Experimentos e seus objetivos

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Planejamento de Experimentos IPlanejamento de Experimentos IPlanejamento de Experimentos IPlanejamento de Experimentos I

� A Estatística no contexto de Pesquisa se ocupa

da experimentação no que diz respeito:

1. Planejamento de Experimentos

2. Execução: instalação, condução e coleta de

informações de experimentos

3. Análise estatística dos dados

Estatística Aplicada à Experimentação

Experimentos

� Podemos definir um experimento como um teste ou umasérie de testes nos quais mudanças relevantes são feitasnas variáveis de entrada de um processo ou sistema demodo que podemos observar e identificar as razões paramudanças que podem ser observadas na resposta (saída do

processo).

Processo/SistemaEntradas Saída

Variáveis controladas

Variáveis não controladas(e possivelmente desconhecidas)

x1 x2 xn

…

z1 z2 zn

…

Evidências para identificar mudanças na variável resposta

Exemplo - Capuccino

� Como chegar na melhor receita de cappuccino?

� Café – granulado ou em pó

� Chocolate – chocolate em pó ou achocolatado

� Leite – integral ou desnatado

� O que é um bom cappuccino?

� Sabor, Consistência, Aparência, ...

� Quem vai experimentar?

� Cada pessoa experimenta uma receita?

� Experimentar todos na mesma ordem?

� O que mais pode influenciar no sabor?

� Como analisar os dados?

Objetivos do Experimento

� Como pode-se perceber, experimentos frequentementeenvolvem diversos fatores (ou variáveis explicativas).

� O objetivo do experimentador é determinar a influência que

estes fatores têm sobre a variável resposta.

� Para um experimento ser o mais eficiente possível, um

procedimento científico para planejá-lo deve ser empregado.

� Delineamento (ou planejamento) experimental refere-se ao

processo de planejar o experimento de modo que dados

apropriados que possam ser analisados através de métodos

estatísticos sejam coletados, resultando em conclusões

objetivas e válidas.

Definições Importantes

� Fator: de Tratamento / Experimental (café, chocolate,

leite) ou de Restrição / Bloqueamento (pessoas).

� Níveis: café granulado ou café em pó

� Tratamento: níveis ou combinações de níveis dos fatores

– café granulado+achocolatado+leite desnatado

� Unidade Experimental: Cada cappuccino preparado

Experimentos

� Outra definição: pesquisa planejada para obter novosfatos, para confirmar ou não resultados obtidos, tendo porobjetivo tomar decisões (fazer uma recomendação).

� Ao planejar um experimento o pesquisador tem que terbem claro quais são os objetivos, isto é, as questões aserem respondidas, hipóteses a serem testadas e efeitosa serem estimados.

� É de suma importância definir a população para a qualse fará a inferência, bem como retirar de forma aleatóriauma amostra da população.

Exemplo

� Suponha que o objetivo principal de um experimento écomparar o ganho de peso de quatro rações parasuínos.

� Suponha também, que as propriedades da regiãotenham suínos de diferentes raças, e que algumasusam alimentadores mecânicos (self-feeders) e outrasmanuais (hand-feeders).

� Se o pesquisador usar apenas uma raça de suínos emseu experimento ou alimentar apenas por umalimentador mecânico, sua amostra dificilmente poderiaser considerada como representativa da população.

� A menos que ele tenha informação prévia que raça emétodo de alimentação tenham pouca ou nenhuma

influência nas diferenças devidas à ração.

� Se não se dispõe de nenhuma informação sobre o

efeito da raça e método de alimentação, éextremamente perigoso fazer inferências de umexperimento baseado sobre uma raça e um método dealimentação para outras raças e outros métodos.

� Para fazer tais recomendações, o pesquisador teria queincluir todas as raças do local e métodos de alimentaçãocomo fatores no experimento.

� Algumas questões devem ser avaliadas num exemplo comoeste:

1. São estas quatro rações as únicas de potencial interesse?

2. Existem outros fatores que poderiam afetar o ganho de pesodos suínos que deveriam ser investigados (rações) oucontrolados neste experimento (alimentadores e raças)?

