Plano de Estudo – Regime de Progressão Parcial

Ano: 2° ano

Componente Curricular: Matemática

Objetivos de aprendizagem:

Saber diferenciar uma matriz de um determinante, bem como ser capaz de

optar pelo melhor método para resolver sistemas lineares.

Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais

e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de

amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis

apresentadas em uma distribuição estatística.

Atividade 1:

1. Sejam as matrizes A = (aij)3x4, em que aij = 2i -j , e B =(bij)3x4, em que bij = i +

j. Se C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os elementos:

a) c34 b) c23

2. Sejam A = (−5 40 3

), B = (12 111 7

) e C = (−9 39 2

)

Determine:

a) A +B +C b) A – B + C c) A – (B + C)

3. As tabelas a seguir indicam o número de faltas de três alunos (A, B e C) em

cinco disciplinas (Português, Matemática, Biologia, História e Física,

representadas por suas iniciais), nos meses de março e abril.

Março

P M B H F

Aluno A 2 1 0 4 2

Aluno B 1 0 2 1 1

Aluno C 5 4 2 2 2

a) Qual matriz representa o número de faltas desses alunos no

primeiro bimestre?

b) No primeiro bimestre, qual aluno teve o maior número de faltas em

Português? E em Matemática? E em História?

4. O gerente de uma danceteria fez um levantamento sobre a frequência de

pessoas na casa, em um final de semana, e enviou a seguinte tabela para o

proprietário:

𝑠á𝑏𝑎𝑑𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜

𝑟𝑎𝑝𝑎𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑜ç𝑎𝑠

[80 60? 75

]

O gerente esqueceu-se de informar um campo da tabela, mas ainda que,

curiosamente, a arrecadação nos dois dias havia sido a mesma. Sabendo que o ingresso

para rapazes é R$ 15,00 e para moças é R$ 12,00:

a) Represente, por meio da multiplicação de matrizes, a matriz que fornece a

arrecadação da casa em cada dia;

b) Determine o valor do campo que ficou sem ser preenchido.

Abril

P M B H F

Aluno A 1 2 0 1 3

Aluno B 0 1 1 3 1

Aluno C 3 1 3 2 3

Recursos didáticos para a atividade 1:

https://www.youtube.com/watch?v=gE_1LTPwhV0&list=PL1E3A80A44F4F16

69

https://www.youtube.com/watch?v=m6WRbPxkLXY

www.youtube.com/watch?v=SnhBzGHWRvg&t=23s

https://youtu.be/lZ9onrdpusA?list=PLEfwqyY2ox868TPa8vjL-QPfQlmtqRGa5

Atividade 2:

5. Seja A = (aij)3x3, em que aij = {2, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗

𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 . Calcular det A.

6. Resolver, em ℝ, a equação: |𝑥 4 −2

𝑥 − 1 𝑥 11 𝑥 + 1 3

|=|𝑥 32 1

|

7. Sejam as matrizes A = (aij)3x3, em que aij ={1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗

, e B = (bij)3x3 , em que

bij = {−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗

1, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗. Calcule det A, det B, det (A + B) e det (A.B).

Recursos didáticos para a atividade 2:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante#Determinante_de_matriz_de_ordem

_2

https://www.youtube.com/watch?v=C7bZnxGFWiM&list=PLf1lowbdbFICd6Cc

abD20iivJrgvPa4JC

Atividade 3:

8. Sobre uma reta marcam – se 8 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira,

marcam – se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos

quaisquer do total desses pontos?

9. Quantos números de três algarismos distintos formamos com os

algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?

10. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam – se comissões de 4 alunos

e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno X e não participa

a aluna Y.

Recursos didáticos para a atividade 3:

https://www.youtube.com/watch?v=7egxgnVeGKY

https://www.youtube.com/watch?v=0QCbBui4ReA

https://www.youtube.com/watch?v=3RaTJOZL6MA

https://www.youtube.com/watch?v=wQy3OASQ1YA

Referências Bibliográficas adicionais

IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, Davi. PÉRIGO, Roberto.

ALMEIDA, Nilze. Matemática ciência e aplicações. Ed. Saraiva. Ensino Médio v. 2. 7

ed.

BARRETO, Benigno. SILVA, Cláudio X. Matemática aula por aula. v. 2. Ed.FTD.1º ed.

São Paulo.2003.

BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemática.1. ed. São Paulo: Moderna,

2004.

STOCCO SMOLE, Kátia. DINIZ, Maria I. Matemática ensino médio 2. –8.ed. São

Paulo : Saraiva, 2013.

Sites:

Disponível em:

https://www.google.com.br/

https://www.youtube.com

Plano de Estudo – Regime de Progressão Parcial – Tutoria

MATRIZES

Definição:

Sejam m e n números naturais não nulos.

Uma matriz do tipo ou formato MXN (ou simplesmente MXN) é uma tabela de

M.N números reais dispostos m linhas (horizontais) e n colunas (verticais).

