cap´ıtulo 3 potˆencia em circuitos trifasicos carlos a. castro

EA611 – Circuitos II

Capıtulo 3Potencia em circuitos trifasicos

Carlos A. Castro

DSE/FEEC/UNICAMP

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 1 / 94

Conceitos

Considere duas cargas trifasicas ligadas em Y e em ∆:

aa

bb

cc

n

Za

Zb

Zc

Carga em Y

Zab

Zbc

Zca

Carga em ∆


Conceitos

A potencia total fornecida a uma carga trifasica e igual a soma daspotencias entregues individualmente a cada impedancia da carga

Para a carga em Y:

a

b

c

n

Za

Zb

Zc

SY3φ = Sa + Sb + Sc = Van I

∗

a + Vbn I∗

b + Vcn I∗

c (1)

Para a carga em ∆:a

b

c

Zab

Zbc

Zca S∆3φ = Sab + Sbc + Sca = Vab I

∗

ab + Vbc I∗

bc + Vca I∗

ca (2)


Conceitos

As equacoes (1) e (2) sao gerais, ou seja, sao validas para qualquercarga trifasica

Considere o caso particular de cargas equilibradas. Considere tambemque as tensoes aplicadas sobre as cargas sejam (sequencia de fasesABC):

Van = Vf ∠0 V

Vbn = Vf ∠ (−120) V

Vcn = Vf ∠120 V

Vab = Vℓ ∠30 V

Vbc = Vℓ ∠ (−90) V

Vca = Vℓ ∠150 V

em que Vℓ =√3Vf


Conceitos

No caso de cargas equilibradas, as impedancias sao representadas por:

Z = |Z | ∠φ Ω

Para a carga em Y:

a

b

c

n

Z

Z

Z

Ia = Van/Z = Iℓ ∠ (−φ) A

Ib = Vbn/Z = Iℓ ∠ (−φ− 120) A

Ic = Vcn/Z = Iℓ ∠ (−φ+ 120) A


Conceitos

A potencia trifasica fornecida pela fonte a carga em Y sera igual a:

a

b

c

n

Z ∠φ

Z ∠φ

Z ∠φ

+

−Vℓ

Iℓ

SY3φ = Vf ∠0

· Iℓ ∠φ+ Vf ∠ (−120) · Iℓ ∠ (φ+ 120) +

Vf ∠120 · Iℓ ∠ (φ− 120)

= 3Vf Iℓ ∠φ

= 3

(Vℓ√3

)

Iℓ ∠φ

=√3VℓIℓ ∠φ VA (3)


Conceitos

Para a carga em ∆:

a

b

c

Z

Z

Z

Iab = Vab/Z = If ∠ (30 − φ) A

Ibc = Vbc/Z = If ∠ (−90 − φ) A

Ica = Vca/Z = If ∠ (150 − φ) A


Conceitos

A potencia trifasica fornecida pela fonte a carga em ∆ sera igual a:

a

b

c

Z ∠φ

Z ∠φ

Z ∠φ+

−Vℓ

Iℓ

S∆3φ = Vℓ ∠30

· If ∠ (−30 + φ) +

Vℓ ∠ (−90) · If ∠ (90 + φ) +

Vℓ ∠150 · If ∠ (−150 + φ)

= 3VℓIf ∠φ

= 3Vℓ

(Iℓ√3

)

∠φ

=√3VℓIℓ ∠φ VA (4)


Conceitos

Para cargas trifasicas equilibradas, a potencia total fornecida e igual a:

S3φ =√3VℓIℓ ∠φ VA

para conexoes em Y e em ∆

A potencia total fornecida a uma carga trifasica equilibrada dependedos valores de tensao e corrente de linha e do angulo da impedanciade carga

As potencias ativa e reativa totais valem:

P3φ = ℜS3φ =√3VℓIℓ cosφ W

Q3φ = ℑS3φ =√3VℓIℓ senφ var1

1Unidade segundo a Resolucao n.12, de 12 de outubro de 1988, do Conselho Nacional de Metrologia, Normalizacao e

Qualidade Industrial (CONMETRO).


Conceitos

Exemplo

Uma carga indutiva trifasica equilibrada e alimentada por uma fonte detensao trifasica de 220 V de linha. A corrente de linha medida e de 5 A e apotencia ativa total fornecida e de 900 W.

