Aulas 01 e 02 Potncias e Razes

Potncias e RazesDa mesma forma que a adio e a subtrao, a multiplicao e a diviso, a potenciao e a radiciao so operaes inversas na Matemtica, de forma que aplicando uma delas em um determinado nmero, pode-se voltar ao mesmo nmero (teoricamente), aplicando a operao inversa correspondente primeira.

-POTENCIAO- Seja um nmero n natural e maior que 1: potncia de base a e expoente n o produto de n fatores iguais a a. Representando a potncia pela simbologia an , tem-se que:

an = a . a . a . ... . a (n fatores) (n natural e maior que 1)

POTNCIAS DE 2POTNCIAS DE 3POTNCIAS DE 5

21 = 231 = 351 = 5

22 = 432 = 952 = 25

23 = 833 = 2753 = 125

24 = 1634 = 8154 = 625

25 = 3235 = 24355 = 3125

26 = 6436 = 729POTNCIAS DE 6

27 = 12861 = 6

28 = 25662 = 36

29 = 51263 = 216

210 = 1024

QUADRADOS PERFEITOS02 = 0102 = 100202 = 400302 = 900

12 = 1112 = 121212 = 441402 = 1600

22 = 4122 = 144222 = 484502 = 2500

32 = 9132 = 169232 = 569602 = 3600

42 = 16142 = 196242 = 576702 = 4900

52 = 25152 = 225252 = 625802 = 6400

62 = 36162 = 256262 = 676902 = 8100

72 = 49172 = 289272 = 7291002 = 10000

82 = 64182 = 324...5002 = 250000

92 = 81192 = 361

PROPRIEDADES DAS POTNCIASP1 ; am . an = am+n exemplo: 24 . 27 = 211

P2 ; am : an = am - n exemplo: 312 : 35 = 37

P3 ; (am )n = am.nexemplo: (26)2 = 212

P4 ; (a . b)n = an . bnexemplo: 65 = (2 . 3)5 = 25 . 35

P5 ; (a : b)n = an : bnexemplo: 4 : 9 = (2 : 3)2 = 22 : 32 P6 ; 1n = 1

P7 ; a1 = aP8 ; 0n = 0 (n0)P9 ; a0 = 1 (a0)

P10 ; a-n = 1 : an ()

SINAIS:

(+)PAR = (+)(+)MPAR = (+)()PAR = (+)()MPAR = ()

Exerccios - Calcule as potncias:

a) 43 = b) (3)4 = c) 34 =d) (1)3 =

e) (1)4 = f) (1)2168 = g) 13978 =h) (6)3 =

i) 54 = j) = l ) = m) =

-RADICIAO- Seja a um nmero natural no-nulo; um nmero x chamado raiz ensima de a, se, e somente se, elevado ao expoente n, reproduz o nmero a. Ou seja: x raiz ensima de a xn = a

exemplos: 7 a raiz quadrada de 49, pois 72 = 493 a raiz cbica de 27, pois 33 = 27

Simbologia:

n = ndice da raiza = radicandox = raiz ensima de a

Obs: (A raiz quadrada de um nmero n desobriga a colocao do ndice 2 no radical)

Conseqncias:

Sendo n, natural e n >1:

PROPRIEDADES DAS RAZES (Obedecidas as condies de existncia)

P1 ; exemplo:

P2 ; exemplo:

P3 ; exemplo:

P4 ; = exemplo:

P5 ; exemplo:

P6 ; exemplo:

No esquecer: Quem est por dentro, est por cima; quem est por fora, est por baixo .

CUIDADOS:a)

b)

c) = 6

d) x2 = 36 x = 6 ou x = 6

EXTRAO INSTANTNEA DE RAZES QUADRADAS

Vamos rever os quadrados perfeitos apresentados no incio da teoria das potncias: Note que a terminao (unidade) desses nmeros aparece apenas em 6 resultados: 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Analisando o esquema abaixo, podemos concluir que possvel determinar o algarismo das unidades, e em algumas vezes, o das dezenas de uma raiz quadrada de um determinado nmero, de acordo com a sua terminao.

terminao em x0123456789

terminao em x20149656941

Note que s existem 6 terminaes diferentes para os quadrados perfeitos, portanto fcil concluir que nmeros terminados em 2 , 3 , 7 e 8 no possuem raiz quadrada exata. Assim invertendo o raciocnio anterior temos:

QUADRADO PERFEITO TERMINADO EM:RAIZ QUADRADA TERMINADA EM:0 011 ou 942 ou 85 56 4 ou 693 ou 7

Assim podemos aplicar esses conhecimentos iniciais, para extrair rapidamente a raiz quadrada de um nmero elevado como, por exemplo, 7396.Verificando os quadrados perfeitos em intervalo de 10 unidades, encontramos 102 = 100 , 202 = 400, 302 = 900 ... at chegarmos em 802 = 6400 e 902 = 8100. Note que 802 no chegou no nmero solicitado (7396), porm 902 ultrapassou-o . Dessa forma, podemos concluir que a raiz quadrada de 7396 ser um nmero entre 80 e 90; porm como 7396 tem a terminao 6, pela tabela acima, sua raiz quadrada dever terminar em 4 ou em 6. Assim, s existiro duas possibilidades para a raiz quadrada de 7396: 84 ou 86. Por uma simples tentativa descobrimos que sua raiz quadrada vale 86.E se um quadrado perfeito por maior que 10000 ? Precisamos lembrar que 1002 = 10000, portanto, sua raiz quadrada ser maior que 100.

Determine a raiz quadrada dos nmeros:

3364

11449

29929

5625

19321

45796

71289

44944