O Desenvolvimento das MecânicasO Desenvolvimento das Mecânicas Não-Euclidianas durante o Século

XIX

Ana Paula Bispo da Silva

anabispouepb@gmail.com

1Grupo de Historia e Teoria da Ciência – IFGW - Unicamp

O Desenvolvimento das Mecânicas Não-O Desenvolvimento das Mecânicas Não-Euclidianas durante o Século XIX

ObjetivoObjetivo

estudar a influência do surgimento das geometrias não-euclidianas na mecânica durante o século XIX, anteseuclidianas na mecânica durante o século XIX, antes

do surgimento da teoria da relatividade

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O Desenvolvimento das Mecânicas Não-

A iEuclidianas durante o Século XIX

A pesquisa

•Abordagem histórica – envolve o estudo dos conceitos no período estudadop

•Consultas de obras primárias (originais) –p ( g )diferentes idiomas

•Consultas de obras secundárias - artigos de outros historiadores da ciência sobre o assunto

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SumárioSumário1. Introdução

2. Geometria Euclidiana e Não-Euclidiana

3. Geometria Diferencial

4. Relação entre Geodésicas e Princípio de Mínima Ação

5. Mecânica do Espaço N-Dimensional

6. Conclusão – para a mecânica

47. Mecânica Quântica???

IntroduçãoçInício do século XIX:

- Geometria de Euclides -ú i geometria possí el eúnica geometria possível e verdadeira, pois correspondia à realidadecorrespondia à realidade.

Mecânica Newtoniana- Mecânica Newtoniana -verdadeira , a priori, pois seus princípios podiam serseus princípios podiam ser provados a partir de postulados ou axiomas

Euclides (~325a.C- 265 a.C)

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postulados ou axiomas intuitivos.

Introdução- tentativas de demonstração do quintodemonstração do quinto postulado levaram ao questionamento daquestionamento da geometria euclidiana como a única válidaa única válida.- a existência de uma geometria não-euclidianageometria não euclidiana traria conseqüências para a física principalmente parafísica, principalmente para a mecânica e a análise do movimento no novo

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movimento no novo “espaço”.

“Geometrias”Espaço tridimensional com propriedades não-euclidianas

LobatchevskiBolyai

Espaço multidimensional

Geometria diferencialEuclidiana Lobatchevski ( 1793-1856)Bolyai ( 1802-1860) Euclidiana

Não-euclidiana

Gauss (1777-1855)Riemann (1826-1866)

Geometria diferencialGeometria diferencialDurante o século XVIII, a geometria diferencial de Euler (1707-1783) descrevia uma superfície utilizando coordenadas extrínsecas à superfície, através da projeção nos eixos cartesianosnos eixos cartesianos.

A curvatura era descrita a partir dos raios de curvatura máximo e mínimo damáximo e mínimo da superfície, definidos pelas seções normais em um çdeterminado ponto da superfície curva.

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Geometria diferencialGeometria diferencialGauss (Disquisitiones Generales ( qCirca Superficies Curvas, 1827)

d t t i lidi• adota geometria euclidiana num espaço tridimensional

• estudo de superfícies curvas usando propriedades intrínsecas

• forma quadrática para o l t d li helemento de linha

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

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( )

Geometria diferencial

222 GdvFdudvEduds ++= GdvFdudvEduds ++2m1 ∂

2um

m1k∂∂

−=

Gm =

- encontra a equação da geodésica usando propriedades i íintrínsecas

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Geometria diferencialDois teoremas importantes posteriormente (mapeamento e perpendicularidade:

S fí i é d l idSe uma superfície é desenvolvida sobre qualquer outra superfície, a medida de curvatura em cadaa medida de curvatura em cada ponto permanece inalterada

Se forem traçadas inúmeras linhas mais curtas em uma superfície curva a partir dosuperfície curva, a partir do mesmo ponto inicial, a linha que une as suas extremidades é

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une as suas extremidades é perpendicular a cada uma delas.

