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Matrizes

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Organizando e analisando dados

O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a seguir mostra os totais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007.

Ana Carlos Pedro

2006 80 75 72,5

2007 76 82,5 78

Quadros como esses ajudam a organizar dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.

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Matrizes – Conceitos iniciais

Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester, quem usou pela primeira vez esta forma de trabalhar com um conjunto de informações, dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela.

A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz. Cada número que o constitui é um elemento da matriz.

O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é, possui 2 linhas e 3 colunas.

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Representando matrizes

Para nomear matrizes, usamos letras latinas maiúsculas. Seus elementos ficam dentro de parênteses ou colchetes.

Exemplo

80 75 72,5

76 82,5 78

80 75 72,5

76 85,2 78ou A =A =

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Representando matrizes

Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3.

80 75 72,5

76 82,5 78A =

→ 1ª linha

→ 2ª linha

1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna

Nossa matriz é indicada por A2x3.

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Representando elementos de uma matriz

De maneira geral, indicamos um elemento de uma matriz por uma letra minúscula, acompanhada de dois índices, que definem sua posição na matriz.

Um elemento genérico da matriz A é indicado assim:

aij

i indica a linha do elemento

j indica a coluna do elemento

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Representando elementos de uma matriz

Na matriz A exemplificada, temos

80 75 72,5

76 82,5 78A =

a11 = 80 a12 = 75 a13 = 72,5

a21 = 76 a22 = 82,5 a23 = 78

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Definição de Matriz

Se m e n são dois números naturais positivos, chama-se matriz do tipo m x n todo quadro formado por m.n números reais, dispostos de forma ordenada em m linhas e n colunas.

Uma matriz genérica Am x n pode ser representada

assim:

amn...am3am2am1

...

a23

a13

...

...

...

.........

a2na22a21

a1na12a11

A =

De forma simplificada, temos A = [aij]m x n

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Exemplo

Na matriz A representada a seguir, cada

elemento aij indica a média, em Matemática, da

turma i no bimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter a média da turma 2 no 3.º bimestre e a média da turma 3 no 4.º bimestre.

6,2 8,3 9 7,4

8 7,3 8,7 6,5

7,2 8,1 6,9 7

A =

A3 x 2. a23 = 8,7 a34 = 7

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Matriz definida por seu termo genérico

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Matriz definida por seu termo genérico

Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu tipo e uma fórmula para o cálculo de cada elemento aij, em função de i e j.

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Exemplos

Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.

a32a31

a22a21

a12a11

A =

aij = 3i – j

a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1

a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4

a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7

2 1

5 4

8 7

A =

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Exemplos

Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que

b22b21

b12b11

B =

b11 = 2.1 + 1 = 3

b12 = 21 = 2

b21 = 2.2 + 1 = 5

b22 = 2.2 + 2 = 6

3 2

5 6B =

bij =2i + j, se i ≥ j

ji , se i < j

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Igualdade de matrizes

Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se eles são do mesmo tipo e cada elemento de uma delas é igual ao elemento de mesma posição da outra.

Se alguma das condições anteriores falhar, dizemos que A e B são matrizes diferentes.

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Exemplos

Verificar se as matrizes A e B abaixo são iguais.

2 1

5 4

8 7

A =

2 1

8 4

5 7

B =

As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm os mesmos elementos. Elas são diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.

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Exemplos

Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade.

2x –1

y + 1 3

4 x + z

5 t – y=

2x = 4

y + 1 = 5

x + z = –1

t – y = 3

⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2

⇒ y = 4

⇒ 2 + z = –1 ⇒ z = –3

⇒ t – 4 = 3 ⇒ t = 7

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Algumas matrizes especiais

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Matriz Linha e matriz Coluna

Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada de matriz linha. Uma matriz que tem somente uma coluna é denominada de matriz coluna.

Exemplos

–1 2 5 É uma matriz linha 1 x 3.

3

6É uma matriz coluna 2 x 1.

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Matriz Transposta

Veja como podemos apresentar os dados referente à tabela da introdução de matrizes.

