Planejamento e Otimização de Experimentos

Metodologia de Superfície de Resposta

Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira

anselmo.quimica.ufg.br

anselmo.disciplinas@gmail.com

Visão geral

técnicas

matemáticas

estatísticas

modelar

analisar resposta

muitas variáveis

Objetivo

otimizar a resposta

superfície de resposta

resposta esperada

Resposta esperada

Resposta esperada

Resposta esperada

Modelos

Resposta modelada de modo adequado

por uma função linear das variáveis

independentes

modelo de 1ª ordem

Se há uma curvatura no sistema:

polinômio de grau maior

modelo de 2ª ordem

Modelos

mínimos quadrados

parâmetros do polinômio

análise da superfície de resposta

Modelos

os modelos dos parâmetros podem ser

estimados de modo mais efetivo se

planejamentos experimentais adequados

são utilizados

planejamentos de superfície de resposta

Planejamento de superfície de

resposta

natureza sequencial

condições de operação

caminho

condição ótima

Natureza sequencial da RSM

Procedimento sequencial

O objetivo é conduzir, de

modo rápido e eficiente,

ao caminho em ascensão

em direção à vizinhança

do ótimo

Modelo de 1a ordem

Modelo de 2a ordem

Subir o morro

Exemplo

Como encontrar as condições ótimas para

o tempo, t, e a temperatura, T, que

resultam em um maior rendimento para

um processo?

Condições iniciais:

t = 75 min

T = 130 oC

s = 1,5

Planejamento de 1ª ordem

t = 70 e 80 min

T = 127,5 e 132,5 oC

Planejamento fatorial 22 com

três pontos centrais

experimento t /min

1 70

2 80

3 70

4 80

5 75

6 75

7 75

T /oC

127,5

127,5

132,5

132,5

130

130

130

y /g

54,3

60,3

64,6

68,0

60,3

64,3

62,3

ordem: 5,4,2,6,1,7,3

variáveis codificadas, x1 e x2

Planejamento fatorial 22 com

três pontos centrais

Modelo

Ajuste dos mínimos quadrados

Inclusão do erro a partir de

como 𝑏12 < 𝜎 ⇒ 𝑏12 ≈ 0. Ou seja, o modelo planar supõe que os efeitos

das variáveis são aditivos

𝒃𝟏𝟐(𝝈)

Planejamento fatorial 22 com

três pontos centrais

Os efeitos calculados nessa regressão

correspondem ao dobro dos valores dos

coeficientes

t = 4,7

T = 9,0

t x T = -1,3

Verificação da curvatura

Estimativa da curvatura da superfície, Ec

média dos pontos

do fatorial 22

média dos

pontos centrais experimento t /min

1 70

2 80

3 70

4 80

5 75

6 75

7 75

T /oC

127,5

127,5

132,5

132,5

130

130

130

y /g

54,3

60,3

64,6

68,0

60,3

64,3

62,3

𝐸𝑐 = 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑝𝑐

𝑦 𝑝𝑐 = 62,30

Verificação da curvatura

Com = 1,5

Logo,

não há motivo para questionar

a adequação do modelo planar

𝑉 𝐸𝑐 = 𝑉 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑝𝑐 = 𝑉 𝑦 𝑓 + 𝑉 𝑦 𝑝𝑐 =𝜎

𝑁𝑓

2

+𝜎

𝑁𝑝𝑐

2

=1,5

4

2

+1,5

3

2

𝑉 𝐸𝑐 = 1,31 → 𝑠𝑐 = 1,15

Estimativa do erro experimental

considerando as replicatas no ponto central

sc = 2,0 com uc = 2

= 1,5 (série histórica)

Equação ajustada do modelo

Estimado x Observador

Resíduos

Superfície de resposta

Octave

Gráficos 3D

> x1=-1:0.1:1;

> x2=x1;

> [X1,X2]=meshgrid(x1,x2);

> y=62.01+2.35.*X1+4.5.*X2;

plot3

> plot3(x1,x2,y)

mesh

> mesh(x1,x2,y)

meshc

> meshc(x1,x2,y)

meshz

> meshz(x1,x2,y)

surf

> surf(x1,x2,y)

surf

> shading interp

surfc

> surfc(x1,x2,y)

contour

> contour(x1,x2,y)

surface

> surface(x1,x2,y)

Representação Gráfica: 4D

Impressão

> help print

> print –color –djpg linear_mesh.jpg > print –deps linear_mesh.eps

> title(“Modelo Linear”)

> xlabel(“x1”)

> ylabel(“x2”)

> zlabel(“y”)

