probabilidades

HidrologiaProfessor: Dr. Lázaro Quintas

1. Probabilidade na hidrologia2. Introdução e conceitos basicos de

probabilidades 3. Estatistica usado na hidrologia

CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA USADOS EM HIDROLOGIA

• 1. INTRODUÇÃO

• 1. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE

• 1.2. ESTATÍSTICA USADOS EM HIDROLOGIA

INTRODUÇÃO

• A incerteza sobre a atmosfera, ou sobre qualquer sistema físico que descreva a natureza, é, em geral, bastante grande.

• Por exemplo;• Não podemos estar completamente certos de

que se choverá amanhã ou se a temperatura média no próximo mês será maior ou menor que a média no mês anterior.

•

INTRODUÇÃO (Cont.)

• Entretanto, é possível que você tenha mais certeza sobre essa última questão do que sobre a anterior.

• Assim, não é suficiente ou mesmo não é formativo, dizer que um evento particular é incerto.


• Neste caso temos que estabelecer um GRAU DE INCERTEZA que pode ser usado em descrições qualitativas como:

• a) provável

• b) Não provável

• c) possível ou

• d) tem uma chance de;


• Além disso, também não está claro se; “chuva provável”, “pode chover”, “probabilidade de chuva” indicam menos incerteza sobre a ocorrência da chuva:


• Vamos analisar alguns exemplos comummente utilizados em meteorologia:

• 1) Previsão de tempo para Angola, fornecida pelos serviços de meteorologia INAMET:


• Uma frente fria está sobre o Sul de Angola e espalha muita instabilidade sobre a Região.

• As imagens de satélite mostram muitas nuvens carregadas do planalto central e para o litoral sul.


• Ao longo do dia as nuvens de chuva chegam a Malange.

• Na maior parte do Sudeste e do Centro -Oeste o ar quente e seco ainda predomina e dificulta a formação de instabilidade. Pode chover um pouco hoje no Planalto, no Litoral e no Leste do País.


• 2) Previsão para Luanda hoje fornecido pela INAMET;

• Previsão para dia 15 de Abril;

• Segunda-feira de sol e nebulosidade variada, sem previsão de chuva;

• Temperatura media: Min-13º/ Max-28º

• Probabilidade de chuva: 00%

• Volume estimado: 00 mm


• 3) Previsão de tempo para o Norte de Angola aos 15 de Abril, fornecida pelo Inamet:

• Segunda, 15 de Abril 2008•

-Ceú encoberto e nublado com pancadas de chuva e trovoadas, possibilidade de chuva forte em áreas localizadas.-Temperatura: ligeiro declínio max.- 28° /

• min.-12° -Vento com intensidade: fracos /moderados c/rajadas;


• Em geral, é preferível expressar uma incerteza quantitativamente, e isto é feito usando números chamados PROBABILIDADES.

• Elementos de probabilidade:

• 1. Eventos

• 2. Espaço amostral:


• 1. Evento

• Um evento - é um conjunto, classe ou grupo de possíveis resultados incertos.

• Eventos; podem ser de dois tipos.

• COMPOSTO; que pode ser decomposto em 2 ou mais sub - eventos,

• ELEMENTAR; que não pode ser decomposto.


• Por exemplo:

• - “precipitação ocorrerá amanhã”, poderia ser um evento composto;

• -“precipitação não ocorrerá amanhã”., poderia ser um evento simples ou elementar;

• Contudo, elas distinguem-se pelas formas de precipitação.


• “Precipitação ocorrerá” poderia ser considerado como um evento composto, possivelmente compreendendo 3 eventos elementares:

• chuva convectiva (chuva forte a moderada),

• chuva estratiforme (ou “chuviscos”),

• chuva convectiva e chuva estratiforme”.


• precipitação não ocorrerá amanhã, não ocorre nenhum evento;

• 2. Espaço amostral:

• O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis eventos.

• Assim, o espaço amostral representa o universo de todos os possíveis eventos.


• De maneira análoga, pode ser definido como o maior evento composto possível.

• As relações entre os eventos em um espaço amostral podem ser representadas geometricamente, por um diagrama que se chama; Diagrama de Venn.

