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PROGRAMAÇAO LINEAROU PROGRAMAÇAO MATEMÁTICA

(UMA EXPOSIÇAO NAO-MA TEMÁTICA)ROBERT DORFMAN

"O pressuposto de uniformidade na natureza - acrença na reprodutibilidade dos fenômenos -ébásico em tôdia:sas ciências." ~ JAMES B. CONANT

o objetivo dêste artigo é apresentar as idéias fundamen-tais da programação matemática, despidas de todo o apa-rato algébrico que, a nosso ver, é o grande responsávelpela sua falta de aceitação por parte de um público maior.Conseguiremos nosso intento recorrendo exclusivamentea representações gráficas. Embora não seja possível re-presentar os problemas mais gerais de programação ma-temática em gráficos bidimensionais, as conclusões obti-das por meio dêstes últimos são válidas para os casosmultidimensionais.

A terminologia das técnicas aqui discutidas não se encon-tra ainda fixada de maneira totalmente feliz. São cha-madas freqüentemente de "programação linear", ainda queas relações entre grandezas nem sempre sejam lineares.Há quem as chame de "análise de atividades", mas essadesignação nada tem de sugestivo. O traço predominantedessas técnicas é sua aplicação em programação; elas

ROBERT DoRFMAN - Professor de Economia na Universidade da Califórnia,Berkeley, EUA.

Nota da Redação: Artigo reprodusido com autorização do autor e da AmericanEconomic Review, onde foi publicado em dezembro de 1953, volume XLIII,n.? 5, parte r. Traduzido do inglês por CLAUDE MACHLlNE.

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pouco têm de análise; de qualquer maneira, a expressão"análise de atividades" não vingou. Vamos lançar aquia expressão "programação matemática": quem sabe venhaa vingar:O '-problema central da Economia é a distribuição dos re-cursos disponíveis com a finalidade de tornar máxima aconsecução do objetivo em vista. A formulação clássicadêsse problema - a chamada "análise marginal" - per-mitiu chegara conclusões da maior importância na com-preensão de muitas questões social-econômicas. Entretan-.tanto, sabe-se..muito bem que a análise marginal não é.recomendada aos empresários para a solução prática dosseus problemas. A programação matemática é baseada nareformulação dos problemas empresários econômicos demaneira apropriada à tomada de decisões práticas.

Nossa tese central é que a programação matemática éprecisamente a reformulação e a solução do problemabásico da Economia. A idéia-estímulo da programaçãomatemática é a de "processo" ou "atividade". Processo éum método especificamente elaborado para desempenharuma função econômica. Por exemplo, a fabricação desabão por meio de uma fórmula específica é um processo.Outro exemplo seria a tecelagem de um tipo específico depano de algodão em determinado tear. A função conven-cional de produção pode ser encarada como a fórmulamatemática que relaciona os consumos e as produções detodos os processos através dos quais determinada tarefapode ser cumprida.Para algumas tarefas - manufatura de sabão, por exem-plo - há um número infinito de processos viáveis. Paraoutras - como tecelagem - só existe um número finitode processos. Em certos casos uma fábrica pode disporde um único processo apenas.

Em têrmos de processos, escolhas na esfera produtiva sãosimplesmente decisões sôbre os processos que devem serusados e o grau de utilização de cada processo. Os eco-nomistas estão habituados a pensar em têrmos de decisão

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sôbre ias quantidades de diversos fatôres produtivos aserem usados. Mas, uma emprêsa não ~de substituir efator A pelo fator B sem mudar algo em seus métodos detrabalho, isto é, sem substituir um processo que use A emproporções relativamente altas por outro que use B. Osinsumos, portanto, não podem ser mudados sem que semudem, muitas vêzes radicalmente, os processos de tra-balho.A programação matemática focaliza êsse aspecto da es-colha econômica. O objetivo da programação matemáticaé determinar os níveis ótimos dos processos produtivosem circunstâncias fixadas. Isso requer reformulação dasrelações produtivas, em têrmos de processos, e reconside-ração do efeito das carências de certos fatôres sôbre as es-colhas feitas. Como preâmbulo dessa discussão teórica,entretanto, será vantajoso considerar, simplificadamente,um problema elementar de produção.

I. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Consideremos o caso fictício de uma fábrica de veículosequipada para a produção de automóveis e caminhões.Essa emprêsa pode executar duas tarefas econômicas esuporemos que ela possui um único processo para exe-cutar cada tarefa. Ambas tarefas competem no uso dasinstalações da emprêsa. Suponhamos que a fábrica estejadividida em quatro departamentos: (1) estamparia, (2)montagem do motor, (3) montagem final do automóvele (4) montagem final do caminhão. As matérias-primas,a mão-de-obra e todos os demais componentes são dispo-níveis na praça em quantidades pràticamente ilimitadase a preços constantes.A capacidade de cada departamento é limitada. Admiti-remos que a estamparia pode produzir peças .em númerosuficiente para 25.000 automóveis ou 35.000 caminhões.Poderemos, então, calcular as diversas combinações depeças estampadas de automóveis e de caminhões que êssedepartamento pode produzir. Já que êsse setor pode equi-

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par 25.000 automóveis por mês, cada automóvel requer1/25.000 ou 0,004% da capacidade mensal. Da mesmaforma, cada caminhão requer 0,00286% da capacidademensal. Se, por exemplo, 15.000 autos fôssem fabrica-dos, êles mobilizariam 60% da capacidade da estampa-ria e os demais 40% dariam peças estampadas para 14.000caminhões. Então, 15.000 automóveis e 14.000 cami-nhões poderiam ser produzidos por êsse departamentodesde que operasse com capacidade total. Essa combina-ção não é, obviamente, a única possível de ser produzidapela estamparia a plena capacidade. No GRÁFICO 1 a retamarcada "estamparia" representa tôdas as combinaçõespossíveis.

Da mesma forma, presumiremos que a seção de monta-gem dos motores tenha capacidade mensal para 33.333motores de automóveis ou 16.667 motores de caminhões.ou para combinações dêsses dois tipos de motores. As

GR..\FICO 1: Alternativas Abertas !"li uma Emprésa Automobilística

35

MONTAGEMDE AUTOMÓVEIS

MONTAGEM MONTAGEM.k-- DE CAMINHÕES

30

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CAMINHÕES (MILHARES)

30 35

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combinações que absorveriam a capacidade dêsse departa-menta são representadas pela reta intitulada "montagemde motores" no GRÁFICO 1. Suporemos também que o de-partamento de montagem de automóveis tenha capaci-dade para montar 25.000 automóveis por mês e que acapacidade do departamento de montagem de caminhõesseja para 15.000 unidades mensais . Essas limitações sãotambém indicadas no GRÁFICO 1.

As hipóteses levantadas definem dois processos: a produ-ção de automóveis e a produção de caminhões. O pri-meiro requer, para a produção de um automóvel, 0,004%da capacidade de estamparia, 0,003 % da capacidade demontagem de motores e 0,00444% da capacidade demontagem de carros. O processo de produção de cami-nhões requer, para a saída de uma unidade, 0,00286%da capacidade da estamparia, 0,006% da capacidade demontagem de motores e 0,00667% da capacidade demontagem de caminhões.

A escolha que a emprêsa enfrenta é a decisão quanto àquantidade de automóveis e caminhões que deve produ-zir por mês, com a restrição de não utilizar mais do que100% da capacidade de qualquer departamento. Ou,para usar a fraseologia técnica, a escolha consiste em de-cidir qual será o nível de utilização dos processos dispo-níveis. Obviamente, caso se produzam apenas automó-veis, no máximo 22.500 unidade mensais poderão sermanufaturadas, sendo que a limitação provirá da seçãode montagem de carros. Se forem produzidos somentecaminhões, o teto será de 15.000 unidades por mês, de-vido à limitação da seção de montagem de caminhões.Que determinará qual dessas alternativas ou que combi-nação dessas alternativas deverá ser adotada? Será olucro que se obtém através da fabricação de veículos depassageiros e de carga.

Imaginemos que o preço de um carro seja US$ 300 maiordo que o custo total dos materiais comprados, mão-de--obra e outros custos diretos de fabricação; e que o valor

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de venda de um caminhão ultrapasse em US$ 250 o seucusto fabril direto. A margem bruta da fábrica será, pois,igual a 300 vêzes o número de carros produzidos mais250 vêzes o número de caminhões. Por exemplo, 15.000automóveis e 6.000 caminhões renderiam:

300 x 15.000 + 250 x 6.000 = US$ 6.000.000.Muitas outras combinações de automóveis e caminhõesdariam a mesma margem de lucro; por exemplo, 10.000automóveis e 12.000 caminhões. No GRÁFICO 1 tôdas ascombinações que dão o retôrno de US$ 6.000.000 figuramna mesma reta, a linha tracejada indicada com uma seta.

Tôdas as retas análogas à que acabamos de descrever cor-respondem às diversas margens possíveis. Elas são para-lelas entre si, pois sua inclinação depende somente darelativa lucratividade entre. os dois processos. Quantomaior o retôrno total, tanto mais alta será a reta. Algu-mas retas de retôrno igual são indicadas no gráfico porlinhas tracejadas paralelas.