3. Quantas animais deveriam ser testados em cada tipo deração?

4. Como os animais deveriam ser designados para cada ração,e em que ordem os dados deveriam ser coletados?

5. Qual método de análise deveria ser usado?

6. Que diferença nos ganhos de peso médios observados entreduas rações serão considerados importantes?

Princípios Básicos

� Os princípios básicos da experimentação são:

� repetição,

� casualização (aleatorização) e

� bloqueamento (controle local).

� As repetições são obtidas quando o mesmo nível do fator

(ou combinação dos níveis dos diversos fatores) é aplicado a

mais de uma unidade experimental.

� O uso de repetições permite verificar a quem é devida a

diferença observada, ou seja, permite obter uma estimativa

para o erro experimental (devido às variáveis não

controladas).

� Num experimento em que os tratamentos aparecem apenas

uma vez, não há como determinar se as diferenças

observadas indicam diferenças reais entre tratamentos ou se

são devidas à variação inerente das unidades experimentais.

� Por casualização queremos dizer que tanto a alocação daunidade experimental como a ordem na qual se executa e coletao experimento deve ser aleatória.

� Métodos estatísticos requerem que observações (ou erros)sejam variáveis aleatórias independentemente distribuídas.Usualmente a casualização torna esta suposição válida.

� Também, a casualização contribui para que o efeito de fatoresextrínsecos (isto é, o efeito das variáveis não controladas quepossam estar presentes) esteja distribuído de formahomogênea.

� Para se proceder comparações válidas entre médias detratamentos, é necessário assegurar que um determinadotratamento não seja favorecido ou prejudicado por alguma fontede variação estranha, conhecida ou desconhecida.

� Bloqueamento é uma técnica utilizada para aumentar aprecisão com as quais as comparações entre os fatores deinteresse são feitas.

� Frequentemente, o bloqueamento é utilizado para reduzir avariabilidade transmitida a partir de fatores de ruído; isto é,fatores que podem influenciar a resposta, mas que não estamosdiretamente interessados.

� Este princípio é aplicado quando sabe-se “a priori” da existênciade variação no ambiente experimental, não se podendo correr orisco de efetuar uma casualização completa dos tratamentos àsunidades experimentais.

� Pode-se resolver satisfatoriamente este problema peloagrupamento de unidades experimentais homogêneas entre sie, dentro desses grupos (blocos), é feita a aleatorização oucasualização dos tratamentos.

Exemplo de bloqueamento

� Um experimento foi feito para determinar o efeito dequatro produtos químicos diferentes sobre a resistênciade um tecido. Esses produtos químicos são usados comoparte do processo de acabamento sob prensagempermanente.

� Cinco amostras de tecido foram selecionadas e cada tipode produto químico foi testado uma vez, em ordemaleatória, em cada amostra de tecido.

Rolo 1

Rolo 2

Rolo 3

Rolo 4

Rolo 5

P 3

P 2

P 4

P 2

P 4

P 1

P4

P 2

P 3

P 1

P 2

P 1

P 3

P 4

P 3

P 4

P 3

P 1

P 1

P 2

� Uma característica de todo material experimental é avariação.

� O Erro Experimental é uma medida da variaçãoexistente entre observações de unidades experimentaistratadas igualmente, isto é, que receberam o mesmotratamento.

� A variação é devida a duas fontes principais.

� A variabilidade inerente que existe no materialexperimental ao qual os tratamentos serão aplicados.

� A variação que resulta de alguma falta de uniformidade nacondução física do experimento.

Erro Experimental

� Técnica experimental cuidadosa

� Observações auxiliares ou concomitantes

� Delineamento experimental eficiente

Controle do Erro Experimental

Técnica Experimental Cuidadosa

� Uniformidade de execução

� na aplicação dos tratamentos (evitando contaminação, erros

de dosagem,...),

� na condução do experimento, e

� na coleta de informações.

� Evitar competição inter-parcelas: por exemplo, utilizando-

se bordadura e eliminando o efeito de bordo.

Observações Auxiliares ou Concomitantes

� A precisão pode ser aumentada pelo uso de observaçõesauxiliares e de uma técnica chamada de Análise deCovariância.

� A análise de covariância é usada quando a variação entreas unidades experimentais é, em parte, devida a variaçãoentre algumas características medidas e que não foramsuficientemente controladas (condição própria dasunidades experimentais, ou devido a influência de fatoresestranhos durante a execução do experimento).

