princípio da mínima ação

8/20/2019 Princípio da mínima ação

1/8

O Princípio de Mínima Ação de Hamilton

Henrique Tadeu Ramos∗

São Paulo - 2015

Resumo

Neste trabalhos, apresentamos umas visão da mecânica lagran-geana e Hamiltoniana através da explanação do princípio de mínimaenergia de Hamilton. O texto aborda os contextos históricos e ciêntíficosda época de concepção dessa teoria, sendo assim, não é objetivo destetrabalho aprofundar-se em cálculos, e sim apresentar um visão geral paratodos os tipos de públicos.

Palavras-chaves: Maupertuis. Hamilton. Lagrange.

Introdução

O princípio de mínima ação de Hamilton trouxe em sua concepção umagrande revolução no modo de pensar a ciência, já que para funcionar precisaser trabalhado com as causas finais (que vão acontecer, ou seja, um estadodo futuro), e isso na época de sua criação era totalmente inconcebível paraos pensadores da época, que trabalhavam apenas com os dados advindos decausas já efetivadas. Por isso, para muitos pensadores, o princípio de mínimaação se baseava em condições iguais as que se baseavam a Física Aristotélicaque é denominada de teleologia. Para Aristóteles, os corpos têm um “lugarnatural”, que é o centro do Universo, e por isso eles caem quando soltos. Serialoucura retroceder à maneira Aristotélica de "Fazer Ciência".

Pelo princípio da minima ação temos que um dado sistema busca estarem seu estado de menor energia associada, sendo assim, temos uma revisão devários aspectos da física sobre outra ótica, a fim de entender problemas atravésapenas do uso de inventários energéticos para os tipos de energia ligadas aosistema. Expandindo mais ainda, podemos entender a trajetória de uma ação

∗[email protected]/

1

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/[email protected]/http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/[email protected]/


2/8

como S como uma sequência de estados que o sistema percorre até chegar naação mínima.

A mecânica hamiltoniana é uma reformulação da mecânica clássica quefoi elaborada em 1833 pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton.Originou-se da mecânica lagrangiana, outra reformulação da mecânica clás-sica, introduzida por Joseph Louis Lagrange em 1788. Ela pode entretanto serformulada sem recorrer a mecânica lagrangiana, usando espaços simpléticos.

O método hamiltoniano difere do lagrangiano em que ao invés de ex-pressar confinamentos diferenciais de segunda ordem sobre um espaço coorde-nado n-dimensional, ela expressa confinamentos de primeira ordem sobre umespaço de fases 2n-dimensional. Como a mecânica lagrangiana, as equaçõesde Hamilton fornecem uma maneira nova e equivalente de olhar mecanismos

clássicos. Geralmente, estas equações não fornecem uma maneira mais conve-niente de resolver um problema particular. Entretanto, fornecem introspecçõesmais profundas na estrutura geral de mecanismos clássicos e em sua conexãoaos mecânicos quânticos como compreendidos através dos mecânicos hamilto-nianos, assim como suas conexões a outras áreas da ciência.

1 Contexto Histórico

Em 1662, Pierre de Fermat analisou o caso da refração da luz, consi-derando que a luz toma o caminho que leva menos tempo. Ele queria mostrarque a fórmula da refração (lei de Snell) derivada por Descartes era falsa, e para

isso supôs que a luz se propaga com uma velocidade menor em meios maisdensos (o que é verdade, mas vinha de encontro ao que pensavam Descartes eNewton).

Em 1744, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) propôs, em1744, o "Princípio de Mínima Ação"(primeira versão, que ainda não fazia usoda condição extrema da ação, conforme postulado posteriormente por Hamil-ton), aplicando-o à refração da luz (e não a fenômenos mecânicos), buscandocorrigir o trabalho de Fermat e apresentando para a Academia de Ciências deParis a conclusão que chegara dizia que seria minimizado na propagação daluz não o tempo como proposto por Fermat, mas a ação S , que é o produto

da distância r percorrida e do momento linear, sendo: S =∫ mv(r)dr.