Todo o número concebível de automóveis e caminhõesque. se poderia produzir corresponde a um ponto no dia-grama . Através de cada ponto passa um membro dafamília de linhas de igual retôrno . O retôrno torna-semáximo quando o ponto correspondente ao número deautomóveis e caminhões produzidos se encontra sôbre alinha de retôrno mais alta. Entretanto, as restrições decapacidade limitam a amplitude da escolha às produçõescorrespondentes aos pontos situados na área limitada peloseixos e pela linha poligonal ABCDE. O retôrno aumenta àmedida que nos afastamos da origem; portanto, somenteos pontos situados na linha quebrada precisam ser conside-rados. Começando no ponto A e deslocando-nos ao longoda linha poligonal, vemos que o contorno da região acessí-vel intercepta linhas de. igual retôrno sempre mais altas,até que o ponto C é atingido. O ponto C corresponde,pois, ao mais alto retôrno possível. No ponto C a produ-ção é de 20.370 automóveis e 6.481 caminhões com umretôrno de US$ 7.731.481 por mês.


Os economistas já devem ter observado que o diagramanão constiui novidade. A linha poligonal ABCDE indicao número máximo de automóveis que podem ser produ-zidos em conjunção com qualquer número dado de utili-tários. É, portanto, exceto pela sua angularidade, umacurva de "oportunidade de produção" ou "curva de trans-formação", do tipo tornado familiar por IRVING FISHER.

O coeficiente angular da curva, quando existe, é a razãode substituição entre automóveis e caminhões. A novida-de é que a curva de oportunidade de produção mostradanão tem coeficiente angular em cinco pontos e que umdêsses pontos é o ponto crítico. As linhas tracejadas nodiagrama são equivalentes às linhas convencionais depreço.

A teoria clássica da produção ensina que os lucros sãomáximos num ponto em que uma linha de preços é tan-gente a uma curva de oportunidade de produção. Mas,conforme já dissemos, há cinco pontos nos quais a curvade oportunidade de produção não tem tangente. Pon-tanto, o critério de tangência é falho. Vale aqui o crité-rio de que os lucros são máximos num ponto onde a in-clinação da linha de preço não é menor do que' a inclina-ção da curva de oportunidade, à esquerda dêsse ponto,nem maior do que a inclinação da curva de oportunidade,à direita dêsse ponto.

A programação matemática usa, pois, linhas poligonaisonde a Economia clássica usa linhas curvas. Qual é a con-seqüência, em têrmos econômicos? Em análise econômicaclássica encaramos relações de produção nas quais, quan-do há dois produtos, um pode substituir o outro com difi-culdade gradualmente crescente. Em programação mate-mática, pressupomos um regime de produção no qual, paraqualquer quantidade produzida, certos fatôres serão real-mente limitativos, mas outros serão abundantes. Assim,no GRÁFICO 1 os fatôres que efetivamente limitam a pro-dução em cada ponto podem ser identificados observan-do-se sôbre quais linhas de limitação o ponto se encontra.A relação de substituição entre produtos é determinada

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somente pelos .fatôres de limitação e só muda quandomuda a designação dos fatôres de limitação. No diagramauma alteração na designação dos fatôres de limitação érepresentada por uma permutação circular na curva deoportunidade de produção.

Voltaremos a êsse exemplo mais tarde, pois ainda nãoexaurimos todo o seu significado. Mas, agora estamosaptos a desenvolver com maior generalidade alguns con-ceitos usados em programação matemática.

n. o MQDÊLO DE PRODUÇÃO NA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Problema clássico da Economia é encontrar a melhor uti-lização possível de dois fatôres de produção, chamados,por conveniência, capital e mão-de-obra. Na análise habi-tual supõe-se que êsses dois fatôres operem conjuntamen-te, de acôrdo com uma função de produção que estabelecea quantidade máxima de um produto suscetível de serobtida com o uso de quantidades definidas dos dois fatô-res. O diagrama das '''isoquantas'', ilustrado pelo GRÁFICO2, é conveniente para representar a função de produção.Nesse gráfico, familiar aos economistas, as unidades detrabalho são representadas no eixo horizontal e as unida-des de capital no eixo vertical. Cada curva correspondea uma produção definida; os arcos mais afastados da ori-gem correspondem a produções maiores.

Se os custos unitários de capital e mão-de-obra forem co-nhecidos, a combinação dêsses fatôres que puder ser ob-tida por um dispêndio total dado será representada poruma reta como CC'. A inclinação da reta depende somen-te dos custos relativos. Duas interpretações são imedia-tamente obtidas. Primeiro, o custo unitário mínimo neces-sário para produzir o volume representado por qualquerisoquanta pode ser obtido usando-se a combinação de ca-pital e mão-de-obra que corresponda ao ponto de tangên-cia da isoquanta com uma linha de preço. Em segundolugar, a produção máxima que se pode obter com deter-

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GRÁFICO 2: Diag,·ama de Isoquantas

QUANTIDADE DF MÃO-DE-OBRA ('

minada despesa é representada pela isoquanta tangenteà linha de preços correspondente a essa despesa.

Essas considerações se baseiam na hipótese de que os doisfatôres sejam continuamente intercambiáveis, de modoque um pequeno aumento de capital compense um pe-queno decréscimo de mão-de-obra. Supõe-se, ainda, quecada decréscimo sucessivo de mão-de-obra exija um au-mento sempre maior de capital para manter uma produ-ção constante. De outra maneira as isoquantas não te-riam a forma de hipérboles.

Tudo isso é familiar. Só o relembramos porque vamosapresentar um diagrama análogo ao anterior, que é fun-damental para a programação matemática. Antes, porém,vejamos porque um nôvo diagrama e outra conceituaçãose fazem necessários.

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o modêlo de produção que delineamos acima é indubi-tàvelmente válido para alguns tipos de indústrias. Mas,para muitas fabricações, especialmente para as que usammáquinas complexas, êsse modêlo é sujeito a sérias obje-ções. A maioria das máquinas modernas só opera eficien-temente numa limitada gama de velocidades, e as unida-des de mão-de-obra, fôrça, materiais e outros fatôres deprodução são determinadas com certa inflexibilidade pelascaraterísticas inerentes à máquina. Além disso, são pou-cas as máquinas capazes de realizar uma tarefa específica.

Alguns exemplos tornarão essas considerações mais con-cretas. A remoção de terra pode ser feita manualmente,com.pás mecânicas, ou com tratores do tipo bulldozer. Aspás mecânicas e os bulldozets existem em número restritode modelos, cada um com caraterísticas técnicas, tais comoconsumo de combustível e capacidade, bem estabelecidas.A composição de tipo faz-se manualmente, com linotiposou monotipos, e aqui também cada máquina só existeem poucos modelos, de caraterísticas inalteráveis. Pode-ríamos citar muitos outros exemplos: equipamento de im-pressão, teares, transportes ferroviários e rodoviários, má-quinas de calcular e de contabilidade, fornos de reduçãode minérios, máquinas-ferramentas etc.. Em muitos seto-res econômicos o número de procedimentos é finito e cadaprocesso é rígido no que toca às proporções possíveis entrefatôres de produção. Os fatôres não são intercambiáveis,a menos que se modifiquem os próprios processos tecno-lógicos usados, porque cada processo usa fatôres em pro-porções prefixadas. Em programação matemática a subs-tituição de processos desempenha papel análogo ao dasubstituição de fatôres na análise econômica convencional.Apresentaremos agora um método de análise de substi-tuição de processos. Limitaremos nossa discussão aos pro-cessos que consomem dois fatôres, capital e mão-de-obra,e produzem um único produto. O GRÁFICO 3 representaum processo dêsse tipo. O eixo horizontal é uma escalade unidades de mão-de-obra e o vertical uma escala deunidades de capital. O processo é representado pela semi-


reta OA, graduada em unidades de produção. A cada pro-dução corresponde uma quantidade de mão-de-obra ob-tida pela projeção da produção sôbre o eixo das abcissas.A necessidade de capital é a projeção da produção sôbreo eixo das ordenadas.

Da mesma maneira, para cada quantidade de trabalhoexiste um volume de produção que é obtido levantando--se uma linha vertical, e uma quantidade de capital, queé obtida traçando-se uma linha horizontal, a partir daprodução em foco.

Notemos que a quantidade de capital nesse contexto é aquantidade realmente usada no processo, e não a quanti-dade investida na instalação; é o serviço prestado pelocapital, mais do que o próprio capital. A relação entrequantidades de capital e de trabalho é fixada pela tec-nologia inerente ao processo: se usarmos a máquina odôbro de horas, consumiremos o dôbr s de homens-horas,pois a semi-reta OA indica que a relação entre essas gran-dezas é linear.

