márcio - exercicios sistema trifasicos
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“Circuitos Trifásicos”
Orientado: João Luiz Bergamo Zamperin (estágio docência)
Orientador: Prof. Dr. Laurence Duarte Colvara
Ilha Solteira – SP, 12 de setembro de 2011
Introdução a Sistemas de Energia
Elétrica
Exercício 1
Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha
equilibrada a 4 fios uma carga trifásica equilibrada
simétrica de sequência de fase A-B-C. Sendo conhecidos;
Tensão de linha do gerador (380V) e a frequência (60Hz);
O tipo de ligação do gerador (Y);
A impedância da carga Z=(4+j5), por fase;
A impedância de cada fio da linha, inclusive o neutro
Z'=(0,2+j0,45).
Exercício 1
Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha
equilibrada a 4 fios uma carga trifásica equilibrada
simétrica de sequência de fase A-B-C. Sendo conhecidos;
Tensão de linha do gerador (380V), frequência (60Hz);
Tipo de ligação do gerador (Y);
A impedância da carga (4+j5), por fase;
A impedância de cada fio da linha Z'=0,2+j0,45.
Exercício 1
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N' N
𝐼 𝐴
I B
I C
Figura 1 – Circuito trifásico em estrela com neutro.
Sistema de tensões trifásico simétrico: sistema trifásico em
que as tensões nos terminais dos geradores são senoidais,
de mesmo valor máximo, e defasadas entre si de 𝟐𝝅/𝟑 rad ou
120° elétricos.
Linha trifásica equilibrada: linha (ou rede) trifásica,
constituída por 3 ou 4 fios (3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1
fio de retorno) com igual impedância (próprias ou mútuas).
Carga trifásica equilibrada: carga trifásica constituída por 3
impedâncias complexas iguais, ligadas em estrela (Y) ou
triângulo (Δ).
Pede-se
As tensões de fase e de linha no gerador;
As correntes de fase e de linha na carga;
As tensões de fase e de linha na carga;
Repetir os itens (a), (b) e (c) com a carga ligada em .
Cálculo das tensões de fase e de linha no gerador
Tensão de fase: tensão medida entre o centro-estrela e
qualquer um dos terminais do gerador ou da carga;
Tensão de linha: tensão medida entre os terminais
(nenhum deles sendo o “centro estrela”) do gerador
ou da carga. Evidentemente, podemos definir a tensão
de linha como sendo a tensão medida entre os
condutores que ligam o gerador à carga.
Exercício 1
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N' N
𝐼 𝐴
I B
I C
Figura 1 – Circuito trifásico em estrela com neutro
Cálculo das tensões de fase e de linha no
gerador
Admitindo-se sequência de fase A-B-C (positiva), e
adotando 𝑽 AN com fase inicial nula, resulta,
ANAB
AN
ANAB
VV
V
VV
30|3
30|2202
32
30cos.2
VV
VV
VV
CN
BN
AN
120|220
120|220
0|220
Tensões de fase
no gerador
Representação na forma de matrizes,
VVV
VVV
VVV
CNCA
BNBC
ANAB
150|380120|220.30|3.30|3
90|380120|220.30|3.30|3
30|3800|220.30|3.30|3
V
V
V
V
V
CN
BN
AN
AN
2
1
0|220
V
V
V
V
V
CA
BC
AB
AB
2
1
30|380
Tensões de linha do gerador
Calcular as correntes de fase e de linha na carga
Salientando que as tensões e CORRENTES de linha e de
fase num sistema trifásico simétrico e equilibrado têm,
em todas as fases, valores eficazes iguais, estando
defasadas entre si de 120°elétricos ou 𝟐𝝅/𝟑 rad;
Calcular as correntes de fase e de linha na carga
Na conexão estrela as correntes de fase na carga são
iguais as correntes de linha.