Caminho em ascensão

perpendicular

às linhas

de contorno

Caminho em ascensão

x1

x2

região da superfície

de 1ª ordem ajustada

caminho em ascensão

Caminho em ascensão

Nas unidades do planejamento

Ou seja, 1,91 unidades de x2 para cada 1,0 unidade de x1

x1 x2 t T experimento yobs

0 0 75 130 5,6,7 62,3

1 1,91 80 134,8 8 73,3

2 3,83 85 139,6

3 5,74 90 144,4 10 86,8

4 7,66 95 149,1

5 9,57 100 153,9 9 58,2

centro

caminho

em ascensão

Caminhar na superfície

Antes de caminhar na superfície de

um modelo de 1ª ordem deve-se

obter uma estimativa do erro

verificar as interações

verificar a curvatura

2º planejamento

Melhor condição: experimento 10

Logo, planejamento fatorial 22 próximo ao

experimento 10, com dois pontos centrais

t = 90 min

T = 145 oC

Variáveis codificadas

2º planejamento

x1 x2 t T experimento yobs

-1 -1 80 140 11 78,8

1 -1 100 140 12 84,5

-1 1 80 150 13 91,2

1 1 100 150 14 77,4

0 0 90 145 15 89,7

0 0 90 145 16 86,8

22

pontos

centrais

Modelo de 1ª ordem

o intervalo de confiança

não inclui o zero b12 0

modelo aditivo não se aplica t x T = -9,76 >> = 1,5

Análise da curvatura

Ec 0

Logo, o modelo de 1ª ordem é inadequado para representar

a função resposta local

Estimativa do erro

Pontos centrais: sc = 2,05 com u2 = 1

Estimativa conjunta dos dois planejamentos

estimativa inicial com base

na série histórica era de 1,5

Modelo de 2ª ordem

06 Parâmetros: b0, b1, b2, b11, b22 e b12

05 Níveis: --, -+, +-, ++, 00

Como o número de parâmetros é maior que o número de

níveis, é necessário ampliar o planejamento

Planejamento Estrela

Planejamento estrela

l

Planejamento estrela

O modelo inicial é melhorado com um

planejamento estrela

04 pontos axiais

02 pontos centrais

11 12

13 14

15,16

17 18

19

20

21,22

Planejamento estrela

x1 x2 t T experimento yobs

-2 0 76 145 17 83,3

2 0 104 145 18 81,2

0 -2 90 138 19 81,2

0 2 90 152 20 79,5

0 0 90 145 21 87,0

0 0 90 145 22 86,0

Construindo a matriz de planejamento com os experimentos 11 a 22,

a equação resultante para o modelo ajustado é

Estimativa do erro

erro dos coeficientes

b0 = 0,75

b1, b2, b11, b22 e b12 = 0,53

Pontos centrais: sc = 0,5 com uc = 1

Estimativa conjunta

s = 1,78 com u =4

Modelo

Como b2 = 0,36 0,53 , significa que b2 pode

ser aproximado ao ruído. Desse modo, a

equação resultante é

mesh

surf

surf

surfc

contour

78,8

81,2

83,3

91,2

84,5

87,4

79,5

77,4

81,2

1º planejamento:

T e t y

2º planejamento:

T e t y

x1

x2

Análise de superfície de resposta

de 2ª ordem

Quando o experimento está próximo do

ótimo e é descrito por uma função de 2ª

ordem

Como localizar os pontos estacionários?

Localização dos pontos

estacionários

Ponto estacionário

Seja ∅ 𝑋 uma função diferenciável e contínua

para 𝑋 ∈ 𝐷, uma região em Rn

Definição

Um ponto 𝑋0 ∈ 𝐷 é um ponto estacionário para

∅ 𝑋 se 𝛻∅ 𝑋0 = 0.

Isso é, se

𝜕∅

𝜕𝑥𝑘𝑋0 =

𝜕∅

𝜕𝑥𝑘𝑥0,1, 𝑥0,2, … , 𝑥0,𝑛 = 0, 𝑘 = 1,2,… , 𝑛

Localização dos pontos

estacionários

coordenadas do ponto estacionário

Ponto estacionário

resposta máxima

resposta mínima

ponto de cela

superfície de resposta

Ponto estacionário para o

exemplo de 2ª ordem

Modelo

Máximo fora

da região do

planejamento

Superfície de resposta

x2 x1

y

Superfície de resposta

x1

x2

ponto

estacionário

89,307

Localização dos pontos

estacionários

Modelo

y = 87,375 − 1,38𝑥1 − 5,14𝑥12 − 2𝑥2

2 − 2𝑥1𝑥2

Gradientes 𝜕𝑦

𝜕𝑥1= −1,38 − 10,28𝑥1 − 2𝑥2 = 0

𝜕𝑦

𝜕𝑥2= −4𝑥2 − 2𝑥1 = 0

raízes

𝑥1 = 0,074 𝑥2 = −0,149 𝑦 = 87,478

Localização dos pontos

estacionários

𝒚

𝒙𝟏 𝒙𝟐

Localização dos pontos

estacionários

> x1=-1:.05:1;