Mais precisamente, diríamos que a relação quantidade decapital/quantidade de mão-de-obra é igual ao coeficienteangular da reta OA, ou seja à tangente do ângulo que OAfaz com o eixo das abcissas. Outro fato importante, alémda constância da relação acima, é que não há economiasde escala nesse processo: é o significado dos traços igual-mente espaçados que se observam sôbre a semi-reta OA;êles nos dizem que para produzir o dôbro necessitamosexatamente o dôbro de mão-de-obra e o dôbro de capital.Duas máquinas de linotipo com operadores igualmentehábeis podem produzir exatamente o dôbro de uma só.Dois fusos idênticos podem produzir exatamente o dôbrode fio do que um só fuso no mesmo período. Desde queos fatôres sejam disponíveis, um processo pode ser dupli-cado. Se essa duplicação é econômica ou não, isso é outroproblema.

Quando só existe um processo aceitável para a produçãode determinado bem não há terreno para escolha econô-

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GRÁFICO 3: Um Processo

A

wowo-co;:::Z<>::::>(3

QUANTIDADE DE MÃO·DE·OBRA

mica. Freqüentemente, entretanto, haverá diversos pro-cessos.

o GRÁFICO 4 representa uma situação em que dois proces-sos são disponíveis, o processo A indicado pela linha OA,e o processo B, indicado por OR. Já sabemos o significadodos pontos situados sôbre as linhas OA. e OR. A escalanas quais a produção é medida nas duas linhas não é ne-cessàriamente a mesma. A escala de cada semi-reta dotipo OA ou OB reflete a produtividade dos Iatôres de pro-dução na medida em que são usados no processo repre-sentado pela semi-reta em questão; a escala não tem rela-ção com a escala de outra semi-reta, correspondente aoutro processo.

Imaginemos agora que os pontos L e M representem amesma produção física obtida por dois processos distintos.Então, o segmento LM representará uma isoquanta, e

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GRÁFICO 4: Dois Processos

QUANTIDADE DE MÃO-DE-OBRA

cada ponto situado sôbre êsse segmento corresponderá auma combinação dos processos A e B que resultará namesma produção que OL unidades do processo A ou queOM unidades do processo B.

Para entender essa assertiva considere-se qualquer pon-to P situado sôbre o segmento L'M e construa-se a retaque passe por P e seja paralela a OB. Seja L' o ponto deinterseção dessa linha com OA Marquemos sôbre OB oponto IV!' tal que OM' seja igual a L'P. Consideremos oplano de produção que consiste em usar o processo A aonível OL' e o processo B ao nível OM'. É fácil mostrarque êsse plano de produção usa OU unidades de mão-de-obra e OV unidades de capital, sendo U e V, respectiva-mente, as coordenadas de trabalho e capital do ponto P.

De fato, o processo A ao nível OL' usa OQ' unidades demão-de-obra e o processo B, ao nível OM', usa OS' uni-dades de mão-de-obra. Juntos, usam OQ' --- OS' unida-


des de mão-de-obra. Mas, por construção, L'P é igual eparalelo a OM'. Isto é, Q'U = OS'. PortantoOQ' + OS' = OQ' + Q'U = OU unidades de trabalho.O mesmo raciocínio vale para o eixo do capital.

o mesmo resultado seria obtido construindo-se pelo pon-to P a linha paralela a OA. Ela interceptaria OB em M'.Então marcaríamos sôbre OA o ponto L' tal queOL' = M'P. Recairíamos no mesmo resultado anterior.A situação é análoga à construção do "paralelograma defôrças" em Física.

Desde que as coordenadas do ponto P correspondem àsquantidades dos fatôres consumidos por OL' unidades doprocesso A e OM' unidades do processo B, interpretamosP como representativo do plano de produção obtido pelacombinação dos níveis especificados dos dois processos.Essa interpretação repousa sôbre importante hipótese eco-nômica, a de que, se dois processos foram usados sirnul-tâneamente, êles não interferem um no outro; em con-seqüência, os fatôres de produção e as unidades produzi-das como resultado do uso simultâneo de dois processosa qualquer nível podem ser achados somando-se os fatô-res de produção e as unidades produzidas dos processosindividuais.

Para provar que P está situado sôbre a isoquanta quepassa pelos pontos L e M, resta mostrar apenas que asoma das unidades produzidas correspondentes aos pon-tos L' e M' é igual à produção correspondente ao ponto Lou ao ponto M. Esta propriedade decorre imediatamentedos seguintes fatos: a produção correspondente a qual-quer ponto situado sôbre a semi-reta do processo é dire-tamente proporcional ao comprimento da semi-reta atéo ponto considerado; e os triângulos LL'P e LOM são se-melhantes. Usamos o símbolo Produção (M) para de-notar a produção correspondente ao ponto M do diagra-ma. Então:

kA.E./i9 PROGRAMAÇÀO LINEAR oü MATEMÁTICA i20

Produção (M')

Produção (M)

OM'

OM

Produção (L')

Produção (L)

OL'

OL-- e

Mas, por hipótese, Produção (L) -~ Produção (M).Então,

t.Produção (M') Produção (M') DM'

--Produção (L) Produção (M) OM

Por adição, obtemos:

Produção (M/) + Prcdução (L')

Produção (L)

OM' DL' L'P DL'--, +OM DL OM DL

L'L DL''4 - - 1.

OL I

OL

Então, se tivermos duas linhas de processo, como OA e OB,e encontrarmos dois pontos L e M situados sôbre elas eque correspondam à igual produção através dos dois pro-cessos, o segmento LM que unir os dois pontos de igualprodução será uma isoquanta.

Podemos traçar agora o análogo, em programação mate-mática, do diagrama de isoquantas. D GRÁFICO 5 é um dia-grama dêsse tipo, que mostra quatro linhas de processo.O ponto M representa uma produção realizada pelo usodo processo A; os pontos L, K e ] representam a mesmaprodução obtida pelo uso dos processos B, C e D, respecti-vamente. A linha poligonal que une êsses quatro pontos éa isoquanta correspondente a essa produção. É fácil verque qualquer outra poligonal cujos segmentos sejam pa-ralelos aos de MLKJ será também uma isoquanta. Trêsisoquantas paralelas a MLKJ estão representadas no grá-fico. É instrutivo comparar o GRÁFICO 5 com o GRÁFICO 2e notar a grande semelhança entre ambos, tanto na apa-rência quanto na interpretação.

130 PROGRAMAÇAO LINEAR OU l\tIA'l'EMATICÁ R.A.E. 19

Podemos traçar linhas de preço no GRÁFICO 5, exatamen-te como no diagrama habitual de isoquantas. As linhas tra-cejadas XX' e YY' representam duas linhas de preçoConsideremos XX' primeiro. Pelo traçado dessa linha, vê--se que a produção máxima para dada despesa pode serobtida pela utilização do processo C sozinho e, inversa-mente, que o custo mínimo para dada produção é tambémobtido pelo uso do processo C sozinho. Portanto, para oregime de preço relativo representado por XX' o processoC é ideal. A linha de preço YY' é traçada paralelamenteao segmento isoquântico ]K. Neste caso, o processo C éainda ideal, mas também o é o processo D, como aliás,qualquer combinação de ambos.

A inspeção dessas duas linhas de preços e de tantas outrasquantas o leitor quiser traçar mostra que a otimização deum programa de produção pede ser sempre conseguidarecorrendo-se a um único processo, processo êsse que de-

GRÁFICO 5: Quatro Proces son

D

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;( X.:

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OY' X'

QUANTIDADE DE MÃO-DE-OBRA

R.A.E./19 Í'RÓGRAMAÇAó tINEAft OU MATEMÁTICA 131

pende, obviamente, da inclinação da linha de preços.Deve-se observar, entretanto, que o critério clássico detangência não é mais aplicável.

Deduzimos do GRÁFICO 5 que um plano econômico ótimonunca precisa valer-se de mais de um processo para cadatipo de produção. Mas não consideramos a produção con-junta de dois produtos nem estudamos a influência dademanda. A conclusão obtida é válida para a situaçãodescrita, que partiu do pressuposto de que os dois fatôresde produção eram acessíveis, em qualquer quantidade, apreços relativos constantes. Essa hipótese não é aplicávela muitos problemas e não tem largo uso em programaçãomatemática. Portanto, devemos agora levar em conside-ração as condições de oferta dos fatôres de produção.

lU. OFERTAS E CUSTOS DOS FATôRES DE PRODUÇÃO

Em programação matemática é habitual dividir todos osfatôres de produção em duas classes: fatôres ilimitadosacessíveis, em qualquer quantidade, a um custo unitárioconstante, e fatôres limitados ou escassos, acessíveis a umcusto unitário constante até uma quantidade máxima fi-xada, e inacessíveis além dêsse teto. O exemplo da indús-tria automobilística dado acima ilustra essa classificação.Os quatro tipos de capacidade foram tratados naqueleexemplo como fatôres fixos acessíveis a custo constante;todos os demais fatôres foram agrupados como custos di-retos, que consideramos constantes por unidade produzida.

