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PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
PROCEDIMENTO ALTERNATIVO PARA
SIMULAR ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM
MEIOS POROSOS INSATURADOS
JOÃO CARLOS CASTRO DIAS
JUNHO DE 2015
JOÃO CARLOS CASTRO DIAS
PROCEDIMENTO ALTERNATIVO PARA SIMULAR ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM MEIOS POROSOS INSATURADOS
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de
Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFF
como parte dos requisitos para a obtenção do
tí tulo de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica
Orientador: Maria Laura Mart ins-Costa (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, 18 DE JUNHO DE 2015
PROCEDIMENTO ALTERNATIVO PARA SIMULAR ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM MEIOS POROSOS INSATURADOS
Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Termociências
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Maria Laura Martins-Costa (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense
Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D. Sc.) Universidade do Estado do Rio de Janeiro
À minha família
Agradecimentos
À Deus, por ter aberto todos os caminhos que levaram a este momento especial da
minha vida.
À minha mãe Iraci de Matos Castro, a pessoa mais importante da minha vida, por
ser um porto seguro, que soube enfrentar com tenacidade todas as adversidades, e que com
sua energia e coragem é a principal responsável por este momento.
Ao meu pai Deraldo Silveira Dias, por ter sido um exemplo de vida e dignidade, que
sempre me ensinou o caminho da vitória.
À minha esposa Cristiane Rocha Magalhães, que sempre esteve comigo em todos os
momentos, e que muito contribuiu nesses últimos anos da academia com sua experiência e
orientação na vida pessoal e acadêmica e a minha filha Alice Maria pela compreensão nos
meus momentos de ausência.
Ao meu tio-padrinho Hélio Silveira Dias, que sempre esteve ao meu lado nos
momentos em que precisei, e que sempre foi um exemplo para nossa família.
À minha avó Maria José (in memorian), que com sua simplicidade e bondade
sempre foi um exemplo de vida.
Ao Comandante Carlos Roberto Frambach e ao Arsenal de Marinha do Rio de
Janeiro que possibilitaram a realização deste trabalho.
Ao Professor Felipe Rachid pelos ensinamentos transmitidos e pelos conselhos
durante o curso.
Aos meus amigos e colegas de trabalho e de academia Emilson Luis, Leonardo
Monfardini, Thiago Durães e Amilton pelas longas horas de convívio, pela amizade e
solidariedade.
À professora orientadora Maria Laura Martins-Costa, pela paciência, atenção e
perseverança despendida durante a orientação, sem as quais este trabalho não seria possível.
SUMÁRIO
Lista de Figuras .....................................................................................................................i
Lista de Tabelas......................................................................................................................i
Lista de Símbolos..................................................................................................................ii
Resumo..................................................................................................................................iv
Abstract.................................................................................................................................v
Capítulo 1. Introdução
1.1. Considerações Gerais ......................................................................................................1
1.2. Revisão Bibliográfica ......................................................................................................3
1.3. Descrição do Trabalho ....................................................................................................5
Capítulo 2. Modelo Mecânico
2.1. Introdução .....................................................................................................................7
2.2. Cinemática ....................................................................................................................8
2.3. Equações de Conservação............................................................................................11
2.4. Equações Constitutivas.................................................................................................13
2.5. Modelo Mecânico..........................................................................................................16
2.6. Modelo Mecânico para escoamento em poço cilíndrico...............................................18
Capítulo 3. Método de Glimm e Técnica de Partição de Operadores
3.1. Introdução .....................................................................................................................20
3.1. Método de Glimm e a técnica de partição de operadores .............................................21
Capítulo 4. Procedimento Alternativo – Aproximante de Riemann
4.1. Introdução .....................................................................................................................26
4.2. Problema de Riemann....................................................................................................27
4.2. Aproximante de Riemann ............................................................................................31
Capítulo 5. Resultados Numéricos.....................................................................................36
Capítulo 6. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros.........................................44
Referências Bibliográficas .................................................................................................46
i
Lista de Figuras Figura 2.1 -Representação das Configurações de Referência da Mistura .............................7 Figura 2.2 – Representação de um poço cilíndrico ..............................................................18 Figura 5.1(a) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição radial para um poço cilíndrico com .....................................................................38 Figura 5.1(b) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição radial para um poço cilíndrico com .....................................................................39 Figura 5.2(a) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição radial para um poço cilíndrico com ......................................................................40 Figura 5.2(b) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição radial para um poço cilíndrico com .....................................................................41 Figura 5.3(a) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com ....................................................................42 Figura 5.3(b) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com .....................................................................43
Lista de Tabelas Tabela 4.1 – Soluções possíveis para o problema de Riemann............................................31
ii
Lista de Símbolos bi - Força de corpo por unidade de volume
- Coeficiente de difusão
F – Redefinição da variável
- Salto da quantidade F
1nF + - Solução do Problema Riemann associado
G – Redefinição da variável
1nG + - Solução do problema de Riemann associado K – Permeabilidade da matriz porosa
L – Estados à esquerda
mi - Força de interação por unidade de volume
- Pressão parcial
R – Estados à direita
- Invariante de Riemann
- Velocidade de propagação da descontinuidade
t – Tempo
u – Velocidade adimensional
v – Velocidade média da mistura
φ – Fração de fluido
ε – Porosidade da matriz porosa
- Campo de velocidade
ρ – Densidade de massa da mistura
iii
- Densidade de massa de cada constituinte da mistura
- Tensor parcial de tensões
ψ - Saturação
- Viscosidade do constituinte fluido
- Viscosidade do Fluido
- Variável de similaridade
θn - Número escolhido aleatoriamente no intervalo (-1/2, +1/2)
λmax
- Máxima velocidade de propagação do choque
- i – ésimo autovalor
iv
RESUMO
Este trabalho estuda o escoamento através de uma matriz porosa insaturada,
modelado sob o ponto de vista da teoria de misturas, dando origem a um sistema
hiperbólico não-linear. Um procedimento alternativo é utilizado para simular estes sistemas
de duas equações diferenciais parciais que representam a conservação da massa e da
quantidade de momento linear para o constituinte fluido (líquido) da mistura. Uma técnica
de fatoração do operador é utilizada de modo que o sistema não homogêneo seja separado
em uma parcela ordinária dependente do tempo e outra parcela hiperbólica homogênea.
Esta última é simulada através da utilização do método de Glimm, sendo o Aproximante de
Riemann utilizado para marchar entre dois intervalos de tempo consecutivos. O
Aproximante de Riemann aproxima convenientemente a solução do problema de Riemann
associado por funções constantes por partes sempre satisfazendo a condição de salto –
originando uma aproximação mais fácil de implementar e com menor custo computacional.
Comparando-se a aproximação realizada com o aproximante de Riemann com a solução
exata para o problema de Riemann associado para a implementação do esquema de Glimm,
foi observada uma boa concordância entre os resultados.
v
ABSTRACT
This work studies fluid flows through an unsaturated porous matrix, modeled under a
mixture theory viewpoint, which give rise to nonlinear hyperbolic systems. An alternative
procedure is employed to simulate these nonlinear nonhomogeneous hyperbolic systems of
two partial differential equations representing mass and momentum conservation for the
fluid (liquid) constituent of mixture. An operator splitting technique is employed so that the
nonhomogeneous system is split into a time-dependent ordinary portion and a
homogeneous one. This latter is simulated by employing Glimm’s scheme and an
approximate Riemann solver is used for marching between two consecutive time steps.
