cálculo das probabilidades ii

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto de Matemática e EstatísticaDepartamento de Estatística

Cálculo das Probabilidades II

Prof: Mariane Branco Alves

©2006 Mariane Branco Alves - Todos os direitos reservados.

Reserve tempo à reflexão. O menor detalhe pode ser o mais essencial.

— SHERLOCK HOLMES (trecho de "A Aventura do Círculo Vermelho",Sir Arthur Connan Doyle)

Sumário

1 Revisão de Conceitos Fundamentais em Probabilidade 51.1 Interpretações de Probabilidade e Definição Axiomática 5

1.1.1 Definição Axiomática 61.2 Probabilidade Condicional e Independência 7

1.2.1 Regra da Multiplicação 71.2.2 Regra da Probabilidade Total 71.2.3 Teorema de Bayes 81.2.4 Independência 8

1.3 Exercícios 11

2 Variáveis Aleatórias Discretas 142.1 Introdução 142.2 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas 16

2.2.1 Uniforme 172.2.2 Bernoulli(p) 172.2.3 Binomial(n,p) 182.2.4 Hipergeométrica(N,n,r) 182.2.5 Geométrica(p) 192.2.6 Pascal(r,p) ou Binomial Negativa(r,p) 202.2.7 Poisson(λ ) 20

2.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Discretas 232.4 Exercícios 24

3 Variáveis Aleatórias Contínuas 283.1 Introdução 283.2 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas 30

3.2.1 Uniforme Contínua(a,b) 303.2.2 Normal(µ ,σ2) 303.2.3 Exponencial(λ ) 323.2.4 Gama(α ,λ ) 333.2.5 Qui-quadrado(n) 353.2.6 Beta(α,β ) 363.2.7 Weibull(α,λ ) 373.2.8 T de Student(k) 393.2.9 F de Fisher-Snedcor(d1,d2) 41

3

SUMÁRIO 4

3.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Contínuas 423.4 Exercícios 43

4 Funções de Variáveis Aleatórias 474.1 Distribuição deY = h(X) 47

4.1.1 Caso1:X é variável aleatória discreta eY = h(X) é variável aleatóriadiscreta 47

4.1.2 Caso2:X é variável aleatória contínua eY = h(X) é variável aleatóriadiscreta 48

4.1.3 Caso3:X é variável aleatória contínua eY = h(X) é variável aleatóriacontínua 48

4.2 Esperança deY = h(X) 494.3 Exercícios 51

5 Funções Geratrizes de Momentos 535.1 Introdução 535.2 Uso deMX(t) para determinação dos momentos deX 535.3 Propriedades da Função Geratriz de Momentos 555.4 Uso de Funções Geratrizes de Momentos para a Determinação de Propriedades

Reprodutivas 565.5 Exercícios 57

CAPÍTULO 1

Revisão de Conceitos Fundamentais emProbabilidade

1.1 Interpretações de Probabilidade e Definição Axiomática

Definição 1.1. : Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, se repetido essen-cialmene sob as mesmas condições, é ditoexperimento aleatório. Notação:ε

Definição 1.2.O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatórioε édenominadoespaço amostraldeε. Notação:Ω

Definição 1.3.Um eventoé um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.Notação: letras maiúsculas.

Definição 1.4. Dois evento A e B sãodisjuntosou mutuamente exclusivosou mutuamenteexcludentesse A∩ B = /0.

Objetivo: Atribuir um número real a cada evento o qual avaliará quão verossímil seráa ocorrência de A quando o experimento for realizado. Este número será aprobabilidadeassociada ao evento A.

• Freqüentista: A probabilidade associada a um evento é dada pela freqüência relativacom que tal evento ocorreria, caso o experimento aleatório fosse repetido um grandenúmero de vezes, sob as mesmas condições.

Críticas:→ Quão grande deve ser o número de repetições do experimento aleatórios?→ Na prática, só seria aplicável a experimentos dos quais se possa fazer um grandenúmero de repetições.

• Clássica:Se um espaço amostralΩ é composto porn resultados igualmente verossímeis,então a probabilidade associada a cada resultado é1/n. Se o evento A é formado pornA

resultados, entãoP(A) = nAn .

Críticas:→ A definição é circular→ Como calcular probabilidades o espaçamostral não é finito ou não tem elementosequiprováveis?

5

1.1 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIDADE E DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA 6

• Subjetiva: A probabilidade que cada pessoa atribui a um evento é uma representaçãode suas crenças sobre o processo estudado, baseado em sua informação prévia sobre esteprocesso.

Críticas:→ Garantir a consistência e ausência de contradições nas atribuições subjetivas paraproblemas complexos é difícil.→ Pessoas diferentes podem fazer atribuições diferentes.

1.1.1 Definição Axiomática

Definição 1.5.Sejaε um experimento aleatório eΩ o espaço amostral associado aε. A dis-tribuição de probabilidadesou, simplesmente,probabilidadeem Ω é uma especificação denúmerosP(.) que satisfazem a:(i) Para qualquer eventoA, P(A)≥ 0(ii) P(Ω) = 1(iii) Para qualquer seqüência de eventosdisjuntosA1,A2, · · · ,

P

(∞⋃

i=1

)=

∞

∑i=1

P(Ai).

Decorrem dos axiomas (i), (ii) e (iii) as seguintespropriedades(demonstrar!):P.1:P( /0) = 0.P.2: Para qualquer seqüência den eventosdisjuntosA1,A2, · · · ,An:

P

(n⋃

i=1

)=

n

∑i=1

P(Ai).

P.3: SeAc é o evento complementar aA, entãoP(Ac) = 1−P(A),∀A.P.4:∀A,0≤ P(A)≤ 1.P.5: SeA⊂ B, entãoP(A)≤ P(B).P.6: Para quaiquer dois eventosA eB, P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).Extensão: SejamA1,A2, · · · ,An eventos quaisquer. Então:

P

(n⋃

i=1

)=

n

∑i=1

P(Ai)−∑i< j

P(Ai ∩A j)+ ∑i< j<k

P(Ai ∩A j ∩Ak)+ · · ·

1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 7

1.2 Probabilidade Condicional e Independência

Exemplo 1.1. ε : Lançamento de um dado não-viciado⇒Ω = 1,2,3,4,5,6.

Seja o eventoA: resultado 6⇒ A = 6. Como o espaço amostral é finito, com elementosequiprováveis, então:

P(A) =nA

n=

16.

Seja, agora, o eventoB: resultado par⇒ B = 2,4,6. A probabilidade de que o resultado seja6, uma vez que se saiba que o resultado é par, é1

6.

Definição 1.6.A probabilidade condicional de um eventoA, dado um eventoB, é:

P(A | B) =P(A∩B)

P(B), seP(B) > 0. (1.1)

No exemplo anterior, tem-se:

P(A | B) =nA∩B

nnBn

=nA∩B

nB=

16,

pois(A∩B) = 6.

1.2.1 Regra da Multiplicação

De (1.1) tem-se, diretamente, que:

P(A∩B) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A) (1.2)

1.2.2 Regra da Probabilidade Total

Definição 1.7.Uma coleção de eventosA1,A2, · · · ,An forma umapartiçãodo espaço amostralΩ se os eventosAi ‘s são disjuntos (Ai ∩A j = /0, i 6= j) e exaustivos(

⋃ni=1Ai = Ω).


SejamA1,A2, · · · ,An eventos formando uma partição do espaço amostralΩ e B um eventoqualquer emΩ. Então:

P(B) = P[B∩A1∪B∩A2∪ · · ·B∩An]disj.= P(B∩A1)+P(B∩A2)+ · · ·P(B∩An)

(1.2)= P(B | A1)P(A1)+ · · ·+P(B | An)P(An) (1.3)

1.2.3 Teorema de Bayes

SejamA1,A2, · · · ,An eventos formando uma partição do espaço amostralΩ, B um eventoqualquer emΩ e suponha conhecidasP(B | Ai) eP(Ai), i = 1,2, · · ·n. Então:

P(A j | B)(1.1)=

P(A j ∩B)P(B)

(1.2)=

P(B | A j)P(A j)P(B)

(1.3)=

P(B | A j)P(A j)P(B | A1)P(A1)+ · · ·+P(B | An)P(An)

(1.4)

Exercício: Um certo item é produzido exclusivamente em uma das unidades de uma fábrica:I, II ou III. Sabe-se que o volume de produção da unidade I é o dobro da unidade II e que IIe III têm volumes iguais de produção. Ainda, são defeituosos: 2% dos produtos fabricados naunidade I, 2% dos fabricados na unidade II e 4% dos fabricados na unidade III. Se todos ositens são armazenados em um depósito comum e seleciona-se um item ao acaso:

(a) qual é a probabilidade de que seja defeituoso?

(b) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se é defeituoso?

(c) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se não é defeituoso?

1.2.4 Independência

Definição 1.8.Dois eventosA eB são ditosindependentesse

P(A∩B) = P(A) ·P(B). (1.5)


Observe-se que seA eB são independentes, então, de(1.1) tem-se que:

P(A | B) =P(A∩B)

P(B)(1.5)=

P(A) ·P(B)P(B)

= P(A)

P(B | A) =P(A∩B)

P(A)(1.5)=

P(A) ·P(B)P(A)

= P(B) (1.6)

Exemplo 1.2. ε: Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda, ambos não-viciados.

⇒Ω = (CA,1)(CA,2)(CA,3)(CA,4)(CA,5)(CA,6)(CO,1)(CO,2)(CO,3)(CO,4)(CO,5)(CO,6).

Sejam os eventos:A : (6,CA),(6,CO): resultado 6

B : (2,CA),(2,CO),(4,CA),(4,CO),(6,CA),(6,CO): resultado par

C : (CO,1),(CO,2),(CO,3),(CO,4),(CO,5),(CO,6): resultado coroa.

Como o espaço amostral é finito e com elementos equiprováveis, tem-se:

P(A) =nA

n=

212

=16

P(A | B) =P(A∩B)

P(B)=

nA∩BnnBn

=nA∩B

nB=

26

=136= P(A),

⇒ A e B são dependentes.

P(A |C) =P(A∩C)

P(C)=

nA∩CnnCn

=nA∩C

nC=

16

=16

= P(A),

⇒ A e C são independentes.

Importante: Disjunção 6= Independência: Em geral, eventosdisjuntossão it depen-dentes, a menos que a probabilidade de pelo menos um deles seja nula.

Prova: Suponha queA e B sejam disjuntos. EntãoP(A∩B) = 0. Se, além de disjuntos,forem independentes, entãoP(A∩B) = P(A) ·P(B), o que implica queP(A) = 0 ou P(B) = 0ou ambas.


Obs: A informação deindependênciaentre eventos interfere no cálculo de probabilidadesde interseções. A informação dedisjunçãoentre eventos interfere na forma como são calcu-ladas probabilidades deuniões

Exemplo 1.3. Calculando probabilidades para eventos associados a espaços amostrais em queos elementos não são equiprováveis.

ε : Selecionam-se, aleatoriamente, 4 pessoas e verifica-se a condição doente ou sadio paracada uma.

Hipóteses: Assuma que haja independência entre os indivíduos e que a probabilidade deque qualquer indivíduo seja sadio ép.

Seja o evento:A: Dois indivíduos, entre os 4 observados, são sadios.

Denote-se por:S: indivíduo sadio ("sucesso")F: indivíduo doente ("fracasso").