O exemplo da indústria automobilística mostrou que essaclassificação de fatôres é adequada para exprimir o pro-blema de maximização de uma emprêsa que esteja ope-rando em mercado competitivo. Na Parte II vimos quequando todos os fatôres são ilimitados essa formulaçãoserve para encontrar um ponto de custo médio-mínimo,

Ambas essas aplicações partiram de pressupostos restriti-vos que entram em conflito com os que se tornaram con-vencionais no estudo da apropriação de recursos. Na aná-

132 t>l'tOOa.AMAQAb tIN1l:Al't ou MA't!MÂ'tICA R.A.E./19

lise convencional concebe-se que, à medida que aumentao nível de produção de uma emprêsa, indústria ou eco-nomia, os custos médios unitários também aumentam apartir de certo ponto. O aumento dos custos médios podeser atribuído, em parte, ao efeito da lei de proporçõesvariáveis" que age quando as quantidades de alguns fa-tôres de produção, mas não de todos, aumentam. Quantoàs conseqüências disso, o contraste entre a programaçãomatemática e a análise marginal é mais verbal do quesubstantivo. O GRÁFICO 4 mostra como essas mudançassão tratadas em programação matemática. O ponto J repre-senta a produção de certa quantidade pelo uso do proces-so A somente. Se desejarmos aumentar a quantidade semaumentar o uso do capital, isso poderá ser conseguido des-locando-nos à direita, ao longo da linha tracejada JK, quecorta isoquantas sucessivamente mais elevadas. Êsse mo-vimento corresponde ao uso progressivamente maior doprocesso B e ao uso progressivamente menor do processoA, e assim, indiretamente, à substituição de capital pormão-de-obra. Se, além disso, ocorrer que o custo unitáriode produção do processo A seja menor do que o do pro-cessso B, êsse deslocamento corresponderá também aoaumento do custo médio de produção. Destarte, a análisemarginal e a programação matemática levam-nos à mesmaconclusão quando as proporções dos fatôres são mudadas:se a mudança partir de um ponto de custo mínimo, asubstituição resultará em custos unitários gradualmentemaiores.

Mas a mudança das proporções dos fatôres de produçãoé somente uma parte da história, de acôrdo com o tipoconvencional de análise. Se a produção dever ser aumen-tada, três coisas poderão acontecer:

• Em primeiro lugar, pede ser possível aumentar o con-sumo de todos os fatôres sem que ocorra mudança em

1) J. M. CASSELS, "On the Law 01 Variable Pcoportions", em w. FELLNERe B. F. HALEY, editôres, Readings in the Theory oi lncome Distei-bution, Filadélfia, 1946, págs. 103 a 118.

R.A.E.j19 PROGRAMAÇÃO LINEAR OU MATEMATICA 13,1

seus preços unitários. Nesse caso, tanto pela programaçãomatemática quanto pela análise marginal, a produçãoaumenta, sem que mudem as proporções entre as quanti-dades dos fatôres, e o custo médio de produção não au-menta."

• Em segundo lugar, pode não ser possível aumentar ograu de utilização de alguns fatôres, É o caso que acaba-mos de analisar. De acôrdo com ambos métcdos de aná-lise, as proporções dos fatôres mudam nesse caso e oscustos médios unitários aumentam. A única diferença en-tre os métodos é que, se o custo médio fôr lançado numgráfico em função da produção, a análise marginal reve-lará uma curva ascendente, ao passo que a programaçãomatemática redundará numa linha quebrada constituídade segmentos de inclinação progressivamente maior.

• Em terceiro lugar, pode ser possível aumentar asquantidades de todos os fatôres, mas somente com a con-dição de os preços unitários aumentarem ou, então, com"deseconomia" de escala. Êsse terceiro caso ocorre em aná-lise marginal; aliás, é a situação que provoca, nas curvasde custo a longo prazo, sua forma familiar, mas a progra-mação matemática não tem forma equivalente para essasituação.

Enfim, a diferença essencial é que a análise marginal lidacom deseconomias pecuniárias e técnicas associadas commudanças na escala de produção, ao contrário da progra-mação matemática." Existem muitos problemas econômi-cos de grande importância nos quais os preços dos fatôrese as produtividades não mudam em conseqüência de mu-danças de escala ou, então, são tão ínfimas essas variações

2) F. H. KNIGHT, Risk, Uncerteinty and Proiit, Bóston, 1921, pág. 98.

3) Mesmo no arcabouço da análise marginal já foi questionado o conceitode deseconomia de escala, por razões teóricas e práticas. Veja-se, porexemplo, a crítica empírica do Commitee on Price Determination, Con-ierenceon Price Reseerch, Cost Behavior and Price Policy (Nova Iorque,1943). O mais penetrante ensaio teórico é o de PIERO SRAFFA, The LawsDf Returns under Competitivo Conditions", Economic ]ournal, dezembrode 1926, n.? XXVI, págs , 535 a 550.

--" --------"" -----" ---~-----134 PROGRAMAÇAO LINEAR OU MATEMATICA R.A.E./19

que podem ser desprezadas. Muitas investigações de ca-pacidade industrial, por exemplo, são dessa natureza.Nesses estudos pesquisamos a produção máxima de umaindústria, considerando fixo o seu equipamento e admi-tindo que os fatôres auxiliares podem ser obtidos nas quan-tidades ditadas pelas caraterísticas do equipamento. Osestudos de necessidades de mão-de-obra são dá mesma na-tureza; nêles consideramos fixos a produção e o equipa-mento, e calculamos a mão-de-obra necessária para operaro equipamento ao nível que resulte na produção desejada.Os estudos de produção de pleno emprêgo são do mesmoestilo. Nêles determinamos de antemão a quantidade decada fator que deve ser considerada como correspondenteao pleno emprêgo dêsse fator. Calculamos, então, o nívelótimo de produção atingível pela utilização dos fatôresnessas quantidades.

Êsses exemplos são suficientes para mostrar que as hipó-teses feitas em programação matemática abraçam grande

"variedade de problemas econômicos relevantes. As maisimportantes aplicações da programação matemática sãoprovàvelmente problemas do tipo descrito acima, onde seprocura otimizar planos de produção com a utilização dos"recursos disponíveis.

"IV. ANÁLISE DA PRODUÇÃO COM FATÔRES LIMITADOS

OS diagramas apresentados são fàcilmente adaptáveis àanálise das conseqüências provocadas pela existência delimitações nos fatôres de suprimento. Essas limitações são,õbviamente, a essência do GRÁFICO 1, onde as quatro li-nhas principais representam limitações nos níveis de pro-cessos, que resultam das limitações nas quantidades dis-poníveis dos quatro fatôres. Mas o GRÁFICO 1 não pedeser. usado quando mais de dois processos devam ser con-siderados; nesse caso usam-se diagramas como os dos GRÁ-

FICOS 3, 4 e5.-O GRÁFICO 6 reproduz a situação representada no GRÁ-

FICO 5 com alguns dados. adicionais que explicaremosadiante.

H.A.E.:l9 PROGHAl'vIAÇAO LINEAR OU MATEMNl'rCA

GRÁFICO 6: Quatro Processos, com Limitações

F'

X

4:!::CL-«uUJoouo4:oi=

~;

O

QUANTIDADF DF MÃO-DE-OBRA

Seja OF o maior volume de capital que possa ser usado;OF representa o limite de um fator, A linha horizontalque passa por F divide o diagrama em duas seções: todosos pontos situados acima da linha cor respondem a pro-gramas que exigem mais capital do que o disponível; ospontos situados abaixo da linha ou sôbre 8. linha repre-sentam programas viáveis, quanto à disponibilidade decapital. Essa reta horizontal nós a chamaremos "linha delimitação de capital"; os pontos situados abaixo da linhaou sobre ela são denominados "viáveis"; os pontos acima,"inviáveis" .

A entidade econômica em foco pode operar em qualquerponto viável. Se o objetivo fôr maximizar a produção,escolheremos um ponto situado na mais alta isoquantapossível, isto é, a mais alta iscquanta que intercepte alinha de limitação de capital. Será a isoquanta J'K'L'M';a maior produção possível é obtida pelo processo A

136 PROGRAMAÇÃO LINEAR OU MATEMATICA R.A.E./19

Evidentemente, a maximização da produção pode não sero objetivo. Êste poderia ser, por exemplo, tornar máximaa diferença entre o valor da produção e os custos de mão-de-obra; chamamos essa diferença de "valor líquido".O mesmo tipo de gráfico permite-nos resolver êsse nôvoproblema, desde que o valor unitário da produção sejaindependente do número de unidades produzidas e queo custo de cada unidade de mão-de-obra também sejaconstante. Com essas premissas, cada ponto num semi-eixo de processo corresponderá a certa produção física etambém a certo valor de produção, certo custo de mão-de-obra e certo valor líquido. Ainda, ao longo de todoo semi-eixo de processo, o valor líquido será igual à pro-dução vêzes o valor líquido unitário; será, portanto, pro-porcional à produção. Podemos então valer-nos de umdiagrama semelhante ao GRÁFICO 6, exceto pelo fato deque são os valôres líquidos - e não mais as produçõesfísicas - que estariam representados nos semi-eixos deprocesso; teríamos linhas de igual valor no lugar das iso-quantas. Foi o que se fêz no GRÁFICO 7; o máximo valoratingível é o que corresponde à linha de igual valor quepassa em P, e é obtido pelo processo C.Note-se nos GRÁFICOS 6 e 7 que o programa ótimo consistenum simples processo; que mudanças no volume de ca-pital disponível não afetariam a designação do processoótimo, embora mudem seu nível; e que as linhas de 'preço,cruciais no GRÁFICO 5, não desempenham aqui nenhumpapel.A próxima complicação - e é a última que examinaremos- consiste em admitir aue ambos fatôres estão em dis-ponibilidade limitada. Essa situação é representada noGRÁFICO 6, acrescentando-se a linha vertical que passa

. pelo ponto G para representar a limitação da mão-de-obra.A quantidade disponível de mão-de-obra é representada,claro, pelo segmento OG. Os pontos situados dentro doretângulo OFHG representam programas viáveis, pois nãorequerem mais do que os suprimentos disponíveis de cadafator. Êsse é o retângulo dos programas viáveis. A pro-

R.A.E./19 PROGRAMAÇÃO LINEAR OU MATEMÃTICA 137

dução máxima atingível é a que corresponde à mais altaisoquanta que toca o retângulo dos programas viáveis.É a isoquanta ]"K" L"M". O ponto H, ponto de contatoentre a isoquanta e o retângulo mencionado, representao programa através do 'qual se pode obter a produçãomáxima.