This Riemann solver conveniently approximates the solution of the associated Riemann
problem by piecewise constant functions always satisfying the jump condition – giving rise
to an approximation easier to implement with lower computational cost. Comparison with
the standard procedure, employing the complete solution of the associated Riemann
problem for implementing Glimm’s scheme, has shown good agreement.
Capítulo 1
Introdução
1.1. Considerações Gerais
O escoamento de fluidos em meios porosos está presente em diversas aplicações de
Engenharia no nosso dia a dia como na exploração de poços de petróleo, escoamento de
fluidos industriais em filtros porosos, reabilitação de solos contaminados por derramamento
de substâncias nocivas e armazenamento de resíduos nucleares em grandes profundidades
dentre várias outras aplicações. Segundo Tien e Vafai [1] este fenômeno tem sido estudado
desde os anos 20 do século passado.
O aumento das exigências ambientais, a escassez dos recursos naturais e o mercado
cada vez mais competitivo tem pressionado as instituições a buscarem incessantemente a
otimização dos seus processos operacionais através da utilização de procedimentos cada
vez mais confiáveis a um custo cada vez menor. Por conta disso, nos últimos anos o estudo
do Escoamento de Fluidos em Meios Porosos tem se tornado cada vez mais relevante na
tentativa de obtenção de métodos de simulação mais precisos e com baixo custo associado.
Grande parte destes trabalhos visa descrever o comportamento de variáveis como
2
temperatura, pressão, velocidade do fluido escoando através da matriz porosa e a saturação
que é representada pela razão entre a fração de fluido φ e a porosidade da matriz porosa ε.
Para os casos de fenômenos de transporte em meios insaturados observa-se uma forte
dependência do movimento em relação à saturação, isto porque para estes casos o gradiente
de saturação fará surgir uma força adicional que influenciará no movimento do fluido.
O trabalho em questão analisará o escoamento insaturado de um fluido newtoniano
incompressível através de uma matriz porosa, modelado usando uma abordagem de Teoria
de Misturas. A mistura é formada por três constituintes contínuos superpostos: Um sólido
(representando a matriz porosa), um líquido (representando um fluido newtoniano
incompressível) e um gasoso (um gás inerte, presente apenas para levar em conta a
compressibilidade da mistura como um todo). A modelagem mecânica do problema origina
um sistema hiperbólico não linear de equações diferenciais parciais cujas incógnitas são a
velocidade do constituinte fluido e a saturação. Este sistema será aproximado pelo método
de Glimm que usa um aproximante de Riemann, desenvolvido por Saldanha da Gama e
Martins-Costa (2008), para marchar entre dois intervalos de tempo consecutivos. Este
aproximante não requer a solução completa para o Problema de Riemann associado, sendo
esta uma das vantagens deste método em relação a outros. O Aproximante de Riemann
aproxima a solução do problema de Riemann associado por meio de funções constantes por
partes, sempre satisfazendo a condição de salto, ao invés de utilizar as quatro possíveis
escolhas de soluções – como ocorre na solução exata do Problema de Riemann. A
aproximação, além de mais fácil de ser aplicada, tem custo computacional menor quando
comparado ao procedimento usual para implementar o esquema de Glimm: avançar no
tempo usando a solução completa (exata) do problema de Riemann associado.
3
O problema não linear resultante é um problema simultâneo, tratado de forma
sequencial: o operador é dividido em uma parte não homogênea (dependente do tempo),
que é ordinária e em uma parte homogênea, que é hiperbólica. Esta última é simulada por
um Esquema de Glimm evoluindo com o tempo aplicando-se o Aproximante de Riemann
para cada dois passos consecutivos. A utilização do Aproximante de Riemann, como dito
anteriormente aproxima a solução do problema de Riemann associado por funções
seccionalmente constantes satisfazendo sempre a condição de salto, porém, nem sempre as
condições de entropia (Smoller,1983). O procedimento anteriormente mencionado,
associado com a combinação do Esquema de Glimm e uma técnica de fatoração de
operador proporciona uma forma conveniente de simulação de sistema hiperbólicos. Uma
comparação entre os resultados obtidos através do emprego do Esquema de Glimm usando
uma solução exata do problema de Riemann associado com os resultados do Esquema de
Glimm empregando o Aproximante de Riemann mostra o bom desempenho da última
estratégia.
1.2. Revisão Bibliográfica
Boa parte dos fenômenos dos transportes podem ser descritos utilizando-se
equações diferenciais parciais parabólicas ou elípticas que, geralmente admitem soluções
regulares, no entanto, para descrever escoamento insaturado em meios porosos os sistemas
hiperbólicos são mais indicados, pois mesmo que não admitam soluções regulares para
algumas situações, admitem soluções descontínuas que se caracterizam por soluções
generalizadas envolvendo ondas de choque, o que requer a utilização de ferramentas
4
numéricas específicas tais como o Esquema de Glimm [2] ou o esquema de Godunov [3]
para tratar a natureza descontínua do problema. O estudo de soluções deste tipo teve início
com o trabalho do Matemático Alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann [4] que foi o
primeiro a resolver um problema de valor inicial para as equações isoentrópicas
unidimensionais de Euler, conhecido como Problema de Riemann. À partir do inicio da
década de 50 do século passado, inúmeros outros métodos foram propostos com o intuito
de se resolver as equações de Euler. Courant at al. [5] e Lax [6] desenvolveram métodos de
primeira ordem de precisão, sendo que, foi este último um dos primeiros a abordar a ideia
de diferenças finitas para provar a existência de soluções fracas obtendo soluções auto-
similares para o problema de Riemann e o conceito de admissibilidade para choques.
Dentre os vários outros métodos que foram propostos posteriormente, destaca-se o método
de Lax e Wendroff [7] que foi desenvolvido empregando esquema centrado e apresentando
segunda ordem de precisão no tempo e no espaço, entretanto, o esquema centrado
apresentado não levava em conta as características físicas de direção de propagação de
informações presentes no escoamento.
A fim de se levar em consideração as características físicas de direção do
escoamento, passou-se a utilizar os métodos upwind que segundo Porto [8] são métodos
que utilizam discretizações espaciais de acordo com o comportamento do escoamento,
oferecendo bons resultados na análise de problemas que envolvam descontinuidades como
as ondas de choque que surgem nos escoamentos a altas velocidades.
Em 1965, Glimm [2] propôs a utilização do método da Escolha Aleatória (Random
Choice Method) através do qual foi possível provar a existência global de soluções para
sistemas hiperbólicos não lineares. Pouco tempo depois, Chorin [9] utilizou uma versão
modificada do Esquema de Glimm como ferramenta computacional para resolver as
5
equações de Euller de dinâmica dos gases. Já em 2001, Martins-Costa e Saldanha da Gama
[10] utilizaram o Esquema de Glimm juntamente com uma técnica de fatoração de
operadores para simular o escoamento unidimensional de um fluido newtoniano
incompressível através de um meio poroso insaturado com presença de ondas de choque e
obtiveram resultados bastante satisfatórios com esta estratégia.