AZZ
VI
AZZ
VI
AZZ
VI
CC
ANC
BB
BNB
AA
ANA
62,67|97,3138,52|88,6
120|220
38,172|97,3138,52|88,6
120|220
38,52|97,3138,52|88,6
0|220
As tensões de fase na carga
Valores das tensões de fase na carga: Sendo a tensão
medida entre o centro-estrela e qualquer um dos
terminais da carga;
VjIZV
VjIZV
VjIZV
CCNC
BBNB
AANA
96,118|75,20462,67|97,31.)54(
04,121|75,20438,172|97,31.)54(
04,1|75,20438,52|97,31.)54(
As tensões de linha na carga
Tensões de linha na carga: Tensão medida entre os
terminais (nenhum deles sendo o “centro estrela”) da carga.
Evidentemente, podemos definir a tensão de linha como
sendo a tensão medida entre os condutores que ligam o
gerador à carga.
VVV
VVV
VVV
NCAC
NBCB
NABA
96,148|61,35430|3.
04,91|61,35430|3.
96,28|61,35430|3.74,2|65,17930|3.
-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
𝑽 𝑨𝑵
𝑽 𝑪𝑵
𝑽 𝑩′𝑵′
𝑽 𝑨′𝑵′
𝑽 𝑪′𝑵′
𝑽 𝑨𝑨′
𝑽 𝑩𝑩′
𝑽 𝑪𝑪′
𝑽 𝑩𝑵
𝑰 𝑨
𝑰 𝑪
𝑰 𝑩
Diagrama de fasores.
Repetir os itens (a), (b) e (c) com a carga ligada
em Δ (triângulo).
Figura 2 – Circuito trifásico em triângulo estrela.
𝐼 𝐴
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z 𝐴/3
Z B/3
Z C/3
A A'
B
C
B'
C'
N' N I B
I C
Figura 3 – Circuito equivalente para a letra c.
Z′ A Ω
Z 𝐴/3Ω
A A'
N' N
Substituindo a carga em triângulo por outra
equivalente em estrela, temos o circuito da Figura 3,
do qual obtemos:
66,133,13
)54(
3j
jZZ
AA
08,54|61,2
)12,253,1()66,133,1()45,02,0(3
' jjjZ
ZZA
Atotal
Cálculo das correntes de linha
Substituindo a carga em triângulo por outra equivalente em
estrela, temos o circuito da Figura 3, do qual obtemos:
total
AN
AA
ANAA
Z
V
ZZ
VI
3/
AZ
VI
AZ
VI
AZ
VI
total
ANCC
total
BNBB
total
ANAA
91,65|17,8408,54|61,2
120|220
08,174|17,8408,54|61,2
120|220
08,54|17,8408,54|61,2
0|220
Determinação das correntes na fase na carga
30|3
AABA
II
AI
AI
AI
I
AC
CB
AABA
92,95|59,48
08,144|59,48
08,24|59,4830|3
08,54|17,84
30|3
Determinação das tensões de fase na carga
VV
VV
VZ
IV
NC
NB
A
AANA
26,117|65,179
74,122|65,179
74,2|65,179)34,51|13,2(.)08,54|17,84(3
As tensões de linha na carga,
VV
VV
VVV
AC
CB
NABA
26,147|17,311
74,92|17,311
26,27|17,31130|3.74,2|65,17930|3
Exercício 2
Considere um sistema trifásico simétrico com sequência de
fase direta, com carga desequilibrada em estrela com neutro
aterrado através de impedância
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z N
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N'
N
Z P P Q
V
V
V
V
V
CN
BN
AN
AN
2
1
0|220
)5,21(''' jZZZZZ NCBAP
101525 jZjZZ CBA
Tensões de fase no gerador
Impedância da Carga
Impedância própria
Corrente de linha
A Corrente de linha percorre os condutores que
interligam o gerador à carga (excluindo-se o neutro).
É valido ressaltar que Zp é a impedância própria dos
fios na linha.
