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ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 1 / 17
Capıtulo 2
Determinantes
Definic oes
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 2 / 17
Definic oes
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 2 / 17
Seja A = [akℓ] uma matriz quadrada de ordem n. Por Akℓ designamosa matriz quadrada de ordem n − 1 que se obtem de A por supressaoda linha k e da coluna ℓ.
Definic oes
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 2 / 17
Seja A = [akℓ] uma matriz quadrada de ordem n. Por Akℓ designamosa matriz quadrada de ordem n − 1 que se obtem de A por supressaoda linha k e da coluna ℓ.
Dado k ∈ {1, . . . , n}, o determinante de A e o escalar
(1) det(A) =n
∑
ℓ=1
(−1)k+ℓakℓ det(Akℓ) ,
com det[a] = a.
Definic oes
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 2 / 17
Seja A = [akℓ] uma matriz quadrada de ordem n. Por Akℓ designamosa matriz quadrada de ordem n − 1 que se obtem de A por supressaoda linha k e da coluna ℓ.
Dado k ∈ {1, . . . , n}, o determinante de A e o escalar
(1) det(A) =n
∑
ℓ=1
(−1)k+ℓakℓ det(Akℓ) ,
com det[a] = a.
• det(Akℓ) diz-se o menor de akℓ
Definic oes
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 2 / 17
Seja A = [akℓ] uma matriz quadrada de ordem n. Por Akℓ designamosa matriz quadrada de ordem n − 1 que se obtem de A por supressaoda linha k e da coluna ℓ.
Dado k ∈ {1, . . . , n}, o determinante de A e o escalar
(1) det(A) =n
∑
ℓ=1
(−1)k+ℓakℓ det(Akℓ) ,
com det[a] = a.
• det(Akℓ) diz-se o menor de akℓ
• (−1)k+ℓ det(Akℓ) diz-se o complemento algebrico de akℓ
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Exemplos
• n = 2
det
[
a11 a12
a21 a22
]
= (−1)1+1a11a22 + (−1)1+2a12a21
= a11a22 − a12a21, (k = 1)
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 3 / 17
Exemplos
• n = 2
det
[
a11 a12
a21 a22
]
= (−1)1+1a11a22 + (−1)1+2a12a21
= a11a22 − a12a21, (k = 1)
det
[
2 −13 1
]
= 2 × 1 − (−1) × 3 = 5
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 4 / 17
• n = 3
det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
k = 2
= (−1)2+1a21 det
[
a12 a13
a32 a33
]
+
+ (−1)2+2a22 det
[
a11 a13
a31 a33
]
+
+ (−1)2+3a23 det
[
a11 a12
a31 a32
]
= · · ·
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Observacoes
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 5 / 17
Observacoes
1) Tambem escrevemos |A| para determinante de A.
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Observacoes
1) Tambem escrevemos |A| para determinante de A.
2) A expressao (1) e conhecida como expansao de Laplace segundoa linha k, podendo ser igualmente feita segundo uma colunaqualquer.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 5 / 17
Observacoes
1) Tambem escrevemos |A| para determinante de A.
2) A expressao (1) e conhecida como expansao de Laplace segundoa linha k, podendo ser igualmente feita segundo uma colunaqualquer.
3) O determinante nao depende da linha (ou da coluna) previamentefixada.
Propriedades do determinante
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 6 / 17
Sejam A = [akℓ] uma matriz real (ou complexa) de ordem n eα, b1, . . . , bn ∈ R (ou C).
Propriedades do determinante
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 6 / 17
Sejam A = [akℓ] uma matriz real (ou complexa) de ordem n eα, b1, . . . , bn ∈ R (ou C).
1)
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a11 a12 · · · a1n
......
...αak1 αak2 · · · αakn
......
...an1 an2 · · · ann
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= α
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a11 a12 · · · a1n
......
...ak1 ak2 · · · akn
......
...an1 an2 · · · ann
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ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 7 / 17
2)
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a11 a12 · · · a1n
......
...ak1 + b1 ak2 + b2 · · · akn + bn
......
...an1 an2 · · · ann
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=
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a11 a12 · · · a1n
......
...ak1 ak2 · · · akn
......
...an1 an2 · · · ann
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+
+
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a11 a12 · · · a1n
......
...b1 b2 · · · bn
......
...an1 an2 · · · ann
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ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 8 / 17
3) O determinante de A nao se altera quando adicionamos a umalinha um multiplo de outra linha.
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3) O determinante de A nao se altera quando adicionamos a umalinha um multiplo de outra linha.
4) Se B e uma matriz que se obtem de A por troca de duas linhas,entao det(B) = − det(A).
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 8 / 17
3) O determinante de A nao se altera quando adicionamos a umalinha um multiplo de outra linha.
4) Se B e uma matriz que se obtem de A por troca de duas linhas,entao det(B) = − det(A).
5) Se A tem duas linhas iguais, entao det(A) = 0.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 8 / 17
3) O determinante de A nao se altera quando adicionamos a umalinha um multiplo de outra linha.