DetermineP(A).

Espaço amostral e probabilidade associada a cada um de seus elementos:i wi P(wi)

1 FFFF P(w1) = P(F1∩F2∩F3∩F4)ind= P(F1)P(F2)P(F3)P(F4) = (1− p)4

2 SFFF P(w2) = P(S1∩F2∩F3∩F4)ind= P(S1)P(F2)P(F3)P(F4) = p(1− p)3

3 FSFF P(w3) = P(F1∩S2∩F3∩F4)ind= P(F1)P(S2)P(F3)P(F4) = p(1− p)3

4 FFSF P(w4) = P(F1∩F2∩S3∩F4)ind= P(F1)P(F2)P(S3)P(F4) = p(1− p)3

5 FFFS P(w5) = P(F1∩F2∩F3∩S4)ind= P(F1)P(F2)P(F3)P(S4) = p(1− p)3

6 SSFF P(w6) = P(S1∩S2∩F3∩F4)ind= P(S1)P(S2)P(F3)P(F4) = p2(1− p)2

7 SFSF P(w7) = P(S1∩F2∩F3∩F4)ind= P(S1)P(F2)P(S3)P(F4) = p2(1− p)2

8 SFFS P(w8) = P(S1∩F2∩F3∩S4)ind= P(S1)P(F2)P(F3)P(S4) = p2(1− p)2

9 FSSF P(w9) = P(F1∩S2∩S3∩F4)ind= P(F1)P(S2)P(S3)P(F4) = p2(1− p)2

10 FSFS P(w10) = P(F1∩S2∩F3∩S4)ind= P(F1)P(S2)P(F3)P(S4) = p2(1− p)2

11 FFSS P(w11) = P(F1∩F2∩S3∩S4)ind= P(F1)P(F2)P(S3)P(S4) = p2(1− p)2

12 FSSS P(w12) = P(F1∩S2∩S3∩S4)ind= P(F1)P(S2)P(S3)P(S4) = p3(1− p)

13 SFSS P(w13) = P(S1∩F2∩S3∩S4)ind= P(S1)P(F2)P(S3)P(S4) = p3(1− p)

14 SSFS P(w14) = P(S1∩S2∩F3∩S4)ind= P(S1)P(S2)P(F3)P(S4) = p3(1− p)

15 SSSF P(w15) = P(S1∩S2∩S3∩F4)ind= P(S1)P(S2)P(S3)P(F4) = p3(1− p)

16 SSSS P(w16) = P(S1∩S2∩S3∩S4)ind= P(S1)P(S2)P(S3)P(S4) = p4

1.3 EXERCÍCIOS 11

Finalmente,

P(A) = P(w6∪w7∪w8∪w9∪w10∪w11)dis j.=

11

∑i=6

P(wi) = 6p2(1− p)2.

Questão:E se desejássemos determinarP(A), mas agora com base em uma amostra detamanho 50? Obviamente o espaço amostralΩ torna-se mais complexo e, portanto, o cálculode probabilidades diretamente emΩ fica mais difícil. Muitas vezes, o espaço amostral sequeré finito!!

Solução:Tratamento das quantidades de interesse emε e reconhecimento de leis de for-mação no cálculo de probabilidades.

1.3 Exercícios

1. Determine um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:

a) Investigam-se famílias com 4 crianças, anotando-se a configuração segundo osexo.

b) Numa entrevista telefônica com 250 assinantes, pergunta-se se o proprietário temou não máquina de secar roupa.

c) Mede-se a duração de lâmpadas, deixanso-as acesas até que queimem.

d) Um fichário com 10 nomes contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se fichaapós ficha, até o último nome de mulher ser selecionado e anota-se o número de fichasselecionadas.

e) De um grupo de 5 pessoasA,B,C,D,E sorteiam-se duas, uma após a outra, comreposição, e anota-se a configuração formada.

f) Idem, considerando sorteio sem reposição.

2. Expresse em termos de operações entre eventos:

a)A ocorre, masB não ocorre.

b) Exatamente um dos eventosA eB ocorre.

c) Nenhum dos eventosA eB ocorrem.

3. Na figura 1 (ao final da lista), temos um sistema com três componentes funcionandoindependentemente, com confiabilidades (probabilidades de funcionamento)p1, p2 e p3.Obtenha a confiabilidade do sistema.

4. Na tabela a seguir, os números que aparecem são as probabilidades das interseções entreos eventos em questão. Verifique seA eB são independentes.

1.3 EXERCÍCIOS 12

5. Supondo que todos os componentes do sistema representado na figura 2 (ao final da lista)tenham confiabilidadep e funcionem independentemente, obtenha a confiabilidade dosistema.

6. Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas: I, II e III. A fábrica I pro-duz40%dos circuitos, enquanto a II e a III produzem30%cada uma. As probabilidadesde que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são0,01,0,04 e0,03, respectivamente.

a) Escolhido um circuito na produção conjunta das três fábricas, qual é a probabili-dade de não funcionar?

b) Caso o circuito escolhido não funcione, qual é a probabilidade de ter sido fabricadopor I?

c) Caso o circuito escolhido funcione, qual é a probabilidade de ter sido fabricadopor I?

7. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que2000segurados (1000homense1000mulheres) usaram hospital. Os resultados são apresentados na tabela a seguir:

a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?

b) O uso do hospital independe do sexo do segurado?

8. Para se estudar o comportamento do mercado automobilístico, as marcas foram divididasem 3 categorias: marca F, marca W e as demais reunidas como marca X. Um estudosobre os hábitos de mudança de marca mostrou o seguinte quadro de probabilidades:

1.3 EXERCÍCIOS 13

O primeiro carro que um indivíduo compra é da marca W com probabilidade 50

a) Qual é a probabilidade de que o terceiro carro de um indivíduo seja da marca W?

b) Se o terceiro carro é da marca W, qual é a probabilidade de o primeiro também tersido W?

9. Mostre que seA eB são eventos independentes, então:P(A∩Bc) = P(A).P(Bc) eP(Ac∩Bc) = P(Ac).P(Bc).

10. SejamA eB eventos tais queP(A) = 0,4, P(A∪B) = 0,7 eP(B) = p.

a) Para qual valor dep AeB são disjuntos?

b) Para qual valor dep AeB são independentes?

11. Suponha que nos sistemas representados nas figuras 3.a e 3.b, a probabilidade de quecada relé esteja fechado sejap e que a abertura ou fechamento de cada relé independados demais. Em cada caso, determine a probabilidade de que a corrente passe de L paraR.

CAPÍTULO 2

Variáveis Aleatórias Discretas

2.1 Introdução

Definição 2.1.Umavariável aleatóriaé uma função que confere um número real a cada resul-tado no espaço amostral de um experimento aleatório:

X : Ω→ RX ⊂ Rw→ X(w)

Se o conjuntoRX de valores possíveis deX for finito ou infinito enumerável,X é variávelaleatóriadiscreta. Caso contrário,X é variável aleatóriacontínua.

Notação: Variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas. Realizações valoresobservados de variáveis aleatórias são denotados por letras minúsculas

Exemplo 2.1. ε : Seleção aleatória de 100 pessoas.Defina as variáveis aleatórias:

• X: número de pessoas, entre as 100, que possuem uma característica de interesse.RX = 0,1,2,3, · · · ,100→ finito ⇒ X é v.a. discreta.

• Y: proporção de pessoas, entre as 100, que possuem uma característica de interesse.RY = 0, 1

100,2

100,3

100, · · · ,1→ finito ⇒Y é v.a. discreta.

• Z: altura de cada uma das 100 pessoas.RZ = R+ → infinito, não enumerável⇒ Z é v.a. contínua.

• W: Número de pessoa selecionadas, com reposição, entre as 100, até que se encontreuma que tenha a característica de interesseRW = 1,2,3, · · · → infinito, enumerável⇒W é v.a. discreta.

Definição 2.2.A função de distribuição acumulada(f.d.a) de uma variável aleatóriaX é dadapor:

FX : R→ [0,1]x→ FX(x) = P(X ≤ x). (2.1)

14

2.1 INTRODUÇÃO 15

Definição 2.3.A função de probabilidade(f.p.) de uma variável aleatória discretaX é dadapor:

pX : R→ [0,1]x→ pX(x) = P(X = x) (2.2)

e satisfaz a:(i) pX(x)≥ 0, ∀x(ii) ∑R pX(x) = 1.

SeX é variável aleatóriadiscreta, então sua f.d.a. á calculada da seguinte forma:

FX(x) = P(X ≤ x) = ∑x j≤x

pX(x j). (2.3)

A função de distribuição acumula, no caso discreto, tem a forma de função escada, comoilustra a figura 2.1, anulando-se quandox→−∞ e tendendo a 1 quandox→ ∞. Ainda, ap-resenta saltos de magnitudepX(x) e os pontos de descontinuidade são os possíveis valores deX.

Figura 2.1 Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta

Assim como se pode obter a f.d.a.FX(x) a partir da f.p.pX(x), a recíproca também vale:

pX(x) = FX(x)−FX(x−),FX(x−) = lim

x→x−FX(x). (2.4)

Definição 2.4.A coleção de pares[xi , pX(xi)] é denominadadistribuição de probabilidadesdeX.

2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 16

2.2 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas

Exemplo 2.2. Voltemos ao exemplo 1.3. Defina a variável aleatória:X → Número de pessoassadias, entre as 4 selecionadas. Tem-se, então:

i wi P(wi) x1 FFFF (1− p)4 0

2 SFFF p(1− p)3 13 FSFF p(1− p)3 14 FFSF p(1− p)3 15 FFFS p(1− p)3 1

6 SSFF p2(1− p)2 27 SFSF p2(1− p)2 28 SFFS p2(1− p)2 29 FSSF p2(1− p)2 210 FSFS p2(1− p)2 211 FFSS p2(1− p)2 2

12 FSSS p3(1− p) 313 SFSS p3(1− p) 314 SSFS p3(1− p) 315 SSSF p3(1− p) 3

16 SSSS p4 4

Portanto, a distribuição deX é:

x pX(x) = P(X = x)

0 (1− p)4 =(

40

)p0(1− p)4−0

1 4p(1− p)3 =(

41

)p1(1− p)4−1

2 6p2(1− p)2 =(

42

)p2(1− p)4−2

3 4p3(1− p) =(

43

)p3(1− p)4−3

4 p4 =(

44

)p4(1− p)4−4

Ou, resumidamente:

pX(x) =(

4x

)px(1− p)4−x, x = 0,1,2,3,4

= 0, para outros valores deX.


Observe que foi possível obter uma lei de formação ou fórmula fechada para ao cálculodas probabilidades associadas a quaisquer valores da variável aleatóriaX. Tem-se, então, ummodelo probabilístico paraX.

Questão:Sob as mesmas condições anteriores, qual seria a distribuiçào de probabilidadeda variável aleatóriaY: número de sadios entre 100 pacientes selecionados?

Passaremos a descrever, nas subseções a seguir, alguns dos modelos probabilísticos discre-tos mais usuais.

2.2.1 Uniforme

Suponha um experimento aleatórioε determinado pela seleção aleatória de um valor, entren valores possíveis, com espaço amostralΩ = a1,a2, · · · ,an.

SejaX a variável aleatória que indica o valor selecionado.

X : Ω→ RX = x1,x2, · · · ,xnw→ X(w)

Note-se que, em geral, nesse caso,X é a função identidade, levando cada elemento do espaçoamostral,ai , axi = ai .