Geometria diferencial

Análise de problemas com n variáveis

- Cayley (1843) e Grassmann (1846) – álgebra com n variáveis

Schläfli (1851) – geometria euclidiana multidimensional

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Geometria diferencialUeber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854)Geometrie zu Grunde liegen (1854)

• estudo de uma multiplicidade qualquer num espaço qualquer, n-dimensional

f d áti li d• forma quadrática generalizada para o elemento de linha

∑∑=i j

jiij2 dxdxgds

Georg F B Riemann (1826-1866)• as relações métricas determinam as

i d d d13

propriedades do espaço

Geometria diferencialSem a influência de Riemann• análise da geometria de L b t h ki B l i i átiLobatchevski-Bolyai - axiomática• superfícies de curvatura negativa -pseudoesfera - elemento de linha depseudoesfera elemento de linha de Gauss

Sob a influência de Riemann• teoria dos parâmetros diferenciais e f d átiformas quadráticas para um espaço n-dimensional

Eugenio Beltrami (1835-1900)• elemento de linha de Riemann

14• equação da geodésica - relação de mínimo da mecânica

Relação entre Geodésicas e Princípio de Mínima Ação

O Princípio de Mínima AçãoO Princípio de Mínima Ação

Século XVIISéculo XVII

- cálculo de isoperimétricos , equação da braquistócrona p , q ç q- cálculo de máximos e mínimos

- princípio de Fermat e conceito de ação de Leibniz - visão metafísica da ciência

Século XVIIISéculo XVIII

- Mecânica analítica de Euler e Lagrange15

g g

Relação entre Geodésicas e Princípio de Mínima Ação

Princípio de Maupertuis (1746)p p ( )

“para qualquer mudança que haja i ãna Natureza, a quantidade de ação,

necessária para a mudança, é a menor possível”menor possível

- aplica no choque entre corpos (1746)

Pierre Maupertuis (1698-1759)

(1746)- usa para explicar a existência do Ser Divinop Ser Divino- não formula uma equação- a definição de ação muda de

16acordo com a aplicação

P i í i d í i ãPrincípio de mínima ação

A partir do princípio de í i ã M t imínima ação, Maupertuis

deduziu:• lei da refração (1744)• a lei das colisões elásticas• a lei das colisões elásticas• a lei das colisões não-

elásticas• o equilíbrio das alavancas

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• o equilíbrio das alavancasMaupertuis

P i í i d í i ãPrincípio da mínima ação

Maupertuis considerou que todos os fenômenos são conseqüências desse princípio: o movimento dos animais, a vegetação das plantas, a revolução dos astros...

“Um pequeno número de leis, estabelecidasUm pequeno número de leis, estabelecidas do modo mais sábio, é suficiente para todos esses movimentos É então que se pode teresses movimentos. É então que se pode ter uma idéia justa da potência e da sabedoria d S ”

18do Ser supremo.”

C ítiCríticas

Os trabalhos de Maupertuis receberam várias críticas:críticas:

• D’Alembert, na Encyclopédie, criticou as deduções

• Patrick d’Arcy publicou dois artigos comPatrick d Arcy publicou dois artigos com críticas

• Samuel König criticou os trabalhos e sugeriu que Leibniz já havia feito a mesma coisa, antes

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q j

CríticasCríticas

Os trabalhos de Maupertuis tinham vários problemas:

• O princípio de mínima ação não é geral, na O p c p o de a ação ão é ge a , aópticaD d d d d d i í i• Dependendo do modo de usar o princípio, eram obtidos resultados errados.

• Em cada problema, Maupertuis utilizava o princípio de um modo diferente para dar certo

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princípio de um modo diferente, para dar certo

Defesa do princípioDefesa do princípio

Maupertuis nunca admitiu aupe tu s u ca ad t uter cometidos erros nos seus trabalhos sobre oseus trabalhos sobre o princípio de mínima ação.

• Com a ajuda de Euler, ele defendeu seu trabalho e criticou d’Arcy e König.

• Não respondeu às críticas de d’Alembert21

• Não respondeu às críticas de d Alembert.

Aspectos extra científicosAspectos extra científicosA discussão com König sobre a originalidade do

i í i d í i ã l á iprincípio de mínima ação envolveu vários personagens

22Samuel König Voltaire Rei Frédréric II

Relação entre Geodésicas e Princípio í i Ade Mínima AçãoAdditamentum II (1744)

Movimento do projétil: é tal que a linha dada por

∫M.ds√v é mínima

Princípio de Maupertuis-Euler

=∫mv.ds ∫ .dtmv2

Leonhard Euler (1707-1783) é um mínimo,

23com a velocidade como função da posição da partícula

Mécanique Analytique (1788)- usa cálculo variacional e escreve o princípio de mínima ação como:

2

0dtum2

2 =∫∑δ1∫∑

J. L Lagrange (1736-1813) - A “energia” não varia quando há variação da trajetória 2, t1

tt δ+Eqs. movimento

virtual

t

tt δ+

qδ0=+δψΨ+δξΞ K

q

1 t

realtqδ

Ξ∂∂∂ VTTd

onde:

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1, t0Ξ=∂∂

+∂∂

−∂∂

ξV

ξT

dξTd

Relação entre Geodésicas e Princípio de Mínima Ação

-Euler associa a geodésica ao movimento sem a ação de forças, mas não associa ao princípio de mínima ação.forças, mas não associa ao princípio de mínima ação.

