pirÂmides - passo a passo

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Colégio Luterano Santíssima Trindade / Joaçaba -SC Turma: 220 Profº: Alexandre Veiga GEOMETRIA ESPACIAL Pirâmides (Passo a passo) 3 3 18 3 ) 4 .( 2 3 27 3 . m h A V base ATENÇÃO : Esta lista de exercícios tem como principal objetivo auxiliar você na resolução dos exercícios propostos, como um material de apoio, e assim sanar as possíveis dúvidas que ainda possa existir. Não deixe suas dúvidas para serem sanadas apenas no momento das avaliações. Boa estudo! LISTA DE PIRÂMIDES 2011 1) Quantas faces laterais têm uma pirâmide quadrangular? Solução. Uma pirâmide dessa natureza possui base com 4 arestas. Cada aresta formará um triângulo. Logo haverá 4 triângulos que serão as faces laterais. 2) Qual é o total de arestas de uma pirâmide pentagonal? Solução. Uma pirâmide dessa natureza possui base com 5 arestas. Cada aresta será a base de um triângulo (face lateral). Logo haverá 5 triângulos com uma aresta lateral em comum dois a dois. Total de 10 arestas dividido por 2 = 5. Somando as 5 da base, totaliza-se 10 arestas. 3) Qual é a pirâmide que tem 16 arestas? Solução. Pelo exercício anterior, o número de arestas laterais será igual ao número de arestas da base. Logo A l + A b = 16. Como A l = A b , temos 2 A b = 16 ou A b = 8. Pirâmide octogonal. 4) Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base e o volume da pirâmide. Solução. A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é formado por seis triângulos eqüiláteros cujos lados possuem a mesma medida do lado do hexágono. O apótema da base (m) é a altura de um dos triângulos eqüiláteros de lado 3m. i) 2 2 2 2 3 27 2 3 ) 3 ( 3 4 3 6 m l A base ii) 5) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm de altura tem o apótema da base medindo 20 cm. Calcule a medida do apótema da pirâmide. Solução. 6) Determine a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 10cm, sabendo que a aresta da base mede 12cm. Solução. O apótema da base vale a metade da medida da aresta. Logo, m = 6cm. I) ² 240 12 . 10 . 2 2 . . 4 cm ap b Al ateral . II) 3 2 2 base 2 2 m 384 ) 8 )( 48 ( 3 ) 8 ).( 144 ( 3 ) 8 .( ) 12 ( 3 h . l 3 h . A V cm 8 64 36 100 ) 6 ( ) 10 ( h 6 m ; 10 g 7) Uma pirâmide de base quadrada tem 15 cm de altura e 17 cm de apótema. Calcule o perímetro da base. Solução. No triângulo retângulo, h é perpendicular à base e g é a hipotenusa (apótema da pirâmide) . Logo g 2 = (21) 2 + (20) 2 = 441 + 400. . 29 29 841 2 g Resposta: g = 29cm g = ? h = 21 m = 20 A base é um quadrado, pois a pirâmide é regular. Calculando m, temos: m 2 = (17) 2 - (15) 2 = 289 - 225. Logo . 8 8 64 2 m . No quadrado o apótema é a metade do lado. Logo l = 16. O perímetro será então, 16 x 4 = 64cm Resposta: g = 29cm Ap. = 17 h = 15 = ? m = ?

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Page 1: PIRÂMIDES - Passo a passo

Colégio Luterano Santíssima Trindade / Joaçaba -SC Turma: 220 Profº: Alexandre Veiga GEOMETRIA ESPACIAL – Pirâmides (Passo a passo)

33183

)4.(2

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.m

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ATENÇÃO: Esta lista de exercícios tem como principal objetivo auxiliar você na resolução dos exercícios propostos, como um material de apoio, e assim sanar as possíveis dúvidas que ainda possa existir. Não deixe suas dúvidas para serem sanadas apenas no momento das avaliações. Boa estudo!

LISTA DE PIRÂMIDES – 2011

1) Quantas faces laterais têm uma pirâmide quadrangular?

Solução. Uma pirâmide dessa natureza possui base com 4 arestas. Cada aresta formará um triângulo. Logo haverá 4

triângulos que serão as faces laterais.

2) Qual é o total de arestas de uma pirâmide pentagonal?

Solução. Uma pirâmide dessa natureza possui base com 5 arestas. Cada aresta será a base de um triângulo (face lateral).

Logo haverá 5 triângulos com uma aresta lateral em comum dois a dois. Total de 10 arestas dividido por 2 = 5. Somando

as 5 da base, totaliza-se 10 arestas.

3) Qual é a pirâmide que tem 16 arestas?