+

−

B

C

N

a

b

c

5 A

900 W

AA

Fonte Carga220 V


Conceitos

1 Obtenha as potencias aparente, complexa, reativa e o fator depotencia da carga.

2 Determine as impedancias por fase para os casos em que a carga estaconectada em Y e em ∆.


Conceitos

As grandezas pedidas sao calculadas por:

|S3φ | =√3VℓIℓ =

√3 · 220 · 5 = 1905,3 VA

fp = cosφ = P3φ/ |S3φ |= 900/1905,3 = 0,47

φ = cos−1 (fp) = cos−1 (0,47) = 61,8

S3φ = |S3φ | ∠φ = 1905,3 ∠61,8 VA

Q3φ = |S3φ | · senφ = 1679,3 var


Conceitos

Considerando que a carga esteja conectada em Y:

ZY =Van

Ia·(

V ∗

an

V ∗

an

)

=V 2an

S∗

a

=

(Vab/

√3)2

S∗

3φ/3

=V 2ab

S∗

3φ

=2202

1905,3 ∠ (−61,8)= 25,4 ∠61,8 Ω

Para conexao em ∆:

Z∆ =Vab

Iab·(

V ∗

ab

V ∗

ab

)

=V 2ab

S∗

ab

=V 2ab

S∗

3φ/3

=3V 2

ab

S∗

3φ

=3 · 2202

1905,3 ∠ (−61,8)= 76,2 ∠61,8 Ω = 3 · ZY


Conceitos

Exemplo

A figura a seguir mostra um circuito em que uma fonte trifasica de13,8 kV de linha alimenta uma carga trifasica equilibrada em Y deimpedancia Zc = 200 + j 50 Ω por fase atraves de uma linha detransmissao de impedancia ZL = j 10 Ω por fase.

+

−

Fonte

A

B

C

N

a

b

c

n

ZL

ZL

ZL

Zc

Zc

Zc

Carga

Linha

de transmissao

13,8 kV


Conceitos

Pede-se:

1 a corrente de linha.

2 a tensao na carga e a queda de tensao na linha.

3 a potencia aparente entregue a carga.

4 a potencia aparente fornecida pela fonte.

5 as potencias ativa e reativa consumidas pela linha.

6 o fator de potencia da carga e o fator de potencia visto pela fonte.


Conceitos

Como a carga e equilibrada, pode-se calcular somente as tensoes ecorrentes para uma das fases.

As tensoes e correntes das outras fases podem ser obtidas simplesmentelevando em conta as defasagens apropriadas, ja que seus valores eficazessao os mesmos.

Assim, basta definir uma das tensoes de fase, como por exemplo:

VAN =13,8√

3∠0 kV

Corrente na fase A:

IA =VAN

Zc + ZL

=13,8 · 103/

√3 ∠0

j 10 + (200 + j 50)= 38,16 ∠ (−16,7) A


Conceitos

Tensao de fase sobre a carga:

Van = Zc IA = 7,87 ∠ (−2,66) =13,62√

3∠ (−2,66) kV

Queda de tensao na linha de transmissao:

VL = VAN − Van = ZLIA = 381,6 ∠73,3 V

Diagrama fasorial para a fase A:

VAN

Van

VL

IA

2,66

16,7


Conceitos

Potencia aparente entregue a carga:

|Sc |= 3VanIA = 900,2 kVA ≈ 0,9 MVA

Potencia aparente fornecida pela fonte:

|SF |= 3VAN IA = 912,1 kVA ≈ 0,91 MVA

Potencia complexa consumida pela linha de transmissao:

SL = 3VLI∗

A = 43,7 ∠90 kVA

ou seja:

PL = 0

QL = 43,7 kvar ≈ 0,04 Mvar


Conceitos

Naturalmente, nao ha consumo de potencia ativa pela linha ja que ela ecomposta somente por uma reatancia.

A perda de potencia na linha corresponde a pouco mais de 4% da potenciafornecida pela fonte.

O fator de potencia da carga e igual ao cosseno do angulo de defasagementre a tensao da fase A e a corrente pela fase A:

fpc = cos[

∠

(

Van

)

−∠

(

IA

)]

= cos [(−2,66)− (−16,7)] = 0,970


Conceitos

O fator de potencia da carga tambem corresponde ao cosseno do anguloda impedancia da carga:

fpc = cos

[

tg−1

(Xc

Rc

)]

= cos

[

tg−1

(50

200

)]

= 0,970

Fator de potencia visto pela fonte:

fpF = cos[

∠

(

VAN

)

− ∠

(

IA

)]

= cos [0 − (−16,7)] = 0,958


Conceitos

O fator de potencia visto pela fonte e igual ao cosseno do angulo daimpedancia da carga em serie com a impedancia da linha.

Como a impedancia da linha e puramente indutiva, sua presenca resultaem um fator de potencia visto pela fonte menor do que o fator de potenciada carga.


Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 4 fios

Carga trifasica em Y com neutro (a 4 fios), para a qual deseja-semedir a potencia ativa total consumida:

A

B

C

N

a

b

c

n

Za

Zb

Zc

Fonte

Carga



A potencia ativa total consumida pela carga e igual a soma daspotencias ativas consumidas em cada fase:

P3φ = PA + PB + PC

= VAN IA cosφA + VBN IB cosφB + VCN IC cosφC

em que φA, φB e φC sao os angulos das impedancias das fases



A potencia ativa consumida por uma impedancia pode ser medidaatraves da conexao de um wattımetro:

+

−

Bobina de correnteBobina de potencial

(BC)(BP)

V

II

Z



Voltando ao circuito trifasico, a potencia ativa consumida pelaimpedancia da fase A e obtida atraves da colocacao de umwattımetro:

+

−

A

N

a

n

Za

Fonte

Carga

VAN

IABC

BP

Wattımetro

Pela bobina de corrente BC circula a corrente de linha IA e sobre abobina de potencial BP e aplicada a tensao de fase VAN . Entao:

PA = VAN IA cosφA = ℜ

VAN I∗

A



Se dois wattımetros adicionais forem ligados as outras fases da carga,a potencia ativa total sera dada pela soma das leituras dos treswattımetros:

A

B

C

N

a

b

c

n

Za

Zb

Zc

Fonte

Carga

W1

W2

W3

Em particular, se a carga for equilibrada, basta ligar um wattımetro,que medira um terco da potencia total, e multiplicar a leitura por trespara obter a potencia total consumida.



Para cargas cujas impedancias estao conectadas em ∆ ou Y semneutro, a ligacao dos wattımetros e feita da seguinte forma:

A

B

C

N

a

b

c

n

oFonteCarga

∆ ou Y

W1

W2

W3

Nao ha conexao entre o neutro da carga e o neutro da fonte. Assim,o ponto comum dos wattımetros o permanece em um potencialarbitrario



As indicacoes dos tres wattımetros serao:

A

B

C

N

a

b

c

n

oFonteCarga

∆ ou Y

W1

W2

W3

P1 = ℜ

VAo I∗

A

P2 = ℜ

VBo I∗

B

P3 = ℜ

VCo I∗

C



Fase A do circuito trifasico:

+

−

+

−

+ −

Fonte

Carga

A A

N

W1

a a

n n

o

o

Za

ZaBP

BC

VAo VAn

Von

Para a malha mostrada tem-se:

Von + VAo − VAn = 0 ⇒ VAo = VAn − Von



Expressoes semelhantes sao obtidas para as demais fases:

VBo = VBn − Von

VCo = VCn − Von

A soma das leituras dos tres wattımetros sera:

3∑

i=1

Pi = P1 + P2 + P3 = ℜ

VAo I∗

A + VBo I∗

B + VCo I∗

C

= ℜ(

VAn − Von

)

I ∗A +(

VBn − Von

)

I ∗B +(

VCn − Von

)

I ∗C

= ℜ

VAn I∗

A + VBn I∗

B + VCn IC − Von

(

I ∗A + I ∗B + I ∗C

)



Como a soma das correntes de linha e igual a zero, chega-sefinalmente a:

3∑

i=1

Pi = ℜ

VAn I∗

A + VBn I∗

B + VCn I∗

C

= P3φ

Assim, a soma das leituras dos tres wattımetros fornece a potenciaativa total entregue a carga, independentemente do potencial doponto o



Como o potencial do ponto o nao tem influencia no resultado final,pode-se atribuir a ele um potencial em particular. Portanto, pode-seconectar o ponto o a uma das fases, como por exemplo, a fase b.Neste caso, o wattımetro 2, que originalmente media:

P2 = ℜ

VBo I∗

B

passara a indicar potencia nula, pois nao havera diferenca depotencial aplicada em sua bobina de potencial (BP)



Portanto, o wattımetro 2 pode ser retirado do circuito:

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

∆ ou Y

W1

W3

A soma das leituras indicadas pelos wattımetros 1 e 3 sera:

P1 + P3 = ℜ

VAB I∗

A + VCB I∗

C



Considerando que:

VAB = VAn − VBn

VCB = VCn − VBn

tem-se:

P1 + P3 = ℜ(

VAn − VBn

)

I ∗A +(

VCn − VBn

)

I ∗C

= ℜ

VAn I∗

A − VBn

(

I ∗A + I ∗C

)