Em 2008, Saldanha da Gama e Martins-Costa [11] desenvolveram um método
alternativo para aproximar sistemas hiperbólicos de leis de conservação o Aproximante de
Riemann, que consiste na aproximação da solução do Problema de Riemann associado por
funções seccionalmente constantes satisfazendo sempre a condição de salto, sendo este o
método que será utilizado para simulação de um escoamento através de um meio poroso
insaturado no trabalho que se segue.
1.3. Descrição do Trabalho
O objetivo deste trabalho é simular o escoamento unidimensional de um fluido
newtoniano incompressível através de um poço cilíndrico poroso insaturado utilizando o
procedimento alternativo de simulação o aproximante de Riemann desenvolvido por
Saldanha da Gama e Martins-Costa [11] para implementar o esquema de Glimm e
comparar o resultado desta simulação com o esquema de Glimm usando a solução exata do
problema de Riemann.
No capítulo 2 deste trabalho, inicialmente serão apresentados os conceitos básicos
de Teoria de Misturas, em seguida serão mostradas as equações de balanço de massa,
momentum linear e as relações constitutivas que serão utilizadas na modelagem do fluido
6
newtoniano generalizado. Finalmente, será apresentado ao final do capítulo o modelo
obtido combinando-se as equações de balanço com as relações constitutivas.
O capítulo 3 começa com uma breve descrição do método de Glimm e da técnica
de fatoração do operador. Em seguida, é mostrado como se pode chegar as soluções
numéricas para um problema de Riemann associado através da utilização destas duas
técnicas em conjunto.
Uma descrição do problema de Riemann e do método alternativo (Aproximante de
Riemann) proposto por Saldanha da Gama e Martins-Costa [11] é apresentada no capítulo
4, onde são mostradas as principais características do método e o seu mecanismo de
funcionamento.
Uma análise dos resultados numéricos obtidos será feita no capítulo 5, comparando-
se estes resultados com resultados obtidos empregando as soluções exatas para o Problema
de Riemann associado para a situação em questão. Essa comparação será feita observando-
se o comportamento da saturação e da velocidade de escoamento do constituinte fluido da
mistura.
No capítulo 6 deste trabalho serão apresentadas as principais conclusões e algumas
sugestões de trabalhos futuros relacionados aos conteúdos aqui apresentados.
Capítulo 2
Modelo Mecânico
2.1. Introdução
Utilizando-se os princípios postulados por Fick e Stefan [1], [12] e [13] no estudo
da Teoria de Misturas, pode-se modelar sistemas com múltiplos componentes
considerando-se a superposição de n constituintes contínuos, onde cada um pode
representar um material, Puente Angulo [14]. Na abordagem via Teoria de Misturas, cada
constituinte distinto terá cinemática independente fazendo com que a mistura seja ocupada
por todos os seus n constituintes para qualquer instante de tempo t e posição x. Em outras
palavras, no movimento de misturas, às n configurações de referência (uma para cada n
constituinte da mistura) corresponderá apenas uma única configuração atual como pode ser
observado na Figura 2.1
Figura 2.1 – Representação das Configurações de Referência da Mistura.
8
2.2. Cinemática
Neste trabalho será considerada uma mistura, usando a abordagem da Teoria de
Misturas, que consiste em n ≥ 2 materiais deformáveis não reagentes entre si, cada um
deles tratado como material contínuo. Sendo assim, o movimento da mistura será descrito
por n equações :
(2.1)
onde as funções vetoriais são assumidas suficientemente suaves a fim de se poder
validar a análise.
A densidade de massa de cada constituinte da mistura será definida por que
representa a densidade média do menor volume considerado da mistura.
A densidade de massa da mistura ρ, será dada por:
(2.2)
A cada constituinte da mistura também poderá ser associado um campo de
velocidade definido pela descrição material (ou Lagrangiana) por:
(2.3)
9
A descrição espacial do movimento será dada por n relações de .
Para o caso em questão, é necessário introduzir uma velocidade média v da mistura
que será definida pelo fato da massa total da mistura ser igual ao somatório das massas
individuais de cada constituinte fluido como pode ser observado na equação abaixo:
(2.4)
Em outras palavras, o movimento médio da mistura é considerado como a velocidade do
centro de massa de cada constituinte. No entanto, na Teoria de Misturas v não tem
significado físico próprio e pode ser representado por uma diferença de velocidades médias:
(2.5)
essa diferença é conhecida como velocidade de difusão. Utilizando-se as equações (2.2),
(2.4) e (2.5) encontramos a seguinte relação:
(2.6)
10
Deste modo a definição de velocidade média garante que a massa total do fluido do
movimento difusivo será igual a zero. Introduzindo as derivadas materiais no tempo
/ , / definidas por escalares arbitrários e funções vetoriais e
teremos:
,
(2.7)
,
onde , a aceleração convectiva do constituinte α da mistura, representa o
vetor com componentes cartesianas (/ ) .
Segundo Atkin e Craine [15], a derivada / corresponde ao movimento de
cada constituinte da mistura enquanto a derivada / corresponderá ao movimento da
mistura como um todo. Desta forma, observa-se que para cada , no intervalo 1,2,...,
teremos:
11
(2.8)
e, com o uso das equações (2.2), (2.6) e (2.8)3,6 encontramos:
(2.9)
2.3. Equações de Conservação
Supondo a matriz porosa rígida e em repouso, como o constituinte gasoso foi
incluído apenas para levar em conta a compressibilidade da mistura como um todo, basta
considerar as equações de balanço para o constituinte líquido, que, doravante será
denominado fluido.
12
A equação de balanço de massa para cada constituinte da mistura, supondo que essa
mistura seja quimicamente inerte, é dada por Atkin, e Craine [15]
∂ρi
∂t+ ∇ ⋅ (ρivi ) = 0 i = 1,n (2.10)
onde ρi é a densidade mássica do i-ésimo constituinte, representando, localmente a razão
entre sua massa e o volume total de mistura enquanto vi é sua velocidade. Como a equação
(2.10) é válida para todos os constituintes, a conservação de massa da mistura fica
automaticamente preservada.
A conservação de momentum linear para cada constituinte da mistura é dada por Atkin,
e Craine [15],
(2.11)
onde é o tensor parcial de tensões associado ao i-ésimo constituinte, mi é uma força
de interação por unidade de volume atuando sobre o i-ésimo constituinte devido a sua
interação com os demais constituintes da mistura e bi é a força de corpo por unidade de
volume atuando sobre o i-ésimo constituinte.
A conservação de momentum linear para a mistura requer que a soma dos esforços
internos se anule, em outras palavras:
(2.12)
13
A conservação de momentum angular é satisfeita através de uma escolha conveniente
de , que neste trabalho é suposto simétrico.
2.4. Equações Constitutivas
Considerando-se o fluido Newtoniano Incompressível, a fonte de momento , que
corresponde a uma interação dinâmica entre os constituintes da mistura será dada segundo
Martins-Costa e Saldanha da Gama [10] por:
(2.13)
onde e correspondem respectivamente à densidade de massa do constituinte fluido e a
sua velocidade onde e serão definidos posteriormente.