Solução. Pelo exercício anterior, o número de arestas laterais será igual ao número de arestas da base. Logo Al + Ab =

16. Como Al = Ab, temos 2 Ab = 16 ou Ab = 8. Pirâmide octogonal.

4) Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base e o volume da

pirâmide.

Solução. A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é formado por seis triângulos

eqüiláteros cujos lados possuem a mesma medida do lado do hexágono. O apótema da base (m)

é a altura de um dos triângulos eqüiláteros de lado 3m.

i) 2

22

2

327

2

3)3(3

4

36 m

lAbase

ii)

5) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm de altura tem o apótema da base medindo 20 cm.

Calcule a medida do apótema da pirâmide.

Solução.

6) Determine a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 10cm, sabendo que a aresta

da base mede 12cm.

Solução. O apótema da base vale a metade da medida da aresta. Logo, m = 6cm.

I) ²24012.10.22

..4 cm

apbAlateral

. II)

322

base

22

m384)8)(48(3

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h.l

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h.AV

cm86436100)6()10(h

6m;10g

7) Uma pirâmide de base quadrada tem 15 cm de altura e 17 cm de apótema. Calcule o perímetro da base.

Solução.

No triângulo retângulo, h é perpendicular à base e g é a hipotenusa (apótema da pirâmide) . Logo g2 = (21)2 + (20)2 = 441 + 400.

.2929841 2g

Resposta: g = 29cm

g = ?

h = 21

m = 20

A base é um quadrado, pois a pirâmide é regular.

Calculando m, temos: m2 = (17)

2 - (15)

2 = 289 - 225.

Logo .8864 2m . No quadrado o apótema é a

metade do lado. Logo l = 16.

O perímetro será então, 16 x 4 = 64cm

Resposta: g = 29cm

Ap. = 17

h = 15

= ?

m = ?

Page 2: PIRÂMIDES - Passo a passo

Colégio Luterano Santíssima Trindade / Joaçaba -SC Turma: 220 Profº: Alexandre Veiga GEOMETRIA ESPACIAL – Pirâmides (Passo a passo)

8) (UFMG) A figura abaixo representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi construída

uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela a base. Se os lados da base e da plataforma medem, respectivamente, 18 e 10

metros, a altura da torre, em metros, é:

a) 75 b) 90 c) 120 d) 135 e) 145

Solução. A base da plataforma determina duas pirâmides semelhantes. Os lados das

bases e as alturas são proporcionais entre si.

m758

600x

600x10x18x10600x18x60

x

18

10

H

h

L

l

.

A altura da torre será a soma (x + 60) = 75 + 60 = 135m.

9) Uma pirâmide quadrangular regular tem 3 m de altura e 8 m de aresta da base. Calcule a área total e o volume desta

pirâmide.

Solução.

10) O volume de uma pirâmide quadrangular é 144 m3 e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura dessa pirâmide.

Solução.

11) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área lateral é o quíntuplo da área da base,

calcule seu volume.

Solução.

Fonte: professorwalter.br/listtercpiram.doc(adaptado),

www.vestibular.brasilescola.com(adaptado)

g = ?

h = 3

= 8

m = ?

O apótema da base da pirâmide é metade do lado do quadrado.

Logo m = 4. Calculando g, temos:

.52534 22g As áreas da base e lateral são:

Sb = 82 = 64cm

2 Sl = 4.(8.5)/2 = 80cm

2

Logo a área total será 64cm2 + 80cm

2 = 144cm

2. O volume é

calculado como (Sb. h)/3 = (64cm2. 3cm)/3 = 64cm

3.

O volume é calculado como (Sb. h)/3 = 144cm3. A base é quadrada, logo Sb = x2. A altura é o dobro da aresta, isto é, h = 2x. V = (x2.2x)/3 = 2x3/3 = 144. Logo x3 = 72.3 = 216. Então x =6. A altura será h = 2(6) = 12cm.

h = 2x

= x

ap = ?

= 4

a = ?

A área lateral vale 6.(área da face) e a área da base vale 6.(área de um

triângulo eqüilátero). Temos:

1) Área da base = 6. (2. 3 )/4 = 6.(16 3 )/4 = 24 3 cm

2.

2) Área lateral = 6.(g.) /2 = 6.(g. 4)/2=12g

3) Igualando os valores, temos: 12g = 5.(24 3 ). Logo g = 10 3 .

4) O apótema da base (m) é a altura de um triângulo eqüilátero. Logo

m = (4. 3 )/2 = 2 3 .

5) Calculando a altura (h), temos:

.21228812300)32()310( 222 hh

O volume então será V = (24 3 . 12 2 )/3 = 96 6 cm3.