� Exemplos: ganho de peso – peso inicial (covariável)

crescimento da planta – quantidade de chuva (covariável)

Delineamento Experimental Eficiente

� É a forma mais eficiente de controle do erro experimentale consiste em se delinear um experimento para que avariação entre o conjunto de unidades experimentais nãocontribua nas diferenças entre as médias detratamentos.

� Por exemplo, quando as unidades experimentais sãoagrupadas em blocos, tal que a variação entre unidadesdentro de um bloco é menor do que entre unidades dediferentes blocos.

� Com isso, a precisão do experimento é aumentada,decorrente do controle do erro experimental.

1. Enunciado do problema e formulação de hipóteses

2. Escolha dos fatores que devem ser incluídos noexperimento e dos seus respectivos níveis (escolhados tratamentos)

3. Escolha da unidade experimental e da unidade deobservação

4. Escolha das variáveis a serem medidas na unidade deobservação

Etapas da organizaçãode um experimento

5. Determinação das regras para atribuição dostratamentos as unidades experimentais (escolha dodelineamento experimental)

6. Determinação do número de repetições

7. Escolha do procedimento de análise estatística dosresultados

8. Conclusões e recomendações

Etapas da organizaçãode um experimento

1. Enunciado do problema e formulação de hipóteses

� Uma pesquisa científica se inicia sempre com aformulação de hipóteses.

� As hipóteses são primeiramente formuladas em termoscientíficos dentro da área de estudo (hipótese científicaou de pesquisa) e em seguida devem ser expressas emtermos estatísticos (hipótese estatística).

� Deve haver correspondência perfeita entre as hipótesescientífica e estatística para evitar ambiguidade.

� Portanto no enunciado do problema a hipótese científicadeve ser formulada de maneira precisa e objetiva.

Exemplo:

� Verificar o efeito de vários tipos de ração que diferem pelaquantidade de potássio no aumento de peso de leitões.

� Pode-se atingir o objetivo se o experimento for planejadocom uma das seguintes finalidades:

(i) Verificar qual ração proporciona maior ganho de peso, istoé, comparar as médias de aumentos de pesos obtidos comcada uma das rações (igualdade de médias);

(ii) Verificar a curva de crescimento dos ganhos de peso dosanimais, isto é, estabelecer a relação funcional entre oaumento de peso médio e quantidade de potássio dasrações (análise de regressão).

Outros Exemplos:

� Verificar o efeito de várias dietas no controle decolesterol.

� Verificar o efeito da temperatura no rendimento de umprocesso industrial.

� Verificar o efeito de vários métodos de ensino nodesempenho de alunos da 1ª série do ensinofundamental.

� Verificar o efeito da aplicação de nitrogênio sobre orendimento de cana-de-açúcar

2. Escolha dos fatores que devem ser incluídos no experimento e dos seus respectivos níveis

� Em um experimento o objetivo é observar de quemaneira uma ou mais condições impostas interferem nocomportamento de variáveis importantes dentro docontexto da pesquisa.

� Estas condições impostas presentes num experimentosão denominadas de fatores.

� No planejamento de um experimento é fundamentalconhecer os fatores que afetam as variáveis deinteresse.

� Normalmente esses fatores são de dois tipos:

� Fatores de tratamentos: são aqueles que o pesquisador teminteresse em verificar a sua influência sobre as variáveis reposta(ex.: rações).

� Fatores intrínsecos: são aqueles que o pesquisador tem interesseem verificar a sua influência sobre as variáveis reposta, mas nãopodem ser impostos pelo pesquisador (ex.: raça, sexo).

� Fatores de restrição (na aletorização): são aqueles quepossibilitam que as conclusões a serem tomadas fiquem livres dedeterminados efeitos que se sabe serem importantes, e quepodem ser controlados, mas cujo estudo não é o objetivo dapesquisa (ex.: ninhadas).

A necessidade de inclusão ou a não inclusão dos fatores derestrição é uma das premissas básicas do planejamento deexperimentos.

� Tratamento é o procedimento aplicado cujo efeitodeseja-se medir e comparar com o efeito dos outrostratamentos. Num experimento pode-se ter um ou maisfatores de tratamentos.

� No exemplo, ração é o fator de tratamentos e osdiferentes tipos de rações são níveis deste fator ou ostratamentos do experimento.