Diz-se que a variável aleatória discretaX tem distribuição Uniforme se osn possíveis valo-res deX, RX = x1,x2, · · · ,xn ocorrem todos com mesma probabilidade.

Portanto, a função de probabilidade deX é:

pX(x) =

1n, x = x1,x2, · · · ,xn

0, c.c.(2.5)

Notação: X ∼Ux1,x2, · · · ,xn

2.2.2 Bernoulli(p)

Suponha um experimento aleatórioε dado pela seleção aleatória de um elemento, que podeser "sucesso" (S, com probabilidadep) ou "fracasso" (F , com probabilidade1− p, tendo-se,portanto, espaço amostralΩ = S,F.

SejaX a variável aleatória indicadora de sucesso, isto é,

X =

1, se ocorre sucesso0, c.c.

.

X : Ω→ RX = 1,0w→ X(w)


A função de probabilidade deX é:

pX(x) =

px(1− p)1−x, x = 0,10, c.c.

(2.6)

Notação: X ∼ Ber(p).

2.2.3 Binomial(n,p)

Seja o experimento aleatórioε composto porn repetições de ensaios de Bernoulli inde-pendentes, todos com probabilidade de "sucesso"p, resultantes da seleção aleatória ecomreposiçãode n elementos de uma população com tamanho qualquer. O espaço amostral as-sociado aε pode ser escrito comoΩ = a1,a2, · · · ,an : ai = SouF. Denote porX variávelaleatória que representa o número de sucessos observados nasn repetições.

X : Ω→ RX = 0,1,2, · · · ,nw→ X(w)


pX(x) =

(nx

)px(1− p)n−x, x = 0,1,2, · · · ,n

0, c.c.(2.7)

Notação: X ∼ Bin(n, p)Obs: X ∼ Bin(1, p)≡ X ∼ Ber(p)

2.2.4 Hipergeométrica(N,n,r)

Adimita agora que o experimento aleatório de interesse,ε, seja composto porn repetiçõesde ensaios de Bernoulli dependentes, todos com probabilidade de "sucesso"r

N , resultantes daseleção aleatória esem reposiçãode uma amostra de tamanhon, a partir de uma populaçãocomN elementos, dos quaisr são sucessos. Pode-se, então, representar o espaço amostral doexperimento por:Ω = a1,a2, · · · ,an : ai = SouF,ai 6= a j , i 6= j.

SejaX variável aleatória que registra o número de sucessos nasn repetições.

X : Ω→ RX = 0,1,2, · · · ,min(n, r)w→ X(w)



pX(x) =

(rx

)(N− rn−x

)

(Nn

) , x = 0,1,2, · · · ,min(n, r)

0, c.c.

(2.8)

Notação: X ∼ Hip(N,n, r)

Aproximação da Hipergeométrica pela Binomial:

As condições do experimento aleatório realizado no modeloBinomial diferem daquelassob os quais vale o modeloHipergeométricoapenas quanto à forma de seleção da amosta:comreposiçãoou sem reposição. Entretanto, se o tamanho da amostra for pequeno em relação àpopulação, dificilmente um mesmo elemento será selecionado mais que uma vez e, portanto,a amostragem com reposição fornece resultados próximos aos da amostragem com reposição.Assim, se, no modelo Hipergeométrico,n < 0,10N⇒ X ∼ Hip(N,n, r)≈ X ∼ Bin

(n, r

N

).

2.2.5 Geométrica(p)

Sejaε o experimento aleatório dado por repetições de ensaios de Bernoulli independentes,todos com probabilidade de "sucesso"p, resultantes da seleção aleatória e com reposição deelementos até obter sucesso, tendo, portanto, espaço amostral:Ω = S,FS,FFS, · · ·.

DefinaX como a variável aleatória que representa o número de ensaios de Bernoulli atéobter o1o sucesso.

X : Ω→ RX = 1,2, · · ·w→ X(w)


pX(x) =

(1− p)x−1p, x = 1,2, · · ·0, c.c.

(2.9)

Notação: X ∼Geo(p)


Propriedade de Falta de Memória da Geométrica:

SeX ∼Geo(p), então:

P(X > t +s | X > t) = P(X > s) (2.10)

Exercício:Demonstre a Propriedade de Falta de Memória da distribuição Geométrica.Dica: use a definição de probabilidade condicional e o fato de que a soma dos termos de umaP.G de razãoq:

Sn =a1(1−qn)

1−q.

2.2.6 Pascal(r,p) ou Binomial Negativa(r,p)

Seja o experimento aleatórioε composto por repetições de ensaios de Bernoulli inde-pendentes, todos com probabilidade de "sucesso"p, resultantes da seleção aleatória e comreposição de elementos até obterr sucessos. O espaço amostral é dado porΩ = a1,a2, · · · ,ak :ak = Se (r−1)dosai ’s sãoS, i < k,k≥ r.

DefinaX: a variável aleatória que registra o número de ensaios de Bernoulli até obterrsucessos.

X : Ω→ RX = r, r +1, · · ·w→ X(w)


pX(x) =

(x−1r−1

)pr(1− p)n−r , x = r, r +1, · · ·

0, c.c.(2.11)

Notação: X ∼ Pas(r, p)Obs: X ∼ Pas(1, p)≡ X ∼Geo(p)

2.2.7 Poisson(λ )

Definição 2.5.Um Processo de Poissoné definido pelas seguintes hipóteses:

1. Os números de ocorrências do processo durante intervalos de tempo não-sobrepostosconstituem variáveis aleatórias independentes;


2. SeXt é o número de ocorrências do processo no intervalo de[0, t) e Yt é o número deocorrências do processo no intervalo de[t, t1+ t), para qualquert1 > 0, então as variáveisaleatóriasXt eYt têm a mesma distribuição de probabilidade;

3. Sejapn(t) = P(Xt = n). Entãop1(∆t)≈ λ∆t, se∆t for suficientemente pequeno, ondeλé uma constante positiva;

4. Para∆t suficientemente pequeno,∑∞k=2 pk(∆t)≈ 0;

5. X0 = 0 ou, equivalentemente,p0(0) = 1.

O Modelo Poisson

Seja um experimento aleatórioε satisfazendo as condições do Processo de Poisson e definaX∆t como a variável aleatória que denota o número de ocorrências do Processo de Poisson emum intervalo qualquer de comprimento∆t.

A função de probabilidade deX∆t é obtida resolvendo-se uma equação diferencial definidapelas hipóteses (a)-(e) (v. Paul Meyer para demonstração) e dada por:

pX∆t (x) =

e−λ∆t(λ∆t)x

x! x = 0,1, · · ·0, c.c.

(2.12)

Alguns exemplos usuais de Processos de Poisson são:

• Número de chamadas chegando a uma central telefônica, durante um período det in-stantes;

• Número de estrelas encontradas em uma parte da Via Láctea com volumet;

• Número de glóbulos sangüíneos visíveis em um microscópio, por unidade quadrada deárea.

Exemplo 2.3. Suponha que o número de ligações chegando a uma central telefônica tenhadistribuição de Poisson com parâmetroλ= 5 ligações/minuto. Determine:(a) A probabilidade de ocorrerem mais que 2 ligações em 1 minuto(b) Idem, em 10 minutos.


Exemplo 2.4. Em um cruzamento com tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofre aci-dente é bastante pequena e estimada comop= 0.0001. Durante certa parte do dia, por exemplodaàs 18:00h, um grande número de carros passa pelo cruzamento, algo como 10.000 carros.(a) Nessas condições, qual é a probabilidade de que 2 ou mais carros se acidem naqueleperíodo?(b) E se o número de carros passando pelo cruzamento for 100.000? (c) E se o número decarros passando pelo cruzamento for 500.000?

Aproximação da Binomial(n,p) pela Poisson(np)

Teorema 2.1.SejaX ∼ Bin(n, p). Então, quandon→ ∞ e p→ 0, de tal forma quenp= λ , adistribuição deXaproxima-se daPoisson(λ = np)

Demonstração:

pX(x) =(

nx

)px(1− p)n−x, x = 0,1,2, · · · ,n

=n!

x!(n−x)!px(1− p)n−x

=n(n−1)(n−2) · · ·(n−x+1

x!px(1− p)n−x. (2.13)

Façamosλ = np.⇒ p = λn .

⇒ pX(x) =n(n−1) · · ·(n− (x−1))

x!

(λn

)x(n−λ

n

)n−x

=(n

n

)(n−1

n

)· · ·

(n− (x−1)

n

)λ x

x!

(n−λ

n

)n

(n−λ

n

)x

= 1·(

1− 1n

)· · ·

(1− (x−1)

n

)λ x

x!

(n−λ

n

)n

(n−λ

n

)x .

Agora, façan→∞, de tal forma quenp= λ permaneça constante, o que implica quep→ 0.

limn→∞

pX(x) =λ x

x!limn→∞

(1− 1

n

)n

=λ xe−λ

x!. ¤

2.3 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 23

Voltemos ao exemplo 2.4. Aplicando a aproximação, paran = 10.000, temos:

Xa∼ Poisson(10.000×0.0001︸︷︷︸

1

)

P(X ≥ 2) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)

≈ 1− e−110

0!− e−111

1!= 1−2e−1 = 0.26424.

2.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Discretas

Definição 2.6.O k-ésimomomentode uma variável aleatóriaX é dado por:

µk = E[Xk] (2.14)

SeX é variável aleatória discreta, então seuk-ésimo momento pode ser calculado por:

µk = E[Xk] = ∑x

xkpX(x) (2.15)

Em particular,

• E[X] = µ1

• V[X] = E[X2]−E2[X] = µ2−µ21

A tabela a seguir resume o valor esperado e a variância de algumas variáveis aleatóriasdiscretas.

Distribuição deX E[X] V[X]

Bernoulli(p) p p(1− p)

Binomial(n, p) np np(1− p)

Hipergeométrica(N,n, r) np N−nN−1(p(1− p),p = r

N

Geométrica(p) 1p

(1−p)p2

Pascal(r, p) rp

r(1−p)p2

Poisson(λ ) λ λ

2.4 EXERCÍCIOS 24

2.4 Exercícios

1. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso.SejaX o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidadedeX, quando:

a) As peças forem escolhidas com reposição;

b) As peças forem escolhidas sem reposição.

2. Sabe-se que a v. a.X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) é tal que:F(1)−F(1−) = 1/3;F(2)−F(2−) = 1/6;F(3)−F(3−) = 1/2.Obtenha a distribuição deX, a f.d.a. F(x) deX e seus respectivos gráficos.Obs:F(l−) é o limite deF(x) quandox tende al pela esquerda.