19,68|69,2)5.21(
4,82|57,75.71)100()5.21(
7,86|53,175,171)150()5.21(
5,5|12,265,226)025()5.21(
jZ
jjjZZ
jjjZZ
jjjZZ
N
CP
BP
AP
Determinação da corrente no neutro
4,82|57,7
19,68|69,2
7,86|53,17
19,68|69,2
5,5|12,26
19,68|69,21
4,82|57,7
120|220
7,86|53,17
120|220
5,5|12,26
0|220
1CP
N
BP
N
AP
N
CP
CN
BP
BN
AP
AN
N
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
V
ZZ
V
ZZ
V
I
Aj
Aj
jI
jjjj
jjjI
N
N
)14,136,33(
03,178|38,3304,14|91,0
13,168|31,30
21,088,0
24,671,29
)18,031,0()05,014,0()09.005,0()01(
)08,1188,26()64,521,11()81,038,8(
Temos
23,66|89,89
77,113|89,89)19,68|69,2).(03,178|38,33(
NNNN
NNNN
ZIV
ZIV
Por fim temos as correntes:
Na fase A
AI
AjI
ZZ
ZI
ZZ
VI
A
A
AP
N
NAP
ANA
31,12|30,10
)19,206,10(
49,5|12,26
19,68|69,203,178|38,33
49,5|12,26
0|220
Na fase B
Na fase C
AI
AjI
ZZ
ZI
ZZ
VI
C
C
CP
N
NCP
CNC
46,172|35,37
)89,402,37(
41,82|56,7
19,68|69,203,178|38,33
41,82|56,7
120|220
AI
AjI
ZZ
ZI
ZZ
VI
B
B
BP
N
NBP
BNB
149|47,7
)84,341,6(
73,86|53,17
19,68|69,203,178|38,33
73,86|53,17
120|220
Somando
CBAN IIII
CBAN
CBAN
IIII
IIII
j
j
14,136,3303,178|38,33
46,172|35,37149|47,731,12|30,1014,136,33
Tensões de fase e de linha na carga
Cálculo das tensões de fase na carga
Vj
jjZIV AANA
31,12|58,25791,5466,251
)025).(08,210()0|25).(31,12|30,10(.
Vj
jjZIV BBNB
121|1,11209,9673,57
)150).(84,341,6()90|15).(149|47,7(.
Vj
jjZIV CCNC
53,97|48,37326,37099,48
)100).(89,402,37()90|10).(46,172|34,37(.
Cálculo das tensões de linha na carga
Ressalta-se a atenção para o fato de não ser possível calcular as
tensões de linha na carga utilizando a equação (1.9- ROBBA), pois
nos terminais de carga não se dispõe de um trifásico simétrico,
obviamente, as tensões de linha serão calculadas por
V
V
V
j
j
j
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
NA
NC
NB
NC
NB
NA
AC
CB
BA
63,133|7,435
07,91|43,466
01,26|28,344
)35,31565,300(
)8,35,46674,8(
)15139,309(
31,12|58,257
53,97|48,373
121|1,112
53,97|48,373
121|1,112
31,12|58,257
..
.
Exercício 3 – Considerando o exercício anterior, resolva
o sistema trifásico simétrico e equilibrado com sequência
de fase direta, com carga desequilibrada em estrela com
centro-estrela aterrada por meio de impedância nula
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N'
N
Z P P Q
Z N = 0
Condutor neutro com impedância nula
Inicialmente considera-se a impedância de ATERRAMENTO NULA
(𝒁 𝑵= 𝟎) . Queremos determinar as correntes nas três fases e as
tensões de fase e da linha nos terminais da carga (ponto Q da Figura
anterior). Inicialmente considerar os seguintes dados, para o cálculo.
0
4,82|57,75.71)100()5.21(
7,86|53,175.171)150()5.21(
5,5|12,265.226)025()5.21(
N
CP
BP
AP
Z
jjjZZ
jjjZZ
jjjZZ
Em que é a impedância própria dos fios da linha PZ
Calculo das correntes de linha
Aj
AZZ
VI
AP
ANA
)80,038,8(
49,5|42,85,5|12,26
0|220
Aj
AZZ
VI
BP
BNB
)64,521,11(
27,153|5507,1273,86|53,17
120|220
Aj
AZZ
VI
CP
CNC
)08,1188,26(
53,157|07,2941,82|57,7
120|220
Fase A
Fase B
Fase C
CBAN IIII
AI
AjI
jjjI
N
N
III
N
CBA
13,168|36,30
)24,671,29(
)08,1188,26()64,521,11()80,038,8(
Além disso, no nó N', temos,
As tensões de fase na carga
VjZIV
VjZIV
VjZIV
CCNC
BBNB
AANA
41,112|75,290)8,26883,110(.