INTRODUÇÃO (Cont.) Fig.Diagram de Venn

Sem chuva

Chuva

convectiva

Chuva

estratiforme


• Tal colecção de todos os possíveis eventos; é chamado de “MUTUALMENTE EXCLUSIVO E COLETIVAMENTE EXAUSTIVO – MECE”.

• Mutualmente Exclusivo significa que não mais do que um dos eventos pode ocorrer ou não correrá nenhum evento.

• Coletivamente Exaustivo significa que mais de um evento irá ocorrer.


• Axiomas da Probabilidade:• A parte mais divertida da teoria da

probabilidade;• é, após determinar o espaço amostral dos

eventos, saber associar probabilidades a cada um deles.

• As regras para se fazê-lo devem sempre fluir naturalmente partir dos 3 axiomas da probabilidade (que sempre teremos que manter em mente). São eles:


• 1. A probabilidade de qualquer evento é sempre NÃO NEGATIVA

• 2. A probabilidade do evento composto S é sempre igual a 1;

• 3. A probabilidade de um ou outro dos dois eventos mutualmente exclusivos ocorrer- é igual à soma de suas duas probabilidades individuais.

CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE (Cont.)

• Variável aleatória: não possui uma explicação determinista da sua ocorrência:

• Exemplo: a precipitação de um local; qual o número que sairá numa roleta (jogo de azar)

• População; é o universo de possibilidades de ocorrência de uma variável aleatória.

• Exemplo: num dado são seis possibilidades, sendo que cada número tem igual chance de ocorrer.


• A população estatística : é o total de ocorrência e as estatísticas da população mostram que cada número tem igual probabilidade.

• Amostra: é a quantidade de resultados que nós permitem estimar as estatísticas da população.


• Ex. após jogar o dado 1000 vezes é possível determinar qual a probabilidade de ocorrer cada um dos números e certamente será 1/6, mas se tivesse jogado o dado apenas 10 vezes, provavelmente a nossa estimativa da probabilidade seria errada porque minha amostra é pequena.


• Estatísticas: uma variável aleatória tem várias estatísticas que a caracterizam como: média, desvio padrão, assimetria, etc.

• A média pode ser aritmética, geométrica, etc. A média aritmética que simplesmente é a média dos valores da amostra;


• O desvio padrão : retrata a distribuição dos valores da variável com relação a média. Quanto mais o valor, maior a dispersão com relação a média;

• A assimetria : retrata como os dados se distribuem com relação a média. Uma assimetria positiva mostra que a maioria da frequência do valores são maiores que a média.


• Risco: é a possibilidade de ocorrência de valores da variável aleatória fora do planejado. Por ex. qual o risco de ocorrência de um número do dado maior que 4?


Incerteza : é o erro da diferença entre as estatísticas da amostra e da população na estimativa do risco. Para o exemplo anterior se tivéssemos estimado (a partir de amostra pequena) que a probabilidade do número cinco e do número seis eram respectivamente: 60% e 65%. O risco estimado seria de 80% e a incerteza = 0,2/6.


• Em hidrologia a incerteza pode estar na medida das vazões, no processamento dos dados, no tamanho da amostra e na metodologia.


• Variável estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas não variam com o tempo e não estacionária no caso contrário.

• Ex. a mudança da média do escoamento de uma bacia urbana devido a impermeabilização; aumento ou diminuição da vazão de estiagem depois da construção de uma barragem.


• Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal.

• Conceitos de probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aletória.

• Probabilidade e tempo de retorno: A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável. Esta probabilidade pode ser acumulativa ou individual.


• Exemplo: A probabilidade de sair o número 3 é de 1/6 a chance de que ocorra um número maior que 3 é de 3/6 ou ½.

• O tempo de retorno (utilizado em hidrologia) retrata a frequência sequencial de ocorrência de valores.

•


• Exemplo: o número 3, em média, ocorre a cada seis jogadas.

• Portanto TR = 1/P

• Em hidrologia é utilizado para caracterizar a frequência de repetição de um evento.


• Exemplo: Uma inundação que tem a chance de ser maior ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos.

• Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada 20 anos.