3. Uma fábrica produz 10 recipientes de vidro por dia. Deve-se supor que exista uma prob-abilidade constantep= 0,1 de produzir um recipiente defeituoso. Antes que esses recip-ientes sejam estocados, eles são inspecionados e e os defeituosos são separados. Admitaque exista uma probabilidade constanter = 0,1 de que um recpiente defeituoso seja malclassificado. FaçaX igual ao número de recipientes classificados como defeituosos aofim de um dia de produção. Admita que todos os recipientes fabricados em um dia sejaminspecionados naquele mesmo dia.

a) CalculeP(X = 3) eP(X > 3).

b) Obtenha a expressão deP(X = k)

4. Uma indústria fabrica peças, das quais 20% são defeituosas. Dois compradores, A eB, classificam as peças adquiridas em categorias I e II, pagando 1,20 u.m. e 0,80 u.m.,respectivamente, para cada categoria. A classificação é feita de acordo com os seguintescritérios: Comprador A: Retira uma amostra aleatória de 5 peças. Se encontrar mais queuma defeituosa, classifica como II. Comprador B: Retira uma amostra aleatória de 10peças. Se encontrar mais que duas defeituosa, classifica como II.

a) Determine a função de probabilidade das variáveis aleatóriasVA eVB. respectiva-mente os preços de venda aos compradores A e B.

b) Determine a função de distribuição acumulada deVA eVB.

c) Em média, qual dos compradores oferece maior lucro?

d) Em uma situação de tomada de decisão real, o maior lucro médio (ou esperado)seria suficiente para definir a escolha? Que outros critérios poderiam ser levados emconta?

5. Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da população estáincluída em certo tip de acidente a cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos,ao caso, na população; qual é a probabilidade de que não mais que 5 de seus clientesvenham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano?

2.4 EXERCÍCIOS 25

6. Uma fonte radioativa é observada por 7 intervalos de tempo, cada um com dez segundosde duração. O número de partículas emitidas durante cada período é contado. Suponhaque o número de partículas emitidas,X, tenha distribuição de Poisson e que, em média,sejam emitidas 0,5 partículas por segundo.

a) Qual é a probabiliadde de que, a cada um dos 7 intervalolos de tempo, 4 ou maispartículas sejam emitidas?

b) Qual é a probabilidade de que, em ao menos 1 dos 7 intervalos, 4 ou mais partícu-las sejam emitidas?

7. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8. Suponha que tentati-vas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos.

a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias?

b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias?

c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 u.m. e se um lançamento falho custa500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operação.

d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivossejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso.

8. A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissãodigital é 0,1. Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes.

a) SejaX o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine adistribuição deX.

b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de trans-missão.

c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmis-são, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro.

d) Determine o número esperado e o coeficiente de variação do número de ensaiosaté o primeiro erro. O número esperado de ensaior é um bom preditor nesse caso?

e) SejaY o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine adistribuição deY.

f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de trans-missão

g) Determine o número esperado e o coeficiente de variação do número de ensaiosaté o quarto erro.

9. O número de navios petroleiros que chegam a uma certa refinaria, a cada dia, tem dis-tribuição Poisson, com parâmetroλ = 2. As atuais instalações do porto podem atendera três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes atrês deverão seguir para outro porto.

a) Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros a outro porto?

2.4 EXERCÍCIOS 26

b) De quanto deverão as atuais instalações ser aumentadas para permitir manobrartodos os petroleiros, em aproximadamente 90% dos dias?

c) Qual é o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?

d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem num dia?

e) Qual é o número esperado de petroleiros atendidos diariamente?

f) Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão a outros portos diariamente?

10. Em uma fábrica, a produção de 850 peças resultou em 50 peças não-conformes. Duaspeças são selecionadas ao acaso, sem reposição. SejaX o número de peças não-conformes.

a) Determine a distribuição deX.

b) DetermineP(X ≤ 2), de forma exata.

c) DetermineE[X] eV[X].

d) DetermineP(X ≤ 2), de forma aproximada. Justifique o uso da aproximação.

11. SejaX ∼ Bernoulli(p). Mostre queE[X] = p eV[X] = pq, q = 1− p.

12. SejaX ∼ Binomial(n, p). Mostre queE[X] = npeV[X] = npq, q = 1− p.Dica: Use o resultado da questão 10 e os seguintes fatos: "uma variável com distribuiçãoBinomial(n, p) pode ser escrita como a soma den variáveis aleatóriasBernoulli(p) inde-pendentes. "O valor esperado de uma soma finita de variáveis aleatórias é igual à somados valores esperados. "A variância de uma soma finita de variáveis aleatóriasindepen-dentesé igual à soma das variâncias.

13. Mostre que seX ∼Geomtrica(p), entãoE[X] = 1/p eV[X] = q/p2.

14. SejaX ∼ Pascal(r, p). Mostre queE[X] = r/p eV[X] = rq/p2, q = 1− p.Dica: Use o resultado da questão 12 e os seguintes fatos: "uma variável com distribuiçãoPascal (r,p) pode ser escrita como a soma de r variáveis aleatórias Geométricas(p) inde-pendentes. "O valor esperado de uma soma finita de variáveis aleatórias é igual à somados valores esperados. "A variância de uma soma finita de variáveis aleatórias indepen-dentes é igual à soma das variâncias.

15. Mostre que seX ∼ Poisson(λ ), entãoE[X] = λ eV[X] = λ .

Dica: ∑∞k=0

xk

k! = ex.

2.4 EXERCÍCIOS 27

16. Mostre que seX∼Hipergeomtrica(N,n, r), entãoE[X] = np, p= r/N eV[X] = npq(N−n)/(N−1), q = 1− r/N.Dica→ Use os seguintes fatos:

CAPÍTULO 3

Variáveis Aleatórias Contínuas

3.1 Introdução

Definição 3.1.Umavariável aleatória contínuaX é uma função levando do espaço amostral àreta real:

X : Ω→ RX ⊂ Rω → X(ω),

em queRX é um conjunto não-enumerável.

Definição 3.2.A função densidade de probabilidade(f.d.p.) de uma variável aleatória contínuaX é a funçãofX(x) que satisfaz a:(i) fX(x)≥ 0, ∀x(ii)

∫ ∞−∞ fX(x)dx= 1

(iii) P(X ∈ B) =∫

B fX(x)dx

Obs: Note que, de (iii), decorre que seX é variável aleatória contínua, entãoP(X = a) =∫ aa fX(x)dx= 0, ∀a∈ R.

SeX é variável aleatória contínua, então sua função de distribuição acumulada, definida por(2.2), é calculada por:

FX(x) = P(X ≤ x) =∫ x

−∞fX(u)du. (3.1)

A função de distribuição acumulada, no caso contínuo, é uma função crescente e contínua,tendendo a 0 quandox→−∞ e tendendo a 1 quandox→ ∞, como ilustra a figura 3.1.

Assim como se pode obter a f.d.a.FX(x) a partir da f.d.p.fX(x), a recíproca também vale:

fX(x) =dFX(x)

dx(3.2)

28

3.1 INTRODUÇÃO 29

Figura 3.1 Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta

A coleção de pares[xi , fX(xi)] é denominadadistribuiçãodeX.Obs: Para se determinar o quantil100γ% da v.a.X,xγ , basta fazer:

P(X ≤ xγ) = γ ⇒ FX(xγ) = γ ⇒ xγ = F−1X (xγ).

Exemplo 3.1. Suponha que X seja uma variável aleatória com densidade:

fX(x) =

5e−5x, x≥ 00, c.c.

a) Mostre que a função acima é, de fato, uma função densidade de probabilidade paraX;b) Determine a função de distribuição acumulada deX e utilize-a para determinar os quartis deX.

Exemplo 3.2. Suponha queX seja uma variável aleatória com densidade:

fX(x) =

k(1− | x |), −1≤ x≤ 10, c.c.

a) Determine o valor dek;b) DetermineP(−1/2 < X < 2/3)c) DetermineP(−1/2 < X < 2/3 | X > 0)d) Determine a função de distribuição acumulada deX e utilize-a para determinar os quartis deX e o percentil 90e) Determine a moda deX.

3.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 30

3.2 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas

3.2.1 Uniforme Contínua(a,b)

Diz-se queX tem distribuição uniforme contínua no intervalo(a,b) (ou [a,b], indiferente-mente), se sua função densidade de probabilidade é constante:fX(x) = k, a < x < b. Dascondições (i) e (ii) sobre funções densidade de probabilidade, tem-se quek > 0 e:

∫ ∞

−∞kdx=

∫ b

akdx⇒ k =

1b−a

.

Assim,

fX(x) = 1

b−a, a < x < b0, c.c.

(3.3)

Exercício: Ônibus chegam a uma parada a cada 15 minutos, começando às 7:00h. Se umpassageiro chega ao ponto em um instante aleatório entre 7:00h e 7:30h, qual é a probabilidadede que espere pelo ônibus por menos que 5 minutos?

Exercício:Mostre que seX ∼U(a,b) então sua distribuição acumulada é dada por:

FX(x) =

0, x < 0x−ab−a, a < x < b1, x≥ 1

(3.4)

3.2.2 Normal(µ ,σ2)

Diz-se queX tem distribuição Normal(µ ,σ2) ou Gaussiana Normal(µ ,σ2)se sua funçãodensidade de probabilidade é:

fX(x) =1√

(2π)σ2exp

−(x−µ)2

2σ2

, −∞ < x < ∞. (3.5)

A curva determinada pela expressão acima tem formato de sino e é simétrica em torno deµ , com dispersão controlada pelo parâmetroσ2, tornando-se mais concentrada em torno deµquanto menor forσ2. A figura 3.2 ilustra uma curva normal para um valor específico do par(µ ,σ2).


Figura 3.2 Função de densidade de uma variável aleatória normal

Pela propriedade (iii) de funções de densidade, para calcularP(a < X < b), deveríamossolucionar a seguinte integral:

P(a < X < b) =∫ b

afX(x)dx=

∫ b

a

1√(2π)σ2

exp

−(x−µ)2

2σ2

dx. (3.6)

A integral acima, entretanto, não pode ser obtida de forma exata, sendo necessário fazeruso de métodos numéricos para obtê-la aproximadamente. Observe, porém, que cada valoratribuío ao par (µ ,σ2) modifica a função a ser integrada, tornando inviável a tarefa de se fazera avaliação numérica de cada uma dessas integrais. Fazemos uso então do seguinte fato: seX ∼ N(µ ,σ2), então

Z =X−µ

σ∼ N(0,1) (3.7)

e diz-se queZ tem distribuiçãonormal padrãoou normal reduzida. Têm-se disponíveis, en-tão, tabelas com aproximações numéricas de probabilidades associadas apenas a variáveis nor-mais padronizadas, de tal sorte que, para calcular probabilidades associadas a uma distribuiçãoN(µ,σ2) qualquer, basta reduzi-la àN(0,1) e, então, consultar as probabilidades desejadasnessas tabelas.

Exercício: O lucro na venda de determinada peça depende de seu comprimento, que temdistribuição normal com média40cme variância16cm2. Se o comprimento estiver entre36cme44cm, o lucro éR$10,00. Se tiver comprimento inferior a36cm, a peça é descartada, geragndoprejuízo deR$10,00. Se o diâmetro for superior a44cm, a peça é retrabalhada e o lucroproveniente éR$7,00. Determine o lucro esperado da venda de uma de tais peças.


3.2.3 Exponencial(λ )

Diz-se queX tem distribuição Exponencial(λ > 0) se sua função densidade de probabili-dade é:

fX(x) =

λe−λx, x≥ 00, c.c.

(3.8)

A densidade acima é assim;étrica positiva e seu formato, para alguns valores deλ , é exibidona figura 3.3: assume valorλ quandox = 0 e tende a 0 quandox→ ∞. O parâmetrolambdacontrola a velocidade do decaimento, que se torna mais rápido quanto maior forλ .