Essa solução difere das precedentes pelo fato de que oponto-solução não está situado sôbre nenhum eixo de pro-cesso, mas entre os eixos dos processos A e B. Já vimosque um ponto como H representa a utilização do processoA no nível ON e do processo B no nível NH.

Duas observações são relevantes:

• Primeira: com as linhas de limitação de fatôres tra-çadas a produção' máxima requer dois processos. Se aslinhas de limitação de fatôres tivessem sido traçadas demaneira a se cortarem exatamente sôbre um dos eixosde processo, somente um processo teria sido necessário.

Se as linhas e limitação de fatôres se tivessem cortado àesquerda do processo D ou à direita do processo A, o planode maximização de produção requereria somente um pro-cesso. Mas, seja qual fôr a maneira de traçar as linhasde limitação, no máximo dois processos serão necessáriospara maximizar a produção. Generalizando: a produçãomáxima sempre pode ser obtida pelo uso de um númerode processos que não exceda o número de fatôres de supri-mento limitado, se êsse número não fôr zero. As conclusõesobtidas dos GRÁFICOS 6 e 7 estão conformes a essa regrae êsse é um teorema básico da programação matemática.

• Em segundo lugar: já vimos que, no máximo, doisprocessos são necessários para obter a produção máxima;sua determinação depende da localização dos limites dosfatôres. No exemplo dado os processos usados para a ma-ximização da produção eram A e B. Se um maior volumede capital, representado pela quantidade OF', fôsse dis-ponível, os processos que resultariam na maximizaçãoteriam sido C e D. Se dois fatôres são limitados, é a pro-

PROGRAMAÇAO LINEAR ou MATEMATICA R.A.E./19

GRÁFICO 7: Quatro Processos, com Linhos de Iguais Va!óres

u.ro A

wCl<Cl<=Z<~O

OUANTIDADE DE MÃO-DE-OBRA

porção entre seus suprimentos mais do que os valóresabsolutos dos suprimentos - que determina os processoscorrespondentes ao programa ótimo. Isso contrasta como caso em que somente um fator é limitado. Assim comoas considerações que determinam o conjunto ótimo deprocessos são mais complicadas quando dois fatôres - enão um só - são limitados, assim tam bérn com três oumais fatôres de limitação, as condições ótimas tornam-semais complicadas ainda e transcendem ràpidamente nossacapacidade intuitiva. É êsse o fato que dá à formidávelaparelhagem da programação matemática a sua razão-de-ser.

Apliquemos essas considerações ao nosso exemplo dosautomóveis. O GRÁFICO 1 mostra que C - o ponto ótimode produção - se encontra sôbre as linhas de limitaçãoda montagem do carro e da estamparia, mas bem abaixodos limites de montagem dos carros e caminhões. Essasduas últimas limitações não precisam, pois, ser levadas em

n.A.E./HJ PROGRAMAÇAO LINEAR OU MATEMATICA

GRÁFICO 8: Exemplo de Emprêsa Autornobilís tice (Plano Ótimo)

~Pr LINHA MÁXIMA

DE IGUAIS V ALÔRES(US $ 7.730.000)

V>LUIX

Ot-

O~wCl

5.000.000

wCl-ceu~ 10-cu O~ __ ~ ~ _

4.000.000

3.000.000 '"

2.000.000 PRODUÇÃO DEAUTOMÓVEIS

13 13 100CAPACIDADE DE ESTAMPARIA (PERCENTUAL)

conta. Em têrmos das duas capacidades limitadoras, re-presentamos a situação no Gráfico 8.

No GRÁFICO 8 o eixo P, representa o processo de produçãode automóveis, e P. o processo de prcdução de caminhões.Esses processos podem ser operados em qualquer combi-nação de níveis que não requeira a utilização de mais doque 100% de capacidade da estamparia ou da montagemde motores. O retângulo no diagrama é a região dos pro-gramas de produção realizáveis. O programa ótimo deprodução é o que corresponde ao mais alto retôrno líquidopossível, dentro da região realizável. Será, pois, conve-niente construir linhas de igual retôrno, semelhantes àsdo Gráfico 7. Observemos que o objetivo da emprêsa é,por definição, tornar máximo o retôrno, e não o volumefísico de produção; podemos considerar a produção de au-tomóveis e caminhões como dois processos alternativos,sendo que ambos produzem retorno, isto é, renda finan-ceira, embora suas produções físicas sejam heterogêneas.

PROGRAMAÇAO LINEAR OUMATEMATICA R.A.E./19

Para construir linhas de igual retôrno consideremos, pri-meiro, a produção de automóveis. Cada ponto de P'lcorresponde à produção de certo número de carros pormês. Seja a escala escolhida tal que o ponto L representea produção de 3.333 automóveis por mês. Lembremosque cada automóvel propicia um retôrno de US$ 300.Logo, 3.333 carros dão um retôrno de US$ 1.000.000.a ponto L, portanto, corresponde a um retôrno deUS$ 1.000.000 e uma produção de 3.333 veículos depasseio por mês. Como 3.333 automóveis ocupam13 1/3% da capacidade da estamparia e 10% da capa-cidade da seção de montagem de motores, as coordenadasdo ponto situado sôbre P"l - que produz um retôrno deUS$ 1.000.000 - estão imediatamente estabelecidas.Do mesmo modo, o ponto cujas coordenadas são de262/3% da capacidade da estamparia e 20% da capa-cidade de motores é o ponto situado sôbre P4. cujo retôrnoé de US$ 2.000.000. Dessa maneira, todo o eixo P; podeser graduado por uma escala de retôrno; o eixo P1' - eixode processo para a produção de caminhões - tambémpode ser graduado. a diagrama é' completo quando seligam os pontos cujo retôrno é de US$ 4.000.000 sôbreos eixos PA e PT; os segmentos obtidos indicam as direçõesdas linhas de igual retôrno ou igual valor.a programa ótimo corresponde ao ponto C de interseçãodas retas que limitam as capacidades; C está situado nalinha de mais alto retôrno que tangencia a região viável.Tracemos pelo ponto C uma paralela ao eixo de produçãode caminhões; essa paralela corta o eixo OP.l de produçãode automóveis em D. Já foi provado que o comprimentoOD representa, dentro do programa ótimo, a parcela pro-veniente da produção de automóveis; e que o compri-mento De representa a contribuição dos caminhões.

V. A ATRIBUIÇÃO DE VALÔRES AOS FATÔRES

Já dissemos que o maior campo de aplicação da progra-mação matemática se encontra nos problemas em que f

disponibilidade de um ou mais fatôres de produção é abso

n.A.~./19 PROGRAMAÇÃO LINEAR otr MATEMÁTlcA

lutamente limitada. A escassez é que gera o valor dos bens,tanto na programação matemática quanto na análise eco-nômica clássica. Nesta, de fato, a determinação das quan-tidades produzidas e a dos preços são dois aspectos domesmo problema, isto é, da repartição ideal dos escassosrecursos existentes. O mesmo se dá na programação ma-temática.

Até aqui os preços somente intervieram como elementosde determinação dos custos diretos e do retôrno. Mas, evi-dentemente, os fatôres limitativos da produção tambémtêm valôres, embora não lhes tenhamos atribuído preçosaté agora. Nesta parte do artigo veremos que a soluçãode problemas de programação matemática atribui impli-citamente valôres aos fatôres limitativos da produção; e,além disso, que o problema implícito de atribuição depreços pode ser solucionado diretamente e, quando resol-vido, constitui solução do problema de repartição de re-cursos.

Voltemos ao exemplo dos automóveis e perguntemo-nos:quanto vale uma unidade (1 %) de cada tipo de capaci-dade para a emprêsa? Essa pergunta assemelha-se, emespírito, à análise marginal clássica. Calculemos, em rela-ção a cada tipo de capacidade, em quanto o retôrno má-ximo aumentaria se uma unidade fôsse acrescentada ouem quanto o retôrno diminuiria se uma unidade fôsseretirada. Como há excesso de capacidade de montagemde automóveis, nem a adição nem a subtração de umaunidade dêsse tipo afetariam o programa ótimo ou o re-tôrno máximo. Portanto, o valor dêsse tipo de capacidadeé nulo. O resultado é o mesmo para a montagem de ca-minhões.

