proeja matemática v - pertenceamatematica /...

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande

PROEJA Matemática V

Geometria dos Sólidos

2011/2 Profª Debora Bastos

Proeja V IFRS – Campus Rio Grande

2 Matemática

MMMaaattteeemmmáááttt iiicccaaa VVV

EEEmmmeeennntttaaa

Geometria dos sólidos

Introdução geometria plana; Diedros, triedros, poliedros e poliedros regulares;

Relação de Euler; Prismas; Pirâmides; Cilindro; Cone. Esfera

AAAvvvaaalll iiiaaaçççãããooo

O Proeja possui um sistema diferenciado de avaliação. A cada disciplina semestral o aluno obtém uma nota apenas, sem recuperação, pois a média é cinco. O aluno terá essa nota na escala de zero a dez, se esta for maior ou igual a cinco o aluno estará aprovado.

Neste semestre serão feitas 4 provas, no valor de 2 pontos cada uma. As provas terão formulário, essa será a consulta. Será permitido o uso de calculadora em determinadas situações. Para complementar a pontuação serão feitos dois projetos de construção dos sólidos estudados, cada projeto valerá 2,0 pontos.

Muito importante: NÃO FALTE às AULAS.

CCCrrrooonnnooogggrrraaammmaaa

O cronograma apresentado é uma previsão das aulas do ano letivo de 2011, esta sujeito a modificações ou adaptações segundo o andamento da turma ou acontecimentos imprevistos.

Aula Data Descrição do conteúdo ou atividade.

1 03/08/11 Geometria Plana: parte 1.

2 10/08/11 Geometria Plana: parte 2.

3 17/08/11 Poliedros, Relação de Euler.

4 24/08/11 Poliedros regulares.

5 31/08/11 Prova 1.

6 14/09/11 Prismas. parte 1.

7 21/09/11 Prismas: parte 2.

8 28/09/11 Pirâmides: parte 1.

9 05/10/11 Pirâmides: parte 2. Entrega do 1º projeto.

10 19/10/11 Prova 2.

11 26/10/11 Cilindro: parte 1.

12 03/11/11 (2ª feira horário de 4ª) Cilindro: parte 2.

13 09/11/11 Cone: parte 1.

14 16/11/11 Cone: parte 2. Entrega do 2º projeto.

15 23/11/11 Prova 3.

16 30/11/11 Esfera: parte 1.

17 05/12/11(2ª feira horário de 4ª) Esfera: parte 2.

18 07/12/11 Exercícios

19 14/12/11 Prova 4.


3 Matemática

GGGeeeooommmeeetttrrriiiaaa PPPlllaaannnaaa

FFiigguurraass PPoolliiggoonnaaiiss..

Formada pela união de vários segmentos, formando uma linha fechada.

Perímetro: Soma da medida de todos os lados.

Exemplo: O pentagrama acima possui todos os lados iguais, o perímetro mede 45 cm. Quanto mede cada lado?

Apótema: Apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no centro e a

outra no ponto médio de um lado. O centro de um polígono regular varia conforme o número de lados.

a) Triângulo. É um terço da altura do triângulo equilátero. Assim:

a = 6

)lado(3

b) Quadrado: É o mais fácil , pois é metade do lado.

a = 2

lado

c) Pentágono: É a altura do triângulo isósceles que compõe o pentágono.

a = 2

xladoº54tg

d) Hexágono: É a altura do triângulo equilátero que compõe o hexágono.

a = 2

)lado(3

Exemplos: (Faça no caderno)

Calcule a medida do apótema de:

a) Um quadrado de lado 3 cm.

b) Um triângulo equilátero de lado 2 3 cm.

c) Um hexágono de lado 12 m.

Área: Medida de superfície. No Sistema Internacional, usamos os múltiplos e submúltiplos do

metro quadrado, m2, que é a quantidade de superfície contida num quadrado de lado 1 m. Com essa referência lembraremos de algumas fórmulas de áreas.

a) Triângulo qualquer:

A = 2

abasexaltur

b) Triângulo equilátero:

A = 4

2)lado(3

Vértice: Encontro de dois segmentos que

compõe o polígono.

