Departamento de Engenharia Eltrica CT UFES Controle Automtico II Prof. Celso J. Munaro Perodo 2008-1

Projeto de controladores PI e PD discretos via LRSeja o sistema da figura 1 para o qual se deseja projetar controladores PI e PD discretos via LR.

1 e Ts A planta G(s) contnua, e o segurador de ordem zero retm o sinal aplicada entre sinstantes de amostragem T. Como o controlador Gc(z) discreto, deve-se obter a FT discreta G(z) dada por 1 e TS G( z) = Z G ( s ) (1) s Em malha fechada teremos ento 1 + Gc ( z )G ( z ) = 0 (2) O projeto do controlador (PD ou PI) deve envolver os seguintes passos: 0) Verificar se o controlador estabiliza o sistema em malha fechada, aplicando o critrio de 1+ r Jury (at ordem 2) ou uma transformao bilinear da forma z = na equao (2). 1 r 1) Verificar se o controlador atende o erro de regime especificado, e se atender, obter os lim ganhos para isto. O teorema do valor final neste caso dado por (1 z 1 ) E ( z ) z 1 2) Traar o lugar das razes para os parmetros variando, de modo a obter uma boa resposta transitriaAntes de iniciar os projetos, precisamos obter a funo de transferncia discreta destes controladores. Para o caso do PD, no caso contnuo temos Gc ( s ) = K p + K d s O sinal de controle u(t) gerado pelo controlador dado por de(t ) u (t ) = K p e(t ) + k D dt Aproximando a derivado do erro e(t) no instante t=kT por de(t ) 1 = (e(kT ) e((k 1)T ) t = kT dt T E aplicando a transformada Z vem 1 U ( z ) = K p E ( z ) + K d ( E ( z ) z 1 E ( z )) T Ou

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( K p + Kd ) z Kd U ( z) T T = Gc ( z ) = E ( z) z que a FT do controlador PD discreto. Para o caso do controlador PI contnuo, K Gc ( s ) = K p + i s O sinal de controle u(t) gerado pelo controlador dado por u (t ) = K p e(t ) + K i e(t )dt

Figura 2. Integrao retangular Aproximando a integral de e(t) por um retngulo (figura 2), u (kT ) = u[(k 1)T ] + Tf ([(k 1)T )] Usando a transformada Z em ambos lados da equao acima, vem

U ( z) K I T = F ( z) z 1 Onde KI a constante de ganho. O controlador PI discreto fica na forma GI ( z) = K I

G PI ( z ) =

K P z (K P K I T ) = KP z 1

z (1

KIT ) KP z 1

Projeto do controlador PD discretoEscolher o ganho Kp de modo a atender condio de erro em regime e tempo de resposta. Traar o LR para KD variando, de forma a obter o amortecimento desejado.

Projeto do controlador PI discreto

K IT ) prximo ao plo z=1. Traar o LR para Kp KP variando de zero a infinito para obter uma resposta com bom amortecimento (ou sobre-elevao).Escolher a posio do zero discreto z (1