Deduzimos daí que êsses dois tipos de capacidade são benseconômicos gratuitos. Isso não significa que uma linha demontagem de carros não seja valiosa, assim como - paracitar um exemplo clássico - o fato de o ar ser gratuitonão significa que êle seja dispensável. O que se querdizer é que não é econômicamente compensador aumentar

142 PROGRAMAÇAO LINEAR ou MATEMÁTICA R.A.E./19

êsses tipos de capacidade a qualquer preço positivo e quealgumas unidades dêsses tipos podem ser suprimidas semperda.A valorização dos outros tipos de capacidade não é tãotrivial. No GRÁFICO 9 o eixo horizontal está graduado emvalôres (US$) por percentagem da capacidade de rnon-tagem de motores; o eixo vertical está graduado em va-lôres por percentagem de capacidade da estamparia. Con-sideremos agora qualquer par possível de valôres, digamos,a capacidade de valor US$ 20.000 por unidade (paraa montagem de motores) e a capacidade de valorUS$ 40.000 (para a estamparia). Êsse par de valôrescorresponde ao ponto A do GRÁFICO 9. Aplicando êssesvalôres aos dados da Parte I dêste artigo, encontramos ocusto da capacidade necessária para produzir um auto-móvel:(0,004 X US$ 40.000) +- (0,003 >< US$ 20.000)-·= US$ 220,importância muito menor do que o valor de produção deum automóvel, que é de US$ 300. Nesse exemplo osvalôres unitários são iguais aos valôres marginais, já queos custos de produção são constantes. Anàlogamente, sea capacidade da montagem de motores valer US$ 60.000por unidade percentual de capacidade e se a capacidadeda estamparia fôr estimada em US$ 30.000 por unidade(ponto B), o custo dos recursos necessanos à produçãode um automóvel será exatamente igual ao valor doproduto.Essa não é, obviamente, a única combinação de valôresdos recursos que absorvem exatamente o valor da pro-dução quando a fábrica só produz automóveis. A linhade produção de carros, no GRÁFICO 9, que passa pelo pontoB, é o lugar geométrico de tôdas essas combinações devalôres. Uma linha semelhante foi traçada para a produ-ção de caminhões a fim de representar as combinações dosvalôres dos recursos para os quais o valor total dos re-cursos consumidos na produção de caminhões é igual ac

tí.A.E./lii PROGRAMAÇAo LINEAR OÓ MATEMÁTICA 14:1

valor da produção. A interseção dessas duas linhas é,obviamente, o único par de valôres dos recursos para osquais o custo marginal do recurso correspondente à pro-dução de um carro adicional é igual ao retôrno propor-cionado por um carro; o mesmo é verdade em relação aoscaminhões. O ponto pode ser achado gràficamente, ou,com maior precisão, algebricamente. Encontra-se, então,que 1% da capacidade de montagem de motores valeUS$ 9.259 e 7% da capacidade da estamparia valemUS$ 68.056.

A cada par de valôres para os dois tipos de capacidadecorresponde um valor para a fábrica inteira. Assim, aopar de valôres representado pelo ponto A corresponde ovalor de fábrica de:

(100 X US$ 20.000) + (100 X US$ 40.000)~= US$ 6.000.000.

Êsse não é o único par de valôres dos recursos que dáum valor combinado total de US$ 6.000.000 para a fá-brica. De fato, qualquer par de valôres dos recursos si-tuado sôbre a linha tracejada que passa por A correspondeao mesmo valor combinado total para a fábrica. A essa al-tura, o GRÁFICO 9 lembra muito o GRÁFICO 1. Foram de-senhadas algumas linhas tracejadas paralelas à que acaba-mos de descrever, cada uma das quais corresponde a umvalor específico agregado, total da fábrica. A linha trace-jada que passa pelo ponto P de interseção das duas linhasde produção é particularmente interessante. Essa linhacorresponde, como se pode ver por simples inspeção dográfico, a um valor total de fábrica de US$ 7.731.500,precisamente o valor que encontramos para o retôrno má-ximo atingível.

Consideremos as conseqüências da atribuição de valôresaos dois fatôres limitativos sob um ângulo ligeiramentediferente. Vimos que a atribuição de valôres unitários aosfatôres resulta num valor total combinado para a fábrica.Podemos fazer com que o valor total para a fábrica sejatão baixo quanto desejemos, simplesmente atribuindo va-

144 i?ROGRAMAÇ;ÀÓ LíNEAtt otr MATEMÁTICA R.A.1!:./ili

lôres suficientemente baixos aos diversos fatôres. Mas, seos valôres atribuídos forem excessivamente baixos, tere-mos a conseqüência desagradável de que alguns processosdarão origem a excedentes não valorizados. Podemos,portanto, procurar o valor agregado total mais baixo pos-sível para a fábrica, desde que nenhum processo dê umexcedente não valorizado. No caso dos automóveis êssevalor é de US$ 7. 731 . 500. Na ocasião de procurar omenor valor agregado total para a fábrica acharemos osvalôres unitários específicos que devem ser atribuídos acada recurso.Nesse exemplo há dois processos e quatro recursos limi-tativos. Na verdade, sõmente dois recursos eram efetiva-mente limitativos, sendo os dois outros disponíveis comrelativa abundância. Em geral, as caraterísticas da solu-ção de um problema de programação matemática depen-dem da relação entre o número de recursos limitativos eo número de processos considerados. Se, como nesseexemplo, o número de recursos limitativos exceder o nú-mero de processos, alguns recursos terão valôres atribuí-dos nulos e o número de recursos com valôres positivosserá igual ao número de processos. Notemos que, em al-gumas circunstâncias, o número de recursos com valôresatribuídos positivos pode ultrapassar o número de pro-cessos. Se o número de recursos limitativos fôr igual aonúmero de processos, todos os recursos terão valôres atri-buídos positivos. E se, finalmente, o número de processosultrapassar o número de recursos limitativos, alguns pro-cessos não chegarão a ser usados no programa ótimo. Essasituação, que é a mais comum, é ilustrada no GRÁFICO 6,Nesse caso o valor total atribuído aos recursos absorvidosserá igual ao retôrno, segundo certos processos, e o exce-derá, segundo outros.O número de processos para os quais o valor atribuído dosrecursos absorvidos fôr igual ao retôrno será exatamenteequivalente ao número de recursos limitados. Os proces-sos para os quais vale essa igualdade são os que constamdo programa ótimo com níveis positivos. Em resumo, a

R.A.E.j19 PROGRAMAÇAO LINEAR OU MATEMATICA145

determinação do valor mínimo aceitável para a fábricavem a ser o mesmo que a determinação do programa ótimode produção. O problema de programação e o problemade valorização são, essencialmente, um só.

A identidade entre êsses problemas é visível pela com-paração entre os GRÁFICOS 1 e 9. Cada gráfico contémdois eixos e duas linhas diagonais de limitação. Mas essaslinhas limitativas referem-se, no GRÁFICO 9, aos mesmosprocessos que os eixos, no GRÁFICO 1; reciprocamente, oseixos do GRÁFICO 9 referem-se aos mesmos recursos que

. as linhas limitativas diagonais do GRÁFICO 1. Além disso,no GRÁFICO 1 procurávamos o retôrno correspondente àmais alta linha tracejada tangente ao polígono limitativo;no GRÁFICO 9 procuramos o valor combinado correspon-dente à mais baixa linha tracejada que tenha pontos sô-bre as linhas fronteiriças ou fora delas; e os resultadosdos dois métodos coincidiram. Em linguagem matemâ,tica formal, os problemas representam uma dualidade.

A dualidade é uma propriedade muito útil para a soluçãode problemas de programação matemática, pois temos porela a escolha entre resolver o problema ou seu dual, con-forme seja mais fácil, obtendo sempre o mesmo resultado.Utilizemos êsse conceito para generalizar nossa discussão.Até aqui tínhamos de usar diagramas relativamente com-plexos, como o GRÁFICO 6, quando tratávamos com maisde dois processos, já que diagramas simples, como o GRÁ~

FICO 1, não continham eixos em número suficiente pararepresentar os níveis dos processos. Agora podemos usardiagramas calcados no GRÁFICO 9 para visualizar prohls-mas que envolvem qualquer número de processos, desdeque não haja mais do que dois fatôres escassos.O GRÁFICO 10 ilustra um diagrama para quatro processose deriva realmente do GRÁFICO 6. No GRÁFICO 10 a linhaA representa todos os pares de valôres dos fatôres produ-tivos em que o processo A não fornece nem lucro nemperda. As linhas B, C e D são interpretadas da mesmaforma. A linha tracejada T é o lugar geométrico para o

116 PROGRAMAÇÃO LINEAR OU MATEMÁTICAR.A.E.;19

GRÁF:CO 9: Exemplo de Emprêsa AútornobilíetiCl:l (Valôres ImpJícítos)

100.000

80.000~cc« 68.060c,:::

LU «o I- 60.000</)

LU

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qual o valor combinado do capital e da mão-de-obra dis-ponível é constante. Sua inclinação, que reflete a relaçãoentre as quantidades disponíveis de mão-de-obra e decapital, importa mais do que sua posição. A poligonalJKLl'vlN divide o gráfico em duas regiões. Todos os pon-tos situados nela ou acima dela representam pares devalôres dos recursos, em que nenhum processo dá origema um excedente não valorizado. Chamemos essa zonaregião de aceitação. Para todo o ponto situado abaixo dapoligonal há pelo menos um processo com excedente nãovalorizado. É a região da não aceitação. Procuremos oponto situado na região de aceitação correspondente aomenor valor combinado para a fábrica. Êsse ponto oor-responde ao conjunto de valôres dos recursos que tornaráo lucro contábil da emprêsa o maior possível, sem gerarqualquer retôrno não valorizado. O ponto em questão éK; a linha tracejada que passa por K paralelamente 8 Tfoi desenhada para indicar o mínimo valor agregado satis-fatório. para a fábrica.