Ainda segundo [10], o tensor parcial de tensões para o constituinte fluido será
definido como:
(2.14)
Onde é a pressão parcial diretamente proporcional ao quadrado de [10], está
relacionada com a viscosidade do constituinte fluido e é a parte simétrica de .
Observa-se ainda que o fluido (líquido) é considerado incompressível enquanto o
14
constituinte fluido é compressível. Isto acontece por conta da presença do terceiro
constituinte da mistura representado por um gás inerte coexistindo com o líquido no
escoamento insaturado através da matriz porosa.
Definindo-se a saturação ψ como a relação entre a fração de fluido ϕ e a
porosidade ε , poderemos representá-la da seguinte forma:
ψ = ϕε
=ρF
ερ f
0< ψ ≤1 em toda parte (2.15)
onde fρ representa a densidade mássica real do fluido e ε a porosidade do meio poroso
(uma constante). As equações (2.13) e (2.14) podem ser reescritas como:
(2.16)
(2.17)
Na equação (2.16) a fonte de momentum resulta da combinação dos efeitos da força de
arrasto, representado pelo primeiro termo do lado direito da equação e pelos efeitos das
forças capilares que surgem devido a uma distribuição não uniforme do fluido no interior
da matriz porosa representado pelo segundo termo da equação – presente em escoamentos
insaturados. O primeiro termo da equação (2.16) é conhecido na literatura como termo
Darciano. Por outro lado, na ausência de efeitos gravitacionais e desprezando-se os termos
de inércia teríamos como resultado pressão uniforme e efeitos viscosos desprezíveis, neste
15
caso, combinando-se as equações de massa e momento para o constituinte fluido, a equação
(2.16) poderia ser reduzida para a Equação de Difusão Clássica e o primeiro termo da
equação (2.16) poderia ser desprezado e a relação constitutiva seria baseada apenas na Lei
de Fick. Vale ressaltar ainda, que as equações (2.16) e (2.17) são termodinamicamente
consistentes, fato este que pode ser comprovado através da Desigualdade de Entropia para
misturas que pode ser vista com mais detalhes nas referências [16, 17].
Uma das críticas ao modelo de análise baseado na Teoria de Misturas, que
descrevem os fenômenos do ponto de vista macroscópico, consiste no fato de tais modelos
não levarem em conta as propriedades superficiais, tanto para as equações de conservação
tanto para as equações constitutivas.
As constantes e da equação (2.16) podem ser expressas como:
(2.18)
(2.19)
onde é a viscosidade do fluido, a permeabilidade especifica da matriz porosa, é o
coeficiente de difusão e é a pressão (considerada constante enquanto o escoamento for
insaturado). O campo de é assumido como sendo proporcional ao quadrado de [16].
Sendo assim teremos a seguinte relação:
(2.20)
16
Segundo Allen [18], entre os mecanismos de transferência de momentum da
mistura, há tensões de cisalhamento, trações de interface e transferência de momentum
devido ao movimento de arrasto do fluido através da matriz porosa. Considerando-se que as
tensões de cisalhamento e as trações de interface são desprezíveis, se comparadas com o
arrasto do fluido, as tensões normais do fluido serão dominantes, sendo assim, o tensor
parcial de tensões definido na equação (2.17) será reduzido a :
(2.21)
2.5. Modelo Mecânico
O modelo mecânico será obtido combinando-se as equações de balanço (2.10) e
(2.11) com as relações constitutivas (2.16) e (2.21). Supondo que todas as quantidades
dependam apenas do tempo t e da posição x, além de supor ausência de forças de corpo e
que v seja a única componente não nula da velocidade do constituinte fluido Fv , o
problema pode ser representado por :
∂ψ∂t
+ ∂∂x
ψv( ) = 0
ρε ψ ∂v∂t
+ψv∂v∂x
= − ∂
∂xε2ψ 2 p( ) − ε2ηD
Kρ2
∂ ψ 2( )∂x
− ε2ηK
ψ 2v
(2.22)
17
O sistema não linear apresentado em (2.22) pode ser reescrito de uma forma mais
conveniente através da redefinição de pressão usando uma pressão de referência
∂
∂xε2ψ 2 p( ) + ε2ηD
Kρ2
∂ ψ 2( )∂x
= ε2 p0
∂ ψ 2( )∂x
(2.23)
e das seguintes variáveis adimensionais:
u =vρ
ε p0
γ = εηLK ρ
ρε p
0
ξ = xL
τ = tL
ε p0
ρ (2.24)
sendo L um comprimento característico. Consequentemente, o seguinte sistema hiperbólico
não linear representa matematicamente uma descrição através da Teoria de Misturas de um
escoamento unidimensional (adimensionalizado) de um fluido newtoniano através de uma
matriz porosa rígida em repouso
∂ψ∂τ
+ ∂∂ξ
ψu( ) = 0
∂∂τ
ψu( ) + ∂∂ξ
ψu 2 +ψ 2( ) = γψ 2u (2.25)
É importante observar que a solução do problema requer dados iniciais e, em alguns casos,
condições de contorno, para a saturação ψ e para a velocidade adimensional u , dada pela
equação (2.24).
18
2.6. Modelo Mecânico para o escoamento em um poço cilíndrico
No trabalho em questão será analisado o escoamento isotérmico de um fluido
newtoniano insaturado através de uma matriz porosa em formato cilíndrico conforme o
esquema da figura (2.2).
Figura 2.2 – Poço cilíndrico
Neste caso as variáveis adimensionais utilizadas serão η = r / R , τ = t (v / R , v = %v /(v e
p = %p / ϕ (v 2 , sendo R e (v o raio e a velocidade de referência respectivamente. Sendo assim,
encontraremos a seguinte modelagem mecânica:
(2.26)
19
onde o lado direito da equação (2.26) foi obtido aplicando-se as seguintes redefinições:
F ≡ ϕ e G ≡ ϕ v .
Capítulo 3
Método de Glimm e a Técnica de Partição de Operador
3.1. Introdução
O método de Glimm é uma técnica semianalítica utilizada para tratar soluções
descontínuas de sistemas hiperbólicos de leis de conservação, no qual soluções
aproximadas são representadas por funções constantes por partes. O método consiste em
um procedimento numérico que utiliza a solução de um Problema de Riemann associado na
geração de soluções aproximadas de equações hiperbólicas, sujeitas a condições iniciais
arbitrárias [8]. Dentre suas principais vantagens destacam-se sua capacidade de não
dissipação de choque, preservando assim sua magnitude e posição além de ter baixo custo
computacional quando comparado a outros métodos de aproximação como o método de
elementos finitos associado a uma técnica de captura de choques por exemplo. No entanto,
para a utilização do método, há a desvantagem de demandar o conhecimento prévio da
solução completa do Problema de Riemann associado ao sistema hiperbólico, além de sua
21
utilização se limitar a problemas unidimensionais.
Através da técnica de fatoração de operadores é possível dissociar efeitos
originalmente concomitantes na análise de modelos matemáticos empregados em
problemas que envolvam o escoamento de fluidos, tratando esses efeitos como sequenciais.