Ana Carlos Pedro

2006 80 75 72,5

2007 76 82,5 78

2006 2007

Ana 80 76

Carlos 75 82,5

Pedro 72,5 78

80 75 72,5

76 82,5 78A =

7872,5

82,575

7680B =⇒

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Matriz Transposta

Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se transposta de A (simbolicamente At), a matriz do tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição linhas com colunas, de forma que

A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m

2 –1 1

3 0 –5A =

–51

0–1

32At =⇒

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Matriz Nula

Uma matriz que tem os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula. Existe uma matriz nula de cada tipo. A matriz nula pode ser

indicada por Om x n.

0 0 0

0 0 0É uma matriz nula 2 x 3.O =

0 0

0 0O = É uma matriz nula 2 x 2.

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Exemplo

Encontre os valores de x e y, para que a matriz M abaixo seja nula.

x2 – 1 x2 – x – 2

x2 – y2 x + yM =

x2 – 1 = 0

x2 – x – 2 = 0

x2 – y2 = 0

x + y = 0

⇒ x = ±1

⇒ x = –1 ou x = 2

⇒ x = –1 e y = 1

⇒ x = –y

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Matriz Oposta

Chama-se oposta de uma matriz A a matriz representada por –A, cujos elementos são os opostos dos elementos de mesma posição em A.

0 3

–2 5A oposta da matriz A = , é a matriz

–A = 0 –3

2 –5

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Matrizes quadradas

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Matriz quadrada

Chama-se matriz quadrada toda matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas. O número de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz.

0 3

–2 5

3 0 –3

7 2 –5

1 4 0

é matriz quadrada de ordem 2.

é matriz quadrada de ordem 3.

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a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Matriz quadrada

Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,

chama-se

Diagonal principal o conjunto dos elementos aij em que i = j;

Diagonal secundária o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1;

Diagonal secundária (i + j = 4)

Diagonal principal (i = j)

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Matriz Identidade

Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz

quadrada indicada In tal que.

Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1;

Todos os outros elementos são iguais a 0;

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

é matriz identidade de ordem 2.

é matriz identidade de ordem 3.

I2 =

I3 =

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Matriz Diagonal

Toda matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero é chamada matriz diagonal.

Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal.

3 0

0 –5

½ 0 0

0 0 0

0 0 2

M = N =

Traço de M é –2. Traço de N é 3/2.

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Exemplo

Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal.

x – 2y x – y + 6

x + 2y x + yA =

x + 2y = 0

x – y + 6 = 0

⇒ x = –4

⇒x + 2y = 0

2x – 2y + 12 = 0x (2)+

3x + 12 = 0

e y = 2

O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10

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Matriz Simétrica

Toda matriz quadrada que é igual a sua transposta é chamada matriz simétrica.

1 –3 5

–3 2 –1

5 –1 6

N =

A é simétrica ⇔ A = At

Exemplo

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Exemplo

Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a matriz.

3 m + n 2

–1 1 5

m – 2n p + 2 0

P =

m + n = –1

m – 2n = 2⇒

m + n = –1

m – 2n = 2

p + 2 = 5

⇒2m + 2n = –2

m – 2n = 2+

3m = 0

⇒ m = 0 e n = –1 ⇒ p = 3

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Matriz Anti-Simétrica

Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua transposta é chamada matriz anti-simétrica.

0 3 –5

–3 0 –1

5 1 0

N =

A é anti-simétrica ⇔ A = –At

Exemplo

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Exemplo

Complete a matriz para que ela seja anti-simétrica.

.... .... 5

–2 .... 3

.... .... ....

Q =

0

0

0

2

–5 –3

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3 1

0 –5

Matriz triangular

Toda matriz quadrada na qual são nulos todos os elementos situados num mesmo lado da diagonal principal.

½ 7 3

0 –2 1

0 0 2

A = B =

Exemplos

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Operações elementares com Matrizes

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Operações com Matrizes

Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes.

Adição;

Subtração;

Multiplicação de uma constante real por uma matriz;

Multiplicação.

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Adição de Matrizes

Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que

podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e

E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Os

quadros abaixo mostram os custos de fabricação do produto e da embalagem, em cada caso.

A B

E1 60 80

E2 100 130

E3 120 160

A B

E1 2 3

E2 3 4

E3 4 6

Custo do produto (R$) Custo da embalagem (R$)

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Adição de Matrizes

O fabricante quer vender o produto com lucro de 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de venda dos produtos A e B.