Lado ou Aresta: Cada segmento que

compõe o polígono.


4 Matemática

c) Quadrado:

A = lado x lado = lado2

d) Paralelogramo:

A = base x altura.

e) Retângulo:

A = base x altura

f) Hexágono regular:

A = 2

)lado(33 2

g) Polígono regular:

A = 2

)apótema(x)perímetro(

h) Área do trapézio:

At=

2

hbB

Exemplos: (Faça no caderno)

1. Calcule a área de:

a) Quadrado de lado 1,1 m.

b) Triângulo equilátero de lado 75 cm.

c) Pentágono de lado 3 cm.

2. Um trapézio é obtido a partir de um corte num triângulo isósceles a 3 cm de sua base. Sabendo

que o triângulo original possui 7 cm de altura e 5 cm de base calcule a área do trapézio formado.

Exercícios:

1. Determine a fórmula para o perímetro de um polígono regular de n lados.

2. Como calcular o apótema de um polígono regular? Experimente calcular para um octógono e

um dodecágono.

3. Determine a área e o perímetro das figuras abaixo:

(a) (b) (c)

(d) (e)

4. A figura ao lado é chamada de Tangram. Ela é recortada nessas sete

áreas e vira uma brincadeira de criança. Sabendo que o quadrado que compõe o Tangram mede 10 cm de lado, calcule a área de cada figura.

b

B

h


5 Matemática

CCCííírrrcccuuulllooo

Circunferência de centro O e raio r:

Medida da circunferência (Perímetro): C = 2r

Área da circunferência: A = r2

Diâmetro: Maior corda da circunferência. Medida: d = 2r.

Setor circular de uma circunferência de raio r e subtendido de um ângulo , em radianos:

Medida do comprimento de arco: S = r

Área do setor: As = 2

r2

Exemplo: (Faça no caderno)

Dada uma circunferência de raio 10 cm, precisamos dividi-la em 10 partes iguais.

(a) Qual o comprimento do arco de circunferência formado por cada uma dessas partes?

(b) Qual o ângulo subtendido pelo arco de circunferência? (radianos)

(c) Qual a área de cada setor formado?

(d) Considerando que cada arco formado na divisão citada em (a) formará uma nova circunferência, qual será o raio da circunferência formada?

Coroa circular: Para o cálculo da área da coroa circular é só proceder como a diferença das áreas do círculo maior com o círculo menor. Como distinguimos o raio da maior por R e o da menor por R, a área da coroa circular é:

Acc = R2 r2 = (R2 r2).

Acc = (R2 r2)

Para coroa circular fica com mais sentido relacionarmos a raio externo, R, e raio interno, r, em vez de raio maior ou menor.

Também podemos ter, será importante para geometria espacial (estudo dos cones) que saibamos calcular a área de um "setor de uma coroa circular", uma figura como:

A área dependerá de , podemos fazer uma proporção em relação

ao todo: 2 radianos.

Regra de três:

2 rad -------------- (R2 r2)

rad -------------- A

r O

S

)

R r


6 Matemática

A =

Exemplo: (Faça no caderno) Qual a área de um setor circular cujo raio externo mede 5 cm e o raio interno mede 4 cm? Se desse setor circular retirarmos um terço, qual a área restante?

Geometria Espacial

Se olharmos a nossa volta, em nossas casas, nas ruas, na natureza vemos formas que são estudas na matemática. No cotidiano precisamos lidar com essas formas, calcular seu volume, áreas, perímetros. Veremos esses conceitos e outros para alguns modelos pré-estabelecidos, chamados poliedros e também alguns corpos redondos. Assim, entenderemos melhor o mundo que está a nossa volta. Poliedros

Um poliedro e um sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos são as faces do poliedro, o encontro de duas faces determinam as arestas e o encontro de arestas determinam um vértice do poliedro.

Pense: Para se ter um poliedro é necessário no mínimo quantas faces?

Face Aresta

Vértice


7 Matemática

Poliedros convexos e não convexos.