73,116|26,188)14,16868,84(.
49,5|57,210)15,206,209(.
NA
NC
NB
NC
NB
NA
AC
CB
BA
V
V
V
V
V
V
V
V
V
96,28843,320
95,436149,26
99,14728,294
49,5|57,210
41,112|75,290
73,116|26,188
41,112|75,290
73,116|26,188
49,5|57,210
j
j
j
V
V
V
AC
CB
BA
96,137|47,431
57,86|73,437
69,26|39,329
As tensões de linha na carga
Diagrama de fasores
-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
𝑽 𝑨𝑵
𝑽 𝑪𝑵
𝑽 𝑩′𝑵′
𝑽 𝑨′𝑵′
𝑽 𝑪′𝑵′
𝑽 𝑨𝑨′
𝑽 𝑪𝑪′
𝑽 𝑩𝑵
𝑽 𝑪𝑪′
Centro estrela isolado
Suponha-se agora ter o circuito da Figura abaixo,
composto de 3 geradores monofásicos no mesmo eixo,
uma rede trifásica equilibrada e uma carga trifásica
desequilibrada ligada em estrela, com o centro-estrela
isolado (não aterrado). Neste sistema, conhecemos as
tensões de fase nos geradores, as impedâncias da carga
e da linha (desprezando as indutâncias mútuas); a
investigação se baseia em determinar as correntes e as
tensões nos terminais da carga (ponto Q) da Figura
abaixo.
Z′ A
Z′ B
Z′ C
𝑉𝑁𝑁′
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N'
N Z P P Q
Cálculo das tensões de fase no gerador
Admitindo-se sequência de fase A-B-C (positiva), e
adotando 𝑽 AN com fase inicial nula, resulta,
VV
VV
VV
CN
BN
AN
120|220
120|220
0|220
Tensões de fase
no gerador
Sendo 𝒁 𝑨 , 𝒁 𝑩 e 𝒁 𝑪 impedâncias da carga
desequilibrada, Impedâncias da linha trifásica
equilibrada representada por 𝒁 𝑷. É válido ressaltar
que as indutâncias mútuas são desprezadas
4,82|57,75.71)100()5.21(
7,86|53,175.171)150()5.21(
5,5|12,265.226)025()5.21(
jjjZZ
jjjZZ
jjjZZ
CP
BP
AP
131,00174,01
0569,000325,01
0036,0038,01
jZZ
Y
jZZ
Y
jZZ
Y
CP
C
BP
B
AP
A
T
T
T
TAYTBY TCYSendo são as admitâncias totais de cada fase. e
TTT
TTT
CBA
CNCBNBANA
NNYYY
VYVYVYV
)070,0058,0(
)08,1188,26()65,521,11()81.038,8(
j
jjjV NN
VjV NN 24,38|92,330)82,20491,259(
VV NN 76,141|92,33024,38180|92,330
NNV A partir do calculo permite-se calcular as correntes
Cálculo das correntes
NNCNC
C
NN
C
CNC
NNBNB
B
NN
B
BNB
NNANA
A
NN
A
ANA
VVYZ
V
Z
VI
VVYZ
V
Z
VI
VVYZ
V
Z
VI
T
TT
T
TT
T
TT
Na fase A
Na fase B
Na fase C
AjjjI
AjjjI
AjjjI
C
B
A
96,76|90,19)39,1949,4()47,3037,31)(08,1188,26(
96,155|12,24)83,903,22()47,1582,10)(65,521,11(
61,28|98,19)56,954,17()75,815,9)(81,038,8(
015i-7.1054e- 0
0
CBA III
Cálculo das tensões de fase e de linha na carga
Tensões de fase na carga.
Vj
jjZIV
Vj
jjZIV
Vj
jjZIV
CCNC
BBNB
AANA
04,13|03,199)04,1389,193(
)100)(39,1949,4(.
96,65|82,361)45,33038,147(
)150)(83,903,22(.
61,28|42,499)1.23946,438(
)025)(56,954,17(.