- Poisson (1811) associa a variação δ∫muds=0Poisson (1811) associa a variação δ∫muds 0

e a equação da geodésica δ∫ds=0e a equação da geodésica δ∫ds=0

d l id d é t t ã há ã d fquando a velocidade é constante e não há ação de forças

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Princípio de Hamilton (1834)- introduz a ação V do sistema e suaintroduz a ação V do sistema e sua função principal S- princípio de mínima ação:

( ) 0dtUTδδSt

=+= ∫ ( ) 0dtUTδδS0

=+= ∫id t ã i

William R Hamilton (1788-1856)- considera que o tempo não varia ao longo do caminho

2 t2, t1

caminho virtualt

LLd ∂∂

Eqs. do movimento

caminho real tqδ0

qL

qL

dtd

=∂∂

−∂∂&

261, t0

Relação entre Geodésicas e Princípio d Mí i A ãde Mínima Ação

O princípio de Hamilton, que na linguagem atual pode ser p p , q g g pescrito como:

( )2

∫ ( ) 01

=−∫ dtUTδ1

f d i ffornece as equações do movimento mas não fornece diretamente a equação da trajetória

27

A reformulação de Jacobi (1837)

- elimina o tempo, para obter uma interpretação geométricap ç g

21

2

⎟⎞

⎜⎛ ∑mds

dt ( )2 ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ −

= ∑UE

dt

Carl G J Jacobi (1804-1851) ( ) 022

2 =−∫ ∑mdsUEδCarl G J Jacobi (1804-1851) ( )1∫ ∑

d i í i d J bi é í l bt t l ã- do princípio de Jacobi é possível obter somente a relação entre as coordenadas

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A geometrização de Jacobi

( ) 0dsUE22

=−∫δ 0'ds2

=∫δ( )1∫

1∫

- a forma que Jacobi assume para o princípio de mínima ação pode ser interpretada como a equação da geodésicaação pode ser interpretada como a equação da geodésica num espaço onde a métrica é dada por ds’

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Relação entre Geodésicas e Princípio de Mínima Ação

A ã d i d J bi i• A expressão determinada por Jacobi permite uma interpretação geométrica do movimento, o que não é possível com a análise de Hamilton e Lagrangecom a análise de Hamilton e Lagrange.

• Se a expressão pode ser escrita usando apenas o elemento de p p plinha, é possível relacionar este elemento de mínima variação com a geodésica e vice-versa - Jacobi, Liouville e Beltrami

• Esta propriedade pode ser útil se associada às propriedades de espaços curvos o que é possível usando o elemento de linhade espaços curvos, o que é possível usando o elemento de linha de Gauss, e expandido para multiplicidades de Riemann -Lipschitz, Darboux e Levi-Civita

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Mecânica do Espaço N-DimensionalMecânica do Espaço N DimensionalDarboux (1889) e Lipschitz (1872)

li i í i d í igeneralizaram o princípio de mínima ação no caso de um espaço n-dimensionaldimensional- o elemento de linha de Riemann poderia ser escrito como:

( )∑∑+= kiik2 dqdqahU2ds

Jean-Gaston Darboux (1842-1917)

∑∑onde

Jean Gaston Darboux (1842 1917)

∑∑ ′′=i k

kiik qqa2T

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Mecânica do Espaço N-DimensionalMecânica do Espaço N Dimensional

( ) ∑∑∑∑ =+= kiikkiik2 dqdq'adqdqahU2ds

Duas formas de análise:

pela geodésica:- pela geodésica:

0ds1P

=∫δ- pelas forças

0P∫

pelas forças

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Mecânica do Espaço N-DimensionalAppel (1892) e Painlevé (1894) -mapeamento de superfícies aplicado àmapeamento de superfícies aplicado à mecânica

- a “conservação” do elemento de linha levaria à “conservação das geodésicas”

- o objetivo é encontrar uma transformação, de forma que as equações

Paul Painlevé (1863-1933)transformação, de forma que as equações de dois sistemas mecânicos diferentes possam ser equivalentes

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Ricci e Levi Civita (1901) constróemRicci e Levi-Civita (1901) constróem um novo algoritmo para a solução de problemas mecânicos.p

- um mesmo sistema descrito a partir de i isistemas de coordenadas diferentes

Gregorio Ricci (1835-1925)