Uma matriz qualquer é representada colocando seus elementos (números) entre

parênteses, colchetes ou duas barras. Sendo que é mais raro encontrarmos as matrizes

dispostas em duas barras.

Podemos observar a seguir alguns exemplos:

a) Uma matriz 2x2

A= (2 30 −1

)

b) Uma matriz 2x1

B=[94

]

c) Uma matriz 2x3

𝐶 = ‖−1 0 −3−4 8 10

‖

Representação de uma matriz

De modo geral, uma matriz A do tipo M x N é representada por A= (aij)mxn, em

que i e j são inteiros positivos tais que 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, e aij é um elemento qualquer de

A. Como podemos observar no exemplo a seguir.

Seja a matriz A = [−2 0 35 6 9

]2𝑥3

O elemento que está na linha 1 e coluna 1, é a11 = -2.

O elemento que está na linha 1 e coluna 2, é a12 = 0.

O elemento que está na linha 1 e coluna 3, é a13 = 3.

O elemento que está na linha 2 e coluna 1, é a21 = 5.

O elemento que está na linha 2 e coluna 2, é a22 = 6.

O elemento que está na linha 2 e coluna 3, é a23 = 9.

Exercícios resolvidos

1) Escreva a matriz A = (aij)3x2, em que aij= 2i - j2.

Resolução:

Uma matriz do tipo 3x2 pode ser genericamente representada por

A= (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

𝑎31 𝑎32

).

Fazendo aij = 2i - j2.

a11=2.1-12= 2 – 1= 1

a12 = 2.1-22= 2 – 4= -2

a21 = 2.2 – 12 = 4 – 1= 3

a22 = 2.2 – 22 = 4 – 4 = 0

a31 = 2.3 – 12 = 6 – 1= 5

a32 =2.3 – 22 = 6 – 4 =2

2) Determine a matriz B = (bij)2x3 , sendo bij= 2 + i - j .

Resolução:

Uma matriz do tipo 2x3 pode ser genericamente representada por

B= (𝑏11 𝑏12 𝑏13

𝑏21 𝑏22 𝑏23).

Fazendo bij= 2 + i – j

b11= 2 + 1 – 1= 3 – 1 = 2

b12= 2 + 1 – 2= 3 – 2 = 1

b13= 2 + 1 – 3= 3 – 3 = 0

b21= 2 + 2 – 1= 4– 1 = 3

b22= 2 + 2 – 2= 4 – 2 = 2

b23= 2 + 2 – 3= 4 – 3= 1

Matrizes especiais

A seguir veremos alguns tipos de matrizes especiais:

Matriz linha: é uma matriz formada por uma única linha.

A =(−𝟒 𝟑 𝟗) é uma matriz linha de ordem 1X3.

B = [ 3 -2] é uma matriz linha de ordem 1X2.

Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna.

A = (−𝟕𝟗𝟑

) é uma matriz coluna de ordem 3X1.

B = [𝟑

𝟐

𝟒] é uma matriz coluna de ordem 2X2.

Matriz nula: é uma matriz cujo s elementos são todos iguais a zero. Pode-

se indicar a matriz nula m x n por 0mxn.

03x2 = [0 00 00 0

]é uma matriz nula de ordem 3X2.

04X4 = (

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

)é uma matriz nula de ordem 4X4.

Matriz quadrada: é uma matriz que possui número de linhas igual o

número de colunas.

A = (

0 −2 4 16 11 10 −13 0 −4 64 −5 −1 3

)é uma matriz quadrada de ordem 4X4.

B = (2 30 −1

) é uma matriz quadrada de ordem 2X2.

Matriz transpostas

Chamamos de matriz transpostas A (indica - se por At), quando dada uma matriz

A = (aij)mxn:

At = (a’ji)mxn

tal que a’ji = aij para todo i todo j.

Podemos dizer em outras palavras que, a matriz At é obtida trocando-se,

ordenadamente, as linhas pelas colunas da matriz A.

A seguir podemos observar alguns exemplos.

1- Dadas as matrizes A = (−2 38 −1

)

A transposta da matriz A é At = (−2 83 −1

)

2- Dada a matriz B = [−9 30 4

−2 5]

A transposta da matriz B é Bt = [−9 0 −23 4 5

]

Operações com matrizes

Adição de matrizes

As tabelas abaixo representam as vendas, em uma concessionária, de dois veículos

0 km, modelos A e B, de acordo com os tipos de combustível, durante os dois primeiros

meses de determinado ano:

Analisando os dados na tabela acima, de que maneira podemos calcular as vendas

de cada tipo de veículo no primeiro bimestre desse ano? Instintivamente, sabemos que é

preciso somar os elementos correspondentes das tabelas anteriores. Usando matrizes,

temos:

[3546 1875 5163940 1294 375

]+[7325 1354 4593452 1522 349

]=[10871 3229 10657392 2816 724

]

Definição

Janeiro

Flex Gasolina Álcool

A 3546 1875 516

B 3940 1294 375

Fevereiro

Flex Gasolina Álcool

A 7325 1354 459

B 3452 1522 349

Combustível

Modelo

Combustível

Modelo

Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = (aij)mxn e B = (bij), a soma de A

com B (representa-se por A + B) é a matriz C = (cij)mxn, em que cij = aij + bij, 1≤ i ≤ m, 1≤

j ≤ n.