Maupertuis, foi influenciado por Descartes ("curvas decodificadas empensamentos"), Bernoulli ("curva do menor tempo") e Leibniz ("Deus decodi-ficado no criador de um mundo perfeito")

2 Princípio de Mínima Ação

Maupertuis partiu de um trabalho de Fermat (publicado postuma-mente, em 1679), que havia mostrado que era possível deduzir a lei da refraçãode Snell-Descartes supondo-se que a velocidade da luz era menor nos meios

2


3/8

Figura 1 – Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759)

"mais densos"(mais refringentes), e que o trajeto da luz era aquele em que otempo de percurso era o mínimo possível.

No entanto, a física newtoniana havia interpretado a luz como consti-tuída por partículas e mostrado, a partir dessa hipótese, que a luz deveria teruma velocidade maior nos meios "mais densos"ao contrário do que Fermat ha-via pressuposto. Assim, a óptica newtoniana (que era aceita por praticamente

todos, no século XVIII) era incompatível com o princípio de tempo mínimode Fermat. Logo, Maupertuis resolveu esse conflito propondo que em vez deum tempo mínimo, a luz seguia o caminho no qual a Ação era mínima, sendoesta Ação definida como o produto da massa pela velocidade e pela distânciapercorrida por uma partícula. É claro que, de acordo com as ideias da época,Maupertuis assumiu que a luz seria constituída por partículas.

Já em 1740 Maupertuis havia usado um princípio de máximo ou demínimo para uma situação de equilíbrio. Em 1747, mostrou que é possívelaplicar este resultado para o choque de dois corpos, quer no caso de colisõeselásticas quanto inelásticas, o que tornaria o princípio mais geral do que aconservação das forças(que só valeria no caso de choques elásticos).

Após os trabalhos de Maupertuis, Hamilton se debruçou sobre o as-sunto e trouxe colaborações para o princípio que o tronou mais generalizadoe forte. Por isso ele é atualmente conhecido como Princípio de Hamilton.

Hamilton apresenta o seu formalismo para resolver um problema geralde mecânica, hoje conhecido como formalismo hamiltoniano. Ele usou o seuprofundo conhecimento e contribuições no estudo da óptica para avançar naracionalização da mecânica. Uma extensão do formalismo de Hamilton paraas questões de movimento de sistemas de dimensões atômico-moleculares oumenores, conhecida como mecânica ondulatória foi desenvolvida neste século

3


4/8

por Schrödinger, sendo das mais utilizadas na chamada física quântica.

Na física, o Princípio da mínima ação (ou do menor esforço, e aindaprincípio de Hamilton) estabelece que a ação possua um valor estacionário(máximo ou mínimo) para a trajetória percorrida pelo sistema no espaço deconfiguração. É um pressuposto básico da mecânica clássica e da mecânica re-lativista para descrever a evolução ao longo do tempo do estado de movimentode uma partícula como de um campo físico.

Lagrange, que também se debruçou sore os estudos de Maupertuis ede Hamilton, e com isso formulou sua versão da mecânica, afirma que: "Osmétodos utilizados não requerem construção geométrica nem argumentos me-cânicos, mas apenas operações algébricas inerentes a um processo regular euniforme. Aqueles que apreciam a análise matemática apreciarão ver a mecâ-

nica se tornando um novo ramo dela e serão gratos a mim por ter ampliadoesta área".

A partir de então, generalizou o princípio de mínima ação para todaa mecânica.

2.1 Enunciação do Princípio

Considere um sistema mecânico geral consistindo de uma coleção den partículas pontuais discretas, algumas delas podendo estar conectadas paraformar um corpo rígido. Para especificar o estado desse sistema num dado ins-tante de tempo, são necessários os n vetores radiais. Como cada vetor consiste

de três números, 3n quantidades precisam ser especificadas para descrever asposições de todas as partículas. Porém, se existirem condições de vínculo querelacionem algumas dessas coordenadas, então nem todas as 3n coordenadassão independentes. De fato, se houverem m equações de vínculo, então, 3n−mcoordenadas são independentes e dizemos que o sistema possui 3n−m grausde liberdade.