Figura 3.3 Função de densidade de uma variável aleatória Exponencial

A função de distribuição acumulada Exponencial, portanto, é dada por:

FX(x)(3.1)=

∫ x

0fX(u)du= 1−e−λx. (3.9)

Exercício:Mostre que a função de distribuição acumulada da distribuição Exponencial (λ )é dada pela expressão(3.9).

Relação entre a Poisson e a Exponencial

Teorema 3.1.Se o número de ocorrências de um processo de contagens segue a distribuiçãoPoisson(λ ), então as variáveis aleatórias "Tempo até a primeira ocorrência" e "Tempo entrequaisquer ocorrências sucessivas" do referido processo têm distribuição Exp(λ ).

Demonstração em aula


Exemplo 3.3. Suponha que tremores de terra ocorram na região oeste dos EUA a uma taxamédia deλ tremores por semana, seguindo um Processo de Poisson. SejaT a variável aleatóriaque denota o tempo até o próximo tremor. Determine a densidade deT.

Propriedade de Falta de Memória da Exponencial

SeX ∼ Exp(λ ), então:

P(X > t +s | X > t) = P(X > s) (3.10)

Obs:Podemos pensar na Propriedade de Falta de Memória implicando qucomponente cujaduraçãoT ∼ Exp(λ ) está sendo estudada funcione sempre como novo, ou seja, seu potencialpara falha é constante. Assim, a distribuição exponencial presta-se à modelagem do período devida útil de um componente, mas não de períodos de desgaste ou aperfeiçoamento.

Exercício:Demostre a Propriedade de Falta de Memória da distribuição Exponencial.

Exercício: Suponha que a duração de ligações telefônicas em certa empresa tenha dis-tribuição exponencial e que, em média, cada ligação dure 10 minutos. Se apenas um telefoneestá disponível e alguém começa a usar o telefone imediatamente antes de você, determine aprobabilidade de que você precise esperar:a) mais que 10 minutosb) entre 10 e 20 minutosc) mais que 12 minutos, uma vez que já esteja esperando há 7 minutos.

3.2.4 Gama(α,λ )

Diz-se queX tem distribuição Gama(α ,λ ) se sua função densidade de probabilidade é:

fX(x) =

λ α

Γ(α)e−λxxα−1, x≥ 0

0, c.c., (3.11)

a qual é ilustrada na figura 3.2.4. No primeiro gráfico, tem-se o parâmetroλ fixo e diferentesvalores para o parâmetro de forma,α. Paraα ≤ 1 a função é monótona. Observe que ocasoα = 1 equivale à densidade Exponencial(λ ). No segundo ggráfico, fixou-se o parâmetrode forma e vaiou-seλ . Note que quanto maior o valor deλ , mais rapidamente a função dedensidade tende a zero.


Figura 3.4 Função de densidade de uma variável aleatória Gama

A constanteΓ(α) presente no denominador de (3.15) é afunção Gama, dada por:

Γ(α) =∫ ∞

oe−uuα−1du. (3.12)

Seα é inteiro, então, resolvendo-se a integral acima recursivamente por partes , obtém-se:

Γ(α) = (α−1)Γ(α−1)⇒ Γ(α) = (α−1)! (3.13)

Assim, a função Gama pode ser vista como uma extensão da função fatorial, permitindo argu-mentos não-inteiros.

Casos Particulares da Densidade Gama:

• Seα = 1⇒ X ∼Gama(α ,λ )≡ X ∼ Exponencial(λ ).

• Seα é inteiro,⇒ X ∼Gama(α,λ )≡ X ∼ Erlang(α,λ ).

• Seα = n/2,λ = 1/2⇒ X ∼Gama(n/2,1/2)≡ X ∼ χ2(n).

Relação entre as Distribuições Poisson e Gama

Teorema 3.2.Se o número de ocorrências de um processo de contagens segue a distribuiçãoPoisson(λ ), então a variável aleatória "Tempo até an-ésima ocorrência" do referido processotem distribuição Gama(n,λ ).



Exemplo 3.4. As falhas em CPU’s de computadores usualmente são modeladas por processosde Poisson. Isso porque, tipicamente, as falhas não são causadas por desgaste, mas por eventosexternos ao sistema. Assuma que as unidades que falham sejam imediatamente reparadas e queo número médio de falhas por hora seja 0,0001. determine as probabilidades de que:(a) o tempo entre falhas sucessivas exceda 10.000 horas;(b) o tempo até a quarta falha exceda 40.000 horas;(c) ocorram mais qe 3 falhas em 20.000 horas.

Exercício: O tempo entre chegadas de clientes a um caixa eletrônico segue a distribuiçãoExponencial com média 5 minutos. Determine a probabilidade de que:(a) mais que 3 clientes cheguem em 10 minutos;(b) o tempo até a chegada do quinto cliente seja inferior a 15 minutos;(c) o tempo entre chegadas sucessivas exceda 7 minutos, uma vez que já se tenham passado 5minutos sem que chegassem clientes.

3.2.5 Qui-quadrado(n)

Um importante caso particular da distribuição Gama(α,λ ) é a distribuição Qui-quadradocomn graus de liberdade, denotada porχ2

(n) e obtida ao se fazer, na distribuição Gama,α = n2

e λ = 12. Assim diz-se que X tem distribuiçãoχ2

(n) se sua função densidade de probabilidade édada por:

fX(x)(3.15)=

1

2n/2Γ(n/2)2n/2−1e−x/2, x≥ 0

0, c.c.(3.14)

Questão:Como calcular probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuiçãoχ2

(n)?

• Caso 1:n = 2m (n é par).

No caso em que o número de graus de liberdade é par, entãoχ2(n) = χ2

(2m)≡Gama(m,1/2),sendom inteiro. Já vimos que se o número de ocorrências de um processo de conta-gens segue a distribuição Poisson(λ ), então a variável aleatória "Tempo até am-ésimaocorrência"do referido processo tem distribuição Gama(m,λ ). Então, a variável aleatóriacom distribuiçãoX∼ χ2

(n) = χ2(2m)≡Gama(m,1/2) pode serpensadacomo uma variável

aleatória representando o tempo até am-ésima ocorrência de um Processo de Poisson(1/2).Assim, os eventosX > x e Nx ≤ m− 1 são equivalentes, sendoNx a v.a. que de-nota o número de ocorrências do processo de Poisson até o "instante"x. Sabendo-se queNx ∼ Poisson(x ·1/2), pode-se calcular probabilidades associadas aX usando-se a dis-tribuição de Poisson. Para maiores detalhes, ver exemplos discutidos em aula.


Figura 3.5 Função de densidade de uma variável aleatória Qui-quadrado

• Caso 2:n é "grande"(par ou ímpar).

Uma aproximação para a distribuiçãoχ2(n) é obtida quando o número de graus de liber-

dade é grande: SeX∼ χ2(n), então paransuficientemente grande,

√2X

a∼Normal(√

2n−1,1).

Exemplo 3.5. Calculando probabilidades paraX ∼ χ2.

(a) SejaX ∼ χ28. Determine DetermineP(X > 8).

(b) SejaX ∼ χ230. Determine DetermineP(X > 32).

• Caso 3:n não atende aos casos acima: pode-se utilizar a tabelaχ2(n).

Exemplo 3.6. SejaX ∼ χ27.

(a) Determine DetermineP(X > 7).(b) Determine o valorx tal queP(X < x) = 0,975.(c) Determine o valorx tal queP(X < x) = 0,95.

3.2.6 Beta(α ,β )

Diz-se queX tem distribuição Beta(α,β ) se sua função densidade de probabilidade é:

fX(x) =

Γ(α+β )

Γ(α)Γ(β )xα−1(1−x)β−1, 0≤ x≤ 1

0, c.c.(3.15)


Note que a densidade acima está definida para valores deX entre 0 e 1. Sea < X < b então0 < Y = X−a

b−a < 1 eY pode ser modelada pela densidade Beta.Seα = 1 e β = 1, entãoBeta(α,β )≡Uni f (0,1).Seα = β , então a densidade é simétrica em torno de 0.5, tornando-se mais concentrada

à medida queα = β aumenta. Seα < β , a densidade é assimétrica positiva e, paraα > β ,assimétrica negativa. A figura 3.6 exibe os formatos da densidade beta para diferentes valoresde seus parâmetros.

Figura 3.6 Função de densidade de uma variável aleatória Beta

Exemplo 3.7. SejaX uma valores entre 30 e 50 e assuma queY = X−3050−30 tenha distribuição

Beta(2,1). DetermineP(X > 40)

3.2.7 Weibull(α,λ )

Diz-se queX tem distribuição Weibull(α ,λ ) se sua função de distribuição acumulada é:

FX(x) =

1−e−(λx)α, x≥ 0

0, c.c.(3.16)

Então,

fX(x)(3.2)=

αλ αe−(λx)α

xα−1, x≥ 00, c.c.

(3.17)

A figura 3.7 exibe a densidade Weibull para diferentes valores do parâmetro de forma,α.


Figura 3.7 Função de densidade de uma variável aleatória Weibull

Obs 1: Seα = 1⇒ X ∼Weibull(α ,λ )≡ X ∼ Exponencial(λ ).Obs 2: A distribuição Weibull é muito utilizada em análises de confiabilidade, devido à

sua versatilidade para modelar tempos de vida de componentes com taxa de falha crescente(α > 1), decrescente (α < 1) ou constante (α = 1).

Aplicação em confiabilidade

Nas análises de confiabilidade, tem-se interesse na modelagem da variável aleatóriaT,tempo de vida ou duração de um componente ou sistema. Suponha-se então queT tenha funçãodensidade de probabilidadefT(t) e função de distribuição acumuladaFT(t) = P(T ≤ t), dadapor (3.1).

Definição 3.3.A função deconfiabilidadedo componente no instantet ( R(t), do termo eminglêsreliability) é a probabilidade de que ele sobreviva ao instantet, dada por:

R(t) = P(T > t) = 1−P(T ≤ t) = 1−FT(t).

Definição 3.4.A funçãotaxa de falha, λ (t), mede para cada instantet o potencial de falha docomponente, dado que este não tenha falhado até aquele instante, e é dada por:

λ (t) = lim∆t→0

P(T < t +∆t|X > t)∆t

= lim∆t→0

P(t < T < t +∆t)P(X > t)∆t

=1

P(X > t)lim

∆t→0

FT(t +∆t)−FT(t)∆t

=1

R(t)dFT(t)

dt

=fT(t)R(t)

. (3.18)


QuandoT ∼Weibull(α,λ ), substituindo-se (3.16) e (3.17) em (3.18), a taxa de falha é dadapor:

λ (t) = αλ αtα−1. (3.19)

Pode-se mostrar (pelo estudo de suas derivadas), que a função taxa de falha Weibull dadapor (3.19) tem os seguintes comportamentos:

• paraα = 1 (em que se tem a distribuição Exponencial), a taxa de falha é constante e,portanto, adequada à modelagem de tempos de vida de componentes em seu período devida útil, quando as falhas são causadas por eventos externos ao componente;

• paraα > 1 a taxa de falha Weibull é crescente, indicando aumento do potencial de falhacom o passar do tempo, situação a que estão sujeitos componentes que se desgastam;

• paraα < 1 a taxa de falha Weibull é decrescente, indicando diminuição do potencial defalha com o passar do tempo.