4) Se B e uma matriz que se obtem de A por troca de duas linhas,entao det(B) = − det(A).
5) Se A tem duas linhas iguais, entao det(A) = 0.
◮ Os resultados anteriores sao validos para colunas.
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3) O determinante de A nao se altera quando adicionamos a umalinha um multiplo de outra linha.
4) Se B e uma matriz que se obtem de A por troca de duas linhas,entao det(B) = − det(A).
5) Se A tem duas linhas iguais, entao det(A) = 0.
◮ Os resultados anteriores sao validos para colunas.
6) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior eigual ao produto das entradas da diagonal principal.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 8 / 17
3) O determinante de A nao se altera quando adicionamos a umalinha um multiplo de outra linha.
4) Se B e uma matriz que se obtem de A por troca de duas linhas,entao det(B) = − det(A).
5) Se A tem duas linhas iguais, entao det(A) = 0.
◮ Os resultados anteriores sao validos para colunas.
6) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior eigual ao produto das entradas da diagonal principal.
7) det(In) = 1.
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Teorema
Sejam A, B matrizes de ordem n. Entao:
1. det(AB) = det(A) det(B)
2. det(AT ) = det(A)
3. Se A e invertıvel, entao det(A−1) =1
det(A).
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Teorema
Sejam A, B matrizes de ordem n. Entao:
1. det(AB) = det(A) det(B)
2. det(AT ) = det(A)
3. Se A e invertıvel, entao det(A−1) =1
det(A).
Teorema
Seja A uma matriz quadrada. Entaodet(A) = (−1)ℓ det(U)com ℓ o no de trocas de linhas efectuadas durante a eliminacao de Gauss
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Corolario
Uma matriz quadrada A e nao singular se e so se det(A) 6= 0.
◮ A e invertıvel se e so se det A 6= 0.
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Corolario
Uma matriz quadrada A e nao singular se e so se det(A) 6= 0.
◮ A e invertıvel se e so se det A 6= 0.
Corolario
Sendo A uma matriz quadrada,
Ax = 0 e determinado se e so se det A 6= 0.
Aplicac oes do determinante
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Aplicac oes do determinante
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 11 / 17
Determinacao da inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. A matriz adjunta de A, adj A, e a matrizde ordem n que se obtem da transposta de A substituindo cadaelemento pelo seu complemento algebrico.
Aplicac oes do determinante
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 11 / 17
Determinacao da inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. A matriz adjunta de A, adj A, e a matrizde ordem n que se obtem da transposta de A substituindo cadaelemento pelo seu complemento algebrico.
Teorema
Se e A e invertıvel, entao A−1 =1
det(A)adj A.
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Exemplo
A =
[
1 2−1 0
]
,
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Exemplo
A =
[
1 2−1 0
]
, AT =
[
1 −12 0
]
,
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 12 / 17
Exemplo
A =
[
1 2−1 0
]
, AT =
[
1 −12 0
]
, adj A =
[
0 −21 1
]
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Exemplo
A =
[
1 2−1 0
]
, AT =
[
1 −12 0
]
, adj A =
[
0 −21 1
]
A−1 =
[
0 −11
2
1
2
]
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 13 / 17
Resolucao de sistemas possıveis e determinados
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 13 / 17
Resolucao de sistemas possıveis e determinados
Seja A uma matriz invertıvel de ordem n. Considera o sistema Ax = b.Entao o vector x, em que cada componente xℓ e igual ao produto dodeterminante da inversa de A pelo determinante da matriz que seobtem de A substituindo a coluna ℓ pelo vector dos termosindependentes b, e solucao do sistema.
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Resolucao de sistemas possıveis e determinados
Seja A uma matriz invertıvel de ordem n. Considera o sistema Ax = b.Entao o vector x, em que cada componente xℓ e igual ao produto dodeterminante da inversa de A pelo determinante da matriz que seobtem de A substituindo a coluna ℓ pelo vector dos termosindependentes b, e solucao do sistema.
• Este metodo designa-se por regra de Cramer.
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Resolucao de sistemas possıveis e determinados
Seja A uma matriz invertıvel de ordem n. Considera o sistema Ax = b.Entao o vector x, em que cada componente xℓ e igual ao produto dodeterminante da inversa de A pelo determinante da matriz que seobtem de A substituindo a coluna ℓ pelo vector dos termosindependentes b, e solucao do sistema.
• Este metodo designa-se por regra de Cramer.
Exemplo
Consideremos o sistema Ax = b onde
A =
[
1 22 3
]
, b =
[
0−1
]
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Atendendo a que det(A) = −1, temos, pela regra de Cramer,
x1 = −
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∣
∣
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0 2−1 3
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∣
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= −2 e x2 = −
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1 02 −1
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= 1
Exemplo de aplicac ao a Engenharia Electrot ecnica
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 15 / 17
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica Determinantes – 16 / 17
Exemplo de aplicac ao a Engenharia Electrot ecnica
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