pirÂmides - passo a passo
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Colégio Luterano Santíssima Trindade / Joaçaba -SC Turma: 220 Profº: Alexandre Veiga GEOMETRIA ESPACIAL – Pirâmides (Passo a passo)
33183
)4.(2
327
3
.m
hAV base
ATENÇÃO: Esta lista de exercícios tem como principal objetivo auxiliar você na resolução dos exercícios propostos, como um material de apoio, e assim sanar as possíveis dúvidas que ainda possa existir. Não deixe suas dúvidas para serem sanadas apenas no momento das avaliações. Boa estudo!
LISTA DE PIRÂMIDES – 2011
1) Quantas faces laterais têm uma pirâmide quadrangular?
Solução. Uma pirâmide dessa natureza possui base com 4 arestas. Cada aresta formará um triângulo. Logo haverá 4
triângulos que serão as faces laterais.
2) Qual é o total de arestas de uma pirâmide pentagonal?
Solução. Uma pirâmide dessa natureza possui base com 5 arestas. Cada aresta será a base de um triângulo (face lateral).
Logo haverá 5 triângulos com uma aresta lateral em comum dois a dois. Total de 10 arestas dividido por 2 = 5. Somando
as 5 da base, totaliza-se 10 arestas.
3) Qual é a pirâmide que tem 16 arestas?
Solução. Pelo exercício anterior, o número de arestas laterais será igual ao número de arestas da base. Logo Al + Ab =
16. Como Al = Ab, temos 2 Ab = 16 ou Ab = 8. Pirâmide octogonal.
4) Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base e o volume da
pirâmide.
Solução. A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é formado por seis triângulos
eqüiláteros cujos lados possuem a mesma medida do lado do hexágono. O apótema da base (m)
é a altura de um dos triângulos eqüiláteros de lado 3m.
i) 2
22
2
327
2
3)3(3
4
36 m
lAbase
ii)
5) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm de altura tem o apótema da base medindo 20 cm.
Calcule a medida do apótema da pirâmide.
Solução.
6) Determine a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 10cm, sabendo que a aresta
da base mede 12cm.
Solução. O apótema da base vale a metade da medida da aresta. Logo, m = 6cm.
I) ²24012.10.22
..4 cm
apbAlateral
. II)
322
base
22
m384)8)(48(3
)8).(144(
3
)8.()12(
3
h.l
3
h.AV
cm86436100)6()10(h
6m;10g
7) Uma pirâmide de base quadrada tem 15 cm de altura e 17 cm de apótema. Calcule o perímetro da base.
Solução.
No triângulo retângulo, h é perpendicular à base e g é a hipotenusa (apótema da pirâmide) . Logo g2 = (21)2 + (20)2 = 441 + 400.
.2929841 2g
Resposta: g = 29cm
g = ?
h = 21
m = 20
A base é um quadrado, pois a pirâmide é regular.
Calculando m, temos: m2 = (17)
2 - (15)
2 = 289 - 225.
Logo .8864 2m . No quadrado o apótema é a
metade do lado. Logo l = 16.
O perímetro será então, 16 x 4 = 64cm
Resposta: g = 29cm
Ap. = 17
h = 15
= ?
m = ?
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Colégio Luterano Santíssima Trindade / Joaçaba -SC Turma: 220 Profº: Alexandre Veiga GEOMETRIA ESPACIAL – Pirâmides (Passo a passo)
8) (UFMG) A figura abaixo representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi construída
uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela a base. Se os lados da base e da plataforma medem, respectivamente, 18 e 10
metros, a altura da torre, em metros, é:
a) 75 b) 90 c) 120 d) 135 e) 145
Solução. A base da plataforma determina duas pirâmides semelhantes. Os lados das
bases e as alturas são proporcionais entre si.
m758
600x
600x10x18x10600x18x60
x
18
10
H
h
L
l
.
A altura da torre será a soma (x + 60) = 75 + 60 = 135m.
9) Uma pirâmide quadrangular regular tem 3 m de altura e 8 m de aresta da base. Calcule a área total e o volume desta
pirâmide.
Solução.
10) O volume de uma pirâmide quadrangular é 144 m3 e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura dessa pirâmide.
Solução.
11) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área lateral é o quíntuplo da área da base,
calcule seu volume.
Solução.
Fonte: professorwalter.br/listtercpiram.doc(adaptado),
www.vestibular.brasilescola.com(adaptado)
g = ?
h = 3
= 8
m = ?
O apótema da base da pirâmide é metade do lado do quadrado.
Logo m = 4. Calculando g, temos:
.52534 22g As áreas da base e lateral são:
Sb = 82 = 64cm
2 Sl = 4.(8.5)/2 = 80cm
2
Logo a área total será 64cm2 + 80cm
2 = 144cm
2. O volume é
calculado como (Sb. h)/3 = (64cm2. 3cm)/3 = 64cm
3.
O volume é calculado como (Sb. h)/3 = 144cm3. A base é quadrada, logo Sb = x2. A altura é o dobro da aresta, isto é, h = 2x. V = (x2.2x)/3 = 2x3/3 = 144. Logo x3 = 72.3 = 216. Então x =6. A altura será h = 2(6) = 12cm.
h = 2x
= x
ap = ?
= 4
a = ?
A área lateral vale 6.(área da face) e a área da base vale 6.(área de um
triângulo eqüilátero). Temos:
1) Área da base = 6. (2. 3 )/4 = 6.(16 3 )/4 = 24 3 cm
2.
2) Área lateral = 6.(g.) /2 = 6.(g. 4)/2=12g
3) Igualando os valores, temos: 12g = 5.(24 3 ). Logo g = 10 3 .
4) O apótema da base (m) é a altura de um triângulo eqüilátero. Logo
m = (4. 3 )/2 = 2 3 .
5) Calculando a altura (h), temos:
.21228812300)32()310( 222 hh
O volume então será V = (24 3 . 12 2 )/3 = 96 6 cm3.