Exemplo 3.8. O tempo (horas) até a falha de determinado componente é modelado pela dis-tribuição Weibull(2, 0.0002).(a) Determine a probabilidade de que o mecanismo sobreviva por pelo menos 4.500 horas;(b) Determine o tempo de vida que se deve garantir de forma que somente 1% dos componentesfabricados falhem antes do tempo garantido;(c) De acordo com o modelo postulado para o tempo de vida, o componente falha por causasaleatórias, melhora com o passar do tempo ou sofre desgaste?

3.2.8 T de Student(k)

Diz-se queX tem distribuição t de Student comk graus de liberdade se sua função densidadede probabilidade é dada por:

fX(x) =Γ

(k+1

2

)√

kπΓ(

k2

)(

1+x2

k

)−(k+1)/2

, −∞ < x < ∞. (3.20)

A figura 3.8 exibe os comportamentos da densidade acima, para diferentes graus de liber-dadek. Como se pode constatar, a densidade é simétrica em torno de zero (sua moda), comformato de sino, semelhante a distribuições normais com média nula. Entretanto, as caudasda distribuição T são mais pesadas que as da normal, o que significa que, quandox→−∞ oux→ ∞, a densidade aproxima-se de zero mais lentamente que a normal. À medida em que onúmero de graus de liberdade,k, aumenta, a distribuição T torna-se mais concentrada. No lim-ite, quandok→ ∞, a densidade T converge para a normal-padrão. Assim, para valores grandesdek, a distribuição T pode ser aproximada pela normal-padrão.


Figura 3.8 Função de densidade de uma variável aleatória T de Student

A distribuição T tem como caso particular a distribuição Cauchy, quandok = 1. Emboraa distribuição T seja sempre simétrica em torno de zero, a média da distribuição Cauchy nãoexiste, pois a integral necessária ao cálculo do valor esperado não converge. Para valoresk > 1a média existe e, claramente, é nula, em virtude da simetria em torno de zero. De forma geral,seX ∼ T(k) então são finitos seus momentos de ordemn < k.

Probabilidades associadas à distribuição T podem ser encontradas em tabelas, nas quaisa linha correspondente a infinitos graus de liberdade reporta quantis da distribuição normal-padrão.

Exemplo 3.9. SejaX ∼ T(k). Determine os percentis 95, 97,5 e 99 deX, para:(a)k = 10(b) k = 150

Observação: Um resultado importante e bastante aplicado em Inferência é o fato de que seZ∼ N(0,1) e é independente deQ∼ χ2

(n), então

T =Z√

Qn

∼ T(n).

Daí decorre que seX1, · · · ,Xn formam uma amostra aleatória deX ∼ N(µ ,σ2) e s é o desvio-padrão amostral, dado, pors=

√∑n

i=1(xi− x)2/(n−1), então:

T =X−µs/n

∼ T(n−1).

Os fatos acima poderão ser provados no curso de Cálculo das Probabilidades III.

Exemplo 3.10.Em uma linha de produção, determinada peça deve ser fabricada, em média,comµ = 10cmde comprimento. Toma-se uma amostra de 22 peças, obtendo-se comprimento


médio amostralx = 11,2cme desvio-padrãos= 1,5cm. Você julga que os valores observadosna amostra fornecem indícios de que as peças produzidas estejam acordo com as especificaçõesda linha de produção? (Isso equivale a perguntar: o valor obsevado para a média amostral é umvalor típico seµ = 10cmou é um valor discrepante, isto é, posicionado na cauda da distribuiçãode X?). Assuma que o comprimentoX das peças produzidas seja modelado adequadamentepela distribuição Normal.

3.2.9 F de Fisher-Snedcor(d1,d2)

Diz-se que a variável aleatória contínuaX tem distribuição F comd1 ed2 graus de liberdadese sua função densidade de probabilidade é dada por:

fX(x) =

Γ(

d1+d22

)d

d1/21 d

d2/22

Γ(

d12

)Γ(

d22

) x(d1/2)−1

(d1x+d2)(d1+d2)/2 , x≥ 0;

0, c.c.

(3.21)

A figura exibe os gráficos das densidades F para alguns valores de seus graus de liberdade,d1 ed2. A distribuição é assimétrica positivam, tendo moda em zero quandod1 = 1 oud1 = 2;caso contrário, a moda ocorre em algum ponto maior que zero.

Figura 3.9 Função de densidade de uma variável aleatória F de Student

Percentis associados à distribuição F podem ser obtidos em tabelas, que, em geral, fornecemapenas quantis superiores associados à distribuição: usualmente, os percentis 95, 97,5 e 99.Para se obter percentis inferiores, pode-se usar a propriedade descrita a seguir. Denote-se porxd1,d2,p o p-ésimo percentil da distribuição F comd1 e d2 graus de liberdade, ou seja, o valortal que:

P(Fd1,d2 ≤ xd1,d2,p) = p.

3.3 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 42

Então tem-se que:xd1,d2,p = 1/xd2,d1,1−p.

Exemplo 3.11.Obtenha o quantil 5% da distribuição F com 6 e 8 graus de liberdade.

Observação: Um resultado importante e bastante aplicado em Inferência é o fato de que seQ1∼ χ2

d1e é independente deQ2∼ χ2

d2, então

T =Q1/d1

Q2/d2∼ Fd1,d2.

Daí decorre que seX11, · · · ,X1n1 formam uma amostra aleatória deX∼N(µ1,σ2) independentede uma segunda amostra aleatóriaX21, · · · ,X2n2 X∼N(µ2,σ2), denotando-se pors2

j a variânciada amostraj, dada, pors2

j = ∑ni=1 j(x ji − x j)2/(n j −1), j = 1,2, então:

F =s21

s22

∼ Fn1−1,n2−1.

Os fatos acima poderão ser provados no curso de Cálculo das Probabilidades III.

3.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Contínuas

Definição 3.5. O k-ésimomomentode uma variável aleatóriaX é dado por (2.14). SeX évariável aleatória contínua, então seuk-ésimo momento pode ser calculado por:

µk = E[Xk] =∫

xk fX(x)dx. (3.22)

Em particular,

• E[X] = µ1

• V[X] = E[X2]−E2[X] = µ2−µ21

A tabela a seguir resume o valor esperado e a variância de algumas variáveis aleatóriascontínuas.

3.4 EXERCÍCIOS 43

Distribuição deX E[X] V[X]

Uniforme(a,b) a+b2

(b−a)2

12

Normal(µ,σ2) µ σ2

Exponencial(λ ) 1λ

1λ 2

Gama(α ,λ ) αλ

αλ 2

χ2n n 2n

Beta(α,β ) αα+β

αβ(α+β )2(α+β+1)

Weibull(α,λ ) 1λ Γ

( 1α +1

) 1λ 2 Γ

( 2α +1

)− 1λ 2

[Γ

( 2α +1

)]2

T(k) 0, sek > 1 kk−2, sek > 2

F(d1,d2) d2d2−2, sed2 > 2 2d2

2(d1+d2−2)d1(d2−2)2(d2−4) , sed2 > 4

3.4 Exercícios

1. A demanda diária de arroz em um supermercado em centenas de quilos, é uma v.a. Xcom funçào densidade de probabilidade:

fX(x) =

2x3 , 0 < x < 11− x

3, 1 < x < 30, c.c.

a) Mostre quefx(x) é uma função densidade de probabilidade para a demanda dearroz.

b) Qual é a probabilidade de, em um dia escolhido ao acaso, se vender mais que150kg de arroz?

c) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?

d) Determine a função de distribuição acumulada de X.

e) Qual é a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição do público diaria-mente para que não falte arroz com 95% de probabilidade?

3.4 EXERCÍCIOS 44

f) Qual é a demanda mediana de arroz?

g) E a demanda modal?

2. A temperaturaT de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade finaldo produto. Suponha queT seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme nointervalo de 150 a 300. Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo sejaC1u.m. Se o óleo é destilado a uma temperatura inferior a 2000, o produto obtido évendido aC2u.m; se a temperatura for superior a 2000, o produto é vendido aC3u.m.

a) Fazer o gráfico da f.d.p de T.

b) Qual o lucro esperado por galão?

3. O diâmetroX de rolamentos de esferas fabricados por certa fábrica tem distribuiçãoN(0,6140;(0,0025)2). O lucroT de cada esfera depende de seu diâmetro e

• T = 0,10se a esfera é boa(0,6100< X < 0,6180)

• T = 0,05 se a esfera é recuperável(0,6080< X < 0,6100) ou (0,6180< X <0,6200)

• T =−0,10se a esfera é defeituosa(X < 0,6080ouX > 0,6200).

DetermineE[T].

4. Em uma determinada localidade, a renda em 1000 u.m. é uma v.a.X com função densi-dade de probabilidade:

fX(x) =

x+110 , 0 < x < 2

1− 18−3x40 , 2 < x < 6

0, c.c.

a) Mostre quefX(x) é uma função densidade de probabilidade paraX.

b) Determine a função de distribuição acumulada deX.

c) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade de sua renda exceder3.000u.m.?

d) Determine a renda média nessa localidade.

e) Determine a renda mediana nessa localidade.

f) Determine o1o e o3o quartis da variável renda.

5. As notas de Estatística Econômica dos alunos de determinada universidade seguem adistribuição normal, com média 6,4 e desvio-padrão 0,8. O professor atribui graus A, Be C, da seguinte forma:

• C, para notas inferiores a 5

• B, para notas entre 5 a 7,5

3.4 EXERCÍCIOS 45

• A, para notas entre 7,5 e 10.

Em uma classe com 80 alunos, qual é o número esperado de alunos com grau A? B? C?

6. Suponha que o número de milhas que um carro percorre antes que sua bateria sofradesgaste tenha distribuição Exponencial com média 10.000 milhas. Se uma pessoa desejafazer uma viagem de 5.000 milhas com uma bateria já usada por 8.000 milhas, qual é aprobabilidade de terminar a viagem sem ter que trocar a bateria?

7. O tempo de vida dos pneus de certo fabricante tem distribuição Exponencial, com du-ração média de 50.000 km.

a) Determine a probabilidade de que um pneu deste fabricante dure mais que 50.000km.

b) Qual é o tempo de vida que o fabricante deve garantir de forma que, no máximo,1% dos compradores utilizem a garantia?

c) Você acha que a distribuição exponencial é adequada a esta situação? Justifique.

8. O número de clientes chegando a um certo estabelecimento comercial segue a distribuiçãode Poisson. Em média, chegam 10 clientes a cada hora.

a) Determine a probabilidade de que o tempo até a chegada do primeiro cliente ex-ceda 5 minutos.

b) Determine a probabilidade de que o tempo entre chegadas sucessivas de doisclientes quaisquer exceda 5 minutos.

c) Determine a probabilidade de que o tempo até a chegada do quinto cliente exceda30 minutos.

d) Determine a probabilidade de que chegue algum cliente nos próximos 30 minutos,uma vez que nenhum cliente chegou na última hora.

e) Determine o tempo médio entre chegas sucessivas. Este é um bom valor preditivo?

f) Determine o tempo mediano entre chegadas sucessivas.

g) Determine o tempo médio até a chegada do quinto cliente. Este é um bom valorpreditivo?

9. Suponha-se que um fusível tenha uma duração de vidaX, a qual pode ser consideradauma variável aleatória contínua com distribuição Exponencial. Existem dois processospelos quais o fusível pode ser fabricado. O processo I apresenta uma duração de vidaesperada de 100 horas, enquanto o processo II apresenta uma duração de vida esperadade 150 horas. Suponha-se que o processo II seja duas vezes mais custoso que o processoI, que custa 3,00 u.m. por fusível. Admita-se, além disso, que se um fusível durar menosque 200 horas, uma multa de 20 u.m. seja lançada sobre o fabricante. Qual proceslrfsodeve ser empregado de forma a se minimizar o custo esperado?