R.A.E.!19PROGRAMAÇÃO LINEAR OU MATEMÁTICA

117

GRÁFICO 10: Prcblernne de Atribuição 'de Valôres (Qual'ro Processos)

-. 70V?2- 60:;;:'= 50c,<U

O40

o

º 30'"'o«'= 20Z::::Jcc 10O~>

N 90

VALOR UNITÁRIO DA MÃO-DE-OBRA (us $)

No ponto K os processos A e B dão lucro nulo e os pro-cessos C e D dão perda. Portanto, os processos A e B sãoos que convém usar, exatamente como achamos no GR.Á-

FICO 6. Na verdade, êsse diagrama não nos diz os níveisnos quais A e B devam ser usados, assim como o GRÁFICO6 não nos revela os valores que devam ser atribuídos aosdois recursos. Mas é relativamente fácil achar os níveisapós a seleção dos prccessos.É só achar os níveis queutilizarão integralmente os recursos escassos, o que se podefazer algébrica ou gr~tficamente, como no GRÁFICO 8.

VI. APLICAÇÔES

Na primeira parte dêste trabalho afirmamos que a prin-cipal motivação para usar programação matemática era anecessidade de um método de análise que se prestasse àsolução prática dos problemas diários de ;;;dministração '':;economia. Irnediatamente após têrrnos dito isso, apreseri-


tamos um problema altamente artificial, seguido por ex-tensa discussão de relações abstratas e formais. Chegouagora o momento de provarmos que a programação mate-mática é um método prático de análise.A simplificação essencial conseguida em programação ma-temática é a substituição da noção de função de produçãopela de processo. O processo é uma unidade. bem diferen-ciada de atividade e as constantes empíricas que o cara-terizam podem ser estimadas sem análise elaborada. Emmuitas indústrias a estrutura da produção corresponde àoperação de uma sucessão de processos. Muitas decisõesindustriais, como parar uma linha de máquinas ou operarum turno suplementar, correspondem fielmente ao nossoconceito de escolha do nível de operação de um processo.Em suma, a programação matemática é um modêlo da es-trutura real da produção, concebido com a esperança deque esta contenha somente constantes observáveis e va-riáveis diretamente controladas.Tem sido justificada essa esperança? Na literatura espe-:-cializada já foi publicado um exemplo de aplicação bemsucedida de programação matemática no campo da refi-nação de patróleo.' Tenho tido experiência semelhantenuma refinaria de porte médio que produz gasolinas co-mum e especial. Na operação de mistura dez tipos dife-rentes de componentes, que são frações provenientes dedestilação são misturados. O resultado é gasolina comer-cial, cujas caraterísticas correspondem à média ponderadadas caraterísticas dessas frações. Por exemplo: se 500galões de uma fração que contenha um teor de octana de80 pontos forem misturados com 1. 000 galões de outrafração com teor de octana de 86 pontos, o resultado será1.500 galões de um produto final com teor de octanaigual a (1/3 X 80) + (2/3 X 86) = 84 pontos.

O que é importante aqui é que as caraterísticas essenciaisda mistura - seu ponto de detonação, sua pressão de

II

4) A. CHARNES, W. W. CooPER e B. MELLON, "Blending Aviation Ga-solinies", Eoonometrica, abril de 1952, n.? XX, págs. 135 a 159.

R.A.E.j19 PROGRAMAÇAO LINEAR OU MATEMATICA 149

vapor, seu teor de enxôfre etc. - podem ser expressascomo funções lineares das diversas frações usadas; assimtambém o custo da mistura, se se atribuir um preço de-finido a cada fração. Portanto, achar a mistura de customínimo que satisfaça especificações técnicas determina-das é um problema de programação matemática.,

Na refinaria as quantidades disponíveis de algumas fra-ções são limitadas por contratos e pelas caraterísticas doequipamento. Surge então o problema seguinte: quais asquantidades mais lucrativas de gasolinas comum e espe-cial que se deve produzir e quanto se deve usar de cadafração nos produtos acabados? O problema lembra o dosautomóveis, com a complicação suplementar das especi-ficações técnicas. Complexo demais para análise gráfica,êsse problema é resolvido fàcilmente por processos arit-méticos. Tanto quanto eu saiba, a programação matemáti-ca é o único meio de solução dêsses problemas. CHARNESeCOOPERpublicaram, há pouco, a solução de um problemasemelhante que se colocou numa emprêsa metalúrgica."

Um problema de espécie totalmente diferente, tambémsuscetível de tratamento pela programação matemáticasurge na indústria de papel. O frete é um dos maiorescomponentes do custo do papel. Uma emprêsa dêsse ramotem seis fábricas espalhadas pelo Canadá e cêrca de du-zentos clientes dispersos pelos Estados Unidos da Amé-rica. A questão é decidir quantas bobinas devem ser man-dadas de cada fábrica a cada cliente, a fim de: primeiro,satisfazer os pedidos; segundo, obedecer as limitações decapacidade de cada fábrica; terceiro, conseguir o menorcusto total possível de transporte. A situação envolve1.200 variáveis (6 fábricas vêzes 200 clientes), em con-traste com os casos anteriores, que continham duas ouquatro vc.riáveis, Na solução final a maior parte das va-riáveis serão acumuladas; a questão é saber quais serão

5) A. CHARNES, W. W. COOPER, DoNALD FARR e outros, "Linear Program-rning and Proiit Preference Schedu1in~ for a Manulaturing Firm", lour-naI of the Operations Research Society 01 America, maio de 1953, n,? I,págs. 114 a 129.


essas variáveis. Êsse é mais um caso para a programaçãomatemática e, embora formidável, não o é tanto quantoo número de variáveis parece indicar.

.Essas poucas amostras bastam para indicar que a progra-mação matemática é uma arma prática no planejamentodas emprêsas. Elas mostram também que se trata de ins-trumentoflexível, pois a diversidade dos exemplos foigrande. No caso da refinaria havia a exigência suplemen-tar das especificações técnicas; no caso do papel existiamlimites na quantidade da produção e na quantidade dosfatôres de produção. Entretanto, a nova técnica solucionaperfeitamente ambos os problemas.

Por outro lado, é digno de nota o fato de que se tratavade aplicações em pequena escala, relacionadas apenas comuma operação simples de uma única ernprêsa. Creio queessa constatação deve ocorrer em tôdas as implantaçõesbem sucedidas. Os programadores matemáticos estão ain-da muito longe de resolver a problematicidade mais am-pla do planejamento global das ernprêsas ou da economia.Aliás, êsses problemas maiores são apenas versões amplia-das de problemas já solucionados no contexto de urncúnica emprêsa. Já não é prematuro afirmar que a pro-gramação matemática tem provado seu valor como ins-trumento prático para encontrar programas econômiccsótimos.

VII. CONCLUSÕES

Nosso objetivo neste trabalho foi tão somente apresentaras noções básicas de programação matemática, dando-lhessubstrato concreto e prático. O leitor desejoso de resolverum problema de programação - mesmo que dos maissimples - terá de procurar outra fonte, embora êste ar-tigo lhe possa servir de referência." Se bem que os mé-

6) o texto considerado padrão é: T. C. KOOPMANS, ed., Activity Analysisof Production and Allocation (Nova Iorque, 1951). Tratamentos menosavançados sâo: A. CHARNES, W. W. COOPPER e A. HENDERSON, An In-


todos de solução dos problemas tenham sido omitidos napresente exposição, devemos sublinhar que êsses métodossão fundamentais para tôda a conceituação da programa-ção matemática.

Há cêrca de oitenta anos atrás WALRAS conceituou a pro-dução de maneira sensivelmente igual à dos programado-res matemáticos; em época mais recente A. WALD e J.VON NEUMANN valeram-se dessa perspectiva e de mé-todos estreitamente afins aos da programação matemáticapara analisar as condições de equilíbrio macro-econômico.'

Essas contribuições, entretanto, devem ser encaradas comosimples precursoras da programação matemática, que nãoteve existência independente como modalidade de análiseeconômica até 1947, quando G. B. DANTZIG introduziu o"método simples", que tornou possível a solução dos pro-blemas práticos." A existência de um método que permitiacalcular explicitamente pontos econômicos ótimos estimu-lou pesquisas no setor e propiciou a descoberta de novosmétodos de solução. O fato de os problemas econômicose empresários poderem ser resolvidos numericamente nalinguagem da programação matemática constitui a base dairr..:portânciado método.