É importante notar que se s = 3n−m coordenadas são requeridas numdado caso, não precisamos escolher s coordenadas retangulares ou mesmo scoordenadas curvilíneas. Podemos escolher quaisquer s parâmetros indepen-dentes, desde que eles especifiquem completamente o estado do sistema. Estass quantidades também não precisam ter dimensão de comprimento. Depen-dendo do problema que temos, pode-se mostrar que é mais conveniente esco-lhermos alguns parâmetros com dimensão de energia. Alguns com dimensãode (comprimento)2, alguns adimensionais e assim por diante. Damos o nomede coordenadas generalizadas a qualquer conjunto de quantidades que especi-fique completamente o estado do sistema. As coordenadas generalizadas sãocomumente designadas por q 1, q 2,...,q n, ou simplesmente, q j, que chamaremosde velocidades generalizadas.

Neste novo sistema de coordenadas, as equações de movimento podemser escritas numa forma mais geral da Lei de Movimento dos Sistemas Mecâ-nicos, conhecida como Princípio de Hamilton ou Princípio da Ação Mínima.

4


5/8

A definição de Ação é dada pela integral:

S = t2

t1

f [q (t), q̇ (t)]dt (1)

Onde f [q (t), q̇ (t)] é uma função que depende das coordenadas genera-lizadas, e das velocidades generalizadas do sistema.

O princípio de Hamilton nos diz que, de todos os possíveis caminhosque ligam um ponto p1 a outro ponto p2 em determinado intervalo de tempo,O escolhido pelo sistema para ser realizado é aquele que minimiza o valor daintegral temporal da diferença entre a Energia Cinética e a Energia potencial.Assim, a equação acima pode ser escrita como:

S =

t2t1

dt(T − U ) (2)

A energia cinética T é uma grandeza que depende das velocidadesgeneralizadas q̇ i(t), enquanto a energia potencial U é dependente das coorde-nadas generalizadas q i(t) das partículas que compõem o sistema. A diferençaentre as grandezas T e U nos dá a função denominada como Lagrangeana, queé definida por:

L ≡ L[q i(t), q̇ i(t)] ≡ T −U (3)

Assim, em termos da função Lagrangeana, a ação é rescrita como:

S =

t2t1

dtL[q i(t), q̇ i(t)] (4)

3 Mecânica Lagrangiana

No século XVIII, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) desenvolveu umaformulação da mecânica que ele denominou Mecânica Analítica, de carátermuito mais geral do que formulação newtoniana, no que tange as definições

de momento linear e força, e baseada em ferramental matemático bem maispoderoso. No formalismo Lagrangeano, postula-se a existência de uma funçãoescalar, denominada função de Lagrange ou Lagrangeana do sistema, escritaem termos das coordenadas e das velocidades do sistema de partículas.

Em Mécanique Analytique (1788), Lagrange desenvolveu e chegou àexpressão, usando calculo variacional para escrever o princípio de mínima ação:

δ ∑

m

u2dt = 0 (5)

5


6/8

Esta é a equação de Euler-Lagrange. Não se trata de uma equaçãodiferencial para L; dada a Lagrangeana L, o que se obtém é uma equação dife-

rencial para q(t). Dessa forma, a partir da Lagrangeana de um dado sistema,suas equações de movimento podem ser facilmente obtidas.

4 Mecânica Hamiltoniana

A formulação hamiltoniana para o movimento de um sistema de n par-tículas é constituído por um conjunto de 2n equações diferenciais de primeiraordem. Dessa forma geral, estas equações não são mais fáceis de resolver queas equações de Lagrange, entretanto, a formulação Hamiltoniana para a Mecâ-nica Clássica permite resolver uma classe de problemas que não somos capazesde resolver utilizando a 2a lei de Newton nem as equações de Lagrange. Para

obtermos as equações de Hamilton, consideremos uma mudança de variáveisnas funções de movimento de (q i(t), q̇ i(t)), onde pi é chamado de momentogeneralizado e é definido por:

pi = ∂

∂ q̇ iL(q i, q̇ i) (6)

Fazendo as devidas substituições as equações ficam:

∂L

∂q i−

dpi

dt = 0 =⇒ ˙ pi =

∂L

∂q i(7)

Do ponto de vista matemático, realizar a mudança de variáveis neces-sária é possível através de uma ferramenta conhecida como Transformações deLegendre. Assim, a descrição hamiltoniana envolve a substituição das variáveis(q i, q̇ i) por (q i, pi) em todas as grandezas mecânicas, e a introdução de umafunção H (q,p,t) em lugar da Lagrangeana L(q, q̇, t) para gerar a dinâmica.Considera-se uma Lagrangeana que não dependa explicitamente do tempo,∂L∂t