Logo, a matriz soma C é do mesmo tipo que A e B e é tal que cada um de seus

elementos é a soma de elementos correspondentes de A e B. Como podemos observar no

exemplo a seguir.

(−2,6 5−9 3

)+(4 25 −1

)=(1,4 7−4 2

)

[−2 1 03 −4 1

]+[3

2−7 9

−5 6 3]=[

−1

2−6 9

−2 2 4]

Exercícios Resolvidos

3) Resolver a equação matricial A + X = B, sendo A =(2 −31 4

) e B =

(−5 98 −6

).

Resolução:

Uma equação matricial é aquela em que a incógnita é uma matriz.

A matriz procurada é do tipo 2X2 e podemos representa-la por X = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)

Temos: (2 −31 4

) + (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (−5 98 −6

)

Daí: (2 + 𝑎 −3 + 𝑏1 + 𝑐 4 + 𝑑

) = (−5 98 −6

)

Do conceito de igualdade, vem:

2 + a = -5 → a = -5 - 2

→ a = -7

1 + c = 8 → c = 8 – 1 → c = 7

-3 + b = 9 → b = 9 + 3 → b = 12

4 + d = -6 → d = -6 – 4

→ d = -10

Subtração de Matrizes

Definição

Dadas duas matrizes de mesma ordem A = (aij)mxn e B = (bij), chama-se diferença entre A e B

(representada por A - B) a matriz soma de A com a oposta de B. Isto é:

Observe os exemplos a seguir:

[2 −9

20 11] - [

−10 225 5

] = [2 −9

20 11] + [

10 −2−25 −5

] = [12 −11−5 6

]

[1 3 42 10 −5

] - [−9 2 75 15 8

]=[1 3 42 10 −5

]+ [9 −2 −7

−5 −15 −8]= [

10 1 −3−3 −5 −13

]

Multiplicação de um número real por uma matriz

Definição

Seja uma matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de k pela matriz A (indica-se: k . A) é a

matriz B = (bij)mxn, em que bij = k . aij, para todo i ϵ {1,2, ... , n}.

Então B é obtida de A multiplicando – se por k cada um dos elementos de A.

Observe alguns exemplos a seguir:

Se A = (2 −9), então 5. A = 5. (2 −9) = (10 −18)

Se A = [3 10 −2

], então 3

4 . A = [

3 10 −2

] = [

9

4

3

4

0−6

4

] ou = [

9

4

3

4

0−3

2

]

Se A = [

−2 4 5

3 8 √6

−7 11

2

], então (-7). A = [

14 −28 −35

−21 −56 −7√6

49 −7−7

2

]

Multiplicação de matrizes

Definição

Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp, chama-se produto de A por B , e se indica por A . B, a

matriz C =(cik)mxp, cik = ai1. b1k + ai2. b2k + ai3. b3k + ... + ain. bnk; para todo i ϵ {1,2,... , m} e todo k ϵ { 1,2, ... ,

p}.

Devemos seguir os seguintes procedimentos para obtermos o elemento cik da matriz C:

1º. ) Pegamos ordenadamente os n elementos da linha i da matriz A: ai1, ai2, ... , ain. (1)

2º. ) Pegamos ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B: b1k, b2k, ... , bnk. (2)

A – B = A + ( -B)

3º. ) Multiplicamos o 1º Elemento de (1) pelo (2), o 2º elemento de (1) pelo 2º elemento de (2), e

assim sucessivamente.

4º. ) Somamos os produtos obtidos.

Assim:

cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ...+ ain . bnk

Observações :

A definição garante a existência do produto A. B se o número de colunas de A é igual ao número

de linhas de B.

A matriz produto C = A. B é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de

A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B. Observemos o esquema a seguir:

A(mxn) . B(nxp) = C(mxp)

Exemplos: Dadas as matrizes A = (−1 3 25 −4 0

) e B = (7 6

−2 81 −3

) , verifique se existe a AB e BA.

Como A é do tipo 2 X 3 e B é 3 X 2, segue que C = A . B existe e é do tipo 2 X 2.

Escrevemos os elementos de C em sua forma genérica, temos

C = (c11 𝑐12

𝑐21 𝑐222)2x2.

Da definição, vem:

Para facilitar o entendimento adote a primeira linha com a cor azul e a segunda linha com a cor

vermelha na primeira matriz (A). Na Segunda matriz(B) adote a primeira coluna com a cor preta e a segunda

coluna de cor verde.