︸︷︷︸

=−I∗B

+VCn I∗

C

= ℜ

VAn I∗

A + VBn I∗

B + VCn I∗

C

= P3φ



E possıvel medir a potencia ativa total consumida por uma carga a 4fios utilizando 3 wattımetros. No caso de uma carga a 3 fios, apenas2 wattımetros sao suficientes

Em geral, a potencia ativa total entregue a uma carga com n fiospode ser obtida atraves da utilizacao de (n − 1) wattımetros



Teorema de Blondel ou metodo dos (n − 1) wattımetros

Se a energia e fornecida a uma carga polifasica por n fios, a potencia total na

carga e dada pela soma algebrica das leituras de n wattımetros, ligados de tal

maneira que cada um dos n fios contenha uma bobina de corrente de um

aparelho, estando a bobina de potencial correspondente ligada entre este fio e um

ponto comum a todas as bobinas de potencial. Se este ponto estiver sobre um

dos n fios, bastam (n − 1) wattımetros.


https://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Blondel

https://en.wikipedia.org/wiki/Blondel%27s_theorem


Exemplo

A figura abaixo mostra uma fonte de tensao de 220 V de linha quealimenta uma carga trifasica desequilibrada em Y cujas impedancias dasfases valem Za = 100 Ω, Zb = 200 Ω e Zc = 100 Ω.

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

Y

W1

W3

Calcule a potencia ativa total consumida pela carga. Obtenha tambem asleituras de cada wattımetro e a potencia ativa total medida.



Considere que as tensoes fornecidas pela fonte de tensao sejam:

VAN = 127 ∠0 V

VBN = 127 ∠ (−120) V

VCN = 127 ∠120 V

VAB = 220 ∠30 V

VBC = 220 ∠ (−90) V

VCA = 220 ∠150 V

A tensao entre os pontos neutros da carga e da fonte sera:

VnN =YaVAN + YbVBN + YcVCN

Ya + Yb + Yc

= 25,4 ∠60 V



Tensoes de fase aplicadas sobre carga:

VAn = VAN − VnN = 116,4 ∠ (−10,9) V

VBn = VBN − VnN = 152,4 ∠ (−120) V

VCn = VCN − VnN = 116,4 ∠130,9 V

Correntes de linha:

IA = VAn/Za = 1,164 ∠ (−10,9) A

IB = VBn/Zb = 0,762 ∠ (−120) A

IC = VCn/Zc = 1,164 ∠130,9 A



Potencias por fase e a potencia total:

PA = RAI2A = 135,5 W

PB = RB I2B = 116,2 W

PC = RC I2C = 135,5 W

P3φ = PA + PB + PC = 387,2 W



Leituras indicadas por cada wattımetro:

P1 = ℜ

VAB I∗

A

= VAB IA cos (30 + 10,9)

= 193,6 W

P3 = ℜ

VCB I∗

C

= VCB IC cos (90 − 130,9)

= 193,6 W

P3φ = P1 + P3 = 387,2 W

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

Y

W1

W3



Considere novamente o circuito trifasico a 3 fios mostrado a seguir.

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

∆ ou Y

W1

W3



As leituras dos wattımetros 1 e 3 serao iguais a:

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

∆ ou Y

W1

W3

P1 = ℜ

VAB I∗

A

= VAB IA cos(

∠

(

VAB

)

− ∠

(

IA

))

= VAB IA cos γ1

P3 = ℜ

VCB I∗

C

= VCB IC cos(

∠

(

VCB

)

− ∠

(

IC

))

= VCB IC cos γ3

Dependendo da caracterıstica da carga e, portanto, dos angulos dedefasagem entre as tensoes e correntes (γ1 e γ3), P1 e P3 poderaoapresentar valores positivos ou negativos



Caso sejam utilizados wattımetros analogicos, valores negativos depotencias farao com que seus ponteiros tendam a defletir em direcaoao lado negativo da escala

Analogico Digital

0W



Nestes casos, deve-se inverter a ligacao de uma das bobinas (decorrente ou de potencial, sendo mais comum a inversao da ultima,pois nao ha interrupcao da operacao do circuito)

Embora a leitura de potencia neste caso seja um valor positivo,sabe-se que a potencia de fato deve ser considerada como negativa

A potencia total fornecida a carga e dada pela soma algebrica dasleituras dos wattımetros



Diagrama fasorial contendo as tensoes e correntes na fonte de tensao,para o caso particular em que a carga e equilibrada (Za = Zb = Zc):

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

∆ ou Y

W1

W3

VAN

VBN

VCN

VAB

VBC

VCB

IA

IB

IC

φφ

φ

φ− 30

30



Considerando que a sequencia de fases seja ABC e que a tensao dafase A seja tomada como referencia angular, as leituras doswattımetro serao:

P1 = ℜ

VAB I∗

A

= ℜVL ∠30 · [IL ∠ (−φ)]∗= ℜVLIL ∠ (φ+ 30)

P1 = VLIL cos (φ+ 30) (5)

P3 = ℜ

VCB I∗

C

= ℜVL ∠90 · [IL ∠ (120 − φ)]∗= ℜVLIL ∠ (φ− 30)

P3 = VLIL cos (φ− 30) (6)



Nota-se que os valores de potencia indicados pelos wattımetrospodem ser positivos ou negativos dependendo do angulo daimpedancia, ou seja, do fator de potencia da carga

Se φ > 60 ou φ < −60, uma das leituras sera negativa

Entao, se o fator de potencia da carga for menor que 0,5 (ou seja,cos 60), um dos wattımetros tendera a defletir para o lado negativoda escala

Assim, deve-se inverter a ligacao de uma das bobinas do mesmo paraa leitura de medida

No entanto, para a obtencao da potencia ativa total, deve-se lembrarque a leitura daquele wattımetro e negativa



Atraves das expressoes de P1 e P3 dadas pelas equacoes (5) e (6)verifica-se que, no caso de um dos wattımetros acusar leituranegativa, deve-se inverter uma de suas bobinas e a potencia total seradada por:

(potencia total) = (maior leitura)− (menor leitura)



Exemplo

Um motor de inducao2 trifasico opera em vazio, ou seja, sem cargamecanica acoplada ao seu eixo. Ele esta conectado a uma rede eletricacuja tensao de linha e igual a 220 V:

Rede

Motor

A

B

C

N

a

b

c

n

W1

W3

Z

Z

Z

Note que o motor e modeladocomo uma carga trifasicaequilibrada em triangulo. Aimpedancia por fase do motore igual a 50 ∠80 Ω. Asequencia de fases e ABC.

Obtenha os valores das potencia lidas em cada wattımetro analogico e apotencia ativa total consumida pelo motor.

2Motor largamente empregado na pratica devido a sua robustez de operacao e baixo custo.



Corrente de linha fornecida pela rede ao motor:

IL =√3

VL

|Z | =√3 · 220

50= 4,4

√3 A

Potencias lidas em cada wattımetro:

P1 = VLIL cos (φ+ 30) = 220 · 4,4√3 · cos (80 + 30) = −573,4 W

P3 = VLIL cos (φ− 30) = 220 · 4,4√3 · cos (80 − 30) = 1077,7 W

Potencia total consumida pelo motor:

P3φ = P1 + P2 = −573,4 + 1077,7 = 504,3 W

Se os wattımetros forem analogicos, deve-se inverter a conexao de umadas bobinas de W1 para que a leitura seja feita adequadamente. Nota-seque a leitura de menor valor e aquela cujo sinal resultou negativo.



Exercıcio

Verifique que os valores de P1, P3 e P3φ para o circuito do slide 50 seraoos mesmos calculados anteriormente utilizando:

Rede

Motor

A

B

C

N

a

b

c

n

W1

W3

Z

Z

ZP1 = ℜ

VAB · I ∗A

P3 = ℜ

VCB · I ∗C

P3φ = P1 + P3



Exemplo

Considere novamente o circuito a seguir, em que uma fonte cuja tensao delinha e 220 V alimenta uma carga trifasica conectada em estrela e que temas impedancias por fase iguais a Za = Zb = Zc = |Z | ∠φ = 100 ∠φ Ω.

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

Y

W1

W3

A sequencia de fases e ABC. Obtenha as leituras dos dois wattımetros e apotencia trifasica total para −90 ≤ φ ≤ 90.



O valor eficaz da corrente de linha fornecida pela fonte independe doangulo da impedancia e vale:

IL =VL√3 |Z |

=220√3 · 100

= 1,27 A

As leituras dos wattımetros e a potencia total sao dadas por:

P1 = VLIL cos (φ+ 30) = 220 · 1,27 · cos (φ+ 30) = 279,4 · cos (φ+ 30)

P3 = VLIL cos (φ− 30) = 220 · 1,27 · cos (φ− 30) = 279,4 · cos (φ− 30)

P3φ = P1 + P3 = VLIL [cos (φ+ 30) + cos (φ− 30)]

=√3VLIL cosφ = 483,9 cosφ



Grafico das curvas de P1, P2 e P3φ em funcao de φ:

450

300

150

0

0

−150

−60 −30 30 60 90 φ

P1 P2

P3φ

483,9 W



Tabela com leituras dos wattımetros e a potencia total para alguns valoresde φ:

φ () P1 (W) P3 (W) P3φ (W)

−90 139,70 −139,70 0,0−60 241,97 0,0 241,97−30 279,40 139,70 419,100 241,97 241,97 483,9430 139,70 279,40 419,1060 0,0 241,97 241,9790 −139,70 139,70 0,0



Pode-se notar que:

As potencias totais para φ igual a −90 e 90 sao iguais a zero,caracterizando cargas puramente reativas (capacitiva e indutiva,respectivamente).