Transformação das equações de dois sistemas

34Transformação de sistemas de coordenadas

- o elemento de linha é o invariante, e são btid t f õ i tobtidas as transformações covariante e

contravariante a partir da teoria dos parâmetros diferenciaisparâmetros diferenciais

-a expressão do elemento de linha de

Tullio Levi-Civita (1873-1941)

Darboux

jiij dxdxgds =2ijij aUEg )( −=onde

∑n

T 1&&∑

=

=ji

jiij xxaT1,2

1&&sendo

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Mecânica do Espaço N-Dimensional

- O cálculo diferencial absoluto só passou a ser considerado relevante após a aplicação na Teoria daconsiderado relevante após a aplicação na Teoria da Relatividade (em 1915), pois na sua divulgação inicial (em 1901) apenas possibilitava reescrever resultados já(em 1901) apenas possibilitava reescrever resultados já conhecidos

- Na relatividade geral, há a geometrização da dinâmica utilizando o princípio das geodésicas paradinâmica utilizando o princípio das geodésicas para espaços não-euclidianos, o que já teria sido usado no século XIX, através do princípio de mínima ação

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século XIX, através do princípio de mínima ação

Conclusão•o surgimento de um geometria não-euclidiana que não

t t di õ t ib i t ã dapresentava contradições contribuiu para a construção de uma nova visão do espaço;

• os trabalhos de Lobatchevski e Bolyai, que permaneceram desconhecidos d rante m ito tempopermaneceram desconhecidos durante muito tempo, assumiram um novo significado com a introdução da geometria de Riemann;geometria de Riemann;

• a geometria diferencial usando as propriedades• a geometria diferencial, usando as propriedades intrínsecas das superfícies, permitiu descrever diferentes espaços com qualquer dimensão;

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espaços, com qualquer dimensão;

•o princípio de mínima ação na obra de Lagrange permitiu obter as equações de movimento;permitiu obter as equações de movimento;

•a interpretação geométrica do princípio feita por Jacobi•a interpretação geométrica do princípio feita por Jacobi permitiu sua associação com a equação da geodésica e a obtenção da equação da trajetóriaobtenção da equação da trajetória

• o formalismo de Gauss e a interpretação geométrica do• o formalismo de Gauss e a interpretação geométrica do princípio de mínima ação permitiram a Darboux e Lipschitz encontrar o movimento de um sistema deLipschitz encontrar o movimento de um sistema de corpos em qualquer espaço

•a generalização do princípio de mínima ação para o espaço n-dimensional foi o primeiro passo para o

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espaço n-dimensional foi o primeiro passo para o princípio da geodésica na relatividade geral.

A abrangência do princípio de g p pmínima ação

E 1906 Pl k di â i l i í i b dEm 1906, Planck apresentou a dinâmica relativística baseado no princípio de Hamilton. Para uma partícula livre ficaria

( )1t ( ) 0dtcq1mc1t

t

222 =−−δ∫0t

Onde q é o módulo da velocidade do corpo.

Em 1911, Sommerfeld reescreveu essa equaçãocomo:(desprezando um fator )1i −=

( ) 0dsmcdtcq1mc11 t

t

t

t

222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ=−−δ ∫∫

39Arnold Sommerfeld00 tt ⎠⎝

onde ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2.

A abrangência do princípio de g p pmínima ação

S f ld l i í l dSommerfeld concluiu que a partícula descreve uma geodésica no espaço-tempo.

O trabalho foi apresentado no Congresso de Solvay de 1911O trabalho foi apresentado no Congresso de Solvay de 1911

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A abrangência do princípio de g p pmínima ação

E 1924 L i d B li i ili dEm 1924, Louis de Broglie escreve um artigo utilizando o princípio de ação mínima e o princípio de Fermat (num espaço quadridimensional) para encontrar as ondas deespaço quadridimensional) para encontrar as ondas de partículas

O trabalho de de Broglie irá

influenciar Schödinger

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Para saber mais• Princípio de ação mínima na ópticaRBEF, v.29, n. 3, p. 453-461, 2007.

• Princípio de ação mínima na mecânicaRBEF, v. 29, n. 4, p. 633-653, 2007.

• Aspectos extracientíficos do princípio de ação mínimaRevista Filosofia Unisinos, v. 8, n. 2, p. 146-169, 2007., , , p ,

• Geometria diferencial “ Investigações sobre superfícies curvas de Gauss: texto e análise” – Editora Booklink, 2008.,

• Relações com a mecânica quântica – em preparação

• Condições de validade do princípio de mínimo na óptica – em preparação

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