Se existir um segmento de reta ligando dois pontos do poliedro e uma parte deste ficar fora do sólido este não é convexo, caso contrário é convexo. Exercício: Aponte quais dos sólidos mostrados não são convexos. Classificação de Poliedro

São três as categorias de poliedro: Prismas, pirâmides e outros (o que não é prisma nem pirâmide).

Poliedros de Platão.

São cinco poliedros convexos de faces iguais e regulares.

Relação de Euler.

Considerando A arestas, V vértices, F faces, existe uma relação entre esses valores, descubra qual é:

Exemplo: Verifique a relação nos poliedros de Platão.

Arestas Vértices Faces

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Outro sólido convexo

A relação entre Arestas, Vértices e Faces é:

Exercícios: 1. Em relação a cada um dos poliedros de Platão determine: número de faces, número de arestas,

e número de vértices. 2. Determine a área de um setor circular de uma circunferência de raio 2,1 m, sendo subentendido

de um ângulo de 4

3rad. Qual o comprimento desse setor circular? Com esse comprimento


8 Matemática

poderíamos formar outra circunferência. Qual seria o seu raio? 3. Algumas impressoras também imprimem a face de um CD. Qual a medida da área a ser pintada? Considere um CD real. 4. (Fasar) As cinco alternativas abaixo representam planificação de um cubo. Levando-se em

conta que em um dado a soma dos pontos marcados nas faces opostas é sete, a única alternativa que representa a planificação do dado é: (a) (b) (c) (d) (e) 5. Determine a apótema dos polígonos regulares indicados abaixo:

a) triângulo de lado 18 m.

b) quadrado de lado 14 3 cm

c) pentágono de lado 4(cos54º) mm

d) hexágono de lado 8 3 m

6. Calcule as áreas dos polígonos indicados abaixo:

a) triângulo isósceles, cuja base mede 18 cm e os outros lados 9 2 cm.

b) triângulo equilátero de lado 6 3 m.

c) quadrado, cuja apótema mede 5 cm.

d) quadrado, cuja diagonal mede 3 2 mm.

e) paralelogramo de base 21 mm e altura 14 mm. f) retângulo, cuja base mede 9 cm e perímetro 32 cm. g) pentágono do exercício 1. c)

h) hexágono de lado 4 15 cm

i) octodecágono de lado 100 mm, aproximadamente.

j) trapézio, cuja base maior mede 5 3 cm, base menor 2 3 cm e altura 3 cm.

7. Considere uma circunferência de diâmetro 18 cm. Determine:

a) o comprimento da circunferência. b) a área da circunferência.

c) o comprimento de um arco subentendido por um ângulo central de 27

8rad.

d) a área do setor circular definido por um ângulo central de 27

8rad.

e) a área de um círculo obtido do comprimento de arco do item c deste exercício. 8. Determine a área de uma coroa circular de raio interno 0,725 cm e raio externo de 6 cm.

9. Para uma pirâmide de base pentagonal, determine o número de vértices, arestas e faces. Este poliedro deve satisfazer a Relação de Euler? Justifique.

4 2 5 3

6

1

3 4 5

6

1 2

3 4 5

6

1

2

3 4

5

6

1 2

3

4 5

6

1 2


9 Matemática

10. Faça a mesma análise do exercício 5 para os poliedros cujas planificações são:

(a) (b) (c) Prismas

São poliedros que possuem duas faces paralelas iguais, chamadas de bases, e as demais são paralelogramos, chamada de lateral do prisma.

Importante: (1) A distância entre as bases define a altura do prisma; (2) Um prisma é chamado de regular quando as bases são polígonos regulares.

ÁÁrreeaa ddaa ssuuppeerrffíícciiee ddee uumm pprriissmmaa.. Superfície lateral: São retângulos se o prisma é reto e são paralelogramos se o prisma é obliquo. O número de faces laterais depende do número de arestas da base. Seja: n -- número de arestas da base l -- medida da aresta da base

h -- altura do prisma. Pe – perímetro da base

Área lateral do prisma: Al = n l h ou Al = Pe h

Superfície total: Inclui à área lateral as áreas das bases do prisma. Pe – perímetro da base a – apótema da base Ab – área de cada base

Área total: At= Al + 2Ab

Considerando que a base do prisma é um polígono regular qualquer teremos:

At = )ah(PeaPePeh2

aPe2hPe


10 Matemática

Área total: At = Pe(h+a)

Exemplo: (Faça no caderno) Calcule a área total do prisma hexagonal regular reto, cuja aresta da base mede 4 cm e a aresta da face lateral mede 8 cm.