Para a análise do modelo mecânico proposto neste trabalho, a partição do operador
consistirá na decomposição do operador hiperbólico, a fim de se separar a parte puramente
hiperbólica – o problema homogêneo associado, da parte evolutiva no tempo, originando
um sistema ordinário. Através da combinação desta técnica de fatoração do operador (que
leva em conta a porção não-homogênea das equações diferenciais) com o método de
Glimm pode-se chegar a soluções satisfatórios para resoluções de sistemas de equações
hiperbólicas que envolvam a resolução do problema de Riemann.
3.2. Método de Glimm e a técnica de fatoração de operadores
Para a análise do modelo mecânico da equação (2.26) utilizaremos o método de
Glimm combinado com a técnica de fatoração de operadores. Para isto, é obtida uma
aproximação inicial para (F, G) pelo avanço ∆τ no tempo através da parte homogênea do
operador via método de Glimm, utilizando os valores (F, G) no instante τ=τn como dados
iniciais. A aproximação numérica para a solução no instante τ=τn é então obtida pelo
avanço no tempo com o mesmo intervalo ∆τ através de um sistema puramente evolutivo
no tempo. Este procedimento é repetido até se atingir um tempo de simulação especificado.
22
O procedimento numérico empregado para o avanço do instante τ=τn para τ=τn+1 deve ser
definido como uma combinação da equação (2.26) com .
Primeiro será obtida uma aproximação inicial para (F, G) utilizando-se o método de Glimm
para o sistema homogêneo associado, em seguida a aproximação numérica para a solução
no instante τ=τn+1 é finalmente alcançada para resolver o problema evolutivo no tempo ,
com o mesmo passo ∆τ =τn+1-τn através das equações abaixo:
(3.1)
onde o lado direito da equação (3.1) mostra a aproximação obtida através do Método de
Euler.
A fim de se obter a aproximação numérica para F e G em τn+1 – definidas como 1nF +
e 1nG + , as soluções (ou aproximações) do problema de Riemann associado com a parte
homogênea da equação (2.26) deve ser conhecida. Essencialmente o método de Glimm
consiste na realização de evoluções temporais para resolver o problema de Riemann
23
associado entre cada dois passos consecutivos. Em suma, o método de Glimm constrói
soluções para problemas de valor inicial – sistemas hiperbólicos não lineares sujeitos a
dados iniciais arbitrários – através da solução (ou aproximação) de tantos problemas de
Riemann quanto necessários, para marchar do instante τ=τn para τn+1. Inicialmente, a
condição inicial – dada pela função de posição η – é aproximada por funções
seccionalmente constantes. Em seguida, um problema de Riemann, um problema de valor
inicial cuja condição inicial deve ser um passo da função, é resolvido – exatamente ou
aproximadamente utilizando o método alternativo (Aproximante de Riemann) – para cada
dois passos consecutivos [10] e [11]. Os termos e utilizados como dados
iniciais no problema evolutivo no tempo (3.1) são obtidos através do avanço de tempo
∆τ empregando o método de Glimm para aproximar o seguinte problema homogêneo:
(3.2)
O sistema (3.2) é aproximado aplicando-se o método de Glimm [10], para avançar do
instante τ=τn para τn+1 , em outras palavras, e são soluções de (3.2) no
instante τn+1. A estratégia para construir uma solução para um problema de valor inicial
consiste em reunir de forma adequada a solução de um número previamente escolhido de
problemas de Riemann para marchar sucessivamente do instante τ=τn para τn+1. A condição
24
inicial arbitrária dada pela função da posição η ( F(η,0)= F0(η) , G(η,0)= G
0(η)) é
aproximada por funções constantes por partes, por conveniência, com comprimento de
passos iguais a:
( 3.3)
para
onde θn é um número aleatório escolhido no intervalo (−1/ 2 ,+1/ 2) e ∆η é o
comprimento de cada passo (∆η=ηj+1-ηj).
A aproximação para os dados iniciais em um determinado instante τj apresentado na
equação (3.4) originam, para cada dois passos consecutivos , o seguinte problema de
Riemann:
∂F∂τ
+ ∂G∂η
= 0
∂G∂τ
+ ∂∂η
G2
F+ p(F )
= 0
F ,G( ) = Fnj,Gnj
( ) τ = τ n ,−∞ < η < η j + ∆η
2
F ,G( ) = Fnj+1,Gn j+1
( ) τ = τ n , η j+1
− ∆η2
< η < ∞
(3.4)
25
designando por Fnj
e Gn j
a solução generalizada do Problema de Riemann (3.4), a
aproximação para a solução de (3.2) no instante τ=τn+1 é dada por:
(3.5)
É importante ressaltar que, a fim de se evitar iterações entre ondas nas adjacências
do problema de Riemann, a variação dos passos de tempo devem ser escolhidas de tal
maneira que a condição de Courant-Friendrichs-Lewy (CFL) seja satisfeita [19], garantindo
desta forma a estabilidade do sistema, através da unicidade da solução:
tn+1
− tn ≤ ∆x / 2 λmax( ), com
λ
max representando a máxima velocidade de propagação do
choque (em valores absolutos), para todos os problemas de Riemann no instante .
Neste ponto, vale destacar algumas características importantes do método de Glimm.
Primeiro, se o comprimento do passo tende a zero, a aproximação obtida pelo método tende
à solução exata do problema considerando a sua solução fraca. Outra importante
característica já mencionada do método, é que o mesmo é capaz de preservar a magnitude
do choque (não sendo observada difusão) e a sua posição – cujo desvio admissível da
posição correta é da ordem da magnitude do comprimento de cada passo ∆x para cada
avanço no tempo.
Capítulo 4
Procedimento alternativo – Aproximante de Riemann
4.1. Introdução
Neste capítulo serão apresentadas as principais características e mecanismo de
funcionamento do procedimento alternativo para a aproximação de sistemas hiperbólicos
para leis de conservação proposto por Saldanha da Gama e Martins-Costa [11].
Essencialmente, o aproximante de Riemann consiste na substituição das soluções
exatas do problemas de Riemann associado, apresentadas em (3.4) por uma aproximação
para esta solução exata, construídas considerando-se que quaisquer dois estados estejam
sempre conectados por uma descontinuidade, podendo ou não serem satisfeitas as
condições de entropia e avançando-se no tempo através da utilização do método de Glimm.
Em outras palavras, buscar-se-á uma solução fraca para o problema de Riemann
associado em um espaço de funções constantes por partes com o máximo de dois saltos.
Segundo Porto [8], a grande vantagem deste procedimento é a de não requerer o
conhecimento a priori de uma solução analítica do problema de Riemann Associado, que
além de nem sempre ser de fácil obtenção, tem um custo computacional maior, por
envolver uma escolha de soluções.
27
Conforme citado por Saldanha da Gama e Martins-Costa [11] a solução
generalizada para o problema de Riemann descrito em (3.4) dependente de pode ser
expressa em função da variável de similaridade [16,19], sendo obtida através da
conexão dos estados à esquerda (L) e à direita (R) a estados intermediários (*) por
rarefações ou choques, ou seja: ou
.
