5-Determinante

Laura Goulart

UESB

2 de Dezembro de 2018

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 1 / 13

De�nição

A toda matriz quadrada A associa-se um número real, denominadodeterminante da matriz A e denotado por det(A), que é obtido mpormeio de operações entre os elementos da matriz.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 2 / 13

5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2

Dada a matriz A =

(a11 a12a21 a22

), de�na-se que o determinante

associado a matriz A é o número rela obtido pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonalsecundária.

Exemplo (5.1)

Calcule o determinante da matriz A =

(7 2−3 5

).

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 3 / 13

5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2

Dada a matriz A =

(a11 a12a21 a22

), de�na-se que o determinante

associado a matriz A é o número rela obtido pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonalsecundária.

Exemplo (5.1)

Calcule o determinante da matriz A =

(7 2−3 5

).

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 3 / 13

5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2

Dada a matriz A =

(a11 a12a21 a22

), de�na-se que o determinante

associado a matriz A é o número rela obtido pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonalsecundária.

Exemplo (5.1)

Calcule o determinante da matriz A =

(7 2−3 5

).

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 3 / 13

5.2 - Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode serfeito por meio de um processo prárico dito regra de Sarrus.

Consiere a matriz A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 4 / 13

5.2 - Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode serfeito por meio de um processo prárico dito regra de Sarrus.

Consiere a matriz A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 4 / 13

1o. passo

Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 5 / 13

2o. passo

Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz Ae os elementos das duas diagonais paralelas à principal, somando osresultados:

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 6 / 13

3o. passo

Multiplicamos agora os elementos da diagonal secundária da matriz A e oselementos das duas diagonais paralelas à secundária, subtraindo osresultados.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 7 / 13

4o. passo

Por �m, somamos o primeiro número encontrado pelo último, obtendo:

Dessa forma,

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 8 / 13

4o. passo

Por �m, somamos o primeiro número encontrado pelo último, obtendo:

Dessa forma,

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 8 / 13

Exemplo (5.2)

Calcule o determinante da matriz A =

1 2 30 2 4−1 3 5

.

Observação (5.1)

Para matrizes quadradas de ordem superior a 3 usa-se o Teorema de

Laplace.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 9 / 13

Exemplo (5.2)

Calcule o determinante da matriz A =

1 2 30 2 4−1 3 5

.

Observação (5.1)

Para matrizes quadradas de ordem superior a 3 usa-se o Teorema de

Laplace.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 9 / 13

5.3 - Propriedades

D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .

D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.

D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.

D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.

D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13

5.3 - Propriedades

D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .

D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.

D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.

D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.

D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13

5.3 - Propriedades

D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .

D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.

D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.

D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.

D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13

5.3 - Propriedades

D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .

D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.

D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.

D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.

D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13

5.3 - Propriedades

D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .

D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.

D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.

D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.

D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13

Propriedades

Observação (5.2)

Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.

D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.

D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.

Observação (5.3)

Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13

Propriedades

Observação (5.2)

Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.

D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.

D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.

Observação (5.3)

Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13

Propriedades

Observação (5.2)

Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.

D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.

D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.

Observação (5.3)

Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13

Propriedades

Observação (5.2)

Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.

D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.

D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.

Observação (5.3)

Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13

Propriedades

D8) [Teorema de Binet:] det(AB) = detA · detB.

Observação (5.4)

det(A+ B) 6= detA+ detB.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 12 / 13

Propriedades

D8) [Teorema de Binet:] det(AB) = detA · detB.

Observação (5.4)

det(A+ B) 6= detA+ detB.

Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 12 / 13

Exercício de Fixação

O valor de x para que

∣∣∣∣ x2 x1 1

∣∣∣∣ = 2.

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