> x2=x1;

> [X1,X2]=meshgrid(x1,x2);

> y=87.375-1.38.*X1-5.14.*X1.*X1-2.*X2.*X2-2.*X1.*X2;

> surf(X1,X2,y)

> contour(X1,X2,y)

> hold on

> X1=-1.38/18.56*2

> X2=1.38/18.56

> plot(X1,X2)

Localização dos pontos

estacionários

𝒙𝟐

𝒙𝟏

87,023

𝐲

Diferentes superfícies

máximo

Diferentes superfícies

ponto de cela

Diferentes superfícies

mínimo

Diferentes superfícies

máximos

Diferentes superfícies

Multiple Response Optimization

Desirability Objective Function

It is one of the most widely used methods in

industry for the optimization of multiple

response processes

For each response 𝑦𝑖 𝑥 , a desirability function

𝑑𝑖 𝑦𝑖 assigns numbers between 0 and 1 to the

possible values of 𝑦𝑖 𝑑𝑖 𝑦𝑖 = 0 represents a completely undesirable value of

𝑦𝑖

𝑑𝑖 𝑦𝑖 = 1 represents a completely desirable or ideal

response value

Multiple Response Optimization

The individual desirabilities are then combined

using the geometric mean, which gives the

overall desirability

𝐷 = 𝑑𝑖 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

1𝑛

with n denoting the number of responses

It determines the best combination of responses

Multiple Response Optimization

The desirability approach consists of the

following steps

Conduct experiments and fit response models for all n

responses

Define individual desirability functions for each

response

Maximize the overall desirability D with respect to the

controllable factors

Planejamentos experimentais para

ajustar superfícies de respostas

Modelos de 1ª ordem ortogonais

Simplex (simplex design) p/ k variáveis

𝒚 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝒊𝒙𝒊 + 𝒆

𝒌

𝒊=𝟏

k = 3 k = 2

Modelos de 2ª ordem

planejamentos com pontos centrais

(PPC), ou central composite design

Fatorial 2k (ou fracionário de resolução V)

nf experimentos

2k experimentos axiais ou estrela

nc pontos centrais

k = 3 k = 2

Modelos de 2ª ordem

rotabilidade: modelo deve girar

𝑽 𝒚 𝐗 é a mesma em todos os pontos, X, que

estão à uma mesma distância do centro do

planejamento

𝜶 = 𝒏𝒇𝟒 , onde nf é o número de pontos

usados na porção fatorial do planejamento

Modelos de 2ª ordem

circunscrito

face centrada

inscrito

nf = 4 𝛼 = 2 ≅ 1,4

Modelos de 2ª ordem

Modelos de 2ª ordem

Planejamento Box-Behnken

esfera de raio 2

não contém pontos nos vértices

pode ser vantajoso em termos de custo e em

regiões proibitivas

Modelos de 2ª ordem

Planejamento Box-

Behnken é o mais

usado para

planejamentos

fatoriais em três

níveis, sendo possível

para mais do que três

variáveis

independentes.

• 12 pontos nos centros das arestas

• 3 pontos centrais

Modelos de 2ª ordem

Ensaios X1 X2 X3

-1 -1 0

1 -1 0

-1 1 0

1 1 0

-1 0 -1

1 0 -1

-1 0 1

1 0 1

0 -1 -1

0 -1 1

0 1 -1

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Modelos de 2ª ordem

Cuboidal

Planejamento com pontos centrais de face

centrada

Modelos de 2ª ordem

x1

x2

hexágono

Equiradiais

Modelos de 2ª ordem

x1

x2

pentágono

Planejamento Simplex

Simplex simples

3 vértices

x1

x2

Planejamento Simplex

Simplex simples

3 vértices

melhor próximo

pior

reflexão

Planejamento Simplex

Planejamento Simplex

Planejamento Simplex

4 vértices

x1

x2

x3

Simplex Modificado

reflexão

reflexão e expansão

contração

contração múltipla

começo

Simplex Modificado

reflexão

expansão

contração

contração múltipla

começo

Simplex Modificado

Simplex na superfície