C = (−1 3 25 −4 0

) x (7 6

−2 81 −3

)

((−1)x7 + 3 x (−2) + 2 x 1 (−1) x 6 + 3 x 8 + 2 x (−3)

5 x 7 + (−4) x (−2) + 0 x 1 5 x 6 + (−4 )x 8 + 0 x (−3)=(

−7 − 6 + 2 −6 + 24 − 635 + 8 + 0 30 − 32 − 0

)=

(−13 + 2 −12 + 24

43 30 − 32) =

Logo, C = (−11 1243 −32

)

Como B é do tipo 3 X 2 e A é do tipo 2 X 3, segue que C = B . A existe e é do tipo 3 X 3

Garante a existência

do produto

Assim, D = (𝟕 𝟔

−𝟐 𝟖𝟏 −𝟑

) x (−𝟏 𝟑 𝟐𝟓 −𝟒 𝟎

)

Aplicando a definição, vem:

Utilizando o mesmo método do exemplo acima, coloque de cores diferentes as linhas da primeira matriz

e a segunda matriz diferencie as colunas também com cores diferenciadas.

D = (

𝟕 x (−𝟏) + 𝟔 x 𝟓 𝟕 x 𝟑 + 𝟔 x (−𝟒) 𝟕 x 𝟐 + 𝟔 x 𝟎

−𝟐 x (−𝟏) + 𝟖 x 𝟓 −𝟐 x 𝟑 + 𝟖 x (−𝟒) −𝟐 x 𝟐 + 𝟖 x 𝟎

𝟏 x (−𝟏) + (−𝟑) x 𝟓 𝟏 x 𝟑 + (−𝟑)x (−𝟒) 𝟏x 𝟐 + (−𝟑) x 𝟎

)

D = (−7 + 30 21 − 24 14 + 02 + 40 −6 − 32 −4 + 0

−1 − 15 3 + 4 2 − 0)

Logo, D = (23 −3 1442 −38 −4

−16 7 2)

Observe, neste exemplo, que C = A. B é uma matriz 2 x 2 e D = B. A é uma matriz 3 x 3

DETERMINANTES

Segundo Gelson Iezzi et al. Algumas operações envolvendo os coeficientes das incógnitas de uma

sistema linear permitirá classificá-lo como possível (determinado ou indeterminado) ou impossível.

No caso, se o número de equações do sistema é igual ao seu número de incógnitas, há um método geral

de discussão.

Caso 2 x 2

Seja um sistema linear {a𝑥 +c𝑥 +

b𝑦 =d𝑦 =

𝑒f , de incógnitas x e y.

O número real ad – bc é definido como o determinante da matriz incompleta (M) dos coeficientes do

sistema. Temos:

M = (a bc d

) e det M = a . d – b . c

Indicaremos esse número por: det M ou det (a bc d

) ou |a bc d

|.

Observe que det M é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal de M e o

produto dos elementos de sua diagonal secundária.

det M = a . d – b . c

Exemplos:

O determinante (D) da matriz [4 −57 2

] é:

D = |4 −57 2

| = 4 . 2 – (-5) . 7 = 8 + 35 = 43

O determinante da matriz (9 30 −8

) é:

|9 30 −8

| = 9 .(-8) – 3 . 0 = -72 – 0 = -72

Caso 3 x 3

Considerando o sistema linear seguinte nas incógnitas x, y e z:

{

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒎𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 + 𝒇𝒛 = 𝒏𝒈𝒙 + 𝒉𝒚 + 𝒊𝒛 = 𝒑

Utilizando o mesmo raciocínio análogo ao desenvolvimento no caso 2 x 2 acima, definimos o

determinante da matriz [a b cd e fg h i

] pelo número real:

aei + bfg + cdh - ceg - afh – bdi (*)

Por meio da regra prática de Sarrus (1798 - 1861) podemos obter esses valores de maneira mais fácil:

1º. Escrevemos ao lado da matriz A os elementos das duas primeiras colunas.

2º. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a direção da diagonal

principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”.

3º. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido.

Seguindo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas

“diagonais”, também trocando o sinal dos produtos.

4º. Somamos todos os resultados obtidos no 2º e no 3º passos.

4º passo: O determinante da matriz é igual a:

aei + bfg + cdh – ceg - afh – bdi, que coincide com (*).

Segue o exemplo abaixo:

Vamos calcular o determinante da matriz A = [2 3 41 0 −15 −2 3

].

det A = 0 – 4 – 9 + 0 – 15 – 8 = -36

Observação

No caso 1 x 1 (matriz com um único elemento), o determinante da matriz é igual ao seu elemento.

Vejamos:

A = [6] → det A = 6

B = ( -4) → det B = -4

O estudo dos determinantes de matrizes quadradas de ordem quadradas e de ordem superior a 3 não é

muito utilizado no ensino médio.

