Estudo de Vigas Contínuas: MÉTODO DE CROSS

Prof. Juan F. Jannes

Estudo de Vigas Contínuas

SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação.

Método das Forças Método das Deformações

Hipóteses Preliminares Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais.

n Reações = n Apoios GH = (n-2) Redundantes

Sistema Estrutural

Hiperestático

Equações da Estática não suficientes

Deve-se criar uma nova equação

Excesso de reações

nulo

Eliminação do Apoio Central

Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (ΣFv=0 e ΣM=0)

A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: Supõe-se a eliminação do apoio central; Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas pelas equações da estática.

Quanto maior o número de incógnitas, mais complexas se tornam essas

equações → solução do sistema exige o uso de cálculo matricial.

Método de Cross

Introdução Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis.

Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado; Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.

(Método da Distribuição dos Momentos)

Método de Cross

Momentos de Engastamento Perfeito Engaste-Apoio: Bi-Engastado: Em Balanço:

12

2

,lqM BA⋅

−=8

2lqM A⋅

−=2

2lqM A⋅

−=

2

2

lbaPM A⋅⋅

−=( )

22 lblbaPM A

+⋅

⋅⋅−= lPM A ⋅−=

2

2

lbaPM B⋅⋅

−= MEP

Método de Cross

E quando não há engaste? Há rotação nos apoios.

Condição de Continuidade da Viga: O giro é igual, mas com sinal contrário.

Método de Cross Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro. Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti horário.

MEP MEP

Método de Cross Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo. Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença ∆M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais.

Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+)

∆M

Método de Cross

Princípio Importante: “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.”

Coeficiente de Rigidez A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento.

Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste

lIEK ⋅

⋅= 75,0l

IEK ⋅=

1 2 1 2

Método de Cross

Fator de Distribuição O FD dos momentos de uma barras com relação ao nó é dado pela razão entre a rigidez da barra e o somatório de cada parcela dos tramos que convergem para o nó. Cada barra tem sempre dois FD. A soma desses fatores entre barras adjacentes a um nó é igual a 1.

Nota: FD nos apoios extremos:

Fator de Propagação O FP dos momentos de uma extremidade à outra é dado pela razão entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro pelo momento na extremidade que sofre o giro.

∑=

adjKKFD

21

=FP

FD=1

FD=1

FD=0

Método de Cross

Procedimento de Cálculo Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo:

Tramo 1 Tramo 2

Método de Cross

Procedimento de Cálculo Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo:

Tramo 1:

Tramo 2:

FDBC FDBA

FDBA FDBC

Método de Cross

Procedimento de Cálculo Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo.

FDBA FDBC

FDBA FDBC

Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente engastado, de forma que alcance a posição de equilíbrio.

Método de Cross

Procedimento de Cálculo Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, condição de equilíbrio.

FDBA FDBC

FDBA FDBC

FDBA FDBC

Método de Cross

Procedimento de Cálculo De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem levar em conta o momento no apoio.

Método de Cross

Procedimento de Cálculo

O momento no apoio interno alivia

as reações dos apoios extremos e

sobrecarrega as do apoio interno.

Método de Cross

Procedimento de Cálculo Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas.

Método de Cross

Método de Cross

Procedimento de Cálculo Quando a viga contínua apresenta mais de dois tramos, a liberação dos nós é feita para um nó de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados.

O nó, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado. O momento distribuído para cada lado do nó é propagado para os nós vizinhos, que permaneceram engastados.

Método de Cross

Procedimento de Cálculo O momento propagado provoca alteração no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este.

Processo de propagação:

Método de Cross

Exemplo Numérico Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross:

Método de Cross

Exemplo Numérico 1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:

Método de Cross

Exemplo Numérico 2) Cálculo dos fatores de distribuição:

Considera-se: E x I = 1

Método de Cross

Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:

Tramo 1

Método de Cross

Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:

Tramo 2

Método de Cross

Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:

Tramo 3

Método de Cross

Exemplo Numérico 4) Distribuição dos momentos desequilibrados:

OBS Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm.

Método de Cross

Exemplo Numérico 5) Transmissão dos momentos equilibrantes aos nós adjacentes:

OBS As iterações continuam até que, em cada nó, a diferença entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezível (≅ 5% de diferença)

Exemplo Numérico

6) Somatório dos

momentos nos nós equilibrados:

Exemplo Numérico

7) Somatório das

reações considerando

vãos isostáticos independentes:

momentos nos apoios

reações isostáticas

efeitos dos momentos das vigas contínuas

Exemplo Numérico

8) Somatório das

reações considerando o

efeito dos momentos

negativos nos apoios centrais:

Método de Cross

Exemplo Numérico 9) Traçado do DEC:

Método de Cross

Exemplo Numérico 10) Traçado do DMF:

FIM “Os homens erram, os grandes homens confessam que erraram.” Voltaire