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1

MATERIAL DIDTICO Professora Slvia Victer CLCULO 2

SRIES DE POTNCIAS

Definio: Sries de Potncias uma srie infinita de termos variveis. Elas podem ser usadas em vrias aplicaes, como por exemplo, encontrar aproximaes de nmeros

irracionais como e tambm para encontrar valores de integrais que no podem ser

integrados na forma analtica (ex:

e so importantes para auxiliarem na resoluo de

equaes diferenciais. Um srie de potncias em :

onde: - as constantes , so os coeficientes da srie. - a constante o centro da srie. Para temos :

que a ideia de um polinmio. A srie pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de . Quando , a srie converge com soma . O teste da razo usado para se determinar os valores de para os quais a srie de potncias converge. Exemplos: Encontre os valores de para os quais a srie de potncias converge.

para , a srie converge para 0. E para ? Usar o teste da razo:

De acordo com o teste da razo, a srie converge se :

Assim, a srie converge para . E diverge para , para , ou seja para e para .

2

Para , que equivale a , o teste da razo inconclusivo.

A srie divergente de acordo com a propriedade:

A srie tambm divergente de acordo com a propriedade:

Portanto, a srie converge apenas para valores de no intervalo aberto .

Teste da razo:

Teste da razo:

3

Exerccios: Encontre os valores de para os quais a srie de potncias converge.

1-

2-

Resposta: a) Converge para todos os valores de . b) Converge apenas para .

Intervalo de convergncia:

O conjunto de todos os nmeros para os quais uma srie de potncias

converge. do Exemplo 1) do Exemplo 2) do Exemplo 3) o "intervalo" contendo unicamente o nmero 0. Para qualquer srie de potncias, assume uma das trs formas: Caso 1: um intervalo limitado com centro e pontos extremos e , onde um nmero real positivo. chamado de Raio de convergncia da srie de potncias. Caso 2: infinito. Caso 3: consiste apenas em um nico nmero . . Caso 1: A srie diverge para

? ?

Converge Absolutamente para Nota: os pontos extremos e do intervalo de convergncia podem ou no pertencer a . No exemplo 1, um intervalo aberto. Em geral, a srie pode divergir, convergir absolutamente ou convergir condicionalmente num ponto extremo de . Assim, o intervalo de convergncia pode assumir uma das formas: , , , ) (neste caso, a srie de potncia sempre converge absolutamente). Teorema 1: Raio de convergncia de uma srie de potncias Seja uma srie de potncias

com raio de convergncia

4

Suponha que

, onde L um nmero real no negativo ou .

Verificar uma das trs condies para se encontrar o raio :

(i) Se um nmero real positivo, ento

.

(ii) Se , ento . (iii) Se , ento . Observaes:

1- A razo

a razo entre os coeficientes e no entre os termos da srie de potncia.

2- O Teorema 1 no se aplica a sries de potncia da forma

, para . Nesse caso, o raio de convergncia pode ser encontrado aplicando-se o teste da razo. 3- O Teorema 1 vlido para

, para .

Exerccios: Encontre o Centro a, o raio de convergncia e o intervalo de convergncia da srie de potncias. Confira tambm a divergncia, convergncia absoluta ou convergncia condicional da srie de potncias nos pontos extremos de

1-

Soluo: Centro ; Teorema 1:

e

.

Assim,

Logo,

.

Portanto, a srie converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado . E para os valores (pontos extremos) ?

Para na srie, obtm-se a srie harmnica

que diverge.

Para na srie, obtm-se a srie harmnica alternada

que converge pelo teste

das sries alternadas (vistas em sries infinitas) e diverge pela soma do mdulo (convergncia condicional). Concluso: Divergncia no ponto extremo 1 e convergncia condicional no ponto extremo -1. -1 0 1

2-

Soluo: Centro ; Teorema 1:

e

.

Assim,

Logo, . (Teorema 1 (i)).

Portanto, a srie converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado . E para os valores (pontos extremos) ? Para na srie, obtm-se a srie alternada que diverge (o termo geral no tende a zero). Para na srie, obtm-se a srie que tambm diverge. Concluso: Divergncia nos dois pontos extremos: -6 e 0.

5

-6 -3 0

3-

Soluo: Centro ; Teorema 1:

e

.

Assim,

Logo,

(Teorema 1 (ii)).

Portanto, 4-

Soluo: Centro ; Teorema 1:

e .

Assim,

Assim

(Teorema 1 (iii)).

consiste no nico nmero 0.

5-

Soluo: Centro ; Podemos usar o teorema 1? NO!! (Conforme visto na observao (2) do Teorema 1).

Pois

no o coeficiente da n-sima potncia de .

Neste caso, aplica-se o teste da razo original (usa-se o n-simo) termo, e NO o coeficiente da srie.

.

Logo,

A srie converge Absolutamente quando , ou seja, quando

E diverge para

Logo,

E para os valores

(pontos extremos) ?

Para os dois valores

e

a srie fica:

que a

srie-p convergente.

6

Assim, a srie converge absolutamente em todo o seu intervalo de convergncia:

Os exerccios abaixo foram extrados do Munem, pgina 658.

6- 7-

8-

9-

10-

11-

12-

13-

14-

15-

16-

Respostas:

6)

7)

8) 9)

10) 11)

12) 13) 14) 15) 16) .

Integrao e Diferenciao de Sries de Potncias

Seja

onde

a srie de potncias dada. Domnio de : intervalo de convergncia da srie de potncias.

+.....

Derivada da (Diferenciao termo a termo): + +

+

Integrao de (Integrao termo a termo):

Apenas para , onde R o raio de convergncia da srie de potncias.

Propriedades de e

1) A funo contnua no intervalo aberto . 2) As trs sries de potncias abaixo possuem o mesmo raio de convergncia R.

7

3) Para ,

4) Para ,

5) Para ,

Exemplos:

1) Encontre

Soluo: Pelo Teorema 1, o raio de convergncia da srie de potncias :

Pelas propriedades 2 e 3,

isto ,

para 2) Encontre para Soluo: Pela propriedade 4:

isto ,

, para .

3) Use a frmula

, que d a soma da srie geomtrica

para

, para escrever a expresso dada como a soma de uma srie infinita.

a)

Soluo:

para .

b)

8

Soluo: substituindo por em

, obtm-se:

para , ou seja, para .

c)

Obs: a funo logartmica natural, denotada por , definida por:

Dessa

forma, a soluo deve ser alcanada considerando esta definio (diferente do teorema que diz que,

para

).

Soluo: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,

para .

d)

Soluo: substituindo por em

, obtm-se:

para .

Obs: a convergncia da srie ocorre quando Mas se verifica exatamente quando .

e) Soluo: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,