VVoolluummee ddee uumm pprriissmmaa

O volume de um prisma é invariável no que diz respeito a fórmula:

Vp = Ab h

Importante: A unidade de medida de volume pode ser em litro, seus múltiplos e submúltiplos.

1 litro = 1 dm3 = 10-3m3 1 m3 = 1000 litros

Exemplo: (Faça no caderno) Se a caixa de suco "CBS" fosse totalmente ocupada, quanto deveria ser a capacidade anunciada no rótulo? Exercícios 1. Determine a quantidade mínima de papel (sem levar em consideração as abas para colagem)

necessário para a embalagem dos "bombons de frutas garoto". E para o "Stick Wafer Look"? 2. Qual o volume máximo de chocolate que cabe na caixa de "Toblerone"?

3. Um prisma quadrangular regular oblíquo tem aresta da base igual a 3 cm e aresta lateral igual a 12 cm, fazendo um ângulo de 45º com o plano que contém a base, como mostra a figura. Calcule a área total e o volume deste prisma. 4. Um prisma pentagonal regular reto tem aresta da base igual a 8 cm e aresta lateral igual 21 cm. Calcule a área total e o volume deste prisma. 5. Calcule a área total de um prisma que apresenta 6 faces formadas por quadrados de lado 10 cm. Que prisma é esse? 6. Uma formiga (ignore seu tamanho) encontra-se no vértice B da

caixa em formato de um paralelepípedo reto, como ilustrado. As medidas são AD = 8 cm, AB = 9 cm e AE = 4 cm. Qual a menor distância que ela precisa percorrer para chegar ao vértice H por fora da caixa? E se pudesse chegar ao vértice H diretamente?

45º


11 Matemática

7. Um sitiante deseja construir uma piscina, no formato de um prisma retangular, com as

seguintes medidas: 8 m de comprimento, 4,5 m de largura e 1m de profundidade. Quantos caminhões de 6 mil litros de água ele precisará comprar para encher a nova piscina? (Considere "cheia" água até a borda) 8. Aumentando em 2 cm a aresta de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total aumentou em 216 cm2 em relação à do cubo C1. Determine: a) a medida da aresta do cubo C1; b) o volume do cubo C2. 9. O volume de um paralelepípedo retângulo é 128 m3. Calcule suas dimensões sabendo que sua base é quadrada e sua altura é o dobro da aresta da base. 10. Em casa, procure uma embalagem, vasilha ou objeto da forma de um prisma. Tende fugir dos paralelepípedos (mais comuns). Faça um esboço dessa forma no papel. Calcule a área total e o volume dessa embalagem. Pirâmide

O nome já diz tudo. As pirâmides do Egito são mundialmente conhecidas, e os poliedros que estudaremos agora tem o mesmo formato, diferindo apenas da base. Podemos ter pirâmides de base: triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.

Podemos concluir: 1. As faces laterais de uma pirâmide são sempre triângulos; 2. Se a pirâmide for reta, as faces laterais são triângulos isósceles; 3. A base nem sempre é um polígono regular; 4. A altura da pirâmide não coincide com nenhuma das arestas laterais. Observação: A pirâmide tem um elemento que se destaca: a altura das faces laterais, importante para calcular a área. Na pirâmide a altura de cada face lateral é chamada de APÓTEMA DA PIRÂMIDE. Cuidado, podemos confundir com apótema da base, outro elemento importante para a pirâmide. Área total da pirâmide regular.