• Condições• Valores independentes: os valores da

amostra não devem apresentar correlação entre si.

• Exemplo: Numa amostra de vazões máximas anuais, o valor de cada ano não devem ter correlação com o do ano seguinte. Por isto que os valores são escolhidos dentro do ano hidrológico.


• Variável estacionária: as estatísticas da série não podem se alterar ao longo do tempo.

• Amostra representativa: as estatísticas das amostras devem ser representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é importante, mas não significa tudo.


• Exemplo: Níveis de Cheias em Luanda • Cheias máximas em Luanda• Ano-------Nível • 1852 – 16,52 m• 1880 – 17,10 m• 1911 – 16,90 m• 1983 - 15,34 m• 1984 – 15,50 m • Entre 1911 e 1983 não houve nenhuma inundação com

cota maior que 12,90 m, período pouco representativo

Estatística usados em hidrologia

• Considera-se a experiência simples, referida no ponto anterior que, consiste no lançamento de um dado perfeito. O conjunto de resultados dessa experiência, designado por população ou universo,

• Ώ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Estatística usados em hidrologia (Cont.)

• Denomina-se experiência aleatória uma experiência em que em que:

• - é conhecido o conjunto Ώ de todos os resultados possíveis;

• - não é possível conhecer, antes da realização da experiência o resultado que ocorrerá.


• 1)Função de probabilidade e função de distribuição

• -Suponha-se que se dispõe de um grande número de observações de um dado fenômeno:

• precipitação anual numa bacia hidrográfica, por exemplo.

• - Precipitação diária• -Precipitação semanal• -e precipitação mensal


• Se os seus valores forem classificados por ordem crescente, a frequência de não ser ultrapassado o acontecimento de ordem n, será n/N.

• A função assim definida chama-se função de frequência ou função de distribuição empírica e será designada por F(x).

•


• F(x) = P (X ≤ x)

• Se os valores forem classificados por ordem decrescentes, defini-se a frequência de ser igualada ou ultrapassado o acontecimento de ordem n, como:

• G (x) = P (X ≥ x)

Função de probabilidade e função de distribuição (Cont.)

• A função G (x) é também conhecida por função de duração. No caso de uma variável aleatória discreta que, só pode tomar valores com probabilidade não nula do conjunto {X1, X2,....}, define-se massa de probabilidade como sendo a função.

•


• (F)-função de distribuição

• (P)- função de probabilidade

• P (x) = 0 se x ¢ {x1, x2, ....}

• P (x1) = p (x = x1) = p1

• P (x2) = p (x = x2) = p2

• etc.


• Neste caso defini-se função de distribuição como:

• F (x) = Σ p (xi) onde xi ≥ x• E função de duração como:• G (x) = p (xi) • No caso de uma variável aleatória

contínua, defini-se densidade de probabilidade como sendo a função.

• f (x) = lim ð F(x)/ ðx = d F (x)/dx


• 2) Regressão • Regressão: é a equação que relaciona as

variáveis y = F(x);

• a) Combinação de regressões• Número de regressões possíveis 2p• p = número de variáveis. • Exemplo para 2 variáveis. •


• y = b; y = a1x1 +b; y = a2x2 +by= a1x1 + a2x2 + b

• b) Função básica de regressão

• Y = f(x1, x2, ....xn; a1,a2,...an)+ e • Onde y é variável dependente, f é a

função de regressão, xi são as variáveis independentes, ai são os parâmetros; e é o erro.


• Correlação; é qualidade do ajuste da função a um conjunto de dados; ajuste de uma equação a um conjunto de dados é diferente da regressão estatística. O ajuste não tem compromisso estatístico, mas a representatividade dos pontos.


• Exemplo: o ajuste de uma recta a dois pontos garante que os pontos estarão na função e o grau de liberdade = n-p+1 onde (n=número de pontos; p=parâmetros da equação) é igual a zero.


• A correlação pode ser positiva ou negativa:

• Correlação R (-); Correlação positiva R (+)

• A correlação indica a qualidade do ajuste e o coeficiente de correlação é seu indicador;

FIM

• OBRIGADO

probabilidades

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