3.4 EXERCÍCIOS 46

10. SejaX uma v. a. com distribuição Qui-quadrado com:

a) 10 graus de liberdade. Determine, de forma exata, P(X>9).

b) 120 graus de liberdade. Determine uma aproximação para P(X>140).

11. Determine os quantis 1%, 2,5%, 5%, 95%, 97,5% e 99% das seguintes distribuições:

a)T9

b) T130

c) F8,9.

12. SejaX uma variável aleatória com distribuição Beta(3,2).

a) Determine a função de distribuição acumulada deX.

b) Determine P(X>1/2).

13. SejaX uma variável aleatória com distribuição Weibull(3,0.005).

a) Determine os quartis deX

b) Suponha queX represente o tempo de vida (em de um componente. Determine aconfiabilidade desse componente para 50 horas.

c) Determine a probabilidade de que o componente dure mais que 250 horas, umavez que já esteja em funcionamento por 200 horas.

d) Determine a duração esperada do componente. O valor esperado é um bompreditor para essa variável aleatória? Use os seguintes fatos:Γ(1/3) = 2,678939eΓ(2/3) = 1,354118.

14. Mostre que seX é uma variável aleatória contínua, com distribuiçãoUni f orme(a,b),então:E[X] = a+b

2 eV[X] = (b−a)2

12 .

15. Mostre que seX ∼ Exponencial(λ ), então:E[X] = 1

λ eV[X] = 1λ 2 .

16. Mostre que seX ∼ Exponencial(λ ), entãoP(X > t + s|X > t) = P(X > s), ou seja, adistribuição Exponencial goza da propriedade de "Falta de Memória".

17. Mostre que seX ∼ Gama(α,λ ), então:E[X] = α

λ eV[X] = αλ 2 .

18. Mostre que seX ∼Weibull(α,λ ), então:

V[X] = 1λ 2 Γ

( 2α +1

)− 1λ 2

[Γ

( 2α +1

)]2.

CAPÍTULO 4

Funções de Variáveis Aleatórias

4.1 Distribuição deY = h(X)

Muitas vezes, o modelo probabilístico para uma variável aleatóriaX é conhecido, mas sedeseja obter a distribuição de probabilidade de uma segunda variável aleátória,Y, relacionadaaX segundo:Y = h(X), h uma função real.

4.1.1 Caso1:X é variável aleatória discreta eY = h(X) é variável aleatória discreta

SeX é variável aleatória discreta com função de probabilidade conhecidapX(x) = P(X = x)eY = h(X) é uma transformação biunívoca no conjunto de possíveis valores deX, RX. Entãotem-se, a cada pontoy associado um único pontoX e a função de probabilidade deY é dadapor:

pY(y) = pX[h−1(y)], (4.1)

em queh−1 denota a inversa da funçãoh.

Exemplo 4.1. SejaX uma variável aleatória com distribuição Geométrica (p). Determine adistribuição deY = h(X) = X2.

Sob as mesmas condições anteriores, suponha-se, agora, que a transformaçãoh não sejabiunívoca, sendo o pontoY = y associado ax1,x2, · · · ,xk, isto é:y = h(x1) = h(x2) = · · ·h(xk).Nesse caso, a função de probabilidade deY é dada por:

pY(y) = ∑xi :h(xi)=y

pX(xi). (4.2)

Exemplo 4.2. SejaX a variável aleatória que denota o resultado do lançamento de um dadonão-viciado. Determine a distribuição deY, a variável indicadora de resultado par.

47

4.1 DISTRIBUIÇÃO DEY = h(X) 48

4.1.2 Caso2:X é variável aleatória contínua eY = h(X) é variável aleatória discreta

SejaX uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade conhecidafX(x) e suponha queY = h(X) seja uma variável aleatória discreta. A função de probabilidadedeY é dada por:

pY(y) =∫

x:h(x)=yfX(x)dx. (4.3)

Exemplo 4.3. O diâmetroX de rolamentos de esferas fabricados por certa fábrica tem dis-tribuiçãoN(0,6140;(0,0025)2). O lucroY de cada esfera depende de seu diâmetro e

• Y = 0,10se a esfera é boa(0,6100< X < 0,6180)

• Y = 0,05se a esfera é recuperável(0,6080< X < 0,6100) ou (0,6180< X < 0,6200)

• Y =−0,10se a esfera é defeituosa(X < 0,6080ouX > 0,6200).

Determine a distribuição deY.

4.1.3 Caso3:X é variável aleatória contínua eY = h(X) é variável aleatória contínua

SejaX uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade conhecidafX(x) e suponha queY = h(X) seja uma variável aleatória contínua. A função densidade deprobabilidade deY pode ser obtida da seguinte forma:

1. Parte-se da definição da distribuição acumulada deY: FY(y) = P(Y ≤ y);

2. Escreve-se, na expressão acima,Y em função deX;

3. Isola-seX e obtém-se uma expressão paraFY(y) em função deFx e dey;

4. Usa-se o fato de quefY(y) = dFY(y)dy , sendo a derivada obtida aplicando-se a regra da

cadeia.

Exemplo 4.4. SejaX ∼ U(−1,1). Determine a função densidade de probabilidade deY =h(X) = X2.

Exemplo 4.5. SejaX ∼ Exponencial(λ ). Determine a função densidade de probabilidade deY = h(X) = X2.

Os resultados acima podem ser resumidos no seguinte teorema:

4.2 ESPERANÇA DEY = h(X) 49

Teorema 4.1. (Teorema do Jacobiano - versão univariada) SejaX função densidade de proba-bilidade conhecidafX(x) e definaY = h(X), h uma funçãodiferenciávelemonótona(crescenteou decrescente) no conjunto de possíveis valores deX, RX. Entãoh é inversível emRX e afunção densidade de probabilidade deY é dada por:

fY(y) = fX(x)∣∣∣∣dxdy

∣∣∣∣

= fX[h−1(y)]∣∣∣∣dh−1(y)

dy

∣∣∣∣ . (4.4)


Exercício: Volte aos exemplos 4.4 e 4.5, verifique - em cada caso - se as condições doteorema 4.1 são válidas e, em caso afirmativo, utilize o teorema para determinar a funçãodensidade de probabilidade deY = h(X).

Caso a funçãoY = h(X) não satisfaça as condições para aplicação do teorema 4.1 emRX,pode-se proceder da seguinte forma:

1. Obtém-se uma partição deRX tal que, em cada pedaço da partição,Y = h(X) é funçãomonótona e diferenciável deX. Suponha que tal partição seja dada por:(R1, · · · ,Rk), istoé:RX = R1∪·· ·∪Rk eRi ∩Rj =, i 6= j;

2. Aplica-se o teorema do jacobiano a cada um dos pedaços da partição, obtendo-se, paracada pedaço,fi(y) por meio da equação (4.4);

3. Finalmente, a função densidade de probabilidade deY é obtida:

fY(y) =k

∑i=1

fi(y). (4.5)

Exercício:Volte ao exemplo 4.4 e determine a função densidade de probabilidade deY.

4.2 Esperança deY = h(X)

Teorema 4.2.Para qualquer que seja a variável aleatóriaY, tem-se:

E[Y] =∫ ∞

0P(Y > y)dy−

∫ ∞

0P(Y <−y)dy. (4.6)

4.2 ESPERANÇA DEY = h(X) 50

Demonstração:(caso contínuo - a demonstração do caso discreto é análoga)

∫ ∞

0P(Y > y)dy−

∫ ∞

0P(Y <−y)dy =

∫ ∞

0

∫ ∞

yfY(u)dudy−

∫ ∞

0

∫ −y

−∞fY(u)dudy

=∫ ∞

0

∫ u

0fY(u)dydu−

∫ 0

−∞

∫ −u

0fY(u)dydu

=∫ ∞

0

(∫ u

0dy

)fY(u)du−

∫ 0

−∞

(∫ −u

0dy

)fY(u)du

=∫ ∞

0u fY(u)du−

∫ 0

−∞−u fY(u)du

=∫ ∞

0u fY(u)du+

∫ 0

−∞u fY(u)du

= E[Y]. ¤

Teorema 4.3.Seja X uma variável aleatória discreta (com função de probabilidade conhecidapX(x)) ou contínua (com função densidade de probabilidade conhecidafX(x)) e definaY =h(X). Então:

E[Y] = E[h(X)] =

∑xh(x)pX(x), seX é discreta∫h(x) fX(x)dx, seX é contínua

(4.7)

Demonstração:(caso contínuo - a demonstração do caso discreto é análoga)Aplicando o teorema 4.2, temos que:

E[Y] = E[h(X)] =∫ ∞

0P(h(X) > y)dy−

∫ ∞

0P(h(X) <−y)dy

=∫ ∞

0

(∫

x:h(x)>yfX(x)dx

)dy−

∫ ∞

0

(∫

x:h(x)<−yfX(x)dx

)dy

=∫

x:h(x)>0

∫ h(x)

0fX(x)dydx−

∫

x:h(x)<0

∫ −h(x)

0fX(x)dydx

=∫

x:h(x)>0

∫ h(x)

0dy fX(x)dx−

∫

x:h(x)<0

∫ −h(x)

0dy fX(x)dx

=∫

x:h(x)>0h(x) fX(x)dx−

∫

x:h(x)<0−h(x) fX(x)dx

=∫

x:h(x)>0h(x) fX(x)dx+

∫

x:h(x)<0h(x) fX(x)dx

=∫ ∞

−∞h(x) fX(x)dx. ¤

Exemplo 4.6. Utilize o teorema 4.3 para determinarE[Y] nos exemplos 4.4 e 4.5.

4.3 EXERCÍCIOS 51

4.3 Exercícios

1. Suponha queX seja uniformemente distribuída sobre (-1, 1). SejaY = 4−X2. Determinea função densidade de probabilidade deY, faça seu gráfico e verifique, também, que é afunção densidade de probabilidade adequada.

2. Suponha queX seja uniformemente distribuída sobre (1, 3). Determina a função densi-dade de probabilidade das seguintes variáveis aleatórias, verificando, em cada caso, quea função obtida é função densidade de probabilidade e esboçando seu gráfico.

a)Y = 3X +4

b) Z = eX

3. Suponha que a v. a. contínuaX tenha função densidade de probabilidadefX(x) = e−x,x>0. Determine a função densidade de probabilidade das seguintes variáveis aleatórias:

a)Y = X3

b) Z = 3/(X +1)2

4. Suponha que a v. a. discretaX tome os valores 1, 2 e 3 com igual probabilidade. Ache adistribuição de probabilidade deY = 2X +3.

5. Suponha queX seja uniformemente distribuída sobre (0, 1). Determine a função densi-dade de probabilidade das seguintes variáveis aleatórias:

a)Y = X2 +1

b) Z = 1/(X +1)

6. Suponha queX seja uniformemente distribuída sobre (-1, 1). Determine a função densi-dade de probabilidade das seguintes variáveis aleatórias:

a)Y = Sen(πX/2)

b) Z = Cos(πX/2)

c) W = |X|.7. Suponha que o raio de uma esfera seja uma variável aleatória contínua. Em virtude de

imprecisões no processo de fabricação, os raios das diferentes esferas podem ser difer-entes. Suponha que o raio R tenha distribuição Beta(2,2). Determine a função densidadede probabilidade do volumeV e da área superficial da esfera,A, bem como seus valoresesperados.