Área total = Área lateral + área da base. Em vez de decorar fórmulas podemos relacionar com as áreas que sabemos. Por exemplo, se desejamos calcular a área lateral de uma pirâmide triangular regular reta, sabemos que temos que


12 Matemática

calcular a área de três triângulos isósceles iguais, então devemos saber a base desses triângulos (aresta da base da pirâmide) e a altura desses triângulos (apótema da pirâmide). Para calcular a área total desse triângulo falta-nos acrescentar a área da base, neste caso um triângulo equilátero, assim precisamos saber o lado desse triângulo (aresta da base). O importante é ter jogo de cintura para relacionar as informações do problema com o que nos é pedido. Exemplo: (Faça no caderno) 1. Calcule a área total de uma pirâmide triangular regular reta, tal que

a aresta da base é 2,5 cm e apótema da pirâmide 6 cm. 2. Calcular a área lateral de uma pirâmide regular quadrangular reta de altura 4 cm e área da base 64 cm2. Volume O volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesma base e altura. Isso porque um prisma pode ser dividido em três pirâmides iguais.

Volume = 3

pirâmide) da urabase).(alt da (área

Exemplo: (Faça no caderno) 3. Calcule o volume da pirâmide do exemplo 1.

Exercícios

1. Determine o volume de uma pirâmide, cujo lado da base é 2 m e o lado da face é 23 m.

2. Uma pirâmide quadrangular regular com 12 cm de altura e 10 cm de aresta da base tem qual

área total, em cm2? (a) 360 (b) 280 (c) 260 (d) 180 (e) 160 3. Em um cubo de aresta a, inscreve-se uma pirâmide. O vértice V da pirâmide é o ponto de

intersecção das diagonais da face superior do cubo. (a) Calcule a razão entre o volume do cubo e o da pirâmide. (b) Calcule a área lateral da pirâmide. (c) O volume da pirâmide. 4. Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta 9 cm. 5. O lado da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 6 cm. Se a altura da pirâmide é

igual a 1/9 da área da base, sua área total, é, em m2, igual a: (a) 24 (b) 48 (c) 64 (d) 72 (e) 96 6. Uma pirâmide regular hexagonal tem 10 cm de altura e a aresta da sua base mede 4 cm.

Calcule: (a) a apótema da pirâmide; (b) a aresta lateral; (c) a área da base; (d) a área lateral; (e) a área total. 7. A área da base de uma pirâmide é 36 cm2. Uma secção transversal feita a 3 cm da base tem 9

cm2 de área. Calcular a altura da pirâmide. 8. Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados 5 cm e 12 cm. A

altura do tronco é 8 cm. Qual o volume do tronco? 9. Uma pirâmide pentagonal regular reta tem a aresta da base igual a 14 cm. A aresta lateral

mede 6 3 cm. Qual a altura aproximada da pirâmide?

10. Uma pirâmide hexagonal regular reta tem aresta lateral igual a 12 cm e altura igual a 9 cm.

Calcule a medida da aresta da base. 11. Uma pirâmide reta quadrangular regular tem aresta da base igual a 6 cm e altura igual a 8 cm.

Calcule a apótema da pirâmide.


13 Matemática

12. Uma pirâmide triangular regular reta tem aresta da base igual a 2 3 cm e apótema medindo 7

cm. Calcule o volume da pirâmide. 13. Determine a superfície lateral e volume de um tetraedro de Platão, cuja aresta mede 9 cm.

CCoorrppooss RReeddoonnddooss

São considerados corpos redondos todos os sólidos que possuem uma parte capaz de rolar em uma superfície plana. (a) Exemplos no nosso cotidiano não faltam: Cite o maior número de objetos com essa característica que puderes: ______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Os corpos redondos que iremos estudar são: Cilindro, cone e esfera. (b) Dos objetos citados anteriormente separe nessas três categorias: Cilindro Cone Esfera ________________ __________________ ___________________

________________ __________________ ___________________

________________ __________________ ___________________

________________ __________________ ___________________

Cilindro Sólido com as seguintes características:

Apresenta dois círculos com raios de medidas iguais que se situam em planos paralelos; A superfície lateral é formada por uma união de infinitos segmentos que ligam as bases

sendo cada um desses segmentos paralelo ao segmento que liga os centros das bases. Os cilindros podem ser retos: Quando o segmento que liga os centros dos círculos é perpendicular aos planos que contém as bases (os círculos). Nesse caso a superfície lateral planificada é um retângulo, cuja altura coincide com a medida do segmento citado e altura do cilindro.


