Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 1

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 mA B C D E F

8,0 m

2 tf4 tf2 tf/m

4 tf/m2 tf/m

M2- = -2

+ 2

4 tf2 tf

2 tf/mA

B C D E

4 tf/m2 tf/m

+2,667

-2,667

q.l12 =+

q.l12 =-

AB2

2

+4p.l8 =+BC

4tf.m

1

AB-4p.l8 =-

BC

2 3

+12,8q.l20 =+CD2

-8,533q.l30 =-CD2

+4q.l8 =+DE2

Exemplo 1: Traar os diagramas de esforos solicitantes (esforo cortante e momento fletor) por meio do

processo de Cross. considerar EI constante.

1. Momentos de engastamento perfeito (ver tabela)

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 2

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

2. Coeficientes de distribuio

2.1 N 1:

=

+ =

4

4

+4

=

44

44

+4

8

=

+ 0,5=

1,5= 0,667

=

+ =

4

4

+4

=

48

44

+4

8

=0,5

+ 0,5=

0,5

1,5= 0,333

2.2 N 2:

=

+ =

4

4

+4

=

48

48

+4

8

=0,5

0,5 + 0,5=

0,5

= 0,500

=

+ =

4

4

+4

=

48

48

+4

8

=0,5

0,5 + 0,5=

0,5

= 0,500

2.3 N 3:

=

+ =

4

4

+3

=

48

48

+3

4

=0,5

0,5 + 0,75=

0,5

1,25= 0,400

=

+ =

3

4

+3

=

34

48

+3

4

=0,75

0,5 + 0,75=

0,75

1,25= 0,600

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 3

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

2,667

Momentos finais Momentos finais

3. Equilbrio dos ns

3.1) 1 Equilbrio do n C

, = + , = ,

, !, "!! = ,

, !, "!! = ,

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 4

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,2890,578 x 0,5x 0,50,289

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.2) 1 Equilbrio do n B

#, = , $$% + , = !, $%

!, $% !, $$% = !, "%

!, $% !, &&& = !, '

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 5

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.3) 1 Equilbrio do n D

(, = , "&& + , = , %&&

, %&& !, !! = &, '&

, %&& !, $!! = ", !

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 6

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,946

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.4) 2 Equilbrio do n C

, = !, " + , %% = , '

, ' !, "!! = !, '$

, ' !, "!! = !, '$

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 7

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5x 0,50,158

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.5) 2 Equilbrio do n B

#, = !, %&

!, %& !, $$% = !, &"

!, %& !, &&& = !, "

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 8

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5x 0,50,158

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.6) 2 Equilbrio do n D

(, = !, %&

!, %& !, !! = !, '

!, %& !, $!! = !,

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 9

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

- 0,087 - 0,087

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

x 0,50,158

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.7) 3 Equilbrio do n C

,& = !, !%' + !, !'" = !, %

!, % !, "!! = !, !%

!, % !, "!! = !, !%

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 10

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

- 0,087 - 0,0870,008

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.8) 3 Equilbrio do n B

#,& = !, !

!, ! !, $$% = !, !'

!, ! !, &&& = !, !"

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 11

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

- 0,087 - 0,0870,008 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.9) 3 Equilbrio do n D

(,& = !, !

!, ! !, !! = !, !

!, ! !, $!! = !, !$

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 12

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

- 0,087 - 0,0870,008 0,009

- 0,009 - 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

x 0,5 x 0,5- 0,005 - 0,005

Momentos finais Momentos finais

3.10) 4 Equilbrio do n C

, = !, !! + !, !!' = !, !%

!, !% !, "!! = !, !!'

!, !% !, "!! = !, !!'

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 13

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

- 0,087 - 0,0870,008 0,009

- 0,009 - 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

x 0,5 x 0,5- 0,005 - 0,005

0,003 0,002x 0,50,002

Momentos finais Momentos finais

0,001x 0,5

3.11) 4 Equilbrio do n B

#, = !, !!"

!, !!" !, $$% = !, !!&

!, !!" !, &&& = !, !!

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 14

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuio

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747- 0,946 - 0,9460,079 0,095

- 0,087 - 0,0870,008 0,009

- 0,009 - 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

x 0,5 x 0,5- 0,005 - 0,005

0,003 0,002x 0,5 0,002 0,0030,002

-1,742 1,7423,131 - 9,210 9,210 - 7,553 7,553Momentos finais Momentos finais

0,001 0,001x 0,5 x 0,5

3.12) 4 Equilbrio do n D (ltimo equilbrio)

(, = !, !!"

!, !!" !, !! = !, !!