8. Uma corrente elétrica oscilanteI pode ser considerada uma v. a. uniformemente dis-tribuída no intervalo (9, 11). Se essa corrente passar em um resistor de2ohms, qualserá a função densidade de probabilidade da potênciaP = 2I2? E o valor esperado dapotência?

4.3 EXERCÍCIOS 52

9. A velocidade de uma molécula em um gás uniforme em equilíbrio é uma v. a.V, cujafunção densidade de probabilidade éfV(v) = av2e−bv2

,v > 0, b = m/2KT, k, T e mdenotando, respectivamente, a constante de Boltzman, a temperatura absoluta e a massada molécula. Determine a função densidade de probabilidade da energia cinética damolécula,W = mV2/2.

Alguns resultados importantes:

10. Mostre que seX ∼ N(0,1) entãoY = h(X) = X2 ∼ χ21. Obs: Use o fato de que

Γ(1/2) =√

π.

11. SejaX uma variável aleatória qualquer eFX(x) = P(X ≤ x) sua função de distribuiçãoacumulada. Note queFX(x) é função deX. Mostre queFX(x) tem distribuição Uni-forme(0,1).

12. SejaX uma variável aleatória com distribuiçãoNormal(µ ,σ2). Determine a distribuiçãodeY = eX. (Diz-se queY tem distribuição lognormal com parâmetrosµ e σ2).

13. SejaX uma variável aleatória qualquer. DefinaY = a+bX (a e b constantes quaisquer).Use o teorema 4.3 para mostrar queE[Y] = a+bE[X] eV[Y] = b2V[X].

CAPÍTULO 5

Funções Geratrizes de Momentos

5.1 Introdução

Neste capítulo, trataremos de funções geratrizes de momentos, as quais, como o próprionome revela, podem ser utilizadas para se determinar os momentosµk, k = 1,2, · · · de umavariável aleatória. Além disso, como será visto, devido à propriedade de unicidade, as funçõesgeratrizes podem ser utilizadas para identificar a distribuição de uma variável aleatória, assimcomo as funções de probabilidade, densidade de probabilidade ou de distribuição acumuladaidentificam. Uma outra utilidade das funções geratrizes, será a obtenção de propriedades re-produtivas, como descrito na seção 5.4.

Definição 5.1.A função geratriz de momentosde uma variável aleatóriaX, MX(t), é dada por:

MX(t) = E[etX]

(5.1)

e está definida∀t ∈ R tal que a esperança acima seja finita.O cálculo de (5.1) depende da natureza da variável aleatóriaX:

MX(t) = E[etX] teo4.3=

∑xetxpX(x), seX é discreta;∫

etx fX(x)dx, seX é contínua.(5.2)

5.2 Uso deMX(t) para determinação dos momentos deX

A questão inicial a ser tratada é: como utilizar a função geratrizMX(t) para obter ok-ésimomomento deX, µk = E

[Xk

]?

Observe que:

M′X(t) =

ddt

MX(t)

=ddt

E[etX]

= E

[ddt

etX]

= E[XetX]

, (5.3)

53

5.2 USO DEMX(t) PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS DEX 54

onde assumimos que podemos inverter as posições entre a derivada e o valor esperado, ou seja,que:

ddt

[∑x

etxpX(x)]

= ∑x

[ddt

etxpX(x)], seX é discreta;

ddt

[∫etx fX(x)dx

]=

∫ [ddt

etx fX(x)dx

], seX é contínua.

Essa operação pode ser justificada quase sempre e, nos modelos probabilísticos mais usuais,ela é válida.

Voltemos agora a (5.3). Temos que:

M′X(0) = E

[Xe0] = E[X]. (5.4)

Derivando novamente a função geratriz de momentos, temos:

M′′X(t) =

d2

dt2MX(t)

=ddt

M′X(t)

(5.3)=

ddt

E[XetX]

= E

[ddt

(XetX)]

= E[X2etX]

,

⇒ M′′X(0) = E

[X2e0] = E[X2]. (5.5)

De forma geral, tem-se:

µk = E[Xk

]= M(k)

X (0) =d(k)

dtkMX(t)|t=0, k = 1,2, · · · . (5.6)

Exemplo 5.1. SejaX ∼Binomial(n, p). Determine a função geratriz de momentos deX eutilize-a para obterE[X] eV[X].

Exemplo 5.2.SejaZ∼Normal(0,1). Determine a função geratriz de momentos deX e utilize-apara obterE[Z] eV[Z].

5.3 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO GERATRIZ DE MOMENTOS 55

5.3 Propriedades da Função Geratriz de Momentos

1. Unicidade

A função geratriz de momentos de uma variável aleatória, quando existe (isto é, se (5.1)é finita), é única, de modo que se tivermos duas variáveis aleatóriasX eY com funçõesgeratrizes de momentosMX(t) e MY(t), então seMX(t) = MY(t) ∀t, X eY têm a mesmadistribuição de probabilidades. Ainda, devido à propriedade de unicidade, a função ger-

atriz de momentos identifica a distribuição deX. Por exemplo, seMX(t) = et22 (veja a

solução do exemplo 5.2), então sabe-se queX ∼ N(0,1).

2. Função Geratriz de Momentos de uma Função Linear deX

SejaX uma variável aleatória com função geratriz de momentos conhecida,MX(t) edefinaY = a+bX, a eb constantes quaisquer. Então:

MY(t) = eatMX(bt). (5.7)


3. Função Geratriz de Momentos da Soma de Variáveis Independentes

SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes1. DefinaY = X1 +X2 + · · ·+Xn.Então2:

MY(t) = MX1(t)MX2(t) · · ·MXn(t). (5.8)

Exemplo 5.3. Sabemos que seX ∼ N(µ ,σ2), entãoZ = X−µσ ∼ N(0,1). Reciprocamente,

pode-se escrever qualquer variável aleatóriaX ∼ N(µ ,σ2) como:X = µ +σZ, Z∼ N(0,1).a) Utilize este fato, junto à propriedade (2) para determinar a função geratriz de momentos deX. (Lembre-se de que a função geratriz de momentos deZ já foi determinada no exemplo 5.2).b) Utilize a função geratriz de momentos deX para mostrar queE[X] = µ eV[X] = σ2.

1A definição formal de independência entre variáveis aleatórias será dada no capítulo 6.2A demonstração desta propriedade poderá ser feita usando elementos disponíveis no capítulo 6.

5.4 USO DE FUNÇÕES GERATRIZES DE MOMENTOS PARA A DETERMINAÇÃO DE PROPRIEDADES REPRODUTIVAS56

5.4 Uso de Funções Geratrizes de Momentos para a Determinação dePropriedades Reprodutivas

A propriedade (3) pode ser usada, aliada à propriedade (1), para se determinar propriedadesreprodutivas de variáveis aleatórias. Diz-se que determinada distribuição de probabilidadespossui propriedade reprodutiva se, uma vez que duas (ou mais) variáveis aleatórias indepen-dentes (X1,X2, · · · ,Xn) seguindo tal distribuição sejam somadas, a variável aleatóriaY = X1 +X2 + · · ·+Xn siga a mesma distribuição de probabilidade em questão.

Teorema 5.1. (Propriedade Reprodutiva da Distribuição Poisson)SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuiçãoPoisson(λi),i=1,2,· · · ,n. DefinaY = X1 +X2 + · · ·+Xn. EntãoY ∼ Poisson(λ ), λ = ∑n

i=1λi .

Teorema 5.2. (Propriedade Reprodutiva da Distribuição Binomial)SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuiçãoBinomial(ni , p),i=1,2,· · · ,n. DefinaY = X1 +X2 + · · ·+Xn. EntãoY ∼ Binomial(n, p), n = ∑n

i=1ni .

Teorema 5.3. (Propriedade Reprodutiva da Distribuição Normal)SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuiçãoN(µi ,σ2

i ), i =1,2, · · · ,n. DefinaY = X1 +X2 + · · ·+Xn. EntãoY ∼ N

(∑n

i=1 µi ,∑ni=1σ2

i

).

Teorema 5.4. (Propriedade Reprodutiva da Distribuição Qui-Quadrado)SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuiçãoχni , i=1,2,· · · ,n.DefinaY = X1 +X2 + · · ·+Xn. EntãoY ∼ χn, n = ∑n

i=1ni .

Corolário: (Soma dos Quadrados de Normais Independentes)SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuiçãoN(0,1).DefinaY = X2

1 +X22 + · · ·X2

n . EntãoY ∼ χ2n.

Embora a distribuição Exponencial não tenha propriedade reprodutiva, pode-se mostrar oseguinte resultado:

Teorema 5.5. (Distribuição da Soma de Exponenciais Independentes)SejamX1,X2, · · · ,Xn variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuiçãoExponencial(λ ,i=1,2,· · · ,n. DefinaY = X1 +X2 + · · ·+Xn. EntãoY ∼Gama(n,λ ).

5.5 EXERCÍCIOS 57

5.5 Exercícios

1. SejaX ∼ Exp(λ ).

a) Determine a f.g.m de X.

b) Utilize a função obtida em (a) e determine:E[X] eV[X].

2. X ∼ Poisson(λ )

a) Mostre que a f.g.m de X éMX(t) = expλ (et −1). Dica: ey = ∑∞k=0

yk

k!

b) Utilize a função obtida em (a) para determinarE[X] eV[X].

3. SejaX Geo(p) Determine a f.g.m de X.

4. SejaZ∼ N(0,1). Mostre que a f.g.m deZ éMZ(t) = expt2/2.5. SejaX N(µ ,σ2). EntãoZ = X−µ

σ ∼ N(0,1). Portanto,X pode ser escrita em função deZ.

a) DetermineMx(t). Dica: Use a função geratriz de momentos deZ.

b) UseMX(t) para mostrar que:*E[X] = µ ;*V[X] = σ2 ;* Se X1,X2, · · · ,Xn são v.a’s independentes, cada uma com distribuiçãoN(µ,σ2) , entãoX1+X2+ · · ·+Xn∼N(nµ ,nσ2) (Teorema 5.3). Ainda, mostre queX = (X1+X2+ · · ·+Xn)/n∼ N(µ ,σ2/n).

6. Um circuito é formado por 2 componentes que funcionam independentemente, com du-ração modelada pela exponencial. A duração média é 100 horas e se o primeiro com-ponente falha , o segundo passa imediatamente a funcionar. SejamT1 e T2 as v.a’s querepresentam, respectivamente as durações dos componentes 1 e 2.

a) Determine as f.g.m’s deT1 eT2

b) SejaT o tempo de vida do circuito, use as funções obtidas em (a) para mostrarqueT tem distribuição Gama

c) DetermineP(T > 200h).

7. SejaX ∼Gama(α,λ ).

a) Mostre queMx(t) =(

λλ−t

)α, t < λ .

b) Utilize a função obtida em (a) e determine:E[X] eV[X].

8. Demontre o teorema 5.1.

9. Demontre o teorema 5.4 e seu corolário (dica: para o corolário, reveja o exercício 10 docapítulo 4).

10. Demontre o teorema 5.5.

cálculo das probabilidades ii

Documents