� Os fatores poderão ser qualitativos (nominais ouordinais), como diferentes tipos de rações ou métodos deensino; ou quantitativos como quantidades de potássiona ração, doses de nitrogênio ou temperatura doprocesso industrial.

� Quando o experimento envolver somente um fator detratamentos, temos um experimento com 1 fator ouunifatorial.

� Os exemplos considerados tratam de experimentosunifatoriais, pois envolve somente um fator de tratamento:rações ou doses de potássio na ração.

� Quando o experimento envolver dois ou mais fatores detratamentos, temos um experimento fatorial.

� Por exemplo, um experimento que envolvesse os fatoresfertilizantes (com 4 níveis) e variedades (com 3 níveis);onde os tratamentos representam as combinações dosníveis dos diferentes fatores (fertilizante e variedade)constitui um experimento fatorial.

Os experimentos fatoriais podem ser� Cruzados;� Hierárquicos; ou� Hierárquico-cruzados.

� Fatoriais cruzados (classificação cruzada), quando osmesmos níveis de um fator se combinam com os níveisdo outro; é possível estudar as interações.

� O exemplo anterior (Fertilizante x Variedade) é umexemplo de fatorial cruzado.

V1

F1 F2

V2

F1 F2

� Fatoriais hierárquicos ou aninhados (classificaçãohierárquica ou aninhada), quando diferentes níveis deum fator se combinam com os níveis do outro; nessescasos existe uma hierarquia entre os fatores, existe umfator principal e o outro fator está aninhado ou dentrodele.

� Um experimento envolvendo os fatores Variedade eLinhagem é naturalmente hierárquico ou aninhado, poisas linhagens de uma variedade não são as mesmas daoutra variedade, ou seja estão aninhadas dentro de cadavariedade que é o fator principal.

V1

Lx Ly

V2

Lz Lw

� Fatoriais hierárquico-cruzados (classificação mista)

que constitui uma combinação dos dois procedimentosde organização.

� Um exemplo de um experimento hierárquico-cruzadoenvolveria os fatores Variedade e Linhagem,naturalmente hierárquicos, com o fator Fertilizante que écruzado com esses fatores.

V1

Lx Ly

V2

Lz Lw

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

� Os fatores, de acordo com a maneira como os níveis

foram escolhidos, são considerados com fatores

� de efeito fixo ou

� de efeito aleatório.

� Um fator será de efeito fixo quando o pesquisador

estabelece quais são os níveis a serem utilizados (um

pesquisador tem interesse em determinadas variedades

de cana-de-açúcar, por exemplo em número de 5, que

serão investigadas em um experimento).

� Um fator será considerado de efeito aleatório quando osníveis são selecionados aleatoriamente de umapopulação de níveis para os quais as conclusõesdeverão ser válidas (um pesquisador, entre todas asvariedades de cana-de-açúcar, sorteou 5 variedades, asquais serão investigadas em um experimento).

� No caso de efeito fixo as conclusões são válidas para ostratamentos (níveis do fator) incluídos no experimento,enquanto que no caso de efeito aleatório as inferênciasobtidas poderão ser estendidas para a população deníveis do fator considerado.

3. Escolha da unidade experimental e da unidadede observação

� A unidade experimental (ou parcela) é, geralmente,determinada pela própria natureza do materialexperimental e constitui a menor subdivisão do materialexperimental a qual é aplicado o tratamento.

� Os tratamentos são aplicados às unidades experimentais,e a unidade de observação é aquela unidade realmenteobservada para avaliar o efeito de tratamento e podecorresponder a uma fração da unidade experimental.

� Assim a unidade de observação pode ser a unidadeexperimental completa, tal como um animal no caso dotratamento ser, por exemplo, uma ração, ou uma amostraaleatória de folhas de uma planta frutífera.

� A escolha da unidade experimental, de um modo geral,deve ser orientada no sentido de minimizar o erroexperimental, isto é, as unidades experimentais devemser as mais homogêneas possível, para que, quandosubmetidas a diferentes tratamentos, seus efeitos sejamfacilmente detectados.

ração 1

ração 3

ração 2

ração 4

Exemplo de repetição falsa:

Experimento: Efeito de diferentes rações no ganho de peso. São quatro tipo de rações que serão atribuídas a quatro potreiros com 10 animais.