A leitura de um dos wattımetros e nula quando o valor absoluto de φe 60. Este e o ponto de mudanca na deflexao dos wattımetros.



O maior consumo de potencia ativa ocorre para uma carga puramenteresistiva, ou seja, para φ = 0. Para cada fase, a potencia ativaconsumida e:

P = R · (IL)2

em que IL e a corrente de linha e R e a resistencia da respectiva fase,sendo dada por:

R =| Z | · cosφ

A corrente de linha e constante para este exemplo e R atinge seuvalor maximo para φ igual a zero.



Exercıcio

Determine as potencias lidas noswattımetros 1 e 2 e as potenciasativa e reativa totais consumidaspela carga do circuito abaixo,alimentado por uma tensao de 230 Vde linha, sequencia de fases ABC.

Carga

Resp.: −511,5152 W ; 1389,4429 W ; 877,9277 W ; 3292,5560 var


Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos

A potencia reativa total de uma carga trifasica e igual a soma daspotencias reativas de cada fase, e pode ser medida atraves dewattımetros convenientemente conectados ao circuito

O esquema de ligacao sera deduzido a partir do tipo mais geral decarga, que e a desequilibrada em estrela sem neutro, e sera valido paratodo tipo de carga, equilibrada ou desequilibrada, a tres ou quatro fios



A potencia reativa total e dada por:

Q3φ = QA + QB + QC

= VAn IA senφA + VBn IB senφB + VCn IC senφC

= ℑ

VAn I ∗A

+ ℑ

VBn I ∗B

+ ℑ

VCn I ∗C

em que se considera que existe uma diferenca de potencial entre oneutro da carga n e o neutro da fonte N (deslocamento de neutro)

Conforme mostrado anteriormente, as tensoes de fase da carga serelacionam com as tensoes de fase da fonte atraves de:

VAn = VAN − VnN VBn = VBN − VnN VCn = VCN − VnN



A expressao de Q3φ fica:

Q3φ = ℑ

VAn I ∗A + VBn I ∗B + VCn I ∗C

= ℑ(

VAN − VnN

)

I ∗A +(

VBN − VnN

)

I ∗B +(

VCN − VnN

)

I ∗C

= ℑ

VAN I ∗A + VBN I ∗B + VCN I ∗C − VnN

I ∗A + I ∗B + I ∗C︸︷︷︸

=0

= ℑ

VAN I ∗A + VBN I ∗B + VCN I ∗C

= ℑ

VAN I ∗A

+ ℑ

VBN I ∗B

+ ℑ

VCN I ∗C



Considerando as tensoes da fonte como equilibradas, na sequenciaABC e com referencia angular na fase a, tem-se:

VAN = VAN∠0 = VF∠0

V

VBN = VBN∠− 120 = VF∠− 120 V

VCN = VCN∠120 = VF∠120

V

e:

VAB = VAB∠30 =

√3 VF∠30

V

VBC = VBC∠− 90 =√3 VF∠− 90 V

VCA = VCA∠150 =

√3 VF∠150

V



A relacao entre as tensoes VAN e VBC e:

VAN

VBC

=VF∠0

√3 VF∠− 90

=1√3∠90

Da mesma forma:

VBN

VCA

=1√3∠90 e

VCN

VAB

=1√3∠90



Substituındo as tensoes na expressao de Q3φ:

Q3φ =1√3

[

ℑ

VBC I ∗A∠90

+ ℑ

VCA I ∗B∠90

+ ℑ

VAB I ∗C∠90

]

Tomando somente um dos termos da expressao de Q3φ tem-se:

ℑ

VBC I ∗A∠90

= VBC IA sen

∠

(

VBC

)

−∠

(

IA

)

︸︷︷︸

α

+90

= VBC IA [ senα cos 90 + sen 90 cosα]

= VBC IA cosα = ℜ

VBC I ∗A



Assim, a expressao de Q3φ fica:

Q3φ =1√3

[

ℜ

VBC I ∗A

+ ℜ

VCA I ∗B

+ ℜ

VAB I ∗C

]

=1√3

[W1 +W2 +W3]

em que W1, W2 e W3 sao as leituras de tres wattımetros ligadosconvenientemente!