60 80

100 130

120 160

P =

2 3

3 4

4 6

E =

O preço de venda é obtido efetuando-se a operação: 1,5 . P + E

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Adição de Matrizes

V = 1,5 . P + E

60 80

100 130

120 160

P =

2 3

3 4

4 6

E =

1,5 . P =

1,5.1601,5.120

1,5.100

1,5.60

1,5.130

1,5.80

=

240180

153

90

195

120

1,5 . P + E =

90 120

153 195

180 240

+

2 3

3 4

4 6

=

246184

156

92

199

123

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Adição de Matrizes

Veja como seriam os preços de venda dos dois produtos nas três possíveis embalagens.

A B

E1 92 123

E2 153 199

E3 184 246

Preço de venda (R$)

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Adição de Matrizes

Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma constante real, definem-se as seguintes operações:

Adição de matrizes: A + B é a matriz em que cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição em A e B.

Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a soma de A com a oposta de B.

Multiplicação de um número por uma matriz: kA é a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um dos elementos de A.

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Exemplo

Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.

–2 1

3 2

2 0

3 4N =M =

3.M =3.23.3

3.13.–2=

–6 3

9 6

–2.M =–2.4–2.3

–2.0–2.2=

–4 0

–6 –8

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Exemplo

Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.

–2 1

3 2

2 0

3 4N =M =

3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 =

–6 3

9 6

–4 0

–6 –8

1 0

0 1 –13

3–9= + + =

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Equações matriciais

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Exemplo

Resolver a equação 3X – A = 2B, onde

–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B.

x y

z tX =

3.X – A = 2B ⇒x y

z t

–5 0

–1 4

1 –3

2 13. – = 2.

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Exemplo

3.X – A = 2B ⇒3x 3y

3z 3t

5 0

1 –4

2 –6

4 2+ =

⇒3t – 43z + 1

3y3x + 5 2 –6

4 2=

3x + 5 = 2

3y = –6

3z + 1 = 4

3t – 4 = 2

⇒

x = –1

y = –2

z = 1

t = 2

⇒–1 –2

1 2X =

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Exemplo

Resolver a equação 3X – A = 2B, onde

–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja.

3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B

⇒ X =1

3

A + 2B =–5 0

–1 4

2 –6

4 2+ =

63

–6–3

(A + 2B)

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Exemplo

Resolver a equação 3X – A = 2B, onde

–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja.

3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B

⇒ X = (A + 2B)1

3

X = =–3 –6

3 6

1

3 21

–2–1

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Propriedades da adição de matrizes

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Propriedades da adição de matrizes

Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas. Valem, para a adição, as seguintes propriedades:

Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Comutativa: A + B = B + A

Existência do elemento neutro, a matriz O, tal que A + O = O + A = A

Existência do elemento oposto de A, a matriz –A tal que A + (–A) = O.

(A + B)t = At + Bt

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Multiplicação de matrizes

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Multiplicação de Matrizes

O colégio Tales e o colégio Platão distribuem em cada bimestre letivo, um total de 10 pontos por matéria. No entanto, os pesos em cada bimestre diferem nos dois colégios. Veja o quadro a seguir

1º B 2º B 3º B 4º B

Tales 1 2 3 4

Platão 2 2 3 3

Peso por bimestre em cada colégio

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Multiplicação de Matrizes

Dois alunos das duas escolas, que eram amigos, resolveram comparar a soma dos pontos obtidos em Matemática no seu colégio com a que teriam obtido, caso estudasse no outro colégio.

André Pedro

1º B 6 9

2º B 5 8

3º B 7 6

4º B 8 5

Nota de cada aluno por bimestre

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Multiplicação de Matrizes

Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Tales.

André Pedro

1º B 6 9

2º B 5 8

3º B 7 6

4º B 8 5

1º B 2º B 3º B 4º B

Tales 1 2 3 4

Platão

2 2 3 3

André:

1.6 + 2.5 + 3.7 + 4.8 = 6 + 10 + 21 + 32 = 69

Pedro:

1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 = 9 + 16 + 18 + 20 = 63

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Multiplicação de Matrizes

Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Platão.