Animal : Unidade de observação

Potreiro: Unidade experimental � Não há repetição

4. Escolha das variáveis a serem medidas na unidade de observação

� As medidas realizadas nas unidades de observação, apósterem sido submetidas aos tratamentos, constituem osvalores da variável dependente ou variável resposta(variável aleatória).

� A variável dependente, em geral, é pré-determinada pelopesquisador, isto é, ele estabelece a variável a sermedida para verificação do efeito de tratamento.

� O que constitui problema, às vezes, é a maneira como avariável é medida, pois disso depende a precisão dasobservações e a distribuição de probabilidade da variável,a qual é essencial para a escolha do método de análiseestatística.

� Se os valores são obtidos diretamente por meio de uminstrumento de medida (régua, balança, termômetro, etc.)a precisão das observações vai aumentar quando seutiliza, se possível, a média de 3 ou mais medidas damesma unidade experimental.

� Portanto, as variáveis necessariamente presentes em umexperimento são: as variáveis dependentes (variáveisresposta), medidas nas unidades de observação; e asvariáveis explanatórias que constituem o conjunto defatores utilizados no experimento, ou seja, quedeterminam as condições sob as quais os valores dasvariáveis dependentes são obtidos.

� Qualquer outra variável que possa influir nos valores dasvariáveis dependentes deve ser mantida constante oucontrolada.

5. Determinação das regras para atribuição dos tratamentos as unidades experimentais (escolha do

delineamento ou planejamento experimental)

� Um experimento é composto de duas estruturas básicas:

(i) Estrutura de tratamentos: que constitui o planejamento(delineamento) de tratamentos, que consiste emdeterminar os fatores, seus respectivos níveis e suaforma de organização.

(ii) Estrutura de unidades: que constitui o planejamento(delineamento) experimental, que consiste na forma deatribuição dos tratamentos às unidades experimentais, eo agrupamento de unidades experimentais (restrição naaleatorização/bloqueamento) ou não.

Classificação dos principais delineamentos experimentaisClassificação dos principais delineamentos experimentaisClassificação dos principais delineamentos experimentaisClassificação dos principais delineamentos experimentais

Unidades Experimentais Blocos Unifatorial Fatorial

Sem agrupamento Completamente Casualizado Completamente Casualizado

Um agrupamento Completos Blocos Casualizados Blocos Casualizados

Incompletos Blocos Incompletos Balanceados Confundimento

Blocos Incompletos Parcialmente Balanceados

Repetição Fracionada

Reticulados (Lattices) Parcela Subdividida

Dois agrupamentos Completos Quadrado Latino Quadrado Latino

Incompletos Quadrado de Youden Quadrado Quase-Latino

Quadrado ReticuladoTrês agrupamentos Completos Quadrado Greco-Latino

6. Determinação do número de repetições

� A identificação de um número adequado de repetições éimportante no planejamento de um experimento, pois:

� com poucas repetições pode-se não descobrir diferençasimportantes;

� com muitas repetições pode ocorrer desperdício de tempo ematerial.

� Portanto deve-se ter um número suficiente de repetiçõespara detectar como significativa a diferença no efeito detratamentos, se ela existir, gastando o mínimo possível.

� Para determinação do número de repetições existemalgumas regras práticas, tais como:

(i) Número de repetições por tratamento de tal forma quetenhamos no mínimo 20 unidades (Gomes, F.P., 1978).

(ii) Que GL erro experimental ≥10 (Gomes, F.P., 1978).

O GL do erro experimental depende do delineamentoexperimental e do número de tratamentos. Deve-se ter GLsuficientes para uma estimativa representativa do erroexperimental. Experimentos com poucos tratamentosnecessitam de maior número de repetições para se ter GLsuficientes para o erro experimental.

(iii) Que GL erro experimental ≥ 20 (Steel, R.G.D., et al., 1997).

� Para se determinar algebricamente o número derepetições necessita-se:

� estimativa de variabilidade, expressa em termos devariância (s2) ou coeficiente de variação (CV);

� tamanho da diferença entre médias a ser detectada comosignificativa (δ), expressa como % da média geral;

� nível de significância (α);

� segurança com que se deseja detectar a diferença (poderdo teste - β).