Sobre propriedades:

1º) O determinante de uma matriz é igual a zero quando:

I. A matriz possui duas linhas iguais ou duas colunas iguais;

II. A matriz possui os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero;

III. A matriz possui os elementos de duas linhas proporcionais ou os elementos de duas colunas

proporcionais;

IV. A matriz possui uma linha (ou uma coluna) que seja igual a uma combinação linear das demais

linhas (ou colunas).

2º) Dada uma matriz quadrada A e sua transposta, At, temos det At = det A.

3º) Se multiplicamos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz por número real m, o

determinante da matriz fica multiplicado por m.

4º) Se trocamos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz, o determinante troca de

sinal.

5º) Se numa matriz adicionamos aos elementos de uma fila (linha ou coluna) uma combinação linear dos

elementos correspondentes de fila paralelas, o determinante da matriz obtida não se altera (teorema de Jacobi).

6º) Dadas duas matrizes quadradas, A e B, de mesma ordem, temos:

Det (A . B) = det A . det B.

EQUAÇÃO LINEAR

Toda equação do 1ºgrau que possui uma ou mais incógnitas é uma equação linear.

A equação 2𝑥 + 5𝑦 − 6𝑧 = 10 é um exemplo de equação linear, onde:

As letras x,y e z são as incógnitas;

Os números 2,5 e -6 são os coeficientes das respectivas incógnitas;

O número 10 é o termo independente.

Segue outros exemplos de equações lineares:

a. 𝑥 + 𝑦 = 1

b. 2𝑥 − 3𝑦 = 6

c. 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0

d. 2𝑡 + 5𝑠 − 12 = 0

Observe que as seguintes equações não são lineares:

a. 𝑥2 + 7𝑦 + 6 = 0

b. 𝑥2 − 𝑦+= 10

c. 𝑥𝑦 + 2𝑧 = 3

d. 2√𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1

Resolução de equação linear

Uma equação linear com duas ou mais incógnitas tem infinitas soluções.

Considere como exemplo a equação 5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4. O termo ordenado (1,2,3) é uma das soluções

dessa equação, pois:

5. (1) – 2. (2) + 1. (3) = 5 − 4 + 3 = 8 – 4 = 4

Uma outra solução dessa equação é o termo (-4, 5, 34), pois:

5. (−4) – 2. (5) + 1. (34) = − 20 − 10 + 34 = −30 + 34 = 4

No entanto, o termo (2, 1, 5) não é não é solução dessa equação, pois:

5. (2) – 2. (1) + 1. (5) = 10 − 2 + 5 = 15 – 2 = 13 ≠ 4

Veja outros exemplos.

1. Achar uma solução da equação linear 2𝑥 + 𝑦 – 3𝑧 = 6.

Temos três incógnitas. Escolhemos duas e atribuímos a cada uma um valor qualquer, por exemplo,

x = 1 e y = 4. Depois, substituímos esses valores na equação e encontramos o valor da terceira

incógnita.

2. (1) + (4) – 3𝑧 = 6

2 + 4 – 3 𝑧 = 6

−3𝑧 = 0

𝑧 = 0

Logo, o termo (1, 4, 0) é uma solução dessa equação.

2. Determine o valor de p de modo que o par (−1

2, 𝑝) seja uma solução (s, t) da equação linear 3s-2t = 7.

Devemos ter:

3 (−1

2) -2. p = 7

2p = −3

2 -7

P = −17

4

Exercícios propostos

1.Entre as equações abaixo, identifique aquelas que são lineares.

5𝑥 – 7𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥2 + 3𝑦2 − 4 = 0

2𝑥 – 5𝑦 = 0 𝑥

2+

𝑦

3−

𝑧

4 −

1

2= 0

2. Verifique quais dos pares ordenados ( x, y) são soluções da equação linear 3𝑥 + 2𝑦 = 6.

a. (0, 3) 𝑏. (2, 3) 𝑐. (4, −3)

3. Verifique se a quádrupla (2, −2, 1, 3) são solução da equação linear 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 𝑡 = −3

SISTEMAS LINEARES

Sistema linear é todo sistema formado por equações lineares.

Assim, o sistema {𝑥 + 𝑦 = 5

2𝑥 − 𝑦 = 1 é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas. O sistema

{𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 2

2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑑 = 1𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 2𝑑 = 6

é um sistema linear de três equações com quatro incógnitas.

Voltando ao sistema {𝑥 + 𝑦 = 5

2𝑥 − 𝑦 = 1, podemos verifique que:

𝑂𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (−2,7), (0, 5), (𝟐, 𝟑), (4, 1), (6, −1) são algumas soluções da primeira

equação;

𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (0, −1), (1,1), (𝟐, 𝟑), (3,5), (5,9) são algumas soluções de segunda

equação;

𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 (2,3) é solução comum das duas equações.