NA
NC
NB
NC
NB
NA
AC
CB
BA
V
V
V
V
V
V
V
V
V
19,19457,244
53,28551,46
34,9108,291
61,28|42,499
04,13|03,199
96,65|82,361
04,13|03,199
96,65|82,361
61,28|42,499
j
j
j
V
V
V
AC
CB
BA
55,141|29,312
25,99|3,289
42,17|08,305
As tensões de linha na carga
-300 -200 -100 0 100 200 300-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
𝑽 𝑪𝑵
𝑽 𝑩′𝑵′
𝑽 𝑵′𝑵
𝑽 𝑨′𝑵′
𝑽 𝑪′𝑵′
𝑽 𝑨𝑨′
𝑽 𝑩𝑩′
𝑽 𝑪𝑪′
𝑽 𝑩𝑵
𝑽 𝑨𝑵
𝑵
𝑵΄
Erro fase A = 0
Erro fase B = 2.8422e-014
Erro fase C =-5.6843e-014 -2.8422e-014i
Erro - Fechando a malha
0
NNNAAAAN
NNNAAAAN
VVVV
VVVV
Exercício 4
Considere um sistema trifásico constituído de um
gerador alimentando uma carga através de uma linha
sendo que as tensões de fase do gerador valem: (13800/ 𝟑
V). O sistema é trifásico simétrico de sequência de fase
direta, a impedância própria dos fios da linha valem
Zp =(0,437+j0,6) /Km, a impedância mútua entre os fios
da linha valem Zm=j0,15 /Km. O comprimento da linha é
de 10 Km e as impedâncias da carga valem Za=j50,
Zb=-j45, Zc =(87+j50), Zn=13.
Determinar as correntes de fase e as tensões de
fase e de linha nos terminais da carga:
Carga ligada em estrela com centro-estrela
aterrado através de impedância
Z CA
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z N
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N'
N
Z P P Q
Z BC
Z AB
Sistema trifásico simétrico e desequilibrado com carga
desequilibrada em estrela aterrada.
Tensões de fase do gerador
Forma polar
2
1
0|3
13800
CN
BN
AN
V
V
V
120|4,7967
120|4,7967
0|4,7967
6900 j+ 3983.7-
j6900 - 3983.7-
j07967,4
CN
BN
AN
V
V
V
6900 j+ 3983.7-
j6900 - 3983.7-
j07967,4
CN
BN
AN
V
V
V
Solução de impedâncias da carga é dada por:
501001313
13451313
13135013
j
j
j
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
Z
NCNN
NNBN
NNNA
CARGA
13
5087
45
50
N
C
B
A
Z
jZ
jZ
jZ
A matriz de impedâncias da rede e dada por
637,45,105,10
5,10637,45,10
5,105,10637,4
jjj
jjj
jjj
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z
PMM
MPM
MMP
REDE
5637,1045,1135,113
5,1133937,175,113
5,1135,1135637,17
jjj
jjj
jjj
ZZ REDECARGA
Km
KmjZ
KmjZ
M
P
10linhadaoCompriment
/150
/6,0437,0
Cálculo das correntes
C
B
A
REDECARGA
CN
BN
AN
I
I
I
ZZ
V
V
V
CN
BN
AN
REDECARGA
C
B
A
V
V
V
ZZ
I
I
I
1
A
jjj
jjj
jjj
I
I
I
C
B
A
74,93|81,100
93,56|8,192
18,67|1131
0|3
13800
5637,1045,1135,113
5,1133937,175,113
5,1135,1135637,172
1
AI
I
N
III
N
CBA
21,49|07,218
74,93|81,10093,56|8,19218,67|113
Cálculo das correntes
A corrente de retorno pela terra via impedância
de aterramento)
Tensões nos terminais da carga
C
B
A
CARGA
NC
NB
NA
I
I
I
Z
V
V
V
V
j
j
j
V
V
V
NC
NB
NA
85,120|3,7311
22,128|2,8875
35,0|7,7059
74,93|81,100
93,56|8,192
18,67|113
501001313
13451313
13135013
Vjjj
IZV NNNN
21,49|2835)146,285,1()12,16545,142)(013(
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
NA
NC
NB
NC
NB
NA
AC
CB
BA
04,150|12477
23,97|13263
03,29|14271
35,0|7,7059
85,120|3,7311
22,128|2,8875
85,120|3,7311
22,128|2,8875
35,0|7,7059
E a diferença de potencial entre o centro-estrela da carga
e o neutro é igual a
Finalmente, as tensões de linha são obtidas por:
-600 -400 -200 0 200 400 600 800-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
𝑽 𝑨𝑵
𝑽 𝑪𝑵
𝑽 𝑩′𝑵′
𝑵
𝑽 𝑨′𝑵′
𝑽 𝑪′𝑵′
𝑽 𝑨𝑨′
𝑽 𝑩𝑩′
𝑽 𝑪𝑪′
𝑽 𝑩𝑵
𝑽 𝑵′𝑵
𝑵
Erro fase A=0
Erro fase B = 0
Erro fase C =0
Erro - Fechando a malha
0
NNNAAAAN
NNNAAAAN
VVVV
VVVV
Carga ligada em estrela com centro-estrela isolado
Tem-se um sistema trifásico qualquer uma linha
trifásica com mútuas quaisquer alimentando
carga desequilibrada em estrela com centro-
estrela isolado. Neste sistema conhecemos as
tensões de fase nos terminais dos geradores,
as impedâncias da carga e as impedâncias da
linha, queremos determinar as correntes nas
três fases e as tensões de fase e de linha nos
terminais da carga.
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N'
N Z P P Q
Z BC
Z AB Z CA
Sistema trifásico simétrico desequilibrado com carga
desequilibrada em estrela isolada.
Tensões de fase do gerador
Forma polar
2
1
0|3
13800
CN
BN
AN
V
V
V
120|4,7967
120|4,7967
0|4,7967
6900 j+ 3983.7-
j6900 - 3983.7-
j07967,4
CN
BN
AN
V
V
V
6900 j+ 3983.7-
j6900 - 3983.7-
j07967,4
CN
BN
AN
V
V
V
Neste caso com centro-estrela isolado , têm-se
508700
04500
00500
00
00
00
j
j
j
Z
Z
Z
Z
C
B
A
CARGA
637,45,105,10
5,10637,45,10
5,105,10637,4
jjj
jjj
jjj
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
REDE
33,207,033,274,010,266,0
33,207,133,274,110,266,0
33,207,133,274,010,233,0
jjj
jjj
jjj
Y T
CBA
C
CBA
B
CBA
A
CBA
C
CBA
B
CBA
A
CBA
C
CBA
B
CBA
A
T
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
Y
1
1
1
A matriz de admitâncias da rede não se altera, e a matriz
de admitâncias da carga . é dada por:
TY
CN
BN
AN
TREDECARGAT
C
B
A
V
V
V
YZZY
I
I
I
1
Cálculo das correntes
A
I
I
I
C
B
A
64,93|22,268
23,127|78,462
74,18|66,313
0 CBA III
014i-4.2633e+ 014-8.5265e- CBA III
C
B
A
CARGA
NC
NB
NA
I
I
I
Z
V
V
V
53,123|26915
77,142|20825
75,108|15683
64,93|22,268
23,127|78,462
74,18|66,313
508700
04500
00500
j
j
j
V
V
V
NC
NB
NA
Cálculo das tensões de fase da carga
são as admitâncias totais de cada fase TAY TBY TCY
,
E a diferença de potencial entre o centro-estrela da carga
e o neutro,
CBA
NCCNBBNAA
NNYYY
VYVYVYV
VV
VjV
j
jjjV
NN
NN
NN
815,53|20602
19,126|20602)1662812163(
)026,0038,0(
)51,943,179()44,5593,134()10502,301(
E finalmente, as tensões de linha da carga são ,
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
NA
NC
NB
NC
NB
NA
AC
CB
BA
8,137|14308
71,86|14515
55,26|9181
933,24|1,6859
1,123|2,8020
52,114|5,8543
1,123|2,8020
52,114|5,8543
933,24|1,6859 0
-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
4
𝑽 𝑪𝑵
𝑽 𝑩′𝑵′
𝑽 𝑵′𝑵
𝑽 𝑨′𝑵′
𝑽 𝑪′𝑵′
𝑽 𝑨𝑨′
𝑽 𝑩𝑩′
𝑽 𝑪𝑪′
𝑽 𝑩𝑵
𝑽 𝑨𝑵 𝑵
𝑵΄
Erro fase A = 3.638e-012 - j5.457e-012
Erro fase B = 3.638e-012 - j1.819e-012
Erro fase C =-1.819e-012
Erro - Fechando a malha
0
NNNAAAAN
NNNAAAAN
VVVV
VVVV
Z 𝐴′𝐵′
′
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z N = ∞
Z 𝐶′𝐴′
Z B′C′
A A'
B
C
B'
C'
N Z P P
Z BC
Z AB Z CA
Carga ligada em
Carga em triângulo () Para um carga trifásica desequilibrada ligada em triângulo, basta
substituirmos a carga por outra equivalente ligada em estrela, e
recaímos no caso anterior de uma carga desequilibrada em estrela
com o centro estrela isolado.
