões por ano;

VANTAGENS DO USO DA PL

Identificar as melhores opções em estudos de qualidade total;

Identificar gargalos em linhas de produção;

Fornecer diretrizes para expansão da firma;

Torna possível avaliar o potencial de aplicabilidade de uma pesquisa para aprofundar o entendimento de um problema;

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MODELAGEM EM PL

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MODELAGEM MATEMATICA EM PL

Um problema de PL está em sua forma padrão se:Tivermos uma maximização da função-objetivo;

Se todas as restrições forem do tipo menor ou igual;

Se todos os termos constantes (bi) e as variáveis de decisão assumirem valores não negativos;

Matematicamente podemos representar um problema na forma padrão por:

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MODELAGEM MATEMATICA EM PL

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TERMINOLOGIA EM PL

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SOLUÇÃO: qualquer

especificação de valores dentro do

domínio da função-objetivo para as variáveis

de decisão

SOLUÇÃO VIÁVEL:Quando todas as

restrições são satisfeitas

SOLUÇÃO ÓTIMA:Uma solução viável que tem o

valor mais favorável da função-objetivo, f(X), para as variáveis

de decisão. Maximiza ou minimiza a f(X)

MODELO MATEMÁTICO PARA NOSSO EXEMPLO

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Otimizar:Lucro = 30 * ST + 40 * LX [f (X)]

Sujeito às seguintes restrições: ST ≤ 24LX ≤ 16

ST + 2 * LX ≤ 40Sendo ST & LX variáveis inteiras e positivas.

ST = quantidade ótima produzida

deste modelo

LX = quantidade ótima produzida deste

modelo

MÉTODO GRÁFICO

Observe que na última restrição escrevemos uma inequação (≤) o que significa que podemos utilizar até 40 funcionários;

Aparentemente a solução ótima será aquela que utilizará exatamente 40 operários, o que nos leva a concluir que seria mais adequado escrever uma igualdade;

Escrevemos uma desigualdade para ter um modelo com uma maior amplitude de análise – diferentes cenários;

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MÉTODO GRÁFICO – Plotando as restrições

As duas variáveis básicas (ST & LX) são representadas em um gráfico bidimensional, assim como as restrições e a função objetivo;

Consideramos inicialmente a restrição ST + 2 * LX ≤ 40(lado esquerdo da próxima figura);

Já que nossa inequação prevê que podemos utilizar até 40 funcionários, a região abaixo do segmento de reta traçado contém os pares de produção (ST & LX) que atendem à inequação;

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MÉTODO GRÁFICO – Plotando as restrições

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MÉTODO GRÁFICO – Plotando as restrições

Utilizando o mesmo raciocínio montamos a figura a seguir para as restrições ST ≤ 24 & LX ≤ 16;

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MÉTODO GRÁFICO – Regiões de Soluções Possíveis

Colocando todas as restrições em um único gráfico ele toma o formato da figura a seguir:

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MÉTODO GRÁFICO – Plotando a função-objetivo

A função-objetivo lucro = 30ST+40LX pode ser transformada em:

Esta equação representa uma família de retas de parâmetro Lucro/40;

Para cada valor de lucro temos uma reta diferente;

Todas as retas são paralelas entre si, pois possuem o mesmo coeficiente angular ( - ¾)

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MÉTODO GRÁFICO – Plotando a função-objetivo

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MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo

No ponto da região simplex que fornece o maior valor para o lucro vai passar uma única reta da família de retas do lucro;

A questão se resume em encontrar a reta da família que produz o maior lucro, respeitadas as restrições;

Precisamos encontrar a reta mais distante da origem e que tenha pelo menos um ponto dentro da região de soluções possíveis;

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MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo

EXECUÇÃO:Traçamos uma reta qualquer da família de retas (por

exemplo: L = R$ 1200,00);

Tiramos uma paralela a ela o mais distante da origem possível e com pelo menos 1 ponto dentro da região de soluções possíveis (ver slide 20);

A figura a seguir mostra a solução ótima para o nosso exemplo;

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MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo

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MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo

Se a solução estiver em um vértice – o problema admite uma solução única; O mais provável;

Se a solução coincidir com um dos segmentos de reta de alguma restrição, em que qualquer ponto de segmento é uma solução ótima, nosso problema apresenta infinitas soluções;

A inclinação da família de retas paralelas da função objetivo (definida pelo coeficiente angular a = - ¾) é fundamental para encontrar o ponto ótimo;

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REFERÊNCIAS LACHTERMARCHER, G. Pesquisa operacional na tomada de

decisões. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.

PRADO, D. S. do. Programação linear. Nova Lima (MG). INDG Tecnologia e Serviços Ltda. – 2010.