4.2. Problema de Riemann
Consideremos o seguinte problema de valor inicial dado pela equação que se segue:
∂ϕ∂t
+ ∂∂x
ϕ v( ) = 0
∂∂t
ϕ v( ) +∂
∂xϕ v2 + p( ) = 0
com ϕL ,vL( ) para t = 0; x < 0
com ϕR ,vR( ) para t = 0; x > 0
(4.1)
onde ϕL,ϕ
R,v
Lev
R são constantes e p = p̂(ϕ ) é uma função com derivada positiva. O
sistema (4.1) representa o Problema de Riemann associado à equação (3.4).
Sendo ξ = x / t , uma variável de similaridade, a solução do problema (4.1) no
sentido generalizado depende apenas da razão x / t .
Logo, um problema que depende de um conjunto de variáveis ϕ,v( ) pode ser
transformado em um problema dependente de uma variável ξ = x / t desde que as
condições necessárias e suficientes sejam satisfeitas. Uma destas condições necessárias é
que ξ possua valores constantes para função tanto à esquerda quanto à direita. Esta
28
condição será satisfeita utilizando-se funções degrau, permitindo, assim, recuperar os
valores constantes à direita e à esquerda dos dados iniciais quando as características
tenderem ao infinito.
ϕ ,v( ) = ϕL ,vL( ) para ξ = x / t → − ∞
ϕ ,v( ) = ϕR ,vR( ) para ξ = x / t → + ∞ (4.2)
A outra condição a ser satisfeita é que o problema seja homogêneo , logo:
∂u∂t
+ A(u)∂u∂x
= 0 com u x,0( ) =uL se x < 0
uR se x < 0
(4.3)
A solução geral para o problema 4.1 pode ser reescrita na forma matricial como:
− xt2
ddξ
ϕϕv
+ 1
t
ddξ
ϕv
ϕv2 + p
= 0 , ξ = x
t
com(ϕ,v) = (ϕL ,vL ), paraξ → −∞
(ϕ,v) = (ϕR,vR), paraξ → ∞
(4.4)
Sendo assim, os autovalores do sistema (4.1), são dados, em ordem crescente, por:
λ1 = λ̂1 ϕ,v( ) = v − p' e λ2 = λ̂2 ϕ,v( ) = v + p' (4.5)
29
Os invariantes de Riemann 1 2eℜ ℜ , associados a 1 2eλ λ são obtidos das
equações diferenciais acima, sendo dados por:
ℜ
1= constante= p'
ϕ∫ dϕ + v e ℜ2
= constante= − p'
ϕ∫ dϕ + v (4.6)
Podemos reescrever os invariantes como:
ℜ
1= λ
1+ Θ ϕ( ) e ℜ
2= λ
2− Θ ϕ( ) (4.7)
onde
Θ ϕ( ) = ddϕ
ϕ p'
ϕ∫ dϕ
(4.8)
Sendo assim, os estados à direita e à esquerda serão conectados por rarefação-1, se
entre eles, Θ for uma função decrescente de / . Por outro lado o estado à direita e o
estado intermediário estarão conectados por uma rarefação-2 se, entre eles Θ for uma
função crescente de / .
O estado à esquerda estará conectado ao estado intermediário por uma rarefação-1,
se, e somente se, entre estes dois estados o primeiro autovalor for uma função crescente de
/ . Por outro lado, estes dois estados serão conectados por choque-1 se, e somente se, as
condições de salto e as condições de entropia forem satisfeitas.
O estado à direita e o estado intermediário serão conectados por rarefação-2 se, e
somente se, entre estes dois estados o segundo autovalor for uma função crescente de / .
Por outro lado, estes dois estados serão conectados por choque-2 se, e somente se, as
condições de salto e as condições de entropia forem satisfeitas.
30
Em outras palavras, para que dois estados estejam conectados por um choque é
necessário que a seguinte condição de salto de Rankine-Hugoniot seja satisfeita:
ϕv
ϕ=
ϕv2 + p
ϕv= s (4.9)
onde, representa o salto e s a velocidade da descontinuidade.
Os estados à esquerda e o estado intermediário estarão conectados por choque-1 se
satisfizerem a condição de salto (4.9) e a seguinte condição de entropia:
s1 < λ̂1 ϕL ,vL( ) e λ̂1 ϕ* ,v*( ) < s1 < λ̂2 ϕ* ,v*( ) (4.10)
Os estados intermediários e os estados à direita serão conectados por choque-2 se
satisfizerem a condição de salto e a seguinte condição de entropia:
s2 > λ̂2 ϕR,vR( ) e λ̂2 ϕ* ,v*( ) > s2 > λ̂1 ϕ* ,v*( ) (4.11)
O fato de p ser convexo garante que as condições de entropia sejam satisfeitas. Os
resultados anteriores podem ser resumidos na tabela abaixo, que representa as quatro
soluções possíveis para o problema de Riemann:
31
Tabela 4.1 – Soluções possíveis para o problema de Riemann
Condições em ϕ* Conexões entre os estados Condições em v*
ϕ L > ϕ*
< ϕR rarefação-1/rarefação-2 vL < v
*< vR
ϕ L< ϕ
*> ϕ
R choque-1/choque-2 vL
> v*
> vR
ϕ L > ϕ*
> ϕR rarefação-1/choque-2 vL < v
*> vR
ϕ L < ϕ*
< ϕR choque-1/rarefação-2 vL > v
*< vR
4.3. Aproximante de Riemann
Considerando-se o problema de Riemann associado abaixo:
∂F∂τ
+ ∂G∂η
= 0
∂G∂τ
+ ∂∂η
G2
F+ p(F )
= 0
τ < τ − ∞ < η < +∞
F ,G( ) = FL ,GL( ) τ = τ , η < η
F ,G( ) = FR,GR( ) τ = τ , η > η
(4.12)
Os autovalores encontrados para (4.12) em ordem crescente serão:
λ
i= G
F+ −1( )i
P'( )1/2= v + −1( )i
P'( )1/2, i = 1,2 (4.13)
sendo G/F a velocidade de propagação da descontinuidade.
Observa-se ainda que supondo-se que P' > 0 para todo η e τ o sistema (4.12) será
um sistema hiperbólico.
32
A solução generalizada do problema de Riemann (4.1) depende da razão
(η − η) / (τ − τ ) sendo esta dada pela conexão dos estados à esquerda FL ,GL( ), e à direita
FR,GR( ), passando por estados intermediários F* ,G*( ), ou seja
[11].
Pode-se observar, que quando os autovalores correspondentes são funções
crescentes de (η − η) / (τ − τ ) entre dois estados conectados por uma rarefação-i , a solução
(F,G) dependerá continuamente de (η − η) / (τ − τ ) entre estes dois estados existindo assim
um invariante de Riemann associado a uma rarefação-i dado por:
ℜ
i= v− −1( )i p'
ρ∫ dρ = cte i = 1,2 (4.14)
onde o mesmo será uma constate entre os dois estados conectados pela rarefação.