14 Matemática

Os cilindros podem ser oblíquos: Quando o segmento que liga os centros dos círculos é perpendicular aos planos que contém as bases. Nesse caso a superfície lateral planificada não é uma figura básica. Elementos específicos:

Geratriz: Considerando O e O' os centros das bases do cilindro , geratriz é um segmento da superfície lateral paralelo a e com mesma medida de OO' . Secção meridiana: quadrilátero resultante do corte do cilindro que contenha o segmento OO'. Se o cilindro for reto a secção meridiana é um retângulo, se for oblíquo é um paralelogramo. Área da superfície. Cone reto: Duas bases (círculos) e um retângulo

Área Total: At = 2r2 + 2rh = At = 2r (r + h)

Exercício: (Faça no caderno) Calcule a área total de um cilindro reto cujo raio das bases é 3 dm e altura 7 dm. Volume Cone qualquer: V = Área da base x altura

V = r2h

Exercício: (Faça no caderno) Calcule o volume de um cilindro oblíquo, cujo raio das bases é igual a 5 cm e geratriz igual a 13 cm, formando um ângulo de 75º com o plano da base. Exercícios 1. Considerando que latas de óleo são feitas a partir de chapas de uma liga metálica, de espessura fixa. Qual a área necessária a uma lata de óleo no formato de um cilindro com 8 cm de diâmetro e 19 cm de altura.

2. Sabe-se que a área lateral de um cilindro é 20 cm2. Se o raio da base é 5 cm, calcule a medida h da altura e a área total do cilindro. 3. Qual a capacidade de uma lata de molho de tomate que tem forma cilíndrica, com 7,5 cm de

diâmetro e 11 cm de altura?


15 Matemática

4. Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com

cartões de papel retangulares de 20cm x 10 cm. Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Qual a razão entre os volumes das velas? 5. Uma peça de madeira tem as dimensões e a forma da figura abaixo. Qual é o volume de

madeira empregado para fabricar esta peça? 6. Uma seringa tem a forma cilíndrica com 2 cm de diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o

êmbolo se afasta 5 cm da extremidade da seringa próxima à agulha, qual é o volume, em milímetros cúbicos, de remédio líquido que a seringa pode conter? 7. Tome como base a vela verde de sete dias do acervo. Qual a quantidade mínima de plástico

necessária para embalar a vela? Desprezando o pavio, qual o volume de parafina gasto na confecção desta vela? 8. Duas caixas de cartona têm forma cilíndrica. A caixa mais alta tem o dobro da altura da outra,

mas seu diâmetro é a metade do diâmetro da mais baixa. Em qual das duas caixas se utilizou menos material? 9. A figura a seguir representa um reservatório de água formado por três partes sobrepostas,

toadas com a forma de cilindro circular reto, com alturas iguais a x centímetros, com os raios das bases iguais a 100 cm, 90 cm e 80 cm, e com eixos centrais coincidentes. Sabendo que o reservatório completamente cheio tem capacidade de 1.000 litros, qual o valor inteiro mais próximo para x? Cone

Todos sabemos relacionar um sólido com o formato de cone. Uma definição mais rigorosa e a junção de todos os segmentos que ligam um círculo a um ponto fora dele, chamado Vértice do cone. Cone oblíquo Cone Reto

Vértice

20 cm 10 cm

6 cm

Base

Vértice

Base


16 Matemática

Elementos especiais dos cones:

Geratriz: (g) são os segmentos com uma extremidade no vértice e outra na circunferência da base. Eixo: (VO) é o segmento que liga o centro da circunferência que é a base do cone com o vértice. Quando o cone é reto o eixo faz 90º com o plano da base. Secção Meridiana: Cone também possui. é o polígono formado pelo corte do cone que contém seu eixo. Assim a secção meridiana de um cone é um triângulo. Responda: Se um cone for reto, qual tipo de triângulo é sua secção meridiana? ______________

______________________________________________________________________________ Planificação e superfície.

Assim como o caso do cone, só tratamos da planificação de um cone reto. Neste caso a planificação é simples:

A superfície lateral do cone é um __________________ Sabemos a fórmula: ________________________ Área lateral do cone: Al =___________________

A área total é só incluirmos a área da base. Exemplo: (Faça no caderno) Um chapéu de festa, feito de cartolina, tem o formato de um cone reto. Esse cone teria geratriz igual a 20 cm e raio da base igual a 10 cm. Qual o mínimo de cartolina necessária para confeccionar o chapéu de festa? Volume do cone Da mesma forma que um prisma pode ser dividido em três pirâmides com mesma base, fazendo com que o volume do prisma seja três vezes o volume da pirâmide, o volume do cilindro é três vezes o volume de um cone.