= 0 , tal que, a derivada total da Lagrangeana em relação ao tempo sejaescrita na forma:

dL

dt

= j

∑0

∂L

∂q j

dq j

dt

+ j

∑0

∂L

∂ q̇ j

d q̇ j

dt

(8)

Pelas equações de Euler-Lagrange temos que:

∂L

∂q j= d

dt

∂L

∂ q̇ j(9)

Obtemos então:

dL

dt =

j∑0

q̇ jd

dt

∂L

∂ q̇ j+

j∑0

∂L

∂ q̇ j

d q̇ jdt

= j∑0

d

dt( q̇ j

∂L

∂ q̇ j) (10)

6


7/8

Em outras palavras:

L− j∑0

q̇ j∂L

∂ q̇ j= Constante = −H (11)

Onde H é uma função constante definida como função de Hamiltonou Hamiltoniana. Fazendo as devidas substituições, obtemos a forma geral dafunção de Hamilton:

H (q i, pi) = j∑0

p j q̇ j − L( p j , q̇ j) (12)

Comparando as equações abaixo, identificamos os coeficientes de q̇ j e˙ p j como:

˙ p j = −∂H

∂q j(13)

q̇ j = ∂H

∂p j(14)

−∂L

∂t =

∂H

∂t (15)

Considerações finais

O estudo realizado sobre a mínima ação de Maupertuis visava que anatureza, por completa, deveria seguir um único caminho, uma única soluçãode ser mais básica, simples e extremamente fácil, buscando o não desperdícioou a falta de uso, tentando também explicar a Ação Divina. Esta visão estavahistoricamente incluída junto ao filósofo, pensador Aristóteles, que afirmavapublicamente que a natureza não faz nada em vão ou há desperdícios nela. Afilosofia adotada foi passada de gerações para gerações de filósofos chegandoaté Ptolomeu discutindo sobre o assunto de trajetória da luz.

Apesar do seu uso, o princípio criticado por filósofos do século de-zessete, Leibniz defendeu sua aplicação e o usou para tudo, incluindo nosseus estudos científicos. Maupertuis desde o princípio tinha objetivo a iníciosmetafísicos, sendo que críticas e novas idéias aumentavam suas tentativas dedescobertas científicas. Há indícios análogos em outros ramos científicos, nas-cendo primeiramente com intuitos metafísicos, atingindo apenas por etapasuma sistematização simples e objetiva.

Inicialmente, Maupertuis foi o primeiro a estudar e desenvolver estateoria. Começou com estudos em óptica, e tentou generalizar para a físicaem geral fazendo de modo compatível com a física newtoniana, e utilizou-o

7


8/8

como ponto de partida para, depois, propor que haveria um princípio geral deeconomia de ação na natureza. Contudo, o seu inicio não era verídico, desta

forma era inválido o princípio de ação mínima na óptica. Os autores destaépoca destacaram falhas neste princípio. Maupertuis ignorou essas críticas, jáque havia demonstrado em alguns exemplos que a teoria era válida e poderiaser aplicada sem sombra de dúvidas.

Logo depois de Maupertuis, ao revelaram e apontarem as falhas/errosna teoria os filósofos, foi passível de melhoras com os trabalhos e estudos deLagrange e Hamilton, conseguindo chegar até a física moderna atual paradescrever determinadas situações.

O principio foi adotado ao longo da física moderna, iniciando com oPlanck para a dinâmica relativística para uma partícula livre. Servindo para os

estudos de Louis de Broglie para descrever os encontros de ondas de partículas.Este estudo acabou influenciando nas pesquisas e desenvolvimentos teóricosde Schroedinger

Referências

MARTINS, R. A.; SILVA, A. P. B. Maupertuis e o princípio mecânicode ação mínima: uma análise crítica. Revista Brasileira do Ensino de Física,vol. 29, n. 4, p. 625-633. 2007.

MARTINS, R. A.; SILVA, A. P. B. Maupertuis, d’Arcy, d’Alembert eo princípio de ação mínima na óptica: uma análise crítica. Revista Brasileirado Ensino de Física, vol. 29, n. 3, p 445. 2007.

Neto, J. B. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana. vol.1, ed 2, 2013.

8

princípio da mínima ação

Documents