Caso contrário, se os autovalores forem funções decrescentes de (η − η ) / (τ − τ )
os estados serão conectados por um choque-i, com velocidade e condição de entropia
automaticamente satisfeita [11]. Como soluções fracas não garantem unicidade de solução
[20], é necessário que seja verificada a condição de entropia para que a unicidade da
solução seja preservada. Considerando-se que dois estados estejam conectados por um
choque-i , com velocidade a condição de salto de Rankine-Hugoniot associada com a
equação (4.12) deverá ser satisfeita:
33
si =
G
F=
G2 / F + p
G (4.15)
onde si representa a velocidade de propagação da descontinuidade e F , o salto da
quantidade F.
Com a utilização do Aproximante de Riemann neste trabalho, busca-se uma
aproximação para o problema de Riemann, através da conexão de dois estados quaisquer
apenas por soluções descontínuas, ou seja:
FL ,GL( ) → 1-choque→ F* ,G*( ) → 2-choque→ FR,GR( ) (4.16)
Utilizando-se esta aproximação não se faz necessário considerar as quatro possíveis
soluções para o problema de Riemann original, dadas por
. Em contrapartida, tal solução não
assegura a satisfação da condição de entropia, porém assegura que a forma fraca das leis de
conservação é satisfeita.
Desta forma, fazendo-se z = (η − η) / (τ − τ ) , encontramos a solução generalizada de (4.1),
num espaço de funções constantes por partes:
34
F ,G( ) =
FL ,GL( ) , se − ∞ < z < s1
F*,G
*( ) , se s1
< z < s2
FR,GR( ) , se s2 < z < ∞
(4.17)
fazendo p = ρ 2, teremos:
v* − vL = − ρ* − ρL( ) p* − pL
ρ*
− ρL
1
ρ*ρL
1 2
vR − v* = − ρR − ρ*( ) pR − p*
ρR − ρ*
1
ρRρ*
1 2 (4.18)
sendo a única raiz positiva de
(4.19)
onde as velocidades de propagação das descontinuidades serão dadas por
s1
=G* − GL
F*
− FL
=ρ*v* − ρLvL
ρ*
− ρL
e s2
=GR − G*
FR − F*
=ρRvR − ρ*v*
ρR − ρ*
(4.20)
Já v* pode ser convenientemente avaliado a partir da seguinte expressão
35
v*
− vL = 1
2− ρ
*− ρL( ) p* − pL
ρ*
− ρL
1
ρ*ρL
1 2
− ρR − ρ*( ) pR − p
*
ρR − ρ*
1
ρRρ*
1 2
+
vL + vR
2
(4.21)
Em todas as soluções anteriormente apresentadas os valores das grandezas e serão
dadas por:
λ1L = G F( )
L− p'( )
Lcom p'( )
L= dp
dFF=FL
λ1*
= G F( )*
− p'( )*
com p'( )*
= dpdF
F=F*
λ2*
= G F( )*
+ p'( )*
com p'( )*
= dpdF
F=F*
λ2R = G F( )
R+ p'( )
Rcom p'( )
R= dp
dFF=FR
(4.22)
onde,
s1
=GL − G
*
FL − F*
; s*
= G F( )*; s
2=
G*
− GR
F*
− FR
(4.23)
Capítulo 5
Resultados Numéricos
As figuras a seguir mostram uma comparação dos resultados obtidos entre o
procedimento alternativo (Aproximante de Riemann) desenvolvido por Saldanha da Gama
e Martins-Costa [11] e a solução exata para o problema de Riemann em questão,
considerando-se problemas de valores iniciais distintos. Em todos os casos são mostrados o
avanço da fração de fluido e a variação da velocidade adimensional com a posição radial
para o poço cilíndrico, o raio interno do cilindro será representado pelo lado esquerdo do
gráfico enquanto o externo será representado pelo lado direito; considerando-se para análise
seis diferentes instantes de tempo, sendo que o primeiro instante representa a condição
inicial. Em todos os resultados representados o eixo vertical corresponde ao valor numérico
assumido para a fração de fluido e velocidade, enquanto que o eixo horizontal corresponde
a coordenada espacial η. Para todas as situações são utilizados raios internos distintos: no
caso (a) ηi=0.05 enquanto no caso (b) ηi=2.05, a fim de se avaliar a influência do raio de
curvatura no escoamento.
Para cada figura, as duas colunas do lado esquerdo fazem parte de um conjunto
constituído por duas colunas e seis linhas , onde cada linha representa um instante distinto
da análise – mostrando os valores da fração de fluido e da velocidade obtidas utilizando-se
o método de Glimm com 300 passos para cada instante de avanço constituída por soluções
exatas do problema de Riemann associado. Já as colunas do lado direito das figuras
37
mostram os resultados equivalentes para a fração de fluido e velocidade também obtidas
empregando-se o método de Glimm com 300 passos para cada avanço no tempo, porém
com solução construída através da utilização do procedimento alternativo (Aproximante de
Riemann) apresentado neste trabalho. Em todos os problemas mostrados nas figuras é
importante notar os bons resultados obtidos com o Aproximante de Riemann quando
comparados com os resultados das soluções exatas dos problemas de Riemann.
Figura 5.1(a) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com ηi=0.05
38
Figura 5.1(b) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com ηi=2.05
Nas Figuras 5.1(a) e 5.1(b) são apresentados os resultados para as condições iniciais dadas
por uma velocidade linear decrescente ( v0= (N − I +1.) / N ) e pela fração de fluido de uma
função degrau ( ϕ
0L= 0.7, ϕ
0R= 0.1). Os resultados apresentados mostraram uma boa
concordância quando comparamos os lados esquerdo e direito das figuras com o avanço da
39
velocidade mostrando algumas pequenas diferenças – ou seja quando a conexão por
rarefação foi usada para obter a solução exata. Comparando-se as figuras 5.1(a) ηi=0.05 e
5.1(b) ηi=2.05 pode ser notada a influência do raio de curvatura, quando aumenta, a
fração de fluido perto do raio interno da superfície cilíndrica aumenta, enquanto que para
este caso a velocidade apresenta um comportamento mais uniforme na região de salto.
Figura 5.2(a) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com ηi=0.05
40
Figura 5.2(b) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com ηi=2.05
Nas figuras 5.2(a) e 5.2(b) os dados iniciais se originam de um choque prescrito pela
velocidade - uma função degrau com ( v
0L= 1.0, v
0R= 0.0) enquanto que a fração de fluido
é dada por uma função linear decrescente ( ϕ0= (N − I +1.) / N ).Observando-se que os
41
resultados obtidos para a solução exata do problema de Riemann, representados nas duas
primeiras colunas, dão origem essencialmente a conexões de choques, os resultados obtidos
através do Aproximante de Riemann (representados nas duas últimas colunas) mostram
uma excelente concordância quando comparados com os resultados da solução exata.
Comparando-se as figuras 5.2(a) (ηi=0.05) e 5.2(b) (ηi=2.05), para verificar a influência
do raio de curvatura, pode-se observar novamente que quando o raio de curvatura cilíndrico
interno aumenta a fração de fluido perto do raio interno da superfície cilíndrica aumenta,
enquanto a influência sobre o comportamento da velocidade é quase imperceptível.