Volume do cone: Vcone = 3

xalturaÁreadabase

3

Vcilindro

Vcone = 3

hr2

Valido para cones oblíquos também. Exemplo: (Faça no caderno) Sorvetes de casquinha que já vêm prontas para o consumo têm o formato de um cone (pois não é agregado as bolas de sorvete na hora da compra). O tamanho interno padrão de uma casquinha na indústria Quisy-Bom tem relação com um cone de 5 cm de raio e 12 cm de altura. Quanto sorvete podemos colocar nesta casquinha? Troncos de cone Tronco de cone é conseguido de um corte do cone, paralelo a base do mesmo.

g

g

r

r

R

a


17 Matemática

r – raio da base menor R – raio da base maior a- geratriz do tronco de cone Exercícios: (Faça no caderno) (a) Esboce a planificação de um tronco de cone. (b) Qual é o formato da secção meridiana de um tronco de cone reto? Copos descartáveis, cestos de lixo costumam apresentar formato em de tronco de cone. Exemplo: (Faça no caderno) Calcule para um tronco de cone reto, cujo diâmetro menor é de 10 dm, diâmetro maior de 16 dm e altura de 4 dm, a superfície total e volume. Exercícios: 1. Em relação a um cone, cuja base tem 9 cm de diâmetro e 6 cm de altura, calcule: (a) área da

base; (b) medida da geratriz; (c) área lateral; (d) área total; e (e) volume. 2. Qual é a área total da superfície de um cone reto, sabendo que sua geratriz mede 10 cm, e o

raio da base mede 3 cm? 3. Um circo está com a lona toda furada. O dono do circo tendo obtido bom lucro com as

apresentações resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura da maior arquibancada é de 3 m, do mastro central até uma das entradas em linha reta sem obstáculo são 24 m. (a) Qual o melhor modelo matemático para o circo? (b) Quanto de lona afinal o dono do circo precisará comprar? 4. Calcule a área total e o volume do sólido obtido ao rotacionar um triângulo retângulo de catetos

10 cm e 24 cm em torno do: (a) Cateto maior (b) Cateto menor. 5. Um cilindro tem volume de 48 cm3 e 12 cm de altura. Calcule a área lateral do cone inscrito

nesse cilindro tal que o vértice do cone coincida com o centro de uma das bases do cilindro. 6. Dois recipientes, um cilíndrico e um cônico, têm a mesma altura e bases com raios iguais. Se a

capacidade do recipiente cilíndrico é de 1,2 litros, então qual a capacidade do recipiente cônico? 7. Uma indústria de copos de vidro pretende fabricar taças com formato interno cônico e capacidade para 210 ml. Dentre as opções a seguir, qual é aquela cuja capacidade mais se aproxima da taça que se deseja fabricar? 8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de um triângulo retângulo, cujos catetos medem

16 cm e 12 cm, em torno da hipotenusa. 9. Ao submergir totalmente uma peça maciça com forma de tronco de cone reto num recipiente

cilíndrico de 26 cm de diâmetro, o nível da água aumenta 4 cm. Determine a altura da peça

mergulhada sabendo que os raios das bases medem 13 cm e 3 13 cm.

10. Um reservatório tem o formato de tronco de cone reto, cuja superfície lateral forma um ângulo

de 60º com a horizontal. Sabendo que esse reservatório tem 3 m de altura e 3 m de raio da

base menor, qual a sua capacidade em litros? Esfera Definição formal de esfera: Considerando um ponto C do espaço e um número real e positivo r,

chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r.