Cada equação representa uma reta no plano. O conjunto solução do sistema nada mais é do que o

conjunto dos pontos que estão na intersecção das duas retas. No nosso caso, as duas retas são

concorrentes. Logo, só pode haver um único ponto de intersecção, ou seja, o par (2,3) é a única solução

do sistema.

Exercícios Propostos

4. Verifique se o par ordenado (3,-2) é solução do sistema: {3𝑥 − 𝑦 = 11

2𝑥 + 5𝑦 = −4

5. Calcule a e b, sabendo que o terno ordenado (5,a,b) é a única solução do sistema: {

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 103𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 16𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −2

6. Determine quais dos termos ordenados são soluções do sistema:

{𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4

a. (2,2,2)

b. (-1, -13, -10)

c. (3,7,6)

d. (5,3,0)

Resolução de sistema lineares pelo método da substituição

Um dos métodos utilizados para resolver um sistema consiste em isolar uma das incógnitas numa das

equações e substituir o valor encontrado nas outras equações (método da substituição).

Exemplo

Resolver o sistema a seguir por esse método.

a) {5𝑥 − 2𝑦 = 92𝑥 + 6𝑦 = 7

Isolando o valor de 𝑦 em 5𝑥 − 2𝑦 = 9, temos: -2𝑦 = 9 − 5𝑦 → 𝑦 =5𝑥−9

2

Substituindo 𝑦 por (5𝑥−9)

2 na equação 2x+6y=7, temos : 2𝑥 + 6 (

5𝑥−9

2) = 7 → 𝑥 = 2

Substituindo 𝑥 por 2 em 𝑦 =5𝑥−9

2 , obtemos 𝑦 =

1

2 . Logo, 𝑆 = {(2,

1

2)}.

b){

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 53𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

Isolando o valor de 𝑦 na equação 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −3, temos : 𝑦 = 𝑧 − 2𝑥 − 3

Substituindo 𝑦 por 𝑧 − 2𝑥 − 3 nas outras duas equações, temos:

{𝑥 − 2(𝑧 − 2𝑥 − 3) + 4𝑧 = 5

3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2→ {

5𝑥 + 2𝑧 = −1𝑥 + 3𝑧 = 5

Resolvendo o sistema obtido, encontramos 𝑥 = −1 e 𝑧 = 2. Substituindo esses valores em 𝑦 = 𝑧 −

2𝑥 − 3, encontramos 𝑦 = 1. Logo, 𝑆 = {(−1,1,2)}.

Exercícios Propostos

7. Resolva pelo método da substituição os sistemas:

a){8𝑥 − 5𝑦 = 7

𝑥 + 2𝑦 =7

2

b){

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 73𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = −65𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2

8. Determine o valor de 𝑎 para que seja homogêneo o sistema: {3𝑥 + 2𝑦 = 5𝑎 − 10

𝑥 − 𝑦 = 0

9. Determine 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 para que seja homogêneo o sistema: {

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 𝑐 − 13𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑏 + 𝑐

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑎 − 3𝑎

Regra de Cramer

É aplicável na resolução de sistema n x n, onde D ≠ 0, sendo que a solução é dada pelas razões:

x1 = 𝐷1

𝐷 , x2 =

𝐷2

𝐷 , x3 =

𝐷3

𝐷, ... , xn

Considerando o sistema {𝑎1 + 𝑏1

𝑎2 + 𝑏2

==

𝑐1

𝑐2. [

𝑎1 𝑏1

𝑎2 𝑏2] é a matriz incompleta do sistema.

c1 e c2 são os termos independentes do sistema.

D = |𝑎1 𝑏1

𝑎2 𝑏2| é o determinante da matriz incompleta do sistema.

Dx = |𝑐1 𝑏1

𝑐2 𝑏2| é o determinante da matriz obtida através da troca dos coeficientes de x pelos

termos independentes, na matriz incompleta.

Dy = |𝑎1 𝑐1

𝑎2 𝑐2| é o determinante da matriz obtida através da troca dos coeficientes de y pelos

termos independentes, na matriz incompleta.

Podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x n, assim como o seu determinante

D e também Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes

no determinante da matriz incompleta.

Como podemos observar nos exemplos a seguir:

1º. ) Para resolver o sistema {2𝑥 − 3𝑦 = −5

𝑥 + 2𝑦 = 8 , fazemos:

Cálculo do determinante D:

D = |2 −31 2

| = 2 . 2 – (-3) . 1 = 4 + 3 = 7

Cálculo do determinante Dx:

Dx = |−5 −38 2

| = -5 . 2 – (-3) . 8 = -10 + 24 = 14

Dy = |2 −51 8

| = 2 . 8 – (-5) . 1 = 16 + 5 = 21

Logo:

x = Dx

D =

14

7 = 2 e y =

Dy

D =

21

7 = 3

Conjunto verdade: V = {(2,3)}

2º. ) Resolva o sistema de três equações aplicando a regra de Cramer:

{

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0

−𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −3 D = |

1 −2 12 1 −1

−1 3 −2|

1 −22 1

−1 3

D = - (1 . 1 . (-1)) – (1. (-1) .3) – ((-2) . 2 . (-2)) + (1.1 . (-2)) + ((-2) . (-1) . (-1)) +

(1 . 2 . 3) =

= 1 + 3 – 8 - -2 – 2 + 6 = -2

Dx = |1 −2 10 1 −1

−3 3 −2|

1 −20 1

−3 3=

= - (1 .1 . (-3)) – (1 . (-1) . 3) – ((-2) . 0 . (-2)) + (1. 1. (-2)) + ((-2). (-1) . (-3)) +

(1 . 0 . 3) =

= 3 +3 – 0 – 2 – 6 + 0 = 6 – 8 = - 2

Dy = |1 1 12 0 −1

−1 −3 −2|

1 12 0

−1 −3=

= - (1 .0 . (-1)) – (1 .(-1) . (-3)) – (1 . 2 . (-2)) + ( 1. 0. (-2)) + ( 1 . (-1) . (-1)) + (1

. 2 . (-3)) =

= - 0 - 3 + 4– 0 +1 - 6 = 5 – 9 = - 4

Dz = |1 −2 12 1 0

−1 3 −3|

1 −22 13 3

=

= - (1 .1 . (-1)) – (1 .0 . 3) – ((-2) . 2 . (-3)) + ( 1. 1. (-3)) + ( -2 . 0 . 3) + (1 . 2 . 3)

=

= 1 – 0 – 12 – 3 – 0 + 6 = 7 – 15 = - 8

Dx = −2

−2 = 1 Dy =

−4

−2 = 2 Dz =

−8

−2 = 4

Conjunto verdade: V = {(1, 2 ,4)}

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução

Considere os seguintes problemas:

De quantos modos distintos oito pessoas podem se sentar lado a lado em

um cinema?

Quantas placas de automóveis podem ser formadas em repetição de letras

e de algarismos?

De quantos modos distintos pode ocorrer o resultado de um sorteio da

Mega–Sena?

De quantas maneiras diferentes pode – se definir as chaves de seções da

primeira fase de uma Copa do Mundo de futebol?

Todas as questões levantadas são problemas de contagem.

Segundo Gelson Iezzi et. al

“A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve técnicas e

métodos de contagem que nos permitem resolver estas e outras questões”.

Exemplo:

Um quiosque de praia na Bahia lançou a seguinte promoção durante uma

temporada de verão:

Para esse combinado, há quatro opções de sanduíches (frango, atum, vegetariano

e queijo branco) e três opções de suco (laranja, uva e morango).

De quantas formas distintas uma pessoa pode escolher o seu combinado?

Em primeiro lugar, a pessoa poderá optar pelo sabor do lanche. Há quatro

opções:

Frango (F); Atum (A); Vegetariano (V) e Queijo branco (Q).

Para cada uma das possibilidades anteriores, a escolha do suco pode ser

feita de três maneiras possíveis:

Laranja (L); Uva (U) ou Morango (M).

A representação dessas possibilidades pode ser feita por meio de um diagrama

sequencial, conhecido como diagrama da árvore.

Combinado de sanduíche natural e

suco a R$ 8,00

Observe a seguir:

1ª 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 (𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑛𝑑𝑢í𝑐ℎ𝑒) 2ª 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 (𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑐𝑜) 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑓𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎

𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜

(𝐹, 𝐿)(𝐹, 𝑈)(𝐴, 𝑀)

𝑎𝑡𝑢𝑚 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎

𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜

(𝐴, 𝐿)(𝐴, 𝑈)(𝑉, 𝑀)

𝑣𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎

𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜

(𝑉, 𝐿)(𝑉, 𝑈)(𝑉, 𝑀)

𝑞𝑢𝑒𝑖𝑗𝑜 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜 {𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎

𝑢𝑣𝑎𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜

(𝑄, 𝐿)(𝑄, 𝑈)(𝑄, 𝑀)

Observe que para cada combinado consta um par ordenado (x , y), em que x ϵ {F,

A, V, Q} e y ϵ {L, U, M}.

Logo:

O número de possibilidades é 4 . 3 = 12

Princípio Fundamental da contagem

Sabendo - se que um acontecimento ocorre em duas situações sucessivas e

independentes, sendo que:

1º. ) situação: ocorre a maneira;

2º. ) ocorre de b maneiras, então, o número total de possibilidades de ocorrer

o acontecimento é dada por a . b.

Fatorial

Sendo n ϵ ℕ e n > 1, temos:

n! = n . (n – 1) . (n - 2) . ... . 1

Para melhor entendimento da definição, temos:

0! = 1 e 1! = 1

Permutação simples: 𝑃𝑛 = 𝑛!

Arranjo simples: 𝐴𝑛,𝑝 =𝑛!