Rede Carga

A

B

C

N

a

b

c

n

W1

W2

W3



Em particular, se a carga for equilibrada, os tres termos da expressaode Q3φ serao iguais e somente um wattımetro e necessario

Por exemplo, mantendo-se o wattımetro 1, a expressao da potenciareativa total fica:

Q3φ =1√3

[W1 +W2 +W3] =1√3

[3 ·W1] =√3 ·W1

ou seja, a potencia reativa total e√3 vezes maior que a leitura do

wattımetro



Se o metodo dos dois wattımetros estiver sendo utilizado para amedicao de potencia ativa em cargas equilibradas, e possıvel obter apotencia reativa total utilizando a mesma conexao

Considerando o circuito da figura:

A

B

C

N

a

b

c

n

FonteCarga

∆ ou Y

W1

W3



Realizando a operacao:

P3 − P1 = VL IL cos (φ− 30)− VL IL cos (φ+ 30)

= VL IL

(√3

2cosφ+

1

2senφ−

√3

2cosφ+

1

2senφ

)

= VL IL senφ =Q3φ√3

E possıvel entao obter o angulo da impedancia da carga:

φ = tg −1

(Q3φ

P3φ

)

= tg −1

[√3 (P3 − P1)

P1 + P3

]



Exemplo

O metodo dos dois wattımetros foi utilizado para medir a potencia totalentregue a um motor trifasico e as leituras foram:

P1 = 1100 W e P3 = 2200 W

Se a tensao de linha e a corrente de linha medidas sao 220 V e 10 Arespectivamente, obter as potencias ativa, reativa e aparente totaisconsumidas pelo motor. Obter tambem o fator de potencia do motor.



Potencia ativa total consumida pelo motor:

P3φ = P1 + P3 = 3300 W

Potencia reativa total:

Q3φ =√3 (P3 − P1) = 1905,3 var

Angulo da impedancia do motor:

φ = tg −1

[√3 (P3 − P1)

P1 + P3

]

= 30

que corresponde a um fator de potencia 0,866 indutivo.

Potencia aparente total:

S3φ =P3φ

fp=

3300

0,866= 3810,5 VA



Medicao das potencias ativa e reativa em um motor trifasico [Vıdeo]


https://youtu.be/C3_p-NxPMU4

Correcao do fator de potencia

Exemplo

Considere novamente a fabrica alimentada em 380V, 60Hz (tensao delinha) com as seguintes cargas conectadas:

1 Carga 1, formada por tres impedancias de 250VA, fp 0,7 indutivo,220V

2 Carga 2, formada por tres impedancias de 550W, fp 0,8 indutivo,380V

Especifique um banco de capacitores para a correcao do fator de potenciapara 0,92, se necessario.



De acordo com as especificacoes, o circuito e:

A

B

C

N

Carga 1 Carga 2



Carga 1: S1 = 3 · 250∠ cos−1 0,7 = 750∠45,6 VA

Carga 2: S2 = 3 · 5500,8

∠ cos−1 0,8 = 2062,5∠36,9 VA

Carga total: ST = S1 + S2 = 2174,1 + j 1774,2 = 2806,2∠39,2 VA

PT = 2174,1 W

QT = 1774,2 var

fp = cos 39,2 = 0,77 → correcao necessaria



Fator de potencia desejado:

fp′ =PT

S ′

T

= 0,92 → S ′

T = 2363,2 VA

Potencia reativa fornecida ao circuito apos a correcao do fator de potencia:

Q ′

T =

√

S ′

T

2 − PT2 = 926,3 var

Potencia requerida pelo banco de capacitores:

QC = Q ′

T − QT = −847,9 var



Considere um banco de capacitores em Y:

A

B

C

N

Carga 1 Carga 2 Banco Y

SC = 3 · Vf I∗

f = 3 · Vf

V ∗

f

Z ∗

C

= 3 · V2f

Z ∗

C

ZC = 3 · V2f

S∗

C

= 3 · 2202

j 847,9= −j 171,2Ω

CY =1

ω · |ZC |=

1

377 · 171,2 = 15,5µF

→ Banco de capacitores de 15,5µF, 220V



Considere agora um banco de capacitores em ∆:

A

B

C

N

Carga 1 Carga 2 Banco ∆

SC = 3 · Vℓ I∗

f = 3 · Vℓ

V ∗

ℓ

Z ∗

C

= 3 · V2ℓ

Z ∗

C

ZC = 3 · V2ℓ

S∗

C

= 3 · 3802

j 847,9= −j 510,9Ω

CY =1

ω · |ZC |=

1

377 · 510,9 = 5,2µF

→ Banco de capacitores de 5,2µF, 380V



ℜ

ℑ

PT

STQT

QC

Q ′

TS ′

T


Demanda e curva de carga

A potencia ativa consumida por uma instalacao eletrica e variavel,sendo funcao do numero de cargas ligadas e da potencia consumidapor cada uma delas, a cada instante

Para a analise de uma instalacao emais conveniente trabalhar com oconceito de demanda (D), quecorresponde ao valor medio dapotencia ativa (P) em um intervalode tempo ∆t especificado, isto e:

D =1

∆t·∫ t+∆t

t

P · dt No Brasil e oficializado o intervalo de

tempo ∆t = 15minutos



A definicao indica que a demanda e medida em unidades de potenciaativa (W, kW). Pode-se tambem definir uma demanda reativa DQ

(var, kvar) e uma demanda aparente DS (VA, kVA)

A area hachurada entre a curva P(t) e o eixo dos tempos correspondea energia consumida pela instalacao no intervalo considerado:

E = D ·∆t → D =E

∆t

Por isso e comum a referencia a demanda na forma MW·h/h,MVA·h/h



Curva de carga – demanda em funcao do tempo, para um dadointervalo de tempo (T )

E constituıda por patamares, sendo, no entanto, mais comumapresenta-la como uma curva, resultando da uniao dos pontos mediosdas bases superiores do retangulo de largura ∆t



Demanda maxima DM – ordenada maxima da curva no intervalo T

Energia total consumida no perıodo ET – area entre a curva e o eixohorizontal:

ET =

∫ T

0D · dt



Demanda media Dm – altura de um retangulo cuja base e o intervaloT e cuja area e a energia total ET :

Dm =ET

T

Capacidade da instalacao

maior que a demanda maxima



Exemplo

O grafico a seguir mostra uma curva de carga diaria tıpica de umaindustria.



Estime:

1 a energia eletrica consumida por dia.

2 a demanda maxima solicitada.

3 a potencia mınima do transformador de entrada.



A energia eletrica consumida por dia pela industria corresponde a areaabaixo da curva de carga (integral da curva de carga). Esta pode seraproximada pela soma das areas limitadas pelas retas:



Logo, a energia eletrica consumida por dia pela industria pode seraproximada pela soma das areas limitadas pelas retas:



A energia eletrica pode ser calculada por:

Energia = 250 · 24 + 1

2· (20 + 8) · 2750 = 44500 kWh

A demanda maxima corresponde ao valor maximo registrado na curva(pico), que vale aproximadamente 3440 kW.

A especificacao da potencia nominal do transformador de entrada dependede muitos fatores, mas, para responder exclusivamente a este exemplo, apotencia mınima do transformador de entrada pode ser estimada em3500 kW, pois assim ele suportara a demanda maxima.


Medicao da energia eletrica

A medicao da energia eletrica e necessaria para possibilitar aconcessionaria o faturamento adequado da energia eletrica consumidapor cada usuario, segundo uma tarifa preestabelecida

O instrumento que possibilita esta medicao e o medidor de energiaeletrica, popularmente conhecido como relogio de luz:

Ponteiros Registrador

ciclometrico

Smart

meter


Medicao da energia eletrica

O medidor eletromecanico e constituıdo, essencialmente, pelosseguintes componentes:

Bobina de tensao (ou de potencial), com muitas espiras defio fino de cobre, ligada em paralelo com a carga

Bobina de corrente, com poucas espiras de fio grosso decobre, ligada em serie com a carga

Nucleo de material ferromagnetico (ferro-silıcio), composto

de laminas justapostas, isoladas entre si

Conjunto movel ou rotor constituıdo de disco de alumınio de alta condutividade,com liberdade para girar em torno do seu eixo de suspensao, ao qual e solidario

Parafuso com rosca-sem-fim fixado ao eixo, que aciona um sistema mecanico deengrenagens que registra, num mostrador, a energia eletrica consumida

Ima permanente para produzir um conjugado frenador no disco


Exercıcios propostos

G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de correntealternada: fundamentos e pratica, Oficina de Textos, 2012 – capıtulo7.

C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um cursointrodutorio, Unicamp, 1995 – capıtulo 4.


Referencias

P. Cardieri, notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP.

M.C.D. Tavares, notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP.

C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um cursointrodutorio, Unicamp, 1995.

G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de correntealternada: fundamentos e pratica, Oficina de Textos, 2012.


cap´ıtulo 3 potˆencia em circuitos trifasicos carlos a. castro

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