!, !!" !, $!! = !, !!&

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 15

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m

AB C D

E8,0 m

2 tf4 tf3,131 1,742 1,742 9,209 9,209 7,553 7,553 4,0

8 tfRESULTANTE

16 tfRESULTANTE

2,667 m 5,333 m

8 tfRESULTANTE

82

82

42

42

16 x8

5,333 16 x8

2,667

43,131

43,131

81,742

81,742

89,209

89,209

47,553

47,553

82

82

41,742

41,742

89,209

89,209

87,553

87,553

44,0

44,0

4,347 tf 4,719 tf 13,806 tf 10,015 tf 5,112 tf

+ 2

4. Clculo das reaes de apoio

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 16

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B C D E F

8,0 m

2 tf4 tf2 tf/m

4 tf/m2 tf/m

x1 x2 x3 x4 x5 x6

4,347 tf 4,720 tf 13,806 tf 10,015 tf 5,112 tf

3,131

5. Esforo cortante

5.1 Equaes

*+,-+. = 4,347 2-+ 0 -+ 4

*0,-0. = 1,067 0 -0 4

*1,-1. = 2,933 0 -1 4

*3,-3. = 10,873 4-3 +-3

0

4 0 -3 8

*4,-4. = 4,888 2-4 0 -4 4

*5,-5. = 2 0 -5 2

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 17

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

5.2 Posio (x) da seo de cortante nulo

5.2.1 Trecho 1

*+,-+. = 4,347 2-+ 0 -+ 4

0 = 4,347 2-+

2-+ = 4,347

-+ = 2,174 6

5.2.2 Trecho 4

*3,-3. = 10,873 4-3 +-3

0

4 0 -3 8

0 = 10,873 4-3 +-3

0

4

0,25-30 4-3 + 10,873 = 0

-3 = 3,471 6

-3 = 15,529 6 ,89:;, ?>@9 89= B> @C=8.

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 18

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

5.2.3 Trecho 5

*4,-4. = 4,888 2-4 0 -4 4

0 = 4,888 2-4

2-4 = 4,888

-4 = 2,444 6

5.3 Clculo prtico dos cortantes para o traado do diagrama

O Clculo dos cortantes pode ser realizado por meio das equaes encontradas no item 5.1, inserindo o valor de x da

seo desejada na respectiva equao do trecho em estudo.

O Clculo tambm poder ser realizado sem as equaes, de maneira direta, por isso chamado de clculo prtico. Este

clculo mostrado a seguir.

Legenda:

*E > @C:@> > =

*I > B@6 > =

*I,JKL > B@6 > = ;C=8<

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 19

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

5.3.1 Trecho 1

*E = M = 4,347 =B

*I = *E N89O= = 4,347 2 4 = 3,653 =B

5.3.2 Trecho 2

*E = *I,JKL + M = 3,653 + 4,720 = 1,067 =B

*I = *E = 1,067 =B

5.3.3 Trecho 3

*E = *I,JKL 4 = 1,067 4 = 2,933 =B

*I = *E = 2,933 =B

5.3.4 Trecho 4

*E = *I,JKL + M = 2,933 + 13,806 = 10,873 =B

*I = *E N89O= = 10,873 4 8

2= 5,127 =B

5.3.5 Trecho 5

*E = *I,JKL + M = 5,127 + 10,015 = 4,888 =B

*I = *E N89O= = 4,888 2 4 = 3,112 =B

5.3.6 Trecho 6

*E = *I,JKL + M = 3,112 + 5,112 = 2,0 =B

*I = *E = 2,0 =B

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 20

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B CD

E F

4,347

3,653

1,067

2,933 2,933

10,873

Horiz.

Parbolado 2 grau

4q.l8 =CD

5,127

4,888

3,112

2,00

2,174 m 3,471 m

1,067

2,444 m

8,0 m

5.4 Traado do diagrama de esforo cortante (DEC) em tf

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 21

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

6. Momento fletor

6.1 Momentos mximos

6.1.1 Trecho 1

P+,-+. = 3,131 + 4,347-+ 2 -+

0

2 0 -+ 4

PQR,-+ = 2,174. = 3,131 + 4,347 2,174 2 2,1740

2

PQR = 1,593 =B. 6

6.1.2 Trecho 4

P3,-3. = 9,209 + 10,873-3 4 -3

0

2+

-31

12 0 -3 8

PQR,-3 = 3,471. = 9,209 + 10,873 3,471 4 3,4710

2+

3,4711

12

PQR = 7,920 =B. 6

6.1.3 Trecho 5

P4,-4. = 7,553 + 4,888-4 2 -4

0

2 0 -4 4

P4,-4 = 2,444. = 7,553 + 4,888 2,444 2 2,4440

2

P4 = 1,580 =B. 6 ,C89=8 :;9> 86 ?;68C=> 6C@6>.

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 22

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 18/04/2015

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B C D E F

8,0 m

16q.l16 =CD2

3,1311,742

9,2097,553

4,0

7,920

1,593

4q.l8 =AB2

8P.l4 =BC

Parbola

4q.l8 =DE2

do 2 grau

Parbolado 3 grau

1,580

2,174 m

3,471 m

2,444 m

M =mx

M =mx2,525

Parbolado 2 grau

6.2 Traado do diagrama de momento fletor (DMF) em tf.m