Figura 5.3(a) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com
a posição radial para um poço cilíndrico com ηi=0.05
42
Figura 5.3(b) – Fração de fluido e variação da velocidade adimensional com a posição
radial para um poço cilíndrico com ηi=2.05
Nas figuras 5.3(a) e 5.3(b) os dados iniciais são fornecidos por duas funções degrau
distintas (crescentes) para a velocidade ( v
0L= 0.0, v
0R= 1.0) e fração de fluido
( ϕ
0L= 0.1, ϕ
0R= 0.9). Como no caso considerado nas figuras 5.2, os resultados obtidos
43
quando a solução exata do problema de Riemann ocorre através de conexão por choques,
apresentaram muito boa concordância com os resultados obtidos através da utilização do
Aproximante de Riemann. Já quando as conexões entre dois estados ocorre por rarefação
existe alguma diferença entre o Aproximante de Riemann e a solução exata. Como nos
outros casos, a influência do raio de curvatura foi observada comparando-se as figuras
5.3(a) (ηi=0.05) e 5.3(b) (ηi=2.05) e foi notado que quando o raio interno da superfície
cilíndrica aumenta a fração de fluido diminui perto do raio externo da superfície (o oposto
do verificado nas figuras 5.1 e 5.2) enquanto, como na figura 5.2, não há quase nenhuma
influência sobre o comportamento da velocidade.
Capítulo 6
Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros
O método de Glimm, além de preservar a magnitude e a posição das ondas de
choque, é uma ferramenta bastante conveniente para a solução de problemas não lineares
unidimensionais, com características como baixo custo de armazenamento e baixo esforço
computacional requerido, se comparado a outros procedimentos numéricos empregados na
aproximação de problemas hiperbólicos não lineares. Além disso, sua combinação a uma
técnica de fatoração do operador permite que a referida metodologia forneça aproximações
com grande precisão para a solução de sistemas não homogêneos de equações diferenciais
hiperbólicas. O procedimento alternativo apresentado neste trabalho – um Aproximante de
Riemann – foi utilizado para implementar o método de Glimm para o avanço no tempo,
sem que para isso fosse necessário requerer a solução exata do problema de Riemann
associado, que inclui uma seleção entre as quatro possíveis soluções para conectar os
estados. Além de reduzir a complexidade do procedimento, poder prescindir desta escolha
de soluções proporciona uma redução considerável de tempo na resolução do problema,
podendo em alguns casos esta redução ser superior a 50%. Através da análise qualitativa
dos resultados numéricos encontrados com a utilização do Aproximante de Riemann pode-
45
se constatar uma boa concordância quando comparamos estes resultados às soluções exatas
para o problema em questão além de ter sido possível avaliar a influência da variação do
raio de curvatura do poço cilíndrico para as variáveis em análise, fração de fluido e
velocidade.
Como possíveis trabalhos futuros seguem abaixo algumas sugestões de estudos que
poderiam ser realizados:
- Utilizar o método FCT (Flux Corrected Transport) combinado a técnica de
fatoração de operador e comparar os resultados obtidos com os resultados encontrados no
presente trabalho;
- Estudar o comportamento do escoamento analisado neste trabalho levando em conta
outros fenômenos tais como os efeitos viscosos presentes no termo darciano, que pode ser
tratado através da fatoração do operador e permite considerar um comportamento
newtoniano para o fluido; e
- Considerar a possibilidade de existência de reações químicas entre os constituintes da
mistura na descrição do fenômeno.
46
Referências:
[1] Tien C.L., Vafai K. Convective and radiative heat transfer in porous media.
Advances in Applied Mechanics 1990; 27: 225-281.
[2] Glimm, J., Solutions in the Large for Nonlinear Hyperbolic Systems of Equations,
Comm. Pure Appl. Math., vol. 18, pp. 697-715, 1965.
[3] Godunov, S. K., “A Finite Difference Method for the Computation of Discontinous
Solutions of the equations of Fluid Dynamics ”, Mat. Sb., Vol. 47, pp. 357-393,
1959.
[4] Toro, E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluids Dynamics. A
Practical Introduction, Springer, Berlin, 1997.
[5] Courant, R, Isaacson, E., e Rees, M., “On the Solution of Nonlinear Hyperbolic
Differential Equations by Finite Differences”, Comm. Pure and Applied
Mathematics, vol 5, pp. 243-255, 1952.
[6] Lax,P,D., “Weak Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations and Their Numerical
Computation”, Comm. Pure and Applied Mathematics, vol 7, pp. 159-193, 1954.
[7] Lax,P,D. e Wendroff, B “Difference Schemes for Hyperbolic Equations with High
Order of Accuracy”, Comm. Pure and Applied Mathematics, vol 17, pp. 381-398,
1964.
47
[8] Porto, E. M., 2009, “Um novo aproximante de Riemann para simulação de
escoamentos com ondas de choque”. Tese de Doutorado, Escola de Engenharia,
Universidade Federal Fluminense, Niterói –RJ, 2009.
[9] Chorin, A. J. “Random Choice Solution of Hyperbolic Systems”, Journal of
Comput. Physics, vol. 22, pp. 517-533, 1976.
[10] M. L. Martins-Costa e R. Saldanha da Gama. Numerical simulation of
onedimensional flows through porous with shock waves. Numer. Meth. Eng., 52:
1047 – 1067, 2001.
[11] Saldanha da Gama, R.M. e Martins-Costa, M. L., 2008, “An alternative procedure
for approximating hyperbolic systems of conservations laws”. Nonlinear Anal.:Real,
World Appl. Vol 9, pp. 1310-1322.
[12] A. Bedford and D.S. Drumheller. Recent Advances – theories of immiscible and
structured mixtures. Int. J. Engng. Sci, 21:863-960, 1983.
[13] K.R. Rajagopal and L. Tao. Mechanics of Mixtures, Series on Advances in
Mathematics for Aplied Sciences. World Scientific, Singapore, 1995.
[14] Puente Angulo, J.A., 2012, “Escoamentos de fluido newtoniano generalizado
através de dutos com paredes permeáveis”. Dissertação de Mestrado, PGMEC,
Escola de Engenharia, Universidade Federal Fluminense, Niterói –RJ, 2012.
[15] R.J. Atkin and R.E Craine. Continuum Theories Of Mistures. Basic theories and
historical development. Quart . J. Mech. Appl. Math., 29: 209-244, 1976
[16] Williams W.O. Constitutive equations for a flow of an incompressible viscous fluid
through a porous medium. Quarterly Journal of Applied Mathematics 1978; 36:
255-267.
48
[17] de Boer R, Ehlers W, Kowalski S, Plischka J. Porous Media – A Survey of Different
Approaches. Forchungsbericht aus dem Fachbereich Bauwesen, 54, Universität –
Gesamthochschule- Essen, 1991.
[18] Allen MB. Mechanics of multiphase fluid flows in variably saturated porous media.
International Journal of Engineering Science 1986; 24: 339-351.
[19] Smoller, J., 1983, Shock-Waves and Reaction Diffusion Equations, Springer-
Verlag, Berlim.
[20] Keyfitz, B., e Kranzer, H. C., Existence and Uniqueness of Entropy Solutions to the
Riemann Problem for Hyperbolic Systems of two Nonlinear Conservation Laws ,
Journal Diff. Eqns, vol. 27, pp. 444-476, 1978.