Z 𝐴𝐵
Z A
Z B
Z 𝐶𝐴
Z BC
A
C B
Z C
A
C B
Transformação triângulo-estrela para carga desequilibrada
CABCAB
CABCC
CABCAB
BCABB
CABCAB
CAABA
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z′ A
Z′ B
Z′ C
Z 𝐴
Z 𝐵
Z C
A A'
B
C
B'
C'
N'
N Z P P Q
Z BC
Z AB Z CA
Z N = ∞
N'
Para uma carga trifásica desequilibrada ligada em
triângulo, basta substituirmos a carga por outra
equivalente ligada em estrela.
)5087(
)450(
)500(
jZ
jZ
jZ
CA
BC
AB
)83,4385,1(
)70,4805,2(
)68,1147,18(
jZ
jZ
jZ
C
B
A
Zn = 0
83,4385,100
07,4805,20
0068,1147,18
00
00
00
j
j
j
Z
Z
Z
Z
C
B
A
CARGA
637,45,105,10
5,10637,45,10
5,105,10637,4
jjj
jjj
jjj
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
REDE
A matriz de impedâncias da rede não se altera, e a
matriz é dada por:
CBA
C
CBA
B
CBA
A
CBA
C
CBA
B
CBA
A
CBA
C
CBA
B
CBA
A
T
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
Y
1
1
1
041,0740,0369,0233,0041,0974,0
041,0259,0369,0233,1041,0974,0
041,0259,0369,0233,0041,0025,0
jjj
jjj
jjj
Y T
TY
Cálculo das correntes
CN
BN
AN
TREDECARGAT
C
B
A
V
V
V
YZZY
I
I
I
1
A
I
I
I
C
B
A
48,144|81,182
89,157|27,175
36,7|77,313
C
B
A
CARGA
NC
NB
NA
I
I
I
Z
V
V
V
1,123|2,8020
52,114|5,8543
93,24|1,6859
48,144|81,182
89,157|27,175
36,7|77,313
83,4385,100
07,4805,20
0068,1147,18
j
j
j
V
V
V
NC
NB
NA
Tensões de fase da carga
CBA
NCCNBBNAA
NNYYY
VYVYVYV
VV
VjV
j
jjjV
NN
NN
NN
61,66|1433
39,113|1433)5,13158,568(
)0027,00086,0(
)61,6346,5()18,9855,89()46,14254,35(
E a diferença de potencial entre o centro-estrela da
carga e o neutro,
É igual a
0 CBA III
E Finalmente, as tensões de linha da carga são
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
NA
NC
NB
NC
NB
NA
AC
CB
BA
8,137|14308
71,86|14515
55,26|10918
07,13|2,6969
38,115|8892
75,114|8,7110
38,115|8892
75,114|8,7110
07,13|2,6969
Erro fase A = 9.0949e-013 -9.0949e-013i
Erro fase B = -9.0949e-013 - 1.819e-012i
Erro fase C =-2.7285e-012 +9.0949e-013i
Erro - Fechando a malha
0
NNNAAAAN
NNNAAAAN
VVVV
VVVV