� Cochran e Cox (1957) sugerem uma aproximação para onº de repetições r.

� Precisão, sensibilidade ou quantidade de informaçãoé medida como oinverso da variância da média de umtratamento. Se I é a informação, então

� Assim, quando σ2 cresce, a quantidade de informaçãodecresce; também quando n aumenta a quantidade deinformação aumenta.

� Uma comparação entre duas médias amostrais torna-semais sensível, isto é, pode-se detectar diferençasmenores entre médias populacionais, quando o tamanhodas amostras (repetições) aumenta.

nn

11I

2

22y

σ

σσ===

7. Escolha do procedimento de análise estatística dos resultados

� Um dos métodos de análise de dados provenientes deexperimentos é a Análise de Variância (ANOVA).

� A Análise de Variância é essencialmente um processoaritmético para decompor a variação total entre asunidades experimentais, em componentes associados afontes ou causas previstas / identificáveis devariação.

� Variação relacionada com os tratamentos.

� Variação relacionada com causas controladas pelodelineamento experimental (blocos, por exemplo).

� Variação relacionada com o erro experimental.

O método da ANOVA tem alguns pressupostos para sua

utilização.

� As pressuposições básicas associadas a essas

metodologias são:

� Aditividade ( )

� Variância constante (Homocedasticidade)

� Normalidade do erros (εij ~ N(0,σ2))

� Erros não correlacionados (Independência)

ijiijy ετµ ++=

� Como Técnicas de Complementação na ANOVA, tem-se:

1 – Ajustamento de funções de resposta através de

técnicas de análise de regressão para fatores

quantitativos.

2 – Contrastes ortogonais para fatores quantitativos e

qualitativos que permitem estruturação.

3 – Comparações múltiplas de médias para fatores

quantitativos e qualitativos que permitem ou que não

permitem estruturação.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Variável resposta: Desgaste dos pneus

(diferença de espessura após 20.000 Km de uso)

� Variável principal: Marca de pneu

(é um fator a níveis fixos - 4 marcas de pneu)

� Variáveis secundárias:

Carro, posição dos pneus no carro, etc.

� Variáveis não controláveis:

Temperatura, Umidade, Terreno, etc.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Usando letras para indicar as 4 marcas de pneus enúmeros romanos para indicar os carros, o experimentopoderia ser efetuado da seguinte forma:

� Falha: os totais para as marcas também serão os totais paraos carros.

� Nesse projeto, o efeito das marcas e dos carros estáconfundido e a análise fica prejudicada.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Uma segunda tentativa poderia ser um delineamento

completamente casualizado.

� Nesse tipo de planejamento, a distribuição dos pneus noscarros é feita de modo completamente aleatório.

� O propósito da aleatorização é espalhar, sobre os totais detodas as marcas, qualquer efeito de carros ou de outrasvariáveis não controladas.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Um exame mais cuidadoso do delineamento completamente

casualizado irá revelar algumas desvantagens.

� Por exemplo, nota-se que a marca A não foi usada no carro III,

mas foi usada duas vezes no carro II, etc.

� Assim, pode estar embutido na marca A algum efeito que

possa existir entre os carros II e III.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Seria interessante desenvolver uma estratégia para bloquearum possível efeito dos carros.

� Isso pode ser feito usando um planejamento em blocos

casualizados.

� Nesse tipo de planejamento, impõe-se que cada marcaapareça um mesmo número de vezes em cada carro

Exemplo: Locadora de automóveis

� Mas poderia se suspeitar também de um possível efeitoda posição sobre o desgaste dos pneus.

� Pneus dianteiros e traseiros, e mesmo pneus localizadosem lados distintos de um mesmo carro podem apresentardesgastes diferentes.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Um planejamento onde cada marca (tratamento) apareceuma e somente uma vez em cada carro (linha) e em cadaposição (coluna) é chamado de Quadrado Latino.

Exemplo: Locadora de automóveis

� Imagine que ao invés de comparar 4 marcas de pneus, oobjetivo da locadora fosse comparar 5 marcas. Comocolocar 5 pneus em teste em cada carro?

� Seria necessário utilizar um delineamento em blocos

incompletos.

� Durante o semestre veremos esses tipos de delineamentos.

� Completamente Casualizado

� Blocos Casualizados

� Quadrado Latino

� Blocos Incompletos