18 Matemática

Superfície esférica:

É a "casca" da esfera, o conjunto todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C exatamente igual a r. Secção plana de uma esfera:

É a figura plana obtida através do corte da esfera por um plano qualquer. Se esse plano conter o centro C da esfera esse corte produzirá o círculo máximo da esfera. Podemos fazer relação com o globo terrestre, que podemos idealizar como uma esfera, embora não seja. O círculo máximo seria o

plano que contém o equador. Os meridianos são semi-circunferências com raios iguais ao da terra. Já os paralelos são circunferências, mas o único paralelo que também é um círculo máximo da Terra é o equador. Os planos que cortam a esfera podem conter apenas um ponto. Relacionando com a Terra seriam os pólos. O Meridiano de Greenwich é o que nos dá a referência do fuso horário. Divide o planeta terra em Oriente e Ocidente e também é a referência da longitude, dada em graus.

A diferença de meridianos consecutivos é de 15º. A oeste a longitude é denotada por graus negativos e a leste por graus positivos. A distância entre pontos que estão em meridianos consecutivos é sempre a mesma de 111,12 km. Exercício: (Faça no caderno)Qual a medida da circunferência máxima da Terra e seu raio

aproximadamente? O equador divide a Terra em Hemisfério Norte e Sul. O equador é a "referência zero" de latitude.

A Terra na verdade é um elipsóide, mas se considerarmos uma esfera os erros de calculo serão pequenos. Considerando que a exigência de exatidão são cada vez maiores, por exemplo, localização de um carro roubado por GPS, esses erros tem que ser excluídos. A latitude também medida em graus, pode variar entre 0º e 90º para Norte ou para Sul. Por exemplo, Lisboa está à latitude de 38º 4´N, o Rio de Janeiro à latitude de 22º 55´S e Macau à latitude de 22º 27´N.

O Trópico de Capricórnio é o paralelo situado ao sul do equador

terrestre. Delimita a zona tropical sul, que corresponde a um limite do solstício que é a declinação mais meridional da elíptica do Sol sobre o equador celeste. É uma linha geográfica imaginária que localizada abaixo do Equador e que indica a latitude 23,4378° Sul (23° 26′ 16″ de latitude sul). Cartograficamente, é representado por uma linha pontilhada que divide a zona tropical sul da zona temperada sul. Exercício: (Faça no caderno)Qual a medida da circunferência do Trópico de Capricórnio, aproximadamente?


19 Matemática

Área da superfície esférica

A = 4r2

Exercícios: (Faça no caderno) 1. Qual a área da superfície terrestre aproximadamente? 2. Qual a área delimitada entre dois meridianos consecutivos?

Volume da esfera

V = 3r3

4

Exercício: (Faça no caderno) Uma laranja aproximadamente esférica possui diâmetro máximo de

14 cm. A espessura média da casca é de 0,6 cm. Qual é o máximo de suco que podemos obter dessa laranja? Exercícios

1. Uma secção plana de uma esfera, distante 3 5 cm do centro da esfera, tem 36 cm2 de área.

Calcular o volume da esfera e a área da superfície esférica. 2. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e determinar a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. 3. Uma doceira tem uma panela cilíndrica, com massa de bombons de chocolate a 3 cm da borda. A panela tem 20 cm de diâmetro e 19 cm de altura. Quantos bombons maciços poderá fazer se ela usa formas esféricas de 2 cm de raio? Qual o mínimo de papel deverá comprar para cobrir os bombons? 4. Se considerarmos uma laranja como uma esfera de diâmetro 8 cm, composta por 12 gomos exatamente iguais, qual será a medida da superfície total de cada gomo? Qual o volume de cada gomo? 5. Um copinho de sorvete cônico tem 10 cm de altura e base com 4 cm de diâmetro. Mostre que se forem colocadas nesse copinho uma bola de sorvete que se encaixe perfeitamente na "boca" do cone, o sorvete não transbordará mesmo que derreta. 6. Um artesão tem uma vela com forma esférica e derreterá a cera para fazer velas menores também no formato esférico. Ele quer que as velas menores tenham de diâmetro a medida do raio da vela original. Quantas velas o artesão poderá fazer?

proeja matemática v - pertenceamatematica /...

Documents