Prof. Luciano Nóbrega

FUNÇÃO INJETORAÉ quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B.

0

-3

2

4

1

6

8

Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!!

A B

FUNÇÃO SOBREJETORAÉ quando o conjunto Imagem da função for igual

ao conjunto contradomínio. ( Im = CD )

-1

1

3

1

9

Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens,então não se pode ter homem

solteiro !!!M H

FUNÇÃO BIJETORAÉ uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.

-1

3

7

Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !!

1

5

9

M H

Injetora: “x” diferente

tem “y” diferente

Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

Testando seus

conhecimentos1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora,

injetora ou ainda nenhuma delas:

é injetora é sobrejetora

a) b)

123

4567

123

4

6

é bijetoranão é sobrejetora, nem injetora

c) d)123

456

123

345

1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:

2º) Dada a função sobrejetora f : [2;8] B , tal quef(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem.

D(f) = [2;8]Im(f) = [-9;7]

y

x

7

-5

2 4

7 8

-9

x y

D Rf(x)

f -1(x)

04 de 32

FUNÇÃO INVERSA:A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:1º) Isola “x”;2º) Troca “x” por “y” e vice versa.

O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”.

FUNÇÃO INVERSA:

O símbolo “–1” em f -1 não é um expoente; f -1(x) não significa 1 / f(x).

TESTE DA RETA HORIZONTALUma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa ?

reta horizontal

x

y ou f(x)y=x2 ou f(x)=x2

2-2

4

0

09 de 32

FUNÇÃO INVERSA:

Conclusão: a função f(x)=x2 não tem inversa.

FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)

exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4

FUNÇÃO ÍMPAR:

f(a) = - f(-a)exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y.

Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.

y

x

f(x) = x²

y

x

f(x) = x³

3º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar: Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7

Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:

Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3

Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

4º) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será :

Resp.:E

f(x) = f(-x)

Lembre-se:Se

Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”.

A função f é crescente

A função f é crescente A função g é

decrescenteA função g é decrescente

a b

g

g(a)

g(b)

a b

ff(a)

f(b)

O a b

ff(a)

f(b)

O a b

gg(a)

g(b)

Diz-se que f é crescentef se para a < b, então f(a) < f(b).

FUNÇÃO CRESCENTE:

Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

5º) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é:

y

x-2 0 2 4 6

a) Decrescente ]0, 4[

b) Crescente ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[