André Pedro

1º B 6 9

2º B 5 8

3º B 7 6

4º B 8 5

1º B 2º B 3º B 4º B

Tales 1 2 3 4

Platão

2 2 3 3

André:

2.6 + 2.5 + 3.7 + 3.8 = 12 + 10 + 21 + 24

= 67

Pedro:

2.9 + 2.8 + 3.6 + 3.5 = 18 + 16 + 18 + 15

= 67

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Multiplicação de Matrizes

O quadro a seguir sintetiza os resultados.

André Pedro

Tales 69 63

Platão 67 67

Pontos de cada aluno por colégio

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1 2 3 4

2 2 3 3

6 9

5 8

7 6

8 5

Multiplicação de Matrizes

Vemos escrever, agora, as matrizes A, B e C, associadas aos três quadros anteriores.

Matriz dos pesos: A =

Matriz das notas: B =

Matriz dos pontos: C = 69 63

67 67

c12 = 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 c12 = 9 + 16 + 18 + 20c12 = 63

C = A.B

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Multiplicação de Matrizes - Definição

Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B

Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz);

Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).

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A é matriz m x n

Multiplicação de Matrizes - Definição

Observe o esquema.

B é matriz n x p

iguais ⇒ existe AB

AB é do tipo ⇒ m x p

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Exemplos

Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

A é matriz 2 x 3

B é matriz 3 x 2

iguais ⇒ existe AB

AB é do tipo ⇒ 2 x 2

x11 x12

x21 x22

AB =

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Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Cálculo de x11:

x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) = 3 + 3 + 0 = 6

Cálculo de x12:

x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6 = –6 + 5 + 0 = –1

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Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Cálculo de x21:

x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14

Cálculo de x22:

x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

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Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Conclusão:

x11 x12

x21 x22

AB =6 –1

14 12=

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Observação

Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do

exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo 3 x 3.

Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB ≠ BA.

Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam.

Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A2.

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Propriedades da multiplicação de matrizes

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Propriedades da multiplicação de matrizes

Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas. Valem, para a adição, as seguintes propriedades:

Associativa: A(BC) = A(BC)

Distributiva: A(B + C) = AB +AC e

(B + C)A = BA + CA

Seja Am x n, A.In = Im.A

(AB)t = Bt.At

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Equações que envolvem produto de matizes

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Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B.

2 –1

1 1

5

4B =A =

Vamos analisar primeiro de que tipo é a matriz X.

A é matriz 2 x 2

X é matriz m x n

existe AX ⇒ m = 2

AX é do tipo ⇒ 2 x n

x

yAX2 x n = B2 x 1

⇒ n = 1 X =

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2x – y = 5

x + y = 4

Exemplo

Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B.

2 –1

1 1

5

4B =A =

x

y

AX = B

⇒.2 –1

1 1

5

4=

x + y

2x – y

4

5=

⇒x = 3

y = 1⇒

3

1X =

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Inversa de uma matriz quadrada

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Inversa de uma matriz quadrada

Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA.

AB =

1 1

2 3A =

3 –1

–2 1B =

1 1

2 3

3 –1

–2 1. =

–2 + 3

–1 + 1

6 – 6

3 – 2=

1

0

0

1

BA =3 –1

–2 1

1 1

2 3. =

–2 + 3

3 – 3

–2 + 2

3 – 2=

1

0

0

1

Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.

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Inversa de uma matriz quadrada

AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.

Dizemos que:

A é a inversa de B (A = B–1);

B é a inversa de A (B = A–1).

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Inversa de uma matriz quadrada

Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal

que AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada de

inversa de A e é representada por A–1. Portanto

AA–1 = A–1A = In

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Exemplo

Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa.

2 –5

1 –3A =

Caso exista, A–1 ela será de ordem 2.a b

c dA–1 =

AA–1 = I2 ⇒2 –5

1 –3.

a b

c d

1 0

0 1=

⇒b – 3d

2b – 5d

a – 3c

2a – 5c=

1 0

0 1

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Exemplo

Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa.

2 –5

1 –3A =

Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5, c = 1 e d = –2. Logo

⇒2a – 5c = 1

a – 3c = 0e

2b – 5d = 0

b – 3d = 1

a b

c dA–1 =

3 –5

1 –2=