A omissão dos métodos de solução neste artigo não deveser, pois, interpretada como indicação de que êles sejamde importância secundária. Tratamos apenas de alguns

troduction to Linear Prcgramming (Nova Iorque, 1953); e o de minhaautoria: "Application of Linear Progremrning to the T'heory of the Firm"(Berkeley, 1951).

7) A formulação de WALRAS encontra-se em: "Éléments d'économie poli-tique pure ou théorie de la richesse sociele"; 2.a edição (Lausana, 1889),Lição 20.a. As contribuições de A. W ALD e J. VON NEUMANN, apare-cerarn ~rimeiro em: "Erhgebnisse eines MathemMischen Kolloquiums' n.?s6, 7 e 8. O trabalho menos técnico de WALDencontra-se no Zeitschrifttür Nntionelekonomie, n.? VII (1936) e foi traduzido sob 'o título "OnSome Systems of Equetions oi Mathematical Economia?" Econometrica,cutubro de 1951, n.? XIX, págs. 369 a 403. O trabalho fundamental deVON NEWMANN foi publicado (traduzido) em "A Model of GeneralEconomic Equlibrium", Rev, Econ. Situd., 1945 a 1946, n.? XIII, págs.1 a 9.

8) G. B. DANTZIG.. "Maximization of a Linear Function of Veriebles Subjectto Linear Lnequelities", T. C. KOOPMANS,eá., op . cit., págs. 339 a 347.

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dos conceitos usados em programação matemática e dis-cutimos apenas um tipo de problema. As poucas noçõesapresentadas são, entretanto, as essenciais; todo o resto, nocampo, é elaboração e extensão delas.

Ê conveniente mencionar duas extensões, que removemduas severas restrições que nos impusemos:

• A primeira é a introdução do fator tempo. Trabalha-mos até aqui com um único período de produção. Mas,em muitas situações períodos sucessivos de produção sãorelacionados entre si. Ê o caso, por exemplo, de uma em-prêsa integrada verticalmente, na qual a operação de al-guns processos num período é limitada pelos níveis deoperação, no período anterior, dos processos que supri-ram as matérias-primas. Métodos eficazes para analisarêsses problemas "dinâmicos" estão sendo investigados, emparticular, por DANTZIG.9 Nossa apresentação, emboratendo sido estática, expôs metodologia aplicável a proble-mas que contenham dimensão temporal.

• A segunda extensão consiste em permitir alteraçõesnos preços dos fatôres e dos produtos acabados. Em nos-sa discussão consideramos todos os preços inalteráveis eindependentes da ação da unidade econômica em pauta.A constância de preços é, sem dúvida, muito convenientepara o analista, mas o método pode transcender essa hi-pótese quando fôr necessário. A teoria matemática geralpara tratar com preços variáveis já foi criada'" e métodospráticos de solução foram inventados para os problemasnos quais as curvas de demanda e oferta são lineares."A hipótese de constância de preços - talvez, a restriçãomais severa que fizemos - foi adotada, pois, mais porconveniência do que por necessidade.

9) "A Note on a Dynamic Leontiel Model with Substitution" (resumo), Eco-nometrica, janeiro de 1953, n.? XXI, pág. 179.

10) H. W. KUHN e A. W. TuCKER, "Non-Lineer Programming", in J.NEWMANN, ed., Proceedings oi fhe Second Berkeley Syrnpoeiurn on Mathe-matical Statistics and Probability (Berkeley, 1951), págs. 481 a 492.

11) Apresentei uma solução para êsse problema num seminário do "Massa-chusetts Institute 01 Technology" realizado em setembro de 1952. Talvezhaja eutras soluções.


A programação matemática foi criada como instrumentopara o planejamento econômico e empresário, e nào paráas finalidades descritivas - e, portanto, de previsão _que deram origem à análise marginal. Entretanto, ela tempodêres de previsão. Desde que as emprêsas operem emcondições postuladas em programação matemática, nãdserá razoável admitir que elas ajam como se operassemnas condições postuladas pela análise marginal. Conside-remos, por exemplo, a emprêsa automobilística represen-tada no GRÁFICO 1. Como reagiria se os preços dos auto-móveis caíssem, digamos, US$ 50 por unidade? Nessecaso o retôrno por carro seria de US$ 250, igual ao deum caminhão. Gràficamente, o resultado corresponderia agirar as linhas de igual retôrno até que sua inclinação fôssede 45 graus. Após essa rotação, o ponto C continuaria aser ótimo e essa mudança de preços não causaria altera-ção na produção ótima. A programação matemática ori-gina, assim, uma curva torcida de oferta.

Por outro lado, suponhamos que o preço dos carros subaUS$ 50. Gràficamente, essa mudança de preço diminui ainclinação das linhas de, igual retôrno até que se tornemexatamente paralelas à linha da estamparia. A emprêsaestaria, então, numa posição como a mostrada pela linhayy' no GRÁFICO 5. Os planos de produção que correspon-dem aos pontos do segmento CD no GRÁFICO 1 dariam to-dos o mesmo retôrno e seriam todos ótimos. Se os pre,ços dos automóveis subissem mais de US$ 50, ou se umaumento de preço nos carros fôsse acompanhado de qual-quer baixa no preço dos caminhões, o ponto de produçãopreferencial saltaria do ponto C ao ponto D.

Assim, a programação matemática indica que as ernprê-sas com alternativas de escolha limitadas a processos dis-tintos reagirão de modo descontínuo a variações de pre-ços: não serão sensíveis a mudanças de preços em certodomínio de variação e' mudarão bruscamente seus níveisde produção quando êsse domínio fôr ultrapassado. Essadedução teórica certamente deve ter contra partes reais.

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A relação entre a programação matemática e a economiade abundância (welfare economics) é particularmente es-treita. A economia de abundância estuda a organizaçãoideal do esfôrço econômico, o mesmo ocorrendo com aprogramação matemática. Essa relação foi estudada porKOOPMANS e SAMUELSON.12 A conclusão geral é que aposição de equilíbrio de uma economia perfeitamentecompetitiva é igual à solução ótima do problema corres-pondente de programação matemática.

A programação matemática é muito afim, matemàtica-mente, aos métodos de análise do tipo consumo-produçãoou análise inter-industrial, aperfeiçoados principalmentepor W. W. LEONTIEF.13 Ambos os métodos foram, porém,desenvolvidos independentemente, e é importante distin-gui-los conceitualmente.A análise do tipo consumo-produção encontra aplicaçãoquase exclusiva no estudo do equilíbrio macro-econômico.Concebe a economia como sendo dividida em setores in-dustriais, cada um dos quais é análogo a um "processo"(no sentido que damos a êsse têrrno em programação ma-temática). A análise segue então dois caminhos possíveis.Nos "modelos abertos" a análise começa com uma deman-da final para os produtos de cada setor bem especificadoe calcula o nível no qual cada setor-processo deva operarpara satisfazer essas demandas. Nos "medeIas fechados"a demanda final não aparece, mas a atenção é focalizadasôbre o fato de que os fatôres de produção exigidos paracada setor-processo devem ser supridos como produtosfinais por outros setores-processos. O analista calcula, en-tão, um conjunto de níveis de produção compatíveis paraos diversos setores. Em contraste com a programação ma-temática, as condições impostas na análise do tipo con-

12) T. C. KOOPMANS, "Anelysis of Production as an Eiiicieni Combitl13tionof Activities", in T. C. KOOPMANS, ed., op . cit., págs. 33 a 97; P. A.SAMUELSON, "Market Mechanisms and Maximization" (artigo preparado

para a Rand Corp; 1949).13) W. W. LEONTIEF, "The Structure of American Economy 1919-1939", 2.

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edição, Nova Iorque, 1951.


sumo-produção são suficientes para determinar os níveisdos processos e não há campo para encontrar uma solu-ção preferencial ou um conjunto de "melhores" níveis. Naverdade, a análise do tipo consumo-produção pode ser en-carada como um caso especial de programação matemá-tica na qual o número de produtos é igual ao número deprocessos. Por outro lado, as limitações no suprimento dosrecursos, que desempenham papel de tamanha importân-cia em programação matemática, não aparecem explicita-mente na análise do tipo consumo-produção. Em suma,parece preferível considerar essas duas técnicas como mé-todos semelhantes mas distintos de análise, destinados aresolver problemas diferentes.

A programação matemática, em conclusão, é importantena teoria econômica e no planejamento econômico dasemprêsas. Somente pudemos, nestas páginas, mencionarde passagem essa relevância. De fato, excluindo-se as de-duções obtidas no tocante à economia de abundância, pou-cos estudos foram dedicados às conseqüências da progra-mação matemática na economia em geral; isso porque osautores concentraram seus esforços na solução de inúme-ros problemas práticos suscitados nessa área. O panora-ma que se descortina é de pesquisas frutíferas, tanto nasimplicações, quanto nas aplicações da programação ma-temática.

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