(𝑛−𝑝)! , com

𝑝 ≤ 𝑛

Combinação simples: 𝐶𝑛,𝑝 =𝑛!

𝑝!(𝑛−𝑝)!

Problemas que envolvem arranjos ou combinações

Vamos aplicar os conceitos sobre arranjos e combinações, bem como as técnicas

de cálculo do número desses tipos de agrupamentos, na resolução de problemas. O

primeiro trabalho será reconhecer se o problema dado envolve arranjos ou combinações.

Para isso, procedemos assim:

a) Escolhemos um agrupamento qualquer que satisfaça as condições do

problema.

b) Trocamos as posições dos elementos desse agrupamento. Se o

agrupamento obtido for outra solução do problema, então se trata de um

probleminha sobre arranjos; caso contrário, trata-se de um problema de

combinações.

Observação: Os problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos

utilizando-se o princípio fundamental da contagem

Exemplos

1. Vamos determinar quantos triângulos com vértices nos pontos A, B,C,D e E

da figura ao lado podemos construir.

Na construção de um triângulo usaremos 3 dos

pontos dados. Para resolver o problema, devemos

reconhecer o tipo de agrupamento que esses 5

elementos tomados 3 a 3 irão formar, se arranjo ou

combinação. Escolhemos, então, um desses

agrupamentos, por exemplo, 𝐴𝐵𝐶. Como

∆𝐴𝐵𝐶 𝑒 ∆𝐵𝐴𝐶 correspondem a um mesmo triângulo ,

então se trata de um problema de combinação. Logo,

o número de triângulos que podemos construir é:

𝐶5,3=5!

3!.(5−3)!=

5!

3!.2!=

5.4.3!

3!.2= 10

2. Vamos determinar quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar

com os algarismos 2,3,4,6,7,8 e 9.

Temos 7 algarismos para serem agrupados de 3 em 3. Tomemos, por exemplo,

o número 346. Trocando a ordem de seus elementos teremos, por exemplo, 436.

Como 346 ≠ 436, trata-se sw agrupamento do tipo arranjo. Logo, podemos

formar 𝐴7,3= 7.6.5=210,ou seja, 210 números.

Exercícios Propostos

1.Veja a figura e responda o que se pede.

a) Quantos triângulos diferentes com

vértices nesses pontos e que tenham um só

vértice vermelho podem ser construídos?

b) Quantos triângulos diferentes

podem ser construídos com vértices nesses

pontos?

2.Com os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, determine quantos números podemos formar

quando:

a) Os números têm 4 algarismos;

b) Os números têm 4 algarismos distintos;

c) Os números têm algarismos distintos, são maiores que 3.000 e

menores que 7.000;

d) Os números são ímpares e têm 3 algarismos distintos.

3. Considere todas as comissões de 5 membros, possíveis de serem formadas com

5 brasileiros e 8 estrangeiros. Determine quantas dessas comissões:

a) Não terão estrangeiros;

b) Terão no mínimo 2 brasileiros.

Gabarito (Atividade 1 a 3)

Atividade 1

Questão 1: a) 9 b) 6

Questão 2: a) (−2 820 12

) b) (−26 6−2 −2

) c) (−8 0

−20 −6)

Questão 3:

a) (318

3 1 5

035

544

725

)

b) Português e Matemática Aluno C, Historia Aluno A

Questão 4:

a) (1920

15𝑥 + 900) b) (

80 6068 75

)

Atividade 2

Questão 5: det 𝐴 = 18

Questão 6: 𝑥 = 2

Questão 7: det 𝐴 = 1 , det 𝐵 = −4, det 𝐴 + 𝐵 = 0 , det 𝐴 ⋅ 𝐵 = −4

Atividade 3

Questão 8: 220

Questão 9: 120

Questão 10: 504

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EQUAÇÕES LINEARES

QUESTÃO 1 - OBSERVAÇÃO: Toda equação do 1ºgrau que possui uma ou mais incógnitas é

uma equação linear.

QUESTÃO 2 - LETRAS A e C.

QUESTÃO 3 - NÃO É SOLUÇÃO.

SISTEMAS LINEARES

QUESTÃO 4 - É SOLUÇÃO.

QUESTÃO 5 - a=-1 e b=3

QUESTÃO 6 - LETRAS A e C.

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

QUESTÃO 7 - (3

2, 1)

QUESTÃO 8 - a=2

QUESTÃO 9 - a=0, b=-1, c=1

ANÁLISE COMBINATÓRIA

QUESTÃO 1 - a) 40 b) 70

QUESTÃO 2 - a)2.401 b) 840 c) 360 d) 120

QUESTÃO 3 - a)120 b) 142.560

ATIVIDADE EXTRA

GABARITOS:

ATIVIDADE EXTRA: 1)E 2)D 3) C 4) B 5)A 6)E 7)A 8)D 9)C 10)E